Informe Fisica III

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

INFORME : SEGUNDA PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL

PRESENTADO POR : VILCA MIRANDA, Alvaro

DOCENTE : Lic. CARRILLO SEGURA, Salinova

PUNO PERÚ

2009

2

i

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Cs. Físico Matemáticas

INFORME N◦ 002-2008-UNA-FICA

Al : Lic. Carrillo Segura SalinovaDe : Vilca Miranda AlvaroAsunto : Informe de Prácticas Pre-ProfesionalesFecha : 1 de julio del 2009

Mediante el presente, remito a Ud. el presente informe de prácticas pre-profesionales querealicé, el cual paso a detallar a continuación:

1. A través del MEMORANDO N◦-058-2008 -DEP-F.M-FICA-UNA. de fecha 11 deseptiembre del 2008, se me asigna realizar prácticas pre-profesionales en el curso deFÍSICA III, el cual se desarrolla en la Escuela Profesional Ingeniería Electrónica,del cual su persona fue titular.

2. Las prácticas pre-profesionales las inicié el 12 de septiembre del 2008 y las finalicéel 30 de enero del 2009.

3. Las sesiones dictadas fueron correspondientes a las capacidades I,II,III Y IV delcurso antes mencionado.

4. En el presente informe se encuentra toda la información detallada de las prácticaspre-profesionales que realicé.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente.

Vilca Miranda Alvaro

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Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Cs. Físico Matemáticas

INFORME N◦ -2008-UNA-FICA

Al : Lic. Benavides Huanca, Juan CarlosDirector de la Escuela Profesional Ciencias Físico Matemáticas.

De : Lic. Carrillo Segura Salinova.Asunto : Informe de Prácticas Pre-profesionales.Fecha : 1 de julio del 2009

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas realizadas por el estudianteVILCA MIRANDA ALVARO, el cual detallo a continuación:

1. Mediante el MEMORANDON◦-058-2008-DEP-F.M-FICA-UNA. de fecha 11 de sep-tiembre del 2008, se designa al estudiante VILCA MIRANDA ALVARO, con el finde realizar las prácticas pre-profesionales en el curso de FISICA III, el mismo quese desarrollo en la Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica la misma que serealizo bajo mi asesoría.

2. El estudiante realizó la práctica pre-profesional, logrando el objetivo del mínimode 30 horas académicas, que consistió en desarrollar las capacidades I,II,III y IVcorrespondientes al curso.

3. Durante la realización de la práctica pre-profesional el estudiante en mención, de-mostró mucha responsabilidad y dominio de los temas tanto en la preparación de sussesiones, durante su desenvolvimiento ante los estudiantes y demás tareas asignadas.

4. Concluida la práctica pre-profesional, el estudiante alcanzó los objetivos estableci-dos, siendo así; solicito a Ud. Señor Director realizar los trámites necesarios para laexpedición de la respectiva resolución.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente:

Lic. Carrillo Segura Salinova

iii

PRESENTACIÓNEl presente informe se origina en el desarrollo de las prácticas pre-profesionales real-izada del 12 de septiembre del 2008 al 30 de enero del 2009 en el curso de Física III enel semestre 2008-I dicho curso corresponde al III semestre de la Escuela Profesional deIngeniería Electrónica, Facultad de Ingeniería Estadística de la Universidad Nacional DelAltiplano Puno.

El informe consta de tres partes. La primera parte trata una sección informativa, lajustificación y los objetivos de las prácticas pre-profesionales.

La segunda parte, trata en sí, el desarrollo del curso, en esta parte se desarrolla la FísicaIII, desarrollando temas relacionados a ondas electromagnéticas, naturaleza y propagaciónde la luz, formación de imágenes, interferencia y difracción

La tercera y última parte trata de la metodología utilizada en las prácticas pre-profesionales,el cronograma de las actividades realizadas y la relación de los estudiantes con sus respec-tivas asistencias.

Por ultimo, quiero agradecer a la Lic. Carrillo segura Salinova, docente del curso, porsu valioso apoyo durante el desarrollo de la práctica pre-profesional.

iv

Índice general

I INFORME DE PRÁCTICAS PRE-PROFESIONALES 10.1. DATOS INFORMATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3.1. OBJETIVOS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II FISICA III 9

1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 111.1. Corriente de desplazamiento de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Ecuaciones De Maxwell y Los Descubrimientos De Hertz . . . . . . . . . . 121.3. Ondas Electromagnéticas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Energía Transportada por Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . 151.5. Cantidad De Movimiento y Presión De Radiación . . . . . . . . . . . . . . 171.6. Producción De Ondas Electromagnéticas por una Antena . . . . . . . . . . 181.7. El Espectro De Las Ondas Electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ 292.1. Reflexión y Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Leyes de Reflexión y Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Índice de Refracción y los Aspectos Ondulatorios de la Luz . . . . . . . . . 312.3. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4. Principio de Huygens Aplicado a la reflexión y la Refracción . . . . . . . . 322.5. Dispersión y Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6. Reflexión Interna Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7. Fibra Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8. Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. FORMACIÓN DE IMÁGENES 453.1. Imágenes Formadas Por Espejos Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Imágenes Formadas Por Espejos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Imágenes Formadas Por Espejos Cóncavos . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2. Imágenes Formadas Por Espejos Convexos . . . . . . . . . . . . . . 49

v

3.2.3. Diagrama de rayos para los Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Imágenes Formadas Por Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4. Lentes Delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. Aumento de las Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6. Diagramas de rayos para Lentes Delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.7. Aberraciones de las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. INTERFERENCIA 674.1. Interferencia y Fuentes Coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2. Interferencia Constructiva y Destructiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3. Interferencia de de luz de dos Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4. Intensidad en los Patrones de Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5. Amplitud en la Interferencia de dos Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.6. Intensidad en la Interferencia de Dos Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.7. Diferencia de Fase y Diferencia de Trayecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.8. Interferencia en Películas Delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5. DIFRACCIÓN 815.1. Difracción desde una solo Ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2. Intensidad en el Patrón de una sola Ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3. Máximos de Intensidad en el Patrón de una sola ranura . . . . . . . . . . . 855.4. Anchura del patrón de una sola Ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5. Ranuras Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.1. Dos Ranuras de Ancho Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.2. Varias Ranuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.6. Rejilla de difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

III Metodología Cronograma de Actividades y Asistencias 93

6. METODOLOGÍA 956.1. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2. Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES 977.1. Temas Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8. RELACIÓN DE ESTUDIANTES Y ASISTENCIAS 998.1. Relación de Estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2. Asistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

vi

Parte I

INFORME DE PRÁCTICASPRE-PROFESIONALES

1

3

0.1. DATOS INFORMATIVOS

RESPONSABLE

Nombre y Apellido : Vilca Miranda AlvaroCódigo : 040715

DOCENTE

Nombres y Apellidos : Carrillo Segura SalinovaCondición : ContratadaCategoría : Auxiliar TCEspecialidad : Física

ASIGNATURA

Nombre : Física IIICódigo : MAT221Prerrequisito : MAT207Horas : Teóricas=3,Prácticas=2,Total=5Créditos : 4Año Académico : 2008Semestre : IIIÁrea Curricular : Formación profesional básicaCondición : ObligatorioGrupo : Único

0.2. JUSTIFICACIÓN

A partir de las prácticas pre-profesionales, los estudiantes de la Escuela Profesional deCiencias Físico Matemáticas van construyendo su campo profesional, adquiriendo experi-encias, habilidades y destrezas en el desempeño de la docencia universitaria.

La práctica pre-profesional tiene sustento legal en:

CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ

La Constitución Política del Perú de 1993, es constitución vigente en el país. Estaes considerada como la norma jurídica suprema y vértice de todo el ordenamientojurídico que regula la vida dentro del país.


4

Art. 14 La educación promueve el conocimiento, el aprendizaje y la práctica delas humanidades, la ciencia, la técnica, las artes, la educación física y el deporte;prepara para la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad.

Art. 18 La educación universitaria tiene como fines la formación profesional, ladifusión cultural, la recreación intelectual y artística y la investigación científica ytecnológica. El estado garantiza la libertad de cátedra y rechaza la intolerancia.

Las universidades son promovidas por entidades privadas o públicas. La ley fijalas condiciones para autorizar su funcionamiento.

La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participanen ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley.

Cada universidad es autónoma en su régimen normativo, de gobierno, académi-co, administrativo y económico. Las universidades se rigen por sus propios estatutosen el marco de la constitución y las leyes.

LEY UNIVERSITARIA N◦ 23733

Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve días del mes de diciembre demil novecientos ochenta y tres.

Art.9 Cada universidad organiza y establece su régimen académico por facultadesa sus necesidades y características.

Art.18 Cada universidad señala los requisitos para la obtención de los gradosacadémicos y de los títulos profesionales correspondientes a las carreras q ofrece.

Art.23 Los títulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estu-dios de una duración no menor de diez semestres académicos o la aprobación de losaños o créditos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden.Además son requisitos la obtención previa del bachillerato respectivo y, cuando seaaplicable, el haber efectuado práctica profesional calificada. Para obtener el títulode licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional.

La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro título profesional equiva-lente previo. Da acceso al título, o a la certificación o mención correspondientes.

ESTATUTO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

C.S. Salinova

5

Aprobado en Asamblea Universitaria del 06 al 19 de enero del 2005

Art. 19 La universidad se integra por unidades académicas fundamentales de-nominadas facultades estos organizan y desarrollan actividades de investigación,proyección social y presentación de servicios.

Art.122 La actividad académica en una escuela profesional comprende:

• Formación general.

• Formación básica profesional.

• Formación profesional.

• Investigación.

• Orientación profesional.

• Proyección y extensión universitaria.

su diseño involucra la programación curricular teórica-práctica de cada asignatu-ra; proyectos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plande actividades de proyección y extensión universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.:Arts. 10, 12, 16 y ss, Ley 13733.

CURRICULA DE LA ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FÍSICOMATEMÁTICAS

Art.40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que con-templa la realización de prácticas pre-profesionales en la formación de todos losestudiantes de la universidad.

Art.41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas es-tán obligados a realizar prácticas pre profesionales pudiendo efectuarse después dehaber logrado un mínimo de 170 créditos.

Art.42 Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Ciencias FísicoMatemáticas serán prácticas productivas y prácticas de investigación.

Art.43 Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros deenseñanza de nivel medio superior y universidades, prácticas en centros productivos,convenio, proyectos y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.

Art.44 Las prácticas de investigación se realizarán en la U.N.A. bajo la direcciónde un profesor designado específicamente con este fin.


6

Art.45 Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de unsemestre académico.

Art.46 Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas producti-vas y/o de investigación presentarán el informe de la institución donde se realizó yesta a su vez informará de su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remi-tirá a la comisión de prácticas pre profesionales para su aprobación o desaprobación.

Art.47 En caso de que la práctica productiva y/o prácticas de investigación serealize en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentará el informeal docente a cargo, éste a su vez informará su desarrollo a la Dirección de la Carrerapara el visto bueno de la comisión de prácticas pre profesionales.Art.48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos porla Comisión de prácticas pre profesionales.

C.S. Salinova

7

0.3. OBJETIVOS

0.3.1. OBJETIVOS GENERALES

Al conluir la práctica pre-profesional, el estudiante de la E.P. de Ciencias Físico Matemáti-cas, sera capaz de:

Desarrollar, aplicar y facilitar el uso de las relaciones cuantitativas y cualitativas delas diversas disciplinas de la ciencia, la tecnología, la gestión y la producción

Planificar, organizar y ejecutar los conocimientos adquiridos durante la formaciónprofesional en instituciones donde se requiera nuestros servicios profesionales.

0.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.

Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la prácticapre-profesional.

Proporcionar conceptos, proposiciones, etc. relacionados al tema a desarrollarse.

Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan.

Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.


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C.S. Salinova

Parte II

FISICA III

9

Capítulo 1

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

1.1. Corriente de desplazamiento de MaxwellComo se sabe la ley de Ampere relaciona la integral de linea o circulación del campomagnético a lo largo de cierta curva cerrada C con la corriente que atraviesa un áreacualquiera limitada por dicha curva:

∮B.dl = µ0I. (1.1)

Curva C

I

Placas de

condensador

S

S1

2

Aclarándose que la ecuación 1.1 es solo válida para corrientes continuas.

Maxwell se dio cuenta de este fallo de la ley de Ampere y demostró que esta ley puedegeneralizarse para incluir todos los casos para incluir todos los casos si se sustituye lacorriente I en la ecuación por la suma de la corriente de conducción I más otro términoId denominado corriente de desplazamiento de Maxwell, definida como:

Id = ε0dφe

dt(1.2)

Dondeφe es el flujo del campo eléctrico a través de la misma superficie limitada por lacurva C, entonces la forma generalizada de la ley de ampere es:

∮B.dl = µ0(I + Id) = µ0I + µ0ε0

dφe

dt(1.3)

11

12

1.2. Ecuaciones De Maxwell y Los Descubrimientos DeHertz

En el estudio de la teoría unificada del electromagnetismo. Maxwell demostró que las ondaselectromagnéticas son una consecuencia natural de las leyes fundamentales expresads enlas cuatro ecuaciones siguientes:

∮E.dA =

q

ε0

(1.4)∮

B.dA = 0 (1.5)∮

E.ds = −dΦB

dt(1.6)

∮B.ds = µ0I + µ0ε0

dΦE

dt(1.7)

A partir de las ecuaciones 1.6 y 1.7 pueden combinarse para obtener una ecuación de ondatanto para el campo eléctrico como para el campo magnético en el vacío, donde q = 0 eI = 0.

1.3. Ondas Electromagnéticas PlanasCentremos nuestra atención en una onda electromágnetica que se desplaza en la direcciónde las x. En esta onda, el campo eléctrico E est´pa en la dirección de las y, y el campomagnético B está en la dirección de las z,

x

y

z

o

E

B

Para deducir las ecuaciones de las ondas electromagnéticas , partimos de la ley de Faraday,es decir de la ecuación 1.6

∮E.ds = −dΦB

dt

Considere un rectángulo de ancho dx y altura l que yace en el plano xy, como se muestraen la figura 1.3. Para aplicar la ecuación 1.6, primero debemos de calcular la integral delinea de ~E.ds al rededor del rectángulo. Las contribuciones de la parte superior e inferiordel rectángulo son iguales a cero, ya que ~E es perpendicular a ds para estas trayectorias.Podemos expresar el campo eléctrico del lado derecho del rectángulo de la forma :

C.S. Salinova

13

x

y

z

o

E

E +dE

B

dx

l

E(x + dx, t) ≈ E(x, t) +dE

dx

]

t constantedx = E(x, t) +

∂E

∂xdx

En tanto que el campo del lado izquierdo es simplemente E(x, t), por tanto, la integral

de línea a lo largo de este rectángulo es de aproximadamente:∮

E.ds = [E(x + dx, t)]l − [E(x, t)]l ≈ l

(∂E

∂x

)dx (1.8)

Dado que el campo magnético está en la dirección de las x, el flujo magnético a través delrectángulo de área l dx es de aproximadamente φB = Bldx, derivando respecto al tiempodel flujo magnético nos da:

dφB

dt= ldx

dB

dt

]

x constante= ldx

∂B

∂t(1.9)

Sustituyendo las ecuaciones 1.8 y 1.9 en la ecuación 1.6 nos da:

l

(∂E

∂t

)= −ldx

∂B

∂t

∂E

∂x= −∂B

∂t(1.10)

De manera similar, partiendo de la ecuación 1.7. En este caso, la integral de línea B.dsse calcula alrededor del rectángulo que yace en el plano xz de ancho dx y de longitudl, notando que la magnitud del campo magnético cambia de B(x, t) a (B(x + dx, t)) enel ancho de dx y que la dirección en la cual calculamos la integral de línea , la cual esaproximadamente:

∮B.ds = [B(x, t)]l − [B(x + dx, t)]l ≈ −l

(∂B

∂x

)dx (1.11)

El flujo eléctrico a través del rectángulo es φE = Eldx, en el cual, cuando se calcula ladiferencial respecto al tiempo, nos da:

∂φE

∂t= ldx

∂E

∂t(1.12)


14

Podemos relacionar ~E y ~B entre sí con las ecuaciones 1.6 y 1.7. En el espacio vacío, dondeq = 0 e I = 0, la ecuación 1.6 se conserva igual y la ecuación 1.7 se convierte en

∮B.ds = ε0µ0

dφE

dt(1.13)

Sustituyendo las ecuaciones 1.11 y 1.12 en la ecuación 1.13

−l

(∂B

∂t

)= µ0ε0ldx

(∂E

∂t

)

∂B

∂x= −µ0ε0

∂E

∂t(1.14)

x

y

z

oE

B +dB

B

l

dx

Derivando la ecuación 1.10 con respecto a x y combinando el resultado con la ecuación1.13, obtenemos :

∂2E

∂x2= − ∂

∂x

(∂B

∂t

)= − ∂

∂t

(∂B

∂x

)= − ∂

∂t

(−µ0ε0

∂E

∂t

)

∂2E

∂x2= µ0ε0

∂2E

∂t2(1.15)

De la misma manera calculando la derivada de la ecuación 1.13 con respecto a x y com-binándola con la ecuación 1.10, obtenemos:

∂2B

∂x2= µ0ε0

∂2B

∂t2(1.16)

Las ecuaciones 1.15 y 1.16 tienen ambas la forma general de la ecuación de la onda,reemplazando por la c la rapidez de la onda v, Donde:

c =1√µ0ε0

(1.17)

Tomando µ0 = 4π ∗ 10−7 T.m/A y ε0 = 8,85419 ∗ 10−12 C2/N.m2 de la ecuación 1.17 setiene que c = 2,997 ∗ 108 m/s.

C.S. Salinova

15

La solución mas simple a las ecuaciones 1.15 y 1.16 es una onda senoidal , para la cual lasmagnitudes de campo E y B varían en función de x y t, de acuerdo con las expresiones:

E = Emax cos(kx− wt) (1.18)B = Bmax cos(kx− wt) (1.19)

El número de onda angular es k = 2π/λ, siendo λ la longitud de onda. La frecuenciaangular es igual a w = 2πf , donde f es la frecuencia de la onda. La relación w/k es iguala la rapidez de una onda electromagnética c.

w

k=

2πf

2π/λ= λf = c

Obteniendo las derivadas parciales de las ecuaciones 1.18 con respecto a x y 1.19 conrespecto a t, encontramos:

∂E

∂x= −kEmax sin(kx− wt)

∂B

∂t= wBmax sin(kx− wt)

Reemplazando los resultados en la ecuación 1.10, encontramos que en cualquier momento

kEmax = wBmax

Emax

Bmax

=w

k= c

1.4. Energía Transportada por Ondas Electromagnéti-cas

Al igual que cualquier otra forma de onda la propagación de una onda electromagnéticava acompañada de un transporte de energía.

El flujo de energía en una onda electromagnética se mide comúnmente en términos dela velocidad a la que fluye la energía por unidad de área (Potencia electromagnética porunidad de área). Se describe la magnitud y dirección del flujo de energía en términos deun vector llamado vector Poynting S definido como:

~S =1

µ~E × ~B (1.20)

Notese que los vectores ~E y ~B se refieren a los campos de una onda en un punto particulardel espacio y S indica en vector poynting en ese punto.


16

Podemos calcular la magnitud del vector poynting para una onda electromagnética plana,donde |E ×B| = E.B. luego:

S =EB

µ0

(1.21)

Puesto a que B = E/c, podemos expresar lo anterior como :

S =E2

µ0c=

c

µc

B2

Estas ecuaciones para S son aplicables para cualquier instante en el tiempo y representanla rapidez instantánea a la cual está pasando energía por unidad de área.

En el caso de una onda electromagnética senoidal plana es el promedio en el tiempode S a lo largo de uno o más ciclos, que se llama intensidad de onda I, cuando se ob-tiene este promedio, llegamos a una expresión que involucra el promedio en el tiempocos2(kx− wt), que tiene un valor de 1

2. EN consecuencia, el valor promedio de S es igual

a :I = Sprom =

EmaxBmax

2µ0

=E2

max

2µc=

c

2µ0

B2max (1.22)

La energía por unidad de volumen, que es la densidad de energía instantánea µE asociadacon un campo eléctrico está dada por:

µE =1

2ε0E

2

Y la densidad de energía asociada con un campo magnético esta dada por:

µB =B2

2µ0

Haciendo uso de la expresión E = Bc y c = 1/√

ε0µ0, la expresión para µB se convierteen:

µB =1

2ε0E

2

Y la expresión para µE:

µE =1

2µ0

B2

En otras palabras, la densidad de energía instantánea asociada con el campomagnético de una onda electromagnética es igual a ala densidad de energíainstantánea asociada con el campo eléctrico. En consecuencia, en un volumen dadola energía es compartida igualmente entro los dos campo.

La densidad de energía total µ es igual a la suma de las densidades de energía asoci-adas con los campos eléctrico y magnético:

µ = µE + µB = ε0E2 =

B2

µ0

C.S. Salinova

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Cuando esta densidad de energía instantánea total se promedia a lo largo de uno o másciclos de una onda electromagnética de nuevo obtenemos un factor de 1

2. En consecuencia

para cualquier onda electromagnética, la energía promedio total por unidad de volumenes:

µprom = ε0(E2prom) =

1

2ε0E

2max =

B2max

2µ0

(1.23)

Comparando este resultado con la ecuación 1.22 para el valor promedio de S, vemos que:

I = Sprom = cµprom (1.24)

Esto es,la intensidad de una onda electromagnética es igual a la densidad deenergía promedio multiplicada por la rapidez de la luz

1.5. Cantidad De Movimiento y Presión De RadiaciónSupondremos que la onda electromagnética impacta en la superficie con una incidencianormal perpendicular y transporta a la superficie una energía total U en un intervalo detiempo ∆t. Maxwell demostró que, si la superficie absorbe toda la energía incidente U eneste intervalo, la cantidad de movimiento total p transportada a la superficie tiene unamagnitud

p =U

cabsorción total (1.25)

La presión ejercida sobre la superficie se define como fuerza por unidad de área F/A, y lacombinamos con las segunda ley de Newton:

P =F

A=

1

A

dp

dt(1.26)

Si reemplazamos ahora p, la cantidad del movimiento transportada a la superficie porunidad de área:

P =1

c

dU/dt

A

Donde dU/dtA

se le reconoce como la rapidez a la cual llega la energía a la superficie porunidad de área, que es la magnitud del vector de Poynting.Por lo tanto, la presión de radiación P ejercida sobre la superficie perfectamente ab-sorbente es igual a:

P =S

c(1.27)

Si la superficie es un reflector perfecto y la incidencia es normal a la superficie, entoncesla cantidad de moviemito transportada a la superficie en un intervalo de tiempo ∆t es dosveces el que se obtiene mediante la ecuación 1.25

p =2U

creflexión total (1.28)


18

Finalmente la, presión de radiación ejercida sobre una superficie perfectamente reflejantepara una incidencia perpendicular de la onda es igual a :

P =2S

c(1.29)

1.6. Producción De Ondas Electromagnéticas por unaAntena

El mecanismo fundamental responsable de la radiación es la aceleración de una partículacargada. Siempre que una partícula cargada se acelera, debe radiar energía.

Consideremos las ondas electromagnéticas producidas por una antena de media onda.En esta configuración, dos varillas conductoras estás conectadas a una fuente de voltajealterno.

La longitud de cada varilla es igual a un cuarto de la longitud de onda de la radiaciónque se emitirá cuando el oscilador opere a la frecuencia f . El oscilador obliga a las cargasa acelerarse de ida y vuelta entre las dos varillas.

+

+

+

+

+

---

-

-

-

EE

S SB B

I

I

x

Las lines de campo eléctrico debidas a la separación de las cargas en las porciones superiore inferior de la antena, se parecen aun dipolo eléctrico. Debido a que estas cargas oscilanen forma continua entre las dos varillas, la antena puede representase aproximadamentepor un dipolo eléctrico oscilante.

En los dos puntos donde se muestra el campo magnético, el vector Poynting S se dirigeradialmente hacia afuera. Esto indica que en ese instante la energía está fluyendo de laantena hacia afuera. Después, la dirección de los campos y el vector Poynting se invierten,conforme la corriente se alterna.

Dado que los campos del dipolo disminuyen en función de 1/r3, estos campos son de-spreciables a grandes distancias de la antena. A estas grandes distancias, hay algo mas

C.S. Salinova

19

que genera un tipo de radiación diferente a la que está cerca de la antena. La fuente deesta radiación es la inducción continua de un campo eléctrico causado por la variaciónen el tiempo de un campo magnético y a la inducción de un campo magnético por lavariación en el tiempo de campo eléctrico, pronosticado en las ecuación 1.6 y 1.7. Loscampos eléctrico y magnético p producidos de esta manera están en fase entre sí y varíanen función de 1/r. El resultado es un flujo de energía hacia afuera en todo momento.

y

x

Sθ La dependencia angular de la inten-sidad de radiación producida por undipolo.

Advierta que la intensidad y la energía radiada pasan por un máximo e un plano que esperpendicular a la antena y que pasa por su punto medio. Además, la energía radiadaes igual a cero a lo largo del eje de la antena. Una solución matemática a las ecuacionesde Maxwell para un dipolo muestra que la intensidad de la radiación varía en función de(sin2 θ)/r2, donde θ se mide a partir del eje de la antena.

Las ondas electromagnéticas pueden también inducir corrientes en una antena receptora.La respuesta de un dipolo receptor en una posición dada es máxima cuando el eje de aantena es paralelo al campo en ese punto, y es igual a cero cuando el eje es perpendicular.

1.7. El Espectro De Las Ondas ElectromagnéticasLos diversos tipos de ondas electromagnéticas difieren entre sí únicamente en su longitudde onda y frecuencia , que está relacionada con la longitud de onda de modousual.

f =c

λ

En la tabla mostrada se da el espectro electromagnético y los nombres normalmente aso-ciados con los diversos intervalos de longitud de onda y de frecuencia. Estos intervalos noestán a veces bien definidos y frecuentemente se solapan.

El ojo humano es sensible a la radiación electromagnética con longitudes de onda com-prendidas entre 400 y 700 nm aproximadamente, margen que se denomina luz visible.Las longitudes de onda más cortas del espectro visible corresponden a la luz violeta y lasmás largas a la luz roja y entres estos extremos se encuentran todos los colores del arcoiris. Las ondas electromagnéticas con longitudes de onda ligeramente inferiores a las deluz visible se denominan rayo ultravioleta y las que poseen longitudes ligeramente supe-riores, se conocen como ondas infrarrojas. La radiación térmica emitida por los cuerpos a


20

temperaturas ordinarias está situada en la región infrarroja del espectro electromagnético. No existen limites en las longitudes de onda de la radiación electromagnética; es decir,todas las longitudes de onda (o frecuencias) son teóricamente posibles.

RayosGamma

Rayos X

Microondas

Ondas de radio

RadiacionUltravioleta

RadiacionInfrarroja

Luz visible

10 nm

400 nm

700 nm

10 nm

10 nm

10 nm

10 nm

10 nm

1 nm

100 nm

1 mμ

10 mμ

100 mμ

1 mm

1 cm

10 cm

1 m

10 m

100 m

1 km

10 km

100 km

10 nm

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Las diferencias que poseen las longitudes de onda de las diversas clases de ondas electro-magnéticas tienes una gran importancia. Como sabemos el comportamiento de las ondasdepende fuertemente de los valores relativos de las longitudes de onda en comparación conlos tamaños de los objetos físicos o aberturas que las ondas encuentren. También es im-portante la longitud de onda y frecuencia a la hora de determinar las clases de interacciónque se producen entre las ondas y la materia .

C.S. Salinova

21

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1.1 Una varilla muy larga y delgada, que tiene una carga eléctrica con unadensidad lineal de 35.0 nC/m, yace sobre el eje de las x y se mueve en la dirección de lasx a una rapidez de 15.0 Mm/s.

(a) Determine el campo eléctrico que genera la varilla en el punto (0, 20,0 cm, 0)

(b) Determine el campo magnético que genera en el mismo punto.

(c) Determine la fuerza ejercida sobre el electrón en este punto, que se mueve a unavelocidad de (240~i Mm/s)

Solución:

z

v

y

x

E

B

+ + + + + +

(a) La varilla crea un campo eléctrico similar que un campo eléctrico estacionario, portanto podemos aplicar la ley de gauss a un cilindro de radio r = 20 cm y longitud l.

∮E.dA =

qencerrada

ε0

E(2πrl) cos 0◦ =λl

ε0

E =λ

2πε0r

E =35 ∗ 109

2π(8,85 ∗ 10−12)(0,2)~j

E = 3,15 ∗ 103~jN/C

(b) La carga en movimiento genera una corriente de:

I = (35 ∗ 109)(15 ∗ 106) = 0,525 A

Luego esta corriente crea un campo magnético:

B =µ0I

2πr

=(4π ∗ 10−7)(0,525)

2π(0,2)

B = 5,25 ∗ 10−7~k T


22

(c) La fuerza ejercida sobre un electrón estará determinada por la fuerza de Lorentz,luego:

F = qE + qv ×B

= (−1,6 ∗ 10−19)(3,15 ∗ 103~j) + (−1,6 ∗ 10−19)(240 ∗ 106~i)(5,25 ∗ 10−7~k)

F = 4,83 ∗ 10−16(−~j) N

Problema 1.2 La figura abajo muestra una una onda electromagnética senoidal planaque se propaga en la dirección de las x. Suponga que la longitud de onda es de 50.0 m, yque el campo eléctrico vibra en el plano xy con una amplitud de 22.0 V/m. Calcule.

(a) La frecuencia de la onda.

(b) La magnitud y dirección de B cuando el campo eléctrico tiene su valor máximo enla dirección negativa de las y

(c) Escriba una expresión para B utilizando el vector unitario correcto, con valoresnuméricos para Bmáx, ky w, y con su magnitud de la forma

B = Bmáx cos(kx− wt)

z

y

x

E

B

Solución:

(a)

fλ = c

f = 6,00 MHz

(b)

E

B= c

Bmáx = −73,3~k nT

C.S. Salinova

23

(c)

k =2π

λk = 0,126 m−1

w = 2πf

w = 3,77 ∗ 107 rad/s

B = Bmáx cos(kx− wt)

B = −73,3 cos(0,126x− 3,77 ∗ 107t)~k nT

Problema 1.3 Una onda electromagnética plana varía de manera senoidal en 90 MHzconforme se desplaza en la dirección positiva de las x. El valor pico del campo eléctrico esde 2.00 mV/m, y está dirigido a lo largo de la dirección de ±y.

(a) Determine la longitud de onda, el periodo y el valor máximo del campo magnético.

(b) Escriba expresiones en unidades SI para las variaciones en el espacio y en el tiempotanto del campo eléctrico como del magnético.

(c) Determine la potencia promedio por unidad de área que transporta esta onda a travésdel espacio

(d) Determine la densidad de energía promedio de la radiación (en joules por metrocúbico)

(e) ¿Cuál sería la presión de radiación que esta onda ejercería sobre una superficieperfectamente reflejante, con incidencia normal?

Solución:

(a)

λ =c

f= 3,33 m

T =1

f= 11,1 ns

Bmax =Emax

c= 6,67 pT

(b)

E = (2,00 mV/m) cos 2π(x

3,33 m− t

11,1 ns)~j

B = (6,67 pT ) cos 2π(x

3,33 m− t

11,1 ns)~k


24

(c)

I =E2

max

2µ0c= 5,31 ∗ 10−9 W/m2

(d) Sabemos que: I = cuav, de donde:

uav = 1,77 ∗ 10−17 j/m3

(d)

P =2I

c= 3,54 ∗ 10−17 Pa

Problema 1.4 Cierto horno de microondas contiene un magnetrón que produce microon-das de 700 W de potencia con un consumo de potencia eléctrica de 1.40 kW . Las microon-das son transferidas por completo del magnetrón a la cámara del horno a través de unaguía de ondas, que es un tubo metálico de sección transversal rectangular con un anchode 6.83 cm y una altura de 3.81 cm

(a) ¿Cuál es la eficiencia del magnetrón?

(b) Suponiendo que los alimentos absorben todas las microondas producidas por el mag-netrón y que no existe energía reflejada hacia hacia la guía de ondas, determine ladirección y magnitud del vector de Poynting, promedio en el tiempo, en la guía deondas que está cerca de la entrada de la cámara del horno.

(a) ¿Cuál es el campo eléctrico máximo en este punto?

Solución:

(a)

Eficiencia =potencia de salida

potencia total de entrada

Eficiencia =700

1400∗ 100 %

Eficiencia = 50 %

(b)

S =P

A

S =700

(0,0683)(0,0381)

S = 2,69 ∗ 105 W/m2

C.S. Salinova

25

(c)

S =E2máx

2µ0c

Emáx =√

2(4π ∗ 10−7)(3 ∗ 108)(2,69 ∗ 105)

Emáx = 14,2 kV/m

Problema 1.5 Un disco circular uniforme con masa de 24.0 g y radio de 40 cm cuelgaverticalmente de un gozne horizontal, libre de fricción y fijo en un punto de su circunferen-cia. Un haz horizontal de radiación electromagnética con una intensidad de 10.0 MW/m2

incide sobre el disco en una dirección perpendicular a su superficie. El disco es perfecta-mente absorbente, y la presión de radiación resultante hace que el disco gire, Determineel ángulo de giro del disco después de haber alcanzado su nueva posición de equilibrio.(Suponga que la radiación es siempre perpendicular a la superficie del disco)

Solución:

La presión de radiación en el disco es:

P =s

c=

I

c

Además :P =

F

A

Entonces:F =

AI

c=

πr2I

c

Tomando el momento torque con respecto al Punto ”O”.∑

τ0 = 0

−mgr sin θ +πr2Ir

c= 0

De donde obtenemos:

θ = sin−1 πr2I

mgc

θ = sin−1(0,0712)

θ = 40,9◦

Problema 1.6 Una fuente de microondas produce pulsos de radiación de 20 GHz, cadauno con una duración de 1.00 ns. Se utiliza un reflector parabólico con un radio de 6.00 cmen el área del disco para enfocar las microondas formando un rayo de radiación paralelo,como se muestra en la figura. La potencia promedio durante cada pulso es de25.0 kW

(a) ¿Cuál es la longitud de onda de estas microondas?


26

(b) ¿Cuál es la energía total que contiene cada pulso?

(c) Calcule la densidad de energía promedio en cada pulso.

(d) Determine la amplitud de los campos eléctrico y magnético en estas microondas

(e) Suponiendo que este haz en pulsos impacta sobre una superficie absorbente, calculela fuerza ejercida sobre dicha superficie durante 1.00 de cada puntons

1.20 cm

Solución:

(a)

λ =c

f

λ =3 ∗ 108

20 ∗ 109

λ = 1,50 cm

(b)

U = P (∆t)

U = (25,0 ∗ 103)(1,00 ∗ 10−9)

U = 25,0 µJ

(c)

u =U

V

u =U

(πr2)l

u =U

(πr2)c∆t

u =25 ∗ 10−6

π(0,060)2(3 ∗ 108)(1,0 ∗ 10−9)

u = 7,37 mJ/m3

C.S. Salinova

27

(d)

Emáx =

√2u

ε0

Emáx =

√2(7,37 ∗ 10−3)

8,85 ∗ 10−12

Emáx = 40,8 kV/m

Bmáx =Bmáx

c= 136 uT

(e)

F = PA =S

cA

F = uA = (7,37 ∗ 10−3)π(0,060)2

F = 83,3 uN

Problema 1.7 La energía electromagnética radiada por una carga puntualq en movimien-to no relativista con una aceleración a es igual a :

P =q2a2

6πε0c3

Donde ε0 es la permitividad del espacio libre y c es la rapidez de la luz.

(a) Demuestre que el lado derecho de esta ecuación está expresado en watts.

(b) Un electrón se coloca en un campo eléctrico constante de magnitud 100 N/C. Deter-mine la aceleración del electrón y la energía electromagnética radiada por el mismo.

(c) ¿Que pasaría? si se coloca un protón en un ciclotrón de 0.500 m de diámetro conun campo magnético de 0.350 T de magnitud ¿Cuál es la energía electromagnéticaradiada por este protón?

Solución:

(a) En el lado derecho de la ecuación se tiene:

C2(m/s2)2

(C2/Nm2)(m/s)3= Wf


28

(b) Se tiene que; F = ma = qE, de donde obtenemos:

a =qE

m=

1,60 ∗ 10−19(100)

9,11 ∗ 10− 31

a = 1,76 ∗ 1013 m/s2

La energía electromagnética radiada es:

P =q2a2

6πε0c3

P =(1,60 ∗ 10−19)2(1,76 ∗ 1013)2

6π(8,85 ∗ 10−12)(3 ∗ 108)3

P = 1,75 ∗ 10−27 W

(c) Tenemos que: F = mac = mv2

r= qvB, de donde v = qBr

mLuego la aceleración del

proton será:

a =v2

r

a =q2B2r

m2

a =(1,60 ∗ 1019)(0,3502)(0,500)

(1,67 ∗ 10−27)2

a = 5,62 ∗ 1014 m/s2

La energía electromagnética radiada por el protón es:

P =q2a2

6πε0c3

P =(1,60 ∗ 10−19)2(5,62 ∗ 1014)2

6π(8,85 ∗ 10−12)(3 ∗ 108)3

P = 1,80 ∗ 10−24 W

C.S. Salinova

Capítulo 2

NATURALEZA Y PROPAGACIÓNDE LA LUZ

2.1. Reflexión y Refracción

En esta sección utilizaremos el modelo de luz basado en rayos para explorar dos de losaspectos más importantes de us propagación: La reflexión y la refracción.

Describiremos la dirección de los rayos incidentes, reflejados y refractados (transmiti-dos) en una interfaz entre dos materiales ópticos en términos de los ángulos que formancon la normal a la superficie en el punto de incidencia , si la superficie es aspera tantola luz reflejada como la luz transmitida se dispersan en múltiples direcciones y no existeun único ángulo de transmisión o de reflexión. La reflexión en un ángulo definido desdeuna superficie muy lisa se denomina reflexión especular; la reflexión dispersa desde unasuperficie áspera se llama reflexión difusa.

Figura 2.1: Reflexión Especular

El índice de refracción de un material óptico, que se denota con η, desempeña un papelcentral en la óptica geométrica. Es la razón de la rapidez de la luz c en el vacío respectoa su rapidez v dentro del material.

η =c

v(2.1)

29

30

Figura 2.2: Reflexión Difusa

2.1.1. Leyes de Reflexión y Refracción

Los estudios experimentales de la dirección de los rayos incidentes, reflejados y refractados,en una interfaz lisa entre dos materiales ópticos desembocan en las conclusiones siguientes:

θ

θθa

br

Rayo incidente

Rayo reflejado

Normal

Rayo refractado

Figura 2.3: Reflexión y Refracción

1. Los rayos incidente, reflejado y refractado, así como la normal a la superficie, yacentodos en el mismo plano.

2. El ángulo de reflexión θr es igual an ángulo de incidencia θa para todas las longitudesde onda y para cualquier par de materiales.

θr = θa (2.2)

3. Para la luz monocromática y dado un par de materiales a y b en lados opuestos dela interfaz , la razón de los senos de los ángulos θa y θb donde ambos ángulos se hanmedido desde la normal a la superficie es igual a la razón inversa de los índices derefracción.

sin θa

sin θb

=ηb

ηa

(2.3)

Este resultado experimental junto con la observación de que los rayos incidente y refrac-tado, así como la normal, yacen todos en el mimos plano, se llama ley de refracción o leyde Snell

C.S. Salinova

31

2.2. Índice de Refracción y los Aspectos Ondulatoriosde la Luz

Es importante ver que ocurre con las características ondulatorias de la luz cuando pasade un material a otro cuyo índice de refracción es diferente.

Primero, la frecuencia f de la onda no cambia al pasar de un material a otro (la su-perficie limítrofe no crea ni destruye ondas)

Segundo, la longitud de onda λ es diferente en los distintos materiales, y del párrafoanterior, puesto que f es constante, la frecuencia en el vacío f = c/λ0 (λ0 es la longitudde onda en el vacio) será igual a la frecuencia en cualquier otro material f = v/λ deambas afirmaciones y la ecuación 2.1 encontramos que:

λ =λ0

η(2.4)

Esta ecuación es la longitud de onda de la luz en un material.

2.3. Principio de HuygensEn esta sección desarrollamos las leyes de la reflexión y la refracción mediante el uso deun método geométrico propuesto por Huygens en 1678.

A

A

B

B

Frente de onda

anterior

Nuevo frente

de onda

cΔt

Figura 2.4: Construcción de Huygens para onda plana

Considere una onda plana que se mueve en el espacio como se muestra en la figura 2.4 Ent = 0, el frente de onda está indicado por el plano marcado como AA′. En una construcciónde Huygens, cada punto de este frente de onda es considerado como fuente puntual. Parahacerlo mas claro, sólo se muestran tres puntos en AA′. Con estos puntos como fuentespara los trenes de ondas, trazamos círculos, cada uno de radio c∆t, donde c es la rapidez


32

de la luz en el vacío y ∆t es el intervalo en el cual se propaga la onda. La superficietrazada tangente a estos trenes de onda es el plano BB′, que es el frente de onda en untiempo posterior, y es paralelo a AA′. De un modo semejante, la figura 2.5 muestra laconstrucción de Huygens para un onda esférica.

Frente de onda

anterior

Nuevo frente

de onda

cΔt

Figura 2.5: Construcción de Huygens para una onda esférica

2.4. Principio de Huygens Aplicado a la reflexión y laRefracción

θ θa r

BD

A C

Figura 2.6: Construcción de Huygens para la reflexión

Para la ley de la reflexión, ve la figura 2.6 la recta AB representa un frente de onda deluz incidente precisamente cuando el rayo 1 incide en la superficie. En este instante, laonda en A envía un tren de ondas de Huygens (el arco circular con dentro en B) haciaC. La figura 2.6 muestra estos trenes de onda después de un intervalo ∆t, después delcual el rayo 2 incide n la superficie. Como los rayos 1 y 2 se mueven a la misma rapidez,debemos obtener AD = BC = c∆t. Para realizar el resto de nuestro análisis lo haremosmediante geometría, como se resume en la figura 2.7, en la que aislamos los triángulosABC y ADC. Observe que estos dos triángulos son congruentes, y se obtiene:

cos δ =BC

ACy cos δ′ =

AD

AC

C.S. Salinova

33

A

B D

Cδ δ

Figura 2.7:

De donde

cos δ = cos γ′

δ = γ′

Y de la figura 2.7

δ = 90◦ − θa

δ′ = 90◦ − θr

Por tanto:θa = θr

La cual es la ley de Reflexión.

Usemos ahora el principio de Huygens y la figura 2.8 para deducir la ley de refrac-

θθ

θθ

a

a

bb

B

D

A

C

1

2

Figura 2.8:

ción de Snell. Concentremos nuestra atención en el instante en que el rayo 1 incide sobrela superficie y el intervalo subsiguiente hasta que el rayo 2 hace lo mismo. Durante esteintervalo, la onda en A envía un tren de ondas de Huygens ( el arco con centro en A)hacia D. En el mismo intervalo, la onda en B envía un tren de ondas de Huygens (El arcocon centro en B) hacia a C. Debido a que esos dos trenes de onda se desplazan en mediosdiferentes los radios de los trenes de onda son diferentes. el radio del tren de ondas desdeA es AD = vb∆t, donde vb es la rapidez de la onda en el segundo medio. El radio del trende ondas desde B es BC = va∆t, donde va es la rapidez de la onda en el medio original.


34

De los triángulos ABC y ADC, encontramos que.

sin θa =BC

AC=

va∆t

ACsin θb =

AD

AC=

vb∆t

AC(2.5)

Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, obtenemos:

sin θa

sin θb

=va

vb

Haciendo uso de la ecuación 2.1:

sin θa

sin θb

=ηb

ηa

ηa sin θa = ηb sin θb

Que es la ley de refracción de Snell.

2.5. Dispersión y Prismas

Una propiedad importante del índice de refracción η es que, para un material dado, elíndice varía con la longitud de onda de la luz que pase por el material, este comportamientose denomina dispersión. Como η es una función de la longitud de onda, la ley de larefracción de Snell indica que luces de diferentes longitudes de onda se doblan a diferentesángulos cuando inciden sobre un material refractario.

δ

Figura 2.9: Un prisma refracta un rayo de luz

Para comprender los efectos que la dispersión puede tener sobre la luz, considere lo queocurre cuando incide luz en un prisma, como se ve en la figura 2.9. Un rayo de luz de unalongitud de onda que incide sobre el prisma desde la izquierda emerge refractado, desdesu dirección original de desplazamiento, en un ángulo δ denominado ángulo de desviación.Aun cuando no lo demostramos aquí, el ángulo mínimo de desviación δmin para un prismaocurre cuando el ángulo de incidencia θa es tal que el rayo refractado dentro del prismaforma el mismo ángulo con la normal respecto a las dos caras del prisma. Como se muestraen la figura 2.10, y con el uso de geometría encontramos que θb = φ/2 y α = δmin/2

C.S. Salinova

35

δ

θ θ

θ θa a

b b

α α

φ

min

Figura 2.10:

2.6. Reflexión Interna Total

Se denomina reflexión interna total al fenómeno que se produce cuando un rayo de luz,atravesando un medio de índice de refracción η más grande que el índice de refracción enel que este se encuentra, se refracta de tal modo que no es capaz de atravesar la superficieentre ambos medios reflejándose completamente. Considere un haz de luz que se desplaza

θ

θ

a

b

η

η

a

b

Normal

12

34

5

Figura 2.11:

en el medio a y la frontera que se encuentra entre el medio a y el medio b, donde ηa esmayor que ηb. Varias posibles direcciones del haz se indican con los rayos 1 al 5. Los rayosrefractados están doblados alejándose de la normal porque ηa es mayor que ηb. En algúnángulo particular de incidencia θc, denominado ángulo crítico, el rayo de luz refractado semueve paralelo a la frontera, de modo que θb = 90◦

Para ángulos de incidencia mayores a θc el haz ser refleja enteramente en la frontera comolo muestra el rayo 5 de la figura... Este rayo se refleja en la frontera cuando cae sobre lasuperficie.

Haciendo uso la ley de la refracción de Snell para hallar en ángulo crítico, cuando θa = θc

y θb = 90◦, obtenemos.sin θc =

ηb

ηa

( Para ηa > ηb) (2.6)


36

θc

η

η

a

b

Normal

Figura 2.12:

2.7. Fibra ÓpticaUna aplicación de la reflexión interna total es el uso de varillas de vidrio o plástico trans-parente para transportar luz de un lugar a otro. Como se indica en la figura.... La luz esconfinada a moverse dentro de una varilla, incluso alrededor de curvas, como resultado dereflexiones internas totales sucesivas. Este tubo de luz es flexible si se emplean delgadasfibras en lugar de gruesas varillas. Un tubo flexible de luz se denomina fibra óptica. Sise utiliza un cable de fibras paralelas para construir una línea de transmisión óptica sepueden transmitir imágenes de un punto a otro. Una fibra óptica práctica está formada

Figura 2.13:

por n núcleo transparente rodeado por na revestimiento, material que tiene un menoríndice de refracción que el núcleo. La combinación puede estar rodeada por un forro deplástico para evitar daños mecánicos.

Figura 2.14:

C.S. Salinova

37

2.8. Principio de Fermat

El principio de Fermat expresa que, cuando un rayo de luz se desplaza entre cualesquierados puntos, su tayectoria es la que requiere el menor intervalo. Una consecuencia obviade este principio es que las trayectorias de rayos de luz que se despladen en un mediohomogéneo son líneas rectas, porque una recta es la distancia más corta entre dos puntos.

θ

θ

a

b

P

d

e-xx

r

r

a

b

r

s

Figura 2.15:

Suponga que un rayo de luz ha de moverse del punto P en el medio a al punto Q en el mediob (Figura 2.15, donde P y Q están a las distancias perpendiculares c y d respectivamente,desde la interfase. La rapidez de la luz es c/ηa en el medio a y c/ηb en el medio b. Haciendouso de la geometría de la figura... y se supone que sale luz de P en t = 0, vemos que eltiempo en que el rayo llega a Q es:

t =ra

va

+rb

vb

=

√r2 + x2

c/ηa

+

√s2 + (d− x)2

c/ηb

Para obtener el valor de x para el cual t tiene su valor mínimo, tomamos la derivada de tcon respecto a x y hacemos la derivada igual a cero:

dt

dx=

ηa

c

d

dx

√r2 + x2 +

ηb

c

d

dx

√s2 + (d− x)2

=ηax

c(r2 + x2)1/2− ηb(d− x)

c[s2 + (d− x)2]1/2= 0

O bien:ηax

c(r2 + x2)1/2=

ηb(d− x)

c[s2 + (d− x)2]1/2(2.7)

De la figura 2.15:

sin θa =x

(r2 + x2)1/2sin θb =

(d− x)

[s2 + (d− x)2]1/2


38

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 2.7, encontramos:

ηa sin θa = ηb sin θb

La cual es la ley de refracción de Snell

C.S. Salinova

39

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 2.1 Un haz de luz roja monocromática (un solo color, una sola λ) de 700nmen el aire se mueve en el agua.

a) ¿Cual es la longitud de la onda en el agua?

b) ¿Un nadador en el agua observará el mismo color de la luz o diferente?

Solución:

a) La frecuencia de una onda de luz monocromática no varía al cambiar de medio,puesto que la longitud de onda y la frecuencia están relacionados con la velocidadde la luz a travéz de:

ven un medio = λf

Por otro lado se tiene que v = cη, de donde:

v1

v2

=λ1

λ2

=η2

η1

En nuestro caso la longitud de onda en el agua será:

λagua =ηaire

ηagua

λaire = 526nm

b) Puesto que la frecuencia no depende del medio por el que se propague la luz, entoncesel buceador dentro del agua sigue viendo el mismo color rojo que si estuviera fueradel agua

Problema 2.2 Incide luz a lo largo de la normal sobre la cara AB de un prisma devidrio con un índice de refracción de 1.52 como se muestra en la figura debajo. Halle elvalor máximo que el ángulo α puede tener sin que se refracte ninguna luz hacia afuera delprisma por la cara AC si:

a) El prisma está inmerso en el aire

b) El prisma esta inmerso en agua

Solución:

A

BC

θ

αη


40

a) La reflexión total se produce en AC:

n sin θ = 1 sin 90◦

θ = 41,1◦

Del gráfico se tiene: α + θ = 90◦ ⇒ α = 48,9◦

b) Partiendo del mismo planteamiento que el inciso .a", solo que ahora la frontera esagua

n sin θ = 1,33 sin 90◦

θ = 61,3◦

Del gráfico se tiene: α + θ = 90◦ ⇒ α = 28,7◦

Problema 2.3 Al final de la seria de operas de Wagner llamada el Anillo de Nibelungo,Brunilda toma el anillo de oro del dedo de Sigfrido muerto y lo arroja al rin. Donde elanillo se hunde hasta el fondo del río. Suponiendo que el anillo es suficientemente pequeñoen comparación con la profundidad del río para tratarlo como un punto, y que el río tiene10m de profundidad en el lugar donde cae el anillo ¿Cuál es el area del circulo mas grandeen la superficie del agua del cual podría salir la luz proveniente del anillo?

Solución:

θ

θθ

R

10 m

Si θ > ángulo crítico, la luz no escapará.

Por lo que el circulo más grande se ca cuando θ = θc, luego:

n sin θc = 1 sin 90◦

θc = 48,6◦

Del gráfico se tiene:

tan θc = R/10

R = 11,3 m

Por lo tanto El area será:A = πR2 = 401 m2

C.S. Salinova

41

Problema 2.4 Un rayo de luz que se propaga en el aire incide en un bloque de un solidotransparente cuyo índice de refracción es de 1.38 ¿Cuál es el ángulo de incidencia máximocon el cual ocurre la reflexión total interna en la cara vertical (Punto A de la figura)?

A

θa

Solución:

Analizando el Punto A (Donde ocurre la reflexión Total)

ηb sin(90◦ − θb) = ηa sin 90◦

θb = 43,6◦

Por otro lado (En el punto de incidencia):

ηa sin(θa) = ηb sin θb

θa = arcsin

(ηb sin θb

ηa

)

θa = 72,1◦

Problema 2.5 Un prisma triangular de vidrio con un ángulo en el vértice Φ tiene uníndice de refracción η ¿Cuál es el mínimo ángulo de incidencia θ1 en el cual un rayo deluz puede emerger desde el otro lado?

Solución:

θ

θ

θ

Φ

1

2

3

Para la primera refracción, tenemos:

1 sin θ1 = η sin θ2

El ángulo critico en la segunda superficie esta dado por:


42

n sin θ3 = 1Pero: (90◦ − θ2) + (90◦ − θ3) + Φ = 180◦

De donde obtenemos: θ2 = Φ− θ3

Para evitar una reflexión total interna en la segunda superficie debe de cumplirse que:θ2 > Φ− θ3, luego:

θ2 > Φ− arcsin

(1

η

)

sin θ1 > η sin

[Φ− arcsin

(1

η

)]

θ1 > arcsin

(η sin

[Φ− arcsin

(1

η

)])

θ1 > arcsin(√

η2 − 1 sin Φ− cos Φ)

Problema 2.6 Una fibra óptica tiene un índice de refracción η y un diámetro d, y estarodeada por aire. Se envía luz por la fibra a lo largo de su eje, como se ve en la figura.

a) Encuentre el mínimo radio exterior R permitido ara una vuelta en la fibra si no hade escapar luz.

b) ¿Que pasaría si? El resultado de la parte (a) ¿Pronostica un comportamiento ra-zonable cuando d se aproxima a cero, cuando η aumenta o cuando η se aproxima a1?

c) Evalúe R suponiendo que el diámetro de la fibra es 100µm y su índice de refracciónes 1.4

R

d

Solución:

a) De lo anterior, se obtiene:R > ηdη−1

C.S. Salinova

43

Del gráfico se obtiene:

sin θ =R− d

R

Por otro lado haciendo uso de la ley de Snell, tenemos:

η sin θ > 1 sin 90◦

d

θ

R

b) Cuando d → 0, R → 0Cuando ηse incrementa, R decrece.Cuando η tiende a 1, R se incrementaLos tres enunciados anteriores son razonables.

c) R = 1,40(100−10−6)0,4

= 350 ∗ 10−6m

Problema 2.7 Un cilindro transparente con un radio R = 2m tiene una superficie deespejo en su mitad derecha, como se muestra en la figura. Un rayo de luz que se desplazaen el aire incide sore el lado izquierdo del cilindro. El rayo de luz incidente y el rayo deluz saliente son paralelos y d = 2m. Determine el índice de refracción del material

Solución:

Del gráfico se obtiene: sin θ = d/2R, de donde:

θ = arc sen

(d/2

R

)= 30◦

Dado que el rayo emergente es paralelo al rayo in-cidente, el rayo de luz que incide en el espejo essimétrico a su rayo reflejado. Luego en el triánguloisosceles:

γ = α y β = 180◦ − θ

d/2

A

BC R

α

βθ γ


44

Además β + θ + γ = 180◦, de Donde:

α = θ/2 = 15◦

Aplicando la les de Snell en el Punto A:

η sin α = 1 sin θ

η = 1,93

C.S. Salinova

Capítulo 3

FORMACIÓN DE IMÁGENES

3.1. Imágenes Formadas Por Espejos Planos

Las imágenes se clasifican en reales o virtuales. Una imagen real es la que se forma cuandolos rayos luminosos pasan a través y divergen del punto de imagen; una imagen virtual esla que se forma cuando los rayos luminosos no pasan a través del punto de imagen si noque sólo parecen divergir de dicho punto. La imagen formada por el espejo en la figura3.1 es virtual. La imagen de un objeto vista en un espejo plano es siempre virtual.

p q

O I

espejo

Figura 3.1: Imagen formada por reflexión

Utilizando la imagen 3.2 para examinar las propiedades de las imágenes de objetos ex-tensos formadas por espejos planos. A pesar de que existe un número infinito de posiblesdirecciones hacia las que los rayos luminosos pueden salir de cada punto del objeto, sólonecesitamos elegir dos rayos para determinar dónde se formará la imagen. Uno de esosrayos parte de P sigue una trayectoria horizontal hasta el espejo y se refleja sobre símismo. El segundo rayo sigue la trayectoria oblicua PR y se refleja como se muestra, deacuerdo con las leyes de la reflexión. Dado que los triángulos PQR y P ′QR son triánguloscongruentes, PQ = P ′Q de donde podemos concluir que la imagen formada por un objetocolocado frente a un espejo plano está tan lejos detrás del espejo como lo está el objetofrente a él.

45

46

La geometría también revela que la altura del objeto h es igual a la altura de la ima-gen h′. Definamos el aumento lateral M de una imagen de la forma siguiente:

M =h′

h(3.1)

p q

imagenobjeto

P PQ

Rh hθ

θ

Figura 3.2: Imagen formada por reflexión

Finalmente, observe que un espejo plano produce una imagen con una inversion aparentede izquierda a derecha.

3.2. Imágenes Formadas Por Espejos Esféricos

3.2.1. Imágenes Formadas Por Espejos Cóncavos

Ahora considere una fuente de luz puntual colocada en el punto O de la figura 3.3 dondeO es cualquier punto sobre el eje principal, a la izquierda de C. En la figura se muestrandos rayos divergentes que se originan en O. Después de reflejarse en el espejo, estosrayos convergen y se cruzan en la imagen que aparece en el punto I. Después continúandivergiendo alejándose de I como si en ese punto existiera un objeto. Como resultado enel punto I tenemos una imagen real de la fuente de luz en O

R

Espejo Espejo

Ejeprincipal

Centro decurvatura

C

C

V VO I

(a) (b)

Figura 3.3: Espejo concavo de radio R

Consideremos sólo rayos que divergen del objeto formando un ángulo pequeño con el ejeprincipal. Estos rayos se conocen como rayos paraxiales , todos los rayos paraxiales se

C.S. Salinova

47

reflejan a través del punto imagen, como se muestra en la figura 3.3(b). Aquellos rayosque están lejos del eje principal, como los que se muestran en la figura 3.4 convergen enotros puntos del eje principal, produciendo una imagen borrosa, a ese efecto se le comosecomo aberración esférica


La figura 3.5 muestra dos rayos que salen de la punta de un objeto. Uno de estos rayos pasaa través del centro de curvatura C del espejo e incide en el espejo perpendicularmente ala superficie del mismo reflejándose sobre sí mismo, el segundo rayo incide en el espejo ensu centro (punto V ) y se refleja como se muestra en concordancia con la ley de reflexión.La imagen de la punta de la flecha se localiza en el punto donde se cruzan ambos rayos.De la figura 3.5 vemos que tan θ = h/p y tan θ = −h′/q, se introduce el signo negativoporque la imagen está invertida, como consecuencia de la ecuación 3.1 y de los resultadosanteriores, vemos que la amplificación de la imagen es igual a:

p

q

R

h

h

θ

θC

I V

O

αEjeprincipal



48

M =h′

h= −q

p(3.2)

En el mismo gráfico, también se obtiene tan α = hp−R

y tan α = − h′R−q

. De donde obten-emos:

h′

h= −R− q

p−R(3.3)

De las ecuaciones 3.2 y 3.3, se obtiene:

1

p+

1

q=

2

R(3.4)

Esta última ecuación se conoce como ecuación del espejo

Si p tiende la infinito, entonces 1/p ≈ 0 y en la ecuación 3.4 q ≈ R/2, tal como semuestra en la figura 3.6

C F

R

f

Figura 3.6: Rayos de luz provenientes de un objeto (p →∞)

En este caso en especial llamamos al punto de imagen el punto focal F y a la distanciade esta última la distancia focal f , donde:

f =R

2(3.5)

La distancia focal es un parámetro particular de un espejo dado, y por lo tanto puede serutilizado para comparar un espejo con otro. La ecuación del espejo se puede expresar enfunción de la distancia focal.

1

1+

1

q=

1

f(3.6)

C.S. Salinova

49

3.2.2. Imágenes Formadas Por Espejos Convexos

También conocido como espejo divergente, la imagen de la figura 3.7 es virtual porque losrayos reflejados sólo dan la impresión de originarse en el punto imagen, como se indicamediante las líneas punteadas. Además, la imagen siempre está cabeza arriba y siemprees menor que el objeto. Este tipo de espejos se utiliza con frecuencia en las tiendas paradesanimar a los ladrones.

p q

CIO

Ejeprincipal F


No deduciremos ecuaciones para los espejos esféricos convexos porque podemos utilizarlas ecuaciones 3.2, 3.4 y 3.6 tanto para espejos cóncavos como convexos , siempre y cuandosigamos el procedimiento siguiente. Identifiquemos la región en la cual los rayos luminososse mueven hacia el espejo como el lado delantero del mismo y el otro lado como es trasero.Por ejemplo, en las figuras 3.7 y 3.5.

3.2.3. Diagrama de rayos para los Espejos

La posición y el tamaño de las imágenes por los espejos se pueden determinar convenien-temente mediante diagramas de rayos. Estas construcciones gráficas revelan la naturalezade la imagen y pueden ser utilizadas para verificar resultados calculados a partir de lasecuaciones del espejo y del aumento. Para dibujar el diagrama de un rayo, es necesarioque sepamos la posición del objeto y la localización del punto focal, así com el centro decurvatura del espejo. Entonces , dibujamos tres rayos principales para localizar la imagencomo se muestra en los ejemplos de la figura 3.8

C

C

I

IO O

F

F

1

1

2

2

3

3

(a)(b)


50

CIO

Ejeprincipal F

(c)

1

2

3

Figura 3.8: Diagramas de rayos para espejos esféricos

En el caso de espejos cóncavos (vea las figuras 3.8a y 3.8b), trazamos los tres rayosprincipales siguientes:

El rayo 1, desde la parte superior del objeto, paralelo al eje principal, y se refleja através del punto focal F .

El rayo 2, desde la parte superior del objeto a través del punto focal y se reflejaparalelamente al eje principal.

El rayo 3, desde la parte superior del objeto a través del centro de la curvatura C yse refleja sobre sí mismo.

En el caso de los espejos convexos (ver la figura 3.8c), trazamos los tres rayos principalessiguientes:

El rayo 1, de la parte superior del objeto paralelo al eje principal y se refleja aleján-dose del punto focal F .

El rayo 2, de la parte superior del objeto hacia el punto focal del lado posterior delespejo y se refleja paralelamente al eje principal.

El rayo 3, de la parte superior del objeto hacia el centro de curvatura C en la parteposterior del espejo y se refleja sobre sí mismo.

C.S. Salinova

51

Regla convencional para los signos de los espejos

Cantidad Positivos cuando Negativos cuandoLocalización del objeto (p) Objeto delante del espejo

(objeto real)Objeto detrás del espejo ob-jeto virtual

Localización de la imagen(q)

Imagen delante del espejo(imagen real)

Imagen detrás del espejo(imagen virtual)

Altura de la imagen (h′) Imagen cabeza arriba Imagen invertidaDistancia focal (f) y radio(R)

Espejo concavo Espejo convexo

Aumento (M) Imagen cabeza arriba Imagen invertida

3.3. Imágenes Formadas Por Refracción

Considere dos medios transparentes con indices de refracción η1 y η2 donde los pun-tos límites entre los dos medios forman una superficie esférica de radio R (figura 3.9).Suponemos que el objeto en O está en el medio cuyo índice de refracción es η1. Consider-emos los radios paraxiales que salen de O. Como veremos todos estos rayos se refractanen la superficie esférica y se enfocan en el único punto I, el punto imagen.

R

η

η <

η

η

1

1

2

2

p Q

IO

Figura 3.9: Imagen formada por refracción en una superficie esférica

La figura 3.10 muestra un rayo individual saliendo del punto O y refractándose hacia elpunto I la ley de Snell de la refracción aplicada a este rayo nos dá:

η1 sin θ1 = η2 sin θ2

Dado que θ1 y θ2 se suponen pequeños, podemos utilizar la aproximación para ángulospequeños sin θ = θ y decir que:

η1θ1 = η2θ2


52

De los triángulos OPC y PIC de la figura 3.10 obetenemos:

θ1 = α + β

β = θ2 + γ

Si conbinamos las tres expresiones y eliminamos θ1 y θ2 encontramos que:

η1α + η2γ = (η2 − η1)β (3.7)

O

dα

θθP

C I

R

p q

1 2η

η <

η

η

1

1

2

2

γ

Figura 3.10: Diagramas de rayos para espejos esféricos

De la figura 3.10 se muestran rayos paraxiales (a diferencia del rayo de ángulo relati-vamente grande que se muestra en la figura). Los catetos horizontales de los triángulosrectángulos OPC son aproximadamente p para el triángulo que contiene el ángulo α, Rpara el que contiene el ángulo β y q para el triángulo que contiene el ángulo γ. En laaproximación por ángulos pequeños tan θ = θ, por lo que podemos escribir las relacionesaproximadas de estos triángulos como sigue:

tan α ≈ α ≈ d

p

tan β ≈ β ≈ d

R

tan γ ≈ γ ≈ d

q

Estas expresiones las reemplazamos en la ecuación 3.7y después dividimos entre d paraobtener:

η1

p+

η2

1=

η2 − η1

R(3.8)

Para el caso de una distancia objeto p fija, la distancia imagen q es independiente delángulo que forma el rayo con el je. Este resultado nos indica que todos los rayos paraxialesenfocan en el mismo punto I.

C.S. Salinova

53

Regla convencional para los signos en superficies refractoras

Cantidad Positivos cuando Negativos cuandoLocalización del objeto (p) Objeto delante de la super-

ficie (objeto real)Objeto detrás de la superfi-cie (Objeto virtual)


Imagen detrás de la superfi-cie (Imagen real)

Imagen delante de la super-ficie (Imagen virtual)

Altura de la imagen (h′) Imagen cabeza arriba imagen invertidaRadio (R) Centro de curvatura detrás

de la superficieCentro de curvatura delantede la superficie

3.4. Lentes Delgadas

El desarrollo a seguir se basa en el hecho de que la imagen formada por una superficierefractora sirve como el objeto para la segunda superficie.

I

I

O

O

η =1

η =1

η

η

1

1

1

1

C

C

p

p

t

t

1

1

11

1

1

q

q

1

1

p

p

2

2

2

2

R

R

R

R

(a)

(b)

Figura 3.11:

Considere una lente con un índice de refracción η y dos superficies esféricas co radiosde curvatura R1 y R2 como en la figura 3.11. Un objeto se coloca en el punto O a unadistancia p1 enfrente de la superficie 1.


54

Empecemos con la imagen formada por la superficie 1. Utilizando la ecuación 3.8 ysuponiendo que η1 = 1, porque la lente está rodeada por aire, encontramos que la imagenI1 formada por la superficie 1 satisface la ecuación:

1

p1

+η

q1

=η − 1

R1

(3.9)

donde q1 es la posición de la imagen debida a la superficie 1, Si la imagen debida a lasuperficie 1 es virtual (figura 3.11a) q1 es negativa, y si la imagen es real, q1 es positiva(figura 3.11b)

Ahora aplicamos la ecuación 3.8 a la superfici9e 2, utilizando η1 = η y η2 = 1, si p2

es la distancia objeto de la superficie 2 y q2 es la distancia imagen, obtenemos:

η

p2

+1

q2

=1− η

R2

(3.10)

Ahora introducimos en hecho de que la imagen formada por la primera superficie actúacomo el objeto para la segunda superficie. Hacemos esto al notar en la figura 3.11 que p2,medido desde la superficie 2 está relacionado con q1 como sigue:

Imagen virtual de la superficie 1 figura (3.11a): p2 = −q1 + t

Imagen real de la superficie 1 (3.11b): p2 = −q1 + t

Donde t es espesor de la lente. Luego la ecuación 3.10 se convierte en:

− η

q1

+1

q2

=1− η

R2

(3.11)

Sumando las ecuaciones 3.9 y 3.11, tenemos que:

1

p1

+1

q2

= (η − 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.12)

En el caso de una lente delgada:

1

p+

1

q= (η − 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.13)

La distancia focal f de una lente delgada es la distancia imagen que corresponde a unadistancia objeto infinito. lo mismo que ocurre con los espejos. Si en la ecuación 3.13hacemos que p tienda al ∞ y que q tienda a f , vemos que la inversa de la distancia focalde una lente delgada es igual a :

1

f= (η − 1)

(1

R1

− 1

R2

)(3.14)

C.S. Salinova

55

Esta ecuación se conoce como la ecuación de los fabricantes de lentes.

Haciendo uso de la ecuación 3.14 y 3.13 podemos escribir:

1

p+

1

q=

1

f(3.15)

Ecuación conocida como la ecuación de las lentes delgadas.

F

F F

F

F

F

F

F1

1 2

2

1

1

2

2

f f

f f

(a)

(b)

Figura 3.12:

Dado que la luz puede pasar en ambas direcciones a través de una lente, cada lente tienedos puntos focales. Esto queda ilustrado en la figura 3.12, la tabla

3.5. Aumento de las Imágenes

Considere una lente delgada a través de la cual pasan los rayos luminosos provenientesde un objeto.Igual que con los espejos (ecuación 3.2), es posible analizar la construccióngeométrica para demostrar que el aumento lateral de la imagen es igual a:

M =h′

h= −q

p

Partiendo de esta expresión, se deduce que cuando M es positiva, la imagen está cabezaarriba y del mismo lado de la lente que el objeto. Cuando M es negativa, la imagenaparece invertida y del lado de la lente opuesta al objeto.


56

BiconvexoConvexocóncavo (a)

Planoconvexo

BicóncavoConvexo

cóncavo (b)Plano

cóncavo

Figura 3.13:

3.6. Diagramas de rayos para Lentes Delgadas

Para localizarla imagen de una lente convergente (figura 3.14a y b), se trazan los tresrayos siguientes a partir de la parte superior del objeto:

El rayo 1, paralelo al eje principal. Una vez refractado por la lente, este rayo pasaa través del punto focal por detrás de la lente.

El rayo 2. a través del centro de la lente y sigue en linea recta.

El rayo 3, a través del punto focal del lado anterior de la lente ( o como si saliera delpunto focal en el caso de que p < f) y emerge de esta paralelamente el eje principal.

Para localizar la imagen de una lente divergente (figura refesp06c), se trazan los tres rayossiguientes a partir de la parte superior del objeto:

El rayo 1, paralelo al eje principal. Después de ser refractado por la lente, emergealejándose desde el punto focal del lado anterior de la lente.

El rayo 2, a través del centro de la lente y continúa en linea recta.

El rayo 3, en la dirección hacia el punto focal del lado posterior de la lente y emergede esta paralelamente al eje principal.

C.S. Salinova

57

1

1

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

F

F

F

F

F

F

I

I

I

O

O

O

2

2

2

(a)

(b)

(c)

Figura 3.14:

Regla convencional para los signos en el caso de lentes delgadas

Cantidad Positivos cuando Negativos cuandoLocalización del objeto (p) Objeto delante de la lente

(objeto real)Objeto detrás de la lente(Objeto virtual)


Imagen detrás de la lente(Imagen real)

Imagen delante de la lente(Imagen virtual)

Altura de la imagen (h′) Imagen cabeza arriba imagen invertida(R1) y (R2) Centro de curvatura detrás

de la lenteCentro de curvatura delantede la lente

Distancia focal (f) Lente convergente Lente divergente


58

3.7. Aberraciones de las lentesUn análisis preciso de la formación de la imagen requiere trazar cada rayo utilizando laley de Snell sobre casa superficie así como las leyes de la reflexión en cada superficie dereflexión. Este procedimiento muestra que los rayos provenientes de un objeto puntual nose enfocan en un solo punto, lo que da como resultado una imagen borrosa. Los desvíosque sufren las imágenes reales del ideal especificado en nuestro modelo simplificado, seconocen como aberraciones.

Figura 3.15:

C.S. Salinova

59

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 3.1 Determine la altura mínima de un espejo plano vertical en el cual unapersona de 1.62 m de altura puede verse de cuerpo entero. (puede resultar útil un diagramade rayos.)

Solución:

Para un espejo plano, se cumple la relación:

M =−q

p=

h′

h= 1

Así: h′ = h = 1,62 m p q

Lh’h

La altura del espejo está definido por el triángulo comprendido de los ojos de la personaa la parte superior e inferior de su imagen, luego por semejanza de triángulos obtenemos:

L

h′=

p

p + q

L =1

2h′

L = 0,81 m

Problema 3.2 Un cierto adorno navideño está construido por una esfera plateada de8.50 cm de diámetro. Determine la ubicación de un objeto en donde el tamaño de laimagen reflejada sea tres cuartas parte de las dimensiones del objeto. Use el diagrama derayos principales para describir la imagen.

Solución:

La esfera se comporta como un espejo convexo de radio R=-4.25cm. Luego:

f =R

2= −2,125 cm

M =3

4= −q

p

q = −3

4p

Luego de la ecuación del espejo,tenemos:

CIO F


60

1

p+

1

q=

1

f1

p+

1

−(3/4)p=

1

−2,1253p = 2,125

p = 0,708 cm

La imagen está hacia arriba, es virtual y mas pequeña que la imagen real.

Problema 3.3 Para saber si se ha ensuciado be hollín, Santa Claus examina su reflejo enun ornamento plateado brillante de un árbol de navidad que está a 0.750 m de distancia,el diámetro del ornamento es de 7.20 cm, estimamos la estatura de Santa Claus en 1.6m ¿En donde aparece y cual es la altura de la imagen de Santa Claus que forma elornamento?¿Es derecha o invertida?

Solución:

El radio del espejo convexo es:

R = 3,60 cm

Y la distancia focal:

f =R

2= −1,80 cm

Partiendo de la ecuación del espejo, obtenemos:

CP’

p q

R

1

p+

1

q=

1

f1

q=

1

−1,80− 1

75,0q = −1,76 cm

C.S. Salinova

61

Dado que q es negativo la imagen está detrás del espejo (es virtual)

Utilizando la definición del aumento de imagen:

M =h′

h= −q

p= −−1,76

75,0= 0,0234 cm

Puesto que M es positiva la imagen está derecha.

Para finalizar hallaremos la altura de la imagen virtual:

h′ = Mh = 3,8 cm

Problema 3.4 Se coloca un objeto de 0.60 cm de altura 16.5 cm a la izquierda del vérticede un espejo esférico concavo con un radio de curvatura de 22.0 cm

a) Dibuje un diagrama de rayos principales para mostrar la formación de la imagen.

b) Determine la posición tamaño, orientación y naturaleza (real o virtual)de la imagen

Solución:

a)

CF

b) De la ecuación del espejo, tenemos que:

1

p+

1

q=

1

f1

q=

2

22,0− 1

16,5q = 33,0 cm

Por tanto la imagen está ubicada a la derecha del espejo y es real.

Por otro lado haciendo uso de la ecuación de aumento de la imagen:

h′ = −hq

p= −1,20 cm

Y la imagen está invertida.


62

Problema 3.5 Un entusiasta de automóviles deportivos pule las superficies interior yexterior de un tapón de rueda que tiene la forma de una sección de esfera. Cuando semira en uno de los lados del tapón, ve una imagen de su cara 30.0 cm detrás del tapónmismo. Ahora hace girar el tapón y entonces ve otra imagen de su cara, a 10.0 cm pordetrás de éste.

a) ¿A que distancia está su cara en relación con el tapón?

b) ¿Cual es el radio de curvatura del tapón?

Solución:

Asumiremos que la distancia del objeto es la misma en ambos casos.

Aplicando la ecuación del espejo, y considerando un espejo concavo y que la imagense encuentra a 30 cm (q=-30), tenemos:

1

p− 1

30=

1

f=

2

R2

R=

30− p

30p

De manera análoga se obtiene para un espejo convexo y q=-10 cm:

1

p− 1

10= − 1

f= − 2

R2

R=

p− 10

10p

De ambos resultados, tenemos:

30− p

3p= p− 10

p = 15 cm

Por tanto el objeto (su cara) se encuentra a 15.0 cm del espejo.

Reemplazando este valor, hallamos el radio de curvatura.

2

R=

30− 15

30 ∗ 15R = 60 cm

Problema 3.6 Un pequeño pez tropical se halla en el centro de una pecera esférica de 28cm de diámetro llena de agua.

a) Halle la posición aparente y el aumento del pez para un observador situado afuerade la pecera. Pase por alto el efecto de las paredes delgadas de la pecera.

C.S. Salinova

63

b) Una amiga aconsejo a la dueña de la pecera mantener esta lejos de la luz solardirecta para no cegar al pez, el cual podría llegar nadando al punto focal de losrayos paralelos provenientes del sol. ¿Está el punto focal efectivamente adentro dela pecera?

Solución:

a) Partiendo de la ecuación general, tenemos:

ηa

p+

ηb

q=

ηb − ηa

R1,33

14+

1

q=

−0,33

−14q = −14,0 cm

De donde notamos que la posición aparente del pez está en el centro de la pecera.

Por otro lado:M =

−ηaq

ηbp=

(−1,33)(−14)

1(14)= 1,33

b) Partiendo de la ecuación general, obtenemos:

ηa

p+

ηb

q=

ηb − ηa

R1

∞ +1,33

q=

0,33

14q = 56,4 cm

Este punto esta situado afuera de la pecera.

Problema 3.7 Un antílope se encuentra a 20.0 m a la izquierda de una lente divergentede distancia focal de 30.0 cm. La lente forma una imagen del animal. Si el antílope se alejacorriendo de la lente a una rapidez de 5.00 m/s ¿Con qué rapidez se mueve la imagen?¿La imagen se acerca o se aleja de la lente?

Solución:

A partir de la ecuación general de lentes delgadas:

1

p+

1

q=

1

f

Y diferenciando con respecto al tiempo.

−(p−2)dp

dt− (q−2)

dq

dt= 0

dp

dt= −q2

p2

dp

dt


64

Ahora podemos encontrar la posición de la imagen "q.en un momento dado:

1

20+

1

q=

1

0,3q = 0,305 m

Luego:dp

dt= −0,3052

2025 = −0,00116 m/s

De donde podemos notar que se dirige hacia el lente.

Problema 3.8 La figura muestra un lente convergente delgada de vidrio (η = 1,5) en lacual los radios de curvatura son R1 = 15 y R2 = −12 cm. A la izquierda de la lente estáun cubo con una superficie de cara de 100 cm2. La base del cubo se encuentra sobre el ejede la lente, y la cara derecha está a 20.0 cm a la izquierda.

a) Determine la distancia focal de la lente.

b) Dibuje la imagen de la cara cuadrada formada. ¿Qué tipo de figura geométrica tiene?

c) Determine el área de la imagen.

Solución:

a) Reemplazando valores en la ecuación de los fabricantes de lentes:

1

f= (η − 1)

[1

R1

− 1

R2

]

se obtiene que:f = 13,3 cm

b)

b a

c d F

F c’ d’

a’

b’

qL

qR

10 cm P =20 cm

P =30 cm

h=10 cm

hL

hRR

L

El gráfico es una imagen trapezoidal

C.S. Salinova

65

c) Para hallar el área, primero calcularemos las distancias qL,qR con sus respectivos h′Ly h′R , usando la ecuación de los lentes:

1

pR

+1

qR

=1

fDe Donde

1

20+

1

qR

=1

13,3qR = 40 cm

Luego: h′R = h(−qR)

pR

= −20 cm

1

pL

+1

qL

=1

fDe Donde

1

30+

1

qL

=1

13,3qL = 24 cm

Luego: h′L = h(−qL)

pL

= −8 cm

Luego el área del trapecio es:

|qR − qL||h′L|+1

2|qR − qL||h′R − h′L| = 224 cm2


66

C.S. Salinova

Capítulo 4

INTERFERENCIA

4.1. Interferencia y Fuentes Coherentes

El término interferencia se refiere a toda situación en la que dos o más ondas se traslapanen el espacio. Cuando esto ocurre, la onda total en cualquier punto y en todo momentoestá gobernada por el principio de superposición el cual establece lo siguiente :Cuandose traslapan dos o más ondas, el desplazamiento resultante en cualquier puntoy en cualquier instante se halla sumando los desplazamientos instantáneos queproducirían en el punto las ondas individuales si cada una estuviera presentesola

Los efectos de interferencia se observan con facilidad cuando se combinan ondas sinu-soidales o de una sola frecuencia f y longitud de onda λ. En optica las ondas sinusoidalescon características de la luz monocromática

4.2. Interferencia Constructiva y Destructiva

S

S1

1

2

2

br

r

λ

Figura 4.1: interferencia constructiva

Cuando dos ondas provenientes de dos o mas fuentes llegan a un punto en fase, la ampli-tud de onda resultante es la suma de las amplitudes de la ondas individuales (Las ondas

67

68

individuales ser refuerzan mutuamente). Esto se conoce como interferencia construc-tiva. Sea r1 la distancia de S1 a cualquier punto P y sea r2 la distancia de S2 a P paraque se produzca una interferencia constructiva en P , la diferencia de trayecto r2 − r1

correspondiente a las dos fuentes debe de ser multiplo entereo de la longitud de onda λ

r2 − r1 = mλ (m = 0,±1,±2, ...) (4.1)

Si las ondas provenientes de las dos fuentes llegan al punto P exactamente medio ciclofuera de fase. Una cresta de una onda llega al mismo tiempo que una cresta en sentidoopuesto (un valle) de la otra onda, la amplitud resultante es la diferencia entre las ampli-tudes individuales. Si las amplitudes son iguales entonces la amplitud total es cero. Estacancelación total o parcial de las ondas individuales se llama interferencia destructiva.La condición para que haya interferencia destructiva es:

r2 − r1 =

(m +

1

2

)λ (m = 0,±1,±2, ...) (4.2)

S

S1

1

2

2c

r

r

λ

Figura 4.2: interferencia destructiva

Para que las ecuaciones 4.1 y 4.2 sean válidas, las dos fuentes deben de tener la mismalongitud de onda y estar siempre en fase

4.3. Interferencia de de luz de dos FuentesUno de los primeros experimentos cuantitativos que ponen de manifiesto la interferenciade luz proveniente de dos fuentes fue realizado por el científico Thomas Young.

En la figura se muestra en perspectiva el aparato de Young, una fuente de luz emiteluz monocromática, sin embargo esta luz no es idónea para un experimento de inter-ferencia porque las emisiones de las diferentes partes de una fuente ordinaria no estánsincronizadas. Para remediar esto se dirige la luz hacia a una ranura estrecha S0 aproxi-madamente de 1µm de ancho. La luz que emerge de la ranura proviene solo de una regionpequeña de la fuente luminosa; por tanto la ranura s0 se comporta en mayor medidacomo fuente idealizada. La luz que emana la ranura S0 ilumina una pantalla con otrasdos ranuras estrechas S1 y S2 cada una de aproximadamente 1µm de ancho y unas pocas

C.S. Salinova

69

decenas o centenas de micrometros de distancia una de la otra, a partir de la ranura S0

se propagan frentes de onda cilíndricos, los cuales alcanzan las ranuras S1 y S2 en faseporque recorren distancias iguales des de S0. Por consiguiente las ondas que emergen delas ranuras S1 y S2 son fuentes coherentes. La interferencia de las ondas procedentes deS1 y S2 crea un patron en el espacio como se muestra en la figura.

Para visualizar el patron de interferencia se coloca una pantalla de modo que la luzproveniente de S1 y S2 incida sobre ella. Se observa que la pantalla está iluminada con in-tensidad máxima en los puntos P . Don de las ondas luminosas provenientes de las ranurasinterfieren constructivamente y se ve mas oscura en los puntos donde la interferencia esdestructiva.

S S

S S

1 1

2 2

d dy

R R

Pantalla

θ θ

θ

P1 1

2 2r r

r r

d.senθ

A la pantalla

Figura 4.3: Experimento de Young para la interferencia de dos ranuras

Para simplificar el análisis del experimento de Young, supondremos que la distancia R delas ranuras al pantalla es tan grande en comparación con la distancia d entre las ranurasy que las líneas de S1 y S2 a P son prácticamente paralelas, como en la figura 4.3 .Ladiferencia de longitud de trayecto es entonces.

r2 − r1 = d sin θ (4.3)

Donde θ es el ángulo entre una recta que va de las ranuras a la pantalla y la normal alplano de las ranuras. Las regiones brillantes (interferencia constructiva) de la pantalla sepresentan en ángulos θ en los cuales.

d sin θ = mλ (m = 0,±1,±2, ...) (4.4)

De modo análogo hay interferencia destructiva con formación de regiones oscuras en lospuntos donde :

d sin θ =

(m +

1

2

)λ (m = 0,±1,±2, ...) (4.5)

En consecuencia, el patrón de la pantalla es una suceción de bandas brillantes y oscuras(franjas de interferencia), paralelas a las ranuras S1 y S2.Podemos deducir una expresión de la posición de los centros de las bandas brillantes en lapantalla. En la figura 4.3 y se mide desde el centro del patron y corresponde a la distancia


70

Interferenciaconstructiva

regiones brillantes

Interferenciadestructiva

regiones oscuras

m m+1/2

-11/2

-9/2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-7/2

-5/2

-3/2

-1/2

1/2

3/2

5/2

7/2

9/2

11/2

Figura 4.4: Franjas de Interferencia

desde el centro de la figura 4.4. Sea ym la distancia del centro del patron θ = 0 al centrode la banda brillante número m. Sea θm el valor correspondiente de θ; entonces:

ym = R tan θm

En experimentos como este las distancias ym suelen ser mucho más pequeñas que ladistancia R de las ranuras a la pantalla, por tanto θm es muy pequeño, luego tan θ ≈ sin θ

ym = R sin θ

Combinando esto con la ecuación 4.4, encontramos:

ym = Rmλ

d(4.6)

Podemos medir R, d y ym por lo que el experimento permite medir directamente lalongitud de onda λ

4.4. Intensidad en los Patrones de InterferenciaPara calcular la intensidad en un punto cualquiera P del patron de interferencia, supon-dremos que las dos funciones sinusoidales (correspondientes a las ondas de las dos fuentes) tienen la misma amplitud E y que los campo ~E se encuentran a lo largo de la mismalínea (tienen la misma polarización). De acuerdo con la ecuación 1.23 y 1.24 cada fuentepor sí sola daría una intensidad de 1

2ε0cE2 en el punto P . Si las dos fuentes están en faseentonces las ondas que llegan a P difieren en cuanto a fase en una cantidad proporcionala la diferencia de sus longitudes de trayecto (r2 − r1). Si el ángulo de fase entre estas

C.S. Salinova

71

ondas que llegan es φ, entonces podemos utilizar las expresiones siguientes de los campossuperpuestos en P .

E1(t) = E cos(wt + φ)

E2(t) = E cos(wt)

La superposición de los dos campos es una función sinusoidal con cierta amplitud EP quedepende de E y de la diferencia de fase φ

4.5. Amplitud en la Interferencia de dos Fuentes

E

E

E =E.cos tω

E

E =E.cos( t+ )ω Φ

2

P

1

ΦΠ Φ-

x

y

O

Figura 4.5: Diagrama de fasores

En la figura 4.5 E1 es la componente horizontal del fasor que representa la onda provenientede S1 y E2 es la componente horizontal del fasor correspondiente a la onda que procedede S2, ambos fasores tienen la misma magnitud E pero E1 está un ángulo φ adelante deE2 en términos de fase. Ambos fasores giran en sentido contrario a las manecillas del relojcon velocidad angular constante w, y en cualquier momento la suma de las proyeccionessobre el eje horizontal da el valor instantáneo del campo E total en el punto P . Por tanto,la amplitud EP de la onda sinusoidal resultante en P es la suma vectorial de los otrosdos fasores. Para hllar EP aplicamos la ley de los cosenos y la identidad trigonométricacos(π − φ) = − cos φ

E2P = E2 + E2 − 2E2 cos(π − φ)

E2P = 2E2(1 + cos φ)

E2P = 4E2 cos2

(φ

2

)

EP = 2E

∣∣∣∣cosφ

2

∣∣∣∣ (4.7)


72

Donde la ecuación 4.7 es la amplitud de la interferencia de dos fuentes.

Cuando las dos ondas están en fase, φ = 0 y EP = 2E, y cuando están exactamentemedio ciclo fuera de fase, φ = π rad EP = 0. Así pues, la superposición de dos ondas si-nusoidales de la misma frecuencia y amplitud pero con diferencia de fase da por resultadouna onda sinusoidal de la misma frecuencia y una amplitud de entre cero y el doble delas amplitudes individuales, de acuerdo con la diferencia de fase.

4.6. Intensidad en la Interferencia de Dos FuentesRecordemos que I es igual a la magnitud promedio del vector Poynting Sprom. En el casode una onda sinusoidal con amplitud de campo eléctrico EP , esta magnitud viene dadapor la ecuación 1.23 y 1.24, así pues:

I =EP frm−e

2µ0c=

1

2ε0cE

2 (4.8)

Al sustituir la ecuación 4.7, obtenemos:

I =1

2ε0cE

2 = 2ε0cE2 cos2 φ

2(4.9)

En particular, la intensidad maxima I0 la cual se presenta el los puntos donde la diferenciade fase es cero (φ = 0), es:

I0 = 2ε0cE2 (4.10)

Sustituyendo la expresión 4.9 , podemos expresar la intensidad I en cualquier punto entérminos de la intensidad máxima:

I = I0 cos2 φ

2(4.11)

4.7. Diferencia de Fase y Diferencia de TrayectoAhora debemos hallar la relación entre la diferencia de fase φ entre los dos campos en elpunto P y la geometría de la situación . Sabemos que φ es proporcional a la diferenciade longitud de trayecto de las dos fuentes al punto P . Cuando la diferencia de trayectoes una longitud de onda, la diferencia de fase es de un ciclo, y φ = 2π rad. Cuando ladiferencia de trayecto es de λ/2 φ = π rad , y así sucesivamente. Es decir la razón de ladiferencia de fase φ respecto a 2π es igual a la razón de la diferencia de trayecto r2 − r1

respecto a λφ

2π=

r2 − r1

λ

Por consiguiente, una diferencia de trayecto (r2 − r1) origina una diferencia de fase dadapor:

φ =2π

λ(r2 − r1) = k(r2 − r1) (4.12)

C.S. Salinova

73

Donde k = 2π/λ es el número de onda.

Si el material que ocupa el espacio entre las fuentes y P es diferente del vacío, en laecuación 4.12 se debe de utilizar la longitud de onda en el material. Si este material tieneun índice de refracción η , entonces:

λ =λ0

ηy k = ηk0 (4.13)

Donde λ0 y k0 son la longitud y número de onda respectivamente en el vacío

Por último, si el punto P está lejos de las fuentes en comparación con su separaciónd, la diferencia de trayecto viene dada por la ecuación 4.3:

r2 − r1 = d sin θ

combinando esto con la ecuación 4.12:

φ = k(r2 − r1) = kd sin θ =2πd

λsin θ (4.14)

Cuando se sustituye esto en la ecuación 4.11, se halla:

I = I0 cos2

(1

2kd sin θ

)= I0 cos2

(πd

λsin θ

)(4.15)

Las direcciones de intensidad máxima se presentan cuando el coseno tiene los valores de±1 , es decir, cuando:

πd

λsin θ = mπ (m = 0,±1,±2, ...)

O bien:d sin θ = mλ

Podemos describir las posiciones sobre la pantalla con la coordenada y; las posiciones delas franjas brillantes vienen dadas por la ecuación 4.6 , donde ordinariamente y << R.En ese caso, sin θ = y/R, y se obtienen:

I = I0 cos2

(kdy

2R

)= I0 cos2

(πdy

λR

)(4.16)

4.8. Interferencia en Películas DelgadasSupóngase que una onda luminosa con amplitud de campo eléctrico Ei se propaga en unmaterial óptico de índice de refracción ηa , e incide en dirección normal en una interfaz


74

Ondaincidente

Ondaincidente

Ondaincidente

Ondatransmitida

Ondatransmitida

Ondatransmitida

Ondareflejada

Ondareflejada

Ondareflejada

η > η = η <η η η1 1 12 2 2

(a) (b) (c)

Figura 4.6: Diagrama de fasores

con otro material óptico de índice ηb. La amplitud Ef de la onda reflejada en la interfazes proporcional a la amplitud Ei y viene dada por:

Ef =ηa − ηb

ηa + ηb

Ei (4.17)

De donde se pueden distinguir tres casos :

a) Figura 4.6a cuando ηa > ηb , la luz se propaga mas lentamente en el primer medio.En este caso Ef y Ei tienen el mismo signo, y el desplazamiento de fase de la ondareflejada respecto a la onda incidente es cero.

b) Figura 4.6b cuando ηa = ηb, la amplitud Ef de la onda reflejada es cero la ondaluminosa incidente no "vé "la interfaz, y no hay una onda reflejada. t

c) Figura 4.6c cuando ηa < ηb la luz se propaga mas lentamente en el segundo material.En este caso Ef y Ei tienen signos opuestos, y el desplazamiento de fase de la ondareflejada respecto a la onda incidente es de π rad (medio ciclo)

Si la película tiene un espesor e, la luz incide en dirección normal y tiene una longitudde onda λη en la película;si ninguna, o si ambas ondas reflejadas en las dos superficiestienen un desplazamiento de fase de medio ciclo por reflexión, la condición para que hayainterferencia constructiva es:

2e = mλη (m = 0, 1, 2, ...) (4.18)2eη = mλ (λn = λ)

En cambio cuando una de las dos ondas tiene un desplazamiento de fase de medio ciclopor reflexión, esta ecuación representa la condición para que haya interferencia destructiva.

De modo análogo, si ninguna, o si ambas ondas tienen un desplazamiento de fase demedio ciclo, la condición para que haya interferencia destructiva en las ondas reflejadases:

C.S. Salinova

75

2e =

(m +

1

2

)λη (m = 0, 1, 2, ...) (4.19)

2eη =

(m +

1

2

)λ (λn = λ)

En cambio si una de las dos ondas tiene un desplazamiento de fase de medio ciclo, estaes la condición para que haya interferencia constructiva.


76

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 4.1 Luz monocromática coherente de amplitud E0 y frecuencia angular w parapor tres ranuras paralelas, cada una separada por una distancia d de su vecina .Demuestreque la intensidad promedio en el tiempo como función del ángulo θes:

I(θ) = Imax

[1 + 2 cos

(2πd sin θ

λ

)]2

Solución:

La amplitud resultante es:

Er = E0 sin wt + E0 sin(wt + ψ) + E0 sin(wt + 2ψ)

= E0(sin wt + sin wt cos φ + cos wt sin ψ + sin wt cos 2ψ + cos wt sin 2ψ)

= E0 sin wt(1 + cos ψ + 2 cos2 ψ − 1) + E0 cos wt(sin ψ + 2 sin ψ cos ψ)

= E0(1 + 2 cos ψ) sin(wt + ψ)

Dondeψ =

2π

λd sin θ

Entonces la intensidad es:

I = E2r = E2

0(1 + 2 cos ψ)2 sin(wt + ψ)2

El valor promedio en el tiempo de sin(wt + ψ)2 es 1/2, por tanto:

I = E20(1 + 2 cos ψ)2

(1

2

)

La intensidad máxima Imax = E20

(12

)Por tanto:

I = Imax

[1 + 2 cos

(2πd sin θ

λ

)]2

Problema 4.2 Una película de petróleo (η = 1,45) que flota sobre agua es iluminada porluz blanca a incidencia normal. La película es de 280 nm de grueso. Encuentre

a) El color de la luz del espectro visible que se refleja con mas fuerza.

b) El color de la luz que se transmite con mas fuerza.

Solución:

C.S. Salinova

77

a) Dado que 1,45 > 1,33, para una interferencia constructiva de la luz reflejada, ten-emos:

2ηe =

(m +

1

2

)λ

De donde:λm =

2ηe

m + 1/2

Reemplazando, tenemos:

m = 0 λ0 = 1620 nm(infrarojo)m = 1 λ1 = 541 nm(verde)m = 2 λ2 = 325 nm(ultravileta)

Por tanto, el color dominante visible al ojo humano en la luz reflejada es el verde.

b) La condición para una interferencia destructiva bajo reflexión es:

2ηe = mλ

De donde:λm =

2ηe

mReemplazando, tenemos:

m = 1 λ1 = 812 nm(infrarojo)m = 2 λ2 = 406 nm(violeta)m = 3 λ3 = 271 nm(ultravileta)

El color dominante visible al ojo humano en la luz transmitida es el violeta.

Problema 4.3 La figura muestra un transmisor de ondas de radio y un receptor separadosuna distancia d y ambos a una distancia h sobre el terreno. El receptor puede recibirseñales directas del transmisor e indirectas, de las que se reflejan del suelo. Suponga queel suelo está nivelado entre el transmisor y el receptor y que existe un cambio de fasede 180o en la reflexión. Determine las longitudes de onda mas largas que interfieren (a)constructiva y (b) destructivamente

d

h


78

Solución:

Del gráfico se observa que:

x =

√h2 +

d

2

2

=

√4h2 + d2

2

El desplazamiento total entre las ondas porla reflexión sera:

δ = 2x− d− λ

2

,

d/2

d

h x x

a) Para una interferencia constructiva, el desplazamiento debe de ser proporcional aun número entero de ondas δ = mλ

2x− d =

(m +

1

2

)λ

λ =4x− 2d

2m + 1

Para longitudes de onda largas: m = 0

λ = 4x− 2d = 2√

4h2 + d2 − 2d

b) Para una interferencia destructiva δ =(m + 1

2

)λ, esto es:

2x− d = mλ

Para longitudes de onda largas: m = 1

λ = 2x− d =√

4h2 + d2 − d

Problema 4.4 Una pieza plana de vidrio se mantiene estacionaria y horizontal sobre elextremo plano y liso de una varilla metálica que tiene su extremo inferior rígidamentesujeto. Se observa que la película delgada de aire entre la varilla y el vidrio está brillantepor la luz reflejada cuando es iluminada por luz de 500 nm de longitud de onda. Cuandola temperatura aumenta lentamente por 25oC, la película cambia 200 veces de brillante aoscura y de oscura a brillante. ¿Cuál es el coeficiente de expansión lineal del metal?

Solución:

No ocurrirá el cambio de fase en la reflexión de la superficie superior (vidrio-aire) de lapelícula, pero habrá un cambio de λ/2 en la reflexión de la superficie inferior (aire-metal)de la película. La diferencia de fase total en las dos rayos reflejados es:

δ = 2ηe + λ/2

C.S. Salinova

79

Para una interferencia constructiva , δ = mλ. Por tanto, el espesor de la película para lamava franja brillante es:

em =

(m− 1

2

)λ

2

Y el espesor para la m− 1 franja es:

em−1 = (m− 1)λ

2− λ

4

Por lo tanto, el cambio en el espesor requerido para pasar de una franja brillante a lapróxima es:

∆e = em − em−1 =λ

2

Para un cambio de 200 franjas brillantes, el cambio en el espesor de la película debe deser:

200λ

2 =100λ

Por tanto el incremento en la longitud de la varilla es:

∆L = 100λ

= 5 ∗ 10−5 m

Por otro lado, se sabe: ∆L = L0α∆t. Luego tenemos:

α = 20 ∗ 10−6oC−1

Problema 4.5 La condición para obtener la interferencia constructiva por reflexión des-de una película delgada en el aire,comose desarrolló supone incidencia casi normal. De-muestre que si la luz incide sobre la película a un ángulo de ψ1 diferente de cero (con re-specto a la normal),entonces la condición para la interferencia constructiva es 2ηe cos θ2 =(m + 1/2)λ, donde θ2 es en ángulo de refracción

Solución:

El desplazamiento entre las dos ondas reflejadases:

δ = 2ηa− b− λ

2

Para una interferencia constructiva, δ = mλ

eη

θ

ΦΦ

c

a

b

2c De donde

obtenemos:

2ηa− b =

(m +

1

2

)λ (β)


80

Del gráfico, tenemos:

a =e

cos θc = a sin θ

b = 2c sin φ

Y de la ley de Snell:sin φ1 = η sin θ

Entonces:

b =2ηe sin2 θ

cos θ

Bajo estos resultados la condición para una interferencia constructiva dada por la ecuación(β), será:

2η( e

cos θ

)− 2ηe sin2 θ

cos θ=

2ηe

cos θ(1− sin2 θ) =

(m +

1

2

)λ

2ηe cos θ =

(m +

1

2

)λ

C.S. Salinova

Capítulo 5

DIFRACCIÓN

5.1. Difracción desde una solo RanuraDe acuerdo con la óptica geométrica, el haz transmitido debería tener la misma seccióntransversal que la ranura , como en la figura 5.1a . Lo que se observa en efecto es el patrónque se muestra en la figura 5.1b el haz se ensancha en sentido vertical después de pasardespués de pasar por la ranura. El patron de difracción consiste en una banda centralbrillante, que puede ser mucho más amplia que el ancho de la ranura, bordeada de bandasoscuras y brillantes alternas cuya intensidad decrece rápidamente. Al rededor del 85% dela potencia del haz transmitido se encuentra en la banda central brillante, cuya anchuraresulta ser inversamente proporcional al ancho de la ranura.

Pantalla Pantalla

(a) (b)

Figura 5.1:

La figura 5.2 muestra una vista lateral del mismo arreglo; los lados largos de la ranura sonperpendiculares a la figura, y las ondas planas inciden en la ranura desde la izquierda. Deacuerdo con el principio de Huygens, cada elemento de área de la abertura de la ranurapuede ser considerado como una fuente de ondas secundarias.

En la figura 5.2b se ha colocado una pantalla a la derecha de la ranura. Podemos calcularla intensidad resultante en el punto P para lo cual supondremos que la pantalla está losuficientemente lejos como para que todos los rayos que van de diversas partes de la ranura

81

82

a un punto P sean paralelos. como en la figura 5.2c . Una situación equivalente es la quese representa en la figura 5.2d , donde los rayos que inciden en la lente son paralelos y lalente forma una imagen reducida del patron que se formaría en una pantalla infinitamentedistante sin la lente.

Anchode

ranura

P P

Difracciónde Fresnel

Difracción deFraunhofer

Lente cilíndricaconvergente

PantallaPantallaOndas planasque inciden

División imaginariade la ranua en tiras

(a) (b) (c) (d)

f

Figura 5.2:

La situación de la figura 5.2b es una difracción de Fresnel, en las figuras 5.2c y 5.2d,donde se considera que los rayos salientes son paralelos, la difracción es de Fraunhofer.Considérense en primer término dos tiras largas, una inmediatamente debajo del bordesuperior del dibujo de la ranura y otra en su centro, la cual se muestra vista desde unextremo de la figura 5.3 . La diferencia de longitud de trayecto al punto P es a/2 sin θdonde a es el ancho de la ranura y θ, el ángulo entre la perpendicular a la ranura y unarecta del centro de la ranura a P . Supóngase que esta diferencia de trayecto resulta serigual a λ/2 ; entonces la luz proveniente de estas dos tiras alcanzan en punto P con unadiferencia de fase de medio ciclo, y no hay cancelación.

(a) (b)

a

a/2

a/2 sinθ

xθ

θO

P

y

Figura 5.3:

De modo análogo, la luz proveniente de dos tiras inmediatamente debajo de las dos de lafigura también llega a P medio ciclo fuera de fase. De hecho, la luz proveniente de cadauna de las tiras de la mitad superior de la ranura cancela la luz proveniente de una tiracorrespondiente de la mitad inferior. EL resultado es una cancelación total en P de laluz combinada que llega de toda la ranura, y se forma una franja oscura en el patron de

C.S. Salinova

83

interferencia, Es decir se presenta una franja oscura siempre que:

a

2sin θ = ±λ

2o sin θ =

λ

a(5.1)

El signo de ± en la ecuación 5.1 significa que hay franjas oscuras simétricas arriba y abajodel punto O de la figura 5.3a La franja superior θ > 0 aparece en un punto P donde laluz proveniente de la mitad inferior de la ranura recorre λ/2 más para llegar a P que laluz procedente de la mitad superior; la franja inferior (θ < 0) se presenta donde la luzproveniente de la mitad superior recorre λ/2 más que la luz procedente de la mitad inferior.

También podemos dividir la pantalla en cuartos, sextos, etcetera y utilizar el argumentoanterior para demostrar se presenta una franja oscura siempre que θ = ±2λ/a, ±3λ/a, yasí sucesivamente. Así pues, la condición para que haya una franja oscura es:

sin θ =mλ

a(m = ±1,±2,±3, . . .) (5.2)

Entre las franjas oscuras hay franjas brillantes, advertimos además que sin θ = 0 corre-sponde a una banda brillante, en este caso la luz de toda la ranura llega a P en fase. Losvalores de θ en la ecuación 5.2 suelen ser tan pequeños que la aproximación sin θ = θ esmuy buena, luego podemos reformular la ecuación anterior como:

θ =mλ

a(m = ±1,±2,±3, . . .) (5.3)

Así mismo, si la distancia de la ranura a la pantalla es x como en la figura 5.3a y la distanciavertical de la banda oscura número m al centro del patron es ym entonces tan θ = ym/x,si θ es pequeño también podemos tomar θ com aproximación de tan θ , y entonces resultaque:

ym = xmλ

a(si ym ¿ x) (5.4)

5.2. Intensidad en el Patrón de una sola RanuraEn el punto O de la figura 5.3a , que corresponde al centro del patron donde θ = 0 , lasdiferencias de trayecto cuando x À a son insignificantes, los fasores están todos prácti-camente en fase (es decir tienen la misma dirección ). En la figura 5.4a aun ángulo θ sehan dibujado los fasores en el tiempo t = 0 y se denota la amplitud resultante en O con E0.

Considérese ahora las ondas que llegan desde diferentes tiras al punto P de la figura5.4a a un ángulo θ del punto O. Debido a las diferencias de longitud de trayecto , ahorahay diferencias de fase entre entre las ondas que llegan de tiras adyacentes; el diagramade fasores correspondientes se muestra en la figura 5.4b. La suma vectorial de los fasoresahora parte del perímetro de un polígono de muchos lados, y , EP la amplitud del campoeléctrico resultante en P es la cuerda. El ángulo β es la diferencia de fase total entre la


84

onda procedente de la tira superior de la figura 5.3a y la que llega de la tira del extremoinferior; es decir β es la fase de la onda en P proveniente del extremo superior con respectoa la onda que se recibe en P de la tira del extremo inferior.

E

E

E E

E E

E /β

E /β

P

P

C C

O O

O

O

O

β β

β/2

C

β

E (se

n )

O

β2

β

E (se

n )

O

β2

β

A

B

EO

(a)

(b) (c)

Figura 5.4:

Podemos imaginar que dividimos la ranura en tiras cada vez más angostas. En el limite,donde se tiene un número finito de tiras infinitamente angostas, la curva que describenlos fasores se convierte en un arco de círculo figura 5.4b con una longitud de arco igual ala longitud E0 de la figura El cento C de este arco se halla construyendo perpendicularesa A y B. Con base en la relación entre la longitud de arco, radio y ángulo, el radio delarco es E0/β; la amplitud EP del campo eléctrico resultante en P es igual a la cuerdaAB, que es 2(E0/β) sin(β/2). Tenemos entonces:

EP = E0sin(β/2)

β/2(5.5)

La intensidad en cada punto de la pantalla es proporcional al cuadrado de la amplituddada por la ecuación 5.5. Si I0 es la intensidad en la dirección hacia el frente donde θ = 0y β = 0, entonces la intensidad I en cualquier punto es

I = I0

[sin(β/2)

β/2

]2

(5.6)

Podemos expresar la diferencia de fase β en términos de magnitudes geométricas . Deacuerdo con la ecuación 4.12 la diferencia de fase es 2π/λ por la diferencia de trayecto.La figura 5.3 muestra que la diferencia de trayecto entre el rayo proveniente del extremosuperior de la ranura y el rayo que llega de la parte media es (a/2) sin θ. La diferenciade trayecto entre los rayos procedentes del extremo superior y del extremo inferior de laranura es el doble de esto; por tanto:

β =2π

λa sin θ (5.7)

C.S. Salinova

85

Y la ecuación 5.6se transforma en:

I = I0

{sin[πa(sin θ)/λ]

πa(sin θ)/λ

}2

(5.8)

Las franjas oscuras del patron son los lugares donde I = 0. Estos se presentan en puntosdonde el numerador de la ecuación 5.6 es cero, por o que β es un múltiplo de 2π. Deacuerdo con la ecuación 5.7 esto corresponde a:

a sin θ

λ= m (m = ±1,±2,±3, . . .)

sin θ =mλ

a(m = ±1,±2,±3, . . .) (5.9)

La ecuación 5.6 no está definida para β = 0 pero calculando el límite encontramos que,en β = 0, I = I0, como era de esperarse.

5.3. Máximos de Intensidad en el Patrón de una solaranura

La ecuación 5.6 también permite calcular las posiciones de las crestas, o máximos deintensidad, así como la intensidad de estas crestas. Esto no es tan simple como podríaparecer. Cabría esperar que los máximos se presentan donde la función sin alcanza el valorde ±1, esto es, donde β = ±π,±3π,±5π o en general :

β ≈ ±(2m + 1)π (m = 0, 1, 2, . . .) (5.10)

Esto es aproximadamente correcto, pero debido al factor (β/2)2 del denominador de laecuación 5.6, los máximos no se presentan exactamente en estos puntos. Cuando se derivala ecuación 5.6 con respecto a β y se iguala a cero para intentar hallar los máximos ymínimos, se obtiene una ecuación trascendental que es necesario resolver por métodosnuméricos. De hecho. Los primeros máximos a uno y otro lado del máximo central, cercade β = ±3π, se presentan en ±2,860π. Los segundos máximos laterales cerca de β = ±5π,se hallan en ±4,918π y así sucesivamente. El error de la ecuación 5.10 se desvanece dondem es grande, es decir en los máximos de intensidad alejados del centro del patron.

Para hallan la intensidad en los máximos laterales, se sustituyen de nuevo estos val-ores de β en la ecuación 5.6. A partir de la expresión aproximada de la ecuación 5.10 seobtiene:

Im ≈ I0(m + 1

2

)2π2

(5.11)

Donde Im es la intensidad del máximo lateral número m e I0 es la intensidad del máximocentral.


86

5.4. Anchura del patrón de una sola RanuraCuando los ángulos son pequeños la extensión angular del patrón de difracción es inversa-mente proporcional al ancho de la ranura a. En el caso de las ondas luminosas, la longitudde onda λ suele ser mucho más pequeña que el ancho de la ranura a, y los valores de θen las ecuaciones 5.7 y 5.8 son tan pequeños que la aproximación sin θ = θ es muy buena.Con esta aproximación, la posición θ1 del primer mínimo al lado del máximo central quecorresponde a β/2 = π , es según la ecuación 5.8:

θ1 =λ

a(5.12)

Esto caracteriza la anchura (extensión angular) del máximo central, cuando la aproxi-mación de ambos ángulos pequeños es válida, el máximo central es exactamente dos vecesmas ancho que cada máximo lateral. Cuando a es del orden de un centímetro o mas θ1 estan pequeño que podemos considerar que prácticamente toda la luz está concentrada enel foco geométrico. Pero cuando a es menor que λ, el máximo central abarca 180◦ y no seobserva el patrón de franjas.

5.5. Ranuras Multiples

5.5.1. Dos Ranuras de Ancho Finito

I II

θθθ(a) (b) (c)

Figura 5.5:

La figura 5.5a muestra la intensidad en un patrón de difracción de una sola ranura de anchoa. Los mínimos de difracción están identificados mediante el entero md = ±1,±2, . . .. Lafigura 5.5b muestra el patrón que forman dos ranuras muy angostas separadas por unadistancia d = 4a, los máximos de interferencia están identificados mediante el enteromi = ±1,±2, . . .. Advertimos que la separación entre mínimos adyacentes en el patrón deuna sola ranura es cuatro veces mayor que en el patrón de dos ranuras. Supóngase ahoraque ensanchamos cada una de las ranuras angostas hasta el mismo ancho a de la ranuraúnica de la figura 5.5a .La figura 5.5c muestra el patron que forman dos ranuras de ancho a. El efecto del ancho finito de las ranuras consiste en superponer los dos patrones, es decir,en multiplicar las dos intensidades en cada punto. Los máximos correspondientes a dosranuras están en las mismas posiciones que antes , pero su intensidad está modulada por el

C.S. Salinova

87

patrón de una sola ranura, el cual actúa como una envolvente de la función de intensidad .La expresión de la intensidad que se muestra en la figura 5.5c es proporcional al productode las expresiones correspondientes a dos ranuras y a una sola ranura (eucaciones 4.11 y5.6)

I = I0 cos2 φ

2

[sin(β/2)

β/2

]2

(5.13)

Donde:φ =

2πd

λsin θ β =

2πa

λsin θ

5.5.2. Varias Ranuras

Supóngase que cada ranura es estrecha en comparación con la longitud de onda, porlo que su patrón de difracción se extiende de modo casi uniforme. Sufren interferenciaconstructiva los rayos que forman un ángulo θ con la normal y que llegan al punto P conuna diferencia de trayecto entre ranuras adyacentes igual al número entero de longitudesde onda.

d sin θ = mλ (m = 0,±1,±2, . . .)

eso significa que hay reforzamiento cuando la diferencia de fase φ en P de la luz provenientede ranuras adyacentes es un múltiplo entero de 2π. Es decir los máximos del patronaparecen en las mismas posiciones que en el caso de dos ranuras con la misma separación.En esta medida el patrón se asemeja al patrón de dos ranuras.

m=-1 m=-1 m=-1m=0 m=0 m=0m=1 m=1 m=1

(a) N=2 (b) N=8 (c) N=16

4 I 64 I 256 I0 0 0

I I I

θ θ θ

Figura 5.6:

5.6. Rejilla de difracción

Se a visto que si se aumenta el número de ranuras, se obtienen patrones de interferenciadonde los máximos ocupan las mismas posiciones que con dos ranuras, pero son progresi-vamente más marcados y angostos. Por ser estos máximos tan marcados, se pueden medircon una precisión muy grande su posición angular y, por tanto su longitud de onda. Comoveremos este efecto tiene muchas aplicaciones prácticas importantes.


88

Una serie de ranuras paralelas en gran número, todas del mismo ancho a y separadaspor distancias iguales d entre sus centros, recibe el nombre de rejilla de difracción.

d

d

d

d

dθ

G

G’

Figura 5.7:

En la figura 5.7 , GG′ es una sección transversal de una rejilla de transmisión. La sepa-ración d entre los centros de rejillas adyacentes se conoce como el espacio de rejilla. Vimosque los máximos principales de intensidad con ranuras multiples se forman en las mismasdirecciones que en el caso del patrón de dos ranuras. Estas direcciones son aquellas re-specto a las cuales la diferencia correspondiente a ranuras adyacentes es un número enterode longitudes de onda. Por tanto, las posiciones de los máximos están dadas una vez máspor:

d sin θ = mλ (m = 0,±1,±2, . . .) (5.14)

Las líneas m = ±1 se llaman líneas de primer orden, las líneas m = ±2 líneas de segundoorden, y así sucesivamente

C.S. Salinova

89

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 5.1 El intervalo de longitudes de onda del espectro visible es aproximadamentede 400 nm 700 nm. Sobre una rejilla de difracción de 350 ranuras/mm incide luz blancaen dirección normal. Halle la anchura angular del espectro visible en a) el primer ordenb) el tercer orden.

Solución:

Si se tiene 350 ranuras/mm, entonces d = 1/(3,5 ∗ 10−5m−1) = 2,86 ∗ 10−6 m Luego:

m = 1 θ400 = arcsin

(λ

d

)= arcsin

(4 ∗ 10−7

d

)= 8,05o

θ700 = arcsin

(λ

d

)= arcsin

(7 ∗ 10−7

d

)= 14,18o

∆θ1 = 6,13o

Para el siguiente caso:

m = 3 θ400 = arcsin

(3λ

d

)= arcsin

(3 ∗ 4 ∗ 10−7

d

)= 24,8o

θ700 = arcsin

(3λ

d

)= arcsin

(3 ∗ 7 ∗ 10−7

d

)= 47,3o

∆θ1 = 22,5o

Problema 5.2 Una rendija individual tiene un ancho de 6 cm y que está frente a unafuente de microondas que opera a 7.50 Ghz. (a) Calcular el ángulo subtendido por el primermínimo del patrón de difracción (b) ¿Cuál es la intensidad relativa I/Imax en θ = 15o (c)Suponga que dos fuentes como ésta separadas 20 cm lateralmente, están por detrás de larendija ¿Cuál deberá ser la distancia máxima entre el plano de las fuentes y la rendija sies necesario que los patrones de difracción se resuelvan?

Solución:

a) Se sabe que θ = arcsin(

mλa

), para nuestro caso m = 1.

Además λ = c/f = 3 ∗ 108/7,5 ∗ 109 = 4 ∗ 10−2

Por lo tantoθ = arcsin

(4 ∗ 10−2

6 ∗ 10−2

)= 41,8o

b) Se tiene:I

Imax

=

[sin β/2

β/2

]2


90

Donde:β = 2πa sin θλ

Para θ = 15o, β = 2π(0,060) sin 15o

0,040= 2,44 rad

YI

Imax

=

[sin 1,22 rad

1,22 rad

]2

= 0,593

c) Del gráfico:

L = l cot α = 0,1 cos

(41,8

2

)= 0,262 m

l

L

α θ

Problema 5.3 Sea y la posición relativa con el centro de un patrón de difracción proyec-tado en una pantalla plana a una distancia L por una rejilla de difracción con un espaci-amiento de rendijas d. La dispersión es igual a dλ/dy. Pruebe que la dispersión está dadapor:

dλ

dy=

L2d

m(L2 + y2)3/2

Solución:

La interferencia constructiva de la luz con una longitud de onda λ en la pantalla estadescrita por: d sin θ = mλ, donde tan θ = y/L y sin θ = y√

L2+y2. luego:

dy(L2 + y2)−1/2 = mλ

Diferenciando con respecto a y:

d(L2 + y2)−1/2 + dy(L2 + y2)−3/2(2y) = mdλ

dy

d(L2 + y2 − y2)

(L2 + y2)−3/2= m

dλ

dy

dy

dλ=

L2d

m(L2 + y2)3/2

Problema 5.4 Una luz que se desplaza en un medio con un índice de refracción η1 incideformando un ángulo θ con la superficie de un medio de índice η2. El ángulo entre los rayosreflejado y refractado es igual a β, demuestre que:

tan θ =η2 sin β

η1 − η2 cos β

C.S. Salinova

91

Solución:

Aplicando la ley de Snell: η2 sin γ = η1 sin θ. Delgráfico tenemos: γ = π − (θ + β)

Luego sin γ = sin(θ + β)

θθ

βγ

η

η

1

2

Remplazando en la ley de Snell:

η2(sin θ cos β + cos θ sin β) = η1 sin θ

η2(tan θ cos β + sin β) = η1 tan θ

tan θ =η2 sin β

η1 − η2 cos β

Problema 5.5 Considere una formación de N ranuras con una distancia d entre lasranuras adyacentes. Las ranuras emiten coherentemente y en fase a una longitud de ondaλ. Halle el campo eléctrico en el tiempo t en un punto distante P . Demuestre que elcampo eléctrico es EP (t) es igual a la parte real de

∑N−1n=0 E0e

i(kR−wt+nφ). Demuestre quela intensidad a un ángulo θ es: I = I0[

sin(Nφ/2)sin φ/2

]2

Solución:

Se sabe que la expresión para la amplitud de una onda viajera es cos(kx − wt), dondecada onda tiene una amplitud máxima E0. Sin embargo cada fuente adquiere una faseextra por cada longitud de camino hacia el punto P dada por

ψ = 2π(d sin θ

λ)

Sumando las contribuciones de cada fuente y tomando en cuenta la acumulación de lasdiferencias de fase, tenemos:

EP (t) = E0 cos(kR− wt) + E0 cos(kR− wt + φ) + E0 cos(kR− wt + 2 + φ) + . . .

+ E0 cos(kR− wt + (N − 1)φ) (α)

Se sabe que ei(kR−wt+nφ) = cos(kR− wt + nφ) + i sin(kR− wt + nφ)

Y la parte real es:cos(kR− wt + nφ)

Así:

Re

[N−1∑n=0

E0ei(kR−wt+nφ)

]=

N−1∑n=0

E0 cos(kR− wt + nφ)


92

El cual es justamente la ecuación (α)

Por otro lado:N−1∑n=0

E0ei(kR−wt+ηφ) = E0e

i(kR−wt)

N−1∑n=0

ei(nφ)

Pero:

N−1∑n=0

ei(nφ) =N−1∑n=0

e(iφ)n

=eiNφ − 1

eiφ − 1

=e

iNφ2 (e

iNφ2 − e−

iNφ2 )

ei φ2 (ei φ

2 − e−i φ2 )

= ei(N−1)φ2(e

iNφ2 − e−

iNφ2 )

(ei φ2 − e−i φ

2 )

Luego:

E = E0ei(kR−wt+(N−1)φ

2) (e

iNφ2 − e−

iNφ2 )

(ei φ2 − e−i φ

2 )

= E0

[(cos(kR− wt + n

φ

2)) + i sin(kR− wt + n

φ

2)

] [sin(N φ

2)

sin φ2

]

Tomando solo la parte real:

E = E0(cos(kR− wt + nφ

2))

sin(N φ2)

sin φ2

Luego:

I = I0[sin(Nφ/2)

sin φ/2]2

, El valor promedio en el tiempo de la función cos2(kR− wt + nφ2) es 1/2 y I0 = E2

0/2

C.S. Salinova

Parte III

Metodología Cronograma deActividades y Asistencias

93

Capítulo 6

METODOLOGÍA

6.1. MétodosLos métodos utilizados en el desarrollo de la práctica pre-profesional fue tanto el métododeductivo y el método inductivo ambos enmarcados dentro del método activo pues la laborde un docente universitario más que presentar principios y métodos y definiciones es contarcon la participación del alumno.

6.2. TécnicasExisten muchas técnicas para hacer llegar nuestro conocimiento y lograr un aprendizajeapropiado, las técnica utilizada consiste en una exposición oral, estimulando siempre laparticipación del alumno en los trabajos de clase.

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:

Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.

Visual: empleo de pizarra, plumon, tiza y mota.

95

96

C.S. Salinova

Capítulo 7

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

7.1. Temas Desarrollados

Parte II

Capítulo Temas1 Ondas Electromagnéticas2 Naturaleza y Propagación de la luz3 Formación de Imágenes4 Interferencia5 Difracción

7.2. Cronograma de Actividades

Tema septiembre Octubre Diciembre Enero12 19 26 3 10 12 5 12 19 2 9 16 23 30

1 • •2 • • •3 • • •4 • • •5 • • •

97

98

C.S. Salinova

99

100

Capítulo 8

RELACIÓN DE ESTUDIANTES YASISTENCIAS

8.1. Relación de EstudiantesN◦ Apellidos y Nombres Código1 ADUVIRI TUCO, JOAQUIN NICOLAS 0620592 ALCOS APAZA, MILTON VLADIMIR 0711353 ALVAREZ QUISPE, JUAN JOSE 0711364 APAZA ARPASI, YONY 0645465 ARAPA HUAQUISTO, EDGAR 0552136 ATAMARI QUISPE, JUSTO PASTOR 0405027 ATENCIO ATENCIO, FERNANDO 0711388 CALDERON CONDORI, JUAN CARLOS 0645509 CANAZA APAZA, RONALD 05233310 CARDENAS ZAPANA, RONY ELVIS 03306411 CARI QUISPE, VICTOR LENIN 05124912 CCOPA ZEVALLOS, JHONY WILSON 05125113 CHACON ROSELLO, PABEL ADERLY 07114414 CHAIÑA CHILE, WILBERT 06455315 CHAMBI MAMANI, PEDRO 06206616 CHECCA MALDONADO, JUAN RODRIGO 03092117 CHOQUE CONDORI, TEOFILO 06455418 COAQUIRA CALLI, JONAN JAVIER 05125319 COCHACHIN PAYVA, HERBERTH ABDON 01138420 COILA MONJE, JIMENA INES 07114621 CONDORI CONDORI, YOFRE ALEXANDER 07160422 CONTRERAS MAMANI, RICHARD JOHN 05125823 COTRINA QUISPE, YAMIR GONZALO 07211124 DELGADO CCAHUANTICO, JUAN JULIO 05126025 DIAZ GALLEGOS, HAROLD ALI 062069

C.S. Salinova

101

N◦ Apellidos y Nombres Código26 ESCOBEDO GIL, RICARDO GERMAN 06381127 ESTOFANERO YUCRA, ELAR JOEL 06381228 FLORES ARNAO, JHON EDISSON 07382529 FLORES MAMANI, LUIS EPIFANIO 05233430 GALINDO QUISPE, JOHN ARMANDO 06207131 HAÑARI QUISPE, JULIO CESAR 02092232 HANCCO APAZA, QUINI ELISEO 05522433 HANCCO CATATA, ELMER OSMAN 07115134 HUANCA CHOQUE, HENDEL 07115235 HUAQUIPACO ENCINAS, SAUL 05126336 HUILLCA TTITO, BERTHA 06207337 LARICO HUANCA, BERTIN MICHAEL 07115438 LIPA SONCCO, ADAN WILBER 06207839 LOAYZA SALAS, DIMAS ARTURO 06207940 LOPEZ CAYO, ERIC GERMAN 06456241 MAMANI MAMANI, JUAN CARLOS 06208042 MAMANI MAMANI, MIGUEL ANGEL 06208143 MAMANI SUCARI, PERCY FROILAN 05126844 MAMANI YUCRA, DEYVID JOSE 07115645 MAYTA CALSINA, EMERSON JASMANY 07160546 MEDRANO LUQUE, JHON MAIKOL 05234047 MENDOZA TICONA, WILSON 03307348 MIRANDA ARQUE, IVAN ALEXIS 07116049 MIRANDA MARAZA, LUIS RODRIGO 07116150 MONTOYA COPARI, FREDY MARLON 05523351 PARICANAZA CAYRA, SOCRATES TIRZO 06208852 PAUCAR TICONA, YSAAC 07211653 QUISPE CALSIN, EFRAIN ISAIAS 05269554 QUISPE CHACON, HUGO JUNIOR 07116355 QUISPE MAQUERA, JULIO CESAR ULISES 02093356 QUISPE RONCALLA, VICTOR RAUL 07116557 RAMOS FLORES, ALICER RELAMI 05234358 REYES CUBA, PAUL IVAN 98147759 RODRIGUEZ PINO, VICTOR HUGO 06381760 ROMERO AGUIRRE, JUAN CARLOS 06381861 SUCASACA BENAVENTE, JUAN JULIAN 06210062 SUCASAIRE DE LA TORRE, VIDAL 03308063 TICONA APAZA, WILDER CLAUDIO 07117164 TICONA QUISPE, JEAN CARLOS 06457065 TULA CHAMBI, RONAL ERNESTO 072118


102

N◦ Apellidos y Nombres Código66 TUNI MAMANI, EDGAR 05234867 VELASQUEZ GALLEGOS, JONNAN AURELIO 05128668 VILCA RODRIGUEZ, EDWIN 05524669 YANARICO APAZA, ANDREY 06210870 YUNGANINA ZEA, DAVID ULISES 06381971 ZAMATA QUISPE, HENRY ROLANDO 022556

8.2. Asistencias

No codigo septiembre Octubre Diciembre Enero12 19 26 3 10 12 5 12 19 2 9 16 23 30

1 062059 • • • • • • •2 071135 • • • • • • • •3 071136 • • • • • • •4 064546 • • • • • • • • • •5 055213 • • • • • • • • • •6 040502 • • • • • • • •7 071138 • • • • • • • • •8 064550 • • • • •9 052333 • • • • • •10 033064 • • • • • • •11 051249 • • • •12 051251 • • • • • •13 071144 • • • • • • •14 064553 • • • • • • • •15 062066 • • • • • • •16 030921 • • • • • •17 064554 • • • • • • •18 051253 • • • • • • • • •19 011384 • • • • • • • •20 071146 • • •21 071604 • • • • • • • • •22 051258 • • • • • •23 072111 • • • • • • • • • •24 051260 • • • • •25 062069 • • • • • • •26 063811 • • • • •27 063812 • • • • • • •28 073825 • • • • • •29 052334 • • • • • • •30 062071 • • • • • • • • • •

C.S. Salinova

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C.S. Salinova

Bibliografía

[1] JEWETT JR., Jhon W. y SERWAY, Raymond A., (2005),Física para ciencias eingenierías Volumen II

[2] W. SEARS, Francis, W. ZEMANSKY, Mark y otros (1977),Fisica UniversitariaTomo II

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Informe Fisica III

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