Flexion en vigas

FLEXION EN VIGAS

MECANICA DE MATERIALES

INTRODUCCION

Las vigas son elementos estructurales que soportan cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento y son comúnmente elementos prismáticos largos y rectos. Las vigas de acero y de aluminio juegan un papel importante tanto en la ingeniería estructural como en la mecánica. Las vigas de madera se emplean, sobre todo, en la construcción residencial.

Las vigas han de diseñarse para que sean seguras. Cuando se aplican cargas perpendiculares al eje mayor de una viga, se producen momentos flexionantes en su interior. Tales cargas transversales sólo causan flexión y corte en la viga. Cuando las cargas no se encuentran en ángulo recto con la viga, también producen cargas axiales en ella. En ocasiones dos o más vigas se conectan por bisagras para formar una estructura continua única.

La carga transversal de una viga puede consistir en cargas concentradas P1, P2,..., expresadas en newtons, libras o sus múltiplos, kilonewtons y kips(figura a), en una carga distribuida w, expresada en N/m, kN/m, lb/ft o kips/ft (figura b), o una combinación de ambas.

Cuando la carga w por unidad de longitud tiene un valor constante a lo largo de parte de la viga (como entre las figuras a y b ), se dice que la carga está uniformemente distribuida en dicha parte de la viga.

CLASIFICACIÓN DE LAS VIGAS

Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la que se encuentran apoyadas. A continuación se presentan varios tipos de vigas utilizadas con frecuencia. La distancia L mostrada en distintas partes de la figura se denomina el claro. Las reacciones en los soportes de las vigas en las partes a, b y c pueden determinarse empleando métodos estáticos. Tales vigas se conocen como estáticamente determinadas. Por otra parte, las reacciones en los apoyos de las vigas d, e y f no pueden determinarse únicamente por métodos estáticos. Las propiedades de las vigas con respecto a su resistencia a las deformaciones debe tomarse en cuenta. Tales vigas se denominan estáticamente indeterminadas.

FORMULA DE LA FLEXIÓN Existen casos cuando una viga esta sometida a momentos flexionantes , el material

sobre el eje centroidal estará a compresión con el esfuerzo de comprensión máximo en la cara superior. El material bajo el eje centroidal estará a tensión con el esfuerzo de tensión máximo en la cara inferior. A lo largo del mismo eje centroidal, la deformación y el esfuerzo son cero debido a la flexión. A esto se le conoce como eje neutro.

En el diseño o análisis de vigas, lo que se pretende por lo general es determinar los esfuerzos máximos de tensión y compresión. Estos esfuerzos máximos dependen de la distancia del eje neutro (eje centroidal) a las caras superior e inferior y se designa como c.

El esfuerzo causado por flexión también es proporcional a la magnitud del momento flexionante aplicado a la sección de interés. La forma y las dimensiones de la sección transversal de una viga establecen su capacidad de soportar el momento flexionante aplicado. Mas adelante se probara que el esfuerzo flexionante es inversamente proporcional al momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal horizontal. A continuación se enuncia:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑐

𝐼Donde: σmáx.= esfuerzo máximo en las fibras externas de la viga.M = momento flexionante en la sección de interés.C = distancia del eje controidal de la viga a las vigas externas.I = momento de inercia de la sección transversal con respecto a su eje centroidal.

Con el fin de aplicar la formula de la flexión, se sugiere el siguiente procedimiento:

Momento interno:

Seccione el elemento en el punto donde debe determinarse el esfuerzo flexionante o normal y obtenga el momento interno M en la sección. Es necesario conocer el eje centroidal o neutro para la sección transversal, dado que M debe calcularse respecto a ese eje.

Si debe determinarse el esfuerzo flexionante máximo absoluto, entonces dibuje el diagrama del momento a fin de determinar el momento máximo en el elemento.

Propiedades de la sección:

Determine el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje neutro.

Esfuerzo normal:

Especifique la distancia y medida en forma perpendicular al eje neutro y al punto donde debe determinarse el esfuerzo normal, después aplique la formula del esfuerzo flexionante máximo. Al sustituir los datos, asegúrese de que las unidades sean consistentes.

El esfuerzo actúa en una dirección de tal forma que la fuerza creada en el punto contribuye con un momento respecto al eje neutro, el cual tiene la misma dirección que el momento interno M, de esta manera puede trazarse la distribución del esfuerzo que actúa sobre toda la sección transversal, o bien puede aislarse un elemento de volumen del material a fin de utilizarlo en la representación grafica del esfuerzo normal

VIGAS COMPUESTOS

Las vigas fabricadas con dos o mas materiales diferentes se conocen como vigas compuestas.

Los ingenieros diseñan las vigas de esta forma con el propósito de desarrollar un medio mas eficiente para soportar las cargas. La aplicación de la formula de la flexión requiere que el material sea homogéneo, por lo que si se desea emplear dicha formula para calcular el esfuerzo flexionante, la sección transversal de la viga debe transformarse en un solo material.

El factor de transformación “n” es una relación entre los módulos de los diferentes materiales que componen la viga. Usado como un multiplicador, este factor convierte la anchura de la sección transversal de la viga compuesta en el de una viga fabricada de un solo material de modo que esta tenga la misma resistencia que la viga compuesta. Así, el material rígido será reemplazado por una mayor cantidad de los materiales mas blandos y viceversa. Su formula consiste es:

𝑛 =𝐸1

𝐸2

VIGAS DE CONCRETO REFORZADO Todas las vigas sometidas a flexión pura deben resistir tanto

esfuerzo de tensión como de compresión. Si embargo, el concreto es muy susceptible al agrietamiento cuando se encuentra en tensión, y por lo tanto no resulta adecuado por si mismo para resistir un momento flexionante. Para evitar este inconveniente, los ingenieros colocan varillas de acero de refuerzo dentro de una viga de concreto en una ubicación donde el concreto se encuentra en tensión. Se requiere que las varillas tengan algo cubierto de concreto para protegerlas de la corrosión o perdida de resistencia en caso de incendio. Los códigos utilizados para el diseño real de concreto reforzado suponen que la capacidad del concreto no soportara ninguna carga de tensión, ya que su posible agrietamiento es impredecible. Como resultado, se asume que la distribución de esfuerzo normales que actúan sobre el área de la sección transversal de una viga de concreto reforzado es similar.

VIGAS CURVAS

La formula de la flexión es aplicable para un elemento recto, ya que su deformación varia linealmente desde su eje neutro. Sin embargo, si el elemento es curvo, esta suposición se vuelve inexacta. Para el análisis de una viga curva, los elementos no son delgados, sino que tienen una curva cerrada y sus dimensiones transversales son grandes en comparación con su radio de curvatura. El análisis siguiente la sección transversal es constante y tiene un eje de simetría perpendicular al momento aplicado M. Además el material es homogéneo e isotrópico y se comporta de forma elástica lineal cuando se le aplica la carga

Si se aísla un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende a deformar el material de manera que cada sección girara un ángulo, que es la misma para cualquier franja en particular, se tiene

que 𝜖 =𝑘(𝑅−𝑟)

𝑟.

A diferencia del caso de vigas rectas, aquí se puede ver que la deformación normal es una función no lineal de r, y por lo tanto varia de forma hiperbólica. Si el material sigue siendo elástico lineal, entonces 𝜎 = 𝐸𝜖, sustituyendo:

𝜎 = 𝐸𝑘(𝑅 − 𝑟

𝑟)

Para obtener la ubicación R del eje neutro, se requiere que la fuerza interna resultante causada por la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal sea igual a 0; es decir:

𝑅 =𝐴

𝐴𝑑𝐴

𝑟

Donde: R= la ubicación del eje neutro, especificado

desde el centro de curvatura o’ del elemento.

A= área de la sección transversal del elemento.

r= la posición arbitraria del elemento del área dA sobre la sección transversal, especificado desde el centro de curvatura o’ del elemento.

A continuacion se presenta un ejercicio:

LA BARRA CURVA TIENE LA SECCIÓN TRANSVERSAL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA. SI SE SOMETE A LOS MOMENTOS DE FLEXIÓN DE 4KN.M, DETERMINE EL ESFUERZO MÁXIMO NORMAL DESARROLLADO EN LA BARRA

Momento interno: cada sección de la barra esta sometida al mismo momento resultante interno de 4 KN.m. como este momento tiende a disminuir el radio de curvatura de la barra, es negativo. Así, M= -4KN.m

Propiedades de la sección: aquí se considerara que la sección transversal esta compuesta por un rectángulo y un triangulo. El area total de la sección transversal es:

Σ𝐴 = 0.05 𝑚 2 +1

20.05𝑚 0.03𝑚 = 3.250 × 10−3 𝑚2

La ubicación del centroide se determina con referencia al centro de curvatura, es decir el punto o’.

𝑟 = 𝑟𝐴

𝐴=

0.225𝑚 0.05𝑚 0.05𝑚 + (0.260𝑚)12 (0.050𝑚)(0.030𝑚)

3.250 × 10−3 𝑚2

= 0.23308 m

Es posible encontrar 𝐴𝑑𝐴

𝑟,

para el rectángulo:

𝐴𝑑𝐴

𝑟= 0.05𝑚(ln

0.250𝑚

0.200𝑚) = 0.011157𝑚

y para el triangulo:

𝐴𝑑𝐴

𝑟=

(0.05𝑚)(0.280𝑚)

(0.280𝑚−0.250𝑚)(ln

0.280𝑚

0.250𝑚) − 0.050𝑚 = 0.0028867𝑚

asi, la ubicación del eje neutro se determina a partir de:

𝑅 = 𝐴

𝐴𝑑𝐴𝑟

=3.250 × 10−3 𝑚2

0.011157𝑚 + 0.0028867𝑚= 0.023142𝑚

observe que R<r tal como se esperaba. Además, los cálculos se realizaron con una precisión suficiente de modo que 𝑟 − 𝑅 = 0.23308𝑚 − 0.23142𝑚 =0.00166𝑚 es ahora con una precisión de tres cifras significativas.

Esfuerzo normal: el esfuerzo normal máximo se produce en A o bien en B. al aplicar la formula de la viga curva para calcular el esfuerzo normal en 𝐵, 𝑟𝐵 = 0.200 𝑚, se tiene:

𝜎𝐵 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝐵)

𝐴𝑟𝐵( 𝑟 − 𝑅)=

(−4𝑘𝑁.𝑚)(0.23142𝑚 − 0.200𝑚)

3.250 × 10−3 𝑚2(0.200𝑚)(0.00166𝑚)= −116𝑀𝑃𝑎

En el punto 𝐴, 𝑟𝐴 = 0.280 𝑀, y el esfuerzo normal es:

𝜎𝐴 =𝑀(𝑅 − 𝑟𝐴)

𝐴𝑟𝐴( 𝑟 − 𝑅)=

−4𝐾𝑁.𝑚 (0.23142𝑚 − 0.280𝑚)

3.250 × 10−3 𝑚2(0.280𝑚)(0.00166𝑚)= 129𝑀𝑃𝑎