- 1. SANTIAGO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRIDMXICO
NUEVA YORK SAN JUAN SANTA FE DE BOGOT SO PAULOAUCKLAND LONDRES MILN
MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS
TORONTOTEXTO PARA EL ESTUDIANTEaomedioAutoresL.A. Pavez F.Profesor
de FsicaUniversidad Metropolitana de Ciencias de la EducacinJ. E.
Jimnez C.Licenciado en FsicaPonticia Universidad Catlica de ChileE.
Ramos M.Doctor en FsicaPonticia Universidad Catlica de
ChilePreliminares Fisica 3M_OK.indd 1 21/7/10 16:59:46
2. Fsica 3 ao medioTEXTO PARA EL ESTUDIANTEAutoresLuis A. Pavez
F.Javier E. Jimnez C.Esteban Ramos M.EditoraPaola GonzlezDiseo y
diagramacinPamela MadridCorreccin de pruebaPatricia
RomeroIlustracionesFaviel FerradaJacob BustamanteArchivo grcoBanco
imgenes McGraw-HillNo est permitida la reproduccin total o parcial
de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisinde
ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrnico, mecnico,
por fotocopia, por registro u otromtodo sin el permiso previo y por
escrito de los titulares del copyright.DERECHOS RESERVADOS
2009McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.Carmencita 25, ocina
51, Las CondesTelfono 56-2-6613000Santiago de ChileLa materialidad
y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad
de Chile.ISBN: 978-956-278-220-3N de Inscripcin: 186.064Impreso en
Chile por: RR Donnelley Chile.Se termin de imprimir esta primera
edicin de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de
2009.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 2 21/7/10 16:59:47 3.
PresentacinLa Fsica va ms all de las ecuaciones y los nmeros.
Muchas cosasque suceden en nuestro alrededor tienen relacin con
ella: los coloresdel arco iris, el brillo, la dureza del diamante
son temas de la Fsica,asimismo, acciones como caminar, correr o
andar en bicicleta invo-lucran los principios de esta ciencia. Por
ello, se ha tenido especialcuidado en establecer la relacin entre
los contenidos y aspectos de lavida diaria, como la tecnologa de
uso comn, la salud, etc.Este libro pretende ser una herramienta til
para todos los estudiantesque cursan el tercer ao medio. El
objetivo es que, leyendo con aten-cin cada una de las secciones,
puedas obtener en forma paulatina,progresiva y ordenada los
conceptos bsicos necesarios para su forma-cin cientca.Los
contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didcti-cas:
Mecnica y Fluidos, las que a su vez se han separado en captulosy
secciones para entregarte una estructura ms dinmica y
didctica.Todas las secciones te presentarn actividades de
indagacin, ejemplos,contexto histrico, actividades de
profundizacin, sntesis, preguntas yejercicios propuestos y
evaluaciones.La Fsica es una actividad humana, una aventura
excitante y en estecurso conocers el fruto de muchos hombres y
mujeres que dedicaronsu vida a la investigacin para comprender
nuestro mundo.3Preliminares Fisica 3M_OK.indd 3 21/7/10 16:59:47 4.
Fsica 3 Ao Medio4Estructura grficaEl texto para el estudiante est
ordenado siguiendo el siguiente esquema:Unidad 1. MecnicaCaptulo 1:
Movimiento circular Seccin 1: Movimiento circular uniformeSeccin 2:
Momento angular y su conservacinCaptulo 2: Energa mecnica Seccin 3:
Energa y movimientoSeccin 4: Conservacin de la energa mecnicaUnidad
2. FluidosCaptulo 3: Hidrosttica Seccin 5: Presin y principio de
PascalSeccin 6: El principio de ArqumedesCaptulo 4: Hidrodinmica
Seccin 7: Fluidos en movimientoEntrada de Unidad presenta los
aprendizajesesperados y las primeras interrogantesmotivadoras
respecto a los temas a trabajar.Entrada de captulo con
preguntasmotivadoras iniciales. Estas preguntastienen un sentido
diagnstico, ya que,por una parte, aluden a conocimientosque se
espera sean de dominio delestudiante y, por otra parte, aluden
aconceptos relacionados con el contenidodel captulo.Preliminares
Fisica 3M_OK.indd 4 21/7/10 16:59:49 5. 5Preguntas y
ejercicios:batera de ejerciciospropuestos que tienenpor objetivo
que elestudiante aplique loscontenidos desarrolladosen la
seccin.Indagacin, actividades que permitena los estudiantes
incentivar lacuriosidad y desarrollar habilidades deinvestigacin
cientca.Contexto histrico de la fsicada referencias de las
personasque contribuyeron al desarrollodel conocimiento en el reade
la fsica relacionada con laseccin.Actividad de profundizacin
sirvepara consolidar el aprendizaje de laprimera parte de la seccin
y desafa alos estudiantes a enfrentar un problemaen base al mtodo
cientco.Evaluacinintermedia permiteevaluar el gradode avance en
lacomprensin de loscontenidos.Sntesis, muestra unmapa conceptual
quelleva a los estudiantesa ordenar y jerarquizarlos contenidos de
laseccin.Evaluacin nal,pone a prueba losaprendizajes logradosen la
seccin.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 5 21/7/10 16:59:52 6. Fsica 3
Ao Medio6ndiceUnidad 1. MecnicaCAPTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPTULO 2: ENERGA MECNICA. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Indagacin 1 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Indagacin 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 57Indagacin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 14 Indagacin 8 . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Seccin 1: Movimiento circular
uniforme. . . . . . . . . . . 15 Seccin 3: Energa y movimiento . .
. . . . . . . . . . . . . . . 59Trayectoria circular. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistema y entorno . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59El perodo.. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Trabajo mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 61La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 18 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 69Actividad de profundizacin . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 20 Indagacin 9 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 70Indagacin 3 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Energa mecnica . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71La aceleracin
centrpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Energa
cintica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71La fuerza centrpeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 23 Energa potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 74Algunos casos de la fuerza centrpeta. . . . . .
. . . . . . . 25 Energa mecnica total . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 78Contexto histrico de la fsica . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 30 Contexto histrico de la fsica . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 79Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Sntesis . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . .
32 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . .
81Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83Indagacin 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 35 Indagacin 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 84Indagacin 5 . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Indagacin 11 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Seccin 2: Momento
angular y su conservacin . . . . . . 37 Seccin 4: Conservacin de la
energa mecnica . . . . . 86El momento angular . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 37 Fuerzas conservativas y fuerzas
disipativas . . . . . . . . 86La inercia rotacional o momento de
inercia . . . . . . . . 40 El principio de conservacin de la energa
mecnica. 88Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 43 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 94Indagacin 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 44 Indagacin 12 . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Torque . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Conservacin
de la energa y roce . . . . . . . . . . . . . . 101Inercia y
conservacin del momento angular. . . . . . . 48 Contexto histrico
de la fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Sntesis . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52 Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 108Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . .
. . . . . . . . . 53 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . .
. . . . . . . . 109Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 55 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 111Preliminares Fisica 3M_OK.indd 6 21/7/10 16:59:53
7. 7Unidad 2. FluidosCAPTULO 3: HIDROSTTICA . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .114 CAPTULO 4: HIDRODINMICA . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Indagacin 13 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Indagacin 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 159Indagacin 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 116 Indagacin 19 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 160Seccin 5: Presin y principio de
Pascal . . . . . . . . . . . 117 Seccin 7: Fluidos en movimento . .
. . . . . . . . . . . . . . 161Lquidos y gases en el Universo . . .
. . . . . . . . . . . . . 118 Flujo . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Conceptos
preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Lneas
de ujo y ecuacin de continuidad . . . . . . . . 162Actividad de
profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La ecuacin
de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Indagacin
15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125 Actividad de profundizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 174Presin hidrosttica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 126 Indagacin 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 175Principio de Pascal . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 130 Aplicaciones de la ecuacin de
Bernoulli. . . . . . . . . 176Presin atmosfrica. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 133 Viscosidad y velocidad lmite. .
. . . . . . . . . . . . . . . . 178Sntesis . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 El ujo
sanguneo en el cuerpo humano. . . . . . . . . . 182Preguntas y
ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 136 Sntesis . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 184Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . .
185Indagacin 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 139 Evaluacin nal de la seccin . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 187Seccin 6: El principio de Arqumedes . . . . . . . . .
. . . 140Por qu un objeto se hunde o ota? . . . . . . . . . . . .
142 Solucionario 188Actividad de profundizacin . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 145Indagacin 17 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 146Tensin supercial y capilaridad . . .
. . . . . . . . . . . . 147Sntesis . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Preguntas y ejercicios
propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 155Evaluacin nal de la
seccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Preliminares Fisica
3M_OK.indd 7 21/7/10 16:59:53 8. Fsica 3 Ao Medio8Seguridad en el
laboratorioEl laboratorio de ciencias es un lugar seguro para
trabajar si eres cuidadoso y ests atento a las normas de
seguridad.Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los
dems. Las reglas que aqu se proporcionan te protegern a ti ya los
otros de sufrir daos. Mientras realices procedimientos en
cualquiera de las actividades, presta atencin en losenunciados de
precaucin.1 Siempre obtn el permiso de tu profesor o profesorapara
comenzar la prctica.2 Estudia el procedimiento. Si tienes
preguntas, plan-taselas a tu profesor(a). Asegrate de entender
todaslas normas de seguridad sugeridas.3
Usaelequipodeseguridadqueseteproporcione.Cuandocualquier prctica
requiera usar sustancias qumicas,debes usar lentes, delantal y
guantes de seguridad.4 Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre
ladalo demodo que la boca apunte lejos de ti y de los dems.5 Nunca
comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhalesqumicos. No pruebes
sustancias o introduzcas algnmaterial en tu boca.6 Si derramas algn
qumico, reporta el derrame a tuprofesor(a) sin prdida de tiempo.7
Aprende la ubicacin y el uso adecuado del extintor deincendios, el
botiqun de primeros auxilios y cualquierequipo de seguridad
complementario.8 Mantn todos los materiales lejos de amas
abiertas.Amrrate el cabello si lo tienes largo.Primeros auxilios en
el laboratorioLesin Respuesta seguraQuemaduras Aplicar agua fra.
Llamar de inmediato al profesor o profesora.Cortaduras y
rasponesDetener cualquier sangrado mediante la aplicacin de presin
directa. Cubrir los cortes con unpao limpio. Aplicar compresas fras
a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a).DesmayoDejar que
la persona se recueste. Aojar cualquier ropa apretada y alejar a
las personas. Llamarde inmediato al profesor(a).Materia extraa en
el ojo Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o
directamente bajo la llave.Envenenamiento Anotar el agente venenoso
sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a).Cualquier derrame
en la piel Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al
profesor(a).9 Si en el saln de clase se inicia un fuego o si tu
ropase incendia, sofcalo con un abrigo o ponte bajo lallave del
agua. NUNCA CORRAS.10 Reporta a tu profesor o profesora cualquier
accidenteo lesin, sin importar lo pequeo que ste sea.Sigue estos
procedimientos mientras limpias tu rea detrabajo.1 Cierra el agua y
el gas. Desconecta los dispositivoselctricos.2 Regresa los
materiales a sus lugares.3 Desecha las sustancias qumicas y otros
materialesde acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a).Coloca
los vidrios rotos y las sustancias slidas en loscontenedores
adecuados. Nunca deseches materialesen la caera.4 Limpia tu rea de
trabajo.5 Lvate las manos a conciencia despus de trabajar enel
laboratorio.Preliminares Fisica 3M_OK.indd 8 21/7/10 16:59:54 9.
9Smbolos de las medidas de
seguridadSMBOLOSPELIGROBIOLGICOPRECAUCIN,SUSTANCIAINFLAMABLEPELIGRODE
INCENDIORIESGO
DEQUEMADURASPRECAUCIN,OBJETOSPUNZOCORTANTESPRECAUCIN,VAPORESPELIGROSOSPRECAUCIN,ELECTRICIDADSUSTANCIASIRRITANTESPRECAUCIN,VENENOPRODUCTOSQUMICOSPELIGROSOSDESECHAR
CONPRECAUCINEJEMPLOS PRECAUCIN REMEDIOSe debe seguir
unprocedimiento especial paradesechar los materiales.Algunos
productos qumicos yorganismos vivos.No deseches estos materiales en
eldrenaje o basurero.Desecha los residuos como loindique tu
profesor(a).Organismos o materialbiolgico que puede causardao a los
humanos.Bacterias, hongos, sangre,tejidos no conservados,materiales
vegetales.Evita el contacto de estos materialescon tu piel. Utiliza
una mascarilla yguantes.Avisa a tu profesor(a) sientras en contacto
conmaterial biolgico. Lvate lasmanos minuciosamente.Objetos que
pueden quemarla piel por estar muy fros omuy calientes.Lquidos
hirviendo, parrillasde calentamiento, hielo seco,nitrgeno
lquido.Utiliza proteccin indicada cuandotrabajes con estos
objetos.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros auxilios.Uso de
herramientas omaterial de vidrio quefcilmente pueden perforar
ocortar la piel.Cuchillos cartoneros,herramientas con punta,agujas
de diseccin, vidrioroto.Utiliza tu sentido comn cuandotrabajes con
objetos punzocortantesy sigue las indicaciones pertinentescuando
utilices herramientas.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros
auxilios.Posible dao al tractorespiratorio por exposicindirecta a
los vapores.Amoniaco, acetona,quitaesmalte, azufre
caliente,pastillas contra las polillas.Asegrate de que haya una
buenaventilacin. Nunca aspires losvapores directamente. Utiliza
unamascarilla.Aljate del rea y avisa a tuprofesor(A)
inmediatamente.Posible dao por choqueelctrico o
quemadura.Conexiones mal hechas,derrame de lquidos,cortocircuitos,
cablesexpuestos.Revisa dos veces el circuito con tuprofesor(a).
Revisa las condiciones delos cables y los aparatos.No intentes
arreglar losproblemas elctricos.Avisa a tu
profesor(a)inmediatamente.Sustancias que pueden irritarla piel o
las membranasmucosas del tractorespiratorio.Polen, pastillas contra
laspolillas, lima de acero, fibrade vidrio, permanganato
depotasio.Utiliza una mascarilla para polvoy guantes. Toma
precaucionesextras cuando trabajes con estosmateriales.Pide a tu
profesor(a) ayudade primeros auxilios.Productos qumicos quepueden
reaccionar y destruirtejido y otros materiales.Blanqueadores, como
elperxido de hidrgeno; cidoscomo el cido clorhdrico;bases como el
amoniaco y elhidrxido de sodio.Utiliza lentes de proteccin,
guantesy un delantal.Enjuaga inmediatamente elrea con agua y avisa
a tuprofesor(a).Sustancias que resultanvenenosas cuando se tocan,se
inhalan o se ingieren.Mercurio, muchoscompuestos metlicos,
yodo,algunas partes de la flor denochebuena.Sigue las instrucciones
que te indiquetu profesor(a).Lava bien tus manos despusde utilizar
estas sustancias.Pide a tu profesor(a) ayudade primeros
auxilios.Productos qumicos inflama-bles que pueden encendersedebido
a la presencia defuego, chispas o calor.Alcohol,
queroseno,permanganato de potasio.Cuando trabajes con
sustanciasqumicas inflamables, evita utilizarmecheros y fuentes de
calor.Avisa a tu profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa
equipo deseguridad contra fuego.Los mecheros en uso puedenocasionar
incendios.Cabello, ropa, papel,materiales sintticos.Amarra tu
cabello y ropa holgada.Sigue las instrucciones que teindique tu
profesor sobre incendiosy extintores.Avisa a tu
profesor(a)inmediatamente. Si esposible, usa equipo deseguridad
contra fuego.PELIGROPreliminares Fisica 3M_OK.indd 9 21/7/10
16:59:55 10. Aprendizajes esperadosAl completar la Unidad, alumnos
y alumnas: reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la
descripcin del movimiento; deducen y aplican con soltura las
relaciones del movimiento circular uniformea una variada gama de
situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita entorno al
Sol); reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza
centrpeta y explican suorigen en diferentes y variadas situaciones
en que objetos se mueven en trayec-torias circulares y con rapidez
constante; aplican la denicin de momento angular a objetos de
formas simples que rotanen relacin a un eje y reconocen la
conservacin de esta magnitud fsica tantoen valor como en direccin y
las condiciones bajo las cuales ella se conserva; aprecian la
utilidad predictiva de las leyes de conservacin del momento
angulary de la energa mecnica; construyen y analizan grcos de las
distintas energas mecnicas; reconocen en el roce cintico una forma
en que habitualmente se disipa la energamecnica; conocen las
situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservacin dela
energa mecnica y usan procedimientos adecuados en su aplicacin;
reconocen en los fenmenos con movimiento circular y aquellos
debidos a la accinde la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el
entorno cotidiano, los conceptosms relevantes con los que se les
describe y las leyes fsicas que los rigen; son capaces de
argumentar en base a los conceptos bsicos de la fsica la
expli-cacin de algn fenmeno fsico; pueden comunicar las ideas y
principios fsicos que explican un determinadofenmeno de la
naturaleza.FISICA_2010_OK.indd 10 21/7/10 17:02:14 11. 11En la
competicin de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, el
martilloes en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las
mujeres o de 7,26 kg paralos hombres) unida a un cable que tiene un
asa en el otro extremo. El atleta gira variasveces para impulsar la
bola, cuidando de no salir de un crculo de 2,1 m de dimetro,
ydespus la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a
mayor distancia. Cuntafuerza debe ejercer el atleta sobre el asa
para hacer que el martillo gire en trayectoriacircular? Qu tipo de
trayectoria sigue el martillo despus de ser
lanzado?FISICA_2010_OK.indd 11 21/7/10 17:02:18 12. Fsica 3 Ao
Medio12MecnicaAntes de empezar...1 Dnde puedes apreciar
movi-mientos circulares en tu vidacotidiana?2 Cmo se calcula el rea
y elpermetro de un crculo cuyoradio es R?3 En qu unidad se miden
losngulos?4 Suponiendo que la Tierra orbitaal Sol en una rbita
circular deradio R, cul es la relacin entrela rapidez angular () y
la rapideztangencial (v) de la Tierra?5 Si un automvil realiza un
mo-vimiento circular uniforme aldoblar en una curva, cambia
suvelocidad?6 Cul crees que es la diferenciaentre el momento lineal
y el mo-mento angular?7 Por qu una gimnasta de patinajeartstico
gira ms rpido cuandojunta sus brazos al cuerpo?8 Cmo dos personas
de distintopeso pueden mantener en equi-librio un balancn?9 Por qu
crees que la mayora delas puertas tienen la manilla enel extremo y
no en el medio?10 Qu duracin tendra el ao solarsi la distancia
Tierra-Sol fuera lamitad de lo que es?11 Imagina dos cilindros de
igualforma y masa, pero uno huecoy el otro macizo. Cul de
loscilindros rueda ms rpido porun plano inclinado? Por qu?Con
ninguna disposicin he encontrado simetra tan maravillosa,conexin
tan armnica de los astros, como colocando la antorchadel mundo, el
Sol, que gobierna las revoluciones circulares detoda la familia de
los astros, sobre el trono en el magnco templode la
naturaleza.Nicols Coprnico (1473 1543), sacerdote y astrnomo
polaco.Captulo 1FISICA_2010_OK.indd 12 21/7/10 17:02:26 13.
13Captulo 1: Movimiento CircularIndagacin N1Cmosehaceunacurva?PARTE
I: Trabajo personalSeguramente te has dado cuenta que muchos de los
movimientos queobservamos a diario no son siempre rectilneos. Por
ejemplo, el movi-miento de un automvil en una curva o el movimiento
del t al revolverlocon una cuchara. Reexiona sobre las siguientes
preguntas y respondeen tu cuaderno.a) Qu caractersticas tiene el
movimiento circular uniforme? Qumagnitudes cambian en el tiempo y
qu magnitudes se mantienenconstantes?b) Cmo es que los automviles
pueden doblar en las curvas sin seguirde largo por el camino?PARTE
II: Trabajo en equipoJunto a un compaero o una compaera, contrasten
las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a
favor o en contra de ellas.A continuacin, elaboren una hiptesis en
conjunto que d respuesta ala segunda pregunta.a) Registren la
hiptesis en sus cuadernos e identiquen cules son lasvariables
observables que pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su
hiptesis, diseen un procedimiento experimentalque les permita
ponerla a prueba, para evaluar si es una explicacinaceptable o debe
ser descartada. Dibujen su montaje experimentaly describan
brevemente, pero con precisin, el procedimiento
quesugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto
sea factible derealizar en una hora de clases; es decir, que
incluya el uso de materialesde fcil adquisicin o construccin y
tiempos razonables para la obser-vacin y el anlisis de sus
resultados.c) Para nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn
las indica-ciones que les d su profesor(a).Recuerden que una
hiptesises una explicacin posibleque se supone cierta hastaque
pueda ser contrastadaempricamente. Por estarazn, es fundamental
quela hiptesis se reera a unnmero reducido de variablesobservables
y de algn modomedibles, que eventualmentepueden ser controladas en
unexperimento.FISICA_2010_OK.indd 13 21/7/10 17:02:31 14. Fsica 3
Ao Medio14MecnicaPARTE I: Trabajo personalCuando un objeto se deja
caer libremente sobre la supercie terrestre, sigue una
trayectoriarectilnea dirigida hacia el centro de la Tierra. En
cambio, un objeto que es lanzado comoun proyectil con cierta
velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero
igualmentecae al
suelo.Sinembargo,laLunanocaeverticalmente.Porqunosecomportacomoelrestodelosobjetosque
se mueven sobre la supercie de la Tierra? Cmo puedes explicar esta
diferencia?Plantea una hiptesis que d respuesta a estas preguntas y
regstrala en tu cuaderno.PARTE II: Observacin compartidaRenete con
un compaero o compaera para compartir sus hiptesis obtenidas en la
parte I.Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego,
sigan con atencin la demos-tracin que dirigir su profesor(a) y
respondan en su cuaderno las siguientes preguntas.a) Cmo es la
trayectoria de la silla cuando se le da un tirn con el cordel?b)
Cmo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujn y el
cordel se tensa?c) Cul es la diferencia que dene las trayectorias
que observaron?PARTE III: Trabajo en equipoEn esta parte de la
actividad, junto a tu compaero(a) realizarn un sencillo
experimento,para el cual solo necesitan una goma de borrar.Primero,
uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la
altura de su ca-beza, aproximadamente. El compaero o la compaera
observa la trayectoria del objeto y ladibuja de manera aproximada
en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra).A
continuacin, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de
borrar un pe-queo impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen
la trayectoria del objeto.Repitan el experimento varias veces, pero
con un impulso horizontal cada vez mayor,hasta que no puedan lanzar
la goma ms lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproxima-damente la
trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para nalizar,
analicensus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes
preguntas:a) Cmo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando
se lanza con ms impulsohorizontal?b) Cmo se relacionan los
movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad,y de la
goma de borrar en la tercera parte?c) De acuerdo a su anlisis
anterior, cmo se relacionan los movimientos de la gomade borrar y
de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la
hiptesisinicial que cada uno plante.Indagacin
N2PorqulaLunanocaedirectamentealaTierra?TierraTproyectilImagen
1.1FISICA_2010_OK.indd 14 21/7/10 17:02:40 15. 15Captulo 1:
Movimiento CircularMovimiento circular uniforme (M.C.U.)La
trayectoria circularUn mvil puede moverse describiendo cualquier
tipo de trayectoria.Por ejemplo, en una carretera un automvil puede
moverse descri-biendo una lnea recta, pero cuando llega a una curva
pronunciada,generalmente su trayectoria es un arco de
circunferencia.Para describir la distancia, la posicin o el
desplazamiento enun movimiento rectilneo, utilizamos como unidad de
medida elmetro [m]; en cambio, en la descripcin del movimiento
circularusamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido,
ypara determinar la posicin y el desplazamiento utilizamos
tambinuna unidad angular, conocida como radin [rad].Lo anterior se
debe a que en el movimiento circular es fundamentalla relacin entre
los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1:el arco
recorrido (s), el radio de curvatura (r) y el ngulo des-crito
().Figura 1.2. La trayectoria de un planetaen torno al Sol puede
ser consideradacomo una trayectoria circular.Figura 1.3.
Representacin geomtricade 1 rad.Un radin (1 rad) es la unidad para
medirngulos o desplazamiento angular en elSistema Internacional de
Unidades (S.I.).Corresponde al cuociente entre un arcode
circunferencia (s), cuya longitudes igual al radio (s = r), y el
valor delradio r: = = =srrrrad1 (1.1)1 radin mide, aproximadamente,
57,3y una vuelta o revolucin mide360 = 6,28 rad = 2 rad.El radin,
al no tener dimensin, operacomo neutro multiplicativo, es
decir:1rad 1m = 1m (1.2)1 radrlongitud = rrsmvileje de
referenciaFigura 1.1. Movimiento circular de un automvil en una
pista de carre-ras, r es el radio de curvatura, s es el arco
recorrido y es el ngulodescrito.La posicin de un mvil en movimiento
circular queda denidapor el ngulo descrito respecto a un eje de
referencia. Este ngulose mide en radianes.1Seccin 1: Movimiento
circular uniformeSeccin es la letra griega delta que utiliza-mos en
fsica para indicar diferenciao cambio. es la letra griega thetaque
utilizamos para indicar una medidaangular. Por lo tanto, indica
unadiferencia angular.FISICA_2010_OK.indd 15 21/7/10 17:02:51 16.
Fsica 3 Ao MedioMecnica16Cuando cambia la posicin del mvil, decimos
que realiza undesplazamiento angular , desde un ngulo inicial i
hasta unngulo final f: = f i (1.3)Como se muestra en la Figura 1.4,
si el objeto en movimientodescribe un desplazamiento angular ,
expresado en radianes,hay un arco de circunferencia s asociado a
este desplazamiento.Estos elementos se relacionan a travs del radio
de curvatura, dela siguiente manera: = sr (1.4)De la ecuacin (1.4)
se puede despejar el arco de circunferencia,quedando la relacin
como sigue: = r s (1.5)La ecuacin (1.5) muestra que la distancia
recorrida es direc-tamente proporcional al ngulo descrito por el
mvil. Si ahorarelacionamos el cambio de posicin con el intervalo de
tiempo(t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente
relacinfundamental: = =tr str vm m (1.6)En la ecuacin (1.6), m t=
es la rapidez angular media yv stm = es la rapidez tangencial
media. Es decir, la rapideztangencial media es directamente
proporcional a la rapidezangular media.Cuando el movimiento del
mvil es uniforme, entonces su rapidezangular y su rapidez
tangencial permanecen constantes durante todoel proceso de
movimiento. En este caso, se trata de un movimientocircular
uniforme (M.C.U.).Cul es el desplazamiento angular del minutero de
unreloj analgico cuando se mueve desde los 15 a los
45minutos?Figura 1.4. Cambio de posicin de unmvil en movimiento
circular. La posicininicial del mvil es i y su posicin nales f, de
modo que el desplazamientoangular es = f i.Los conceptos de rapidez
angular mediay rapidez tangencial media se puedenexpresar, en el
lmite, como medidasinstantneas de la rapidez angular y larapidez
tangencial.Lo anterior se puede hacer considerandoque el intervalo
de tiempo que transcurreentre dos posiciones sucesivas es
muycercano a cero. Esta condicin se expresaa travs del concepto de
lmite, de lasiguiente forma: = limt t0(1.7)v stt= lim0(1.8)Las
ecuaciones (1.7) y (1.8) denen larapidez angular instantnea y la
rapideztangencial instantnea, respectivamente.Con esta denicin, la
ecuacin (1.6) sepuede expresar como: =r v (1.9)rifs es la letra
griega omega.FISICA_2010_OK.indd 16 21/7/10 17:03:08 17. 17Captulo
1: Movimiento CircularEjemplo
1Elsegunderodeunrelojanalgicotieneunalongitudradialde20cmy describe
un ngulo de 90 en un tiempo de 15 s.a) Cul es la medida del ngulo
expresada en radianes?b) Cul es el valor de la rapidez angular
media?c) Cul es el valor de la rapidez tangencial media?a: Una
vuelta o revolucin corresponde a un ngulo de 360.Expresado en
radianes, este ngulo corresponde a 2 rad,entonces podemos
establecer la siguiente proporcin:3609022= = radradb: La rapidez
angular media es, entonces: = == =tradsradsrads215300 1,c: De
acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radiodel segundero
es 20 cm, la rapidez tangencial media es:v rv radsmv ms= = =0 1 0
20 02, ,,Donde hemos expresado el radio en metros.Cunto tiempo,
expresado en segundos, se demorael puntero del horario de un reloj
analgico en daruna vuelta?En la cinemtica del movimiento
recti-lneo, aprendimos que la rapidez es elmdulo del vector
velocidad.En el movimiento circular, tambin po-demos hablar de
velocidad tangencial yvelocidad angular, que denen el sentidoy el
plano de giro, respectivamente.De acuerdo a lo anterior, la
rapideztangencial y la rapidez angular son losmdulos de los
correspondientes vectoresvelocidad:v v== (1.10)De acuerdo a esto,
la ecuacin (1.9) sepuede expresar vectorialmente comoun producto
vectorial de la siguienteforma:v r = (1.11)En esta expresin, res el
vector posi-cin del mvil.Figura 1.5. es perpendicular alplano del
movimiento. ves siempretangencial a la trayectoria. La direccinde
ambos vectores se relaciona a travsde la regla de la mano derecha:
cuandoel pulgar se apunta en la direccin de, la mano, extendida
tangencial-mente a la trayectoria, apunta en ladireccin de
v.rvtrayectoriaSeccin 1: Movimiento circular
uniformeFISICA_2010_OK.indd 17 21/7/10 17:03:24 18. Fsica 3 Ao
MedioMecnica18El perodoCuando un movimiento es repetitivo, emplea
un tiempo determi-nado para completar una vuelta o ciclo. Este
tiempo se denominaperodo (T) y su unidad de medida es el segundo
[s], en el S.I.As, cualquier objeto que se mueva en trayectoria
circular realizauna vuelta o una revolucin en un tiempo T. Desde el
punto devista de las unidades angulares, se puede decir tambin que
en unperodo, el mvil describe un ngulo de 360 2 rad.Por otra parte,
si un objeto realiza un movimiento circular uniforme,entonces su
perodo de revolucin es constante, es decir, demoralo mismo en dar
cada vuelta.Ejemplo 2Supongamos que nuestro planeta describe una
rbita circularen torno al Sol, con movimiento circular uniforme.a)
Cunto demora nuestro planeta en realizar una vuelta entorno al Sol?
Expresa el resultado en segundos.a: Tenemos que calcular el perodo
de revolucin de la Tierraen torno al Sol. Como sabemos, nuestro
planeta demora unao en completar una traslacin, lo cual equivale a
365,25das. De esta manera:T = 365,25 dasT = 365,25 24 60 60sT =
3,16 107sLa frecuenciaEl concepto de frecuencia es una idea muy
intuitiva y de sentidocomn. Por ejemplo, cuando preguntamos: Con qu
frecuenciapasan los trenes?, una posible respuesta sera: Pasan 3
trenescada diez minutos. Otro ejemplo se da cuando
preguntamos:Cuntas veces has ido al estadio este ao?. En este caso,
larespuesta puede ser: 4 veces en el ao.En los ejemplos anteriores,
se indica una cierta cantidad respectoa un intervalo de tiempo. En
casos como estos usamos el conceptode frecuencia.Figura 1.6. El
reloj analgico indica10 h: 15 min: 37 s. Cuando el mi-nutero avance
hasta 45 min, ha-br efectuado un desplazamien-to angular =
180=rad.El valor negativo del desplazamientoaparece por la
convencin de medir losngulos positivos en sentido antihorarioa
partir de un eje de referencia. Estaconvencin permite distinguir
haciadnde apunta el vector velocidad an-gular. En el caso del reloj
analgico,el giro se realiza en sentido horario,por lo que apunta
hacia dentro(entrando a la pgina). Esto lo pode-mos corroborar
aplicando la regla dela mano derecha.La caracterstica ms importante
delmovimiento circular uniforme es que elvector velocidad angular
es constante.Esto quiere decir que tanto su magnitudo mdulo, como
su direccin y sentidopermanecen invariantes. En consecuencia,el
plano de giro es siempre el mismo.En particular, en un movimiento
cir-cular uniforme, como definimos enlas ecuaciones (1.10), el
mdulo de lavelocidad angular, es siempre positivoy constante: =
=tradT2(1.12)hmsFISICA_2010_OK.indd 18 21/7/10 17:03:41 19.
19Captulo 1: Movimiento CircularPara el caso del movimiento
circular, no utilizaremos las expre-siones comunes como veces de
ida al estadio o trenes quepasan por la estacin, sino que
prestaremos nuestra atencinal nmero de vueltas o revoluciones que
realizan los objetos enmovimiento.La frecuencia se puede obtener de
dos maneras: 1) contando elnmero de vueltas en un determinado
tiempo, 2) calculando el re-cproco del periodo, ya que en un
periodo se efecta una vuelta:fT= 1 (1.13)La unidad de medida de la
frecuencia en el sistema internacionales el hertz [Hz], cuyo
signicado operacional es el siguiente:Hz vueltassrevolucioness s[
]= = = 1(1.14)Ejemplo 3Nuevamente, supongamos que la Tierra
describe una rbitacircular en torno al Sol, con movimiento
uniforme.a) Cul es la frecuencia de revolucin de nuestro planeta
entorno al Sol?a: De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2,
el periodode traslacin de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16
107s.Entonces:fTfsf vueltass=== = 113 16 103 16 10 3 16 1078,, ,
8HzEn conclusin, cuando preguntamos por la frecuencia, esta-mos
preguntando por el nmero de vueltas en una unidad detiempo.Una
unidad de uso comn en mquinas elctricas y mo-tores de todo tipo es
rpm, que signica revoluciones porminuto. Qu concepto de los que has
aprendido mideesta unidad? Por qu?Otra caracterstica del M.C.U. es
que elmdulo de la velocidad tangencial vesconstante. Es decir, la
rapidez instantneaes constante.De acuerdo a esto, no tiene sentido
hablarde la rapidez tangencial media, ya quela rapidez es la misma
en todo instantede tiempo.Por lo tanto, en el M.C.U. el mdulo dela
velocidad instantnea coincide con larapidez tangencial media y no
hacemosdistincin entre ellas. Por esta razn, enel ejemplo 1 usamos
los smbolos y v,en vez de escribir m y vm.Figura 1.7. Obsrvese que
si bien lavelocidad tangencial tiene siempre elmismo mdulo o
magnitud, su sentido ydireccin cambian en todos los puntosde la
trayectoria.Frecuencia y rapidez angular son con-ceptos totalmente
distintos. De acuerdoa las ecuaciones (1.12), se relacionanentre s
de la siguiente manera: = 2 f (1.15)vvvSeccin 1: Movimiento
circular uniformeFISICA_2010_OK.indd 19 21/7/10 17:03:54 20. Fsica
3 Ao Medio20MecnicaActividad de
profundizacinCmoserelacionalafrecuenciadepedaleodeunciclistaconlarapidezmediadesumovimiento?Para
realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una
bicicleta,una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj.Segn
la disponibilidad de bicicletas en el curso, renete con algu-nos
compaeros y compaeras (entre 2 y 5, idealmente) y formenun equipo
de trabajo.a) Reexionen sobre esta pregunta: Cmo se relaciona la
fre-cuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media desu
movimiento? Como equipo, planteen una hiptesis pararesponder.A
continuacin, realicen el siguiente experimento: un estudiante
re-corre en bicicleta una trayectoria rectilnea de largo conocido.
Puedenmarcar dos puntos en el patio del colegio y medir la
distancia entreellos. Es muy importante que el ciclista no pase
cambios, que realiceun pedaleo constante y que cuente el nmero de
veces que pedale.El resto del equipo mide el tiempo que su compaero
demora en irde un punto a otro y se asegura de que siga una
trayectoria rectilneacon rapidez aproximadamente constante.Analicen
el funcionamiento del sistema de transmisin de la bicicleta,que se
puede observar en la imagen 1.2, y respondan:b) Cmo se relaciona la
rapidez tangencial del plato (vplato) con larapidez tangencial del
pin (vpin)? Expresen esta relacin mate-mticamente.c) Cmo se
relaciona la rapidez angular del plato (plato) con la
rapidezangular del pedaleo (pedaleo)? Expresen esta relacin
matemtica-mente.d) Cmo se relaciona la rapidez angular del pin
(pin) con larapidez angular de la rueda (rueda)? Expresen esta
relacin mate-mticamente.e) Considerando estas relaciones y a partir
de las medidas de los radiosdel pin (Rpin), del plato (Rplato) y de
la rueda (Rrueda), usen la fre-cuencia de pedaleo medida para
calcular la rapidez tangencial de larueda trasera de la
bicicleta.f) Cmo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con
la ra-pidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalen la
validez desu hiptesis.RplatoRpinImagen 1.2FISICA_2010_OK.indd 20
21/7/10 17:04:07 21. 21Captulo 1: Movimiento CircularEvaluacin
intermediaPARTE I: Problema de planteamiento1 Apartir de la imagen
de la actividad de profundizacin, determina la relacin matemtica
entre la rapidezangular del pedaleo y la rapidez angular de las
ruedas, en funcin de los radios del pin (Rpin) y delplato
(Rplato).PARTE II: Anlisis2 A partir del problema anterior:a)
Expresa la distancia recorrida en funcin del nmero de vueltas,
Rplato, Rrueda y Rpin.b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3
Rpin Qu distancia medida en unidades Rrueda recorre la bici-cleta
en 20 pedaleos?Indagacin
N3CmoseralatrayectoriadelaTierrasielSoldesapa-recierarepentinamente?Para
responder la pregunta planteada en el ttulo de esta actividad,se
propone la siguiente hiptesis:La trayectoria de la Tierra no
cambia, sino que mantiene sumovimiento, aproximadamente, circular y
uniforme.Cmo podemos poner a prueba esta hiptesis?a) Junto a un
compaero o una compaera, diseen un procedi-miento experimental que
les permita, a travs de un modelo,poner a prueba la hiptesis para
evaluar si es una explicacinaceptable o debe ser descartada.
Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con
precisin, el procedimientoque sugieren.Procuren que el
procedimiento experimental propuesto seafactible de realizar en una
hora de clases; es decir, que inclu-ya el uso de materiales de fcil
adquisicin o construccin ytiempos razonables para la observacin y
el anlisis de susresultados.b) Para nalizar, elaboren un informe de
dos pginas segn lasindicaciones que les d su profesor(a).Seccin 1:
Movimiento circular uniformeImagen 1.3Recuerda que un modelo es una
representacinsimplicadadelfenmenoqueseintentaexplicar,que incorpora
sus principales caractersticas y,en especial, las variables
medibles.FISICA_2010_OK.indd 21 21/7/10 17:04:24 22. Fsica 3 Ao
MedioMecnica22La aceleracin centrpetaEn un movimiento circular
cualquiera, la aceleracin puede teneruna componente en direccin
tangencial a la circunferencia y otracomponente en direccin radial
y dirigida hacia el centro de latrayectoria. A la primera se le
llama aceleracin tangencial y ala segunda, aceleracin centrpeta.La
aceleracin tangencial se maniesta como un cambio en elmdulo de la
velocidad tangencial, mientras que la aceleracincentrpeta aparece
como un cambio en la direccin y sentido dela velocidad.En un
movimiento circular uniforme, debido a que el mdulo dela velocidad
tangencial es constante, solo existe una aceleracinque cambia la
direccin y el sentido de la velocidad, es decir, laaceleracin
centrpeta.El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el
centrode curvatura, al igual que la aceleracin centrpeta ac( ).El
vector aceleracin centrpeta y elcambio del vector velocidad
tangencialse relacionan de la siguiente forma:a vtc = (1.16)La
ecuacin (1.16) implica que el vectoraceleracin centrpeta tiene la
mismadireccin y el mismo sentido que elcambio de velocidad.Figura
1.9. res el cambio de po-sicin de un mvil en M.C.U. en unintervalo
de tiempo muy pequeo. vcorresponde al cambio de velocidaden el
mismo intervalo.De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U.se cumplen
las siguientes condiciones:r r rv v vi fi f = == =(1.17)Adems, r v
en todo momento, por lotanto: AOB A O B (son
tringulossemejantes).(Contina en la pgina 23)Figura 1.8. Si se
considera el cambio de velocidad, = v v vf i , queexperimenta un
mvil en un pequeo intervalo de tiempo ( )t , se ve queves radial y
est dirigido hacia el centro curvatura. La aceleracin, porlo tanto,
tambin tiene esa direccin y sentido, y por eso se
denominaaceleracin
centrpeta.rfrivivf-vivfvfvivfvivvirrfrFISICA_2010_OK.indd 22
21/7/10 17:04:45 23. 23Captulo 1: Movimiento CircularDe acuerdo a
la ecuacin (1.26), para determinar la aceleracincentrpeta se puede
utilizar la siguiente relacin:a vrc =2(1.18)Ahora, si recordamos
que (1.9), podemos deducir que la aceleracincentrpeta tambin puede
ser determinada como:a rc = 2 (1.19)La fuerza centrpetaEn la
mecnica de Newton, los cambios en el movimiento sonexplicados por
medio de fuerzas de interaccin. En particular,la segunda ley
establece que la fuerza neta, es decir, la suma detodas las fuerzas
que actan sobre un cuerpo, es proporcional a laaceleracin del
cuerpo:F F maneta = = (1.20)Considerando solo el mdulo de los
vectores, tambin podemosescribir la ecuacin (1.20) como:F maneta =
(1.21)En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo
detrayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura
yla denominamos fuerza centrpeta.De acuerdo con la segunda ley de
Newton, la fuerza centrpetaprovoca una aceleracin centrpeta y, por
lo tanto, en trminos desus mdulos, la ley se puede expresar de la
siguiente forma:F mac c= (1.22)Ejemplo 4En el contenido de fsica de
2 medio, aprendimos que el radioorbital medio de la Tierra
alrededor del Sol es de 1,49 1011 my su masa es de 5,98 1024 Kg.a)
Cul es la aceleracin centrpeta y la fuerza centrpetaque ejerce el
Sol sobre la Tierra?b) De acuerdo a este resultado, nuestro planeta
puede serconsiderado como un sistema inercial?(Continuacin)Dadas
las condiciones geomtricas delas ecuaciones (1.17) en la Figura
1.9y la relacin de semejanza entre lostringulos AOB y A O B ,
pode-mos ver que:=vvrr (1.23)Al sustituir a vtc = , en la
ecuacin(1.23), se obtiene:a tvrra r vr ta rtvra v vrvrcccc = = = =
=2(1.24)Donde hemos simplicado la notacin,ya que:a ar rc c= =
(1.25)Es decir, en trminos de magnitudespodemos escribir el mdulo
de la ace-leracin centrpeta como:a vrc=2(1.26)Por lo tanto, la
magnitud o mdulo dela aceleracin centrpeta es constanteen un
M.C.U.Seccin 1: Movimiento circular uniforme es la letra griega
sigma y se usapara representar una sumatoria.FISICA_2010_OK.indd 23
21/7/10 17:05:02 24. Fsica 3 Ao MedioMecnica24a: Para determinar la
aceleracin centrpeta, necesitamos saberla rapidez angular o la
rapidez tangencial de la Tierra conrespecto al Sol.Usando el
resultado del Ejemplo 2 para el periodo detraslacin de nuestro
planeta, se obtiene lo siguiente: = === tradTradsrad223 16 101 99
1077,,ssDe acuerdo a la ecuacin (1.19), la aceleracin centrpetaes:a
ra radsmaccc= = ( ) =272111 99 10 1 49 105 9, ,, 10 32msCon este
resultado podemos determinar el mdulo de lafuerza centrpeta:F maF
kg msFc ccc== = 5 98 10 5 9 103 53 1024 322, ,, 22Nb: Observamos en
el resultado anterior que la aceleracincentrpeta tiene un valor muy
bajo con respecto a la ace-leracin de gravedad (9,8 m/s2) por
ejemplo, de modo quela aceleracin experimentada por la Tierra en su
traslacines prcticamente cero. Esta es la razn por la que
nuestroplaneta puede ser considerado un sistema
aproximadamenteinercial.En cambio, la fuerza centrpeta alcanza un
valor muygrande, ya que se necesita una gran fuerza para mantenerel
planeta en rbita.Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es
tan grande,por qu nuestro planeta se acelera tan poco?Figura 1.10.
La fuerza de gravitacinacta sobre la Tierra como una
fuerzacentrpeta y provoca su rbita alrededordel Sol. La intensidad
de la fuerza esrelativamente grande, en cambio, laaceleracin que
experimenta el planetaes pequea. La explicacin de estadiferencia se
relaciona con la granmagnitud de la masa de la Tierra.FcFcFacAunque
comnmente se menciona lafuerza centrfuga, en el contexto dela
mecnica newtoniana esta fuerzano existe, ya que solo se trata de
unefecto inercial.FISICA_2010_OK.indd 24 21/7/10 17:05:15 25.
25Captulo 1: Movimiento CircularAlgunos casos de fuerza
centrpetaUNA CURVA CON ROCECuando un automovilista se encuentra en
la carretera con unacurva, seales reectantes en la orilla del
camino le adviertensobre el peligro que signica exceder la
velocidad lmite impuestapor las leyes del trnsito. Exceder la
velocidad lmite signicarasalir derrapando en la direccin tangente
al camino, ya que hayuna velocidad sobre la cual se pierde el
soporte fsico que generael rozamiento entre los neumticos y la
carretera.Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de curvas
la fuer-za de roce acta como fuerza centrpeta, es decir, F Fc r = ,
por loque de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuacin (1.22) se
puedeescribir como:F maF m vrr cr==2 (1.27)Por otra parte, sabemos
que el mdulo de la fuerza de roce mximaes proporcional a la fuerza
normal:F Nr = (1.28)Donde es el coeciente de roce esttico entre los
neumticos yel suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28),
tenemos:m vrNm vrmgv gr22===(1.29)Para obtener las ecuaciones
(1.29), hemos usado N = mg, dado elequilibrio en la direccin
vertical de las fuerzas que actan sobreel automvil, el peso y la
fuerza normal.El resultado anterior corresponde a una velocidad
lmite a la cual elvehculo puede efectuar el movimiento circular,
para un coecientede roce dado, y que depende del radio de
curvatura. Mientras mscerrada es la curva (menor radio) menor ser
la velocidad lmitepermitida y mayor el riesgo.Figura 1.11. El
peligro de superarla velocidad mxima permitida enuna curva se
relaciona con la fuerzade roce necesaria para realizar
latrayectoria.Figura 1.12. En la curva, la fuerza deroce acta como
fuerza centrpeta ymantiene al vehculo en movimientocircular. En la
direccin vertical, actansobre el automvil el peso P( ) y lafuerza
normal N( ). En la direccinhorizontal, acta la fuerza de roce Fr(
)entre los neumticos y el suelo.vPNFrrvv50Seccin 1: Movimiento
circular uniforme es la letra griega mi o mu.FrFISICA_2010_OK.indd
25 21/7/10 17:05:33 26. Fsica 3 Ao MedioMecnica26Ejemplo 5Un
automvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva enuna pista
plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coecientede roce esttico
entre los neumticos y la pista es = 0,5a) Cul es la velocidad mxima
permitida que debera apa-recer en la sealizacin de advertencia?a:
Para resolver, simplemente evaluamos la ltima de lasecuaciones
(1.29)v grv msm ms== =0 5 10 40 14 142, ,Donde hemos usado g ms= 10
2 para simplicar el clculo.El resultado indica que la velocidad
mxima permitida debeser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente.
Cualquiervelocidad superior a esta causara un deslizamiento o
de-rrapamiento del vehculo, por lo que saldra patinandoen direccin
tangente a la trayectoria.FUERZA CENTRPETA EN EL SISTEMA
PLANETARIOUna manera interesante de relacionar la fuerza centrpeta
con elSistema Solar es a partir de la ley de gravitacin universal,
en lacual se establece que el mdulo de la fuerza con la que se
atraendos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional
alproducto de las masas e inversamente proporcional al cuadradode
la distancia que las separa, r. Es decir:F Gm mrG =1 22(1.30)Donde
G es la constante de gravitacin universal cuyo valor esde G x NmKg=
6 67 10 1122,En el caso de los planetas, la fuerza de gravitacin
acta sobreellos como una fuerza centrpeta y provoca su rbita
alrededordel Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer
queel movimiento planetario es circular y
uniforme.FISICA_2010_OK.indd 26 21/7/10 17:05:47 27. 27Captulo 1:
Movimiento CircularFigura 1.13. Al igual que los planetas
interactan gravitacionalmentecon el Sol, la Luna tambin experimenta
la atraccin gravitacional de laTierra. Sin embargo, de acuerdo con
la ley de accin y reaccin, si laTierra atrae a la Luna con una
fuerza FG , el satlite tambin atrae alplaneta con una fuerza igual,
pero de sentido opuesto, FG .En el caso del sistema Tierra-Luna, la
fuerza de gravitacin actacomo fuerza centrpeta sobre la Luna debido
a la accin a distanciade la Tierra.En el caso de un planeta
cualquiera y el Sol, suponiendo una rbitacircular, podemos
establecer la siguiente relacin, de acuerdo alas ecuaciones (1.22)
y (1.30)Gm mrm vrGmrvmsol planeta
planetasolsol===222vvGr2(1.31)Este resultado implica que podemos
conocer la masa del Sol co-nociendo la velocidad tangencial del
planeta y su radio orbital.Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad
angular de la Tierra yel radio de su rbita, podemos obtener su
velocidad tangencial deun modo muy sencillo, haciendo uso de la
ecuacin (1.9) y conese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para
calcular la masadel Sol.Si el radio medio de la rbita terrestre es
de 1,49 1011 m,cul es la masa del Sol?Figura 1.14. Masas y radios
orbitalesmedios de los planetas del SistemaSolar, relativos a los
valores de laTierra. La masa de la Tierra es de5,9736 1024 kg y una
UnidadAstron-mica (UA) corresponde aproximada-mente a su distancia
media al Sol, esdecir, 1UA = 149 597 870 km.Figura 1.15. La
atraccin gravitacionaldel Sol sobre la Tierra acta como unafuerza
centrpeta y provoca la rbitacurvilnea del planeta.FGFcFcFSeccin 1:
Movimiento circular
uniformeMercurioVenusTierraMarteJpiterSaturnoUranoNeptuno-FGvPlaneta
MasaRadioorbital(UA)0,06 0,380,82 0,721,00 1,000,11 1,52318 5,2095
9,5414,6 19,2217,2 30,06FISICA_2010_OK.indd 27 21/7/10 17:06:00 28.
Fsica 3 Ao MedioMecnica28LAS BOLEADORASUna boleadora es un arma
manual muy antigua que consiste en unproyectil sujeto en el extremo
de una bolsa atada a una cuerda, laque se hace girar en torno a la
cabeza con el n de provocar unagran velocidad tangencial para el
lanzamiento del proyectil.En este caso, la fuerza mecnica que opera
sobre el proyectil esla fuerza de tensin de la cuerda y una de sus
componentes actacomo fuerza centrpeta.Figura 1.17. Ejemplo de
boleadorausada por habitantes de pueblossudamericanos
originarios.Figura 1.18. Un antiguo habitante dela Patagonia usa
una boleadora paraatacar un puma.masatrayectoria
circularFCPrTFigura 1.16. En la gura se muestra esquematizado el
movimiento deuna boleadora y las fuerzas que actan sobre la masa en
el extremodel cordel. La imagen muestra que una parte de la tensin
acta comofuerza centrpeta.En la Figura 1.16, se puede observar que
la componente de latensin que acta como fuerza centrpeta es:F Tc =
sen (1.32)Por lo tanto, de acuerdo a la ecuacin (1.22), en trminos
delmdulo de la tensin, podemos escribir:T mvr =sen2(1.33)Por otra
parte, el equilibrio de las fuerzas que actan sobre la masaen la
direccin vertical implica que:T mg =cos (1.34)FISICA_2010_OK.indd
28 21/7/10 17:06:18 29. 29Captulo 1: Movimiento CircularDividiendo
entre s las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtenerlo
siguiente:tan =vr g2(1.35)Este resultado indica que mientras ms
grande es el ngulo dela fuerza de tensin respecto a la vertical,
mayor es la velocidadtangencial con la que puede ser liberado el
proyectil.De manera inversa, se puede ver que la velocidad de
lanzamien-to del proyectil depende de la fuerza de tensin que
ejerza lapersona que hace girar la boleadora. As, mientras mayor es
lafuerza, mayor es el ngulo de elevacin mencionado y mayor esla
velocidad de disparo.Ejemplo 6Un estudiante hace girar una goma de
borrar atada al extremode un hilo. La masa de la goma es de 0,03
kg. Mientras la gomagira con M.C.U., el estudiante mide un ngulo de
60 del hilocon respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5
m.a) Cuando el estudiante suelta el hilo, cul es la
velocidadtangencial de salida del proyectil?b) Cul es la tensin
ejercida sobre el proyectil a travs dela cuerda?a: Para determinar
la velocidad, utilizamos la ecuacin(1.35):tantan, , tan ,== = =vr
gv r gv mms220 5 9 8 60 2 991msb: Para obtener la fuerza de tensin,
podemos reemplazar elresultado anterior en la ecuacin (1.33) o usar
la ecuacin(1.35):T mgTmgkgms == ==coscos, ,cos,0 03 9 8600
5882NNSeccin 1: Movimiento circular uniformePara dividir las
ecuaciones 1.33 y 1.34procedemos de la siguiente manera:T mvrT m g
= = sen2cosDividiendo miembro a miembro estesistema de ecuaciones,
tenemos:TTmvrm gvr g==sensencoscos22(1.36)La raznsencoscorresponde
a lafuncin tangente del ngulo:tan =vr g2FISICA_2010_OK.indd 29
21/7/10 17:06:44 30. Fsica 3 Ao Medio30MecnicaContexto histrico de
la fsicaHasta Coprnico el movimiento de los cuerpos celestesse
explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se su-pona que los
cuerpos celestes se encontraban situadosen esferas huecas
concntricas a la Tierra, que girabancon distintas velocidades
alrededor de la Tierra.Coprnico se plante que, en vez de ser las
esferaslas que giraban alrededor de la Tierra, podra ocurrirque la
Tierra girara alrededor de su eje una vez al da.Sin embargo, el
verdadero aporte de Coprnico fueel proponer que la Tierra no era el
centro del mun-do, sino que la Tierra y todos los dems planetas
semovan describiendo crculos alrededor del Sol. Estenuevo modelo
permita explicar fcilmente el aparentemovimiento de avance y
retroceso que describen losplanetas en el rmamento.Aunque en
nuestros das se acepta la tesis copernicana,sta ha sido corregida.
Las rbitas de los planetas no soncirculares, sino elpticas, como
mostr Johannes Kepler(1571 1630), gracias al enorme y riguroso
trabajo deobservacin que haba realizado Tycho Brahe (1546 1601).
Asimismo, el Sol, como los dems astros delrmamento, tambin se
mueve.Este hombre fue un revolu-cionario. Naci en Torun,Polonia, el
19 de febrero de1473 y muri el da 24 demayo de 1543. En el ao1507,
present su primeraexposicin de un sistemaastronmico donde ubicabaal
Sol en su centro y laTierra y los dems planetasgirando en torno a
l.Fue criticado por lsofos y parte de la Iglesia, debidoa que negar
que nuestro planeta fuera el centro delSistema Solar tena
consecuencias no solo cient-cas, sino tambin sociales y teolgicas.
Antes, el serhumano era el centro del Universo, de la creacin.La
teora de Coprnico desechaba esta opinin, porlo menos desde un punto
de vista astronmico.Muy pocos creyeron en sus teoras, pero
quieneslo siguieron fueron los fundadores de la cienciamoderna:
Johannes Kepler, Galileo Galilei e IsaacNewton, entre otros.La
historia de las ideas es imbricada y compleja. El24 de febrero de
1616, una comisin de telogosconsultores de la Inquisicin censur la
teora helio-cntrica de Coprnico, rearmando la inmovilidadde la
Tierra.El proceso empez el 19 de febrero con la propuestade censura
de una comisin de expertos, entre quienesno haba ningn astrnomo.
Luego, en una reuninde la Congregacin del Santo Ocio y por orden
delpapa Paulo V, se inici la amonestacin a Galileo(1564 1642), por
la que se le exige que abandonela opinin de que la Tierra se
mueve.En marzo del mismo ao, la Congregacin del n-dice prohbe una
serie de libros relacionados con elheliocentrismo y su validez
desde un punto de vistateolgico, y se suspende la obra copernicana
Sobreel movimiento de las esferas celestiales hasta quesea
corregida. As, la obra maestra de Coprni-co permanecera en el ndice
de libros prohibidoshasta 1835.Aos ms tarde, el 22 de junio de
1633, a pesar de laproteccin de la poderosa familia Medici, Galileo
serformalmente condenado por la Inquisicin y forzadoa abjurar, de
rodillas y bajo amenaza de torturas, dela teora de Coprnico,
calicada de hertica.As le deca Kepler a Galileo: ... Dadme las
navesy adaptadme las velas al viento celeste; habr genteque no
tendr miedo ni siquiera de cara a aquellainmensidad. Y para estos
descendientes que ya den-tro de muy poco se aventurarn por estos
caminospreparemos, oh Galileo, yo una astronoma lunar yt una
joviana.FISICA_2010_OK.indd 30 21/7/10 17:06:51 31. 31Captulo 1:
Movimiento CircularApartir de la lista de conceptos relevantes (CR)
y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapaconceptual
de la gura.Conceptos Relevantes (CR) Frases Conectoras (FC)A Radio
I Mantiene constante suB Crculo II Se realiza en una trayectoriaC
Frecuencia III DenenD Velocidad Tangencial IV Que corresponde al
mdulodel vectorE Fuerza Centrpeta V Y en cada punto de ella
existeunaF Aceleracin Centrpeta VI Que, junto a unSntesisRapidez
Tangencial Rapidez AngularPeriodo de revolucin5El cual dene
unangulo de 27Velocidad Angular8Que corresponde almdulo del
vector3Cuya variacin en eltiempo dene11Que corresponde alefecto de
la 4Circunferencial910TangenteQue esperpendicular al2La cual dene
un16Movimiento CircularUniformeDesafoCuando hayas terminado
estaactividad, vuelve a leer el textode la seccin, con mucha
aten-cin, y genera tu propio mapaconceptual.Seccin 1: Movimiento
circular uniforme12 32. Fsica 3 Ao Medio32MecnicaPreguntas y
ejercicios propuestos1 En tus palabras, qu relacin se puede hacer
entreel movimiento circular, Coprnico y la posicindel ser humano en
el Universo?2 Desde un punto de vista fsico, cul es la prin-cipal
caracterstica de un movimiento circular?3 Existe ms de un tipo de
velocidad en el movi-miento circular uniforme? Por qu?4 Qu son
perodo y frecuencia en el movimientocircular?5 Por qu una piedra
que gira atada a una cuerdasale disparada tangencialmente y no
radialmenteal soltarse la cuerda?6 Si un automvil realiza un
movimiento circularuniforme al doblar en una curva, cambia
suvelocidad? Explica.7 El segundero de un reloj analgico tiene
unalongitud radial de 10 cm y describe un ngulo de45 en un tiempo
de 7,5 s. (a) Cul es la medidadel ngulo expresada en radianes? (b)
Cul esla rapidez angular del segundero? (c) Cul esla rapidez lineal
de su extremo?8 Cul es la frecuencia de rotacin de la Tierrasobre
su propio eje?9 El ventilador de un secador de pelo gira a3 000
rpm. (a) Cul es la frecuencia de rotacin,expresada en Hz? (b) Cul
es su rapidez angular?(c) Cul es el periodo de giro del
ventilador?10 Un satlite gira en una rbita circular alrededorde la
Tierra a una altitud de 600 km sobre el ni-vel del mar, completando
una vuelta respecto alcentro de la tierra en 70 minutos. Cunto vale
laaceleracin del satlite? (considera que el radiode la Tierra es de
6 400 km).11 Un planeta orbita segn la trayectoria punteadaen la
Figura 1.19 y en el sentido de la velocidadangular indicado. Dibuja
la direccin y el sentidode los siguientes vectores, suponiendo que
elmovimiento es uniforme: (a) Velocidad tangen-cial y aceleracin
centrpeta en A. (b) Velocidadtangencial y aceleracin centrpeta en
B.AB12 En un movimiento circular uniforme, cmo serelaciona la
frecuencia (f) con la rapidez angular() del movimiento?13 El reloj
de la Figura 1.20 muestra tres punterosque corresponden a la hora
(H), los minutos (M)y los segundos (S). Cul es la rapidez angularde
cada uno de estos elementos?Figura 1.2014 Una matraca gira con un
movimiento uniforme,alrededor de un eje que pasa por el punto
O,como se muestra en la Figura 1.21. Efecta dosrevoluciones por
segundo. Para los puntosAy Bde la barra, situados a las distancias
rA = 0,2 m yrB = 0,3 m del eje de rotacin, calcula las
siguientesmagnitudes (considera = 3,14): (a) El perodode revolucin.
(b) La rapidez angular de cada unoFigura 1.19FISICA_2010_OK.indd 32
21/7/10 17:07:45 33. 33Captulo 1: Movimiento Circular(A y B). (c)
La rapidez tangencial de cada uno(vA y vB). (d) La aceleracin
centrpeta de cadauno (acAy acB).BA0 vAvB15 De acuerdo al esquema de
la Figura 1.22, dondese muestra el sistema de transmisin de
unabicicleta, Rpin < Rplato. Es correcto decir quela velocidad
angular del plato es igual a la delpin? Por qu?Figura 1.2216 Si el
sistema de transmisin de la bicicleta quese muestra en la Figura
1.22 es impulsado por unciclista que pedalea con rapidez angular
constan-te y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo.Considerando
que Rplato = 10 cm y Rpin = 4 cm,(a) cul es la rapidez tangencial
del pin? (b)Cul es la rapidez angular del pin? (c) Si elradio de
las ruedas es de 50 cm, cul es la rapidezdel ciclista?17 Cul es la
velocidad tangencial de una personaparada sobre el ecuador de la
Tierra a nivel delmar?18 Suponiendo que la trayectoria de la Tierra
alrede-dor del Sol es circunferencial, demuestra que elmdulo de la
velocidad tangencial de traslacin delplaneta es: v GMRrs= . Donde G
es la constantede gravitacin universal, Ms es la masa del Sol yR es
la distancia entre la Tierra y el Sol.19 Una bola de 0,5 kg. de
masa unida al extremode una cuerda cuya longitud es de 1 m se
hacegirar cada vez ms rpido, como una boleadora.Si la cuerda puede
soportar una tensin mximade 50 newton, cul es la mxima rpidez
quepuede alcanzar la bola antes de que la cuerda serompa?20 Un
automvil de 1 000 kg, da vuelta en una es-quina circular, a 25
km/h. Si el radio de giro esde 10 m, (a) cul es el valor de la
aceleracincentrpeta? (b) Qu fuerza horizontal debe ejercerel roce
del pavimento con los neumticos paramantener el vehculo en
trayectoria circunferen-cial? (c) Cul es el coeciente de roce
mnimoentre las ruedas y el pavimento necesario paraque el auto no
se deslice?21 Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kgy
toma una curva circular en una pista plana ysin pendiente de 50 m
de radio. El coeciente deroce entre los neumticos y la pista es =
0,5.Cul es la mxima rapidez a la que la camionetapodra dar el giro
sin resbalar?22 Un estudiante hace girar una goma de borrar atadaal
extremo de un hilo. La masa de la goma es de0,02 kg. Mientras la
goma gira con movimientocircular uniforme, el estudiante mide un
ngulode 60 del hilo con respecto a la vertical y unradio de giro de
0,4 m. (a) En estas condiciones,cul es la tensin ejercida sobre la
goma a travsde la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo,cul
es la velocidad tangencial con que la gomade borrar sale
disparada?Figura 1.21RpinRplatoSeccin 1: Movimiento circular
uniformeFISICA_2010_OK.indd 33 21/7/10 17:07:59 34. Fsica 3 Ao
Medio34MecnicaEvaluacin nal de la seccinPARTE I: Anota en el
recuadro el nmero de la magnitud que corresponde a la descripcin o
denicindada.Magnitud Descripcin o denicin1 ngulo descrito Cambio
angular en el transcurso del tiempo.2 Arco recorrido Se mide en
radianes en el S.I.3 Perodo de revolucin Tiempo empleado en
realizar una vuelta.4 Frecuencia Se mide en m en el S.I.5 Rapidez
angular Es el recproco del perodo.PARTE II: Indica si el enunciado
es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justicacin de
tusrespuestas.V o F1 Si un auto recorre una curva pronunciada de la
carretera a una velocidad superior a la mximapermitida, entonces
derrapar.2 Un movimiento circular es uniforme si su aceleracin y
fuerza centrpetas permanecen cons-tantes.3 El planeta Tierra puede
ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera.4 Si el
Sol desapareciera la Tierra continuara con movimiento circular y
uniforme por siempre.5 La direccin de la aceleracin en un
movimiento circular uniforme es siempre paralela a lafuerza
centrpeta.PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la
alternativa correcta.1 Un aspa se mueve con M.C.U., una
aceleracincentrpeta a0 y un perodo T0. Si se cambia elmotor al
ventilador, aumentando su perodo a 2T0,Cmo cambia su aceleracin
centrpeta?a) Aumenta al doble de su magnitud.b) Disminuye a un
medio de su magnitud.c) Aumenta al cudruple de su magnitud.d)
Disminuye a un cuarto de su magnitud.2 Cul de los siguientes
movimientos puede sermodelado como movimiento circular?a) Traslacin
de un planeta en torno al Sol.b) Una piedra que se lanz
horizontalmentedesde la cima de un cerro.c) Un atleta corriendo los
100 m planos.d) El aterrizaje de un avin.3 En cul de los siguientes
movimientos laaceleracin es constante?a) Movimiento circular
uniforme (M.C.U.).b) Movimiento rectilneo uniforme (M.R.U.).c)
Movimiento uniformemente acelerado(M.U.A.).d) Movimiento circular
acelerado (M.C.A.).4 Un automvil est diseado para moverse auna
rapidez ja v0. Si cambia de una curvacircular de radio R a una de
radio 2R, Cmose ha modicado su aceleracin centrpeta alpasar de una
curva a la otra?a) Aumenta al doble.b) Disminuye a la mitad.c)
Aumenta al cudruple.d) Disminuye a la cuarta
parte.FISICA_2010_OK.indd 34 21/7/10 17:08:05 35. 35Captulo 1:
Movimiento CircularIndagacin N4Cmogirarmsrpido?PARTE I. Trabajo
personalEn las fotografas del movimiento de la patinadora (imagen
2.1), se puedever una secuencia de varios giros en los cuales ella
mueve continuamentepartes de su cuerpo y adopta diferentes formas.
Seguramente has obser-vado secuencias como esta, y has notado que
la bailarina puede alcanzaruna alta rapidez de rotacin.a) Qu
magnitud fsica aumenta durante su movimiento y qu
magnituddisminuye?b) Qu hace la bailarina para girar ms rpido?PARTE
II. Trabajo en equipoJunto a un compaero o una compaera, contrasten
las respuestas dadasa las preguntas de la parte I y argumenten a
favor o en contra de ellas.A continuacin, elaboren una hiptesis en
conjunto que d respuesta ala segunda pregunta.Recuerden que una
hiptesis es una explicacin posible que se suponecierta hasta que
pueda ser contrastada empricamente. Por esta razn, esfundamental
que la hiptesis se reera a un nmero reducido de
variablesobservables y de algn modo medibles, que eventualmente
pueden sercontroladas en un experimento.a) Registren la hiptesis en
sus cuadernos e identiquen cules son lasvariables observables que
pueden medir y/o controlar.b) Una vez planteada su hiptesis, diseen
un procedimiento experimentalque les permita ponerla a prueba, para
evaluar si es una explicacinaceptable o debe ser descartada.
Dibujen su montaje experimentaly describan brevemente, pero con
precisin, el procedimiento quesugieren.Procuren que el
procedimiento experimental propuesto sea factible derealizar en una
hora de clases; es decir, que incluya el uso de materialesde fcil
adquisicin o construccin y tiempos razonables para la obser-vacin y
el anlisis de sus resultados.c) Para nalizar, elaboren un informe
de dos pginas segn las indica-ciones que les d su
profesor(a).Imagen 2.1FISICA_2010_OK.indd 35 21/7/10 17:08:15 36.
Fsica 3 Ao Medio36MecnicaIndagacin
N5Ruedahuecaoruedamaciza?Culganalacarrera?PARTE I. Trabajo
personalImagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es
hueco y el otro es macizo (esdecir, relleno) como en la imagen 2.2.
Cul de los cilindros rueda ms rpido por unplano inclinado?a)
Responde la pregunta anterior y plantea una hiptesis que explique
el resultado deuna carrera entre los dos cilindros.PARTE II. Dilogo
con argumentosa) Renete con un compaero o compaera para compartir
sus hiptesis obtenidas en la parte I. Idealmente,procura que tu
compaero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que t.
Comenten sus hiptesis yargumenten a favor o en contra de ellas.A
continuacin, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de
cartn, como el tubo vaco de un rollo depapel higinico; 6 barras de
plasticina; un trozo rectangular de cartn rgido o de madera (1 m de
largo y por 10cm de ancho, aproximadamente) que servir como plano
inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un relojcon
cronmetro.PARTE III. Trabajo en equipoCorten el tubo de cartn en
tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un
riel por el cual sepuedan desplazar los cilindros por el plano
inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se
desven.Para esto, ajusten dos lneas de hilo paralelas al plano
inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por unadistancia igual
al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas.A
continuacin, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina
adhierindola en las dos bases de uno delos cilindros por el
interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar
restos sueltos de plasticina.Luego, dejen rodar el cilindro por el
plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5
lanzamientos,registrando el tiempo que demora en recorrer la
distancia medida y contando el nmero de vueltas que ejecutadurante
el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es
imprescindible que la inclinacin del planosea mnima (ajusten la
pendiente hasta que puedan realizar la observacin). Anoten estos
datos en una tabla ycalculen un promedio para el tiempo y el nmero
de vueltas.Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior,
pero cambiando la distribucin de la plasticina en el interiordel
cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared,
es decir, a su manto como en el caso 2 de laimagen 2.2. En esta
parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar
la masa del objeto.Para nalizar, analicen sus mediciones y
respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:a) Cul es la
diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos
casos?b) Cul es la diferencia en el nmero de vueltas?c) Cmo inuye
la distribucin de masa del cilindro en su comportamiento
rotacional?d) Comparen su respuesta anterior con sus hiptesis
iniciales. Con cul de los dos casos se puede compararel movimiento
de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? Cul rodara ms
rpido?Caso 1 Caso 2plasticinaImagen 2.2FISICA_2010_OK.indd 36
21/7/10 17:08:21 37. 37Captulo 1: Movimiento CircularMomento
angular y su conservacinEl momento angularEn cursos anteriores ya
has estudiado el concepto de momentolineal ( p), expresin latina
que en espaol signica cantidad demovimiento lineal.El momento
lineal de un objeto es una medida de su inercia demovimiento, que
es la propiedad que lo mantiene en movimientohasta que algo lo
detiene o cambia su velocidad, y se puede calcularcomo el producto
de la masa del objeto y su velocidad.Los objetos que giran tambin
experimentan una inercia derotacin que los mantiene girando hasta
que algo los detieneo cambia su velocidad. Una medida de esta
propiedad es lo quellamamos cantidad de movimiento angular o,
simplemente, mo-mento angular ( L).Por ejemplo, una lata de bebida
que rueda por una calle con pen-diente, la rueda de una bicicleta o
una estrella alrededor del centrode la galaxia siguen girando hasta
que algo las detenga. En estesentido, todos estos objetos tienen
momento angular.El mdulo del momento angular de un objeto en
movimientocircular se relaciona con los mdulos de su momento lineal
y delradio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente
forma:L r p= (2.1)Sin embargo, considerando el mdulo del momento
lineal:p m v= (2.2)De acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2),
tenemos:L r m v= (2.3)La ecuacin (2.3) tambin se puede escribir en
trminos de larapidez angular:L m r= 2 (2.4)Es decir, el momento
angular depende directamente de la masa delobjeto que gira, de su
radio de giro y de su velocidad angular.Figura 2.1. Una lata de
bebida querueda por una calle con pendiente, giray aumenta su
momento angular.Figura 2.2. Las estrellas se mantienenen rbita
alrededor del centro galcticoy tienen momento angular.2Seccin 2:
Momento angular y su conservacinSeccinFISICA_2010_OK.indd 37
21/7/10 17:08:42 38. Fsica 3 Ao MedioMecnica38Dos ventiladores
idnticos se hacen girar simultneamente.Si la rapidez angular que
uno de ellos alcanza es el dobleque la del otro, cul tiene mayor
momento angular?Es necesario destacar que las
cantidadesinvolucradas en la denicin del momentoangular tienen
naturaleza vectorial.Es decir, el momento angular se puedeexpresar
como un producto vectorial dela siguiente forma:L r p = (2.5)Como
se muestra en la Figura 2.4, elmomento angular de un objeto es
unvector perpendicular al plano de latrayectoria.Figura 2.3. Al
girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspasque rotan
en un ventilador. La direccin y sentido del vector momentoangular
se puede determinar por medio de la regla de la mano derecha:el
pulgar apunta en la direccin de L( de ), cuando los dedos dela mano
apuntan en el sentido de giro. Aqu se muestran los vectores ry pde
un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masacasi en
el extremo de las aspas del ventilador.Ejemplo 7Una piedra de 0,2
kg gira en una boleadora con un radio de50 cm y una velocidad
angular de 2 rad/s.a) Cul es el mdulo del momento angular de la
piedra?a: Para resolver usamos la ecuacin (2.4):L m rL kg mradsLkg
ms= = ( ) =2220 2 0 5 20 1, ,,Apartir de este resultado, vemos que
el momento angular se mideen unidades dekg ms2 en el Sistema
Internacional de Unidades.Esta unidad de medida no recibe un nombre
especial.LprtrayectoriaLvrFigura 2.4. Les perpendicular alplano del
movimiento, por lo tanto,mantiene la misma direccin que lavelocidad
angular . La direccin deambos vectores se obtiene usando laregla de
la mano derecha.LprrA Sentido del giropFISICA_2010_OK.indd 38
21/7/10 17:09:03 39. 39Captulo 1: Movimiento CircularEjemplo 8En el
ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos
boleadorassimultneamente, como se muestra en la Figura 2.5.
Ambasboleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo mdulo es =
2rads, constante.a) Cul es el mdulo del momento angular del sistema
deboleadoras?Figura 2.5. La bailarina hace girar simultneamente dos
bole-doras. Las lneas punteadas representan las trayectorias de
lasmasas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo yse ha
pintado para evitar la ambigedad debida a la perspectiva.En un
sistema de varias masas en rotacin, se puede calcularel momento
angular total, sumando los momentos angularesindividuales.a: Como
se trata de dos masas que rotan con igual velocidadangular, podemos
calcular el mdulo del momento angu-lar total del sistema compuesto
por las dos masas, de lasiguiente forma:L L LL m r m
rLtotaltotaltotal= += + =1 21 122 22 (( ), , ,m r m rL kg m ktotal1
122 2220 2 0 5 0 3 + = ( ) +gg mradsLkg mstotal( )( )=0 6 20
315622,,Este desarrollo permite observar la aparicin de una
cantidadimportante en el estudio de las rotaciones, el producto de
la masade un objeto en rotacin y el cuadrado de su radio de giro.
Estacantidad se denomina momento de inercia.El ejemplo 8 sirve para
denir el momentoangular de un conjunto de partculas quegiran con
igual velocidad angular.La generalizacin de L para n partculasque
cumplen esa condicin, se expresaas:L m r m r m rn n= + + + 1 122 22
2 Escrita con la simbologa de sumatoria,esta expresin queda asL m
ri iin= ( ) = 21 (2.6)L I= (2.7)El trmino I m ri iin= ( )= 21se
denominainercia rotacional o momento de inerciade un sistema de n
partculas.0,6 m0,3 kg0,5 m 0,2 kgSeccin 2: Momento angular y su
conservacinFISICA_2010_OK.indd 39 21/7/10 17:09:23 40. Fsica 3 Ao
MedioMecnica40Recuerda el modelo atmico de Bohr, en el que los
electronesgiran en rbitas alrededor del ncleo. De acuerdo a
estemodelo, tienen momento angular los electrones en untomo? Por
qu?La inercia rotacional o momentode inerciaCuando se analiza un
movimiento traslacional y rectilneo seconsidera a la masa del
objeto como una medida de su inercia.Como ejemplo, si se aplica la
misma fuerza a un camin y luegoa un auto, observamos que el auto
acelera ms que el camin. Eneste caso, decimos que el auto cambia su
estado de movimientocon mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En
trminos tcnicos,el auto tiene menos inercia que el camin.Por lo
tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es eneste
sentido, una medida de su resistencia al cambio de
velocidad.Anlogamente, al hacer que un objeto slido rote o se mueva
entrayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del
movimientorotacional. Esta oposicin del objeto al cambio de su
rotacin seconoce como inercia rotacional o momento de inercia. En
otraspalabras, en el movimiento circular el momento de inercia
cumpleel mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilneo.El
momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles
desistemas:SISTEMAS DE OBJETOSSe trata de objetos fsicos que
modelamos como si se tratara departculas que tienen toda su masa
concentrada en un punto y quegiran con la misma velocidad angular a
cierta distancia de un ejede giro. Este es el tipo de sistema que
consideramos cuando el ejede giro no atraviesa el objeto.Por
ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes
cuerposmasivos, su tamao en relacin al tamao del Sistema Solar esen
la prctica muy pequeo y por esta razn podemos modelar elmovimiento
de los planetas como si se tratara de partculas cuyamasa se
concentra en un punto.Modelar a los planetas como partculas es una
simplicacin fsicaimportante, pero podemos lograr una muy buena
aproximacin asus movimientos de esta manera.Figura 2.6. Un
equilibrista utiliza unavarilla de masa m para
equilibrarse.Mientras ms longitud tiene la varilla,mayor es su
inercia rotacional y mscuesta hacerla rotar.Figura 2.7. En un mvil
giratorio debeb podemos modelar el giro delos objetos alrededor del
eje centralcomo si se tratara de partculas. Sinembargo, los objetos
tambin giransobre s mismos, alrededor de un ejeque los atraviesa.
En esta rotacin nopodemos considerarlos como partculas,sino como
cuerpos extensos.FISICA_2010_OK.indd 40 21/7/10 17:09:36 41.
41Captulo 1: Movimiento CircularPara este tipo de sistema usamos la
ecuacin (2.7), que dene elmomento de inercia de un sistema de n
partculas como:I m riin= = 121(2.8)Donde mi son las masas de las
diferentes partculas que forman elsistema y ri son sus radios de
giro alrededor de un eje comn. Estarelacin indica que si varios
objetos puntuales componen un sistema,el momento de inercia del
sistema es la suma de los momentos deinercia de cada partcula
respecto al mismo eje de rotacin:I m r m r m r m r= + + + +1 122
223 324 42... (2.9)Si el sistema est compuesto de una nica partcula
que giraalrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia
sereduce a:I m r= 2 (2.10)La ecuacin (2.10) indica que el momento
de inercia de un objetopuntual de masa m depende directamente del
cuadrado de su radiode giro r. De esta manera, mientras ms alejada
del eje est lamasa, ms esfuerzo se requiere para hacerla girar con
la mismarapidez angular.En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas
de masasunidas a los extremos de fsforos de distinto largo. Silas
cuatro pequeas esferas de plasticina tienen igualmasa, qu sistema
tiene mayor inercia rotacional? Porqu? De qu depende esto?Figura
2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usandos
fsforos de distinto tamao para confeccionar los sistemas con
dosmasas. Los posibles ejes de rotacin de cada sistema son
innitos.Figura 2.9. Las masas en este meca-nismo pueden ser
modeladas comopartculas que giran alrededor deun eje comn. En cul
de las dossituaciones el momento de inercia delsistema compuesto
por las dos masases mayor? Por qu?Seccin 2: Momento angular y su
conservacinFISICA_2010_OK.indd 41 21/7/10 17:10:02 42. Fsica 3 Ao
MedioMecnica42OBJETOS EXTENSOSSe trata de objetos slidos y rgidos
que giran sobre un eje queatraviesa sus contornos. Son objetos
rgidos aquellos que no ex-perimentan deformaciones.Ejemplos de
objetos extensos en rotacin hay muchos a nuestroalrededor. El caso
ms directo, aunque tal vez no el ms evidente,es la propia rotacin
de la Tierra alrededor del eje imaginario quela atraviesa de polo a
polo. Si lanzas un martillo al aire o hacesgirar un trompo, vers
tambin cuerpos rgidos en rotacin.Para calcular el momento de
inercia de un objeto rgido no esposible usar la ecuacin (2.8)
directamente, ya que este tipo decuerpo distribuye su masa en toda
su extensin de distinta manera,de acuerdo a la geometra que
posee.As, por ejemplo, un cilindro slido tiene mayor momento de
inerciaque una esfera slida del mismo radio y de igual masa.En
general, cada cuerpo geomtrico, regular o irregular, tiene supropia
inercia rotacional. La tcnica matemtica para calcular lainercia de
objetos slidos y extensos pertenece al rea del clculodiferencial e
integral. Para evitar este tipo clculos, tenemos laFigura 2.11, que
muestra algunos cuerpos geomtricos comunesy sus respectivos
momentos de inercia.Figura 2.10. Un gato es deformable,y por lo
tanto, no es un cuerpo rgido.Cuando cae de espalda realiza
con-torsiones en el aire modicando lainercia rotacional de su
cuerpo hastaalcanzar una posicin cmoda y segurade
cada.EjeEjeEjeEjeEjeEjeEje EjeFigura 2.11. Momentos de inercia de
algunos cuerpos geomtricosrespecto a diferentes ejes de
rotacin.FISICA_2010_OK.indd 42 21/7/10 17:10:16 43. 43Captulo 1:
Movimiento CircularActividad de profundizacinQu sucede con el
momento angular si hay varioscuerposquerotanjuntos?Para realizar
esta actividad, se necesita lo siguiente: una ruedade bicicleta y
una silla que pueda rotar sobre su eje.Segn la disponibilidad de
sillas giratorias y ruedas de bicicletaen el curso, renete con
algunos compaeros y compaeras (entre4 y 6, idealmente) y formen un
equipo de trabajo.a) Reexionen sobre esta pregunta: Qu sucede con
el mo-mento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos?
Comoequipo, planteen una hiptesis para responder.A continuacin,
realicen el siguiente experimento: el estudiantems liviano se
sienta en la silla y sostiene la rueda de la
bicicletaverticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la
rueda(imagen 2.3). Dos compaeros(as) pueden sujetar la base de
lasilla para que no se traslade, mientras otro estudiante da
impulsoa la rueda para que gire. Luego, respondan:b) En qu direccin
y sentido est dirigido el momento angularde la rueda? Dibuja en tu
cuaderno un esquema del movi-miento, indicando el vector momento
angular de la rueda.A continuacin, con la rueda en movimiento, el
estudianteque est sentado debe inclinar el eje de rotacin de la
rueda,lentamente hasta que quede horizontal.c) Describe en tu
cuaderno qu observas.d) En qu direccin y sentido est dirigido el
momento an-gular de la rueda? En qu direccin y sentido est
dirigidoel momento angular de la silla? Dibuja un esquema de
lasituacin.e) Qu ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado?
Dibujaun esquema de la situacin.f) Exploren las posibilidades del
experimento. Qu ocurre sien vez de hacer girar la rueda, se empieza
por hacer girar lasilla?g) Discutan sus respuestas y comprenlas con
la hiptesis queplantearon.Para nalizar la actividad, preparen un
informe sobre su trabajosegn las indicaciones de su profesor(a) y
luego presenten a suscompaeros(as) cules fueron sus
hallazgos.Seccin 2: Momento angular y su conservacinImagen
2.3FISICA_2010_OK.indd 43 21/7/10 17:10:37 44. Fsica 3 Ao
Medio44MecnicaEvaluacin intermediaIndagacin N6Por qu las manillas
de las puertas estn ubicadas enelextremo?Para responder la pregunta
planteada en el ttulo de esta actividad, sepropone la siguiente
hiptesis:Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando
esta se aplicams lejos del eje de rotacin.Cmo podemos poner a
prueba esta hiptesis?a) Junto a un compaero o una compaera, diseen
un procedimientoexperimental que les permita, a travs de un modelo,
poner a pruebala hiptesis para evaluar si es una explicacin
aceptable o debe serdescartada. Dibujen su montaje experimental y
describan brevemente,pero con precisin, el procedimiento que
sugieren.Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea
factiblede realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el
uso demateriales de fcil adquisicin o construccin y tiempos
razonablespara la observacin y el anlisis de sus resultados.b) Para
nalizar, elaboren un informe de dos pginas segn las indica-ciones
que les d su profesor(a).2 m 1,5 mNio A: 30 kg Nio B: 40 kgRecuerda
que un modelo es unarepresentacin simplificada delfenmeno que se
intenta explicar,que incorpora sus principalescaractersticas y, en
especial, lasvariables medibles.PARTE I. Problema de planteamiento1
Observa la siguiente imagen. Ella corresponde aun balancn
giratorio.a) Encuentra los momentos de inercia de cadanio y
compralos entre s.b) Si el nio B gira con una rapidez tangencialde
4,5 m/s Cul es la rapidez angular delnio A?c) Considerando los
valores obtenidos anterior-mente, cul es el mdulo del momento
an-gular total? (Sin considerar el travesao)PARTE II. Anlisis2 De
qu manera inuye el largo distinto de cadabrazo del balancn en el
equilibrio rotacional delos nios de distinta
masa?FISICA_2010_OK.indd 44 21/7/10 17:10:56 45. 45Captulo 1:
Movimiento CircularTorqueEl torque mecnico () es un concepto fsico
muy simple con el quenos encontramos frecuentemente en la vida
diaria. Por ejemplo,al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar
con una tijera o usarun alicate, al mover los pedales de la
bicicleta, y en cualquiermovimiento de nuestros brazos, ya que
nuestro propio sistemalocomotor hace uso de variadas aplicaciones
de torque.El concepto de torque se compone de las tres magnitudes
que semuestran en la Figura 2.12: la fuerza aplicada ( F), el radio
vector( r) y el ngulo entre estos vectores ( ).Figura 2.13. Las
aplicaciones deltorque en la vida cotidiana son muyfrecuentes.rLnea
de accinFigura 2.12. La fuerza Faplica un torque sobre la llave
inglesa y provocala rotacin que permite soltar la tuerca. Solo la
componente perpendicularal radio (F F seny= ) hace que el sistema
gire, la componente paralelano contribuye al torque.Cuando se
ejerce fuerza sobre un cuerpo rgido que puede giraralrededor de un
cierto eje gracias a un pivote o punto de rotacin,y siempre que la
lnea de accin de la fuerza no pase por el pivote,entonces el cuerpo
tiende a girar alrededor de ese eje. El torque es unamedida de la
capacidad de una fuerza para provocar esta rotacin.Si la fuerza y
el radio vector son perpendiculares entre s ( = 90),entonces se
aplica un torque mximo. Este es el caso cuando seabre una puerta
aplicando una fuerza perpendicular al plano de lapuerta.Adems, este
ejemplo es til para comprender la inuenciadel radio vector en el
torque. A qu distancia del eje de rotacinde la puerta conviene
aplicar la fuerza para realizar el menoresfuerzo al abrirla?Seccin
2: Momento angular y su conservacinFxFyF es la letra griega tau.El
ngulo entre ry Fse mide desdela direccin de rhasta F, en
sentidopositivo segn la convencin matemtica:los ngulos son
positivos al medirlos ensentido anti-horario.rFISICA_2010_OK.indd
45 21/7/10 17:11:13 46. Fsica 3 Ao MedioMecnica46De acuerdo a
nuestra experiencia, mientras ms lejos del eje derotacin se aplica
la fuerza, menor es el esfuerzo que implica abriruna puerta. Por
eso, en general, las manillas se colocan en el ladoopuesto a las
bisagras, para que el mdulo del radio vector seamximo y, de esta
manera, aumentar el torque.El mdulo del torque de una fuerza (F) se
puede determinar porla siguiente relacin: = r F sen (2.11)De
acuerdo a la ecuacin (2.11) el torque se expresa en la uni-dad [N
m].TORQUEY MOMENTO ANGULARComo aprendiste en segundo medio, la
fuerza neta que acta sobre uncuerpo es equivalente al cambio de
momento lineal en un intervalode tiempo. En trminos de los mdulos
de los vectores involucrados,podemos expresar esta relacin del
siguiente modo:Fpt=(2.12)Si reemplazamos esta denicin en la ecuacin
(2.11), tenemos: = = ( )= rptrp ptr pf ifsensensen rr pti sen
(2.13)Pero, al considerar la ecuacin 2.5, el mdulo del momento
angularse puede expresar como:L r p= sen (2.14)De modo que las
ecuaciones (2.13) indican que: ==L LtLtf i(2.15)Es decir, el torque
produce un cambio o variacin en el momentoangular del sistema
mecnico, sea este un conjunto de partculaso un objeto rgido.Es
necesario considerar que las cantidadesinvolucradas en la denicin
del torquetienen naturaleza vectorial. Es decir,en la ecuacin
(2.11) hemos usado losmdulos del radio vector ( r) y de lafuerza (
F), de modo que:r rF F==De acuerdo esto, la ecuacin (2.11) expre-sa
el mdulo del torque, cuya expresinvectorial corresponde a un
producto dela sig