-
Le velocità v delle particelle d’acqua nei terreni sono talmente
basse che
variabile ‘causa’ = quota piezometrica [L] =
2
2w
u vHg
ζγ
= + +
w
uh Hζγ
= + ≈
Approccio fenomenologico:1. individuazione variabili fisiche
‘causa’ ed ‘effetto’ caratterizzanti il fenomeno
(verifica analogie e differenze con il moto idraulico in
condotte e canali)2. studio legame fisico-meccanico tra cause ed
effetti macroscopici
h = quota di risalita dell’acqua in un tubo (piezometro)
inserito in un punto del sottosuolo
Moto dell’acqua nelle Terre: la quota piezometrica
Scelta della variabile ‘causa’
idraulica delle condotte ⇒ carico idraulico totale [L] =
0ζ =
w
uγ
ζ
Filtrazione1
-
VQt
∂=∂
( )n n
Q QvA nA∂ ∂
= ≈∂ ∂
Scelta della variabile ‘effetto’
idraulica delle condotte ⇒ portata filtrante [L3T-1]
Nel mezzo poroso si potrebbe considerare:
portata per sezione netta = velocità media [LT-1]
Scelta più pratica:
variabile ‘effetto’ = velocità di flusso [L T-1]
v = portata filtrante attraverso una sezione unitaria di
scheletro solido
nv
v
Moto dell’acqua nelle Terre: la velocità di flusso
nn
Q Qv n nvA A
∂ ∂= ≈ =∂ ∂
Filtrazione2
-
Esperienza di d’Arcy (o Darcy)
In condizioni di flusso stazionario e monodimensionale:
Q hv k k iA L
= = =
k = conducibilità idraulica (o coefficiente di permeabilità) [L
T-1] (costante dipendente da caratteristiche del fluido e del mezzo
poroso)
i = gradiente idraulico (o cadente piezometrica)
[adimensionale]
i 1
L
A
h
La legge di Darcy vale nella quasi totalità dei problemi
geotecnici,ad eccezione i casi in cui il numero di Reynolds è molto
alto (forti gradienti idraulici, porosità elevate; p. es. nelle
rocce fratturate).
permeametroLes fontaines publiques de la ville de Dijon(Darcy,
1856)
Filtrazione3
http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF30300204
-
Altra esperienza significativa… Teton DamFiltrazione4
-
Generalizzando nelle tre dimensioni, per un mezzo continuo ed
anisotropo:
{ } [ ] { } [ ] ( ) v k i k grad h= = −
{v} = velocità di filtrazione (vettore)h = carico idraulico
(scalare)
[k] = tensore delle permeabilità (matrice)(kij = componente di
velocità lungo la direzione i prodotta da un gradiente unitario
negativo lungo j)
3
1i ij
j j
hv kx=∂
= −∂∑
• Sistema (x,y,z) = assi principali di permeabilità ⇒
x x
y y
z z
hv kxhv kyhv kz
∂= − ∂
∂ = − ∂ ∂
= −∂
• Legge di resistenza del mezzo isotropo (kx = ky= kz = k) ⇒ { }
( ) grad v k h= −
Legge di resistenza del moto di filtrazione
⇔
Filtrazione5
-
Condizione di continuità in un mezzo omogeneo e isotropo
Condizione di continuità della massa di fluido in un elemento di
volume:
massa fluido entrante nel volume elementare = ∆(fluido
interstiziale)
( )y w rx zw
v nSv vdx dydz dy dxdz dz dxdy dt dzdxdy dtx y z t
ρρ
∂ ∂ ∂ ∂− ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂
Ipotesi del moto di filtrazione ‘stazionario’:
mezzo stabilmente saturo ⇒ Sr = 1fluido incomprimibile ⇒ρw =
cost. ⇒ ©
scheletro solido indeformabile ⇒ n = cost.
dzdx
dy
xx
vv dxx
∂+∂
zz
vv dzz
∂+∂
yy
vv dy
y∂
+∂
x
zy
zv
xv
yv In genere:
massa d’acqua in ingresso≠
massa d’acqua in uscita
{ } 0div v =
Filtrazione6
-
Condizione di continuità + Legge di resistenza { }
{ }
−⋅==
)h(gradkv0vdiv
Introducendo la nella : { }( ) 0 div grad h = ⇒ (equazione di
Laplace)
Graficamente il campo di moto è descritto da:• Superfici
isopieziche = superfici ‘equipotenziali’, dove h è costante • Linee
di flusso = curve inviluppo vettori velocità (ortogonali alle
isopieziche)
Proprietà delle due famiglie di curve:
• la quota piezometrica decresce lungo una linea di flusso
• lungo un ‘tubo di flusso’ (superficie generata da linee di
flusso) la portata è costante
• non c’è flusso lungo una superficie isopiezica
hh ∆+
hh ∆−h
cosq v A t= ⋅∆ =
Filtrazione stazionaria in un mezzo omogeneo e isotropo
2 0h∇ =
Filtrazione7
-
∆s
Problemi di filtrazione piana e reti idrodinamiche
In un problema piano (vy = 0):
• superfici → linee isopieziche• il moto è completamente
descritto dalla c.d. rete idrodinamica, costituita
da due famiglie di curve ortogonali (isopieziche e linee di
flusso) tracciate rispettando le ‘condizioni al contorno’ per h e
v
Nella maglia elementare ∆s ⋅ ∆a, la portata è data da
nhq v a k i a k as
∆∆ = ∆ = ∆ = ∆
∆
(∆s = distanza tra due linee isopieziche, ∆a = distanza tra due
linee di flusso = sezione tubo)
superficie piezometrica = 1a isopiezica
h-∆h
h+∆h
h∆a
v || superficie impermeabile
Filtrazione8
-
Calcolo di portata e pressioni interstiziali
Tracciando una rete a maglie quadre (∆s ≈ ∆a) compatibile con le
condizioni al contorno:
= aq k h k hs
∆∆ = ∆ = ∆
∆costante lungo ogni tubo di flusso
⇒∆q = costante in ogni tratto di tubo di flusso tra due
isopieziche⇒∆h = perdita di carico tra due isopieziche = costante
nell’intera rete
H = variazione totale di carico idrauliconh = numero di campi
tra le isopieziche h
Hhn
⇒∆ =
H qq q qh h
nQ n q n k h n k kH
n n= ∆ = ∆ = =
( )wu hγ ζ= −
• Calcolo portata filtrante Q(nq = numero di tubi di
flusso):
• Distribuzione pressioni interstiziali u:
H12
12
qn
hn
k
Filtrazione9
-
Tipologia dei problemi in relazione alla variazione nel
tempo)
Nei problemi di filtrazione, l’analisi del problema idraulico è
disaccoppiabile da quella statica
In base alla variabilità spazio-temporale delle condizioni al
contorno, si classificano in:
• Flusso stazionario(condizioni al contorno e dominio di
saturazione invariabili nel tempo)
• Flusso transitorio(condizioni al contorno e/o dominio di
saturazione variabili nel tempo)
Es. aggottamento da fondo scavo
Es. risalita acqua in piezometro/pozzo
H = cost.
t
Filtrazione10
-
• Flusso non confinato(contorno variabile col dominio di
saturazione)
• Flusso confinato(contorno indipendente dal dominio di
saturazione)
Es. traversa in muratura
Es. diga in terraH
Tipologia dei problemi in relazione alle condizioni al
contorno
H
Filtrazione11
-
Gli effetti dei moti di filtrazione nei terreni saturi hanno
segno diverso a seconda del verso (concorde o discorde) del flusso
rispetto alle azioni gravitazionali litostatiche e idrostatiche
Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione
(caso 1D)
1. Fluido in quiete ⇔ quota piezometrica costante
( )
( ) cost.
( ) ; ( )
w
v mw
v sat v v
u z zuh z h h z
z z z u z
γ
ζ ζγ
σ γ σ σ γ
=
= = = + = + =
′ ′= = − =
Filtrazione12
-
2. Fluido in moto verso il basso ⇔ quota piezometrica
decrescente con z
Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione
(caso 1D)
( )( )( )( )( ) 0
m m
w w m m w w
v sat
v w
v w
h z h iz hu z γ (h ζ) γ (h iz h z) γ z γ izσ z γ zσ z γ z γ izΔσ
z Δu γ iz
= − <= − = − − + = −=
′ ′= +′ = − = >
Filtrazione13
-
3. Fluido in moto verso l’alto ⇔ quota piezometrica crescente
con z
( )( )( ) ; ( )( ) 0
v v
w w v v w w
v sat v w
v w
h z h i z hu z γ (h ζ) γ (h i z h z) γ z γ i zσ z γ z σ z γ z γ
i zΔσ z Δu γ i z
= + ⋅ >= − = + ⋅ − + = + ⋅
′ ′= = − ⋅′ = − = − ⋅ <
Modifiche di stati tensionali indotte da moti di filtrazione
(caso 1D)
La filtrazione in direzione verticale aggiunge alle tensioni
efficaci litostaticheuna variazione γwiz (forza di trascinamento)
concorde con il verso del moto
Filtrazione14
-
Filtrazione in mezzo stratificato (Caso 1D)
1 2
1 21 2 1 2
1 2
h h hh hQ Q k k
L L
∆ = ∆ + ∆
∆ ∆ = ⇒ =
2 11
1 2 2 1
1 22
1 2 2 1
k Lh hk L k L
k Lh hk L k L
∆ = ∆ +⇒ ∆ = ∆ +
k1 = k2 i1 = i2k1
-
1 2
1 2
,1 ,2 ,1 ,20 0 0
' 2
L L Lv w w
zed ed ed ed ed edL L
h L h Lu u uw dz dz dz dz dzE E E E E Eσ γ γε ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆= = = −
= − − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Es.: subsidenza (cedimento del piano di campagna) indotta da
emungimento da un acquifero
Fenomeni deformativi prodotti da moti di filtrazione:
subsidenza
Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione verso
il basso producono:
• aumento delle tensioni efficaci (→ cedimenti)
1
2
1 2
h∆
h
z
1L
2L
L
, ,uσ σ ′
12
21≡
2u
v w hσ γ′∆ = ⋅∆
1vσ ′
Filtrazione16
-
'm c
w
i i γγ
< =
1u 1u
wγ
' ( ) ( ' )
v sat
w w
v v sat w w w
zu z i z
u i z i z
σ γγ γ
σ σ γ γ γ γ γ
== += − = − − = −
'c
w
i i γγ
= =
Es.: sifonamento (sollevamento fondo scavo) indotto da
filtrazione lungo una palancola in un terreno a grana grossa
(incoerente)
per
⇓collasso per sifonamento
⇓annullamento delle σ’ (σ’v=0 ∀z)
1
21≡
, ' ,v v uσ σ
2
0'v →σ
Fenomeni di instabilità prodotti da moti di filtrazione:
sifonamento
Le forze di trascinamento indotte dai moti di filtrazione verso
l’alto producono:
• diminuzione delle tensioni efficaci (→ collasso)
(gradiente critico)
1 0h =
Hhim
∆=2h h= ∆
2u2u
2u
Criterio di Terzaghi H
2H
1
2
Filtrazione17
-
,
w
w
w w
k k k
k
γµ
γ µ
=
==
In linea di principio si potrebbe esprimere come :
permeabilità assoluta, dipende solo dal solido porosopeso
specifico e viscosità del fluido
Il coefficiente di permeabilità
Il coefficiente di permeabilità (o conducibilità idraulica k)
non è un parametro ‘intrinseco’ del terreno
in quanto dipende anche dal fluido e dallo stato del terreno
stesso.
I principali fattori che influenzano k sono quindi:• per il
fluido la temperatura (da cui dipendono γw e µw)• per il solido la
granulometria (influenza dimensione e tortuosità degli
interstizi)
L’ influenza della granulometria è riflessa dalla relazione
empirica per sabbie uniformi:
(Hazen, 1911)
(k in cm/s, c = 0.4 ÷ 1.2, D10 in mm)che evidenzia la dipendenza
di k soprattutto dalla dimensione dei granuli più fini!
210k c D= ⋅
Hanno influenza su k anche: - la microstruttura (k decresce con
l’attività mineralogica) - la porosità (per un dato terreno)
Espressione di Kozeny – Carman:3
2 1w
w
eke
γαµ
= ⋅ ⋅Σ +
(α = funzione della microstruttura, Σ = superficie specifica, e
= indice dei vuoti)
Filtrazione18
-
Valori tipici del coefficiente di permeabilità
Terreni sabbiosi
k > 10-4 cm/s
Terreni argillosi
k < 10-7 cm/s
Terreni limosi
10-7