F?LH>BA:FH>?EBJ:G? Трета глава G:G:>?@>GHKLLnetseclab.tu-sofia.bg/vbook/Glava3.pdf · съществуващ или в проект, и др.), търси ли се оценка

Надеждност и сигурност на комуникациите

38

Трета глава

МЕТОДИ ЗА МОДЕЛИРАНЕ НА НАДЕЖДНОСТТА

3.1 КЛАСИФИКАЦИЯ

За изследване на надеждността на различни видове обекти (елементи,

системи, устройства, изделия и т.н.) се прилагат утвърдени в науката и

практиката подходи, методи и средства. Те се различават в зависимост от

това, какъв е математическия инструментариум за моделиране и обработка

на резултатите, към какъв обект са адресирани (аналогов или цифров,

съществуващ или в проект, и др.), търси ли се оценка на безопасността след

отказ, или само на надеждността, и др.

На Фиг.3.1 е дадена обобщена класификация на методите, по-нататък

те се детайлизират, а някои от най-използваните се изучават и използват за

решаване на надеждностни задачи по телекомуникации.

МЕТОДИ ЗА МОДЕЛИРАНЕ

НА НАДЕЖДНОСТТА

Експериментални

Теоретични

Статистически Аналитични Тест в

лабораторията

Изпитания в

експлоатация

Фиг. 3.1 Основни методи за моделиране на надеждността

Теоретичните методи се свеждат до математическо описание на

поведението на системите при отказ и определяне на показателите за надеждност

като случайни величини. Те са по-бързи, по-икономични и по-гъвкави, но

получените по тях количествени оценки не са така адекватни, както при

експерименталните. При синтез и проектиране на телекомуникационната система

или мрежа те са единствено възможни, а при съвременните средства за компютърно

моделиране – и достатъчно точни за този ранен етап. Тези методи са аналитични

или стохастични.

Аналитичните методи позволяват качествена и количествена оценка на

надеждността. Отказовото поведение на системата се определя от количеството и

вида на отказите и вътрешната структура на обекта.


39

Статистическите методи моделират количествените характеристики на

надеждността. В частност, при Монте-Карло симулацията, се отчитат и наборите от

входни променливи и вероятността за тяхната поява по време на работа на обекта.

Към аналитичните методи могат да се отнесат:

1. Марковските модели;

2. Методът за преход от логически към вероятностни функции;

3. Анализ на дървото на отказите;

4. Анализ на вида и последствията на отказите;

5. Анализ на последователността на събитията;

6. Логически метод за оценка на надеждността ДОНП;

7. Функционално-отказовите модели и др.

Експерименталните методи се прилагат върху вече изготвени изделия и

системи. Данните за надеждността се събират от лабораторни и/или

експлоатационни изпитвания, които се провеждат по научно разработени програми.

Резултатите се обработват по методите на математическата статистика.

По-долу се разглеждат първите три теоретични метода.

3.2 МАРКОВСКИ ПРОЦЕСИ, МАРКОВСКИ ВЕРИГИ

3.2.1 Общи сведения и определения

Както бе казано в т.2.1.1, процесите в природата, обществото и в техниката

могат да са детерминирани и случайни (Фиг.3.2).

ПРОЦЕСИ

детирминирани случайни

немарковски

полумарковски хомогенни

марковски

Фиг. 3.2 Класификация на видовете процеси

Нека е даден обект, който може да има различни състояния Si. Ако

състоянието, в което се намира, се изменя случайно и непредсказуемо във времето,

обектът участва в случаен процес. В момент ti той преминава с някаква вероятност

от едно в друго състояние, а поведението му е низ сменящи се състояния и

събития. Събитията са преходи Si,→ Sj от състояние в състояние, образуващи във


40

времето верига S1,→ S2→ ....Sn (Фиг.3.3.а). При това преходът може да стане, но и

да не стане, т.е., той е вероятностен (Фиг.3.3.б).

Когато състоянията Si са краен брой ni −=1 , а обектът преминава от едно в

друго състояние скокообразно, казва се, че процесът е с дискретни състояния.

Случайният процес с дискретни състояния е в непрекъснато време, когато

преходът е възможен в произволен момент от времето. Ако пък преходите са

възможни само в предварително определени моменти (както е при детерминирани

процеси в синхронните устройства), процесът е в дискретно време.

S1

S2

S3

Si

Sj

Sn

S1

S2

S3

S4 t б) а)

Фиг. 3.3 Марковска верига

В тази глава се разглеждат само случайни процеси в непрекъснато време,

отнасящи се до обекти с дискретни състояния. Ако наблюдаваме един обект, например телефонна централа, ще установим, че има

случайни събития, които принадлежат на едно множество, например откази и

възстановявания, и такива, които принадлежат на друго – повиквания и провеждане на

разговори, образуващи трафика през централата. В общия случай може да се говори и за

други множества от събития.

Събитията, които имат един същ характер и принадлежат на едно

пространство, са еднородни събития.

Поток от събития е последователността от еднородни събития, следващи

едно след друго в случайни моменти от време.

Един широк клас от случайните процеси е изследван от руския учен А.А.

Марков1. След смъртта му друг известен френски математик – Поанкаре, предлага

този клас да носи неговото име – марковски процеси. При протичането на един

такъв процес се образуват марковски вериги (Фиг.3.3,а), които се характеризират с

това, че бъдещото състояние Sj не зависи от предишните Si-k, а само от състоянието,

в което се намира обектът в момента. Текущото състояние Si определя вероятността

обектът да премине към едно или друго следващо състояние.

По-точно условията, на които отговарят тези процеси, са определени от

самия А.А. Марков, както следва:

I-во условие (условие за състоянието): Нека в момент t обектът се намира в

състояние Si. Преходът на едно състояние в друго не зависи от това, как е дошъл в

1 Световно известен математик, роден в гр. Рязан през 1856 г., поч. 1922 г. Професор, член

на Академията на науките на Русия. Известен с фундаментални приноси към

матерматическия анализ и теорията на вероятностите.


41

това състояние, а от това, къде се намира в момента, т.е. бъдещото поведение

на обекта не зависи от процеса в миналото.

II -ро условие (условие за времето): Вероятността за преход на едно

състояние в друго в произволно малък интервал от време [t,t+Δt] е постоянна и не

зависи от текущото време t, а зависи само от дължината на интервала Δt .

При разглеждане на процесите от този вид е удобна представата, че

преходите от състояние в състояние стават като че ли под действието на поток от

събития. Потоците могат да има различни характеристики. В контекста на

марковските методи ще се отбележат два потока: Пуасонов и обикновен поток.

Пуасоновият поток се характеризира с:

• ординарност;

• липса на последействие.

Ординарност означава, че преходите стават един след друг, а две и повече

събития (преходи) не стават едновременно.

Липсата на последействие означава, че събитията в потока не са причинно-

следствено или корелативно свързани. Те са независими събития.

Освен тези си характеристики потокът може да бъде стационарен.

Стационарност означава, че вероятността да стане преход от едно в друго

състояние в кой да е момент е една и съща, т.е. вероятностните характеристики са

неизменни във времето. Или, ако наблюдаваме потока в някакъв произволно малък

интервал от време t , вероятността за поява на събитието остава една и съща по

цялата дължна на оста на времето и във всеки неин момент.

Когато Пуасоновият поток е и стационарен, той се превръща в обикновен

(елементарен) поток, т.е. обикновеният поток притежава стационарност

ординарност и липса на последействие. Тогова случайното време за престой в

състояние Si е разпределено експоненциално, интензивносттаij на всички преходи

S1,→ S2→ ....Sn е постоянна, а случайният процес е хомогенен марковски процес.

Когато марковското условие за времето (второто условие) не е изпълнено,

то .)( constt , потокът е Пуасонов, а процесът е полумарковски.

Езикът за описание на марковските процеси е базиран на ориентираните

графи, на които върхове са състоянията S1→ S2→ ....Sn, а ребра (дъги) -

преходите между Si→ Sj, които стават с интензивност ij (Фиг.3.4,а). Графът

е ориентиран, защото преходите са насочени от едно към друго състояние. Тази

най-обща характеристика си остава и когато, в някои случаи, между две състояния

може да има двупосочни преходи (на Фиг.3.4,а - 12 и 21 ). При самата дъга на

прехода в графа се обозначават интензивностите или честитите на преходите.

Примери за марковски процеси:

1. Хвърляне на зарове. Когато заровете са два, са възможни 36 състояния.

Вероятността да се паднат 2 шестици (дю-шеш), както и всяка друга комбинация, е


42

постоянна, винаги е 1/36, не зависи времето и от това, какво се е паднало предишния път.

Процесът е хомогенен марковски.

а)

1 2

3 4

24

13

21

12

а f

43

λ

μ

б)

Фиг.3.4 Ориентиран граф за описание на марковски процес

2. Откази и възстановявания. Има две състояния: Sа – работоспособно и Sf -

неработоспособно. В периода на случайните откази (Фиг.2.9) интензивността е постоянна

и не зависи от времето. Ако означим с μ интензивността за възстановяване, то тя също може

да се приеме за постоянна, а преходът се определя от това, че обектът в момента е

неработоспособен (Фиг.3.4,б). Но, за разлика от предишния пример, сега интензивностите

на преходите S1→S2 ( ) и S2→S1 ( ) са твърде различни. Процесът отново е хомогенен

марковски.

3. Резервиране на електрозахранването от два независими енергоизточника - I и II.

Възможни са 4 състояния (Фиг.3.5): • S1 - и двата източника работят (а,а);

• S2 - първият работи, вторият не работи (а, f);

• S3 - вторият работи, първият не работи (f, а);

• S4 – и двата източника не работят (f,f).

IaIIa

IaIIf

λ

λ λ μ

μ

μ

λ

μ

IfIIa

IfIIf

Фиг.3.5 Граф на състоянията на двукратно резервирана система

Очевидно, телекомуникационната система ще остане без електрозахранване, ако и двата

енергоизточника са отказали (щриховано на Фиг.3.5). Потокът от откази и възстановявания

е ординарен, не се очаква едновременен отказ на двата енергоизточника, което означава, че

в графа няма диагонални дъги. Процесът отново е хомогенен марковски.


43

4. Повикванията в една телефонна централа са стохастични явления. Преходът на

едно състояние в друго не зависи от това, дали преди това е имало повикване или не. Но

сега второто марковско условие не е спазено – вероятността за преход от свободност към

заетост на съоръженията, и обратно, е зависима от времето. В часа на най-силния трафик е

една, а през ранната утрин е друга. Затова потокът е Пуасонов, а трафикът се моделира с

полумарковски процес.

3.2.2 Параметри на марковски процеси. Окрупняване на графи.

От формулата (2.12) f(t) = P(t). )(t може да се напише за общия случай:

(3.1)

ij

iijijT

PH1

== ,

където:

− Pi е вероятността за пребиваване на обекта в изходното състояние Si,

− ij е интензивността на преходите от състояние Si в Sj,

− Hij е честотата, а Tij – математическото очакване на времето на тези преходи.

Тази обобщена зависимост [5], е валидна за всякакви марковски процеси,

независимо от съществото на явленията, които се подчиняват на марковските

условия.

Нека е даден граф, описващ обект с n състояния (Фиг.3.6). Всички те имат

двустранен преход към състояние Sj. Нека сега по някакъв признак, например

«работоспособност», n-те състояния са обединени в едно състояние (за опростяване

на обозначенията по-нататък ще бележим само индексите Sа → а). Ако е известна

честотата на всеки от преходите Hij, (респ. Hji), еквивалентната честота на влизане в

състояние j (Фиг.3.7,а), респ. на излизане от него, може да се намери като сума от

отделните (парциални) честоти:

(3.2) ==

==n

i

iji

n

i

ijjвх PHH11

.

(3.3)

==

==

n

i

jij

n

i

jijиз PHH11

.

Понеже на излизане всички преходи стават от едно и също състояние, то

вероятността за престой в него се изнася пред скоби.

Сумарната вероятност за пребиваване на обекта във всички n състояния, т.е.

в еквивалентното състояние а, е:

(3.4) =

=n

i

ia PP1

По формули (3.2) и (3.3) се укрупняват графи (Фиг.3.6,б), като по този

начин се намира поведение на обекта, еквивалентно на изходното (Фиг.3.6,а).


44

1

2

i

n

j

λ1j

λ2j

a j

а) б)

λnj λij

a

Hвх..j

Hиз.j

jajaH ,

ajajH ,

Фиг.3.6 Укрупняване на графи

Когато се знаят парциалните интензивности на всеки от преходитеij , може да се

намери и сумарната интензивност jвх. на обобщения преход:

(3.5) ajn

i

i

n

i

iji

a

n

i

ij

jвх

P

P

P

H

===

=

==

1

11.

За да се пояснят тези формули, нека представим един поток, който се

илюстрира с времедиаграма на вече случилите се събития (Фиг.3.7,а). Състоянията

са 3 и те са върхове на графа (Фиг.3.7,б), на чиито дъги са обозначени параметрите

на марковския процес.

а) б) H1/H31

1/H13

1/H1вх

1

2

3

2

3

1

31

13

Н

13

13Н

1221, Н

12212, Н 1/H1из

вхН

изН

Фиг.3.7 Случайни преходи между три състояния

Съгласно приведените формули средното време между две последователни

влизания от състояние 3 в състояние 1 е

Т31= =

n

i

iTn 1

31

1, а

31

31

1

TH = и

3

3131

P

H= .


45

Аналогично може да се напише за 21H и 21 . Тогава може да се намерят честотата,

средното време и интензивността на влизане в състояние 1 от всички (в случая от

двете - 2 и 3) състояния:

3121

3121

3121

31211.

11

ТТ

ТТ

ТТННH вх

+=+=+= ;

32

313212

21

1.1.

PP

PP

PР

Н вхвх

+

+=

+=

.

За параметрите на излизане от състояние а на обобщения граф може да се намери:

1312

1312

1312

13121.

11

ТТ

ТТ

ТТННHиз

+=+=+= ;

3121

1

31211

1

1.1.

)(

+=

+==

P

P

Р

Низиз

.

Вижда се, че, интензивността на излизане от състоянието Si е сума (както и

честотата) от парциалните интензивности на преходите от него към всички

състояния, съгласно графа. Докато интензивността на влизане зависи и от

вероятностите за престой в състоянията, от които стават тези преходи.

3.2.3 Математически модел

Задача на математическия модел на марковските процеси е да cе

намерят вероятностите за пребиваване на обекта във всяко от състоянията Si

( ni −=1 ) и тяхното изменение във времето )(tPi при известни:

• граф на преходите от състояние в състояние Si - Sj

• начално състояние при t = 0 - (0)Pi, където n1i −=

• интензивности ij на преходите Si - Sj, където i,j {1,2,...n} .

За да се илюстрира смисъла на математическия модел, нека се върнем към примера

на Фиг.3.5.

S1

Sς

1

t

P1(t

)

P4(t

) P1(t)

Pς(t)

б)

S4

2λ

λ

а) tkp

Фиг.3.8 Граф на двукратно резервирано енергозахранване


46

Но сега да предположим, че енергоизточниците са невъзстановими обекти,

например галванични батерии. Може да се начертае опростен граф, в който състояния S2 и

S3 са обединени в едно общо състояние Sς (Фиг.3.8). Вероятностите )(tPiще се променят с

времето по следния начин: )(1 tP ще намалява към нула, )(4 tP ще се увеличава до единица,

а Рς(t) ще е нула в началото и края, но при някакво време tkp ще има максимум (Фиг.3.6,б).

Това е очевидно, но как ще става това изменение ще се разбере от решението на задачата,

което ще даде аналитични формули за тези функции.

Така поставената задача може да се реши с помощта на диференциални

уравнения от първи ред, които при хомогенни марковски процеси имат постоянни

коефициенти. На базата на графа с n състояния се построява система от n

уравнения, известна като Система диференциални уравнения на Колмогоров2. В

основата на тази система лежи доказателството, че разликата между честотата

на влизане и излизане от кое да е състояние е равна на първата производна по

времето на вероятността за пребиваване в това състояние:

(3.6) iизiвхi НHdt

tdP..

)(−=

А като се замести от (3.2) и (3.3) в (3.6) се получава:

(3.7) )().)()...()()(

1

2211 tPtPtPtPdt

tdPi

n

j

ijnniiii

=

−++=

Като се подредят компонентите на уравнението по възходящ ред и се напишат

уравненията за всички състояния (върхове на графа) системата диференциални

уравнения на Колмогоров се получава във вида:

)().(...)()()(

.....................................................................

)()...().()()(

)(...)()().()(

1

2211

22

1

21122

12211

1

11

tPtPtPdt

tdP

tPtPtPdt

tdP

tPtPtPdt

tdP

n

n

i

ninnn

nn

n

i

i

nn

n

i

i

=

=

=

−+++=

+−+=

+++−=

(3.8)

Може да се докаже, че едно от тези уравнения е следствие от другите, поради което

системата може да се реши, само ако към нея се добави тривиалното уравнение:

(3.9) )(...)()( 21 tPtPtP n+++ = 1

2 Руски учени от 20-ти век, който с теорема доказва верността на предложеното решение.

Нвх.i Низ.i


47

Системата може да се представи в матричен вид:

(3.10) )()(

tPAdt

tdP=

където A =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

....

....

21

22221

11211

е известна като квадратна стохастична инфитезимална

матрица:

(3.11) A =

−

=

n

i

i

1

1 21 31 .............. 1n

12

−

=

n

i

i

1

2 232 ............... n

……………………………………….

n1 n2 n3

−

=

n

i

ni

1

Нейни елементи аij са стойностите на преходните интензивностиij или техни

изрази и тъй като те са случайни величини, тя се нарича стохастична. Понеже при

хомогенни марковски процеси ij са постоянни числа, задачата се моделира с

обикновени диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Освен че има

равен брой редове и стълбове, поради което е квадратна, матрицата има

свойството:

(3.12) =

=n

i

iJa1

0 ,

т.е. сумата от всички елементи по вертикала е равна на нула, заради което се нарича

инфитезимална. Видно е, че диагоналът на матрицата се образува от отрицателните

суми на всички интензивности, излизащи от състоянието, за което е написано

диференциалното уравнение. Останалите елементи на съответния ред са

интензивностите на преходите в същото състояние от състоянието, съответно на

колоната на матрицата.

Една валидна проверка за коректност на написаната система по зададен

граф може да се основава на свойството инфитезималност.

Общият вид на решението на задачата е:

(3.13) {Pi(t)} = {Pi(0)}.exp[A]t

където {Pi(0)} е вектор {P1(t), P2(t),)… Pn(t)} от вероятностите за състоянията в

момента t = 0.


48

Видно е, че решението се свежда до намиране на n експоненциални

функции или суперпозиции от тях. Задачата може да се реши като се използва

трансформацията на Лаплас. Но по този метод системите с повече от 4 уравнения

създават изключителни аналитични трудности. Затова се използват числени методи

за интегриране на обикновените диференциални уравнения – метод на Рунге-Кута,

Адамс, Хеминг и др. В [6] е предложен един бърз числено-аналитичен метод, за

който има достъпен софтуер.

Системата на Колмогоров е валидна и за случаите, когато потокът от

събития не е стационарен, т.е. consttaij )( , а процесът е полумарковски.

Елементите на матрицата в този случай са функции на времето аij(t), но

constptlima ij

t

ij ==→

)( , т.е. след достатъчно дълго време те се стационаризират.

Решението на системата в този случай е значително по-трудно. Много често се

прилага метода, при който се приема за приблизително вярно, че в даден интервал

от време няма изменение на коефициентите на матрицата. Тогава по познатия

начин като хомогенен за това време марковски процес, може да се намери решение,

валидно за този интервал. Разделяйки интересния за случая отрязък от време на

такива интервали и решавайки задачата многократно, може да се получи

приблизително решение.

Да се върнем на уравнение (3.13). Видно е, че при →t получените като

решения на системата експоненциални функции ще клонят към някаква пределна

стойност и ще се стационаризират. Ако тази стойност не е нула или единица

1const(t)limPt

i =→

.0 , обектът е ергодичен, а границите, към които се

приближават функциите, се наричат пределни вероятности на състоянията.

Състоянията на ергодичния обект са транзитивни, в тях непременно влизат и от

тях непременно излизат преходи, а пределните вероятности не зависят от

началното състояние на обекта. В стационарен режим не само интензивностите на

преходите аij(t), но и вероятностите за престой в състоянията са постоянни, което не

значи че няма преходи.

Когато в някой от върховете на графа има само влизащи дъги, той е

абсорбиращ. След достатъчно дълго време обектът ще се окаже в него,

т.е 1(t)limPt

i =→

. Ако има връх, от който дъгите само излизат, той може да е само

начален Pi(0) = 1, 1(t)limPt

i =→

. Такъв обект е неергодичен.

В стационарен режим от диференциални, уравненията на система (3.8) се

превръщат в линейни алгебрични уравнения (тъй като 0)(=

dt

tdP). Тя може да се

реши значително по-просто с известните от средното училище методи. Решенията

й - вероятностите за престой в състоянията - вече не са функции, а числа.


49

Методът на марковските вериги ще бъде използван при моделиране на

надеждността на обекти и най-вече на системи с възстановяване на

работоспособността.

3.3. МЕТОД ЗА ПРЕХОД ОТ ЛОГИЧЕСКИ КЪМ ВЕРОЯТНОСТНИ

ФУНКЦИИ

3.3.1 Задача на метода за преход от логически въм вероятностни

функции (ЛВМ)

Вероятностна функция в контекста на този метод се нарича вероятността

за истинност на зададена булевата функция. Въпросът има смисъл, ако истинността

на логическото твърдение 1 или 0, «да» или «не», «добро» или «лошо», се подложи

на съмнение: «Да», но колко вероятно е да е «да»? В контекста на надеждността,

колко вероятно е обектът да е работоспособен?

Съгласно метода, твърденията за логическата 1 и логическата 0 се оценяват

на достоверност с вероятностни оценки. Ако Булевата функция (БФ) на

логическото твърдение се означи с ).......( 21 nip zzzzF , където ni zzzz ....... 21 са

логически променливи, то истинността на БФ се оценява със съответната й

вероятностна функция Р(р,q). Предмет на метода ЛВМ е именно това

съответствие.

Съгласно ЛВМ логическите променливи z, от които зависи БФ, се

обозначават с

iz , където i – пореден номер на променливата, а α = 1 или α = 0 - в

зависимост от твърдението. Например, ако елементът i е работоспособен, то 0

iz ,

ако не е –1

iz . Твърдението на БФ се моделира, като се разсъждава логически:

условиятаiz се свързват във функцията:

▪ с операторите за конюнкция , когато трябва да е налице «и» това поредно

условие,

▪ дизюнкция , когато може поредното условие е заместващо («или»

съответното условие).

След това при определени ограничения и по определени правила се преминава към

вероятностна функция, оценяваща истинността на твърдението.

Примери: 1. Между два терминала, свързани към комуникационната мрежа (Фиг.3.9), ще има

връзка, ако терминалите и абонатните им линии са работоспособни и може да се установи

канал между комутационни възли, към които са свързани. Ако комутационните възли и

принадлежащите им съединителни линии бъдат представени като логически променливи, то

Булевата функция на работоспособността ще има вида:

)( 04365216542165321

zzzzzzzzzzzzzzzzF ooooooooooooooop == ,

където с0

iz се поставя изискване, съответния елемент да е работоспособен.


50

Фиг.3.9 Пример за съставяне на Булева функция на работоспособността на мрежа

2. Системата "2 от 3" (Фиг.3.10,а) работи, ако са работоспособни поне два от трите

информационни канала. БФ на работоспособността ще се напише като се разсъждава така:

трябва да работният и трите канала, или втория и третия, или първия и третия или първия и

втория: 111

321321321321 ........ zzzzzzzzzzzzF ooooooooo

p = .

1

2

3

2

от

3

В

а)

Sw

А

б)

А

С

В

D

E

c)

Фиг.3.10 Примерни схеми за съставяне на БФ на работоспособност

3. Компютър А се самотества и, ако установи отказ, чрез превключвателя Sw се

самоизключва, като предоставя управлението на изправния компютър В. Системата ще е

работоспособна, ако работи А или, ако той откаже, работи В: 010

baap zzzF =

4. Дадена е електрическата схема (Фиг. 3.10,с), която работи, ако протече ток през

кой да е от възможните пътища отляво надясно. Кога схемата е работоспособна?

( ) 0000000000000

cbdaeedcedbeap zzzzzzzzzzzzzF ==

Кога е неработоспособна? Търсят се такива съвкупности от състояния на елементите, в

които през нито един от паралелните клонове на схемата не може да протече ток:


51

00000000000

ecbdaecbadaнp zzzzzzzzzzzF ==

3.3.2 Правила за преход от логически към вероятностни функции

Съгласно метода трябва да се спазват следните правила за преход от

логическа към вероятностна функция:

Таблица 3.1

Логическа операция Аритметическа операция

1. Умножение (конюнкция) . Умножение

2. Събиране (дизюнкция) + , Събиране +

3. Отрицание (инверсия) у = x у =1-х

4. Логическа променлива oiz Вероятностна величина p(t)

5. Равнозначни логически операции 1

iz = oi

oi zz −=1

q(t)=1- p(t)

Съгласно тези правила, вместо логическа функция на работоспособността

Fp, се записва нейната вероятност да е истинна P(p,q), вместо логическата

променлива1

iz q – нейната вероятност за истинност, и т.н. Същото заместване

става и с «умножение» и «събиране», които от логически оператори се превръщат в

аритметически. Задачите за преход към вероятностни функции много често се

решават въз основа на операцията «инверсия» x , записана като 1-х, след което се

извършва заместването по правилата от Таблица 3.1.

Примери:

1. )()()](1)[()()1( 11

1

21 tqtptptptPzzzzF ooo

p =−=−==

2. 13213

12132

11321

........ zzzzzzzzzzzzF ooooooooop =

ppi = )(

2)(

3)( 3)( ttt qpptP +=

3. 2121)( pptPzzF oo

p +== . Нека р1 = 0,9, р2 =0,8, тогава Р(t) = 1,7, което е

невъзможно. Вероятността не може да е по-голяма от 1.

Извод: Не може да се прави преход към логическа от коя да е Булева

функция.

Теорията доказва, че при преход съгласно правилата от Таблица 3.1 може да

се получи достоверен резултат, само ако изходната Булева функция е във форма,

подходяща за пълно заместване (ФППЗ).

Този метод е разработен през 70-те години на 20-ти век. В [7] са доказани

теоретичните му основания. Съгласно научната литература има три ФППЗ.

3.3.3 Форми на Булевите функции, подходящи за пълно заместване

1. Безповторна БФ в базис “конюнкция-отрицание” .


52

В такава функция нито една логическа променлива не участва повече от

един път. Но това не е достатъчно. Тя трябва да е и във вид, в който липсва

оператор «дизюнкция» , т.е. в базис “конюнкция-отрицание”. С други думи – в

булевата функция логическите променливи не трябва да се повтарят, а между тях

трябва да има само конюнкции. Може да има и отрицание, но това не е

задължително. Например:

Fp = 1

6

0

5

0

4

0

2

1

1

1

3 .. zzzzzz 654213 1(11 qpppqqP −−−=

Вижда се, че тук три пъти се прилага правило 3 от Таблица 3.1.

Но подходяща за заместване и функцията Fp= 432

0

4

0

3

1

2 )(. ppqtPzzz = , в която

няма отрицание.

2. Ортогонална дизюнктивна нормална форма (ОДНФ)

Както е известно, дизюнктивна нормална е всяка БФ, в която между

импликантите (членовете) на функцията има само дизюнкции, в членовете

логическите променливи не се повтарят, между отделните логически променливи

има само конюнкции. Ортогонална е всяка дизюнктивна нормална форма, в която

логическото произведение на коя да е импликанта с коя да е друга импликанта от

функцията е равно на нула. Най-често нулирането се получава поради това, че в

едната импликанта участва образ, а в другата – инверсия на едно и също логическо

твърдение. Например 00

1

1

1 = mj KzKz , защото по Булевата алгебра 01

1

0

1 =zz .

Примери за вероятностни преходи на базата на ОДНФ:

a) =pF1121

zzz oo 121 qppP +=

b) =pF 1323

11

121

zzzzzz ooo 323121 qppqqpP ++=

3.Съвършена нормална дизюнктивна форма (СДНФ)

Както е известно тя е частен случай на ОДНФ. За разлика от общия случай,

в СДНФ всяка импликанта съдържа всички логически променливи, от които БФ

зависи (следователно е и конституента на единицата).

Примери:

а) Fp = 1

2

0

1

0

2

1

1

1

2

1

1 zzzzzz P(t) = 212121 qppqqq ++

b) 0

3

1

2

1

1

1

3

0

2

1

1

1

3

1

2

0

1

1

3

1

2

1

1 ........ zzzzzzzzzzzzFнp =ppi =

)()()(23 3)( ttt pqqtQ +=

Когато Булевите функции не са подходящи за заместване, те се

преобразуват в еквивалентни подходящи за заместване (ФППЗ). Това може да стане

по следните начини:

1. Разширение на БФ до СДНФ:

Пример: )()( 1

1

0

1

0

2

1

2

0

2

0

1

0

2

0

1 zzzzzzzzFp == = 0

2

1

1

1

2

0

1

0

2

0

1 zzzzzz


53

)1).(1(1)( 21211121 pppqqppptP −−−=++=

Крайният резултат е получен чрез заместване qp −=1 и преработка. В същият

пример, който по-горе беше грешно решен, сега е намерено вярното решение.

2. Прилагане на формулата на де Морган. От нежеланата дизюнкция БФ

може най-бързо и успешно да се освободи чрез познатата формула:

jiji KKKK .=

Пример:1

2

1

1

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1 .. zzzzzzzzFp ==== )1).(1(1)( 21 pptP −−−=

Тук се използва правило 5 от Таблица 3.1. Вижда се, че за същата БФ се получава

същия резултат, както чрез разширение, но сега това е получено по-лесно и по-

елегантно. Разбира се, формулата на Де Морган дава бърз резултат, но когато БФ е

безповторна и трябва да се премине към базис «конюнкция-отрицание». Когато не е

безповторна този метод не дава ФППЗ.

3. Преобразуване в ОДНФ

В общия случай БФ, в какъвто и да е първоначален вид, може да се

преобразува в еквивалента ОДНФ, ако се приложи Теоремата за разложението на

Клод Шенон. Съгласно тази теорема, ако е дадена една произволна БФ

).......( 21 ni zzzzf , тя може да се разложи по коя да е от логическите си променливи

iz на две дизюнктивно свързани компоненти:

)...0....()...1....().......( 21

01

21

10

21 ninini zzzfzzzzfzzzzzf =

За целта в първата компонента образът на променливата0z се умножава логически

с изходната БФ, когато в нея 0

iz е заместена с 1 (това условно е отбелязано като f1),

а във втората компонента инверсната на логическата променлива се умножава

логически с изходната БФ, когато в нея 0

iz е заместена с 0. Очевидно е, че при

заместване на 0

iz =1, 1

iz се замества с нула (1

iz = 0). Разложението може да се

направи по коя да е от логическите променливи. В долния пример разложението е

по 3z .

( ) ( )

( )

( )

1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 12 3 4 3 1 3 2 4 1 3 2 4 1

0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 03 4 3 2 4 1 3 4 3 2 4 1 3 4 3 2 4 1

3 4 3 2 4 1

( ) 1 0. 0 1.

. .

1 1

Fp Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

P p q q q q p

= = =

= = =

= + − −

Следва да се има предвид, че ако след прилагане на формулата на Шенон

макар и една от получените две компоненти не е безповторна и не е ФППЗ,

разложението трябва да продължи по друга логическа променлива. По принцип за


54

променлива на разложението се избира тази логическа променлива, която се среща

най-често в БФ. Ако две или повече логически променливи се срещат еднакъв брой

пъти, избира се тази, която участва с най-много други променливи. След второто

разложение се получават 4 компоненти, за които важи същото изискване. В крайна

сметка, ако се продължи докрай, от изходната БФ ще се получи нейната

еквивалентна СДНФ. Но това не се налага, тъй като решението обикновено идва

след едно-две разложения.

Когато продуктите на разложението са безповторни, те по де Морган лесно

се представят в подходящия за заместване вид.

3.3.4 Алгоритъм за решаване на задачи от вероятностна логика

Изложеният по-горе метод може да се обхване по-пълно като се

формализира в блок схема на алгоритъм (Фиг.3.11).

Безпов-

торна?

Зададена БФ

Базис

к-о?

Преобразование

по Де Морган ОДНФ?

Разложение по

Шенон

Получени

безповторни

компоненти?

Заместване по

правилата на ЛВМ

да

да

не

не

да

да

край

не

не

Фиг.3.11 Алгоритъм за преход от БФ към вероятностни функции

След логически анализ на съответната схема (система, структура)

логическото твърдение може да се запише в произволна БФ (конюнктивна,

дизюнктивна, скобкова и т.н.). Тази БФ се счита за зададена.


55

Функцията се изследва на безповторност и ако е такава се проверява, дали е

в необходимия базис. Ако е в базис «конюнкция отрицание» се преминава към

заместване по правилата на Таблица 3.1. Ако не е, се прилага преобразуване по де

Мораган и тогава се замества.

Когато зададената БФ не е безповторна, проверяваме дали е ОДНФ. Ако се

окаже, че е – заместваме. Ако не е се избира логическа промернлива zi и се прилага

формулата на разложението на К. Шенон. Ако получените при разложението

компоненти не са безповторни, разложението продължава по друга логическа

променлива. Щом се изпълни условието за безповторност алгоритъмът,

продължава по познатия път – прилага се правилото на Де Морган, след което се

замества.

КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ:

F?LH>BA:FH>?EBJ:G? Трета глава G:G:>?@>GHKLLnetseclab.tu-sofia.bg/vbook/Glava3.pdf · съществуващ или в проект, и др.), търси ли се оценка

Documents