FLEXION EN VIGAS
Un elemento estructural razonablemente largo respecto a jas
dimensiones de su laterales y que soporta cargas perpendiculares a
su eje longitudinal se denomina viga. Cualquier miembro
estructural, ya sea un eje, un trabe en un puente o en un edificio,
etc; que se flexiona bajo la aplicacin de cargas, puede
considerarse como viga.
Al igual que los diagramas de fuerza normal y de momento torsor,
los diagramas de fuerza cortante y de momento flector proporcionan
informacin importante para determinar la fuerza cortante y el
momento mximos en una viga. Una vez determinado el momento flector
interno en una seccin cualquiera de la viga se puede calcular el
esfuerzo por flexin.
El diseo de una viga incluye 2 partes: en la primera se
determinan los esfuerzos internos as como las deflexiones (flecha)
producidas por las cargas. La segunda parte est relacionada con la
seleccin del material y la mejor seccin transversal que resista
tales esfuerzos y deflexiones.
Tipos de Vigas.- La clasificacin ms generalizada consiste en
agruparlas en: vigas estticamente determinadas y estticamente
indeterminadas.
Figura (6.1 a) Ejemplos de vigas isostticas
Vigas Isostticas. Son aquellas en las cuales puede determinarse
las reacciones en los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. Una
viga simplemente apoyada, descansa sobre soportes en sus extremos
que permiten la rotacin.- Una viga en voladizo est fija (sin
rotacin) en un extremo.
Vigas Hiperestticas. Cuando se tiene mayor nmero de reacciones
incgnita que ecuaciones de la esttica, se dice que la viga es
estticamente indeterminada.- Una viga en voladizo con apoyo en el
extremo, una viga con doble empotramiento y una viga apoyada sobre
tres o ms apoyos (viga continua), son ejemplos de vigas
hiperestticas.
Figura 6.1 b Ejemplos de vigas hiperestticas
4.1 Relaciones entre carga, Fuerza Cortante y Momento
Flector
Las cargas normalmente pueden ser: peso propio de la viga,
concentradas, distribuidas (uniformemente o no), y par. Para el
clculo de reacciones, las cargas distribuidas pueden remplazarse
por sus resultantes que actan en el centro de gravedad del rea de
la carga distribuida.- Las reacciones son las fuerzas y/o pares que
actan en los soportes.
El cortante vertical V (N o Kgf) en cualquier seccin es una suma
algebraica de todas las fuerzas que actan paralelas a (y sobre) un
lado de la seccin: V = Fv.
El momento flexionante M (N-m o Kgf-m) en cualquier seccin es la
suma algebraica de los momentos de las fuerzas externas que actan
sobre la viga en un lado de la seccin, respecto a uno de los ejes
principales centroidales de inercia de la seccin.
CONVENCIN DE SIGNOS. La Figura (6.2) ilustra la convencin de
signos que se usa comnmente para la interpretacin correcta de las
ecuaciones y diagramas de fuerzas cortantes y momentos
flectores.
a) Considerando el efecto de cargas externas
b) Considerando las fuerzas internas en la seccin
Figura 6.2. Convencin de signos para fuerza cortante y momento
flector en las vigas.
Los Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector
Son grficos que muestran la magnitud de la fuerza cortante o del
momento flector a lo largo de la longitud de la viga.
La construccin del diagrama de fuerzas cortantes y del diagrama
de momentos flectores se simplifica gracias a ciertas relaciones
existentes entre carga, fuerza cortante y momento flector. A fin de
obtener estas grficas matemticas, considrese la figura (6.3) que
ilustra un ejemplo de viga simplemente apoyada que soporta una
carga distribuida w N/m
Fig. 6.3 Viga con carga uniformemente distribuida
Separamos el tramo de viga de longitud y trazamos el diagrama de
cuerpo libre correspondiente:
Condicin de equilibrio:
En el lmite, para:
Esta relacin indica que la pendiente de la curva de fuerza
cortante (para la viga del ejemplo) es negativa, y numricamente
igual a la carga distribuida en ese punto.
Tambin, escribiendo el equilibrio de momentos:
Ordenando convenientemente se tiene:
En el lmite, para se tendr:
(6.2)
(pendiente de la curva de momentos)
Integrando (6.2) entre las secciones C y D
Lo que nos indica que, es el rea bajo la curva de fuerza
cortante entre C y D.
Construccin de los diagramas V y M
Segn lo indicado para V, se deduce que en la seccin de la viga
donde se aplica una carga concentrada, en el diagrama de las
fuerzas cortantes deber aparecer un salto brusco de magnitud igual
a la de la fuerza exterior. - En forma similar, en la seccin donde
se aplica un par de fuerzas, en el diagrama de los momentos
flectores deber aparecer un salto brusco de magnitud igual a la de
este par de fuerzas exterior.
Para vigas que no soportan momentos distribuidos (que originan
flexin), al dibujar los DFC y DMF, as como al comprobarlos, debe
usarse las relaciones diferenciales (6.1) y (6.2) entre M, V y w y
las que de estas se deducen.
Deducciones esenciales de las relaciones (6.1) y (6.2):
1.La fuerza cortante es la pendiente de la recta tangente al
diagrama de momentos flectores en la seccin dada; y la intensidad
de la carga distribuida (w) lo es de la tangente al diagrama de
fuerzas cortantes.
2.En la seccin de la viga donde la fuerza cortante es cero el
momento flector tiene un valor extremo y en la seccin donde la
fuerza cortante pasa bruscamente por su valor nulo, el grfico de M
pierde su monotona.
4.En cada tramo de la viga la variacin de la magnitud del
momento flector entre dos secciones cualquiera es igual al rea del
diagrama de las fuerzas cortantes entre estas dos secciones;
siempre y cuando no acte sobre este tramo pares concentrados
exteriores.
5.Si el eje x va dirigido hacia la izquierda desde el extremo
derecho de la viga, entonces:
6. La concavidad de la curva del diagrama de momentos tiene la
misma direccin que la carga distribuida.
En general, es conveniente trazar los diagramas de fuerza
cortante y de momento flector por debajo del diagrama de cuerpo
libre de la viga.
En la figura (6.4) se muestran diagramas para algunos tipos de
carga comunes; cualquier viga tendr una o ms combinaciones de
stas.
Figura (6.4) Ejemplos de diagramas de fuerza cortante y momento
flector
Ejemplo 6.1. Para la viga cargada segn se muestra, trazar los
diagramas de fuerza contable y momento flector.
Calculo de reacciones:
Mc = 0
FY = 0
Conocidas las reacciones en los apoyos, procedemos al trazado de
los diagramas de fuerza contante y momento flector siguiendo las
instrucciones dadas anteriormente.
Otra alternativa para graficar los diagramas es obtener
previamente las ecuaciones de V y M como funciones de x.
PROBLEMA 6.2. Trazar diagramas de fuerza cortante y momento
flector de la viga con voladizo que se muestra en la figura.
SOLUCIN
Equilibrio en la viga
: RD 6 64 327 = 0
En forma similar: MD = 0
RA 6 - 34 + 321 = 0
Determinadas las reacciones, se completa los valores de las
cargas externas actuantes en la viga y finalmente hacemos los
diagramas correspondientes.
PROBLEMA 6.3. Para la viga (de seccin circular) que se muestra,
hacer los grficos de fuerza cortante y momento flector.
SOLUCIN:
Como son cargas inclinadas consideramos los planos de carga x-z
y x-y para dibujar los grficos de fuerza cortante y momento flector
de la viga
Tenemos, para las componentes de en la direccin del eje x:
Clculo de reacciones en los apoyos:RAx y RBx
RAx + RBx = - 0,485
Resolviendo, tenemos:
RAx= - 4,363 KN
RBx = 3,878 KN
Considerando ahora como fuerzas concentradas a las componentes
de en la direccin del eje Y.
PLANO y z
Clculo de reacciones :
Ecuaciones de equilibrio:
RAy + TBy = 22,34
Resolviendo tenemos: RAy = 9,83 KNRBy = 12,51 KN
En la siguiente figura se muestra los diagramas DFC y DMF
respectivos.
Ejemplo 6.4. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y
momento flector de la viga con articulacin flotante.
27
SOLUCION
Para condicin de articulacin flotante, el momento flector en la
seccin B es nulo.
Para resolver descomponemos la viga en dos:
AB: Simplemente apoyado
BC: En forma de voladizo
Para ambos tipos de vigas, la figura (6.4) nos proporciona sus
respectivos diagramas de fuerza cortante y momento flector.
6.2 ESFUERZOS Y DEFORMACIONES AXIALES EN VIGAS
Hiptesis:
1. El material de la viga observa la Ley de Hooke.
2. El mdulo de elasticidad a la traccin y a la comprensin es el
mismo.
3. La configuracin geomtrica de la viga es tal que la flexin y
no el pandeo es el modo primario de falla.
4. Las secciones planas originalmente perpendiculares al eje
longitudinal de la viga (permanecen planas) y perpendiculares al
eje longitudinal despus de la flexin: esto es cualquier seccin
transversal no se encorva ni se alabea.
5. En la viga deformada, los planes de dichas secciones tiene
una interseccin comn; es decir una recta originalmente paralela al
eje longitudinal de la viga se convierte en arco de
circunferencia.
FLEXIN PURA
Si en los extremos de la viga actan momentos flectores iguales y
opuestos (en el mismo pleno longitudinal), se dice que est sometida
a flexin pura.
La figura (6.5) ilustra ejemplos de vigas a flexin pura.
Figura 6.5. Ejemplos de vigas a flexin pura.
Obsrvese que en los tramos de flexin pura la fuerza cortante es
nula.
VIGAS CON SECCION SIMETRICA
6.2.1. Flexin Simtrica:
Primero estudiaremos los esfuerzos y deformaciones de un
elemento prismtico que posee un plano de simetra y es sometido en
sus extremos a momentos flectores iguales y opuestos Mz que actan
en el plano de simetra.
Consideramos el sistema coordenado de manera que el eje Y es eje
de simetra y el origen est en el centroide de la seccin.
Figura 6.6 Esquema de viga sometida a momento flector Mz
En la figura (6.6), el plano de corte Q divide la viga en dos.
Separamos la porcin izquierda y tracemos su diagrama de cuerpo
libre (Figura 6.7), mostrando las figuras internas en el
material.
La parte superior de la seccin, soporta comprensin y la parte
inferior traccin; y por lo tanto, el eje Z viene a ser el neutro
(sobre cuyos puntos es esfuerzo es nulo).
Condicin de Equilibrio
Figura 6.7 Fuerzas dF actuantes en dA
La ecuacin (6.4) verifica la caracterstica de par del momento
MZ, pues la fuerza de traccin y la comprensin se anulan
mutuamente.
La ecuacin (6.5) resulta trivial si por hiptesis el eje Y es eje
de simetra de la seccin (ntese que cualquier con Z positivo tiene
su simtrico con Z negativo).
Concluimos que la (distribucin real de esfuerzos es estticamente
indeterminada) pues la ecuacin (6.6) resulta insuficiente. Para
obtener la ecuacin complementaria analizaremos las deformaciones
producidas en el elemento.
En la Figura (6.8) se muestra una porcin de viga deformada.- La
deformacin del elemento causada por el momento flector M es medida
con la (curvatura) de la superficie neutra.- La curvatura es
definida como el inverso del radio de curvatura.
Consideramos la fibra paralela a la superficie neutra a una
distancia y.
Podemos escribir para la deformacin longitudinal en el tramo
CD.
Figura 6.8 Esquema de viga deformada
Relaciones geomtrica:
. (6.8)
En (6.7):
.. (6.9)
La relacin (6.9) nos indica que la deformacin unitaria
longitudinal de una fibra cualquiera es directamente proporcional a
su distancia y de la fibra neutra.
Si utilizamos (6.9) en la Ley de Hooke:
(6.10)
Que nos muestra que el esfuerzo normal vara linealmente con la
distancia desde la superficie neutra.
Ahora, reemplazamos de (6.10) en la ecuacin de equilibrio
(6.6)
(6.11)
De esttica, la expresin: es el momento de inercia de la seccin
respecto al eje z.- Reemplazando en (6.11) y ordenando tenemos:
(6.12)
Que viene a ser la expresin de la curvatura de la lnea
neutra.
Despejando de (6.10) y reemplazando en (6.11)
(6.13)
Finalmente, el esfuerzo normal:
(6.14)
Cuya presentacin grfica se muestra en la Figura (6.9). El
esfuerzo mximo se producir en Y = Ymx= C
(6.15)
(C se toma como C1 C2)
De (6.14) y (6.15): (6.16)
Figura 6.9. Esquema de la distribucin del esfuerzo normal
Para verificar que el eje centroidal Z y el eje neutro
coinciden, sustituimos (6.16) en la ecuacin de equilibrio (6.5)
Y de Esttica sabemos que: el producto de inercia con respecto a
los ejes y z ser cero, si estos ejes son los ejes centroidales
principales de la seccin transversal, con lo que se comprueba que
el eje neutro es el eje z.
En la ecuacin (6.15) a la relacin: S = Iz/c, se le denomina
mdulo elstico de la seccin o momento resistente, y como puede verse
depende nicamente de la geometra de la seccin.- Valores de s para
secciones de uso comn se encuentra en tablas y manuales.
(6.15 a)
De esta ltima relacin, se concluye que es recomendable
seleccionar una seccin transversal con el mayor valor de S
posible.
Ejemplo: Para el caso de una seccin rectangular de dimensiones b
y h.
Su mdulo resistente ser:
Por tanto, a igualdad de reas A de la seccin transversal de
forma rectangular, la viga con mayor altura h tendr el mayor mdulo
de seccin y ser ms efectiva para resistir a la flexin, salvo
limitacin por inestabilidad.
ELEMENTOS HECHOS DE VARIOS MATERIALES
Para un elemento hecho de dos o ms materiales con mdulos de
Young diferentes, nuestra aproximacin para la determinacin del
esfuerzo normal en el elemento debe ser modificado.
La deformacin normal mantiene su variacin lineal con la
distancia y desde el eje neutro de la seccin porque no depende del
material. Sin embargo no podemos asumir que el eje neutro pase por
el centroide de la seccin transversal.
Figura (6.10) Distribucin de esfuerzos y deformaciones en una
barra de dos materiales (EA < EB ).
El esfuerzo normal en cada material puede determinarse por la
conocida relacin.
(6.10 repetida)
Analicemos las condiciones de equilibrio para un tramo de viga
como la que se muestra en la figura 6.11.
Figura 6.11
En la seccin transversal debe actuar nicamente el par M.
Se sabe que para los momentos de primer orden se cumple:
(6.18)
Dividiendo entre Ea y haciendo n = Eb / Ea, tenemos:
Donde e son las distancias de la L. N, a los C. G. de la porcin
de material A y B respectivamente.
Localizacin del eje neutro.
Fig. 6.12
Considrese el sistema de ejes Y- Z para la seccin transversal,
en el que la distancia y fija la posicin del eje neutro e , son las
distancias del eje Z a los centros de gravedad de los materiales A
y B.
De la ecuacin (6.18):
De acuerdo a la Figura (6.12) podemos escribir:
de donde:
(6.19)
Ecuacin que determina la posicin del eje neutro
Con (6.20)
En general para un elemento de varios materiales:
(6.21)
ESFUERZO NORMAL
Figura (6.11) repetida
Segunda condicin de equilibrio:
(6.22)
Como la curvatura es nica y est en relacin directa con los
esfuerzos.
Reemplazando valores estas expresiones en (6.23)
(6.23)
Si n = Eb / Ea:
(6.24)
Si la viga de dos materiales tiene una seccin transversal como
la que se muestra la Figura (6.12)
Fig. (6.12). seccin de dos materiales
El momento flexionante M es soportado por los dos
materiales:
MA + MB = M(6.25)
Una relacin ya obtenida anteriormente, entre la curvatura y el
momento flexionante es:
(6.26)
De (6.26) despejando y reemplazando en (6.25)
Luego
(6.28)
Los esfuerzos normales que generan los momentos y segn la
ecuacin (6.14), son:
Reemplazando (6.27) y (6.28)
(6.24 Repetida)
PROBLEMA 6.5Determinar el mximo valor de P que se le puede
aplicar a la viga de dos materiales cuya seccin se indica, sabiendo
que los esfuerzos admisibles a traccin y comprensin son:
Acero: T=1200 kg/cm2 c=800 kg/cm2E=2,1 x 106 kg/cm2
Aluminio: T=1000 kg/cm2 c= 600 kg/cm2E= 0,7 x 106 kg/cm2
SOLUCION
Por conveniencia, consideramos al aluminio como material A y al
acero como material B.
Localizacin del eje neutro:
Frmula (6.20)
Clculo de los esfuerzos normales: Acero y Al
Primero evaluamos los momentos de inercia:
Segn el DMF de la viga tenemos dos opciones para considerar los
valores mximos de los esfuerzos de compresin y traccin: Seccin en
x=2 m. y la seccin en x= 4 m.
Seccin en x=2 m.
Utilizando la ecuacin (6.24) para el esfuerzo normal.
(T)
(C)
Seccin en x = 4 m.
Corresponde a la ubicacin del apoyo B.
(C)
(T)
Para determinar el valor mximo de P comprendemos los esfuerzos
mximos obtenidos con los esfuerzos admisibles.
Material A (aluminio)
Material B (acero)
Por lo tanto,
METDO DE LA SECCIN TRANSFORMADA
Consiste en asumir que la seccin transversal es de un solo
material (normalmente el de menor E), pero obviamente, de geometra
diferente. Veamos seguidamente el anlisis respectivo.
De las relaciones (6.17) tenemos: (6.29)
Lo que nos indica que la misma fuerza podra ser ejercida en un
elemento de rea n.dA del material A.- En otras palabras, la
resistencia a la flexin de la viga permanecera igual como si ambas
porciones fuesen del primer material, estipulado que el ancho de
cada elemento de la porcin inferior debe multiplicarse por el
factor n2.- Ntese que este ensanchamiento (si n>1) o
estrechamiento (si n