Flexin y pandeo de vigas
Objetivo
Estudiar experimentalmente la forma que adopta una barra en
flexin, esto es estudiar la elstica de la viga. Tambin se busca
determinar el mdulo de elasticidad del material.
Vista longitudinal
A)B)z
1
dFdFS0
y
tan =df(x)/dxz=f(x)
R0
Vista transversal
dA
S
R= radio de curvatura
C)yx
Figura xx.1: A) Barra sometida a flexin. A la izquierda se
observa un tramo infinitesimal de la misma sometida a traccin por
la parte superior y a compresin en su parte inferior. La lnea de
trazos indica la lnea neutra, la cual no esta sometida a traccin ni
compresin. B) A la derecha observamos un tramo finito de la misma
barra. C)En la zona central vemos una vista transversal de la
barra.
Consideremos un tramo infinitesimal de una barra sometida a
flexin, como se ilustra esquemticamente en la figura xx.1. Es claro
que mientras la parte superior de la barra se encuentra solicitada
a tensiones de traccin su parte inferior esta sometida a tensiones
de compresin. Asimismo, habr una superficie de la misma, cercana a
su zona central, que no estar sometida ni a traccin ni compresin.
Esta superficie se conoce como la zona neutra de la barra, y en la
figura xx.1.A) est representada por la lnea de trazos. Si tomamos
un elemento infinitesimal de la barra, paralela a la zona o lnea
neutra a una distancia y de la misma, este segmento corresponde a
la regin sombreada de la figura xx.1a.
Supondremos que el rea transversal de este elemento es dA. Con
R0 designamos el radio de curvatura de la zona neutra y llamamos S0
a la longitud del elemento de barra arco de la barra en
consideracin a lo largo de la zona neutra. La longitud del arco de
que esta a una distancia y de la lnea neutra lo designamos con
S(y). De la geometra del problema podemos escribir en primera
aproximacin:
S ( y)R0 y
S0R0
por lo tanto S ( y) S ( y) S0
S0 y R0
(aa1)
Si df designa la fuerza infinitesimal, responsable de la traccin
(o compresin) de este elemento infinitesimal de la barra, por la
ley de Hooke tenemos:1,2,3
df (E dS ) dA E ySoR0
dA .(aa2)
El momento de esta fuerza infinitesimal, relativa a la lnea
neutra ser dM=y.df, por lo tanto el momento flector de la barra
ser: 1,2,3
o bien:
M y df
(E dSSo
) dA E R0
Area y2
dA ,(aa3)
M E I ,(aa4)R0donde hemos definido el momento areal o momento de
inercia de la seccin transversal de la barra como:
I Area y2
dA .(aa5)Aqu E representa el mdulo de rigidez o mdulo de Young
del material. El producto I.E se conoce como el coeficiente de
rigidez ( flexural rigidity o Stiffness) a la flexin de la barra.
Por su parte el radio de curvatura de la barra puede
escribiesecomo:4,5,6
1 (dz
dx)2 3 / 2
f '2 () g'2 ()3 / 2dS
R d 2 z dx 2
f ' () g ' ' () f ' ' () g' ()d.(aa6)
La primera forma de expresar el radio de curvatura corresponde
al caso en que se dispone de la expresin de la curva de la forma
z=z(x) y la segunda cuando la forma de la curva se expresa en forma
paramtrica (x=f(), z=g()). La tercera forma, expresa el radio de
curvatura en trminos de la longitud de arco S y el ngulo que la
tangente a la curva forma con el eje x, como se ilustra en la
figura xx.1. Si la curvatura de la viga es pequea, o
equivalentemente, si el radio de curvatura R es mucho mayor que el
tamao de la viga, o sea si R>>L, tenemos que:
R 1d 2 z dx 2
( f ' ())3f ' () g' ' () f ' ' () g' ().
Momentos flectores: Un problema comn en diversos problemas que
involucran vigas, es determinar el valor del momento flector M(x) o
momento resistente en un punto de coordenada x. Para ello
imaginemos que la barra se corta en el punto de coordenadas x (lnea
mn). Para mantener en equilibrio la seccin que esta a la derecha de
la lnea mn ser necesario una fuerza cortante V(x) (cortante
resistente) y un momento flector M(x), que en realidad realiza la
seccin de la viga a la izquierda de la lnea mn. De las condiciones
de equilibrio (Fi=0 y Mi) podemos obtener los valores de M(x) y
V(x).
A)n
M(x)xmP
V(x)n mP M(x)=-(L-x)PV(x)=-P
B)n
M(x)
V(x)
n
x
m
mP=.g.(L-x)
M(x)=-(L-x)2g./2
V(x)= -g..(L-x)
Figura xx2: A) Barra empotrada de longitud L, sometida a flexin
por una fuerza P aplicada en su extremo libre. B) Barra empotrada
de longitud L, sometida a flexin por una fuerza uniforme
g.distribuida al lo largo de toda la barra. El objetivo en general
es determinar el valor del momento flector M(x) o momento
resistente en un punto de coordenada x. De las condiciones de
equilibrio (Fi=0 y Mi) obtenemos los valores de M(x) y V(x). El
ngulo que forman las tangentes a la barra en sus dos extremos, A,
se conoce con el nombre de ngulo de giro.
Algunos casos de inters son los siguientes:
Viga de peso despreciable empotrada con un extremo libre que
sostiene un peso P: esta situacin se ilustra en la figura x.2.A).
Si concediramos la seccin de la viga a la derecha de mn, de las
condiciones de equilibrio es fcil obtener:
V (x) Py
(aa9)
M (x) P (L x) .(aa10)De la expresin (aa.4) o (aa.8), para
pequeas deformaciones de la barra (1/ R d 2 z dx 2 ) tenemos
que:
z(x) 1 P L x2 (3 x ) ,
3fy
1 P L3f .
6 E I
LA2 L
3E I
(aa11)
En estas ltimas ecuaciones hemos tenido en cuenta las
condiciones de borde del problema,
ms especficamente hemos impuesto las condiciones:
z(0) z(0) x 0.
Viga de con carga distribuida uniformemente, empotrada y con el
otro extremo libre: esta situacin se ilustra en la figura x.2.B).
Si concediramos la seccin de la viga a la derecha de mn, de las
condiciones de equilibrio es fcil obtener:V (x) g (L x) ,(aa12)aqu,
g.es carga por unidad de longitud, la densidad lineal de masa, r la
densidad (masa por unidad de volumen), A el rea transversal de la
barra y g la aceleracin de la gravedad. Tambin tenemos:M (x) g A (L
x)2 .(aa13) 2De la expresin (aa.8), para pequeas deformaciones de
la barra tenemos que:
z(x) 1 24g.m L E I
x2
6L 4x
x2 ,L 3
4 fy
f 1 m.g L
.(aa14)
A3L
8E I
Viga de con carga distribuida variable g.(x), empotrada en un
extremo y con el otro extremo libre: esta situacin es una
generalizacin de la ilustrada en la figura x.2.B). Si concediramos
la seccin de la viga a la derecha de mn, de las condiciones de
equilibrio obtenemos:LV (x) g (x' ) dx' .(aa15)x
Tambin tenemos:
LM (x) g (x' ) (x x' ) dx' .(aa16)x
Si derivamos esta ltima expresin respecto de x obtenemos:
M (x)Lg (x') dx V (x) .(aa17)xxDerivando nuevamente
obtenemos:
2 M (x)g (x) g A(x) (x)x2
(aa18)
Combinando esta ltima expresin con (aa.7) para pequeas
deformaciones, obtenemos la importante relacin de Euler
Bernoulli:
2 M (x)2E
(I
z ) (x)2
(aa19)
x2
x2
x2
Si la seccin de la viga es uniforme, esta ltima expresin se
reduce a::4 zEI g (x)x4
(aa20)
Usando el principio de Dalambert, est ltima expresin nos permite
escribir la ecuacin diferencial del movimiento de la barra:4
4 z
2 z
EI (x)x4t 2
(aa21)
Finamente, es til de tener el cuenta dos teoremas de las reas de
los momentos, que pueden demostrarse a partir de la expresin
(aa4),4,5 para pequeas deformaciones de una barra saber: Primer
teorema del rea de momentos: referida a la figura xx.3, si A,
representa el ngulo entre las tangentes a la barra en sus dos
extremos, conocido con el nombre de ngulo de giro, se cumple la
siguiente relacin: 4,5
A
M (x) dx .(aa22)L
0E I
xAAM(x)
z
x LFigura xx.3: Barra de longitud L, sometida a flexin por un
momento flector aplicado deforma general, M(x), a lo largo de la
misma. A, se conoce con el nombre de ngulo de giro. La distancia A
se mide a lo largo de una lnea perpendicular a la barra.4,5
Segundo teorema del rea de momentos: si A,es la distancia entre
la tangente en uno de los extremos de la barra al otro extremo de
la misma, a lo largo de una direccin perpendicular a la barra (en
su posicin original sin deformacin) se cumple que: 4,5L
A
M ( x) x dxE I0
(aa23)
Es importante sealar que estos teoremas son validos tanto para
toda ala barra como para una porcin de la misma.
Problema de Euler: pandeo de una viga.
El problema de Euler consiste en encontrar a forma de una viga
sometida a pandeo. La curva que describe dicha forma se conoce con
el nombre de la elstica de la misma. En primer trmino analizaremos
caso de pequeas flexiones y seguidamente el caso de flexiones
arbitrariamente grandes.
Pequeas deflexiones: En este caso supondremos que tenemos una
barra de seccin uniforme vertical, empotrada en su parte inferior
como se ilustra en la figura xx.4, sometida a una fuerza o carga F
a lo largo de la misma. Ntese la diferencia con el caso analizado
en figura xx.2, donde la fuerza se aplicaba perpendicular a la
viga. El torque M(x) que la fuerza F ejerce sobre un punto de la
barra de coordenada x, como vimos anteriormente (aa.9), puede
expresarse como:1,2
M (x) F (u0 z(x))
(aa24)
Combinando esta expresin con (aa.3) y (aa.7) tenemos:
d 2 z E I dx 2 F (u0 z(x))
(aa25)
En esta expresin, suponemos que el radio de curvatura es grande
en comparacin del largo L de la barra. La Ec.(aa22) tambin puede
escribirse como:
d z 2 z(x) 2 u2
(aa26)
dx 20
con
2
F E I
(aa27)
La ecuacin diferencial (23) es del mismo tipo que la que se
encuentra al resolverel problema del oscilador armnico. Su solucin
es de al forma:z A sin(x) B cos(x) u0 ,(aa28) las condiciones de
borde: z(0)=0 , dz(0)/dx=0 y z(L)=u0 conducen a: B=-u0 y A=0.Por lo
tanto:
z u0 (1 cos(x)) Para que z(L)= u0, tenemos que:
(aa29)
por lo tanto: 1,2
L n ,2
con
n 1,3,5,... ,(aa30)
Fn 2 2
E I ,
con
n 1,3,5,...
(aa31)
crit
4L2
El menor valor de corresponde a n=1. Esta condicin establece el
menor valor de la carga necesaria para que la barra se pandee. Para
lograr defecciones de orden superior, n=3, 5, etc, se requieren
fuerzas mayores. La forma de la flexin para n=1 y 3 se indican
esquemticamente en los diagramas de la derecha de la figura xx3.Si
la viga no est empotrada en su base, es fcil probar, siguiendo el
procedimiento usado anteriormente que el valor de la fuerza crtica
es:5
Fcrit
n22 E I ,L2
con
n 1,2,3,...
(aa32)
x
FFF
A) B)C)
LLL
z
Fcrit
2 E I L2
Fcrit
42 E I L2
Fcrit
2 E I4 L2
Figura xx.4: Pandeo de una viga con distintas condiciones de
borde. A) ambos extremos libres, B) ambos extremos empotrados y C)
extremo inferior empotrado y superior libre y mvil.
Una apreciacin cualitativa pero til de tener en cuenta, es el
hecho que la energa necesaria para deformar una viga, y
consecuentemente la fuerza necesaria para hacerlo, aumenta a medida
que mayor curvatura se genera el la viga. Ntese que en el ejemplo
de la viga del ejemplo de la figura xx.4, el caso de la viga
doblemente empotrada corresponde al caso en que la longitud de la
barra es igual a una longitud de onda completa, o sea =L. el caso
A) de la misma figura corresponde a =2L. Para el caso C) =4L. Estas
relaciones se correlacionan exactamente con los correspondientes
valores de Fcrit (=42.E.I/2).
Asimismo es interesante notar que para reflexiones transversales
no se requiere una fuerza o carga crtica, al contrario de lo que
ocurre para el caso del pandeo.
Deflexiones mayores- Elstica: Para deflexiones mayores es
necesario usar la expresin exacta para el radio de curvatura,2,7 la
ecuacin diferencial de la elstica se puede encontrar de la ecuacin
bsica que establece la proporcionalidad entre la curvatura en cada
punto de la barra y el momento flector en ese punto de la barra. El
torque de lasfuerzas externas sobre la barra, en un punto de
coordenada z ser F.(u0-z), por lo tanto:
E I ddS
F u0
F z(x) F u
con
z(x) u0
u(x)
(aa33)
dzxdxdSu0F
Lfx
u0
n=1
u0 n=3
uz
zz
Figura xx.5: Pandeo de una viga. L representa su longitud, F es
la carga vertical aplicada a la misma, cuya direccin coincide con
la orientacin original de barra sin carga. El parmetro f se
denomina la flecha. La forma de la barra, llamada la elstica viene
descripta por la funcin z(x). De la figura tenemos que dx/dz=tan.
Las condiciones de contorno son: para x=0, z=0 y dx/dz=0; para z=u0
, tenemos =0 y ds/d=0. 2,7
Derivando esta expresin respecto de S y recordando que:
dz du siny
dx cos
(aa34)
dSsSdSdonde es el ngulo entre la tangente a la curva y el eje x,
tenemos:
Definiendo:
d 2dS 2
F E I
sin.(aa35)
2 1A2
0
F E I
,(aa36)
la ecuacin diferencia de la elstica se convierte en:
d 22 sin0 ,(aa37)dS 2
Vemos que esta ecuacin diferencial es idntica a la ecuacin
diferencial del pndulo simple. Multiplicando esta ltima ecuacin por
d/dS e integrando respecto de S obtenemos:
1 d 2
2 cos2 cos
,(aa38)
2 dS 0
La constante del segundo miembro de (aa38) surge de hacer
cumplir las condiciones de bordes de la barra. En el extremo libre
de la misma, el momento o torque en este punto es nulo, por lo
tanto su curvatura de la misma (d/dS) tambin lo es. Por lo tanto
para , d/dS =0, donde es el ngulo que forma la tangente a la barra
en el extremo libre el ejex. De este modo podemos escribir (aa38)
como:
dS
2
dcoscos0
2
sin 2 (
d/ 2) sin 2 (/ 2)0
.(aa39)
Como suponemos que la longitud de la barra L no se modifica al
flexionarse, tenemos:
01
L
d1
/ 2dt
1 K (/ 2, k ) ,(aa40)
2 / 20
sin 2 (
/ 2) sin 2 (/ 2)
01 k 2 sin 2t
A)
xzB)
u f
2f
f
Figura xx.6: Barra libre sometida a flexin. La misma se puede
suponer como la superposicin de dos barras empotradas como muestra
la figura de la izquierda.7,8 De este modo, la barra de la derecha,
(B) de longitud 2L y flecha 2f se puede tratar con la mismas
ecuaciones que la barra empotrada (A) de longitud L y flecha f.
donde introdujimos las variable k=sin(0/2+/4). Aqu K(,k) es la
integral elptica incompleta de primera especie.3 Este relacin es
til ya que establece una relacin implcita de como funcin de L, y F.
Combinando la expresin (aa.33) con la relacin dz/dS=costenemos:
dddz
2 u
2 z(x)
(aa41)
por lo tanto:
dSdz dS0
1
u() u0 z()
sin0 sin.(aa42)
Es interesante notar que esta ecuacin satisface las condiciones
de borde: para z=0, =0 y para z=u0, =. Tambin tenemos la relacin:
u02.2=sin0. La otra ecuacin paramtrica de x=x() se puede obtener de
las relaciones dx/dz=tany derivada de (aa42) respecto de .
dx
dx dz
1 sin
cos.(aa43)
ddz d
2cos
sin0 sin
Integrando esta ecuacin obtenemos:
x() 12
/ 2
sindt sin0 sin t
1 2E(k,) K (k,),
(aa44)
donde introdujimos las variable k=sin(0/2+/4) y sin=sin(/2+/4)/
sin(0/2+/4). Las funciones K(k,) y E(k,) son las integrales
elpticas incompletas de primera y segunda especie3 respectivamente.
Las expresiones (aa42) y (aa44) son las ecuaciones paramtricas de
la elstica. La ecuacin (aa40) nos permite encontrar el ngulo 0 en
funcin de L. Finalmente la flecha f se puede encontrar a partir de
la expresin (aa44), haciendo x(0), o sea:
La integrales elpticas incompletas de primera especia se definen
como:
K (, k ) 0
definen como:
dt1- k 2 sin 2tE(, k ) 0
y las La integrales elpticas incompletas de segunda especia
se
1- k 2 sin 2t dt . Las correspondientes integrales elpticas
completas
se obtienen para el caso particular en que 2. Estas funciones no
puede expresarse en trminos de funciones elementales. Para su
clculo es necesario realizar la integracin numricamente. Ver
apndice A.
1f x(0 ) 2
/ 2 0
sin t dtsin0 s int
(aa45)
1 2 E(k,/ 2) K (k,/ 2)donde E(k,/2) y K(k,/2) son las integrales
elpticas completas de segunda y primera especie respectivamente 3 y
el parmetro k= sin(0/2+/4). En trminos de estas funciones podemos
escribir (aa40) como:
L 1
/ 2
d1 K (, k,/ 2) .(aa46)22
01- k
sin
Finalmente, si tenemos una barra con dos extremos libre, la
misma se puede suponer como la superposicin de dos barras
empotradas una invertida respecto de la otra como ilustra la figura
xx.5. De este modo, las ecuaciones desarrolladas hasta aqu, para
una barra empotrada de longitud L y flecha f, se pueden usar para
describir una barra libre de longitud total 2L y flecha 2.f entre
sus extremos. Las ecuaciones paramtricas de la curvadescripta por
la barra libre vendrn dada por las expresiones (aa42) y (aa44). 7,8
En laprctica, para describir analticamente la forma de una barra de
longitud 2L y flecha 2f, que por lo general son las magnitudes que
fcilmente se pueden se controlar y sirven de vnculos fsicos del
problema, se puede proceder de la siguiente manera: usamos las
ecuaciones (aa45) y (aa46) para encontrar una relacin matemtica
entre las variables f/L como funcin de . Puede resultar til generar
un grfico de f/L como funcin de .
f2 E(k,/ 2)
con
k sin(
/ 2 / 4)
(aa47)
10LK (k,/ 2)
Elstica - Fleccin de una barra1.0
0.5
0.0f/L
-0.5
-1.0
-90 -70 -50 -30 -101030507090(grad)
Figura xx.7: Grfico de f/L como funcin del ngulo 0 segn la
relacin universal (aa47)
A partir del grfico o la relacin matemtica (aa.47), obtenemos el
valor de , como funcin de los valores observados de f/L.
Con el valor encontrado de , utilizando las expresiones (aa42) y
(aa44) podemos obtener al ecuacin paramtrica de la forma de la
elstica. Adems podemos utilizar la expresin (aa45) para expresar
=K(k,/2)/L. De este modo obtenemos:
x()
y
LK (k,/ 2)
2E(k,) K (k,),(aa48)
u() u0
z()
LK (k,/ 2)
2
sin0
sin0
sin,(aa49)
que puede comparase con los valores medidos de x(z) para la
elstica de una barra de longitud 2L y flecha 2f.Es interesante
notar que la relacin f/L y la forma de una barra de una dada
longitud L y un dado valor de f es universal, igual para todas las
barras. Adems hay un factor de escala universal, que relaciona la
fuerza F con la rigidez de la barra dada por E.I, que se combinan
para producir un dado valor de . segn la expresin (aa36)
Vibraciones transversales de una viga
Como vimos anteriormente, la ecuacin de movimiento de una barra,
para pequeas amplitudes, viene dada por le Ec. (aa21). Mas
especficamente, si las barra vibra en ausencia de roce o friccin,
sin una fuerza impulsora, el movimiento de vibracin libre viene
dado por la ec.(aa21), con las condiciones de borde adecuadas para
cada caso especial. Si la barra vibra, como es usual en un medio
viscosa, aire, agua, etc. o debido a fuerzas de friccin internas
del material, la ecuacin de movimiento ser:
E I
y A
y b y
(aa47)
x z 442
t 2t
y definiendo
c2 E I x
b
0A y
E I x
(aa48)
la ecuacin (aa47) se transforma en:
y 1420
y y 0
(aa49)
z 4c
2 t 2t
yxA) B)z
Figura xx7. Barra de longitud L, soportada por una morsa y con
el otro extremo libre. A la izquierda con una sobrecarga en su
extremo y a la derecha sin sobrecarga y vibrando.
Vibraciones forzadas de una barraLa ecuacin de movimiento de una
barra con vibracin transversal, cuando existen fuerzasde friccin
(internas del material o externas, p.ej. medio viscoso),
caracterizada por un coeficiente de friccin b (por unidad de
longitud) y adems existe una fuerza impulsora F(z,t) por unidad de
longitud (direccin z), la ecuacin de movimiento (aa46) o (aa47) de
transforman en:
4 yE I x 4z
2 yA t 2
b yt
F (z,t)
(aa50)
Barra empotrada con un extremo libre
Un caso de inters practico es la forma que toma una barra de
longitud L soportada por una morsa y de la que pende una sobrecarga
m de su extremo como se ilustra en la Figura xx7.A). La funcin que
describe la fuerza por unidad de longitud se puede escribir, usando
la notacin (x) para describir la funcin delta de Dirac, como:
F(z)=m.g.(x-L). Integrando la ecuacin (aa50) obtenemos la forma de
la curva que forma la barra viene dada por la ecuacin:
cuya solucin es:
2 yz 2
m gE I x
(L z)
(aa51)
y(z)
m g
zz 2 (L )
(aa52)
2E I 3x
Si la barra vibra sin sobrecarga (es decir con su extremo libre)
la frecuencia de vibracin se
obtiene a partir de (14) con la condiciones de bordes
(y(z=0)=0,
y z
z 0
0 ,
2 y
z 2
0z L
y 3 y
z3
z L
0 ), la frecuencia fundamental viene dada por la
expresin siguiente expresin:6,9,10
f 0.28 1L2
E I xA
0.28L2
c0
(aa53)
Vibraciones de una barra con ambos extremos libresSimilarmente,
para una barra con sus dos extremos libres, la solucin de (14)
conduce a las siguientes frecuencia propias6,9,10:
f 1.7908 c
si n=1(aa54)
1L20y
1 2
1
fn n 2
c si n>1(aa55)2 L20
En presencia de roce o friccin, Ec. (aa49), las frecuencias se
modifican ligeramente, si 0k es la frecuencia natural sin roce (Ec.
18,19, 20) y las correspondientes frecuencias con roce son k,
entonces:
2 2
2
con
I x E
c2b 0 b
(21)
k0k
2 A 2
en esta ecuacin d representa el factor de atenuacin que
determina como la amplitud de oscilacin decrece en el tiempo, o sea
que para un dado punto de la barra, la oscilacin en el tiempo puede
escribirse como:
y(z0 ,t) B(z0 ) exp(t) sin(k t (z0 )) ,(22) aqu, z0 indica la
coordenada de la barra en la que se observa la
oscilacin.Procedimientos y mtodos Arreglo experimentalProyecto 1.-
Medicin del mdulo de Young de alambres de
cobre, acero, etc. por mtodo de carga y descarga.
Equipamiento recomendado: Alambre de cobre esmaltado de
espesores entre 0.20 a 0.35 mm. Un potencimetro, un sensor de
fuerzas y una sistema de adquisicin de datos por computadora.
Fm
Potencimetro H0
hFS
F h H0
Fm
F
l 1 d 2
Figura xx8. Alambre de longitud L, soportado por una barra
vertical libre de rotar y ligada a un sensor de fuerza. La fuerza
medida por el sensor de fuerza Fm se relaciona con la fuerza F que
tracciona el alambre. Un potencimetro mide el ngulo de rotacin de
su eje, que suponemos tiene dimetro d. La fuerza F puede aplicarse
colgando pesos del extremo del alambre.
Hay muchos modos de realizar este experimento, una posible
realizacin se ilustra en la figura xx.8. Esta realizacin es
susceptible de implementarse usando un sistema de adquisicin de
datos asociado a una computadora. De este modo se puede medir l
como funcin de la fuerza aplicada F. Como suponemos el dimetro del
alambre conocido (se puede medir directamente) como la longitud L,
este dispositivo nos permite en principio estudiar la relacin entre
la deformacin unitaria del alambre =l/L y el esfuerzo =F/(). Usando
el dispositivo experimental de su eleccin, estudie la relacin entre
como
funcin del esfuerzo para varios dimetros de alambres del mismo
material. Para cada dimetro grafique para de Es posible graficar
todos los alambre de mismo material en un mismo grafico de en
funcin de ? de ser este ltimo el caso, que puede concluir de este
estudio? Es la relacin entre y lineal? A partir de su estudio
obtenga el valor de la pendiente del grafico de en funcin de
Como se compara el mdulo de elasticidad E obtenido de su estudio
con los valores conocidos para estos materiales. Para uno de sus
alambres estudie la relacin de en funcin de tratando el alambre
sobrepase el limite de fluencia. Grafique la relacin entre y para
la carga y la
descarga del material. Son la trayectoria de carga y descarga
idnticas en este caso?
Observa deformacin perramente despus de traccionar el
material?
Proyecto 2.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo
esttico- Deflexin de barras. Medicin cargas y flecha.
Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, hierro o
acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme. Las
dimensiones y forma pueden variar, pero secciones rectangulares de
12x2 mm pueden ser adecuadas. Tambin barras de secciones circulares
de dimetros de 8 a 15 mm pueden servir para este experimento. Una
vez implementada la tcnica, claramente la misma se puede usar para
estudiar otras muestras de caractersticas similares a las
sugeridas. Para este proyecto se requiere dos reglas milimetradas u
opcionalmente un comparados micromtrico.
yxA) B)z
Figura xx7. Barra de longitud L, soportada por una morsa y con
el otro extremo libre. A la izquierda con una sobrecarga en su
extremo y a la derecha sin sobrecarga y vibrando.
Proyecto 3.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo
esttico- Deflexin de barras. Determinacin de la forma mediante
fotografas digitales cargas y flecha
Equipamiento recomendado Barras de aluminio, bronce, hierro o
acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme,
similares a las usadas en el proyecto anterior y una cmara digital
o webcam para obtener una imagen digitalizada de la barra.
Proyecto 4.- Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo
dinmico- Deflexin de barras. Fotointerruptores.
Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, hierro o
acero de aproximadamente 1 m y seccin transversal uniforme,
similares a las usadas en el proyecto anterior y un fotointerruptor
conectado a una computadora.
Proyecto 5.- Medicin del mdulo de Young de barras y tubos
por
Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S.
Gil 200417
Equipamiento recomendado: Tubos huecos de bronce acero o
aluminio de espesores entre 0.1 a 2 mm y de varia longitudes entre
10 a 90 cm. Un micrfono conectado a una computadora con tarjeta
digitalizadora de sonido o bien y un micrfono conectado a un
sistema de adquisicin de datos por computadora.
Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S.
Gil 200418
mtodo dinmico. Sonido emitido por la muestra al ser golpeada.
Grabacin del sonido- Sound card.
Proyecto 6.- Determinacin de la fuerza critica de pandeo de una
viga.
Equipamiento recomendado: Alambre de cobre esmaltado de
espesores entre 0.15 a 0.25 mm. Un potencimetro, un sensor de
fuerzas y una sistema de adquisicin de datos por computadora.
Proyecto 7.- Determinacin de la forma de una barra para grandes
curvaturas.
Equipamiento recomendado: Barras de aluminio, bronce, o de
plstico flexible de aproximadamente 50 cm a 90 cm y seccin
transversal uniforme. Lo importante es que estos barras o flejes se
puedan doblar sin presentar deformaciones permanentes. Cmara
digital o webcam para obtener una imagen digitalizada de la barra
deformada. Si no se dispone de una cmara digital se puede usar un
lpiz para registrar la forma de la barra deformada sobre un papel
milimetrado.
Referencias
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N.Y. 1983) pp.28-40.2. P. A.A. Laura y M. J. Maurizi, Introduccin a
la mecnica de los slidos, Eudeba, Buenos Aires 1979. pp. 249-2563.
M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of mathematical functions
with formulas, graphs and mathematical tables (NBS 1964) pp.
591-592 (www.convertit.com)4. F.V. Warnock Strength of materials
Sir Issac Pitman &Sons, London 19355. Nash, W.A.: Strength of
Materials, Schaums outline series, 2nd edition, McGraw-Hill, INC,
N.Y. 19986. Seto W.W.: Mechanical vibrations, Schaums outline
series, McGraw-Hill, INC, N.Y.1970. (Vibraciones Mecnicas Mc
Graw-Hill NY 1970 )7. A. Valiente, An experiment in nonlinear beam
theory Am. J. Phys. 72, 1008 -1012 (2004).8. Th. Hopfl, D. Sander,
and J. Kirshner,, Demonstration of different bending profiles of a
cantilever caused by a torque or a force Am. J. Phys. 68, 1113
-1115 (2001).9. Introduccin a la Teora de las Vibraciones Mecnicas
- F. L. Babio y H.M. Corts - Ed.Labor S.A. Barcelona 197010.
Matemticas superiores para Ingenieros y Cientficos L.A. Pipes - Mc
Graw-Hill NY 197011. A Student Project on Wind Chimes G.W. Baxter
and K.M. Hagenbuch Phys. Teach.36, 204 (1998) y Phys. Teach. 36,
209 (1998)12. Manual del Ingeniero - Htte - Ed. Gustavo Gili S.A.
Barcelona 198013. Handbook of Chemistry and Physics CRC - Lide,
D.R. (Ed.) - Springer - 80th ed. 199914. Manual de Fsica Elemental
N.I. Koshkin y M.G. Shirkvich MIR Mosc 1975
Experimentos:1. Medicin del mdulo de Young de alambres de cu,
al, etc. por mtodo de carga y descarga.2. Medicin del mdulo de
Young de barras por mtodo esttico- Deflexin de barras. Medicin
cargas y flecha3. Medicin del mdulo de Young de barras por mtodo
esttico- Deflexin de barras. Determinacin de la forma mediante
fotografas digitales cargas y flecha4. Medicin del mdulo de Young
de barras por mtodo dinmico- Deflexin de barras.
Fotointerruptores.5. Medicin del mdulo de Young de barras y tubos
por mtodo dinmico. Sonido emitido por la muestra al ser golpeada.
Grabacin del sonido- Sound card.
Estudio de la flexin de una viga y la elstica de una barra- S.
Gil 200420
6. Determinacin de la fuerza critica de pandeo de una viga.