-
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• fonksiyon kavramını tanıyacak,•
bir fonksiyonun bire-bir ve örten olup olmadığını araştırabilecek,•
iki fonksiyonun bileşkesini bulabilecek,• ters fonksiyon kavramını
anlayacak,• fonksiyon grafiği kavramını öğrenip bazı fonksiyonların
gra-
fiklerini çizebileceksiniz.
İçindekiler
• Giriş 83• Fonksiyon Kavramı 83• Fonksiyon Grafikleri 98•
Değerlendirme Soruları 116
ÜNİTE
3Fonksiyon Kavramı
YazarProf. Dr. Vakıf CAFEROV
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Çalışma Önerileri
• Yazarak çalışınız• Bir kavramı anlamadan diğerine geçmeyiniz•
Çözümleri size bırakılan soruları mutlaka çözünüz ve cevapla-
rınızı kontrol ediniz• Grafikleri doğru çizebilmek için
yanınızda kareli kağıt ve cet-
vel bulundurunuz• Hesap makinesinden yararlanınız.
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
1. GirişFonksiyon kavramı matematiğin en temel kavramlarından
birisidir. Bu kavramı ta-nımlamadan önce birkaç örneği ele
alalım.
i) Fiyatı 40 000 TL olan ekmekten x tane aldığımızda
ödeyeceğimiz paraya ydersek
y = 40 000 x
yazabiliriz. Burada ödeyeceğimiz paranın aldığımız ekmeğin
miktarına bağlıolduğu açıktır. Ekmek miktarı değiştikçe ödenecek
para da değişecektir. İşte budurumda ödenecek para alınan ekmek
miktarının bir fonksiyonudur diyoruz.
ii) Bir çemberde, Ç çevre uzunluğu, r yarıçap olmak üzere , Ç =
2πr olduğunubiliyoruz. Burada da yarıçap değiştikçe çevre uzunluğu
değişecek ve her bir ya-rıçap için çevre uzunluğu olarak tek bir
sayı bulunacaktır. Bu durumda da çevreuzunluğu yarıçapın bir
fonksiyonudur diyoruz.
iii) Hava direncinin olmadığı bir ortamda belirli bir
yükseklikten serbest bırakı-lan bir cismin aldığı s yolu ile t
zamanı arasında
bağıntısının varlığını fizik derslerinden biliyoruz. Burada da s
yolu t zamanı-na bağlıdır. Yani t değiştikçe s de değişmektedir. Bu
durumda da s yolu t zama-nının bir fonksiyonudur diyoruz.
2. Fonksiyon KavramıYukarıdaki örneklerle sezdirmeye
çalıştığımız fonksiyon kavramının kesin tanımı-nı verelim.
Boş kümeden farklı A ve B gibi iki küme verilsin. A kümesindeki
her bir elemana Bkümesinden bir ve yalnız bir eleman karşılık
getiren bir eşlemeye A kümesinden Bkümesine bir fonksiyon
denir.
Bu eşleme genellikle bir kuralla verilir. Bu kural çoğu kez f,
g,..., h gibi harflerle gösteri-lir. A kümesinden B kümesine f
kuralı ile verilen fonksiyon f : A→ B şeklinde gös-terilir. Bu
durumda A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi , B kümesine de
de-ğer kümesi denir. A kümesinden alınan bir x elemanına B
kümesinden f ile karşı geti-rilen elemana x in f altında görüntüsü
denir ve bu eleman f(x) ile gösterilir. A kü-
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 83
s = 12
gt2 , g = 9,8 m / sn2
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
mesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin
oluşturduğu kü-meye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve f (A)
ile gösterilir. Bazen, f : A→ Bfonksiyonuna A üzerinde bir
fonksiyon da denir.
Örneğin, A ve B kümeleri olarak Z tamsayılar kümesini alalım ve
her tam sayıyı ka-resi ile eşleyen eşlemeyi düşünelim. Bu eşlemede
her tam sayıya karşılık o sayınınkaresi olan bir tam sayı vardır ve
bu tamsayı tektir. Bu nedenle bu eşlemeye bir fonk-siyondur
diyebiliriz. Bu fonksiyon,
f : Z → Z, x → x2
veya
f : Z → Z, f (x) = x2
şeklinde gösterilir. Bu fonksiyon altında 0 ın görüntüsünün 0, -
1 ile 1 in görüntü-sünün 1, - 4 ile 4 ün görüntüsünün 16 olduğunu
şu şekilde ifade ederiz: f (0) = 0 ,f (-1) = 1, f (1) = 1, f (- 4)
= 16, f (4) = 16. Bu fonksiyonun tanım ve değer kümeleri Ztam
sayılar kümesi iken her tam sayının karesi pozitif tam sayı veya 0
olduğundangörüntü kümesi, f (Z) = IN ∪ {0} dır. Bu fonksiyonu Venn
şeması ile şöyle gös-terebiliriz.
Tanım kümesine ait her bir elemanın bir fonksiyon altındaki
görüntüsü tek olmakzorundadır, ancak tanım kümesine ait farklı iki
elemanın görüntüsü aynı olabilir.Örneğin yukarıdaki f fonksiyonunda
f (-1) = f (1) = 1 dir.
Ünitenin başlangıcındaki birinci örneğimizde, alınan ekmek
sayısı doğal sayılarlaifade edildiğinden tanım kümesi IN doğal
sayılar kümesi, değer kümesi ise, satınalınan ekmek sayısı 40 000
katı ile eşlendiğinden o da IN olarak alınabilir. Buna görebu
fonksiyon şu şekilde ifade edilir:
g: IN→ IN, g (x) = 40 000x.
Burada değer kümesi, 40 000 den büyük doğal sayılar kümesini
içeren herhangi birküme de olabilir. Örneğin Z, Q veya IR
alınabilir:
F O N K S İ Y O N K A V R A M I84
Z Zf
4
10-1
-4 0
1
16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. ..
. ..
. ..
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
h: IN→ Z, h (x) = 40 000x,k: IN → Q, k (x) = 40 000x,l: IN → IR,
l (x) = 40 000x.
Ancak bu durumlarda fonksiyon doğal sayılar kümesinden doğal
sayılar kümesinedeğil, doğal sayılar kümesinden sırasıyla
tamsayılar, rasyonel sayılar veya gerçelsayılar kümesine
tanımlanmış bir fonksiyon olur. Bu fonksiyonların görüntüleri
ay-nıdır ve hepsinde 40 000 den büyük doğal sayılar kümesidir.
İkinci ve üçüncü ör-neklerimizi bir fonksiyon olarak şöyle ifade
edebiliriz:
t: IR + → IR , t (r) = 2πr,burada yarıçapın herhangi bir pozitif
gerçel sayı olabileceğine dikkat ediniz,
burada da her türlü kesirli zamanın ölçülebildiğini varsaymış
bulunuyoruz. Bu sonörneklerimizden de görüldüğü gibi, bir
fonksiyonda tanım kümesinin elemanları xden farklı harflerle de
gösterilebilir. Örneğin yukarıdaki f fonksiyonu, f : Z → Z,f (n) =
n2, veya f : Z → Z, f (u)= u2 şeklinde de ifade edilebilir. Bir
fonksiyondaönemli olan,tanım ve değer kümelerinin elemanlarının,
bunlar farklı harfle gösteril-mek koşuluyla, hangi harfle
gösterildiği değil, tanım ve değer kümeleri ile bu kü-melere ait
elemanların nasıl eşlendiği, yani kural önemlidir.
Alanı 10 birim olan dikdörtgeninin yüksekliğini x taban
uzunluğunun fonksiyo-nu olarak yazınız.
Cevabınız
Örnek: Yukarıda verilen g , t, s fonksiyonlarına göre g (10), t
(3) ve s (5) görüntü-lerini bulalım.
Çözüm: g : IN → IN, g (x) = 40 000x olduğundan g (10) = 40 000.
10 = 400 000 ,buna göre 10 ekmeğin bedelinin 400 000 TL olduğu
açıktır.
t: R + → IR , t (r) = 2πr olduğundan t (3) = 2π. 3 = 6 π ≅ 18,84
, buna göre, yarıça-pı 3 cm olan bir çemberin çevresi yaklaşık
olarak 18,84 cm dir.
buna göre, yeteri kadar yüksek bir yerden serbest düşmeye
bırakılan bir cisim 5 sa-niyede 122,5 m yol alır.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 85
s : IR+ → IR , s t = 12
gt2 ,
s : IR+ → IR , s t = 12
gt2 , g = 9,8 m / sn2 olduğundan
s 5 = 12
9,8 . 52 = 4,9 . 25 = 122,5 ,
?f x = 10x olmalıdır.
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek: A = {x| x Türkiye’de bir il}, B = IN olmak üzere, her ili
trafikteki plaka numa-rasına gönderen bir fonksiyondan söz
edebiliriz. Bu fonksiyona göre Eskişehir’ ingörüntüsü 26,
İstanbul’un görüntüsü 34 dür. Bu fonksiyona p dersek, p(Eskişehir)
=26, p(İstanbul) = 34 yazabiliriz.(Bu fonksiyonda 1 i 01, 2 yi
02,..., 9 u 09 şeklinde göste-riyoruz.)
Örnek: f:IR→ IR, f(x)= x2-2x fonksiyonu veriliyor. f(1) + f(-1)
i bulunuz.
Çözüm: Fonksiyon tanım kümesinin her bir x elemanını bu elemanın
karesi ile 2 ka-tının farkına göndermektedir. Yani x → x2-2x dir.
Buna göre f(1)= 12 - 2.1= -1, f(-1)= (-1)2 - 2.(-1)= 3 olduğundan
f(1) + f(-1)= -1 + 3= 2 dir.
Örnek: f : IR → IR, f (x) = x3- 4x2 + 2x + 1 fonksiyonu
veriliyor. Bu fonksiyon kuralınagöre her x gerçel sayısı x3 - 4x2 +
2x + 1 gerçel sayısı ile eşlenmektedir. Şimdi f (0), f (1), f (-3),
görüntülerini bulalım. Bunun için fonksiyonun kuralında xyerine
ilgili sayıyı yazıp gerekli işlemleri yapacağız.
f (0) = 03- 4.02 + 2.0 + 1 = 1 , f (1) = 13 – 4.12 + 2.1 +1 = 1-
4 + 2 + 1 = 0 ,
f (-3) = (-3)3 – 4.(-3)2 + 2.(-3) + 1 = -27 – 36 – 6 + 1 = - 68
,
f:IR →→→→ IR, f(x)= x2 - 2x fonksiyonu için f(π) ve f(-2)
sayılarını bulunuz.
Cevaplarınız ≅ 3,58 ve 8 olmalıdır.
f : A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait bir x
elemanının bu fonksiyonaltındaki görüntüsünün f (x) şeklinde
gösterildiğini yukarıda ifade etmiştik. f (x) de bazen y,z ..gibi
harflerle gösterilir. Bir fonksiyonun tanım ve değer kümeleriaçıkça
biliniyor ve eşleme f (x) gibi bir kuralla ifade edilebiliyorsa,
fonksiyon kısaca,y = f (x) şeklinde de gösterilir. Örneğin her
gerçel sayıyı 2 katı ile eşleyen fonksiyon, f: IR → IR, f (x) = 2x
gösterimi yerine, kısaca y = 2x biçiminde de gösterilmekte-dir.
Ancak bu tür gösterimlerde tanım ve değer kümelerinin çok açık
olarak bilini-yor olması gerekir. Burada x tanım kümesindeki tüm
elemanları tararken y de x ebağlı olarak değişecektir. Bu nedenle x
e bağımsız değişken y ye de bağımlı değiş-ken denir. Bir
fonksiyonda tanım kümesi, IR gerçel sayılar kümesinin alt kümesiise
fonksiyona gerçel değişkenli fonksiyon denir.
f : A →A, f (x) = x fonksiyonuna A kümesinin birim fonksiyonu
denir ve IA şek-linde gösterilir. Sözle ifade edersek, bir kümenin
her bir elemanını kendisiyle eşle-yen fonksiyona bu kümenin birim
fonksiyonu denir.
f : A → B , f (x) = c , yani A kümesinin tüm elemanlarını B
kümesinin tek bir celemanı ile eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon
denir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I86
f 2
f 2 = 2 3 - 4 . 2 2 + 2 . 2 + 1 = 2 2 - 8 + 2 2 + 1 = 4 2 - 7 ≅
- 1,343 .
?
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
f : A → B, g : C → D fonksiyonları verilsin. Eğer aşağıdaki
koşullar sağlanırsa bu ikifonksiyona eşittir denir ve f = g
şeklinde gösterilir.
i) A = C,ii) B = D,iii) her x ∈ A (= C ) için f (x ) = g
(x).
Bir fonksiyonda asıl olanın tanım kümesi ve tanım kümesindeki
her bir elema-nın ne ile eşlendiği diyorsanız, o zaman iki
fonksiyonun eşitliği için değer küme-lerinin eşitliği koşulunu
aramayabilirsiniz.
Örnek : A = {0,2}, B = {0,4} olmak üzere, f : A → B, f (x) = 2x,
g: A → B , g (x) = x2fonksiyonları yukarıdaki koşulları
sağladığından bu iki fonksiyon eşittir.
Gerçel değişkenli bir fonksiyon, y = f (x) biçiminde verilip
tanım kümesi açıkçaverilmemişse, bu durumda tanım kümesi olarak
fonksiyonun kuralının anlamlıolduğu en geniş gerçel sayılar kümesi
fonksiyonun tanım kümesi olarak alınır.
Örnek: y = f (x) = fonksiyonunun tanım kümesi açıkça
verilmemiştir. Bu
durumda ün anlamlı olduğu (yani bir gerçel sayı olduğu) en geniş
gerçel
sayılar kümesini bu fonksiyonun tanım kümesi olarak alacağız.
ifadesinde x
yerine 3 den farklı hangi sayıyı yazarsak yazalım bir gerçel
sayı bulabiliriz. Ancak
x = 3 için payda sıfır olur, bir sayının sıfıra bölümü ise
tanımsızdır. Bu nedenle bu fonk-
siyonun tanım kümesi olarak IR – {3} kümesini alacağız. Yani y =
fonksiyo-
nunu, f : IR – {3} → IR, f (x) = fonksiyonunun kısaca ifade
edilmiş biçimi
olarak kabul edeceğiz.
Örnek: y = fonksiyonunun tanım kümesini bulalım. Çözüm: Bu
fonksiyonun kuralı x → dir. Bu kuralın anlamlı olabilmesiiçin 4 + x
≥ 0 olmalıdır. Bu eşitsizliğin çözüm kümesi, [- 4, ∞) olduğundan
fonksi-yonun tanım kümesi [- 4, ∞) dır. Bu fonksiyonu da g : [- 4,
∞) → IR, g (x) = fonksiyonu olarak anlayacağız.
y = g (x) = fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
y = h (x) = fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Birinci soruda cevabınız [-2,2] aralığı , ikinci soruda ise IR
olmalıydı. Nedenlerinidüşününüz.
Sayılarla yapılan bazı işlemler , fonksiyonlarla da
yapılabilir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 87
4 - x2
4 - x23
??
1x - 3
1x - 3
1x - 3
1x - 3
1x - 3
4 + x
4 + x
4 + x
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
f : A→ IR, g : A → IR fonksiyonları verilsin. Her x ∈ A için x i
f(x) + g (x) ile eşle-yen fonksiyona f ile g nin toplamı denir ve
f+g ile gösterilir. Buna göre,
f + g : A → IR, (f + g) (x ) = f (x) + g (x).
Benzer şekilde ,
f - g : A → IR, (f - g) (x ) = f(x) - g(x)
fonksiyonuna f ile g nin farkı ,
f.g: A → IR, (f.g) (x) = f (x) .g (x)
fonksiyonuna f ile g nin çarpımı,
fonksiyonuna da f ile g nin bölümü denir.
Örnek: f: IR → IR, f (x) = -2 x2 + 3x - 4,
g: IR → IR, g (x) = x2 +1
fonksiyonları veriliyor.
i) (f + g) (2), (f - g) (2), (f . g) (2), (2) ,
ii) (f + g) (x), (f- g) (x), (f . g) (x), (x)
değerlerini bulalım.
Çözüm:
i) (f + g) (2) = f (2) + g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) + (22 +1) = -
6 + 5 = -1,
(f – g) (2) = f (2) - g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) - (22 +1) = - 6
- 5 = -11,
(f.g) (2) = f (2).g (2) = (-2.22 + 3.2 - 4) . (22 +1) = - 6.5 =
-30,
bulunur . Benzer şekilde,
F O N K S İ Y O N K A V R A M I88
fg : A → IR ,
fg x =
f x g x ( her x ∈ A için g x ≠ 0 )
fg
fg
fg 2 = f 2 g 2
= - 2 . 22 + 3 . 2 - 422 + 1
= -65
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
ii) (f + g) (x) = f (x) + g (x) = (-2x2 +3x - 4) + (x2 + 1) =
-x2 +3x -3,
(f - g) (x) = f (x) – g (x) = (-2x2 +3x - 4) - (x2 + 1) = - 3x2
+3x -5,
(f.g) (x) = f (x) .g (x) = (-2x2 + 3x - 4) (x2 +1 ) = -2 x4 +
3x3 - 6x2 + 3x - 4,
(f + g) (2), (f – g) (2), (f . g) (2), ( 2) sayılarını son
bulduğumuz kurallara
göre bulup, yukarıda bulunan değerlerle karşılaştırınız.
f(x)= x2 + 3x -5 ve g(x)= -x2 + 3x + 4 fonksiyonlarının
toplamını ve farkını bulunuz.
Cevaplarınız 6x -1 ve 2x2 -9 olmalıdır.
Bire – bir fonksiyon
f: A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2
için f (x1) ≠ f (x2) isef fonksiyonuna bire – bir (1-1) fonksiyon
denir. Sözle ifade edersek, tanım kümesi-nin herhangi farklı iki
elemanının görüntüleri farklı ise, fonksiyona bire – bir fonksi-yon
denir.
Örnek: f : IN → IN , f (x) = 40 000 x fonksiyonu bire – birdir.
Çünkü x1, x2 ∈ INve x1 ≠ x2 için 40 000 x1 ≠ 40 000 x2 olduğundan f
(x1) ≠ f (x2) dir.
Örnek: f: IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir değildir.
Örneğin -2 ≠ 2 oldu-ğu halde f (-2) = f (2) = 4 dür. Farklı iki
elemanın görüntüsü eşit olduğundan bu fonksi-yon bire – bir
olamaz.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 - 6x + 7 fonksiyonunun bire –
bir olup olmadığınıaraştırınız.
Çözüm: Her x1 , x2 ∈ IR ve x1 ≠ x2 için f (x1) ≠ f (x2) olup
olmadığını görmekkolay görünmemektedir. Bu örnekte f(1) = 1- 6 + 7
= 2, f (5) = 25 - 30 +7 = 2 dir. Farklıiki elemanın görüntüleri
eşit olduğundan bu fonksiyon bire - bir değildir. Sizde buörnek
için görüntüleri eşit başka sayılar bulabilirsiniz. Ancak her zaman
bu kadarşanslı olmayabiliriz. Aşağıdaki önermeyi ispatladıktan
sonra, fonksiyonların bire –bir olup olmadıklarını biraz daha kolay
araştırabiliriz.
Önerme: f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer her x1, x2 ∈A ve f
(x1) = f (x2) ikenx1= x2 oluyorsa, f fonksiyonu bire – birdir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 89
fg x =
f xg x =
-2x2 + 3x - 4x2 + 1
.
fg ?
?
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
İspat: Bire – birliğin tanımına göre, her x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2
için f (x1) ≠ f (x2)olduğunu göstermeliyiz. En az bir x1 , x2 ∈ A ,
x1 ≠ x2 için f (x1) = f (x2) olamaz.Çünkü, f (x1) = f (x2) olsaydı,
hipoteze göre, x1= x2 olurdu. Bu ise x1 ≠ x2 ileçelişirdi.
Bu önerme bire – birliğin ikinci tanımı olarak alınabilir. Buna
göre, her x1, x2 ∈∈∈∈ A ve f (x1) = f (x2) iken x1= x2 oluyorsa, f
fonksiyonu bire – birdirdiyebiliriz.
Örnek : Yukarıda en son verdiğimiz örneğin bire – bir olmadığını
bir de buönermeyi kullanarak görmeye çalışalım.
f: IR → IR , f (x) = x2 – 6x + 7 olduğundan f (x1) = f (x2) ise
x12 - 6x1 + 7 = x22 – 6x2 + 7dır. Buradan
x12 - 6x1 - x22 + 6x2 = 0,
(x1 - x2) (x1 + x2 - 6) = 0,
x1 = x2 veya x1 + x2 = 6
bulunur. Bu eşitliklerin manası tanım kümesi olan IR den alınan
iki sayının f altındagörüntüleri eşitse ya bu sayılar eşittir, ya
da bu sayıların toplamı 6 dır. Tanım küme-si olan IR deki sayıların
toplamı 6 ise bu sayılar eşit olmak zorunda olmadığından(örneğin 1
ile 5, 2 ile 4 ... gibi) fonksiyon bire – bir değildir.
Örnek: f: IR → IR, f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire – bir
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: Herhangi x1 , x2 gerçel sayıları için f (x1) = f (x2) ise
x1 = x2 olduğunugöstermeliyiz.
f (x1) = f (x2) ise 2x1 + 1= 2x2 +1 dir. Buradan 2x1 = 2x2, x1 =
x2 elde edilir. Dolayı-sıyla fonksiyon bire – birdir.
Örnek: f: IR+ ∪ {0} → IR , f (x) = x2 fonksiyonunun bire – bir
olup olmadığını araştırı-nız.
Çözüm: Herhangi x1 , x2 ∈ IR + ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise
x12 = x22 dir.Buradan x12 – x22 = 0, (x1 – x2) (x1 + x2) = 0
buradan da x1 - x2 = 0 veya x1 + x2 = 0olmalıdır. Bu eşitliklerin
birincisinden x1 = x2 , ikincisinden x1 = - x2 elde edilir.
İkincieşitlik sadece x1= x2= 0 için doğrudur (x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
olduğunu hatırlayınız).Bu nedenle x1 = x2 olmak zorundadır.
Dolayısıyla fonksiyon bire – birdir.
IR üzerinde tanımlı f(x)= x2 fonksiyonunun bire – bir olmadığını
göstermiştik. Buörnekle, fonksiyonun bire – birliğinin, fonksiyonun
kuralı kadar tanım kümesine debağlı olduğunu görmüş olduk.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I90
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
f:IR →→→→ IR, f(x)= x3 -x fonksiyonunun bire-bir olmadığını
gösteriniz.
(f (0) ve f (1) değerlerini karşılaştırınız).
Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak bire – birliğine karar
veremeyiz. Kural-la birlikte tanım kümesini de göz önüne almamız
gerekir.
Örten fonksiyon
f : A → B fonksiyonu verilsin. Eğer f (A) = B ise yani değer
kümesindeki herhangi bireleman tanım kümesindeki en az bir elemanın
görüntüsü ise, f fonksiyonuna ör-ten fonksiyon denir. Fonksiyonun
örtenliğini şöyle de ifade edebiliriz. B değer kü-mesinden alınan
herhangi bir b elemanına karşılık, f (a) = b olacak şekilde A
tanımkümesinden en az bir a elemanı bulunabiliyorsa , f fonksiyonu
örtendir denir.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = 2x +1 fonksiyonunun örten olup
olmadığını araştıralım. Çözüm: Fonksiyonun örten olduğunu görmek
için her bir b ∈ IR için f (a ) = bolacak şekilde en az bir a ∈ IR
nin varlığını görmeliyiz.
f (a) = b ise 2a + 1 = b
dir. Buradan bulunur. b gerçel sayısı için de bir gerçel
sayıdır
ve fonksiyonun tanım kümesinin elemanıdır. Böylece herhangi bir
b sayısına karşılık f (a) = b koşulunu sağlayan bir a sayısı
bulabildiğimizden fonksiyon örtendir.
Örnek: g: IR → IR, g (x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığı
açıktır. Çünkü de-ğer kümesinden alacağımız herhangi bir negatif
sayı, örneğin - 1 , hiçbir gerçel sayı-nın karesine eşit olamaz,
dolayısıyla tanım kümesine ait hiçbir elemanın
görüntüsüdeğildir.
Buna karşılık f : IR → IR + ∪ {0}, f (x) = x2 fonksiyonu
örtendir. Çünkü değer küme-sinden alınacak herhangi bir b değeri,
hem hem de nin görüntüsüdür.
Bir fonksiyonun sadece kuralına bakarak örten olup olmadığına
karar vereme-yiz. Kuralla birlikte değer kümesini de göz önüne
almamız gerekir.
Bir fonksiyonun tanım kümesi ve kuralı değiştirilmeden,
fonksiyon örten bir fonk-siyona dönüştürülebilir. Bunun için değer
kümesi olarak görüntü kümesini almakyeterlidir. Yani, f : A → f (A)
fonksiyonu daima örten fonksiyondur.
Bir fonksiyonun bire-bir veya örten olmadığını göstermek için
tanımlarla uyuş-mayan elemanlar (sayılar) bulmak yeterli iken bu
özelliklerin varlığını görmekiçin genel ispat yapmamız gerektiğine
dikkat ediniz.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 91
a = b - 12
a = b - 12
?
- b b
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
f:[-2, 3] →→→→ B, f(x)= x2 fonksiyonunun örten olması için B
kümesi ne olmalıdır?
Cevabınız B= [0, 9] aralığı olmalıdır.
Bileşke Fonksiyon
f :A → B, g : B → C fonksiyonları verilsin. Herhangi bir x∈A
elemanını g (f (x))ile eşleyen, yani x i f (x) in g altındaki
görüntüsü ile eşleyen fonksiyona f ile g nin bi-leşkesi denir ve
gof ile gösterilir.
Buna göre, gof : A → C , (gof) (x) = g (f (x)) dir.
gof fonksiyonunun tanım kümesinin f nin tanım kümesi olan A,
değer kümesininise g nin değer kümesi olan C olduğuna dikkat
ediniz.
Örnek : A = {-1, 2, 3}, B = {0,1,4,5}, C = {1,2} kümeleri
veriliyor. Bu kümeler üzerinde,
f : A → B , f (- 1) = 5, f (2) = 0, f (3) = 1,
g : B → C , g (0) = 1, g (1) = 1, g (4) = 2, g (5) = 2
fonksiyonları tanımlanıyor.
gof fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: gof : A → C, (gof) (-1) = g (f (- 1)) = g (5) = 2,
(gof) (2) = g (f (2)) = g (0) = 1,
(gof) (3) = g (f(3)) = g (1) = 1dir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I92
A f Bg
C
-1
2
3
0
1
4
5
1
2
A f Bg
C
f(x)
gof g(f(x))x
?
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Örnek: f: IR → IR, f (x) = 3x + 1, g : IR → IR , g (x ) = x2 – 4
fonksiyonları veriliyor. (gof) (1), (gof) (2), (gof) (x), (fog)
(1), (fog) (2) ve (fog) (x) gö-rüntülerini bulalım.
Çözüm: (gof) (1) = g (f (1)) = g (3.1+1) = g (4) = 16 - 4 =
12,
(gof) (2) = g (f (2)) = g (3.2 +1) = g (7) = 49 - 4 = 45,
(gof) (x) = g (f (x)) = g ( 3x+1) = (3x +1 )2 - 4 = 9x2 + 6x
-3.
Bu son eşitlikle gof fonksiyonunun kuralını bulmuş olduk. (gof)
(1) ve (gof) (2) gö-rüntülerini bu kural yardımıyla da
bulabileceğinizi görünüz. Diğer sorulara cevapvermeden önce şunu
ifade edelim: gof tanımlı iken fog tanımlı olmayabilir. fog
nintanımlı olabilmesi için g nin görüntü kümesinin f nin tanım
kümesinin bir alt kümesiolması gerektiğini görmeye çalışınız. Bu
soruda bu koşul sağlanmaktadır. Bu ne-denle soru anlamlıdır.
(fog) (1) = f (g (1)) = f (12 - 4) = f (-3) = 3.(-3) +1 = -
8,
(fog) (2) = f ( g(2)) = f (22 -4) = f (0) = 3.0 +1 = 1,
(fog) (x) = f (g (x)) = f (x2 - 4) = 3 (x2 – 4) + 1 = 3x2
–11.
Bu örnekten de görüldüğü gibi, genel olarak
gof ≠≠≠≠ fog
dir.
f : A →→→→ B, g: B →→→→ C, h : C →→→→ D fonksiyonları
verildiğinde
fo (goh) = (fog) ohdir.
fonksiyonları verilsin.gof ve fog bileşke fonksiyonlarını
bulunuz.
Cevaplarınız gof: IR+ ∪ { 0 } → IR , (gof) (x) = - x - 1 , fog
ise "tanımsızdır" olmalıdır.
Örnek: f: IR→ IR, f (x) = x2 +1 olduğuna göre f (x - 2) yi
bulunuz.
Çözüm: g (x) = f (x - 2) dersek, g fonksiyonu h (x) = x - 2
fonksiyonu ile f (x) =x2 + 1 fonksiyonunun bileşkesidir. Bu nedenle
g (x) i bulmak için x2 + 1 ifadesin-de x yerine x – 2 yazmak
yeterlidir. Buna göre,
f (x - 2) = (x - 2)2 + 1 = x2 - 4x + 5 bulunur.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 93
f : IR+∪ 0 → IR , f x = x ve g : IR → IR , g x = -x2 - 1 ?
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
g: IR →→→→ IR, g (x) = x3 – 4x + 2 olduğuna göre , g (x + 1) i
bulunuz.
Cevabınız x3 + 3x2 - x -1 olmalıdır.
Ters fonksiyon
f: A → B fonksiyonu verildiğinde tanım kümesine ait herhangi bir
elemanın gö-rüntüsünü, diğer bir deyişle x in resmini f(x) kuralı
ile bulabiliyoruz. Acaba resmibilirsek aslı bulabilir miyiz? Şimdi
bu soruya cevap vermeye çalışacağız. f (A) gö-rüntü kümesinden
alınan herhangi bir eleman, görüntü kümesinin tanımı gere-ği, tanım
kümesinden en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu nedenle herhangibir
b ∈ f (A) elemanına karşılık f (a) = b olacak şekilde en az bir a ∈
A elemanıbulabiliriz. Ancak fonksiyon bire – bir değilse b ye
karşılık bulunan a birden fazlaolabilir. Eğer f fonksiyonu bire –
bir olursa, herhangi bir b ∈ f( A) için f (a) = bolacak şekilde tek
bir a ∈ A bulunur ve dolayısıyla ters yönde bir eşlemeyle, yani
f(A) dan A ya tanımlanan yeni bir fonksiyonla b ye karşı gelen a yı
bulabiliriz. İştebu eşlemeye f nin ters fonksiyonu denir.
f: A →→→→ B bire – bir fonksiyonu verilsin. f (A) görüntü
kümesinden alınan herhan-gi bir görüntüyü (resmi) A daki aslına
gönderen fonksiyona f nin ters fonksiyonudenir ve f -1 ile
gösterilir.
Buna göre,
f -1: f (A) → A, f-1 (b) = a ⇔ f (a) = b.
Örnek: A ={1,2,3,4}, B ={- 1, - 4, - 7, -10, - 15 } olmak üzere
A dan B ye aşağıdakiVenn şeması ile verilen f fonksiyonu
tanımlanıyor.
Bu f fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulalım.
f nin bire – bir olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle f (A) =
{- 1, - 4, - 7, - 10 } küme-sinden A kümesine f -1 tersi fonksiyonu
vardır.
f -1 : {- 1, - 4, - 7, - 10 } → {1, 2, 3,4}
ve
F O N K S İ Y O N K A V R A M I94
?
A f B
1
2
3
4
-1
-4
-7
-10
-15
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
f (1) = -1 olduğundan f -1 (-1) = 1,
f (2) = - 4 “ f -1 (- 4) = 2,
f (3) = -7 “ f -1 (-7) = 3,
f (4) = -10 “ f -1 (- 10) = 4
dir. f–1 fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıdaki
gibidir.
i) f: A →→→→ B fonksiyonunun ters fonksiyonu varsa, f -1: f (A)
→→→→ A tersfonksiyonunun bire – bir ve örten olduğuna dikkat
ediniz.ii) f fonksiyonu bire – bir ve örten ise, ters fonksiyonun
değer kümesinden tanımkümesine tanımlandığına dikkat ediniz.
Örnek: f : IR+ ∪ {0} → IR, f (x) = x2 +1fonksiyonunun varsa ters
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Ters fonksiyonun olması için f nin bire – bir olması
gerekir. Şimdi bunuaraştıralım.
x1 , x2 ∈ IR+ ∪ {0} için f (x1) = f (x2) ise x1 = x 2 olduğunu
görmeliyiz.
f (x1) = f (x2) ⇒ x12 +1 = x22 +1
(x1 – x2) (x1 + x2) = 0,
buradan da x1 = x2 veya x1 = - x2 bulunur. x1, x2 ∈ IR + ∪ {0}
olduğundan x1 = - x2eşitliği ancak x1= x2= 0 ise mümkündür, bunun
dışında x1= -x2 olamaz. Bu nedenlex1 = x2 olmalıdır, dolayısıyla
fonksiyon bire – birdir. Fonksiyon bire – bir olduğundanters
fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonun tanım kümesi, f nin f ( IR + ∪
{0}) görüntükümesi olduğundan, bu görüntü kümesini bulalım
(fonksiyon örten ise görüntükümesinin değer kümesi olduğunu
hatırlayınız).
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 95
f(A) f A
-1
-4
-7
-10
-1
1
2
3
4
⇒ x12 - x22 = 0,
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Her x ∈ IR + ∪ (0} için x2 ≥ 0 olduğundan x2 + 1 ≥ 1 dır. Buna
göre görüntü kümesi[1, ∞ ) aralığı olabilir. Bu aralığın görüntü
kümesi olduğunu görmek için, bu ara-lıktan alacağımız herhangi bir
b sayısına karşılık f (a) = b olacak şekilde tanımkümesinde bir a
elemanının varlığını görmeliyiz. a2 + 1 = b ise a2 = b – 1 dir .b ∈
[1, ∞) olduğundan b–1 ≥ 0 dır. Buradan veya bulunur.
olmasına karşılık dır. Dolayısıyla aradığımız asayısı dir.
Böylece [1, ∞ ) aralığına ait herhangi bir sayının tanım
kümesineait bir sayının görüntüsü olduğunu, yani [1, ∞ ) aralığının
fonksiyonun görüntükümesine eşit olduğunu göstermiş olduk. Buna
göre,
f -1 : [1, ∞ ) → IR+ ∪ {0}
dır. Şimdi de ters fonksiyonun kuralını bulalım.
f : x x2 + 1= y
olduğundan
f -1 : y = x2 + 1 x dir. f -1 fonksiyonu altında y değişkeni, x
değişkenine dönüştüğünden x i y tü-ründen ifade edersek, y ye karşı
gelen x görüntülerini daha kolay bulabiliriz.
y = x2 + 1 , x2 = y – 1 buradan da bulunur. Burada y >1
için
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}, y ,
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0} ,
dir.
Genellikle fonksiyonlarda bağımsız değişkeni x ile
gösterdiğimizden ve ileride gra-fik çiziminde de sorun yaratmamak
amacıyla bu ters fonksiyonu şu şekilde ifadeedeceğiz:
f -1 : [1, ∞ ) → IR + ∪ {0}, f -1 (x ) = .
y = f (x) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulmak için, önce y =
f (x) eşitliğindenx değişkeni y türünden hesaplanır daha sonra x
yerine y , y yerine x yazılır. Örnek: f: R → R , f (x) = 3x + 5
fonksiyonunun varsa ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: f fonksiyonunun bire-bir olduğunu kolayca görebiliriz. Bu
nedenle fonksi-yonun ters fonksiyonu vardır. Ayrıca f örten
olduğundan, f -1: IR → IR dir. Ters
F O N K S İ Y O N K A V R A M I96
x = y - 1 , x = - y - 1 - y - 1 ∉ R+ ∪ 0 dır. O halde,
x = y - 1
f-1 y = y - 1
x - 1
a = - b - 1 a = b - 1 - b - 1∉ IR+ b - 1∈ IR+ ∪ 0
b - 1
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
fonksiyonun kuralını bulmak için, y = 3x + 5 ifadesinde x i y
cinsinden çözüp x yeriney , y yerine x yazalım.
y = 3x + 5 , 3x = y – 5 buradan da bulunur. Şimdi x yerine y, y
yerine x ya-
zarsak, elde ederiz. Buna göre ters fonksiyon
f -1: IR → IR, y = f -1 (x) =
dir.
f : A → B bire – bir ve örten fonksiyon ise, aşağıdaki Venn
şemasından görüldü-ğü gibi x ∈A için (f -1of) (x) = x dir.
Dolayısıyla f -1of = IA dir.
Benzer bir şema ile fof -1 = IB olduğunu da siz gösteriniz.
Örnek: f : IR → IR , f (x) = x2 fonksiyonu bire – bir
olmadığından ters fonksiyonuyoktur. Buna karşılık,
g : IR + ∪ { 0} → IR , g (x) = x2 fonksiyonunun ters fonksiyonu
vardır ve g (IR + ∪ {0}) = R+ ∪ {0} olduğundan
g -1 : IR + ∪ {0} → IR+ ∪ {0} , g -1 (x) =
dir.
a ve b gerçel sayılar ve a≠ 0 olmak üzere f: IR →→→→ IR , f(x) =
ax + b fonksiyonu-nun ters fonksiyonunu bulunuz.
Cevabınız f -1: IR → IR , f -1(x) =
h : IR →→→→ IR, h (x) = x3 fonksiyonunun ters fonksiyonunun var
ve
h -1 : IR →→→→ IR , h -1(x) =
olduğunu gösteriniz.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 97
A
x
fB A
f(x)
f of f (f(x)) = x
f-1
-1 -1
x
x3
?
x = y - 53
y = x - 53
x - 53
x - ba olmalıdır.
?
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
3. Fonksiyon GrafikleriA ve B boş kümeden farklı iki küme olmak
üzere, f : A → B fonksiyonu verildi-ğinde bu fonksiyonu
f = {(x , y)| y = f (x) , x ∈ A }
şeklinde bir ikililer kümesi olarak düşünebiliriz. Bu düşünce,
analitik geometri bil-gilerimizle, fonksiyonları geometrik olarak
temsil etme , fonksiyonun" resmini" çiz-me olanağı sağlamıştır.
İnsanoğlu resmini çizebildiği soyut kavramları daha iyi
an-layabilmekte ve bu tür kavramlar arasında daha kolay ilişki
kurabilmektedir. Bu ne-denle resmini çizebildiğimiz ( bu resme
fonksiyonun grafiği denir) fonksiyonlarındavranışlarını daha kolay
anlayabilmekteyiz. Bir fonksiyonun grafiği konusunageçmeden önce
düzlemdeki kartezyen koordinat sistemini tanıtmaya çalışalım.
Düzlemde, sıfıra karşı gelen noktalarında birbirini dik olarak
kesen yatay ve düşeydoğrultuda iki sayı ekseni alalım. Bu sayı
eksenlerinde yatay olanı soldan sağa , dü-şey olanı da aşağıdan
yukarı doğru yönlendirelim. Yani, pozitif yön, yatay doğruüzerinde
soldan – sağa, düşey doğru üzerinde ise aşağıdan – yukarıya doğru
olsun.Böylece oluşturulan yatay eksene apsisler ekseni (x-ekseni),
düşey eksene ordinat-lar ekseni (y-ekseni), bu iki eksenin
oluşturduğu sisteme kartezyen koordinat sis-temi veya dik koordinat
sistemi veya kısaca koordinat sistemi , eksenlerin kesiştik-leri
noktaya da başlangıç noktası veya orijin denir. Düzlemde böyle bir
koordinatsistemi belirlendikten sonra, düzlemin noktaları aşağıda
açıklayacağımız şekildeadreslenebilmekte ve bu sayede birçok
geometri problemleri cebirsel yöntemlerleçözülebilmektedir. Bu tür
geometriye de analitik geometri denilmektedir. Bu dü-şünceyi ilk
kez ünlü filozof Descartes ortaya attığından bu koordinat sistemine
Des-cartes'in sistemi anlamında kartezyen koordinat sistemi
denilmektedir.
Düzlemde bir kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat
sistemi yardımıy-la düzlemin noktaları ile IR x IR = {(x,y): x,y ∈
IR } kartezyen çarpım kümesinin ele-manları arasında bire – bir
eşleme kurmaya çalışacağız. Bunun için düzlemde bir Pnoktası alalım
ve bu noktadan yatay ve düşey eksenlere birer dikme çizelim. Bu
dik-melerin birer tane olduğunu Euclid (Öklid) geometrisi
derslerinden bilmekteyiz.Yatay eksene çizilen dikmenin bu ekseni
kestiği noktaya karşı gelen sayıya x, düşeyeksene çizilen dikmenin
bu ekseni kestiği noktaya karşı gelen sayıya ise y diyelim.Yatay ve
düşey eksenler sayı doğrusu olduklarından her noktaya karşılık bir
ve yal-nız bir gerçel sayı vardır. Bu nedenle böyle x ve y sayıları
vardır ve bunlar tektir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I98
y
0x
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Böylece elde ettiğimiz x ve y sayıları ile sıraya da dikkat
ederek, yani yatay eksendenbulduğumuz sayıyı birinci, düşey
eksenden bulduğumuz sayıyı ikinci bileşen ala-rak, (x, y) sıralı
ikilisini elde ederiz. Bu yolla düzlemdeki her bir P noktasına
karşılık(x,y) gibi bir tek gerçel sayı ikilisi bulmuş oluruz.
Tersine, (x,y) gibi bir gerçel sayıikilisi verildiğinde, x sayısına
yatay eksen üzerinde , y sayısına ise düşey eksen üze-rinde karşı
gelen noktaları belirledikten sonra, bu noktalardan üzerinde
bulunduk-ları eksenlere birer dik çizersek bu dikmeler P gibi bir
noktada kesişirler. Bu P nokta-sını (x,y) gerçel sayı ikilisine
düzlemde karşı gelen nokta olarak aldığımızda, gerçelsayı ikilileri
ile düzlemin noktaları arasında bire-bir bir eşleme kurmuş oluruz.
Bueşleme nedeniyle düzlemdeki herhangi bir noktaya bir gerçel sayı
ikilisi, tersine her-hangi bir gerçel sayı ikilisine de düzlemde
bir nokta gözüyle bakabiliriz.
Düzlemde alınan herhangi bir P noktasına yukarıdaki eşleme ile
karşı gelen gerçelsayı ikilisi (x, y) ise x e P noktasının apsisi,
y ye P noktasının ordinatı, (x,y) ikilisinede P noktasının
koordinatları denir ve P noktası, P = (x,y) veya P(x,y)
şeklindegösterilir.
Örnek: Düzlemde A (2,1); B (-1,3) ; C (0,-3); D (-3,-2); E (-
0,5 , 2); gerçelsayı ikililerine karşı gelen noktaları
işaretleyiniz.
Çözüm: Birinci bileşenlere yatay eksen üzerinde , ikinci
bileşenlere düşey eksenüzerinde karşı gelen noktaları bulduktan
sonra her bir noktadan üzerinde bulundu-ğu eksene birer dik
çizersek, karşılıklı dikmelerin kesiştikleri noktalar
aradığımıznoktalar olacaktır.
Şimdi fonksiyonun grafiği konusuna dönelim.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 99
P = (x, y)
x
y
F 5 , 3
1
0,5-1 2
3
E
B F
A
-3
-2
-3
D
C
5
2
•
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
A ⊂ IR ve B ⊂ IR olmak üzere f: A → B fonksiyonu verildiğinde,
bu fonksiyonu f = {(x,y)| y = f (x), x ∈ A} şeklinde bir ikililer
kümesi olarak düşünebileceğimizi yu-karıda ifade etmiştik. Bu
ikililer kümesinin elemanı olan her bir ikili düzlemin birnoktası
ile geometrik olarak temsil edilebilir. Böylece f kümesinin elemanı
olan her-hangi bir (x,y) ikilisine düzlemin tek bir noktası
karşılık getirilebilir. İşte f kümesi-nin elemanı olan (x,f (x))
ikililerine düzlemde karşı gelen noktaların kümesine ffonksiyonunun
grafiği denir.
f : A →→→→ B fonksiyonu verilsin. f = {(x,y)| y = f (x), x ∈∈∈∈
A} kümesinin elemanla-rına düzlemde karşı gelen noktaların kümesine
f fonksiyonunun grafiği denir.
Örnek: A = {-2, -1, - 0, 5, 0, 0, 5, 1, , 2} olmak üzere, f: A →
IR , f (x) = 2x + 1fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm: f = {(-2, - 3),(-1, -1),(-0,5 , 0),(0,1),(0,5 , 2),(1,3),
( ),(2,5)} dir. Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktaların kümesi
fonksiyonun grafiği olacaktır.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I100
2
2 , 2 2 + 1
f:{-2, -1, -0,5, 0, 0,5, 1, , 2} → IR, f(x )= 2x + 12
Şekil 3.1:
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Fonksiyonun grafiği olarak bulduğumuz bu noktaların bir doğru
üzerinde olduğu-nu bir cetvel yardımıyla kontrol edebiliriz. Burada
tanım kümesinde az sayıda ele-man bulunduğundan grafiği oluşturan
noktaları tek tek bulmak mümkündür. Ta-nım kümesinde eleman sayısı
çok sayıda hatta sayılamaz sayıda olabilir, bu durum-larda grafiği,
fonksiyonu oluşturan tüm ikilileri yazıp daha sonra bunlara karşı
ge-len noktaları işaretleyerek bulamayız. Ancak tanım kümesine ait
sonlu tane x1,x2,...,xn değerleri seçilir ve fonksiyonun bu
noktalardaki değerleri olan y1 = f(x1), y2 = f (x2),...,yn= f (xn)
bulunduktan sonra düzlemde (x1, y1),(x2, y2),....,(xn,
yn)ikililerine karşı gelen noktalar “düzgün” bir eğri ile
birleştirilerek y = f (x) fonksiyo-nunun grafiği denilen eğri
bulunur. Tanım kümesinden ne kadar çok ve ne kadaryaygın eleman
seçilirse fonksiyonun gerçek grafiğine o kadar yakın bir eğri
bulu-nur. Daha sonraki ünitelerde inceleyeceğimiz türev kavramından
sonra fonksiyo-nun grafiği daha hassas ve gerçeğe yakın
çizilebilecektir. Bazı durumlarda da grafikbilinen bir eğri
olabilir, bu durumda bu eğriyi daha kolay çizebiliriz. Örneğin
eğerfonksiyon
g : IR → IR , g (x) = 2x + 1
ise, bu fonksiyonun grafiğinin bir doğru olduğu ünite 4 de
görülecektir. Bu doğruyukarıda bulduğumuz noktaları taşıyan
doğrudur.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 101
g:IR → IR , g(x)= 2x + 1
Şekil 3.2:
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
f: IR →→→→ IR , f (x) = x fonksiyonunun grafiğinin aşağıdaki
doğru olduğunu görü-nüz.
Örnek: A = {-2, , -1 , - 0 ,5 , 0 , 0 ,5 , 1 , , 2} olmak üzere,
f :A → IR, f (x) = x2 fonksiyonunun grafiğ ini ç izel im.
Çözüm: f = {(-2, 4), (-1,1), (- 0,5, 0,25) , (0,0) , (0,5, 0,25)
, (1,1), (2,4)} dir. Fonksiyonu oluşturan ikililerde birinci
bileşen x bağım-sız değişkenini gösterirken ikinci bileşen x in f
altındaki görüntüsünü, diğer bir de-yişle x e karşı gelen y
değerini ifade ettiğinden fonksiyonu oluşturan ikililer aşağı-daki
tablodaki gibi de verilebilir.
Bu ikililere düzlemde karşı gelen noktalar ve dolayısıyla
fonksiyonun grafiği aşağı-daki gibidir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I102
2 , 3
- 3 , 3 , - 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 ,
f: IR → IR , f(x)= x
Şekil 3.3:
x
y
-2
4 3 2
-1
1
- 0,5
0,25
0
0 0,25
1
1 2 3 4
- 3 - 2 0,5 3 22
?
- 3 , - 2
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Eğer fonksiyon g: IR → IR, g (x) = x2 olsaydı onun grafiği
yukarıda bulduğumuznoktalardan geçen “düzgün” bir eğri olurdu. Bu
eğriye parabol denir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 103
f: -2 , - 3 , - 2 , -1 , -0,5 , 0, 0,5 , 1, 2 , 3 , 2 → IR , f x
= x2 Şekil 3.4:
g: IR → IR , g(x)= x2
Şekil 3.5:
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Eğer fonksiyon h : IR → IR , h (x) = - x2 olsaydı bu fonksiyonun
grafiği bir öncekig fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre
simetriği olurdu. Çünkü (x,y) ∈ g iken(x, -y) ∈ h dir.
Örnek : f: IR+∪ {0} →IR, f (x) = fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
Çözüm: Tanım kümesine ait bazı noktaların görüntülerini bulalım
(tanım kümesinegatif olmayan sayılar kümesidir).
Bu tabloya göre, (0, 0), (0,25, 0,5), (0,5, 0, 707), (1, 1),
(1,44, 2), (2, 1,41), (3, 1,73), (4, 2), (5, 2,24) ikililerine
karşı gelen noktalar f nin grafiğine aittir (burada irrasyonel
sayı-ların yaklaşık değerlerini aldığımıza dikkat ediniz).
Bu ikililere karşı gelen noktalar işaretlendikten sonra bu
noktalar “düzgün” bir eğriile birleştirilirse, bu fonksiyonun
grafiği olan aşağıdaki eğri elde edilir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I104
h:IR → IR , h(x)= -x2
Şekil 3.6:
x
x
y
0 0,25 0,5 1 1,44 2 3 4 5
0 0,5 0,707 1 1,2 1,41 1,73 2 2,24
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Örnek: f: IR → IR , f (x) = 3 sabit fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
Çözüm:Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için tablo hazırlamaya
gerek yoktur.Çünkü tüm x gerçel sayılarının görüntüsü 3 tür. Yani f
= {(x,3): x ∈ IR} dir. Bu ne-denle fonksiyonun grafiği, şekilde
görüldüğü gibi x- eksenine paralel bir doğrudur.
NOT:
i) Bazı fonksiyonların grafiğini çizmek mümkün değildir. Örneğin
Dirichletfonksiyonu dediğimiz, rasyonel sayıları 1 ile irrasyonel
sayıları 0 ile eşleyenfonksiyonun grafiğini çizmek mümkün
değildir.
ii) Bir fonksiyonun grafiği verildiğinde herhangi bir x0
değerinin bu fonksiyonaltındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun
için, x0 noktasından x-eksenine dikbir doğru çizilirse bu doğrunun
grafiği kestiği noktanın y0 ordinatı, x0 ın f altın-daki görüntüsü
olur.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 105
f: IR+ ∪ {0} → IR , f(x)= x
Şekil 3.7:
y
3
x
x
y
0
0
y
xx0
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Düzlemdeki herhangi bir eğri her zaman bir fonksiyon grafiği
midir?
Eğer x-eksenine çizilen her dik doğru eğriyi en çok bir noktada
kesiyorsa, bu eğri,uygun bir küme üzerinde tanımlanmış bir
fonksiyon grafiği olarak düşünülebilir.Eğer x- eksenine çizilen dik
doğrulardan bir tanesi dahi eğriyi iki veya daha çok nok-tada
kesiyorsa bu eğri bir fonksiyon grafiği olamaz. Örneğin aşağıdaki
şekildeki eğ-ri bir fonksiyon grafiği değildir.
Bir fonksiyonun grafiğini bilirsek , o fonksiyonun bire – bir
olup olmadığına kolaycakarar verebiliriz. Eğer apsisler eksenine
paralel olarak çizilen her doğru grafiği ençok bir noktada keserse
fonksiyon bire – birdir. Eğer apsisler eksenine paralel
olarakçizilen doğrulardan bir tanesi dahi grafiği birden fazla
noktada keserse fonksiyonbire – bir değildir.
f: A → B fonksiyonu bire – bir ise bu fonksiyonun, f -1: f (A) →
A ters fonksiyo-nunun varlığını biliyoruz. Bu durumda, x ∈ A, y ∈ f
(A) olmak üzere, (x,y) ∈f iken (y,x) ∈f -1 dir. Yani (x,y)
ikilisine düzlemde karşı gelen nokta f nin gra-fiğine ait bir nokta
iken, (y,x) ikilisine karşı gelen nokta f-1 in grafiğine ait bir
nokta-dır. Bu iki nokta birinci ile üçüncü bölgenin açıortay
doğrusuna göre simetrik oldu-ğundan f -1 in grafiği, f nin
grafiğinin bu açıortay doğrusuna göre simetriği-dir. Bu açıortay
doğrusu h : IR → IR , h (x) = x fonksiyonunun grafiği olduğun-dan,
bu doğru, y = x doğrusu olur. O halde,
F O N K S İ Y O N K A V R A M I106
?
y
x
0
x
Bire - bir fonksiyon Bire - bir olmayan fonksiyon
y
cba
yy
x
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Aynı koordinat sisteminde f -1 ters fonksiyonunun grafiği, f
fonksiyonunun gra-fiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir
diyebiliriz.
Örnek: f: IR → IR , f (x) = 2x fonksiyonunun ters
fonksiyonunun
f -1: IR → IR , f -1 (x) = olduğunu biliyoruz. Şimdi bu iki
fonksiyonun grafiklerini
aynı koordinat sisteminde çizelim.
f (x) = 2x fonksiyonunun grafiğine ait bazı noktaları
bulalım.
y = 2x fonksiyonunun grafiği çizildikten sonra bu grafiğin y = x
doğrusuna göre si-metriği de ters fonksiyonunun grafiğidir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 107
(x, y)y
x
x y
(y, x)
y= x2
x2
x
y = 2x
-3 -2 -1,5 -1 0 0,5 1 1,5 2 3
-6 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 6
Şekil 3.8:
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Örnek : f: IR → IR , f (x) = x3 fonksiyonunun ters
fonksiyonunun
f -1: IR → IR , f -1 (x) = olduğunu yukarıda ifade etmiştik.
Şimdi bu iki fonksi-yonun grafiğini aynı koordinat siteminde
görelim.
A ⊂ IR olmak üzere, f: A → IR fonksiyonu verilsin. f
fonksiyonunun grafiği bilin-diğinde bu fonksiyon yardımıyla
tanımlanan g: A → IR, g (x) = f (x) + a , (a ∈ IR),fonksiyonunun
grafiği de bulunabilir. Bunun için f nin grafiğini y-ekseni
doğrultusun-da, a pozitif ise yukarı doğru, a negatif ise aşağı
doğru|a| birim kaydırmak yeterlidir.Çünkü, (x0 , y0) noktası f nin
grafiğine ait bir nokta ise, (x0 , y0 + a) noktası da g
ningrafiğine ait bir noktadır. (x0 , y0 + a) noktası (x0 , y0)
noktasının y-ekseni doğrultu-sunda, a nın işaretine göre |a| birim
kaydırılmışı olduğundan g nin grafiği f nin grafiği-nin y-ekseni
doğrultusunda |a| birim kaydırılmışıdır.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I108
x3
Şekil 3.9:
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Örnek: g: IR → IR g (x) = x2 + 2 fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
Çözüm: Bu fonksiyonda f (x) = x2 ve a = 2 alabiliriz. Buna göre,
g nin grafiği f ningrafiğinin y ekseninin pozitif yönünde (yukarı
doğru) 2 birim kaydırılmışıdır.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 109
Şekil 3.10:
Şekil 3.11:
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
y = x3 - 1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Cevabınız şu şekilde
olmalıydı.
f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla
tanımlanan g (x) = f (x – a) , (a ∈ IR) fonksiyonunun grafiği
bulunabilir. g nin grafiği, f ningrafiğinin x ekseni doğrultusunda
|a| birim , a pozitif ise sağa doğru, a negatif isesola doğru
kaydırılmışıdır. Çünkü bir (x0 , y0) noktası f nin grafiğine ait
ise y0 = f(x0) demektir. Yani f nin x0 daki değeri y0 dır. g
fonksiyonu aynı y0 değerini x0 +a noktasında alır, çünkü g (x0 + a)
= f (x0 + a – a ) = f(x0) dır. Buna göre, (x0 + a,y0) noktası g nin
grafiğine aittir. (x0 + a, y0) noktası (x0 , y0) noktasının x -
eksenidoğrultusunda a nın işaretine göre |a| birim kaydırılmışı
olduğundan, g nin grafiğif nin grafiğinin x ekseni doğrultusunda
|a| birim kaydırılmışıdır.
Örnek: a) y = (x-1)3
b) y = (x + 2)2
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
Çözüm: a) f (x) = x3 ve a = 1 alınabilir. Buna göre, y = (x-1)3
fonksiyonunun grafiği,y = x3 fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni
doğrultusunda ve pozitif yönde (sağadoğru) 1 birim
kaydırılmışıdır.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I110
?
Şekil 3.12:
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
b) f (x) = x2 ve a = -2 alınabilir. Buna göre y = (x + 2 )2
fonksiyonunun grafiği aşağıda-ki gibidir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 111
Şekil 3.13:
Şekil 3.14:
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
f fonksiyonunun grafiği bilindiğinde bu fonksiyon yardımıyla
tanımlanan g (x) = f (x -a) + b, ( a,b ∈ IR) fonksiyonunun
grafiğini bulabiliriz. g fonksiyonu-nun grafiği, yukarıdaki iki
kaydırma işlemi yardımıyla kolayca bulunabilir. Bununiçin f nin
grafiği önce x-ekseni doğrultusunda, yöne de dikkat ederek, |a|
birim kay-dırılır, daha sonra elde edilen yeni grafik y- ekseni
doğrultusunda yine yöne dikkatederek |b| birim kaydırılır.
Örnek: g(x) = (x + 1)2 + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Burada f (x) = x2 , a = -1 , b = 3 alabiliriz. Bu nedenle
y = x2 fonksiyonu-nun grafiği önce x-ekseni doğrultusunda sola
doğru 1 birim kaydırılır, daha sonrayeni grafik y-ekseni
doğrultusunda yukarı doğru 3 birim kaydırılırsa g nin grafiğielde
edilir.
y = (x-2)2 - 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I112
Şekil 3.15:
?
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Cevabınız aşağıdaki gibi olmalıdır.
f1: IR → IR ve f2 : IR → IR fonksiyonları verilsin.
gibi tanımlanan f: IR → IR fonksiyonuna parçalı tanımlı
fonksiyon denir. Tanım-dan görüldüğü gibi f(x), x ın a ya kadar
olan değerlerinde f1 (x) e, a dan sonraki de-ğerlerinde ise f2(x) e
eşittir. Parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmek için x ina ya
kadar olan değerleri için y= f1 (x) in, x in a dan sonraki
değerleri için ise y= f2(x) in grafiğini çizmek gerekiyor.
Benzer yolla iki tane yerine, sonlu tane fonksiyonlarla
belirlenen parçalı fonksiyon-lar tanımlanabilir.
Aşağıda tanımlarını vereceğimiz mutlak değer, tam değer ve
işaret fonksiyonlarıparçalı fonksiyonlardır.
f: IR → IR , f(x)= |x| fonksiyonuna mutlak değer fonksiyonu
denir.
Şimdi mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizelim.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 113
Şekil 3.16:
f x = f1 x , x ≤ a isef2 x , x > a ise veya f x = f1 x , x
< a ise f2 x , x ≥ a ise
f : IR → IR , f x = x = x , x ≥ 0 ise, -x , x < 0 ise,
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
yazılabilir. Bu yazıma göre, grafik, x ≥ 0 için y= x olduğundan
y= x doğrusunun I.bölgedeki parçası ile, x < 0 için y= -x
olduğundan y= -x doğrusunun ikinci bölgede-ki parçasından
oluşur.
f: IR →→→→ IR , f(x)= |x - 2|,
g: IR →→→→ IR , g(x)= - |x| + 2
fonksiyonlarının grafiklerinin aşağıdaki biçimde olduğunu
görmeye çalışınız.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I114
f: IR → IR , f(x)= |x|
Şekil 3.17:
f: IR → IR , f(x)= |x - 2|
Şekil 3.18:
?
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Bir x ∈ IR sayısı verilsin. x den büyük olmayan (yani küçük veya
eşit) en büyük tamsayıya x in tam değeri denir ve [x] biçiminde
gösterilir. Örneğin [ 1, 5 ]= 1, [ 0, 9 ]= 0, [ π ]= 3, [ - π ]= -
4, [ 0 ]= 0, [ - 2 ]= - 2, [ 100 ]= 100.
f: IR → IR , f(x)= [ x ] fonksiyonuna tam değer fonksiyonu
denir. Bu fonksiyonu-nun grafiği sonsuz basamaklı bir merdivene
benzer. Bunun hakkında bir fikir ver-mek için, g: [- 1, 2] → IR ,
g(x)= [ x ] fonksiyonunun grafiğini çizelim.
-1 ≤ x < 0 ise [ x ]= -1 olduğundan g(x)= -10 ≤ x < 1 ise
[ x ]= 0 olduğundan g(x)= 01 ≤ x < 2 ise [ x ]= 1 olduğundan
g(x)= 1x= 2 ise [ x ]= 2 olduğundan g(x)= 2
dir. Buna göre g nin grafiği aşağıdaki gibidir.
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 115
Şekil 3.19:
- 12
= - 1 ,
y
2
1
x2
-1
1
-1
g: IR → IR , g(x)= -|x| + 2
Şekil 3.20:
g: [-1, 2] → IR , g(x)= [ x ]
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
fonksiyonuna işaret fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun grafiğinin
aşağıdaki biçim-de olduğu kolayca görülebilir.
İşaret fonksiyonu f(x)= sgnx gibi de gösterilir.
Değerlendirme Soruları1. Alanı 10 birim kare, bir taban uzunluğu
4 birim olan bir yamuğun yüksekliğini
diğer tabanının x uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazımı
aşağıdakilerdenhangisidir?
A.
B.
C.
D.
E.
2. Kenar uzunluğu x cm (x > 4) olan bir karenin her
köşesinden, kenar uzun-lukları 2 cm olan küçük kareler kesilip
çıkarılmış ve sonra kenarlar kıvrılaraküstü açık bir kutu
yapılmıştır. Bu kutunun hacminin (cm3) x in fonksiyonuolarak yazımı
aşağıdakilerden hangisidir?A. 2x2 + 16x + 32B. 2x2 + 32C. 2x2 + 16x
- 32D. x2 + 16E. 2x2 - 16x + 32
F O N K S İ Y O N K A V R A M I116
f : IR → IR , f x = 1 , x > 0 ise 0 , x = 0 ise-1 , x < 0
ise
y
1
x
-1
204 - x
4 + x20
204 + x
x5
5x
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
3.fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?
A. IR
B.
C. IR+
D.
E. (- ∞, 1]
4. fonksiyonunun tanım kümesi hangisidir?
A. [-1, 1]B. [0, 1]C.
D. (-1, 1)E. (-1, 0)
5. f: IR → IR , f(x) = x2 - 2x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesi
hangisidir?A. IRB. [1, ∞)C. IR+ ∪ {0}D. (- ∞, 1]E. (- ∞, 0]
6. f: IR → IR , f(x) = 2 - |x| fonksiyonu görüntü kümesi
hangisidir?A. (- ∞, 2]B. (- ∞, 2)C. IRD. IR+ ∪ {0}E. IR- ∪ {0}
7. f: IR → IR , f(x) = x2 + x için f(x - 1) - f(-x)
aşağıdakilerden hangisidir?A. xB. 2C. 2xD. 0E. x - 1
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 117
f x = - 3x2 + 4x - 1
13
, 1
13
, 1
f x = 11 - x2
- 12
, 12
-
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
8.A. xB. 1C. - xD. 0E. x + 1
9. f: A → IR , f(x) = x2 - 2x fonksiyonu verilsin. A kümesi
aşağıdakilerden han-gisi olduğunda bu fonksiyon A üzerinde
bire-birdir?A. [1/2, ∞)B. IR+ ∪ {0}C. [-1, ∞)D. [1, ∞)E. (- ∞,
2]
10. f: [-1, 2) → B, f(x)= x2 fonksiyonu verilsin. B kümesi
aşağıdakilerden hangisiolduğunda bu fonksiyon örtendir?A. [1, 4]B.
[0, 4]C. (1, 4)D. [0, 4)E. (0, ∞)
11. f: IR → IR , f(x) = x2 + 1 , g: IR → IR , g(x) = sgn x
(işaret fonksiyonu) veril-sin. (gof) (x) hangisidir?A. xB. 1C. 0D.
x2 + 1E. x2
12. f(x) = x2 - 1 fonksiyonu için (fof) (-2) = ? A. 0B. 1C. 3D.
8E. 9
13. fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A. IRB. [1, ∞)C. (- ∞, 0) ∪ [1, ∞) D. (1, ∞)E. (0, ∞)
F O N K S İ Y O N K A V R A M I118
f : IR - 0 → IR , f x = x + 1x için f x - f 1x hangisidir?
f x = x x
-
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
14. f: (- ∞, a] → IR , f(x) = (x - 1)2 fonksiyonu verilsin. f
fonksiyonunun (- ∞, a]üzerinde bire-bir olmasını sağlayacak en
büyük a değeri hangisidir?A. - 2B. - 1C. 0D. 1E. 2
15. fonksiyonunun görüntü kümesi hangisidir?
A. (- ∞, 0)B. IR- {0}C. IRD. [-1, ∞)E. (- ∞, -1]
Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. C 2. E 3. B 4. D 5. B 6. A
7. D 8. D 9. D 10. D 11. B 12. D 13. C 14. D 15. A
F O N K S İ Y O N K A V R A M I 119
f : IR - 0 → IR , f x = - 1x2