Fizyka I (B+C) - hep.fuw.edu.plhep.fuw.edu.pl/u/zarnecki/fizyka04/wyklad03.pdf · Fizyka I (B+C) Wykład III: Pojecia˛ podstawowe) punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzedn˛

Kinematyka: opis ruchu

Fizyka I (B+C)

Wykład III:

• Pojecia podstawowe

⇒ punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzednych

⇒ tor, predkosc, przyspieszenie

⇒ pochodna i całka z funkcji

• Ruch jednostajny

• Ruch jednostajnie przyspieszony

Pojecia podstawowe

Punkt materialny

Ciało, którego rozmiary mozna w danym zagadnieniu zaniedbac.

Zazwyczaj przyjmujemy, ze punkt materialny powinien byc dostatecznie mały.

Nie jest to jednak konieczne !

Przykład: “wózek” na torze powietrznym.

Wazne jest, zeby ciało nie miało dodatkowych “stopni swobody”(np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone)

Połozenie punktu materialnego całkowicie okresla jego “stan”.

⇒ pojecie punktu materialnego umozliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.

Naogół przyjmujemy, ze punkt materialny obdarzony jest masa.

A.F.Zarnecki Wykład III 1

Pojecia podstawowe

RuchZmiana połozenia ciała wzgledem wybranego układu odniesienia.

Układ odniesieniaCiało, które wybieramy jako “punkt odniesienia”.

Najczesciej jest nim Ziemia...

Układ odniesienia mozna tez zdefiniowac okreslajac jego połozenie (lub ruch)wzgledem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykład:

• układ srodka masy zderzajacych sie czastek

• układ zwiazany ze srodkiem Galaktyki


Pojecia podstawowe

Układ współrzednychSłuzy do okreslenia połozenia ciała w danym układzie odniesienia

Połozenie mozemy zapisac na wieleróznych sposobów:

• układ współrzednych kartezjanskich:

~r = x ·~ix + y ·~iy + z ·~iz

≡ (x, y, z)

• układ współrzednych biegunowych:

~r = (r,Θ, φ)

• układ współrzednych walcowych:

~r = (l, φ, z)

r

l

i

ii

P

Zz

Θ

X

Y

x

yφx

y

z


Pojecia podstawowe

Tor ruchuOpisuje zmiane połozenia ciała w czasie

W ogólnym przypadku -postac parametryczna toru:

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

~r = (x(t), y(t), z(t)) = ~r(t)

Wektor połozenia ciała ~r (wszystkie jegowspółrzedne) wyrazamy jako funkcjeczasu.

Z

P

r(t)

X

Y


Pojecia podstawowe

Tor ruchuW szczególnych przypadkach mozliwejest odwrócenie jednej z zaleznosci:

t = F (x)

czas wyrazamy jako funkcje współrzednej

⇒ postac uwikłana toru:

y = y(F (x)) = y(x) z = z(x)

~r = (x, y(x), z(x))

FunkcjeW fizyce bardzo czesto staramy sie opisaczaleznosci pomiedzy róznymi wielkosciamiw postaci funkcyjnej.

Naogół do oznaczenia funkcji uzywamysymbolu odpowiadajacego danej wielkoscifizycznej, np.:

droga - s, wysokosc - h, predkosc - v

Postac funkcyjna zalezy jednak od wyboruargumentu funkcji !

W przypadku opisu toru:y(t) i y(x) to dwie rózne funkcje !choc opisuja ta sama wielkosc fizyczna


Pojecia podstawowe

Predkosc srednia

W odstepie czasu:

∆t12 = t2 − t1

punkt materialny przemiescił sie o:

∆~r12 = ~r2 − ~r1 = ~r(t2) − ~r(t1)

Predkosc srednia definiujemy jako

~V

� � ��

12 =∆~r12

∆t12

r r12∆

Z

1

Vt

t

1

2

2

r

X

Y


Pojecia podstawowe

Predkosc chwilowaKazdy pomiar predkosci musi trwac skonczony okres czasu.

Zawsze wiec mierzymy predkosc srednia.

Pojecie predkosci chwilowej wprowadzamy jako graniczna wartosc predkosci sredniejdla nieskonczenie krótkiego czasu pomiaru, ∆t → 0 :

~v = lim∆t→0

∆~r

∆t

Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:

~v =d~r

dt= ~r =

dx

dt·~ix +

dy

dt·~iy +

dz

dt·~iz = vx ·~ix + vy ·~iy + vz ·~iz

Pochodna wektora ≡ wektor pochodnych składowych tego wektora

� �� v = |~v| =√

v2x + v2

y + v2z


Pojecia podstawowe

Pochodna funkcjiPochodna funkcji y = f(x) w punkcie x0

definiujemy jako granice

df

dx≡ lim

∆x→0

f(x0 + ∆x) − f(x0)

∆x

≡ f ′(x0) ≡ f(x0)

dx, df - symboliczne przedstawieniegranicznie małych przyrostów, “rózniczek”

mozna na nich wykonywac podstawoweoperacje arytmetyczne

Interpretacja graficzna

α

α

x 0

x 0

∆x

∆y

x

y

x

y

df

dx= tanα


Pojecia podstawowe

Pochodna funkcjiNie zawsze funkcja jest rózniczkowalna !

Funkcja musi byc ciagła.

Granice lewo i prawostronna ∆y∆x

(policzone dla ∆x < 0 i ∆x > 0)musza byc równe.

Przykład: f(x) = |x|

nie jest rózniczkowalna dla x = 0.

Naogół zakładamy, ze funkcje opisujacerzeczywiste układy fizyczne sa ciagłe irózniczkowalne.

Przykłady

• f(x) = C = const

d

dxf(x) = lim

∆x→0

C − C

∆x= 0

• f(x) = a · x2

d

dxf(x) = lim

∆x→0

a(x + ∆x)2 − ax2

∆x

= lim∆x→0

ax2 + 2ax∆x + x∆x2 − ax2

∆x

= lim∆x→0

2ax∆x + x∆x2

∆x= 2ax


Pojecia podstawowe

Pochodne wybranych funkcji

f(x) = xn ⇒ f ′(x) = n xn−1

f(x) =1

xn⇒ f ′(x) =

− n

xn+1

f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

f(x) = sinx ⇒ f ′(x) = cos x

f(x) = cosx ⇒ f ′(x) = − sin x

Reguły rózniczkowania

y = C · u ⇒ y′ = C · u′

y = u + v ⇒ y′ = u′ + v′

y = u · v ⇒ y′ = u′ · v + u · v′

y =u

v⇒ y′ =

u′ · v − u · v′

v2

C - stałau, v - funkcje, v 6= 0


Pojecia podstawowe

Pochodna funkcji złozonej

Jesli y = F (g(x))

⇒ y′ = F ′(u) · g′(x)

gdzie u = g(x)

Na rózniczkach:

y′ =dy

dx=

dy

du·du

dx

Przykład:

y = ex2

⇒ y′ = ex2· 2x = 2x ex2

Pochodna funkcji odwrotnejJesli funkcja ma funkcje odwrotna:

y = f(x) ⇒ x = f−1(y) ≡ g(y)

Wtedy pochodna funkcji odwrotnej:

g′ =1

y′

Na rózniczkach:

dx

dy=

1dydx

Przykład:

x = ln y ⇔ y = ex

⇒ x′ =dx

dy=

1dydx

=1

ex=

1

y


Pojecia podstawowe

Predkosc chwilowa

r

V∆ t 0P

Wektor predkosci chwilowejjest styczny do toru

Przyspieszenie srednieW odstepie czasu: ∆t12 = t2 − t1

predkosc zmienia sie o:∆~V12 = ~V2 − ~V1 = ~V (t2) − ~V (t1)

Przyspieszenie srednie: ~a

� � ��

12 =∆~V12

∆t12

r t2

t1 V1

2r

V2

V1

∆V12

1

a


Pojecia podstawowe

Przyspieszenie chwilowe

Podobnie jak w przypadku predkosci - granicznawartosc dla nieskonczenie krótkiego pomiaru:

~a = lim∆t→0

∆~V

∆t=

d~V

dt= ~V

Przyspieszenie chwilowe jest pochodnapo czasie predkosci chwilowej:

~a =d~V

dt=

dVx

dt·~ix +

dVy

dt·~iy +

dVz

dt·~iz

= ax ·~ix + ay ·~iy + az ·~iz

Opisuje “tempo” zmian predkosci...

Vr a

∆ t 0

V∆ t 0

a

P


Klasyfikacja ruchów

Ze wzgledu na tor wybrane przypadki szczególne

• prostoliniowy, odbywajacy sie wzdłuz lini prostejZawsze mozemy tak wybrac układ współrzednych aby

y(t) = z(t) = 0 ⇒ ~r(t) =~ix · x(t)

• płaski, odbywajacy sie w ustalonej płaszczyznie

z(t) = 0 ⇒ ~r(t) =~ix · x(t) + ~iy · y(t)

• po okregu

Ze wzgledu na przyspieszenie

• jednostajny ⇒ wartosc predkosci pozostaje stała: |~V | = const

• jednostajnie przyspieszony ⇒ przyspieszenie jest stałe: ~a = const


Ruch jednostajny prostoliniowy

Najprostszy przypadek ruchu:

• Jednostajny: |~V | = const

• Prostoliniowy:~VV

= const

}

⇔ ~a = 0

Przyjmujac, ze ruch odbywa sie wzdłuz osi X:

V =dx

dt= � ��

⇒ x = x0 + V · (t − t0) x0 = x(t0)

t 0 t

∆

V

x

Połozenie (przebyta droga) jest liniowa funkcja czasu.

Drogi przebyte w równych odcinkach czasu sa sobie równe.


Pojecia podstawowe

Całkowanie funkcji

Przypadek ogólny: znamy predkosc V (t)

czy mozemy wyznaczyc zaleznosc połozenia od czasu ?

Mozemy sumowac przesuniecia dx po krótkich przedziałach czasu dt.

Przesuniecie ciała w czasie ∆t = t − t0:

∆x =∑

dt

dx =∑

dt

V dt

Przechodzac do granicy dt → 0:

∆x =

t∫

t0

V dt

całka oznaczona

t 0

∆x

t

V

dt

dx

Interpretacja graficzna: pole pod krzywa


Pojecia podstawowe

Całkowanie funkcjiCałkowanie funkcji to operacja odwrotna do rózniczkowania.

Polega na znalezieniu tzw. funkcji pierwotnej, czyli funkcji,która po zrózniczkowaniu da funkcje wyjsciowa:

f(x) = F ′(x) ≡dF (x)

dx⇐⇒ F (x) =

∫

f(x) dx

Przykłady∫

cos(x) dx = sin(x) + C

∫

1

xdx = ln(x) + C

∫

ex dx = ex + C

funkcja pierwotna moze byc wyznaczonaz dokładnoscia do stałej

Całka oznaczonaPrzyrost wartosci funkcji pierwotnej:

F (x) =

∫

f(x) dx

⇒

x2∫

x1

f(x)dx = F (x2) − F (x1)

brak stałej całkowania !


Pojecia podstawowe

Reguły całkowaniaWynikaja z odpowiednich reguł dla rózniczkowania:

∫

C · f(x) dx = C

∫

f(x) dx

∫

[f(x) + g(x)] dx =∫

f(x) dx +∫

g(x) dx

∫

f(x) g′(x) dx = f(x) g(x) −∫

f ′(x) g(x) dx

� � ��

∫

f(g(x)) g′(x) dx =

∫

f(u) du

∣

∣

∣

∣

u=g(x)� � ��

⇒∫

f(ax + b) dx =1

a

∫

f(u) du

∣

∣

∣

∣

u=ax+b

∫

f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)| + C


Ruch jednostajnie przyspieszony

Jednostajnie przyspieszony: ~a = const

~a =d~V

dt⇒ d~V = ~a dt

⇒ ~V = ~V0 +

t∫

t0

~a dt

~V = ~V0 + ~a · (t − t0) ~V0 = ~V (t0)

Prostoliniowy

Ruch jest prostoliniowy:~VV

= const ⇔ ~V || ~a = const

Przyspieszenie musi miec kierunek zgodny z kierunkiem predkosci



Prostoliniowy (⇒ jednowymiarowy)

Predkosc jest liniowa funkcja czasu:

V = V0 +

t∫

t0

a dt = V0 + a · (t − t0)

Połozenie jest kwadratowa funkcja czasu:

x = x0 +

t∫

t0

V dt = x0 +

t∫

t0

[V0 + a · (t − t0)] dt

= x0 + V0 · (t − t0) +1

2a · (t − t0)

2

= x0 +1

2(V + V0) · (t − t0)

t 0 t

∆V

a

t 0 t

∆x

V



Przyjmijmy, ze w chwili t0 = 0 ciało spoczywa: V0 = V (t0) = 0.

Mierzymy droge jaka ciało przebywa w równych przedziałach czasu:

∆tn = tn − tn−1 = ∆t

⇒ tn = n · ∆t

Przebyta droga:

x(t) =1

2a · t2

∆xn = x(tn) − x(tn−1) =1

2a ·

(

t2n − t2n−1

)

=1

2a · ∆t2

(

n2 − (n − 1)2)

=1

2a · ∆t2 · (2n − 1)

Drogi w kolejnych odcinkach czasu maja sie do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:

x1 : x2 : x3 : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...



Spadek swobodny

y

x

g

Połozenie zalezy kwadratowo od czasu:

y = h −g

2· t2 � �� y(0) = h, Vy(0) = 0



Spadek swobodnyWyniki “domowych” pomiarów:

t [s]

y [m

]

g = 9.7 ± 0.7 m/s2

-0.6

-0.4

-0.2

0

0 0.1 0.2 0.3


Fizyka I (B+C) - hep.fuw.edu.plhep.fuw.edu.pl/u/zarnecki/fizyka04/wyklad03.pdf · Fizyka I (B+C) Wykład III: Pojecia˛ podstawowe) punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzedn˛

Documents