Szent István Egyetem Fizika és folyamatirányítási Tanszék FIZIKA rezgések egydimenziós hullám hangok fizikája Dr. Seres István
Szent István EgyetemFizika és folyamatirányítási Tanszék
FIZ
IKA
rezgések
egydimenziós hullám
hangok fizikája
Dr. Seres István
FIZ
IKA
fft.szie.hu 2
HangtanHarmonikus rezgőmozgás
( ) ( ) )ctsin(c)ctcos(c)ctsin( 2 ⋅−=⋅=
( ) ( ) )ctcos(c)ctsin(c)ctcos( 2 ⋅−=⋅−=
xm
Dxa −== &&
m
Dc =ω=
FIZ
IKA
fft.szie.hu 3
Hangtan
)tcos(C)tsin(C)t(x 21 ω+ω=
Legyen: ϕ= cosAC1
ϕ= sinAC22
2
2
1
1
2
CCA
C
Ctg
+=
=ϕ
)tcos(sinA)tsin(cosA)t(x ωϕ+ωϕ=
Harmonikus rezgőmozgás
FIZ
IKA
fft.szie.hu 4
Hangtan
)tsin(A)t(x ϕ+ω=
)tcos(sinA)tsin(cosA)t(x ωϕ+ωϕ=
( ) βα+βα=β+α sincoscossinsin
Harmonikus rezgőmozgás
FIZ
IKA
fft.szie.hu 5
HangtanHarmonikus rezgőmozgás
a kezdőfázis szerepe
ϕ = 0
FIZ
IKA
fft.szie.hu 6
Hangtan
ϕ = π/2
Harmonikus rezgőmozgás
a kezdőfázis szerepe
FIZ
IKA
fft.szie.hu 7
Hangtan
ϕ = π/6+-
Harmonikus rezgőmozgás
a kezdőfázis szerepe
FIZ
IKA
fft.szie.hu 8
HangtanCsillapodó rezgések
macvDx =−−
xm
cx
m
Dxa &&& −−==
22
0 β−ω=ωm
c2=β
)tsin(Ae)t(x t ϕ+ω= β−
FIZ
IKA
fft.szie.hu 9
Hangtan
)tsin(Ae)t(x t ϕ+ω= β−
Csillapodó rezgések
FIZ
IKA
fft.szie.hu 10
HangtanKényszerrezgés, rezonancia
ma)tsin(fcvDx 0 =ω+−−
)tsin(m
fx
m
cx
m
Dxa 0 ω−−−== &&&
22
0 β−ω=ωm
c2 =β
m
fa 0
0 =
FIZ
IKA
fft.szie.hu 11
Hangtan
)tsin(ax2xxa 0
2
0 ω−β−ω−== &&&
( ) 22222
0
0
4
aA
ωβ−ω−ω=
22
0
2tg
ω−ω
βω=ϕ
Kényszerrezgés, rezonancia
FIZ
IKA
fft.szie.hu 12
Hangtan
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
1
2
3
4
5
6x 10
-3
( ) 22222
0
0
4
aA
ωβ−ω−ω=
Kényszerrezgés, rezonancia
FIZ
IKA
fft.szie.hu 13
Hangtan
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
22
0
2tg
ω−ω
βω=ϕ
Kényszerrezgés, rezonancia
FIZ
IKA
fft.szie.hu 14
Hangtan
Példák:
•Tacoma híd
• karosszéria rezgésbe jön alapjáraton
• Lézeres kémkedés
• mérőműszerek csillapítása
Kényszerrezgés, rezonancia
FIZ
IKA
fft.szie.hu 15
HangtanEgydimenziós hullámfüggvény
)tsin(A)t(y ω=
))tt(sin(A)t,x(y ∆−ω=
))x
T
t(2sin(A)t,x(y
))c
xt(sin(A)t,x(y
λ−π=
−ω=
x
c
FIZ
IKA
fft.szie.hu 16
HangtanAzonos frekvenciájú hullámok
interferenciája
))x
T
t(2sin(A)t,x(y 1
1λ
−π=
)t,x(y)t,x(y)t,x(y 21 +=
))x
T
t(2sin(A)t,x(y 2
2λ
−π=
x1
x2
FIZ
IKA
fft.szie.hu 17
Hangtan
))x
T
t(2sin(A))
x
T
t(2sin(A)t,x(y 21
λ−π+
λ−π=
2cos
2sin2sinsin
β−αβ+α=β+α
))2
xx
T
t(2sin())
xx(cos(A2)t,x(y 2121
λ
+−π
λ
−π=
)t,x(y)t,x(y)t,x(y 21 +=x1
x2
))xx
(cos(A2)x,x(A 2121
λ
−π=
Azonos frekvenciájú hullámok
interferenciája
FIZ
IKA
fft.szie.hu 18
Hangtan
Hang keltése húron:Rögzített vég (csomópont)
Húr hossza L = λ/2Alaphang frekvenciája:
L2
ccf0 =
λ=
L
FIZ
IKA
fft.szie.hu 19
Hangtan
HullámokHang: f=16 Hz- 20 000 Hz
)tsin(A)t(y ω=
hangerősség hangmagasság
f2T
2π=
π=ω
FIZ
IKA
fft.szie.hu 20
Hangtan
Hang keltése húron:Felharmonikus (1,2,… belső csomópont)
L=λ01 f2
L
ccf ==
λ=
02 f3
L3
2
ccf ,L
3
2==
λ=λ=
FIZ
IKA
fft.szie.hu 21
Hangtan
Hang keltése húron:
Felharmonikusok:
f1 = 2f0f2 = 3f0
:
Hangszín: felharmonikusok aránya
FIZ
IKA
fft.szie.hu 22
Hangtan
Hang tulajdonságainak vizsgálata:Frekvencia analízis (furulya)
FIZ
IKA
fft.szie.hu 23
Hangtan
Hang tulajdonságainak vizsgálata:Frekvencia analízis (zongora)
FIZ
IKA
fft.szie.hu 24
Hangtan
Hang tulajdonságainak vizsgálata:Frekvencia analízis (hegedű)
FIZ
IKA
fft.szie.hu 25
Hangtan
Hang tulajdonságainak vizsgálata:•Hang interferencia (hanglebegés)
bal csatornán 440 Hz, jobb csatornán 440 →450 Hzhanglebegés
Közben a hangerő szabályozó hanghullám szabályozó jobb vagy bal csatornájára állítva nincs lüktetés, sztereóban van.
FIZ
IKA
fft.szie.hu 26
Hangtan
Gondolkodtató kérdés:
Koncertek előtt a zenészek közvetlenül az előadás megkezdése előtt még hangolnak.
Miért nem teszik ezt meg mielőtt a közönség megérkezik?
Mi lenne, ha nem tennék ezt?
FIZ
IKA
fft.szie.hu 27
HangtanEgyirányú rezgések összetétele
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
f1=f2,∆ϕ=0
FIZ
IKA
fft.szie.hu 28
Hangtan
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
Egyirányú rezgések összetétele
f1=f2,∆ϕ=π/2
FIZ
IKA
fft.szie.hu 29
Hangtan
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1
0
1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
Egyirányú rezgések összetétele
f1=f2,∆ϕ=π
FIZ
IKA
fft.szie.hu 30
Hangtan
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
0
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1
0
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-2
0
2
Egyirányú rezgések összetétele
f1=2f2,∆ϕ=0
FIZ
IKA
fft.szie.hu 31
Hangtan
0 5 10 15 20 25-1
0
1
0 5 10 15 20 25-1
0
1
0 5 10 15 20 25-2
0
2
Egyirányú rezgések összetétele
5f1=7f2,∆ϕ=0
FIZ
IKA
fft.szie.hu 32
HangtanLebegés
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
0
1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1
0
1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2
0
2
f1=440 Hz, f2=442 Hz
FIZ
IKA
fft.szie.hu 33
HangtanLebegés
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1
0
1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-1
0
1
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-2
0
2
f1=440 Hz, f2=442 Hz
FIZ
IKA
fft.szie.hu 34
Hangtan
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1
0
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2
0
2
Lebegés
f1=440 Hz, f2=442 Hz
FIZ
IKA
fft.szie.hu 35
HangtanRezgések felbontása
Fourier tétel
( )( ) ...t2cosbt2sina
tcosbtsinaa)t(f
22
110
+ω+ω
+ω+ω+=
FIZ
IKA
fft.szie.hu 36
Hangtan
Háromszögrezgés:
10 20 30 40 50 60
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Rezgések felbontása
−ω+ω−ω
π= ...t5sin
5
1t3sin
3
1tsin
8)t(f
222
FIZ
IKA
fft.szie.hu 37
Hangtan
+ω+ω+ω
π= ...t5sin
5
1t3sin
3
1tsin
4)t(f
Négyszögrezgés:
0 50 100 150 200 250-3
-2
-1
0
1
2
3
Rezgések felbontása
FIZ
IKA
fft.szie.hu 38
Hangtan
+ω+ω+ω
π= ...t5sin
5
1t3sin
3
1tsin
4)t(f
0 50 100 150 200 250-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Rezgések felbontása
Négyszögrezgés:
n=1000
FIZ
IKA
fft.szie.hu 39
Hangtan
Hangerősség:Kétféle szokásos mértékegysége van:•Decibel skála•Phon skála
Hangintenzitás:
[ ]2m
WI
A
P
tA
EI
=
=⋅
=
FIZ
IKA
fft.szie.hu 40
Hangtan
Decibel skála
0I
Ilg10dB ⋅=
ahol I0 az 1000 Hz-es hallásküszöb:(I0 = 10-12 W/m2)
FIZ
IKA
fft.szie.hu 41
Hangtan
Decibel skála
FIZ
IKA
fft.szie.hu 42
Hangtan
Hangintenzitás
FIZ
IKA
fft.szie.hu 43
Hangtan
Hangintenzitás
FIZ
IKA
fft.szie.hu 44
Hangtan
Fon(phon) skála
0
lg10I
Ifon ⋅=
ahol I0 az adott frekvencián mérhetőhallásküszöb
A fon hangosság azt mutatja, hogy az adott frekvenciájú hallott hang hány decibeles 1000 Hz-es hanggal azonos hangérzetet kelt.
FIZ
IKA
fft.szie.hu 45
Hangtan
Doppler effektusa, Álló hangforráshoz közeledő megfigyelő esete
t0 ∆t
Hangkibocsátáskezdete vége
Hangérzékelés kezdete vége
c
x
c
tvxt
∆⋅−+∆
Álló hangforrás Mozgó megfigyelőx v
∆t’
c
vctt
c
vt
c
x
c
tvxt't
−∆=∆−∆=−
∆⋅−+∆=∆
fvc
cf
t
't'f
t
f
't
'fN
m−=
∆
∆=
∆=
∆=
FIZ
IKA
fft.szie.hu 46
Hangtan
Doppler effektusÁltalános eset:
0
f
m fvc
vc'f
m
±=
Ahol c a terjedési sebesség, vm a megfigyelő, vf a hullámforrás sebessége.
A felső előjel alkalmazandó, ha közeledik, a felső ha távolodik egymástól a megfigyelő és a forrás.
FIZ
IKA
fft.szie.hu 47
Hangtan
Vöröseltolódás
Egy távoli galaxishalmazfényének vöröseltolódása a látható tartományban
Georg Wiora (Wikipedia)
� = � ∙ �
H = 74,2±3,6 km/s/Mpc
Hubble törvény