DISEO DE VIGAS A FLEXION4.10 DISEO DE VIGAS A FLEXION CON
ARMADURA DE COMPRESIONExisten dos razones fundamentales por las
cuales, en una viga sometida a flexin se puede requerir un diseo
que, a ms de la armadura de traccin tradicional, se utilice
armadura sometida a compresin: Porque existe un limitante mximo de
tipo arquitectnico, constructivo o funcional que impide que la viga
aumente sus dimensiones. Porque, por aspectos constructivos o de
diseo, ya existe armadura de compresin y se desea aprovechar su
existencia obligatoria para disminuir el armado de traccin.Las
especificaciones de los cdigos imponen criterios de diseo que
permiten que, a pesar de incrementar el armado de las vigas, se
mantengan los niveles de ductilidad que son exigidos para las vigas
que solamente requieren armadura de traccin.Cuando la viga no
resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta de armado a traccin mxima
admisible se define mediante la siguiente expresin:
Donde:r : cuanta de armado a traccinrb: cuanta balanceada a
traccin cuando no existe armadura de compresinr : cuanta de armado
a compresinCuando la viga resiste solicitaciones ssmicas, la cuanta
de armado a traccin se define mediante la siguiente expresin:Para
secciones rectangulares, las cuantas de armado anotadas
anteriormente se calculan con las siguientes expresiones:
El criterio bsico detrs de las expresiones que definen la cuanta
mxima es el de que la presencia de la armadura de compresin hace
cambiar la magnitud de la cuanta balanceada, que puede ser
calculada con la siguiente expresin:
La expresin anterior presupone que el momento en que el acero de
traccin ha alcanzado la deformacin de fluencia (es= ey= Fy / Es) y
el hormign ha alcanzado su mxima deformacin (ec= 0.003), el acero
de compresin ha igualado o superado la deformacin de fluencia (es
ey).Para el caso ms comn, de vigas rectangulares, el problema puede
representarse esquemticamente de la siguiente manera:
En el grfico anterior, adems de la geometra bsica de la viga,
constan el diagrama de deformaciones unitarias (e ) y el diagrama
de fuerzas internas (P).a. DISEO DE VIGAS QUE NO PUEDEN INCREMENTAR
SUS DIMENSIONES EXTERIORES:Con bastante frecuencia existen
limitantes en cuanto a las dimensiones mximas que pueden tener las
vigas y, en ocasiones, al intentar disear a flexin tales vigas, se
encuentra que es necesario un armado de traccin que supera los
porcentajes de la cuanta balanceada especificados por los cdigos
(75% de la cuanta balanceada para elementos que no resisten sismos,
y 50 % de la cuanta balanceada para elementos que resisten sismos),
o sencillamente ya no existe armadura capaz de resistir el momento
flector solicitante. En este caso se puede utilizar el siguiente
procedimiento: Se calcula el momento flector que es capaz de
resistir la seccin de hormign armado cuando utiliza la cuanta mxima
permitida por los cdigos (75% o 50% de la cuanta balanceada, segn
el caso). Se calcula la parte de momento flector solicitante que no
alcanza a ser resistida por la cuanta de armado definida
anteriormente, y que debe ser resistida con armadura de traccin
adicional y con armadura de compresin. Se calcula una primera
aproximacin del acero adicional de traccin y el acero de compresin
requeridos para resistir la parte del momento flector solicitante
que no puede ser resistida por la cuanta de armado mxima definida
por los cdigos. Se calcula el momento flector real que resiste el
armado propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin y
compresin hasta obtener el diseo ms econmico.EJEMPLO 4.1:Disear la
viga rectangular de la figura que est sometida a un momento flector
ltimo Mu = 27 T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura
fc = 210 Kg/cm2y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200
Kg/cm2. La viga debe ser diseada para una zona ssmica.
Verificacin de la Necesidad de Armadura de Compresin:Si se
supone que el acero de traccin se encuentra en fluencia, se puede
utilizar la siguiente expresin para calcular la armadura requerida
para resistir el momento flector solicitante:
Los datos son:fc = 210 Kg/cm2Fy = 4200 Kg/cm2b = 30 cmd = 44 cmf
= 0.90Mu = 27 T-m = 2700000 Kg-cmEl acero de traccin requerido
es:
As = 19.67 cm2La cuanta de armado es:
La cuanta balanceada de la seccin es:
La cuanta mxima permisible para zonas ssmicas es:rmx= 0.50 rb=
0.01084Dado que la cuanta de armado calculada (0.01490) supera a la
cuanta mxima permisible (0.01084), se requiere de acero de
compresin para poder resistir los momentos flectores
solicitantes.
Clculo del Momento Flector Mximo que puede Resistirse Unicamente
con Armadura de Traccin:La cuanta mxima de armado sin armadura de
compresin es:rmx= 0.01084La cantidad de acero mxima permisible para
la seccin, sin armadura de compresin, es:As1= rmx. b . d =
(0.01084) (30 cm) (44 cm)As1= 14.31 cm2
La alturaadel bloque de compresin es:
El momento flector ltimo resistenteMu1es:
Mu1= 20.77 T-mClculo del Momento Flector que debe ser Resistido
con la Armadura de Traccin Adicional y con la Armadura de
Compresin:El momento flector que falta por ser resistido es:Mu2= Mu
- Mu1= 27.00 T-m - 20.77 T-mMu2= 6.23 T-mSe requerir de ms acero de
traccin (As2) aadido al ya calculado, y de acero de compresin (As)
para resistir el momento flector faltante.Clculo de la Seccin de
Acero de Traccin Adicional, del Acero Total de Traccin y del Acero
de Compresin:Se va a suponer tentativamente que la posicin del eje
neutro calculada para la cuanta de armado mxima nicamente con acero
de traccin se mantiene luego de aadir el acero faltante de traccin
y el acero de compresin (esta hiptesis es una aproximacin pues, por
los condicionamientos de los cdigos de diseo, el eje neutro
ascender ligeramente y el bloque de compresin del hormign se
reducir, sin embargo se demostrar con este ejemplo que la variacin
de la posicin del eje neutro tiene un efecto muy pequeo sobre el
diseo).Bajo esta hiptesis el momento flector faltante deber ser
resistido nicamente por el acero de traccin adicional y el acero de
compresin.Dado que el acero de traccin est en fluencia, la seccin
adicional aproximada de acero es:
Donde:Mu2= 6.23 T-m = 623000 Kg-cmf = 0.90Fy = 4200 Kg/cm2d = 44
cmr = 6 cmDe donde:
As2= 4.34 cm2Por condiciones de ductilidad, el armado
complementario de traccin que se acaba de calcular debe ser mximo
el 50% del armado de compresin (en zonas no ssmicas sera el 75% del
armado de compresin), por lo que:As2 0.50 AsLa condicin ms econmica
se produce con la igualdad:As2= 0.50 AsDe donde:
As = 8.68 cm2El acero de compresin total es:As = As1+ As2= 14.31
cm2+ 4.34 cm2As = 18.65 cm2Clculo del Momento Flector Ultimo
Resistente para el Armado Propuesto:
As = 18.65 cm2As = 8.68 cm2La fuerza de traccin del acero, que
se encuentra en fluencia, es:T = As . Fy = (18.65 cm2) (4200
Kg/cm2)T = 78330 KgTentativamente se puede suponer que el acero de
compresin tambin ha entrado en fluencia (es ey), lo que
posteriormente deber ser verificado, y corregido en caso de ser
necesario. En este caso el esfuerzo en el acero de compresin es el
esfuerzo de fluencia.fs = Fyfs = 4200 Kg/cm2La fuerza de
compresinCsdel acero es:Cs = As . fs = (8.68 cm2) (4200 Kg/cm2)Cs =
36456 KgPor equilibrio de fuerzas horizontales, la fuerza de
compresin en el hormign es:Cc = T - Cs = 78330 Kg - 36456 KgCc =
41874 KgLa alturaadel bloque de compresin es:
a = 7.82 cmLa posicin del eje neutro queda definida como:
c = 9.20 cmLa deformacin unitaria en el acero de compresin
espuede obtenerse por semejanza de tringulos, de donde:
es= 0.001043En vista de que la deformacin unitaria en el acero
de compresin (0.001043) es inferior a la deformacin unitaria de
fluencia (0.002), la capa de compresin no ha entrado en fluencia y
su esfuerzo debe ser corregido mediante la siguiente expresin:fs =
Es . esLa primera correccin sera:fs = (2100000 Kg/cm2) (0.001043)
=2190 Kg/cm2Cs = As . fs = (8.68 cm2) (2190 Kg/cm2) =19009 KgCc = T
- Cs = 78330 Kg - 19009 Kg =59321 Kg
La segunda correccin sera:fs = Es . es= (2100000 Kg/cm2)
(0.001619) =3400 Kg/cm2Cs = As . fs = (8.68 cm2) (3400 Kg/cm2)
=29508 KgCc = T - Cs = 78330 Kg - 29508 Kg =48822 Kg
En vista de que la convergencia es lenta, conviene utilizar una
hoja electrnica para realizar los clculos.Iteracinfs'CsCcaces'
(Kg/cm2)(Kg)(Kg)(cm)(cm)
12190190095932111,0813,030,001619
2340029508488229,1210,730,001322
32776240945423610,1311,920,001489
4312827148511829,5611,240,001399
5293825505528259,8611,610,001449
6304326412519189,7011,410,001422
7298625918524129,7911,510,001437
8301726189521419,7411,460,001429
9300026041522899,7611,490,001433
10300926122522089,7511,470,001431
11300426078522529,7611,480,001432
12300726102522289,7511,470,001431
13300626089522419,7611,480,001432
14300626096522349,7511,480,001431
15300626092522389,7511,480,001432
16300626095522359,7511,480,001431
17300626093522379,7511,480,001432
18300626094522369,7511,480,001432
19300626094522369,7511,480,001432
Los valores de convergencia son:fs = 3006 Kg/cm2Cs = 26092 KgCc
= 52238 Kga = 9.75 cmc = 11.48 cmes = 0.001432El momento ltimo
resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente
expresin:
Mu = 2731777 Kg-cm = 27.3 T-mEn vista de que el momento flector
resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante
(hay un exceso de 0.31777 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste
de disminucin de acero de traccin y acero de compresin:D Mu = 31777
Kg-cm
D As = 0.22 cm2
D As = 0.44 cm2Las secciones de acero de traccin y compresin
corregidas son:As = 18.65 cm2- 0.22 cm2As = 18.43 cm2As = 8.68 cm2-
0.44 cm2As = 8.24 cm2Por la rapidez de la convergencia de este
proceso (en la primera correccin de armadura se aadieron 4.34 cm2al
acero de traccin y 8.68 cm2al acero de compresin; en esta segunda
correccin se quitaron solamente 0.22 cm2del acero de traccin y 0.44
cm2del acero de compresin, lo que representa aproximadamente la
veinteva parte de la primera correccin de la armadura de traccin),
no es necesario repetir el clculo detallado.Se escogen 5 varillas
de 22 mm a traccin (19.00 cm2), y 2 varillas de 20 mm + 1 varilla
de 16 mm a compresin (8.29 cm2).
Si se est realizando un procesamiento manual de la informacin,
el diseo puede suspenderse tan pronto se realiza el clculo del
acero adicional de traccin y el acero de compresin, evitndose todo
el proceso deClculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el
Armado Propuesto, sin cometerse errores de trascendencia.Si el
diseo se est realizando con computadora, conviene refinar la
determinacin del armado con un proceso similar al propuesto en el
problema anterior.b. DISEO DE VIGAS QUE YA DISPONEN DE ARMADURA DE
COMPRESIN:Se puede utilizar el siguiente procedimiento: Se calcula
la armadura de traccin necesaria si nicamente existiera acero de
traccin. Se calcula el momento flector real que resiste el armado
propuesto. Iterativamente se corrige el armado de traccin hasta
obtener el diseo ms econmico.EJEMPLO 4.2:Disear la viga rectangular
de la figura que est sometida a un momento flector ltimo Mu = 46
T-m, si el hormign tiene una resistencia a la rotura fc = 210
Kg/cm2y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2.
Por armado de estribos la viga dispone de 3 varillas de 18 mm en la
zona de compresin. La viga debe ser diseada para una zona
ssmica.
Clculo de la Armadura Requerida sin Incluir el Efecto de la
Armadura de Compresin:Si se supone que el acero de traccin se
encuentra en fluencia, y que no existe armadura de compresin, la
seccin transversal de la armadura de traccin se puede calcular con
la siguiente expresin:
Los datos son:fc = 210 Kg/cm2Fy = 4200 Kg/cm2b = 35 cmd = 64 cmf
= 0.90Mu = 46 T-m = 4600000 Kg-cmEl acero de traccin requerido
es:
As = 21.43 cm2La armadura de compresin es:As = 3 (2.54 cm2) =
7.62 cm2Clculo del Momento Flector Ultimo Resistente para el Armado
Propuesto:
As = 21.43 cm2As = 7.62 cm2La fuerza de traccin del acero, que
se encuentra en fluencia, es:T = As . Fy = (21.43 cm2) (4200
Kg/cm2)T = 90006 KgSe puede suponer que el acero de compresin
tambin ha entrado en fluencia (es ey). En este caso el esfuerzo en
el acero de compresin es el esfuerzo de fluencia.fs = Fyfs = 4200
Kg/cm2La fuerza de compresinCsdel acero es:Cs = As . fs = (7.62
cm2) (4200 Kg/cm2)Cs = 32004 KgLa fuerza de compresin en el hormign
es:Cc = T - Cs = 90006 Kg - 32004 KgCc = 58002 KgLa alturaadel
bloque de compresin es:
a = 9.28 cmLa posicin del eje neutro queda definida como:
c = 10.92 cmLa deformacin unitaria en el acero de compresin
eses:
es= 0.001352En vista de que la deformacin unitaria en el acero
de compresin (0.001352) es inferior a la deformacin unitaria de
fluencia (0.002), el esfuerzo del acero de compresin se corrige con
la siguiente expresin:fs = Es . esLa primera correccin sera:fs =
(2100000 Kg/cm2) (0.001352) =2839 Kg/cm2Cs = As . fs = (7.62 cm2)
(2839 Kg/cm2) =21633 KgCc = T - Cs = 90006 Kg - 21633 Kg =68373
Kg
La segunda correccin sera:fs = Es . es= (2100000 Kg/cm2)
(0.001602) =3364 Kg/cm2Cs = As . fs = (7.62 cm2) (3364 Kg/cm2)
=25635 KgCc = T - Cs = 90006 Kg - 25635 Kg =64371 Kg
Se puede utilizar una hoja electrnica para preparar una tabla de
clculo de convergencia:Iteracinfs'CsCcaces'
(Kg/cm2)(Kg)(Kg)(cm)(cm)
12839216336837310,9412,880,001602
23364256356437110,3012,120,001515
33182242446576210,5312,380,001546
43248247476525910,4512,290,001535
53224245686543810,4712,320,001539
63233246326537410,4612,310,001538
73229246096539710,4712,310,001538
83231246176538910,4712,310,001538
93230246146539210,4712,310,001538
103230246156539110,4712,310,001538
Los valores de convergencia son:fs = 3230 Kg/cm2Cs = 24615 KgCc
= 65391 Kga = 10.47 cmc = 12.31 cmes = 0.001538El momento ltimo
resistente de la seccin se puede calcular con la siguiente
expresin:
Mu = 4743334 Kg-cm = 47.4 T-mEn vista de que el momento flector
resistente es ligeramente mayor que el momento flector solicitante
(hay un exceso de 1.43334 T-m), se puede efectuar un pequeo ajuste
de disminucin de acero de traccin:D Mu = 143334 Kg-cm
D As = 0.65 cm2Se corrige la seccin de acero de traccin:As =
21.43 cm2- 0.65 cm2As = 20.78 cm2As = 7.62 cm2Al igual que en el
ejemplo anterior, no es necesario repetir el clculo detallado.Se
escogen 2 varillas de 25 mm + 3 varillas de 22 mm a traccin (21.22
cm2), y 3 varillas de 28 mm a compresin (7.62 cm2) que ya existan
previamente.