Fin All 3

INDICE

INDICE .................................................................................................................................................................................1

I. RESUMEN .............................................................................................................................................. 2

II. ANTECEDENTES EXPERIMENTALES ........................................................................................................... 3

ABSTRACTO: .......................................................................................................................................................................3 ANÁLISIS DE DATOS Y DISCUSIÓN ..............................................................................................................................................3 RESULTADOS: ...................................................................................................................................................................13

CONCLUSIONES:...............................................................................................................................................................14

III. FUNDAMENTO TEORICO ....................................................................................................................... 15

CONDENSADORES............................................................................................................................................................15

CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ...............................................................................................................................17 LEY DE LOS NODOS O LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF ...............................................................................................................28

LEY DE LAS "MALLAS" O LEY DE TENSIONES DE KIRCHOFF ............................................................................................................29

CIRCUITOS RC .......................................................................................................................................................................29

IV. PARTE EXPERIMENTAL ...................................................................................................................... 34

MATERIALES Y EQUIPOS ..................................................................................................................................................34

PROCEDIMIENTO .............................................................................................................................................................35

V. RESULTADOS ........................................................................................................................................ 43

RESPUESTAS AL CUESTIONARIO......................................................................................................................................43

VI. DISCUSIÓN DE DATOS ....................................................................................................................... 48

VII. CONCLUSIONES ................................................................................................................................ 49

VIII. SUGERENCIAS .................................................................................................................................. 50

IX. AGRADECIMIENTO ............................................................................................................................... 51

X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .............................................................................................................. 52

CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR EN UN CIRCUITO RC

UNI-FIM | 2

I. RESUMEN

En el presente informe titulado “Carga y Descarga de de un Condensador en Circuito RC”, se

tiene como objetivos fundamentales medir el tiempo de carga y descarga de un condensador en

un circuito RC usando un osciloscopio, así como también Obtener la relación entre voltaje (VC)

y tiempo (t) para el proceso de carga Y descarga del condensador, y determinar

experimentalmente la constante de tiempo para los procesos de carga y descarga.

Una vez mencionado los objetivos pasaremos a mencionar el diseño experimental, para la cual

empezaremos mencionando los principales materiales que se utilizo en el desarrollo de la

experiencia, que son los siguientes: un amperímetro, un voltímetro, una fuente de corriente

continua, y una resistencia variable. El diseño en función a estos materiales consiste en

disponer el equipo en las dos posiciones mostradas en el manual, para ello primero generamos

una onda cuadrada a 250 Hz, el cual será observado por un osciloscopio, luego de haber

verificado el correcto funcionamiento del generador, armamos el circuito experimental indicado

con ayuda del condensador y las resistencias, estos nos permitirán con ayuda del osciloscopio

observar el comportamiento Vc vs t y Vr vs t respectivamente, también deberemos de medir la

resistencia y la capacitancia con ayuda del multímetro.

Finalmente, en relación a los resultados obtenidos podemos destacar que las gráficas que se

obtienen en el osciloscopio nos serán de gran ayuda, pues estas nos permitirán ver la relación

que existe entre la tensión y el tiempo de un condensador, también el de la corriente en función

del tiempo, además podemos obtener el τ de manera experimental y así también obtener la

capacitancia experimental estos nos conllevara a realizar una comparación entra la capacitancia

medida y la capacitancia experimental.

Palabras claves

Condensador

Resistencia

Circuito RC

Tensión


UNI-FIM | 3

II. ANTECEDENTES EXPERIMENTALES

CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR

Universidad Privada del Norte

Facultad de Ingeniería Industrial

ABSTRACTO:

En el desarrollo del análisis experimental que se llevó a cabo, se determinó el

comportamiento de los procesos de carga y descarga de un capacitor, el cual se encontraba

conectado en serie con un resistor y una fuente de alimentación utilizando como instrumentos

de medición el multitester en las opciones correspondientes y el cronómetro. Se comprobó

que el comportamiento de los datos obtenidos (voltaje y tiempo) toma la forma de curvas

exponenciales así como también se dedujeron las ecuaciones de este fenómeno

mediante la segunda ley de Kirchoff y el cálculo infinitesimal, corroborándose las

relaciones existentes entre estas ecuaciones matemáticas y el fenómeno mismo, Se calculó

además las constantes de tiempo experimentales mediante regresión lineal y se determinó

el error del mismo respecto a la constante de tiempo teórico RC medida previamente (la cual

no se diferenciaba sustancialmente de lo provisto por el fabricante), llegando a un error

experimental superior al 5 % permisible a pesar de la precisión en la toma de datos; este error

se debe a que la placa de pruebas, un circuito pre armado, tenía fallos en su construcción ya

que agregaba al sistema una resistencia adicional no deseada de aproximadamente 550 Ω,

dificultando la tarea de análisis.

ANÁLISIS DE DATOS Y DISCUSIÓN

Se presenta un resumen de las ecuaciones deducidas previamente en la sección anterior

para el análisis de datos correspondiente y después se realiza el cálculo correspondiente

para las ecuaciones de regresión lineal de datos para la obtención de los RC experimentales.


UNI-FIM | 4

Voltaje del capacitor en función del tiempo durante el proceso de carga

……….. (1)

Voltaje del resistor en función del tiempo durante el proceso de carga

………. (3)

Voltaje del capacitor en función del tiempo durante el proceso de descarga

………….. (4)

Voltaje del resistor en función del tiempo durante el proceso de descarga

………. (6)

Regresión lineal para la obtención de en el proceso de carga del

capacitor

........ (7)

donde:

Regresión lineal para la obtención de en el proceso de descarga del

capacitor


UNI-FIM | 5

........ (8)

donde:

Error experimental asociado a las constantes de tiempo experimental calculadas

…… [9]

Ahora pasaremos a realizar el análisis de los datos obtenidos en el laboratorio tanto para carga

como para la descarga del capacitor.

CARGA DEL CONDENSADOR

Utilizando los datos pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el proceso de carga

del mismo

Gráfico II-1: Voltaje del capacitor durante el proceso de carga en el tiempo


UNI-FIM | 6

Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la

ecuación [1]

Ahora se pasará a calcular el , para lo cual tenemos que reajustar los datos para

poder utilizar la regresión lineal definida mediante la ecuación [7].

Tabla II-1: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador

N° de toma de

datos

Voltaje (V) Tiempo (s)

FUENTEE (V)

(V) (V) (V) (adimensional)

1 0.02 0.00 12.17 2.50 2.50 0.00164

2 3.25 5.1.0 12.17 2.19 2.50 0.31068

3 4.42 7.41 12.17 2.05 2.50 0.45128

4 5.00 8.68 12.17 1.97 2.50 0.52907

5 5.89 10.47 12.17 1.84 2.50 0.66160

6 6.55 12.31 12.17 1.73 2.50 0.77264

7 7.16 14.40 12.17 1.61 2.50 0.88754

8 7.50 15.34 12.17 1.54 2.50 0.95781

9 8.23 18.09 12.17 1.37 2.50 1.12779

10 8.25 18.46 12.17 1.37 2.50 1.13288

11 8.78 20.60 12.17 1.22 2.50 1.27814

12 9.16 22.57 12.17 1.10 2.50 1.39703

13 9.79 26.25 12.17 0.87 2.50 1.63187

14 10.10 28.69 12.17 0.73 2.50 1.77143

15 10.47 31.75 12.17 0.53 2.50 1.96835

16 10.82 35.81 12.17 0.30 2.50 2.19887

17 11.05 39.19 12.17 0.11 2.50 2.38565

18 11.30 43.35 12.17 -0.14 2.50 2.63824

19 11.96 70.22 12.17 -1.56 2.50 4.05962

Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar

la pendiente de la recta determinada por la ecuación [7], la cual es el inverso del que estamos

buscando.


UNI-FIM | 7

Gráfico II-2: Regresión lineal para la determinación de RCexperiemental en el proceso de carga

Constante de tiempo para la carga aplicando la ecuación [7] es:

Constante de tiempo teórico del sistema:

Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la

ecuación [9]

Utilizando los datos provistos por la tabla de datos podemos determinar la variación de la

corriente de carga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son

proporcionales.


UNI-FIM | 8

Tabla II-2: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador y cálculo del

voltaje del resistor en el tiempo

N° de toma de datos

Voltaje capacitor (V)

Tiempo (s) FUENTE

E (V) Voltaje

resistor (V)*

1 0.02 0.00 12.17 12.15

2 3.25 5.1.0 12.17 8.92

3 4.42 7.41 12.17 7.75

4 5.00 8.68 12.17 7.17

5 5.89 10.47 12.17 6.28

6 6.55 12.31 12.17 5.62

7 7.16 14.40 12.17 5.01

8 7.50 15.34 12.17 4.67

9 8.23 18.09 12.17 3.94

10 8.25 18.46 12.17 3.92

11 8.78 20.60 12.17 3.39

12 9.16 22.57 12.17 3.01

13 9.79 26.25 12.17 2.38

14 10.10 28.69 12.17 2.07

15 10.47 31.75 12.17 1.70

16 10.82 35.81 12.17 1.35

17 11.05 39.19 12.17 1.12

18 11.30 43.35 12.17 0.87

19 11.96 70.22 12.17 0.21

*obtenido mediante la ecuación [3]

Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta

proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionado.


UNI-FIM | 9

Gráfico II-3: Voltaje del resistor durante el proceso de carga en el tiempo

DESCARGA DEL CONDENSADOR

Utilizando los datos de la tabla 02 pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el

proceso de descarga del mismo.

Gráfico II-4: Voltaje del capacitor durante el proceso de descarga en el tiempo


UNI-FIM | 10

Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la

ecuación [4].

Ahora se pasará a calcular el , para lo cual tenemos que reajustar los datos de la

tabla 02 para poder utilizar la regresión lineal propuesta mediante la ecuación [8].

Tabla II-3: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador

N° de toma de datos

Voltaje (V) Tiempo (s) FUENTE

E (V) (V) (V) (adimensional)

1 12.13 0.00 12.13 2.50 2.50 0.00000

2 10.54 2.75 12.13 2.36 2.50 0.14050

3 9.13 5.25 12.13 2.21 2.50 0.28412

4 8.88 5.66 12.13 2.18 2.50 0.31188

5 7.64 7.59 12.13 2.03 2.50 0.46228

6 6.99 9.00 12.13 1.94 2.50 0.55120

7 6.67 10.76 12.13 1.90 2.50 0.59806

8 6.18 11.28 12.13 1.82 2.50 0.67436

9 5.83 12.54 12.13 1.76 2.50 0.73266

10 5.62 12.35 12.13 1.73 2.50 0.76935

11 4.77 15.53 12.13 1.56 2.50 0.93334

12 4.02 17.97 12.13 1.39 2.50 1.10440

13 3.63 19.59 12.13 1.29 2.50 1.20645

14 3.16 22.07 12.13 1.15 2.50 1.34511

15 2.92 23.28 12.13 1.07 2.50 1.42410

16 2.53 25.25 12.13 0.93 2.50 1.56746

17 1.54 33.57 12.13 0.43 2.50 2.06390

18 1.09 39.65 12.13 0.09 2.50 2.40950

19 0.21 72.16 12.13 -1.56 2.50 4.05633

Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar

la pendiente de la recta determinada por la ecuación [8], la cual es el inverso del

que estamos buscando.


UNI-FIM | 11

Gráfico II-5: Regresión lineal para la determinación de en el proceso de descarga

Constante de tiempo para la carga aplicando la ecuación [8] es:

Constante de tiempo teórico del sistema

Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la

ecuación [9]

Utilizando los datos provistos por la tabla 02 podemos determinar la variación de la corriente

de descarga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son

proporcionales.


UNI-FIM | 12

Tabla II-4: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador y cálculo de voltaje del resistor en el tiempo

N° toma de datos

Voltaje capacitor (V)

Tiempo (s) Voltaje

resistor (V)*

1 12.13 0.00 -12.13

2 10.54 2.75 -10.54

3 9.13 5.25 -9.13

4 8.88 5.66 -8.88

5 7.64 7.59 -7.64

6 6.99 9.00 -6.99

7 6.67 10.76 -6.67

8 6.18 11.28 -6.18

9 5.83 12.54 -5.83

10 5.62 12.35 -5.62

11 4.77 15.53 -4.77

12 4.02 17.97 -4.02

13 3.63 19.59 -3.63

14 3.16 22.07 -3.16

15 2.92 23.28 -2.92

16 2.53 25.25 -2.53

17 1.54 33.57 -1.54

18 1.09 39.65 -1.09

19 0.21 72.16 -0.21

*obtenido mediante la ecuación [6]

Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta

proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionado.


UNI-FIM | 13

Gráfico II-6: Voltaje del resistor durante el proceso de descarga en el tiempo

RESULTADOS:

Podemos resumir los resultados del presente informe en la siguiente tabla:

Tabla II-5: Errores experimentales asociados a cada circuito analizado

Constante

de tiempo [s]

Constante de Error

tiempo [s] Error experimental [%]

[%)

Carga del capacitor 15.378 17.241 12.11

Descarga del capacitor 15.378 17.544 14.08

Los errores experimentales están muy por encima de lo permisible debido a que la placa de

pruebas, un circuito pre armado, el cual fue proveído para este experimento y en donde

estaban conectados tanto la resistencia, el capacitor y la fuente de poder fue mal construido ya

que agregaba al sistema una resistencia no deseada, adicional a los del resistor, de


UNI-FIM | 14

aproximadamente , lo cual dificultaba la tarea de análisis mediante los valores de R

y C teóricos y su comparación con los experimentales.

Hubo una toma de datos mucho más precisa en la carga del capacitor que en la descarga

del mismo, señalando esto, tanto las diferencias de errores de RC experimental entre

ambos procesos mostrados en la tabla 05 como las respectivas gráficas del voltaje del

capacitor en el tiempo (gráfico 1 y 4).

CONCLUSIONES:

Se corroboró que tanto en los procesos de carga y descarga del capacitor y la

resistencia la carga y la corriente tienen un comportamiento exponencial.

Se determinaron las ecuaciones que determinan el comportamiento de este

fenómeno mediante el uso de la segunda ley de Kirchoff y el cálculo infinitesimal.

Se determinó la constante de tiempo RC experimental en los procesos de carga y

descarga del capacitor, los cuales difieren en un porcentaje mucho más de lo

permisible debido a un incremento en la resistencia del sistema por una mala

construcción del tablero de pruebas utilizado en este experimento.

Se analizaron las gráficas de voltaje versus tiempo en los circuitos RC tanto en los procesos

de carga y descarga y se observó y confirmó la relación entre las ecuaciones que

determinan este fenómeno y el comportamiento del fenómeno en mismo.


UNI-FIM | 15

III. FUNDAMENTO TEORICO

CONDENSADORES

¿QUÉ TIPOS DE CONDENSADORES EXISTEN?

Existen muchos pero se dividen en fijas y variables:

Variables:

Gran público.

Profesionales.

Trimmers.

Fijas:

Cerámicos.

Plástico.

Mica.

Electrolíticos.

Condensador cilíndrico.

Condensador esférico.

¿QUÉ ES UN CONDENSADOR ELECTROLITO?

Lo principal de este condensador electrolito es conducir los iones entre el cátodo y el ánodo. Pero debe

de cumplir además una serie de requisitos adicionales como son:

o Compatibilidad química con el ánodo y el cátodo.

o Impermeable a los gases, permitiendo la separación del oxidante y del combustible.

o Estabilidad bajo condiciones reductoras y oxidantes.


UNI-FIM | 16

DEFINICIÓN

Un condensador, también llamado capacitor, es un elemento básico de circuito. En su versión más simple

consiste en dos placas metálicas paralelas entre sí, de área A, separadas una distancia d, por un material

aislante. Ver la figura 1

Figura III-1: Un capacitor de placas planas paralelas

En este caso, el aislante entre las placas es aire, pero puede ser cualquier material tal como plástico,

mica, papel, etc. siempre y cuando no sea un conductor.

Consideremos el caso de un capacitor C, conectado a una fuente de voltaje directo V, como una batería,

en serie con una resistencia R y un interruptor S. Al cerrar el interruptor la carga se transfiere

paulatinamente hacia las placas. Como consecuencia de esta transferencia de carga, el voltaje a través

de las placas aumenta proporcionalmente hasta igualar el de la batería. En cualquier momento la carga q,

almacenada en las placas del capacitor, es directamente proporcional al voltaje VC entre ellas, es decir, q

= VC. Esta relación de proporcionalidad se convierte en una ecuación cuando multiplicamos el voltaje VC

por una constante, precisamente, la llamada constante de proporcionalidad que, en este caso, es la

capacitancia del capacitor, C. De esta manera, la ecuación que define el comportamiento eléctrico del

capacitor es,

……………………………………………(1)

CAPACIDAD

Se define capacidad C de un condensador como la relación entre la magnitud de la carga Q de uno

cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial Vab entre ellos.

La capacitancia es la propiedad de un circuito eléctrico, o elemento del circuito, para retardar un cambio

en el voltaje que pasa a través de él. El retardo es causado por la absorción o liberación de energía y

está asociado con un cambio de la carga eléctrica.


UNI-FIM | 17

En la mayoría de los casos, los conductores suelen tener cargas de igual magnitud y signo opuestos, de

modo que la carga neta del condensador es nula. Entonces el campo eléctrico en la región comprendida

entre los conductores es proporcional a la magnitud de esta carga y por tanto la diferencia de potencial

Vab entre los conductores es también proporcional a la magnitud de carga Q.

De esta definición se deduce que la mitad de capacidad es el coulomb por volt (1C/V). Una capacidad de

un coulomb por volt en el Sistema Internacional (SI) se denomina farad (1F) en honor de Michael

Faraday. Como el farad es una unidad de capacidad grande se utilizan unidades de tamaño más

adecuado, como el microfarad (1μF= 10-6

F), el nanofarad (1nF=10-9

F) el picofarad (1pF=10-12

F).

Cuando se dice que un condensador tiene una carga Q, significa que la carga del conductor de mayor

potencial es Q y la de menor potencial es –Q.

CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR

En esta práctica se introduce el condensador como un elemento del circuito, y esto nos va a llevar a

considerar corrientes variables con el tiempo. Utilizáremos en nuestro estudio el circuito de la Figura 2, en

el que se tiene un condensador, de capacidad C, que puede cargarse y descargarse a través de una

resistencia R. Ambos elementos están conectados en serie a los bornes centrales de un conmutador

bipolar de doble conexión. Los bornes superiores de dicho conmutador están conectados a una fuente de

alimentación de potencia, que suministra una diferencia de potencial constante, V. Los bornes inferiores

del conmutador están conectados entre sí mediante un hilo de resistencia nula.

Figura III-2: Representación del circuito de carga y descarga de un condensador.


UNI-FIM | 18

Se considera que inicialmente el condensador está descargado. Cuando se pasa el Conmutador a la

posición "superior", el condensador se va cargando hasta que la diferencia de potencial entre sus

armaduras se iguala al potencial de la fuente. Si, una vez que el condensador ha adquirido carga, se

pasa el conmutador a la posición "inferior", el condensador se descarga través de la resistencia R. Ni el

proceso de carga, ni el de descarga son instantáneos, requiriendo ambos un tiempo que depende, según

veremos, de los valores de C y de R.

PROCESO DE CARGA

Representemos por la carga y por la intensidad de la corriente en el circuito en Función del

tiempo, contado a partir del momento en que se cierra el circuito conectando la batería (se coloca el

conmutador en la posición "superior"). Las diferencias instantáneas de potencial en la resistencia y el

condensador, , son: y

………………. (I)

Por tanto:

Donde V es constante. La intensidad i es entonces:

…………….. (II)

En el instante en que se efectúan las conexiones, cuando q = 0, la intensidad inicial es:

Que sería la intensidad permanente si no hubiera condensador.

Cuando la carga va aumentando, crece el término q/RC, y la intensidad disminuye hasta anularse

finalmente. Cuando i = 0, finaliza el proceso de carga y el condensador queda cargado con una carga

final Qf, dada por:

Para obtener las expresiones de q, i, Vac y Vcb en función del tiempo, derivemos la ecuación (II) respecto

al tiempo y sustituyamos por i. Así:

……… (III)

Por integración de (III) obtenemos e igualándola a

, mediante una segunda integración, se obtiene

. Una vez halladas y , las ecuaciones (I) dan . En las cuestiones, se demuestra

que:

…………………….. (IV)


UNI-FIM | 19

) ………………. (V)

De modo que tanto la intensidad como la carga son funciones exponenciales del tiempo. Las Figuras que

se muestran a continuación muestran las gráficas de las funciones (IV) y (V), respectivamente.

Obsérvese que debe transcurrir un tiempo infinitamente grande para que la intensidad se anule y el

condensador adquiera la carga final de equilibrio, ya que tanto la intensidad como la carga se aproximan

asintóticamente a dichos valores.

Figura III-3: Intensidad Vs Tiempo (izquierda) y Carga Vs Tiempo (derecha)

El producto RC, que aparece en el exponente, tiene dimensiones de tiempo (demuéstrese) y se

denomina constante de tiempo o tiempo de atenuación del circuito. Cuando transcurre un tiempo t =RC la

intensidad es:

De modo que la constante de tiempo representa el tiempo que tarda el condensador en adquirir el 63%

de su carga final de equilibrio:

El semiperíodo del circuito, th, es el tiempo necesario para que el condensador adquiera la mitad de su

carga final o para que la intensidad se reduzca a la mitad. Poniendo en (IV), se obtiene:

)


UNI-FIM | 20

En la figura 4 pasaremos a mostrar un diagrama de este circuito para comenzar con el análisis.

Figura III-4 Diagrama de circuito RC para la carga del capacitor

Partimos de un sistema en el cual el capacitor esta inicialmente descargado, como el interruptor no

cierra el circuito no existe corriente alguna en el sistema por lo que si definimos t=0 al cerrar el

interruptor, la carga comenzara a recorrer por el circuito estableciendo una corriente en el mismo y el

capacitor empezara a cargarse.

Este proceso de carga del capacitor terminara cuando el mismo se encuentre a la misma diferencia de

potencial que la mal llamada FEM E de la batería (debido a que la denominación fuerza electromotriz

no es correcta y a que en si no se está describiendo a una fuerza sino una diferencia de potencial

proveniente de la fuente) entrando en un estado estacionario al no existir corriente alguna recorriendo

ninguna de las ramas que contiene el capacitor.

Para describir cuantitativamente este proceso de carga que varía en el tiempo y en el cual la

resistencia R del resistor influye aplicamos la segunda ley de Kirchoff o ley de las mayas, el cual define lo

siguiente:

El cual señala que la suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos que

conforman un circuito cerrado debe ser igual a 0.

Mediante esta ley obtenemos lo siguiente:


UNI-FIM | 21

Donde E es la diferencia de potencial de la fuente, q/c la diferencia de potencial del capacitor e IR la

diferencia de potencial del resistor. Para la determinación de los signos utilizamos la manera

convencional, equívoca pero funcional de asignación de la dirección de la corriente, el cual señala que

esta tiene la misma dirección que el flujo de la carga positiva, por lo tanto al recorrer del extremo

derecho al izquierdo de la fuente tenemos un voltaje positivo, al recorrer del extremo inferior al superior

del capacitor tenemos un voltaje negativo y al recorrer el circuito en la misma dirección que la corriente

en el resistor el voltaje en el mismo es negativo teniendo el voltaje del circuito igual a 0 que necesitamos.

Tenemos que tener presente que tanto como representan valores instantáneos, ya que estos

dependen del tiempo en el cual sucede tanto la carga como la descarga del capacitor.

Ahora determinaremos los valores máximos tanto de la corriente como de la carga en el sistema. En

t=0 como mencionábamos la en el capacitor es igual a 0 por lo que al hacer la variación respectiva en

nuestra ecuación de la segunda ley de Kirchoff tenemos:

Es decir en el estado inicial, la diferencia de potencial presente en el resistor es la misma que en la

fuente y por lo tanto la corriente presente en este estado del circuito es máxima.

Ahora en el otro extremo, cuando la diferencia de potencial presente en el capacitor será la misma que

en la fuente y por lo tanto al no existir corriente (por ser despreciable por la tendencia al infinito en el

tiempo) la diferencia de potencial aplicada al resistor resultar ser 0 y entonces la segunda ley de Kirchoff

aplicada a nuestra malla es:

Es decir, la diferencia de potencial aplicada en el capacitor es la misma que la de la fuente y por ende la

carga del mismo es máxima.


UNI-FIM | 22

Ahora realizaremos un análisis de cómo varía la carga y la corriente en el tiempo en nuestro sistema

para lo cual expresaremos la malla en términos infinitesimales y resolvemos la ecuación diferencial

por variables separables y determinaremos la expresión final aplicando propiedades de logaritmos y

exponenciales.

Y finalmente obtenemos la expresión de la carga en función del tiempo reacomodando esta última línea,

llegando a lo siguiente:

Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga como el voltaje aplicado al

capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:

Para hallar la corriente del sistema en tenemos que derivar la carga respecto del tiempo:

…….. (1)


UNI-FIM | 23

Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje

aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:

Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor [1] y [2] de interés para el análisis tabular

de datos obtenidos es el siguiente:

En t=0 el voltaje de la ecuación (2) es V(0)=E, el mismo de la fuente de alimentación y el voltaje de

la ecuación (1) es V(0)=0, como es deducible, dándonos la siguiente ecuación:

PROCESO DE DESCARGA

Supongamos que el condensador haya adquirido una carga Q0 y que pasamos el conmutador a la

posición "inferior", de modo que pueda descargar a través de la resistencia R. Nótese que Q0 representa

la carga inicial en un proceso de descarga y que no es necesariamente igual a la Q f definida

anteriormente. Sólo si el conmutador ha permanecida en la posición "superior" un tiempo t>>RC será Q0

≈ Qf.

Representemos de nuevo por q la carga y por i la intensidad de la corriente de descarga en un cierto

instante contado a partir del momento en que se coloca el conmutador en la posición "inferior". Dado que

ahora no hay f.e.m. en el circuito (esto es V = 0) la ecuación (3) se escribe:

Y, en el instante de iniciarse la descarga, puesto que q = , la intensidad inicial es:

…….. (2)

…….. (3)


UNI-FIM | 24

Y a medida que el condensador se va descargando, la intensidad disminuye hasta anularse. El signo

negativo en las expresiones anteriores pone de manifiesto que la corriente de descarga va en sentido

contrario al indicado en la Figura 1.

Para obtener las expresiones de q, i, Vac y Vcb en función del tiempo, sustituyamos en i por e

integremos para obtener . Por derivación de respecto al tiempo se obtendrá y sustituyendo

estas funciones se tiene .

Se logra demostrar que:

De modo que, de nuevo, tanto la carga como la intensidad decrecen exponencialmente con el tiempo,

debiendo transcurrir un tiempo infinitamente grande para que el condensador se descargue totalmente.

En la página siguiente, las figuras inferiores muestran las gráficas de las funciones (4 y 5),

respectivamente.

Figura III-5: Representaciones de graficas de un proceso de descarga

Es fácil comprender que, en el proceso de descarga, la constante de tiempo del circuito, RC, representa

el tiempo que tarda el condensador en reducir su carga a un 37% de su valor inicial, esto es en perder el


UNI-FIM | 25

63% de su carga. El semiperíodo (th = RC ln2) representa el tiempo que tarda el condensador en reducir

su carga a la mitad.

Una vez terminado el proceso de carga del condensador pasaremos a analizar la descarga del mismo

en función del tiempo, para esto imaginemos que el condensador del circuito de la figura 4(cuyo

interruptor debe cerrar el circuito) ahora está totalmente cargado y no existe corriente alguna

en el sistema (lo cual es una consecuencia simplemente); entonces pasaremos a abrir el interruptor

y extraer del sistema la fuente de alimentación (todo esto se realiza mediante un selector, el cual es

comúnmente usado para que ahora el circuito cerrado comprenda solo el capacitor cargado y el

resistor original) resultando el diagrama de circuito siguiente:

Figura III-6: Diagrama de un circuito RC para la descarga del capacitor

Una vez que el circuito se encuentre cerrado por el interruptor comenzar a fluir corriente desde la

placa positiva inferior del capacitor hacia la placa superior negativa del mismo, descargándose, pero a la

vez esta corriente pasa a través del resistor por lo cual nuestra malla para este sistema es:

Tanto los valores de q como los de I son instantáneos, para ahora analizar la variación de la carga en el

tiempo, expresamos la malla en términos infinitesimales de carga y mediante variables separables y

propiedades de los logaritmos y exponenciales resolver la ecuación diferencial.


UNI-FIM | 26

Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga como el voltaje aplicado al

capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:

Para hallar la corriente del sistema tenemos que derivar la carga respecto del tiempo:

El signo menos en esta expresión no indica que la corriente es negativa, lo cual no existe, sino que la

dirección de la corriente es inversa a la del proceso de carga del capacitor.

Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje

aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:

…….. (4)


UNI-FIM | 27

Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor [4] y [5] que es de interés para el análisis

tabular de los datos obtenidos es el siguiente:

GRÁFICA DE CARGA Y DESCARGA

Considérese el circuito en serie de la figura. Inicialmente el condensador está descargado. Si se cierra el

interruptor I la carga empieza a fluir produciendo corriente en el circuito, el condensador se empieza a

cargar. Una vez que el condensador adquiere la carga máxima, la corriente cesa en el circuito.

Grafica Intensidad vs Tiempo.

Grafica Carga vs Tiempo.

Figura III-7: Grafica de la carga y descarga de un circuito RC.

Figura III-8: Gráfica del voltaje y la intensidad versus el tiempo.

Estás gráficas serán las que debemos obtener en el osciloscopio durante la experiencia.

…….. (5)

…….. (6)


UNI-FIM | 28

CONSTANTE DE TIEMPO

Podemos observar que en todas las expresiones hasta ahora desarrolladas se encuentra un

término muy particular, el cual nos indica que si el tiempo llegará a ser igual a RC los procesos

de carga y descarga tendrían el del Valor máximo de la corriente máxima en el caso de

la carga del capacitor, y de la carga máxima y la corriente máxima en el caso de la descarga del

capacitor y el del valor máximo de la carga máxima del capacitor en el proceso de carga

del mismo. A este término RC [en segundos] que acabamos de mencionar y utilizar para este análisis,

se le conoce como la constante de tiempo.

LEY DE LOS NODOS O LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF

Figura III-9: Un nodo por donde entran y salen corrientes.

“En todo nodo, donde la densidad de la carga no varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes

entrantes es igual a la suma de corrientes salientes.”

Un enunciado alternativo es:

En todo nodo la suma algebraica de corrientes debe ser 0 (cero).

http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:KCL.png


UNI-FIM | 29

LEY DE LAS "MALLAS" O LEY DE TENSIONES DE KIRCHOFF

Figura III-10: Una malla cualquiera de un sistema estudiado.

“En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la suma de todas las subidas de

tensión.”

Un enunciado alternativo es:

En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico debe ser 0 (cero).

CIRCUITOS RC

En los circuitos RC (resistor R, condensador C) .Tanto la corriente como la carga en el circuito son

funciones del tiempo. Como se observa en la figura: En el circuito cuando el interruptor está en la

posición 1. La diferencia de potencial establecida por la fuente, produce el desplazamiento de cargas en

el circuito, aunque en verdad el circuito no está cerrado (entre las placas del condensador). Este flujo de

cargas se establece hasta que la diferencia de potencial entre las placas del condensador es V, la misma

que hay entre los bornes de la fuente. Luego de esto la corriente desaparece. Es decir hasta que el

condensador llega al estado estacionario.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e3/KVL.png


UNI-FIM | 30

Figura III-11: Circuito RC

Al aplicar la regla de Kirchoff de las mallas cuando el interruptor está en la posición 1. Tomando la

dirección de la corriente en sentido antihorario:

0q

V iRC

De la definición de

. Al reacomodar (2) obtenemos:

dqq VC RC

dt

Invirtiendo:

dq dt

q VC RC

Para hallar la carga en función del tiempo tomamos en cuenta las condiciones iniciales. En y

en . Entonces:

' '

0 0

q tdq dt

q VC RC

Equivalente a:

'

0ln( )

q q

q

tq VC

RC

ln(1 )q t

VC RC

Tomando exponencial:

1t

RCq

eVC

………………………………………. (2)


UNI-FIM | 31

Por lo tanto la función de carga es:

( ) (1 )t

RCq t VC e

En donde VC representa la carga final cuando t . Y al derivar respecto del tiempo se obtiene la

corriente en el circuito:

( )

t

RCV

i t eR

Aquí

representa la corriente inicial en el circuito.

Las ecuaciones (3) y (4) representan las funciones de carga e intensidad de corriente durante la carga del

condensador.

Al obtener las dimensiones de

(Como debería ser). Entonces se define la

constante de tiempo , o tiempo de relajación como:

RC

Según las graficas de la figura 12 se observa, que a mayor valor de RC el condensador tardara más en

cargarse:

( ) (1 )

t

RCq t VC e

( )t

RCV

i t eR

Figura III-12: Carga Vs Tiempo (izquierda) e Intensidad Vs Tiempo (derecha)

………………………………………. (3)

…………………………. (4)

……………………………..………………………………… (5)


UNI-FIM | 32

Al conectar el interruptor S en la posición 2, vemos que el circuito se compone solo de la resistencia y el

condensador, entonces si tomamos el mismo sentido de la corriente antihorario, de (2) tenemos que:

0

qiR

C

Reordenando:

dqq RC

dt

Entonces:

dq dt

q RC

Para este caso hallar la función de carga, las condiciones iniciales son que para un cierto tiempo t = t 1, q

= q0 = VC; y para otro tiempo t = t’ q = q’. Integrando:

0 1

' 'q t

q t

dq dt

q RC

1

0

( )ln( )

t tq

q RC

Entonces de aquí se obtiene la función de carga:

1( )

( )

t t

RCq t VC e

En donde al derivar q (t) respecto del tiempo la corriente será:

1( )

( )

t t

RCV

i t eR

(1.7)

El signo negativo indica que la corriente es en el sentido opuesto al que se tomo en (5). Al analizar los

límites vemos que: y , también

, . Según

las graficas para este caso vemos que la carga almacenada en el condensador se disipa, durante la

descarga del condensador:

…………………………………………………...……………………………… (6)

…………………………………………………...……………………………… (7)


UNI-FIM | 33

1( )

( )

t t

RCq t VC e

1( )

( )

t t

RCV

i t eR

Figura III-13: Carga Vs Tiempo e Intensidad Vs Tiempo

En este laboratorio se estudiara el proceso de carga y descarga de un condensador en un circuito RC.

Para lo cual usaremos un generador de onda cuadrada, el cual hará las veces de un interruptor que se

enciende y se apaga solo, como en la figura 14:

Figura III-14: Voltaje Vs Tiempo

Para lo cual el periodo de la onda debe ser T debe ser mucho mayor que la constante para el circuito

estudiado.


UNI-FIM | 34

IV. PARTE EXPERIMENTAL

MATERIALES Y EQUIPOS

UN OSCILOSCOPIO ELENCO: S1-1325.

UN GENERADOR DE FUNCIÓN ELENCO:

GF-8026.

UN MULTIMETRO DIGITAL.

UNA CAJA CON CONDENSADORES Y

RESISTENCIAS.

CABLES DE CONEXIÓN.

2 3 4 5 1

Donde:

1: Resistencia 1 2: Resistencia 2 3: Resistencia 3 4: Condensador 1 5: Condensador 2


UNI-FIM | 35

PROCEDIMIENTO

1. Poner en operación el osciloscopio y el generador de función.

Figura IVV-1: El osciloscopio y el generador prendidos.

2. Se usara la salida TTL del generador de función. Variar la frecuencia de la onda

cuadrada hasta obtener 250 Hz.

Figura 0V-2: Variación de la frecuencia de la onda hasta obtener 250 Hz.


UNI-FIM | 36

3. Conectar el generador de onda al canal 1(conexión 12) del osciloscopio, usando un

cable con los dos terminales coaxiales.

Figura 0V-3: Conexión de un cable con los dos terminales coaxiales al canal 1 del generador de onda.

4. El control 28 del osciloscopio debe estar en 0.5 ms/div; el control 13 en 2 o en 5 V/div

y el control 30 en posición “afuera”.

Figura 0V-4: Controles del osciloscopio, usados para una adecuada visualización.


UNI-FIM | 37

5. Verificar que un periodo completo de la onda cuadrada ocupa 8 dimensiones

horizontales y varíe la amplitud en el generador hasta que el voltaje de la onda

cuadrada sea de 10V.

Figura 0V-5: Onda cuadrada calibrada según los requerimientos.

6. Usando los elementos R1 y C1 de la caja de condensadores, establecer el arreglo

experimental de la figura 5.

Figura 0V-6: Circuito para determinar Vc y Vr vs t.


UNI-FIM | 38

7. Moviendo alternativamente el control 21 a CHA y CHB usted puede tener los gráficos

de Vc vs t y VR vs t.

Figura 0V-7: Gráficos para la carga y la intensidad respecto al tiempo en el osciloscopio

8. Recuerde que Vc es proporcional a la carga del condensador y VR es proporcional a la

corriente en circuito RC, así que lo que usted tienen la pantalla son en realidad

gráficos de carga vs tiempo y de corriente vs tiempo como las figuras mostradas en la

parte inferior.

9. Usando el control 13 y el control 11 logre que la curva Vc vs t ocupe 5 cuadraditos

verticalmente.

Figura 0V-8: Precisando de que la curva ocupe los 5 cuadritos.


UNI-FIM | 39

10. Usando el control 25 trate que el grafico Vc vs t permanezca estacionario

Figura 0V-9: La curva se mantiene en posición estacionaria.

11. Mida el tiempo τ en el cual el voltaje a través del condensador va de 0.063 V0 en la

curva de carga ( V0 es el voltaje máximo que alcanza el condensador)

12. Mida el tiempo en el cual el voltaje a través del condensador va de V0 a 0.37V0, en la

curva de descarga del condensador.

13. Cambie el control 21 a CHB y observe la corriente en función del tiempo.

Figura 0V-10: Observación de la corriente en función del tiempo al cambiar el control 21 CHB

14. Mida el tiempo en que la corriente decae a 37% de su valor inicial.


UNI-FIM | 40

15. Jale hacia fuera el control 16 y coloque el control 21 en posición ADD, se observara la

onda cuadrada ¿por qué?

Figura 0V-11: Observación de la onda cuadrada

16. Mida con un multímetro digital el valor en ohmios de las resistencias que ha usado en

el circuito RC. Usando el valor de τ obtenido experimentalmente y la relación τ = RC

determine el valor de la capacitancia.

Figura 0V-12: Medición de resistencias y capacitancias.

17. Use la resistencia R1 y el condensador C2, y repita los pasos del 7 al 16.


UNI-FIM | 41

Figura 0V-13: El circuito armado para la resistencia 1 y condensador 2.

18. Repita los pasos del 7 al 16 usando las combinaciones posibles de resistencia y

condensadores dados en la caja.

19. Apague el osciloscopio y el generador por un momento y trate de resolver con lápiz y

papel el siguiente problema

Figura 0V-14: Esquema del circuito RC.

En 1:

a) I0 = V0/R1


UNI-FIM | 42

b) t >>0

De:

=>

Como

I (t) grande=0

V0=If (R1+R2)

If = V0/ (R1+R2)

c) II ii22 == --VV00//RR11

IIff22==00

d) Vimax = Vic = V0.R2/R1+R2

20. Monte el circuito de la figura inferior y verifique experimentalmente sus respuestas al

problema planteado en 19, use un valor de voltaje para onda cuadrada de 10v.

Figura 0V-15: Circuito para los condensadores y resistencias usados en la experiencia.


UNI-FIM | 43

V. RESULTADOS

RESPUESTAS AL CUESTIONARIO

1. Encuentre los valores de las capacitancias de los condensadores usados y

compare con la capacitancia dada por el fabricante.

CONDENSADOR C1

Gráfico V-1: Carga vs. Tiempo (C1-R1).

Del gráfico:

Hallamos Capacitancia (C1):


UNI-FIM | 44

Gráfico V-2: Carga vs. Tiempo (C1-R3)

Del gráfico:


CONDENSADOR C2



UNI-FIM | 45

Del gráfico:



Del gráfico:



UNI-FIM | 46

Tabla V-1: Comparación entre los diversos condensadores usados.

R(KΩ) f(Hz) experimental (ms) C obtenido( ) C nominal ( )

R1=10.02 253 0.33 32.934 C1=32.4

R1=10.02 253 0.125 12.475 C2=10.8

R3=2.56 253 0.0843 33.739 C1=32.4

R3=2.56 253 0.025 10.162 C2=10.8

2. ¿Podría usar un frecuencia de 100 Hz en lugar de 250 Hz, para hallar el tiempo

de de los circuitos RC que usted ha analizado en este experimento? ¿Por

qué?

Al disminuir la frecuencia de la onda cuadrada aumentamos su período, lo cual haría

que el voltaje varíe de 0 a V más lentamente, si con 250 Hz se podían ver las gráficas

Q vs. t y I vs. t, aumentar el periodo solo haría que las graficas se alarguen respecto al

eje de abscisas. Pero como la pantalla del osciloscopio era angosta esto no sería de

mucha utilidad.

3. Escriba los valores de R1, R2 y C usados en el paso 20 del procedimiento.

R1=10.02, R2=2.56, C=32.4

4. ¿Cuáles son los valores de corriente mínima y máxima durante la carga del

condensador que usted observa en el paso 20 del procedimiento?, según sus

cálculos, ¿Cuáles deberían ser esos valores?

El I0salio el mismo que el teórico.

Reemplazando en la ecuación encontrada en el paso 19:

I0= V0/R1, reemplazamos

Entonces: I0 = 10V/10.02KΩ I0 =9.98x10-4 A


UNI-FIM | 47

Ahora el salió un poco mayor por la grafica un aproximado de 8x10-4

A

pero debería salir: If = V0/ (R1+R2) (teórico)

If =10V/ (10.02+2.56) KΩ If = 7.94x10-4 A

5. ¿Cuáles son los valores de corriente mínima y máxima durante la descarga del

condensador que usted observa en el paso 20 del procedimiento?, según sus

cálculos, ¿Cuáles deberían ser esos valores?

Según el grafico salió

Aproximando de acuerdo con el grafico- 9x10-4A

(Tres cuadritos del osciloscopio, y cada cuadrito estaba en escala y valía 10-3)

Pero debería salir

Ii2 =- V0/R1 Ii2 = -10V/10.02=-9.98x10-4 A (negativo pues va en sentido contrario al de la

carga del capacitor)

If2=0


UNI-FIM | 48

VI. DISCUSIÓN DE DATOS

Como observamos en los resultados de la tabla 6.1 las capacitancias halladas

experimentalmente son menores a la capacitancia nominal esto es debido a que la

capacitancia obtenida depende del tiempo experimental de carga y descarga y de la

resistencia de la siguiente forma:

RC ALEXPERIMENT

OBTENIDA

Y como el tiempo de carga experimental es menor al real entonces Cobtenido es menor que el

Creal.

De los resultados obtenidos en la tabla 6.1 de capacitancias y de resistencias y de τ se ha

demostrado experimentalmente la relación matemática siguiente:

De las tablas V vs T se concluye que para el periodo de carga del condensador estas

magnitudes son proporcionales y para la descarga del condensador son inversamente

proporcionales.

Los datos obtenidos son muy cercanos a los hallados por el multímetro esto es debido a

que este experimento acarrea pocos errores de medición.

Finalmente con los datos obtenidos experimentalmente hemos demostrado las

ecuaciones ideales de la carga, la corriente y el voltaje tanto en el periodo de carga como

el de descarga.


UNI-FIM | 49

VII. CONCLUSIONES

A partir de las observaciones, los datos y el análisis de los fenómenos físicos realizados en el

laboratorio se puede concluir que:

Tanto el proceso de carga y descarga de un condensador tiene comportamiento

exponencial.

Cuando se inicia el proceso de carga, el capacitor está vacío, por lo tanto no hay corriente

a través de él, entonces toda la caída de voltaje aparece en el resistor, por ello se dice que

cuando la carga es cero, la corriente será máxima a través de la resistencia. Luego de

cierto tiempo, la corriente es cero en el resistor y por lo tanto la carga es máxima y se

encuentra almacenada en el capacitor.

Para el caso de la descarga, el capacitor actúa como fuente de voltaje con su diferencia de

potencial Q/C y una diferencia de potencial cero a través del resistor ya que la corriente es

cero para t=0, así la carga es máxima en este instante y su valor empieza a decrecer hasta

que tiende a cero luego de cierto tiempo.

Gracias a los cálculos del paso 1, hemos demostrado que el valor aproximado del tiempo

de relajación es: τ = RC, lo cual también verifica el hecho de que al aumentar la resistencia,

vemos que el tiempo de relajación también aumenta.

Realizar la experiencia con una frecuencia de 250 Hz permite obtener un tiempo de carga

apreciable en el osciloscopio. Si usáramos 100 KHz el tiempo de carga sería demasiado

pequeño, lo que complicaría el análisis y los cálculos.

En el aspecto matemático, las ecuaciones que describen este comportamiento se obtienen

mediante el uso de la segunda ley de Kirchoff y el cálculo infinitesimal.


UNI-FIM | 50

VIII. SUGERENCIAS

Escuchar y considerar las indicaciones que brinda el profesor entes de realizar las

experiencias.

Ante la duda, no realizar procedimientos al azar, es mejor consultar al profesor.

Verificar las conexiones antes de encender los equipos.

Calibrar con cuidado y de manera adecuada los controles del osciloscopio y

demás equipos, para obtener mejores resultados.

Cuidar de no sobrepasar la capacidad de los materiales con voltajes muy altos.

Tomar fotografías a todos los gráficos que vamos obteniendo en el osciloscopio.

Comparar los valores experimentales con los teóricos para verificar la validez de

los mismos.


UNI-FIM | 51

IX. AGRADECIMIENTO

Para desarrollar el presente informe agradecemos la colaboración de nuestros profesores

de teoría y/o práctica.

En primer lugar al Dr. José Venegas Romero por guiarnos paso a paso en el desarrollo de

la experiencia, en el laboratorio para que todo se realice correctamente, al Ing. Eduardo

Caballero Torres, por los comentarios realizados en clase sobre el tema de este informe,

a si como también el apoyo condicional de cada uno de nuestros compañeros y el

servicio prestado por la facultad de ciencias al permitir realizar nuestros laboratorios ya

que la nuestra no cuenta con uno propio.


UNI-FIM | 52

X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. Sears, F.; Zemansky, M.; Young, H.; Freedman, R.: FISICA UNIVERSITARIA. vol. II. Undécima

edición: México. Pearson ed. 2004.

2. Facultad de ciencias de la Universidad nacional de ingeniería. MANUAL DE LABORATORIO

DE FISICA GENERAL. 3ra ed. FC UNI .2007. Paginas: 131-136.

3. Taylor, John, “Introduction to Error Analysis”. 75-79, 1997.

4. Serway. “Física para ciencias e ingeniería”, VII, Quinta edición. Ultra S.A. de C.V.2001

5. David Halliday, Física. vol. II, editorial continental, México. 2004.

Fin All 3

Documents

condensador y

condensador en circuito

datos y discusin

resumen en

equipo en

medirla resistencia

materiales y equipos

circuito rc usando