Semana 13ORIFICIOSEl orificio se utiliza para medir el caudal que sale de un recipiente o pasa a travs de una tubera. El orificio en el caso de un recipiente, puede hacerse en la pared o en el fondo. Es una abertura generalmente redonda, a travs de la cual fluye lquido y puede ser de arista aguda o redondeada. El chorro del fluido se contrae a una distancia corta en orificios de arista aguda.
Orificio
La teora de orificios se estudia ordinariamente dentro de la hidrulica de flujo a presin.De otra parte, el funcionamiento de una compuerta o un vertedero se asemeja bastante al de un orificio. Antes de profundizar en el estudio de las mencionadas estructuras es por tanto, conveniente revisar los aspectos fundamentales de esta teora.Un orificio es, en principio, cualquier abertura practicada en la pared de un tanque como el de la figura.1. De esto se desprende que el lquido contenido derrama a travs del orificio.Un orificio lo caracterizan geomtricamente , el rea de su seccin transversal, A y la longitud o espesor de la pared, e . Al salir en el ambiente atmosfrico se transforma en un chorro.Este, por efecto de la inercia y de la decomprensin repentina, experimenta un paulatino adelgazamiento en el sentido de su eje. A una cierta longitud la contraccin alcanza su mximo valor y el rea del chorro se minimiza. A sta (figura.1) se le denomina propiamente rea contrada o rea del chorro, Ach .
Figura.1
El vinculo entre esta rea y del orificio queda definido por el llamado coeficiente de contraccin: ..(1)Es claro que el valor limite de este coeficiente debe ser:
ECUACION DEL CAUDAL DE UN ORIFICIOConsidrese un tanque abierto al que se le a practicado un orificio. Supngase (figura.1) que se verifican las siguientes hiptesis: El tanque mantiene un nivel constante, sobre el que acta la presin atmosfrica. La corriente es ideal. La distribucin de presiones es la hidrosttica. El chorro descarga en la atmosfera. Esto es, logra contraerse completamente. El chorro descarga de modo libre. Equivale a decir que la salida esta libre de obstculos solidos, o de otra masa liquida.
Se le puede asociar un caudal elemental a cada punto perteneciente al rea del chorro.Segn la continuidad, se expresa como el producto entre el rea elemental que contiene al punto y la velocidad de la lnea de flujo que pasa por el. Por ejemplo sea un punto genrico n de velocidad v en la figura.1:(2)
Se trata ahora de calcular el valor de v incluido en la ecu. I. para ello, se hace cumplir el teorema de Bernoulli sobre la lnea de flujo mn que contiene a v.
La carga de presin es nula en n, ya que la descarga se realiza en ambiente atmosferico total; esto es, el chorro se halla completamente rodeado de aire.De la figura.1:
h es la carga piezometrica medida con respecto al punto n. en el tema especifico de orificios, se le llama mas comnmente carga.En consecuencia, el teorema de Bernoulli se reduce a la expresin simple:
de ella se despeja la velocidad en n: (3)Se sigue que en condiciones ideales, el campo de velocidad depende nicamente de h. por consiguiente, todos los puntos sobre un mismo nivel transversal horizontal, poseen la misma velocidad.La ecuacin clsica III se conoce como resultado de Torricelli.La 3 en 2 produce: (4)
Al integrarla se consigue una expresin de partida para la evaluacin del caudal que evacua el orificio.
(5)
Es indispensable utilizar el rea del chorro en funcin de la carga antes de completar la integracin. En este sentido, existen dos posibles caminos. Suponer que la carga del orificio es constante o bien, variable. En el primer caso, se simboliza con H esa constante. Corresponde a la carga de la lnea de flujo que coincide, idealmente, con el eje del orificio (figura .1).Un orificio de carga constante se denomina orificio pequeo. Uno de carga variable, orificio grande.Resulta natural pensar que un criterio practico para la diferencia entre ambos orificios debe considerar las magnitudes de la dimensin vertical del orificio, a, y la carga con respecto al eje centroidal, H. De entrada, parece evidente que debe verificarse que H > a/2. Sin embargo, la expresin ha mostrado que la carga debe ser algo ms grande que la dimensin vertical:
Orificio pequeo si H 3a
Orificio grande si H < 3a
Como se aprecia la distancia es parcialmente geomtrica pues toma encuenta tambin un efecto dinamico, H.
CLASIFICACIN DE LOS ORIFICIOS
SEGN EL ANCHO DE LA PARED
Orificios de pared delgada
Es un orificio de pared delgada si el nico contacto entre el lquido y la pared es alrededor de una arista afilada y e < 1.5d, como se observa en la Figura 2. Cuando el espesor de la pared es menor que el dimetro (e < d) no se requiere biselar, (Figura 3)
Pared delgada e H.
d : dimetro del orificio.H : profundidad del agua hasta el centro del orificio.
SEGN SU FUNCIONAMIENTO
Orificios con descarga libre. En este caso el chorro fluye libremente en la atmsfera siguiendo una trayectoria parablica.
Orificio con descarga libre.
Orificios con descarga ahogada. Cuando el orificio descarga a otro tanque cuyo nivel est por arriba del canto inferior del orificio, se dice que la descarga es ahogada. El funcionamiento es idntico al orificio con descarga libre, pero se debe tener en cuenta que la carga h se mide entre la lmina de flujo antes y despus del orificio.
Orificio con descarga ahogada
ORIFICIOS CON CARGA CONSTANTE.ECUACION DEL CAUDAL PARA ORIFICIOS DE CARGA CONSTANTE U ORIFICIO PEQUEO
Se deduce despus de asignarle la carga,H, a todas las lneas de flujo. Equivale,por ello, a asumir que todos los puntos sobre el rea del chorro posees la misma velocidad. La experimentacin realizada al respecto confirma que no se comete un gran error. Luego:
Con base en esto la III admite reescribirse como:
(6)
Se trata del mismo resultado de Torriselli, pero ahora en trminos de la carga del orificio. Se a puesto all V en lugar de v, porque, a las hiptesis introducidas, el campo de velocidades tiene una intensidad equivalente a la de la velocidad media.De acuerdo con esto, la V se puede expresar:
Ya que H es contante:
Finalmente: (7)
Es posible tambin formularla en trminos del rea del orificio, A. Para ello se recurre a la(4.6): (1.13.)
La (1.13) en la (1.12) permite cuantificar el caudal que evacua el orificio, en funcin delrea del mismo:
(1.14.)
Si en un laboratorio se midiera el caudal que sale de un orificio, ste resultara inferior al predicho por la (1.14). Ello se debe a que la (1.11) es una aproximacin ideal que supone que toda la carga se transforma en altura cintica. Lo cierto es que en la realidad H se ve disminuido por las prdidas hidrulicas. Por tanto, la (1.11) debe sobrevalorar la velocidad media del chorro. De ah que sea indispensable distingursele con el smbolo VT, para resaltar su condicin de velocidad terica o ideal. (1.15.)
Con base en esto, puede ahora establecerse una relacin entre la velocidad terica y la real,V: (1.16.)
En donde CV se denomina coeficiente de velocidad. Es evidente que ste debe tener unvalor lmite: CV 1
La combinacin de la (1.15) y (1.16) produce:
(1.17.)
A partir de esto, llega a ser claro que introducir el coeficiente de velocidad en la (1.14), la faculta para estimar un caudal real. Por consiguiente:
(1.18.)
El producto entre coeficientes de contraccin y el de velocidad da lugar a un nuevo coeficiente:
(1.19.)
CD se conoce como coeficiente de descarga.As, la (1.18) se transforma finalmente en:
(1.20.)
Cualquiera, la (1.18) o (1.20), se denomina ecuacin de un orificio pequeo. Se trata de un resultado clsico de la hidrulica.
ORIFICIO CON CARGA VARIABLEECUACIN DE UN ORIFICIO CON CARGA VARIABLE U ORIFICIO GRANDE
A partir de la (1.6):
(1.21.)
La (1.21) en la (1.10):
(4.22.)No es factible derivar una ecuacin general de orificio grande, ms all de la (4.22), ya quesu integracin depende de poder expresar el rea del orificio en trminos de la carga h. Sedebe, consecuentemente, buscar soluciones segn la forma geomtrica de cada uno.
ECUACIN DE ORIFICIO RECTANGULAR GRANDE
Sea un orificio rectangular cuya rea transversal se puede indicar como:
De acuerdo con la figura 4.3, tiene por rea elemental:
Despus de substituir sta en la (1.22) y simplificar:
En esta nueva expresin se han introducido unos lmites que corren desde el origen decoordenadas (en la superficie libre) hasta el borde superior e inferior del orificio (figura4.3).La integracin conduce al siguiente resultado:
Despus de evaluar los lmites de integracin:
Esta expresin permite calcular el caudal en modo terico. Debe adicionrsele el coeficiente de velocidad, para adecuarla a la determinacin de un caudal real:
(1.23.)
O tambin:
(1.24.)
La (4.23) y (4.24) constituyen la ecuacin de un orificio rectangular grande.
ORIFICIO TRIANGULAR GRANDE
Supngase un orificio de seccin transversal triangular simtrica. Se le caracteriza por elngulo, , de la figura 4.4.El rea elemental puede expresarse en funcin de la carga h, con base en el diagrama anexoy razonamiento geomtrico:
dA = 2d .dh
FIGURA 4.4
En seguida de reemplazar sta en la anterior, se tiene:
(1.25.)Despus de substituir la (4.25) en la (4.22) e insertar all los lmites de integracin (figura4.4), se llega a la expresin:
La integracin da:
(1.26.)Ahora se evalan los lmites de integracin:
Esta expresin se puede simplificar y factorizar para conseguir la:
Sirve para calcular el caudal de manera aproximada. Para remediar esto, debe afectarse porel coeficiente de velocidad:
(1.27.)Finalmente:
(1.28.)La (4.27) o la (4.28) representan la ecuacin del caudal que sale a travs de un orificiotriangular grande.
COEFICIENTES DE FLUJO O COEFICIENTE DE DESCARGA Determinacin del coeficiente de Descarga Cd: es la relacin entre el caudal real que pasa a travs del dispositivo y el caudal terico.Q: caudal. VR: velocidad real.Ach : rea del chorro o real. Vt : velocidad terica. A0 : rea del orificio o dispositivo. H: carga hidrulica
Este coeficiente Cd no es constante, vara segn el dispositivo y el Nmero de Reynolds, hacindose constante para flujo turbulento (Re>) como se observa en la Figura m. Tambin es funcin del coeficiente de velocidad Cv y el coeficiente de contraccin Cc.
Coeficiente de velocidad Cv: es la relacin entre la velocidad media real en la seccin recta de la corriente (chorro) y la velocidad media ideal que se tendra sin rozamiento.
Coeficiente de contraccin Cc: Relacin entre el rea de la seccin recta contrada de una corriente (chorro) y el rea del orificio a travs del cual fluye, vase Figura III.8.
Figura m: Variacin de los coeficientes de descarga (Cd), velocidad (Cv), y contraccin (Cc), con el nmero de Reynolds en un orificio circular. (Sotelo, G. 1982).
ORIFICIOS CON CONTRACCIN INCOMPLETA:
Se puede hablar de dos tipos de contraccin incompleta en un orificio.Cuando las paredes o el fondo del recipiente se encuentran a distancias inferiores a 3D (D es el dimetro de los orificios) o bien, a 3a (a; dimensin mnima en orificios rectangulares), se dice que la contraccin en el orificio es parcialmente suprimida.Si se llega al casa extremo en que una de las fronteras del recipiente coincida con la arista del orificio, se dice que la contraccin es suprimida en esa arista; en tal caso el orificio se apoya sobre la pared del recipiente.En el caso de contraccin parcialmente suprimida se puede utilizar la siguiente ecuacin emprica para calcular el coeficiente de gasto.
Donde: = coeficiente de gasto del orificio.= el coeficiente de gasto del mismo orificio con contraccion completa.= el rea del orificio. = el rea de la pared del recipiente en contacto con el agua.
Figura. Contraccin parcialmente suprimida en un orificio.
En el caso de contraccin suprimida nos interesan los problemas de orificios de fondo relacionados con compuertas los cuales se tratarn ms adelante.
ORIFICIO CON DESCARGA SUMERGIDA.
Cuando el orificio descarga a otro tanque cuyo nivel esta por arriba del canto inferior del orificio, se dice que la descarga es ahogada. El ahogamiento puede ser total o parcial.
Figura. Ahogamiento total.(At)Figura. Ahogamiento parcial. (Ap)
En el caso de descarga ahogada total se puede derivar una ecuacin anloga a la general, con la nica diferencia que la energa total H es entones H (diferencia de niveles entre los dos recipientes); el gasto es entonces:
Se recomienda utilizar el mismo coeficiente de gasto que el de un orificio de descarga libre.Cuando el ahogamiento es parcial, como el de la figura el gasto total descargado por el orificio se puede expresar como la suma y .Donde; : es el gasto correspondiente a la porcin del orificio con descarga ahogada, es decir:
y es el gasto de la porcin del orificio con descarga libre.
No hay investigaciones confiables acerca de los coeficientes de gasto y ; al respecto, Schlag propone que = 0.70 y = 0.675, en el caso de que el orificio tenga un umbral en el fondo, como en la fig.(Ap)
Problema. El orificio de pared delgada de la figura, es cuadrada (a= o.18m) y trabaja con una carga h= 0.5m. sobre la superficie libre del liquido acta una presin de = 1.45 kg/cm2. Determinar el gasto el gasto de descarga del orificio.
De acuerdo con la figura las distancias desde los cantos del orificio a las paredes ms prximas del recipiente, son menores de 3a , por lo cual se trata de una contraccin parcialmente suprimida. El coeficiente de gasto para el caso normal de contraccin completa es = 0.60; para hacer uso de la ecuacin tenemos que.
=0.3 (0.5+0.09+0.1) = 0.207
Entonces: = 0.609Adems, la carga total que acta sobre el orificio es : = 0.5 + 14.5 = 15 m
Ecuacin del gasto.Q = 0.6090.0324 =0.338 /seg.
Semana 14Compuertas. Definicin. Compuerta Plana. Compuerta Radial. Coeficientes de gasto en compuertas.COMPUERTAS DEFINICION :Las compuertas son estructuras frecuentes en las obras hidrulicas y sirven para regular el caudal en una conduccin. Hay varios tipos de compuertas y aqu solo analizaremos dos tipos de compuertas ms frecuentemente usadas: la compuerta plana de tablero vertical y la compuerta de segmento o de sector, muy usada en barreras en ros.
Las compuertas tienen las propiedades hidrulicas de los orificios y, cuando estn bien calibradas, tambin pueden emplearse como medidores de flujo.
Clasificacin de las compuertas. Las condiciones fsicas, hidrulicas, climticas y de Operacin, evaluadas apropiadamente, imponen la seleccin del tipo y tamao adecuado de las Compuertas. stas se disean de diferentes tipos y con variadas caractersticas en su operacin y en su mecanismo de izado, los cuales permiten clasificarlas en grupos generales, de la siguiente manera:
Segn las condiciones del flujo aguas abajo: Compuerta con descarga libre. Compuerta con descarga sumergida o ahogada.
Segn el tipo de operacin o funcionamiento Compuertas Principales: De regulacin De guarda o de cierre Compuertas de EmergenciaLas compuertas principales se disean para operar bajo cualquier condicin de flujo; se les llama de :Regulacin cuando se les conciben para controlar caudales en un canal abierto o sobre unaEstructura de presa, con aberturas parciales, y se conocen como compuertas de guarda o deCierre aquellas que funcionan completamente abiertas o cerradas. Las compuertas de emergencia se utilizan en los eventos de reparacin, inspeccin y mantenimiento de las compuertas principales, siendo concebidas para funcionar tanto en condiciones de presin diferencial, en conductos a presin, como en condiciones de presin equilibrada.
De acuerdo a sus caractersticas geomtricas: -Compuertas planas: -Rectangulares -Cuadradas -Circulares -Triangulares, etc.
- Compuertas curvas o alabeadas:- Radiales- Tambor- Cilndricas
Segn el mecanismo de izado: - Compuertas deslizantes- Compuertas rodantes En las compuertas deslizantes, el elemento de cierre u obturacin se mueve sobre superficiesdeslizantes (guas o rieles) que sirven, a la vez, de apoyo y sello. Generalmente, se construyen de acero colado, y se emplean en estructuras de canales y en algunas obras de captacin, en presas o tanques de regulacin. La hoja de la compuerta o elemento de obturacin se acciona con un mecanismo elevador, a travs de un vstago flecha de acero. En las compuertas rodantes, el elemento de cierre u obturacin se mueve sobre un tren de ruedas, rodillos o de engranajes, hasta la posicin de condicin estanca. Se utilizan en obras de toma profundas, para casos de emergencia y de servicio, as como para cierre en mantenimiento, en conductos a presin. Ruedan a su posicin de sello debido a su propio peso y se izan con cadenas o cables por medio de gras especiales, fuera de la superficie del agua, hasta una caseta de operacin, donde se les hace mantenimiento.
Tipos de compuerta deslizante
Tipos de compuertas rodante
COMPUERTA PLANA :La estructura de la compuerta es un tablero plano vertical que puede deslizar subiendo o bajando .Normalmente la compuerta desliza por ranuras laterales que la apoyan .Por supuesto que la seccion de canal donde se ubica debe ser rectangular .Para accionarla deben vencerse las fuerzas de roce , que pueden ser grandes , debido a la fuerza de presion sobre el tablero .El apoyo en las ranuras puede ser con patines o polines o ruedas para disminuir el roce . Asociado a la estructura de la compuerta estan los mecanismos de izamiento .
Ecuaciones para el caudal de flujo a travs de compuertas:a.A travs de compuertas planas:para deducir la expresin, se considera el caso ms general, donde la compuerta est inclinada un ngulorespecto a la horizontal, y tiene un ancho B igual al del canal.
El flujo a travs del orificio formado por el labio inferior de la compuerta y el fondo del canal puede considerarse bidimensional.Ntese que la descarga supercrtica bajo la compuerta reduce progresivamente su profundidad a lo largo de una corta distancia I, aguas abajo, hasta una seccin en donde la contraccin del chorro es completa, llamadaVena contracta.La profundidad del flujo en la vena contracta y2, se relaciona con la abertura a, por medio del coeficiente de contraccin Cc, as:(1)Adems, para compuertas planas verticales, se ha comprobado que:(2)Reemplazando (1) en (2), se tiene:(3)Suponiendo las hiptesis de fluido incompresible, flujo permanente y uniforme, distribucin hidrosttica de presiones, lejos de la compuerta, y tensiones cortantes nulas, en paredes y fondo del canal, la ecuacin de Bernoulli expresa lo siguiente:(4)(5)
Por continuidad:(6)De donde:(7)Sustituyendo (7) en (5) y haciendo1=2== 1, se tiene:
Distribuyendo el binomio y simplificando se tiene:
Sacando raz cuadrada:(8)Reemplazando y2= a.Cc en la anterior, se tiene:(9)Introduciendo el coeficiente de velocidad, Cv, resulta:(10)(11)Ahora, reemplazando las ecuaciones (11) en la (6), se tiene:(12)(13)(14)Introduciendo el coeficiente de descarga, Cd, como:(15)resulta:(16)De otro lado, a partir de la ecuacin (15), para Cv, se tiene:(17)Elevando al cuadrado se tiene:(18)Ahora, haciendo:(19)resulta:(20)Los coeficientes Cc, Cv y Cd depende del nmero de Reynolds y de las caractersticas geomtricas del escurrimiento.H. Rouse afirma que los valores de Cd para compuertas planas verticales (= 90) son esencialmente constantes y con ligeras variaciones alrededor de 0.61. COMPUERTA RADIAL :Tambin llamadas compuertasTaintor, tienen la forma de una porcin de cilindro, y giran alrededor de un pivote o eje horizontal situado en el eje longitudinal de la superficie cilndrica.Por su forma algunas veces se les llama compuertaSector.Generalmente, en las compuertas radiales el agua acta en el lado convexo y, debido a las propiedades hidrostticas de una superficie cilndrica, la lnea de accin del empuje hidrosttico resultante pasa a travs del pivote o centro de giro.En consecuencia, la fuerza requerida para levantar la compuerta es la necesaria para vencer el peso propio de la misma y la friccin en los apoyos.Este tipo de compuerta se usa en vertederos de presa, en obras de captacin y en canales de riego.
5.2.3.2 Ecuacin para el flujo a travs de compuertas radiales. La ecuacin para determinar el gasto a travs de compuertas radiales ser la misma ecuacin (5.17), deducida para compuertasplanas, con adecuados valores de Cd . Para las compuertas radiales con descarga libre, Gentilini present la variacin del coeficiente de gasto, en funcin del ngulo y de la relacin y1 /a.
FIGURA 5.12. Coeficientes de descarga en compuertas radiales con descarga libre, segn Gentilini. Tomada de la Ref. [20]
Por su parte, A. Toch experiment con compuertas radiales, operndolas tanto con descarga libre como con descarga sumergida, y obtuvo los resultados mostrados en la Figura 5.13.
FIGURA 5.13. Coeficientes de descarga en compuertas radiales, segn A. Toch. Conociendo Cd de estas figuras, el gasto correspondiente a la compuerta radial se determinar, sereitera, empleando la siguiente ecuacin ya deducida: (5.17) yg2BaCQ
A. COMPUERTA DESLIZANTE 600 x 5001. Cantidad2. Dimensiones de la aberturaLargoAlto3. Cota inferior4. Cota normal de operacin5. Cota umbral superior 6. Cota mximo nivel de agua7. Cota del puente de operaciones8. Ubicacin
: 01
: 500 mm: 450 mm: 0,00: 1200 mm: 450 mm: 1050 mm: 1200 mm: Toma La Caplla
CALCULO DE FUERZAS HIDRODINMICAS
Segn el texto "COMPORTAS HIDRULICAS" de Paulo Erbiste, en una compuerta deslizante intervienen tres fuerzas hidrodinmicas, las cuales las calcularemos de acuerdo a las condiciones de trabajo y ubicacin de la compuerta.
1. Fuerza hidrodinmica debido a la diferencia de distribucin de carga piezometrica entre la parte superior e inferior de la compuerta
P1 = (KT- KB)*B*d**(V1)2 (1) 2g
KT = coeficiente de forma de tapa de compuertaKB = coeficiente de forma del perfil inferior de la compuertaB = ancho de la compuertad = espesor del refuerzo de compuerta = peso especifico del agua en KN/m3V1= velocidad del agua en la salida de la compuertag = aceleracin de la gravedad
Analizando los datos de la compuerta tenemos que:
Pero A1 (rea delante de la compuerta)Entonces: KT = 1 = * gPero = 1200 Kg / m3 (densidad del agua debido a sedimentos)g = 12,5 m /s2 ( se aumenta en 0,25 g debido a carga ssmica) = 1200 x 12,5 = 15 KN/m3 B = 0,56 md = 0,05 (Angulo 2 x )
Reemplazando los valores en (1) tenemos:P1 = 0,0214 x (1- Kb) x (V1)2 KN
El extremo inferior de la compuerta es plano por tanto = 0, para este valor variando la relacin Y/Y0 de 0,1 a 0,9 tenemos valores en la fila Kb de la tabla 1
TABLA 1 variacin de KB con la abertura de la compuerta para diversos ngulos
2. Fuerza debido a la proyeccin en la parte superior delantera de la compuerta
Debido al modelo de la compuerta As = 0 (la hoja no tiene proyeccin delantera)EntoncesP2 = 0
3. Fuerza debido al espesor de la compuerta
(2)
d = 0,00635 m (espesor de la hoja de la compuerta)
P3 = 1 x 0,56 x 0,00635 x 15 x (V1)2/ (2 x 9.81)
P3 = 0,0027 (V1)2 KN
4. Calculo de la velocidad mxima del agua
V1 = [2g ( H He Cc y Hd )] (3) La velocidad mxima ocurre al inicio de la apertura de la compuerta, cuando y 0H = 1,05mHe = 0 (perdidas de carga en la entrada)Cc = coeficiente de descargaY = altura de apertura de compuertaHd = Perdida por depresin en la compuertaAl inicio de la apertura tenemos:He = Y = Hd = 0 Entonces:V1 = [2 x 9,81 x (1,05 0)] = 4,53 m/s
5. Calculo del coeficiente de descarga CC
El coeficiente de descarga depende de la abertura y geometra de la compuerta, estos valores pueden medirse en modelos reducidos En ausencia de valores especficos, pueden tomarse los coeficientes sugeridos por U.S. CORPS OF ENGINEERS, Hydraulics Desing Criteria,Hydraulic Desing Chart 320-1, Control Gates, Discharge Coefficients, 1961 ( independiente del perfil inferior de compuerta)
Tabla 2. Coeficientes de descarga de compuertas planas (Coros of Engineers)
% de abertura de descarga0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
Coeficiente de descarga Cc0,730,730,740,740,750,770,780,80,8
Reemplazando el coeficiente de descarga en V1 = [2g ( H Cc y )] (ecuacin 3), calculamos V1 cada 0,05 m. Con los valores de V1 y Kb obtenemos P1, P3 y F, estos resultados los resumimos en la tabla 0.1 ( F = P1 + P3 )
Tabla 0.1
Y0,0450,090,1350,180,2250,270,3150,360,405m
Y/Y00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
Cc0,730,730,740,740,750,770,780,80,8
V14,474,394,324,244,164,063,973,873,77m/s
Kb-0,22-0,36-0,27-0,29-0,4-0,63-0,64-0,5-0,27
P10,520,560,510,500,520,580,550,480,39KN
P30,050,050,050,050,050,040,040,040,04KN
P1+P30,580,610,560,550,570,620,600,520,43KN
6. Calculo de la fuerza hidrodinmica total F
De la tabla observamos que la mayor fuerza hidrodinmica ejercida sobre la compuerta es:F = 0,62 KN (cuando la compuerta esta abierta 27 cm)
CALCULO DE CARGA HIDROSTTICA MXIMA W
7. Calculo de W
En una compuerta que acta a un solo lado la carga hidrosttica mxima se calcula con la formula W = * B * h * (H h/2)
= 1200 x 12,5 = 15 KN/m3 B = 0,56 (ancho de la compuerta)h = 0,50 (altura de hoja de la compuerta)H = 1,05 (altura total)
Reemplazando valoresW = 15 x 0,56 x 0,50 (1,05 0,50 / 2)W = 3,36 KN (carga hidrosttica mxima)
8. Calculo del punto de aplicacin de la carga hidrosttica
(4 )
e = 0,224m
9. Calculo del nmero de vigas
N = 100 h Hm / (2 ad ) (5) d
Hm = altura de la columna de agua en el centro de hoja
Hm = 1,05 0,50 /2 = 0,80 m
d = 6,354 mm (espesor de la hoja en mm)
ad = Esfuerzo admisible en MPa
ad = 117,72 MPa
Reemplazando datos en (5) tenemos:N = 0,46 refuerzosEn la hoja colocaremos 03 refuerzos. El superior e inferior dan rigidez a la hoja.10. Calculo de la fuerza en cada viga
La fuerza total que se ejerce sobre la compuerta es la suma de las fuerzas hidrostticas y hidrodinmicas siendo su valorFT = 3,98 KN
Las vigas soportan la carga total dependiendo de la distancia hacia el punto de aplicacin en A (viga inferior)Tomando momentos en MA = 0 - 214 x 3,98+ 230 Rb = 0Rb = 3,70 KN (viga superior)Aplicando Fy = 0Ra + Rb 7,45 = 0Ra = 0,28 KN (viga inferior)
11. Calculo del alma de la viga
Para la viga se ha elegido un perfil C 4 x 3/16 (C4x5.4) y verificamos si soporta las condiciones de trabajo. Para esto seleccionamos la viga mas solicitadaAplicando la ecuacin:t = F/ (2 h Tad ) (6)Tad = 0,33 y = 0,33 x 235,44 M Pa = 77,69 MPa (esfuerzo de cizallamiento)h = 0,50 m (altura del alma)F = Rb = 3,70 KNt = espesor del almaReemplazando los datos en (6)t = 3700 / (2 x 0,05 x 77,69 x 106)t = 0,477 mm < 6,35 mm (1/4) Este resultado nos indica que el perfil de refuerzo soporta la carga aplicada
12. Calculo de la resistencia de la hoja de compuerta
Los perfiles ASTM A 36, tiene las siguientes caractersticasy = 2400 kgf / cm2 = 235,44 M Pau = 4100 kgf / cm2 = 402,21 M Paad = 0.5 y = 117,72 M Pa (condicin tcnica del proyecto)
la hoja de la compuerta esta dividida en tres mdulos, de los cuales; el modulo central es el mas cargado. Este modulo tiene los laterales apoyados en las correderas y suponemos las vigas horizontales tambin apoyadas (Caso 4 lados apoyados, los esfuerzos son mayores)De acuerdo con la norma NBR 8883 ( DIN 19704) para calcular los esfuerzos de flexin debido a la accin directa de la presin del agua se aplica la formula:
= k p a2 ( 7) 100 d2
p = Hm (presin hidrosttica en el centro del modulo) = 15 KN/m3 (peso especifico del agua considerando carga ssmica y sedimentos) K = coeficiente que relaciona largo y altura del modulo segn tabla 5.3Hm = 0,925m (altura de la columna de agua en el centro del modulo)d = 6,35 mmp = 15 x 0,925 = 13,875 KPa = 0,014 MPaa = altura del modulo (0,23 m)b = largo del modulo (0,50 m)Para b/a = 0,50 / 0,23 =2,17. En la tabla 5.3 tenemos:Los coeficientesK1x = 63,03K1y = 27,12
Tabla5.3 Coeficientes k (NBR 8883/85)
= S
Figura. Esfuerzos en el panel central
Luego:
1x = 63,03 x 0,0138x (23 / 0,635)2 = 11,52 MPa 1001y = 27,12 x 0,0138 x (23/ 0,635)2 = 4,94 Mpa 100El esfuerzo resultante es = ( (1x)2 + (1y)2 )1/2Luego: = 12,53 Mpa < ad = 0.5 y = 117,72 M PaPor tanto el espesor de la hoja de la compuerta es adecuado
BOQUILLAS:Las boquillas son los elementos fundamentales que influyen en la uniformidad de la distribucin del fluido. Se llama boquillas a todos los tubos adicionales de pequea longitud constituidos por piezas tubulares adaptadas a los orificios. Se emplean para dirigir el chorro lquido. Su longitud debe estar comprendida entre vez y media (1,5) y tres (3,0) veces su dimetro. De un modo general, y para longitudes mayores, se consideran longitudes de 1,5 a 3,0 D boquillas; 3,0 a 500 D tubos muy cortos; 500 a 4000 D (aproximadamente) tuberas cortas; arriba de 4000 D tuberas largas. El estudio de orificios en pared gruesa se hace del mismo modo que el estudio de las boquillas. Las boquillas pueden ser entrantes o salientes y se clasifican en cilndricas, convergentes y divergentes. A las boquillas convergentes suele llamrseles toberas.
CLASIFICACION DE LAS BOQUILLAS:1. CILINDRICAS: Se denominan tambin:boquilla patrn:boquilla cuya longitud iguala 2,5 veces su dimetro yboquilla de Borda:boquilla interior de longitud patrn. La contraccin de la vena ocurre en el interior de boquillas cilndricas. En las boquillas-patrn, la vena puede pegarse o no a sus paredes. Cerrndose el tubo hasta llenarlo, se hace que la vena quede pegada, resultando un chorro "total" (ocupando totalmente la seccin de salida). Es interesante observar que a la boquilla interior de Borda corresponde al menor caudal: coeficiente de descarga 0,51 (tericamente se encuentra Cc=0,5para vena libre). La boquilla cilndrica externa con vena adherente, eleva el caudal:Cd=0,82.
Perdida de carga de una boquilla cilndrica Estndar:
Donde:Cv =Coeficiente de velocidad en la boquillaV =Velocidad real de salidaH =Carga sobre el centro de la boquillasSe produce en la seccin AB presin negativa o sea menor que la presin atmosfrica
1.1. Boquilla reentrante de borda: Sea una boquilla cilndrica entrante adaptada a un orificio situado en la pared de un recipiente de grandes dimensiones, y la elevacin de la superficie libre, con respecto al centro de gravedad del orificioSe producir una gran contraccin al salir el lquido.
2. CONICAS: Con estas boquillas se aumenta el caudal, ya que experimentalmente se verifica que en las boquillas convergentes la descarga es mxima para = 13 30, lo que da como resultado un coeficiente de descarga de 0.94 (notablemente mayor al de las boquillas cilndricas). Las boquillas divergentes con la pequea seccin inicial convergente se denominan Venturi, puesto que fueron estudiadas por este investigador, que demostr experimentalmente que un ngulo de divergencia de 5 grados y e = 9d permite los ms altos coeficientes de descarga.
2.1. Boquilla tronco cnica divergente: Reduce la perdida de carga Logra aumentar la velocidad de salida y el coeficiente de velocidad. AL aumentar el Angulo , aumentara la diferencia de velocidades entre los puntos m y n.
2.2. Boquilla Tronco cnica convergente: Es de inters, por utilizarse en pitones.La prdida de carga que se produce en la boquilla es:
Donde:K= coeficiente de perdida de carga.El gasto est dado por:
VERTEDEROSObjeto de los vertederos. TiposEl vertedero ha sido definido por Balloffet como una abertura (o mejor, escotadura) de contorno abierto, practicada en la pared de un depsito, o bien en una barrera colocada en un canal o ro, y por la cual escurre o rebasa el lquido contenido en el depsito, o que circula por el ro o canal. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando est cercenada, ocuando parece que lo est, como si le faltara all algo para completar una forma ms regular.En la Figura 3.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudalesb) permitir el rebose del lquido contenido en un reservorio o del que circula en un ro o canal.Estas funciones no son excluyentes.
Los vertederos resultan muy tiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivo de medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeos.Tambin puede construirse un vertedero para permitir el rebose del lquido al llegar a un ciertonivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.
En realidad en un vertedero siempre estn presentes ambas funciones. En las obras de ingeniera hidrulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan la funcin de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que miden caudales.
Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por los niveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinacin con respecto a la corriente y por otras circunstancias.
Figura 4.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada
P : es el umbral : es el coeficiente de CoriolisH : es la cargaL : es la longitud del vertederoB : es el ancho del canal de aproximacinV0 : es la velocidad de aproximacin
Para una mejor comprensin de los aspectos tericos vinculados a la descarga por vertederos es necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga por orificios, estudiados en un curso anterior de Hidrulica o de Mecnica de Fluidos.
Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en la Figura 3.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rpidamente variado (M. R. V.). Es un remanso de depresin originado en la transformacin de energa potencial en energa cintica. Hacia aguas arriba, en una seccin AB, hay un movimiento gradualmente variado (M. G. V.). Se acepta que en la seccin AB rige la ley hidrosttica. Esta seccin se encuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que esta distancia es igual a 4H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsrvese que inmediatamente aguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.
Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal que pasa por la cresta, medida en la seccin AB.
En la Figura 3.1 se muestra tambin la altura del umbral P del vertedero (paramento), que es la distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en funcin de la presin que la rodea.En la napa libre la presin que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero (umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de l y la parte inferior de la napa vertiente es igual a la atmosfrica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presin es igual a la atmosfrica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa, representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente aesas condiciones (chorro libre).
Figura 4.2 Red de corriente caracterstica de una napa vertiente libre (P>>>H)
En la Tabla 4.1 se aprecia las coordenadas tpicas correspondiente a un chorro libre, segn Franke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero( P >>H ).Para conseguir la condicin de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacioantes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas de aire que garantizan la comunicacin con la atmsfera.Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastante constantes y el vertedero es as confiable para medir caudales. Este es el caso deseable en un vertedero.
TABLA 9.1COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( P H )
La presin en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero y la napa vertiente es menor que la atmosfrica y dicho espacio se encuentra lleno de aire.La napa vertiente (el chorro) no es estable: es oscilante.El espacio comprendido debajo de la napa est lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.El chorro es inestable.Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo de la napa y ste queda lleno de agua. La lmi queda adherida al paramento del vertedero.
Figura 4.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida
Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presin menor que la atmosfrica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento del vertedero. Se dice entonces que la napa est deprimida. En estas condiciones el chorro se vuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presin menor que la atmosfrica, est libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, tal como se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente y adquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudales pequeos.Las condiciones de lmina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen a error en la medicin del caudal.Clasificacin de los vertederos por el tipo de cresta
Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederosen pared gruesa. La diferencia est en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es slo una lnea, es decir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensable que la cresta sea delgadsima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto espesor. Si ste es menor que 2H / 3 se considera que el vertedero es en pared delgada, como se deduce de la observacin de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente en cresta delgada.
Figura 4.4 Detalle de las caractersticas geomtricas de la napa vertiente en un vertedero enpared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 4.1
Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, segn dibujo de Balloffet
En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a lacresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c se considera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de paredintermedia.En la Figura 9.1 se observa las caractersticas generales de la descarga sobre un vertedero en pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativas aproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado) y el contacto es slo una lnea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracteriza porque en todo su contorno la presin es igual a la atmosfrica, lo que es indispensable para la correcta medicin de caudales.Velocidad de aproximacinSe denomina velocidad de aproximacin (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad mediaque corresponde a la seccin AB en la que el escurrimiento se produce en toda la seccin.Obsrvese que hacia aguas abajo de la seccin AB la seccin transversal que participa delescurrimiento es menor. La velocidad de aproximacin 0 V es
(4.1)siendo B el ancho del canal de aproximacin. Si el umbral P fuese mucho mayor que Hentonces V0 tendera a cero.Esta velocidad inicial da lugar a una energa cintica hv cuya expresin es
(4.2)Siendo el coeficiente de Coriolis.
Clasificacin de los vertederos por los niveles de aguas abajo
Este es un criterio de clasificacin muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguasabajo es inferior al de la cresta.En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajoes superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 4.19. Esto no significa necesariamente, como ha sido claramente sealado por Domnguez, que dicho nivel tenga influencia en el escurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro, aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues, definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no es sinnimo de vertedero influenciado por dicho nivel.
Clasificacin por las condiciones laterales de descargaLos vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertederoes menor que el ancho B del canal de aproximacin. Para que se produzca contracciones laterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pareddel canal sea por lo menos de 3H . Es recomendable tambin que la altura P del umbral sea por lo menos igual a 3H , tal como se ve en la Figura 4.1.Naturalmente que si B = L es un vertedero sin contracciones laterales.
Clasificacin de los vertederos segn su formaSegn la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,circulares, parablicos, poligonales y muchas otras posibilidades geomtricas, tal como seobserva en la Figura 4.6.
Clasificacin de los vertederos por la inclinacin del paramentoEl paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguasarriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 4.7. El vertedero inclinado hacia aguasabajo disminuye la contraccin. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumentacon la inclinacin hacia aguas abajo. Si la inclinacin fuese hacia aguas arriba ocurrira locontrario. Existe tambin el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos
Figura 4.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)
Vertederos inclinados con respecto a la direccin de la corriente
Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,forman un cierto ngulo con ella, tal como se ve en la Figura 4.8.
Figura 4.8 Vertedero que forma un ngulo con la direccin de la corriente
Otros tipos de vertederos
Existen otros tipos de vertederos como
- Desarrollados- Abatibles- Inflables- Laterales- Morning Glory, etc.
Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.Figura 9.9 Otros tipos de vertederos
Vertederos rectangulares. Frmula terica de descarga
A continuacin se presenta la deduccin de la frmula general de descarga de un vertederorectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredeshay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos caractersticos se muestran en lafigura.
Figura 4.10 Esquema para la deduccin de la frmula de descarga en un vertedero rectangular
Para efectos de clculo consideramos que en el orificio hay una pequea franja de reaelemental de ancho L y espesor dy a travs de la cual pasa el siguiente caudal
dQ = VdA = VLdy
siendo V la velocidad correspondiente. Para el clculo de esta velocidad se aplica el teoremade Bernoulli y se obtiene
Por lo tanto,
Integrando se obtiene el caudal a travs del orificio
Esta frmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2 h = 0. Si, adems,llamamos H a 1 h , que es la carga, se tiene
(4-3)que es la frmula terica de descarga de un vertedero. Esta frmula no toma en cuenta lafriccin, ni los efectos debidos a la contraccin vertical de la napa. En consecuencia, paraobtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es
(4-4)El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.Si tuvisemos un vertedero en el que la velocidad de aproximacin fuese tan pequea quepudiese despreciarse, entonces, para 0 V = 0 se obtiene la descarga terica
(9-5)La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a
(4-6)
que es la ecuacin de descarga caracterstica de los vertederos rectangulares. La posibilidadde despreciar la velocidad de aproximacin depende de su valor y de la precisin con la queestemos trabajando. Referencialmente se seala que si la seccin transversal del canal deaproximacin es mayor que 8LH entonces se puede despreciar la velocidad de aproximacin.Obsrvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longituddel vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.La determinacin del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerososestudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero dependede varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades delfluido, etc.Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga sehan desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigacin tiene, en consecuencia, uncampo de aplicacin. Si nos salimos de l no hay seguridad en los resultados.La aproximacin que da cada frmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro delos lmites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia lascaractersticas generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.Los estudios experimentales han partido de la frmula terica 9-3 y han seguido diversoscaminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras seintroduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados enfenmenos no considerados en la deduccin de la frmula terica.En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sincontracciones y con contracciones laterales.De las numerosas frmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924), Kindsvater-Carter (1959).Obsrvese que si en la frmula 9-3 consideramos /2g = hv y tomamos factor comnH , entonces se obtiene
(4-7)si comparamos esta frmula con la 9-6 se obtiene una interpretacin de un coeficiente dedescarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es
(4-8)
Frmula de FrancisJames B. Francis realiz ms de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederosrectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresin para el coeficientede descarga.Francis realiz sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadascondiciones, las que constituyen los limites de aplicacin del coeficiente de descarga queobtuvo.La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sinembargo, experiment tambin con otras longitudes.En lo que respecta a la carga, sta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyenlos lmites de aplicacin de la frmula. Se recomienda tambin que la altura del umbral Pest comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda tambin que la relacin L / H seamayor que 3.La frmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximacin 0 V y la posibilidad decontracciones laterales.La frmula de Francis es
(4-9)
En el sistema mtrico se considera
(4-10)
Obsrvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 esdimensional.En el sistema de unidades inglesas se tendra
(4-11)
En el sistema mtrico la frmula general de Francis queda as
(4-12)en la que el caudal Q est en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H en metros, la velocidad de aproximacin 0 V en m/s. Se designa como n el nmero de contracciones (0, 1, 2).Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones es el de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reduccin de la longitud del vertedero. Aparece as una longitud efectiva en funcin del nmero n de contracciones. Obsrvese que si L 0,2H aparecera cero o un valor negativo para el caudal.Si se considera que la velocidad de aproximacin es muy pequea y que puede despreciarse,entonces V0 = 0 y la frmula de Francis queda as
(4-13)Si, adems, no hubiese contracciones laterales, entonces n = 0 y la frmula de Francisquedara reducida a
(4-14)
Para aplicar la frmula general de Francis (Frmula 4-9) es necesario recurrir a un mtodo detanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular V0 se requiere conocer la carga H .Lo que se recomienda es hacer un clculo preliminar a partir de la frmula (4-14), asumiendo que la velocidad V0 de aproximacin fuese cero y que no hubiese contracciones. Con ese valor preliminar obtenido se aplica la ecuacin general, se compara los resultados obtenidos y se prosigue hasta lograr la aproximacin deseada.Si la frmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograr aproximaciones de 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar a cargas muy pequeas, fuera de los lmites de aplicacin de la frmula de Francis, se obtendra resultados menores que los reales.
Otras frmulas para vertederos rectangulares
a) Frmula de Bazin, ampliada por Hgly
En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos estableci una frmulapara calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.En 1921 Hgly public, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva frmula para el clculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sin ellas. La llam frmula completa de Bazin. Tambin se le conoce con el nombre de frmula de Bazin-Hgly.La frmula de Bazin-Hgly se aplica a vertederos cuyas cargas estn comprendidas entre 0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes estn entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura del umbral se encuentra entre 0,20 m y 2,00 m.La frmula de Bazin-Hgly parte de la ecuacin 9-6, de descarga de un vertedero.
en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es
(4-15)en la que B es el ancho del canal.Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces B = L y el coeficiente de descarga sera
(4-16)
b) Frmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y ArquitectosEsta frmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en1924. La frmula parte de la ecuacin 9-6 de descarga de un vertedero
En esta frmula tambin hay dos coeficientes, segn que haya contracciones o no.El coeficiente c para un vertedero con contracciones es
(4-17)
B es el ancho del canal.Los lmites de aplicacin de esta frmula para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares con contracciones son
L 0.30B mP 0,30B
H/P 1HEl coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es
(4-18)
La carga H est en metros. Los lmites de aplicacin de este coeficiente son0,025 m < H 0,80 mP 0,30 m
H/P1c) Frmula de Kindsvater - Carter
Es una de las frmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de 1959.La frmula es
(4-19)
Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la longitud efectiva, quees la suma de la longitud L del vertedero ms un valor L K que se encuentra a partir de unaexpresin obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 4.11. H K es un valor iguala 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la carga efectiva. e c es el coeficientede descarga propio de la frmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 4.12.
Figura 4.11 Grfico para la determinacin de K L
Entre los requerimientos para una correcta aplicacin de la frmula estn los siguientes.La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 5 veces la mxima carga.
El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 2 mm de espesor.El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la crestadel vertedero.La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.La relacin entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( L = B ), entonces no hay contracciones,pero debe cumplirse que B L 0,2 m
Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial
Ejemplo 4.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada, de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.Solucin. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de contraccin. As mismo, la altura del umbral tambin garantiza una buena contraccin.Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las frmulas que podran usarse.
Frmula de FrancisPara iniciar el clculo se puede usar la ecuacin 4-14 considerando como que no hubiese contracciones no velocidad de acercamiento importante
Esta sera la descarga del vertedero para las condiciones sealadas ( n = 0 ; 0 0 V = ). A partir del caudal encontrado se puede calcular la velocidad de aproximacin (ec. 4-1)
Aplicando la ecuacin 4-2, para = 1 , se obtiene
Se trata de un valor bastante pequeo, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuacin 4-12
Q =1,238 m3/s
Obsrvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no haba contracciones y que la velocidad de aproximacin era despreciable. Podra hacerse un nuevo clculo de la velocidad de aproximacin y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan pequea no vale la pena hacerlo.Se hubiera podido partir de la ecuacin 4-13, entonces
Por lo tanto segn la frmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiramos calcular el coeficiente de descarga con la ecuacin 4-8 se obtendra
que es prcticamente igual a la relacin entre 1,238 y 1,236 m3/s
Frmula de Bazin
El coeficiente c de descarga para la frmula de Bazin est dado por la ecuacin 4-15
reemplazando los valores conocidos se obtiene
c = 0,588
y el gasto es
Frmula de la Sociedad Suiza
Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuacin 9-
Reemplazando los valores conocidos se obtiene
c = 0,595
El caudal es:
Frmula de Kindsvater
Se aplica la ecuacin 4-19
KH es 0,001 m. Para el clculo de KL se usa la Figura 4.11 y a partir de L/B = 0,33 se obtiene KL = 0,025 m.Para el clculo de ce se usa la Figura 4.12 y para H/P = 0,33 se obtiene e c = 0,59Por lo tanto,
CUADRO COMPARATIVO
Al haber aplicado estas cuatro frmulas se observa que, independientemente del error que cada una de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son inferiores al 1 %.
Frmula de Rehbock
Rehbock realiz desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidrulica deKarlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechasy trat de disminuir la influencia de las condiciones de aproximacin.La frmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pareddelgada sin contracciones es
(9-20)
H y P estn en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuacin 9-6.Se recomienda usar la frmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.
Vertederos triangulares
Para deducir la frmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figuraConsideremos el gasto a travs de la pequea franja elemental dx.
La longitud de la franja es
El rea de la franja es
Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximacin seobtiene el caudal
Integrando entre x=0 y x=H se obtiene
Pero, b =2H tan, de donde (4.21)
(4.22)
La frmula de descarga para un vertedero triangular de un ngulo dado y para coeficiente c constante puede expresarse as
siendo,
La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deduccin de lafrmula no se ha tomado en cuenta la contraccin de la napa y otros efectos que si estnpresentes en el flujo real.Otra forma de calcular la descarga a travs de un vertedero triangular verticalmente simtricoes considerar que la ecuacin de uno de los dos lados del tringulo es
x=y tan
de donde, el caudal es
integrando se obtiene
que es la ecuacin de descarga de un vertedero triangular.De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geomtricas.La dificultad se da en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.Si el vertedero estuviese formado por un tringulo asimtrico en el que los ngulos con respecto a la vertical fuesen 1 y 2 se puede considerar el promedio respectivo.Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descarga depende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisin en la medicin de caudales pequeos. As mismo, en los vertederos triangulares es muy pequea la influencia de la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho del canal de aproximacin sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.
B 5H (4.23)
A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, queliberalmente significa escotadura en V .Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a laexactitud en la medicin de la carga. Para cargas pequeas influye la viscosidad y la capilaridad.El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos estn el ngulo del vertedero y lacarga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.En el Laboratorio de Hidrulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigacin experimental del flujo envertederos de 15, 30, 45, 60, 90 y 120. En la Figura 4.13, tomada de la Hidrulica deDominguez, se aprecia los resultados. Para cada ngulo del vertedero y para cada valor dela carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,
El gasto se calcula con la frmula 4.22. Se determin, como parte del estudio, que los erroresno son superiores al 5 %.
Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares
Es interesante analizar la Figura 4.13. Se observa claramente que para cada ngulo el coeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras stas sean pequeas. A partir de un cierto valor de la carga, alrededor de 3 4 cm, el aumento de la carga implica una disminucin del coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras ms pequeo sea el ngulo) se llega a un valor prcticamente constante. Estos valores prcticamente constantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas son para cada ngulo los que aparecen en la Tabla 4.2
TABLA 4.2COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES
Aplicando la Tabla 4.2 se podra tener una frmula simple para cada vertedero de un ciertongulo, la que se podra aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. As,se tendra Para 15 Q = 0,2H5/2 (para H 0,25 m)Para 30 Q = 0,392H5/2 (para H 0,205 m)Para 45 Q = 0,596H5/2 (para H 0,185 m) Para 60 Q = 0,818H5/2 (para H 0,17 m) Para 90 Q = 1,386H5/2 (para H 0,14 m) Para 120 Q = 2,471H5/2 (para H 0,12 m)Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90 se tiene que 290 45y el gasto terico es (4.24)
James Thomson (1861) realiz experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida sufrmula para vertederos triangulares de 2 =90 . Sus experimentos abarcaron cargas entre5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostr experimentalmente que la frmula deThomson poda extenderse hasta H =30 cm. La frmula es
o bien,
Q =1,4H5/2
que es la conocida frmula de Thomson para vertederos de 90. H est en metros y elcaudal Q en m3/s.A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes present la siguiente frmulaQ =1,37H2,48que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor seala que el error es inferior a 1/5 de 1 %.
Obsrvese que frmulas como la de Thomson y de Barnes slo son aplicables a partir de uncierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.
Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti
Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,casi no hay informacin sobre sus coeficientes de descarga.Para el clculo de la descarga terica se suele considerar que la seccin est conformadapor tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Seobtiene as que la descarga en un vertedero trapecial issceles es
Se tiene muy poca informacin experimental sobre los valores de los coeficientes de descargapara este caso. Balloffet seala que es frecuente considerar C1=C2 = 0,6, a pesar de la faltade justificacin terica o experimental.En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudi y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,cuyas caractersticas se sealan a continuacin.
Vertedero de Cipolletti
Es un vertedero trapecial de determinadas caractersticas geomtricas.El gasto se considera formado de dos partes.- Una parte a travs de la abertura rectangular.- Otra parte a travs de los tringulos.
Por consideraciones geomtricas se cumple que
Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos sea precisamente igual a la disminucin del gasto causado por las contracciones en un vertedero rectangular de longitud L . Consideremos que el gasto terico a travs de los tringulos es
La disminucin del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene apartir de una frmula tipo Francis.
Igualando
se obtiene
Es decir, tan=1/4 que es la condicin de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica =14 2'Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletties 0,63.
El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitudL , sin contracciones
L es la base del trapecio. O bien, en el sistema mtrico
Q =1,86LH2/3
Para una correcta operacin del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a L/3 . La altura P del umbral debeser mayor que el doble de la mxima carga sobre el vertedero. La distancia b, sealada en laFigura 4.14, debe ser mayor que el doble de la mxima carga. El ancho del canal deaproximacin debe estar comprendido entre 30H y 60H . La carga debe medirse a unadistancia de 4 H del vertedero.
Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti
La correccin por velocidad de aproximacin puede hacerse de un modo similar al que se hizocon la frmula Francis.El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribucin de aguas y otrossistemas compatibles con la aproximacin de este vertedero. No se recomienda su uso enlaboratorios o en mediciones de precisin. Si se cumplen las condiciones de instalacin elerror puede ser 5 %.
Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)
En la Figura 4.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por lascondiciones de aguas abajo.Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b dela cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga
.(4.25)
puesto que si no se cumple esta condicin el vertedero podra ser de pared delgada (verFigura 4.4) o de pared intermedia.
Figura 4.16 Perfil caracterstico de un vertedero en pared gruesa
Se considera que la longitud mxima de b debe estar alrededor de 15HEn el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil caracterstico de la superficie libre. La energa especfica aguas arriba es H +V2/ 2g, la que debe ser igual a la energa sobre la cresta, suponiendo que no haya friccin ni prdidas de carga y que el coeficiente de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,
siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta y H la diferencia de energacorrespondiente. De la ltima ecuacin se obtiene que la velocidad media sobre la cresta es
Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrtico ( F 1. Enalgn lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crtico.
El flujo sobre el vertedero es crtico (y =yc ). Es decir, que el flujo resuelve el cruce del vertedero hacindolo con el mnimo contenido de energa.Si se tratase de una seccin rectangular de ancho L entonces
..(4-26)
Por lo tanto, el gasto terico sobre el vertedero es
De donde,(4.27)
Esta frmula se suele expresar en funcin de la energa de aguas arriba
Si la velocidad de aproximacin es muy pequea y/o su efecto se considera indirectamente,entonces el gasto terico es
..(4.28)
En el sistema mtrico el gasto terico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es
Q =1,7LH3/2 .(4.29)
En el sistema ingles sera
Q =3,09LH3/2 ..(4-30)
Para obtener el gasto real deber introducirse en la ecuacin 4.29 un coeficiente de descargac . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores
Q =c1,7LH3/2 .(4-31)
George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones del borde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 4.3.
Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de ste, lascondiciones de clculo seran diferentes.
TABLA 4.3COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA
(Todas las dimensiones en metros)
Vertederos laterales
Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes(taludes) de un canal. Su funcin es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, sonaliviaderos. A continuacin se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.En la Figura 4.17 se aprecia el esquema caracterstico de un vertedero lateral de longitud Lpracticado en un canal con flujo subcrtico ( F
