Top Banner
18

Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

Jan 24, 2023

Download

Documents

Gilles KERYER
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

����� ��� �� � ����� ������� ������� ������� �� ������ ���

���������� �� � ���� ����� ������� �� �� ������������ � �������� �� ��������� � ���������

�������� �������� ��� ����� �! �"#� ����#�� �� #�$�

�%�����#&��� '� �#&�� ��#�((�

�������� )� #�*�+��*� ��&��*�#�" *��'��� ��� � �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'��� ���(��$�� �(#�" � "������ ,���'�&- (�#�" #�����&�� #� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$���#���#��( #� ,���'�&- (���(#(. ��� / � �(��( ��� ,���'�&-(� ����� ��� 0 � ���� 1�� �1� 2�&�((��� ��� (�3#&#�� ���- &���##��( ��� (�**�#��� (�4#�" � ����"����((�� ,���'�&- #( (�3#&#���� "������ #� ����� � (��$� �(� *��'���( ,�� "������#5�� �����#&(�)� ��6�##��( �, ,���'�&- �, � 6�( *�� �, � *�*�� ��� �7����� ,�� &��(#���#�" ��#(��'�� &�(�� #���� � &�(� 4��� �����#&( ��� #�8���&�� '� �#(��'��&�(� ��� &��((#&�������#&(� ��( &������� &��(#����� #� � �#������� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&- #( #� ,�&�#& ����" ,�� (��$#�" �(� *��'���(� )#( -#�� �, ,���'�&-� 4#& #( #� '�4��� � (�#&��� � "������ �����#& ,���'�&-� ���( �� ��9�#�� � #��"��#�� �, ��� �#3����#�� �9��#���

�� �����#&( �':�& %��((#6&�#��. �;+0�� �;<��� �;<�0� �;<��� �;% 0� �;% �� �=0��

� ������������

)� *�*�� #( �� �**�#&�#�� �, � ��(��( �, � ;� 4#& �( *��(���� � ���� �,,���'�&- (���(#( #� � �#3����#�� ��"�'��#& ,����4��-� >� (�4 � �����#&����"����( ,���'�&- #( �#& ����" � (��$� ��( �, � (��&���� (���(#(*��'���(� �(����� �����((�� #� � &���7 �, �����#& (�� ,���'�&- ���� ;��� ���� � &����(*���#�" (���#��( &�� ��4��( '� �-�� �( (�� ,���'�&-� �����$���#, ��� ���� &��(#���( &��((#&�� �����#&(� � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-� � (�#&(�'&��(( �, �����#& ����"����( ,���'�&-� "#$�( � &��*��� (���#��� )#( �( '���

� )#( 4��- �( '��� &��*���� ���#�" �?(*@%�,�&�' ����&�+<��5#�#�� &��*���#���#((#������'�� ?% 10@���� )� (�&��� ���� 4�( *��#���� (�**���� '� %��(��� 2�&#����%#��A! 6&� � )�&����! "#&� �%2�9� ����� � "��� ;001��@��+��

Page 2: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

(-�&�� ,��� #�*�+��*� ��&��*�#�"� #�*�+��*� �#����#5�#��� '��&- #�*�+��+*� ��&��*�#�"� �#(��'��&� ��&��*�#�"� ����� ��&#�" �(�� ��� �� �� ;�� �� 0� ���/� $#�4 �, � #�*���� �#������ &��&���#�" ,���'�&- (���(#( �� &��((#&�������#&( '� �����#& (�� ,���'�&- �(�� ��,����&�( '���4�� #( ,�& "#$�( � ������"##��&� � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-�)� #�*�+��*� ��&��*�#�" *��'��� &��(#(( �, 6��#�" � ,���'�&- (�& �

,�� � &��(��+���* (�(�� ��& ��*� &��*���� #( �3�&�� '� ��� ��� ���� ���#�*� &��*����� /( (���#�� '� ��"���� �����#& (�� ,���'�&- �( '��� 4#����(��#�� �1 � �� �� �� ; � ;�� �0� � � ��� ���� B 4��-�� $��(#�� �, #( *��'���#( � '��&- #�*�+��*� ��&��*�#�" *��'��� �;0� �� �0�� B *��'��� ������ �#�*�+��*� ��&��*�#�" #( #�*�+��*� �#����#5�#��� )#( *��'��� &��(#(( �,6��#�" � ,���'�&- #� (�& � 4�� � � #�*�+��*� '��$#��� �, � &��(��+���*(�(�� #( �#���� ���� 10� ��� ��� ��� � �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'��� ��� #(#����(�� #� 6��#�" � ,���'�&- 4#& ������( � ��*� #�(��(#'�� � � �#(+��'��&� $��#�'��(� C#-� � ��&��*�#�" *��'���( # �( '��� 4#���� &��(#����� #�� &���7 �, ��"���� �����#& (�� ,���'�&- � �� �;� ;�� �1� 1� ;;� ;�� ;1� 1�� ��� ;��)� *�*�� #( ��"��#5�� �( ,����4(. �&#�� � #( ��$��� � � #�*�+��*�

��&��*�#�" *��'��� ��� ������ *��'���(� (�& �( '��&- ��&��*�#�" ��� #�*�+��*� �#����#5�#��� D��- &���##��( ,�� � "������ (��$�'#�#� �, ��&��*�#�" '������#& �7�"����( ��� 6�( "#$�� ��� �� � (���#�� '� 9��(#+(�#& (�� ,��'�&-��� *��(����� �&#�� ; �7���( ��6�##��( �, � ;� � �����#&( #�8���&�� '� �#(+��'��&�(� �&#�� 1 #( &��&����� 4# � �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'���� /*��(��( ���- &���##��( ,�� �#(��'��&� ��&��*�#�" '� �����#& ����"����( ,���+'�&- ��� � (���#�� '� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-�2�#&� � ���- &���##��( ��� ��6�##��( �, ��&��*�#�" *��(���� #� � *�*��

�$� '��� &��*���� ��� (�4� � '� �9�#$���� � (������ &���##��( �, ��#������ �� � &��(( �, ��#���� (�(��( � �� &����� � ���� �**���&�(� #��;�� � ��� �#������ ����" �� *��(���� ��� ,�� � (�-� �, &��&#(���((� ���&�� #��"#�� � (#��������(�� (��$� 4� �� ���� *��'���(� ,�� �7��*�� �&#�$#�"(#��������(�� #�*�+��*� ��&��*�#�" ��� �#(��'��&� ��&��*�#�"� )� ��&�((������ (�3#&#�� (��$�'#�#� &���##��( ,�� � (#��������( *��'���( ��� � &��:��&+#��( �, � &���##��( �, � #��#$#���� *��'���(� �( ���- &���##��(� )� *���,(��� � &��(��&#��( �, ,���'�&- ,�� �(� (#��������( *��'���( ��� (#�*�����*�#�� ��� ���,��� ��� ��, �3�

�� ����� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� ������ ���������� � ����������������� �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� ����� � ;� ��� ���� �� ��������E)����� �� � F� EG �� ��F� ��� E�9��#�� �;�;���F �� � ;� � �� �� �������� ������ ������ E)����� /+�� � F� EG /+�� ��F� E�9��#�� �/+;�;���F� ��� �� ���

� �� ��(� �;�� �� ,�� �����#& ,���'�&- �#����#5�#�� '� 9��(#+(�#& (�� �, "������#5��(��( ��� &����#&�� ,���( ����� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-�

��0 �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 3: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

! ��������

�� ������������ � ��������

! "������ ���� ��0�� B (�(�� �@�� 4# &����� #�*� � ��� ��*� �� #( (�#� �'� �� �� �������� ������ � ��� �� #, � #�*�+��*� (�'(�(�� ���� ��@�(�#(6�(.

�#� �* � � �����'��#�" �, � &����� &��*����(� � 6���( ����� ��������� ���� � � � � ����� ���� ���� ������ � � � � �� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�H

�##� � &��*����( �, � ��� �#3����#���� ���(&������� �$�� ��

# ���� %���##�� �#� �7*��((�( � ��& &��*���� �, � ��*� #( #�8���&��'� � ��( ��� &��*���� �, � #�*� 4#�� �##� ��(���( � ��& ��*� &��*����#( �&����� �3�&�� '� �� #�*� &��*�����

��� � ��� � (�(�� �@� 4# &����� ��� ��*� � � �� �� ������ ��������� &��(#(( �, � &��(��&#�� �, � ,���'�&- ��� �� (�& ��@� #( ��&��*���4���� � ��� �� B (�(�� ,�� 4#& #( *��'��� #( (��$�'�� #( (�#� � '� �� �������������

$� �� � ���%�� ! ���� ���� ����� �@�� � � �� �� � �� �� ���������� � ��� ���� � � � �� ���� ��� ������ ��� "�� �������� �� �� ��� ���� �� ������ ����� ������ �� ���� �� �� ��������� �������� �� � ��� ���������

#����� �$����� �� B((��� � ��� �7#(( � ��4 &����� �� ������ � '� ��*���*( �7�"����(� ,���'�&-� 4#& �&#�$�( � ��&��*�#�"� <� ��6�##�� �� � ��* � � �����'��#�" �, � #�*� &��*����(� � 6���( ����� ��������� ���� � � � � ����� ���� ��� ������ � � � � �� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� %��(�+9������ � 6���( ������ � � � � ����� ��� ��(� �+��"�'��#&���� �#(:�#� ��� � ���& ��

�%& � ����� B((��� � � ���& �� %��(� �� � ������ & � � � � � �� � '� � �#,+,����#�� ���(&�����&� '�(#( �, �����@�� B( � 6���( ������ � � � � ����� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� ���� � � � � ��� #( �#3����#���� �+��"�'��#&���� #���*������ /,��� &��(� ��(� � �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( ����� � � � � �� �, �@�����=��&�� �& ���� � � � � ��� ���� � � � � �� #( �#3����#���� �+��"�'��#&���� #���*������2�#&� � � �7��(#�� �@���� #( �#3����#���� ��"�'��#&� ��� �(� � #( � ��4#�*� �, �@�� )� #�*� � �&#�$�( #�*�+��*� ��&��*�#�" ��� #( ������ � '�

� /� � &�(� �, ���� #�*� �� ��*� &��*����( ������� )� 6�( *�� �, #( ����� �**����� #� ��0�H (�� ��(� � �� �� ; � ;�� ,�� �#3�����**���&�(�

�� �#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 4: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

�� ����"����( ,���'�&-� B&&���#�" � ���*�(##�� /+;����� ��� &�� ���(,��� �,���'�&- (���#�� #�� � (�� ,���'�&-� �

���' # ���� 2�#&� � #� ����� � (��$� � ��&��*�#�" *��'��� '� �7�"����(,���'�&-� ��� *�((#'#�#�� #,���� #( � &��(� ���� � � � � � #� �� �7�"����( ,���'�&-�7��(#�� � �, �� >� &�� ��(� &��(��& � ,��#�� '�� � � � �'� �, �+��"�'��#&�����#(:�#� �#3����#�� 6���( (�& � ������'���� �#3���� '� @�����& 0� & � � � � � ������'�� � � � �'����� �����'�� � � � �'����� 2�4� &��(��& ��� & � � � � � �� �( � �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �, '� @�� ��(*�&#$���� ��� *�((#'������� � � � � �� �( � �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �,��'�� � � � �'��@��'�� � � � �'���2�#&� ��(� � � (���#�� � � #�*�+��*� ��&��*�#�" #( �� ��&�((��#�� �(�� ,���'�&- ��� � &��(��+���* �����#&(�@���� #( �� ��&�((��#�� #� <����$(-�!,��� �(�� �7��*�� �� ���� )#( *�#� �, $#�4 #( 9�#� �#3���� ,��� 4� #( ����#� � �#������ �� ,���'�&- ��&��*�#�" �&,� ���� ;����

/� � &�(� �, &��((#&�� �����#&( 4# #���*����� #�*�� � 9��(#+(�#& (��,���'�&- �, � &��((#&�� (�� #( (�3#&#���� *�4��,�� � �&#�$� #�*�+��&��*�#�" ��� &��((#&�� ��*�� �� � �� ,�� � #�*�+��*� ��&��*�#�" '� 9��(#+(�#& ,���'�&-�, "������#5�� (��(�

$� �� � ���( ��� �� ��� (�� � ����� ��� ����� �@� � � ������ �� � ����� ������ )� ��� ����� ��� �� �� �� � �� ���� � � � ������ �� � ��������� ��� �& � ������ �� ��� �� �� �� �������� � � �� � ��� �� � ��� �������� �� ) ������ ���� ����� ��� ��� �� �@�����

#����� �$����� �� )#( ,����4( ,��� )����� �� �;�

�%& � ����� <�&��(� � ���& �� # #( *�((#'�� � &��(� ��� � � � � �� �( #� � *���, �,)����� /+�� � �(�� &��(��&#�� �, G /+�� ��� ���� �����$��� #� (�& � 4�� ��� � ������ & � � � � � �� /, � (�(�� #( �� (9���� ������ # ����#�( � &��(����� � � � � � #� � #� ����� � &��*��� ���� � � � � ��� #�� �� #�*� �, �@�� )#( &��'� ���� '� &��(#�" � ���(&�����&� '�(#( �, �����)� �@�����)�� %������� �������� � � � � ��� ����� ���� � � � � ����� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� �����$��� '�)����� /+�� � � ��� � ��� ������ '� � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&- �, )� �

)*��� ���+� %��(#��� � (�(�� ��)� � ��@� 4#

)*�& �)*�&)��)*�& �+���&)���&)�

��� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 5: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

�#3����#�#�" � ��*� &��*����( �#���(. �*�& �� �*�& )������& ��+�� �+)�*�� )��� ��& ��� � �)� ��@� �)�& 0� ��& ��� � �)� �� �*�@� �)� ��& � ��& ��� � �)� �� �* � �� �@� �)� �� �*�& �&%��� �� ��� �(� � ���& �� )�(�(�� #( #�*�+��*� ��&��*��'��� B&&���#�" � G /+�� ��� (� ��& ��+�*� �����& ���� �����$��� (� ��& �� B( &�� '� &�&-��� � �&#�$�( #�*�+��*� ��&��+*�#�" ��� #( ������ � '� � 9��(#+(�#& ,���'�&- �, ). <� &��(��&#�� �, � �6���( ����� ���� ����� ��� ��� ���� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� ����&�� ������� ��� � �)� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� 2�#&� � � &��(��+���* #�*�+��*�(�'(�(�� ���� ��@� #( �� #� � <����$(-�! ,���� �( �**�(�� � 4� #( ���� #���( 4��-( �� #�*�+��*� ��&��*�#�"� )� �9��#��( �, #( 9��(#+(�#& (��,���'�&- ����.

��&)�+�� �&I)�+����& � ��+��+)�*� � �& ��

��& � � �&��I)� �)�I��+�*��

��I)�I�� �

� ������������ ��� ��,����

�#$�� � �����#&(� �@����� 4# ��*� �� # #( *�((#'�� � &��(#��� � ������+(�'������ ��� �� �, � &��(#����� �( � �� ����+�������

! "������ � ��� B (�(���@� 4# #�*� ��� ��*� � #( �� �� � ���� ,����#, ��� �7#(( � ,���'�&- ��� �� (�& � � 9��#�� ��� ��@��� #( ��(#��� 4������ �� ��� ��� ����� � �� ����+(�'������( �, � ��(*�&#$��� "������� '� ��� ����� ��

$� �� � � � � ! ���� ���� ����� �@� � � �� � � �� �� � ���� ,���� ��� ��������� �� �� �� �� ��� �-�� ���� ��� & � ���� "�� �������� �� �� ��� ���� �� �� � ���� ,� �� ��� ������ �� ������ �� �� ��������� �������� �� �� ���� ��������� -�������� � �� ����� � ����� ��� ��� � � � � ����� ��� �� ������� ������ �� ��� �� ����� ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ��� �� ������ �� ���� �� � ����

#����� %��(� � �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( ���� � � � � ������ �, ����@� (�& ��� � ���� & � � � � � � ���� %��(�� #, ��&�((���� ������� ������ �( � �#3����#�� ���+(&�����&� '�(#( �, �@����� � �& ���� � � � � ��� )��� ��� ��@��� #( ��(#��� <��-#�" � �����( �� (�3#&#���� ���"� ��� (��(� '� ���*�(##�� /+;����� � �,���'�&- ��� '� ���(,����� #�� � (�� ,���'�&-� 2�#&� � #( &��(��&#��#( &��*�#'�� 4# � ��� �, G /+�� �� ��� � ,���'�&- &�� '� � 9��(#+(�#& (��,���'�&-� �

��;�#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 6: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

�% -���� ������������ � ��������

! "������ �%��� %��(#��� *��##��( .& �.�� � � � � .��� ��� /& �/�� � � � � /�� �, �(�( � � � � � � %��� � ��� � � � � � � %��� �� ��(*�&#$���� )� (�(�� �@� 4# #�*� ���� ��*� � #( (�#� � '� ����� �� �� �������� ������ . ��� /� #, ��7��(#��( ����� �� � � .�� 0 � /��@�� �& � � � � � � ��� ���� � � .���@� ��� �+��"�'��+#&���� �#(:�#��

$� �� � �%� �! ���� ���� ������@� � � �� � � ����� �� �� ��������������� � ��� �� /& �/�� � � � � /�� �� � � � � � � %��� �� � ��� ���� �

� ���&�����

�#3���� ���� � 0 � /��@����;�;�

"�� �������� �� �� ��� ���� ����� �� �� ������ �� ��� ������ �� ������ ���� ��������� ��� �� �� � ��� ��������� -�������� � �� ����� � ����� ��� ��� �� � � ����� ��� �� ����� �� ������ �� ��� �� ������ ����� ��� ���� �� ��� ����� �� ������ �� � ��� �� � ����

#����� �$����� �� B((��� � ��� �7#(( � ��4 &����� #�*� � 4#& �&#�$�('��&- #�*�+��*� ��&��*�#�" �4���� . ��� / �� <� ��6�##�� ��;� � � 6���(����� �� � � .�� 0 � /��� �& � � � � � � ��� ���� � � .��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#��%��(�9������ � �7��(#��( ���� � 0 � .��@�� �& � � � � � � ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#����� �( ���;�;� #( ����

�%& � ����� B((��� � ���;�;� ���(� �� � �7��(#��( ���� � 0 � .��@���& � � � � � � ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� %��(� ���� � .�� � '� � �#3����#�� ���+(&�����&� '�(#( �, ���� � 0 � .��@�� �& � � � � � � /, ��&�((���� &��(� ���� � .��� �(� �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �, �@����� <� &��(��&#��� � �&#�$�( '��&-#�*�+��*� ��&��*�#�"� �����$��� � &��(��&#��( ��� &��*�#'�� 4# �(��, /+�� �� ��� � ,���'�&- &�� ��4��( '� � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-� �

% � ���� �� ������� � �������

%�� !������ � �������

B �����#&( 4# �#(��'��&� #( � �����#&( �@���� ,�� 4#& � �#(��'��&�#�*� #� � *��##�� �& �� � �, G /+;� �; #( �� ��*�� D�&��� � � &�������� � �#(��'��&� ��� �((���� � '� ���#����&#�"� #���� � 6���( ��� ������ ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� ��� � (�-� �, (#�*�#&#�� � �#(��'��&� #((�**�(�� � '� #���*������ #� � (�9���� /� "������ � &����� 4#�� '� &��(#�����

� )#( #���*�����&� �*��(#( #( #�*�#&# #� � �#������� =�4�$��� ��� �7#( �&����"#&���7��*��( 4��� � �#(��'��&� #( �� #���*������

��1 �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 7: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

#���*������ ��( �, � &��&�*( �, �&#�� /+; �$� '��� *��(���� 4#�� ����((��*#�� �� � ����� �, � #�*� ��� ��&� ��� $��#� ,�� �����#&( 4#�#(��'��&� ��� )�� 4#�� �� '� ��*���� ���� =�4�$��� �$���#�" � &��&���(,���'�&- ��( '� ���*��� '�&��(� �#(��'��&�� ���#-� &������ &���� '� ,������((#"����

%� � ����

)� ��#�� �, ��4 &����� #�*�( �, �����#&( 4# �#(��'��&� #( 9�#� �������'� # ��(��$�( � ��6�##���

! "������ %� ��� B ��� ������ �� �, � �����#&( 4# �#(��'��&� �@��� � #(� (�'(� � �, � (�& � �@���� � #( �#3����#���� ��"�'��#& ��� � ��� �� ��#����&� #���� ���� ��� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� /� ��� 4���(��@���� �#( � �����#&( 4# &����� � ��� �#(��'��&� �

��� �����#&( 4# �#(��'��&�� � ,����4#�" &����(*���( � ��6�##�� /+;��� �

! "������ %� � � C� �@��� � '� � �����#&( 4# �#(��'��&�� B� �)���������(*� ���������� �������� �,�@� #( � *�#� ��� ��� 4���� #( �� �7�"����( ���(*�����"����(� ,���'�&- �7��(#�� ��� � #( � ��4 &����� #�*� ,�� �@��� �� /�#( &�(�� � &����� #�*�( ��� � ��� (�#� � '� ������ '� �7�"����( ���(*�����"����(� ,���'�&-�

/ #( ��(� � (�4 � � *��&��#�" #( �9�#$���� � (��#�" � ��� � ��� ������'� �7�"����( �����"����(� ,���'�&- #� � (��(� �, ��6�##�� /+;��� 4�� &��+(#���#�" ��& ��� �( � "����� 6���� /� *��#&����� 4�� ��� � ��� #���*�����&�����(� # ��� '� &��(#����� �( � ��"���� ,���'�&- &��&�*� � ���( ,�� � �����#&(�@����������4#�" � (������ ���#����"�� 4� &��� � �����#&( �@��� � � ����

���� ����� �� ��� �@���� � � ������ ���� ����� ���

%�% .�� � ����

/� �&#�� /+;��� � ��6�##�� �, (�� ,���'�&- 4�( "#$��� /� ����� � ���* #(&��&�* � �����#&(4# �#(��'��&� # (�3#&�( � ��*��&� � '� ��� � #� ���6�##��/+;���1.

! "������ %�%��� %��(#��� � �����#&( �@��� � 4# �#(��'��&� ��� (�� )H �,���'�&- ��� �� #( (�#� � '� � ��� �������� #, � 6���( � �)� ��� ���� � �����"�'��#&���� �#(:�#� �$�� ��

C� ��� �� '� � (�� ,���'�&- �, �@�� )� �#(#�"�#(�� (�� ) �, �@��� � &��'� &��*���� #�� � (�� �,�@���� � '� &��(#�" � (� ,& �,�� � � � � ,�� #� � (�&

����#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 8: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

� �)� ,� #( � ���(&�����&� '�(#( �, �@���� �� )�(� � &��(��+���* (�(�����#( � (�� ��*��(���#�� �, � ,���

(� �)* �� )� ,� � � � � � ����� � � � � � �����& 0� & � � � � � ��;�;����

1� ��� )� ,� �� � � � � �� ��� � � � � � ����� & 0� 0& � � � � � ��;�;��'�

2� �,*�� )� ,� �� � � � � ������ � � � � � ����� & 0 �& � � � � � ��;�;��&�

4��� (�� 1� ��� 2� ��� #�����&#'�� *������#��( 4# &��3#&#��( #� �� 2�� �� �9��#��( �;�;����� �;�;��'�� ��� �;�;��&� ��*��(�� �� #�*�#&# ��� "������#5��$��(#�� �, � &��((#&�� �9��#��( �, �����#& ,���'�&- ,���� #� � �#���������� ;���)� ��7 ��(�� (�4( �� ,�� ��� "#$�� �7�"����( ��� ����"����(� ,���'�&-�

��� &�� �'�#� � (�� ,���'�&- '� (�3#&#���� �#3����#�#�" � ��4 &����� #�*��)� *���, ,����4( � �#��( �, � *���, �, ���*�(##�� /+;���� ��� #( ��, �3�

����������� %�%�%� 3� �@��� � �� � ����� �� � � ������ � � ������� � ������ )� 3� ��� �� �� �� �)������ ������ ���������� �������� �� �@� � � � �������� ������ �� "���� �) �� �� ����� �� 0 ��� �� ���� � ������ � �� ���)������ ������ ���������� ��� �������� �� ) ��� ����� �� �� �

%�%�' ! � �� �� �� �� ��� � ���� �� �� ��������� � ��� &����� (���(#(*��'���( ��� �#" '� #����(�� #� � ����� �, � ��*�����&� �, � ,���'�&-�� � �#(��'��&� � )� (�� ,���'�&- ��� �� �, �@� #( (�#� � '� �������� ���� � ������� � � ����� �� 4# � � �����"�#$� #��"��� #, ��� ,* ��� '���"�'��#& �$�� ���� �)� ,� � � � � � ���� ��� �� �$�� ���� �)� ,� � � � � � �� ��� �4#� &��$��#�� � � ��& ��� )#( ����� ��*���( �� � &�#&� �, , �( (�4� #��7��*�� ;�;��� J�� �#" #�����&� � ���� #��#�(#& &��&�* '� &��*�#�" �� � ���! ����� � ����� ��� ���� ��� ��� ��� �� ,� =�4�$��� #( �3�� 4���� '�4����(( '�&��(� �� #�*���� (�'&��(( �, � ����"����( (�� ,���'�&-� ������� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-� �&#�$�( �#(��'��&� ��&��*�#�" 4#�� �7���#�"� (��� #���� , #( �'(���

)*��� %�%�(� %��(#��� �@��� � "#$�� '� )*�&)�+� )*�& � C� �&���� (� �& * +* �( � &����� #�*� �, �@�� >� &�� &��(� �)�� )�� ,���4# ,�& �( � (�� �, �@���� �� B( � �� ,*������� �)� ,�� � * � ���� �� ,*�� ������ �)� ,�� �� � (�� ,���'�&- ��*���( �� * ��� �& � %��(� ��4,�& +� %������� �)�� )�� ,�� #( ��(� � (�� �, �@���� �� /� #( &�(��� �� ,*������� �)� ,�� � ��� �& 0� �

! ��� � ������ *��'��� ��"���#�" ��#�#��#�� �, #�*� ���#$�#$�(� (�� � 1��

��� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 9: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

%�%�+ /��������� ��� � �����B( (��� #� �&#�� /+;��� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-#( � *��#&���� &�(� �, ����"����( (�� ,���'�&- 4��� � (�� �, � �*��+���*�����#&( #( ��(� � (�� �, � &��(��+���* �����#&(�

! "������ %�%�0� C� �@��� � '� � �����#&( 4# (�� )� B ��4 &����� #�*�� �, �� ����"����( ,���'�&- �7��(#�� � �, � #( (�#� � '� ������ � '� ���� �� � ��� �������� �� ) #, � #�*�( ��� � ��� �� � ��� ������ '� 9��(#+(�#&,���'�&- #� � (��(� �, ��6�##�� /+;��� 0�

<� ��6�##�� /+;��� 0� #( #( �9�#$���� � (��#�" � ) #( � (�� �, '� �����#&(�@��� � ��� �@���� �� %��(�9������ ��� �(.

�� ��� )� �� � � � � ������ � � � � � ���& 0� & � � � � � � �&%��� ��;�;����

�� ���� )� � � � � � ���� � � � � � �����& 0� 0& � � � � � �&%��� ���;�;��'�

4��� � #( � �����"�#$� #��"�� ��� � ��F( ��� �� ��� #�����&#'�� *������#��(�$�� ��

%�%�1 # ���� 2�#&� � ���� � �9��#�� �;�;���� #( �(�,�� ,�� � ,���'�&-&��(��&#��� �9��#�� �;�;��'� ���� ����( � 4� �$� � (*�&#�� -#�� �, #�$��#'��,���'�&-� 2�� ��(� � � ��6�##�� �, � ����� � �, ��*�����&� �� � �#(+��'��&�( ,�� 9��(#+(�#& ,���'�&-( "#$�� #� G ;�;�1 ����&�( � &�&-#�" #, #(��"�'��#& �$�� ���� �)� � � � � � ����� �����$��� � #��"�� � #( #�$��#�� ����� &��(+(#&�� (�� ���(,����#��( �, )� 2�#&� ��(� � � ��*�����&� �, � ,���'�&-�� � �#(��'��&� #( �� (�����#& #� � (��(� � � �9��#�� �;�;��'� �����*��� �� � �#(��'��&� 4#�� �;�;���� ���( ��� ��� #�(��&�� &��(#��� ������#&(" ��)� � �@� 4#

)*�&)�+�)*�&)*�&)�+�)*�&+�

�#�" ��&)�+�� ��& �++*� &������ ��6��( � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-�, ) '�&��(� ��)� �� �&�� ��� ���� ��� � �)� ��� �+��"�'��#&���� #���*������2�#&� � � &��*����( �, � ��*��� �� � 4#�� �(� �, �� ��� ,���& ��I)�� �& ��I�*��

" )#( �7��*�� #( ��� � D� B��#��#� K� L�� ��� %�=� ���" ���� 2�#&� � � &��(��+���* �����#&( #( ��&��*��� ,��� � �#(��'��&� �&&���#�" � ��6�##�� 1� � �

����#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 10: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

' !�������� � ��������

'�� ����� � ����������

! "������ '���� ��� 0� �� C� �@���� � '� � �����#&( 4# �#(��'��&�� B���*� � �, �@� #( (�#� � '� �������� ���� �� � ������� #, � 6���( ������ ���� �� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#��

'��� # ���� )#( #( �� #�*�+��*� ��#��� &��*����� #���*����� �, � &�#&��, � (�� �� �, ��� $��#�'��(� )#( (����� (��( � ��� #( �� #�����&#'��*������#�� �9��#�� # �� � � � � ���� �� � � � � ����� �� � � � � �����&0 4# &��3#&#��( #� ������#�" � �#(��'��&�� � &������ ��� � ��*� ��� �#� ���#$�#$�( �����*���#�" � ���( �� � �#(��'��&� ��� � ��*�#� �� � �� ,�� � &��*��#(���, ��6�##�� 1� � 4# � �(��� ��#�� �, �#(��'��&� ��&��*�#�" ���� ;��� ��������#&( 4#& ��� &��((#&�� 4���� � �#(��'��&� # #( �(�,�� � "#$� �����&���&��#5�#�� �, � ��6�##�� 1� � �

����������� '���%� 3� �@���� � �� � ����� �� � � ��� ) ��� �� )* � ������� ����� ���� �)� �� "��� �� �� � �� �@� � �������� ���� � ��� ���� � ���� � ������� � ���� ���� �)��

2�#&� �� �**��#�" LM��� �#3����#��( � � &���##�� #� ���*�(##�� 1� �;� #,����4( � �����(*�����)� ������ )#( ��( &���##�� #( $��� (#�#��� � � ��#���, ��&��*�#�" &��(#����� #� � �� � � ;;��

#����� �%& � ����� B( ) #( � (�� �, � �����#&( �@���� � ��� '�&��(� � ��� ��� �((���� #���*����� ��� 4#�� #����&#��� � 6���( ���� �)� ��� ������ �+��"�'��#&���� �#(:�#�� =��&�� � ,�& � ���� #( ��"�'��#& �$�� ���� �)�#�*�#�( � ���� �� ��� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#��

�$����� �� �#�( ��� � 4�� � #( ��&��*��� ,��� � ���� �������& �0� �����(� � �� ����+������( ���� ��� ��@���� �� ��� ���� ���@���� ��� #(����*#&�B((��� � ���� #( �� ��"�'��#& �$�� ���� �)� 4#& &�� ��(� '� �7*��((�� �(���� �� (*�����)� ������ /� #( &�(�� �( )* #( ��"�'��#& �$�� ���� �)� �� # #( ��(�� $��#,� � � 9��#�� ������ ���� ���@���� #( �� ��(#��� )���,���� � &����'� ��&��*��� ,��� � ���4#(� � ������ ���� ��� ��@���� ��� 4#& #( ��4��(��(#��� 4���� '� #(����*#& � � ������ 4#& #( �� ��(#��� �

)� ���*�(##�� 1� �; ���( �� ��� ,�� "������#5�� �����#&( �� "������#5�� (��(�(�� � ���� =��� ,����4( #( &�����*�� ,�� "������#5�� (��(�

# <� �((��*#��� ���� ��� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#� ��� (� #, # ��*���( �� ���� (��� ���#$�#$� �, � # ��( ��*��� �� � �� (��� ���#$�#$� �, ��

��� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 11: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

����������� '���'� 3� �@���� � �� � ����� �� � � � �������� 3� ) �� � ����� �@���� � ��� �� )* � ������� � ���� ���� �)� � � � � � ����� "�� �� � �� �@� � �������� ���� � ��� ���� � ���� � ������� � ���� ���� �)� � � � � � �� ����

#����� �%& � ����� B((��� � � ��*� #( �� ��&��*��� ,��� � �#(+��'��&� 4#& &�� ��(� '� �7*��((�� �( ���� ���������0�� J�� &�� �(&�&- � (*�������� ���� �� � � � � ��� ������������0�� /� &��&��(#������� ��(*��������� �� � � � � ��� ���� ���4#(� � ��� 4���� #����& �� �#"'� ��*������

�$����� �� B((��� � � #( ��&��*��� ,��� � B( ����������� � 6���(���� �� ��� ������ ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� )� (�� ,& �)� � � � � � �� �� � �,� �����#&( �@���� ���� (�#(6�( � �*��(#( �, ���*�(##�� 1� �;� #���� ,* #(��"�'��#& �$�� ���� �,� ����� %��(�9������ �&&���#�" � ���*�(##�� 1� �;� ���� #(��"�'��#& �$�� ���� �)� � � � � � �� ���� �

! "������ '���(� C� �@��� � '� � �����#&( 4# &����� � �#(��'��&� � �����*� �� )� � ������� ������ �� ������� &��(#(( �, &��&���#�" � ,���'�&-��� �� �, �@� (�& � � ��*� � �, � &��(��+���* �����#&( �@���� � #(��&��*��� ,��� � �#(��'��&��

'� #�� ���������� ��� ��������� � ��������

��� �, � ,����4#�" ��(��( �$� '��� ������&�� #� ��� �� 0� �� >� ��&�( ���&��*��� �� �(#�" � "������ ,���'�&- (�#�" ��$���*�� #� � 6�( *�� �, �*�*�� � ;��

$� �� � '� ��� 4��� ��� � ����� �@� � � ��������� ������ � ��������� � � ������ � ��� �� �� "�� � ������� ������ �� ������� � �������� � ��� ���� � �� ������ �� �� ����� ���� ��� ��� �� ����

�#� �#3���� ���� �@���& � ���5�##� ���� ��� ��� ��� � ������� ����� � �0� ��

-�������� �� �������� �� �� ������ �� ������� ��� ������ �� ������ � �� ����������� �������� �� � ��� ���������

'� � � )� &���##�� �#� #�*�#�( � � �#3����#�� ��*� ���- � ��� ���( ����*��� �� � �#(��'��&�� 4#�� &���##�� �##� ����( � ��� #( �� #�����&#'��*������#�� �9��#�� # �� � � � � ���� �� � � � � �����& 0 4# &��3#&#��( #� �� ����#�"� &��*����( �, � �#(��'��&� ��� � ��*� ��� �#� ���#$�#$�(� 2�� �#, (�& � ����#�� �7#((� # &���� '� ����$�� '� ��� ,���'�&-�

����#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 12: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

'� �%� #����� ?(#�" LM��� �#3����#��(� ��� (��( � �#3���� ���� �@���& �-���� ��@���� ���� � &����#&�� #(����*#(� ���� ��@���� ����@����������� # ,����4( � �-���� ��@���& �-����I�-����������� B( #( #���*������ ��� #( � ���(#��+�,��� ������� ���� ���,���� (� �#� ��� �##� ����9�#$�����

�$����� �� B((��� � ��� �7#(( � ,���'�&- ��� �� �, �@� (�& � ,�� �&��(��+���* �����#&( �@���� � � ��*� #( ��&��*��� ,��� � �#(��'��&��)#( ����( �(�� ��6�##�� 1� � � � ���� �� ��� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#����� �(� � ���� ��� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� )� ��&�((#� �, �##��� ,����4(�

�%& � ����� B((��� ��4 � �#�� �#� �� �##� ���( ���� %��(� ��� �#3����#�����(&�����&� '�(#( ���� � � � � ������ �, ����@�� /, � ���2�&%��� � &��(� ��(� ����#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �������� � � � � �� �, �@���� �� 2�#&� � � �7+��(#�� �@���� � #( �#3����#���� ��"�'��#& ��� ���,��� � #( � ��4 &����� #�*��, � (�(�� �@�� )#( ��4 &����� �&#�$�( �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'��� '�&��(��&#�� ��� #( ������ � '� �� ����"����( ,���'�&-� /, ��� 4��( � &��(��&�� �7�"����( ,���'�&- (���#�� � � �#(��'��&� ��&��*�#�" �����" #( #( ����&�((���� �( (��� �'�$�� ��� ��( &��(#��� � ,���'�&- �7��(#�� � �, �� )�6�( � ��� &��*����( �, � ��4 &����� #�*� &�� '� &�(�� (�& �( � ,��� ��#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �, ����@�� 4��� ���� �����( � ��"�'��#& &��(����, ���� 4���� �� /, � ���2�� � ��( �I� ��� &��*����( �, � &�� '� &�(�� �(� �#3����#�� ���(&�����&� '�(#( �, �@������� �����$��� �'(��$� � ���� ����� ��� ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� ��� �(� (� ��� ���� ����� ��� ��� ,�� ���� � �� )� *�((#'#�#� � ���(,��� � ,���'�&- #�� � (�� ,���'�&- ,����4( ,������*�(##�� ;�;�;� �

)� (�� ,���'�&- �, � ��( ����� ��� ��*��� �� � �#(��'��&� ��� #(���#$�#$�(� /� � ��7 (�&#��� � (��� *��'��� 4#�� '� &��*����� (��$�� #� �&�(� �, &��((#&�� �����#&( 4�� � ����� �, ��*�����&� �� �, � ,���'�&- #(67�� � �� �� �

'�% !�������� � �������� ��� ������� �������

'�%�� !����� ��������� � �������� �� � ���� � � ����� �� �� ��������� � )���7 ��(�� (�4( � � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&- #( (�3#&#���� "������ #� ������ &��*����� (��$� � �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'��� ,�� � &��((#&�� ��*� �,&��((#&�� �����#&(�

$� �� � '�%� � (�� � ����� ��� ����� ��� �� ��� �� �� ���� ��� �� "������ ���������� ������ �) �� � ��� �� � ��� �������� �� ������ �� ����� � � ������������� �� ��������

��0 �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 13: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

2�� � �� '���� �� � ��*�����&� �, � ,���'�&- �� � �#(��'��&� #( &��#���#� #( ��(��$� )� #��� �, � *���, #( � (�4 � � &���##�� �1�;�1� �, )�+���� 1�;�; 4#�� '� (�#(6�� ,�� �� � (�3#&#���� ���"�� =��&�� ,�� &��$��#��&�� #4#�� '� *��(���� �,�� � *���, �, #( ������

$� �� � '�%�%� 4��� ��� � ����� ��� ����� �� �@��� �� � � ��������� ������& ��� � � � � �� ��������� � ������� & ��� � � � � %�� ����� ��� ��� )� ��� ���� � ��� �� �� "�� � ������� ������ �� ������� �� ��� ��������� ������ �� ���� � ������� � � �� �����& ��� �� � �������� � ��� ���� �

��� 6���� �)� � @6���� �)�&�I� ����1�;�1�

�������6�&� � � �� � � �� (��������� �� ��� �� ��� ������ �� ���� �� � ��� �� � ��� �������� �� )�

'�%�( # ���� /� � 4� &����� &�(�( 4��� � ,���'�&- #( �� ��*����� ��� ��� ��(*�&#$���� #( ��*����� �� '� �� �� #( ���#$�#$�(� &���##�� �1�;�1���(*�&#$��� ����(

��� ���� �)� � @���� �)�&�I� ������

��� ���� �)� � �@���� �)� �&�I� ���

#����� /� #( *���,� ��I #( �� #��"��� �#�( ��#&� � ,��� � �4�� �, 6����7��(#��( 6���� �)��6���� �)� ��6�����)� � ������ �1�;�1� #( �9�#$���� �

��� 6���� �)� � ����� @6�����)� �& ��1�;���

4#& #( � ���� (�#�'�� ,��� ,�� � *���,�

�$����� �� C� ��� �� '� � (�� ,���'�&- 4#& �&#�$�( � ��&��*�#�" �, � ,���� B((��� � �)� ,� #( � (�� �, � �����#&( �@���� � (�& � � �)* � ,*� �#( ��"�'��#& �$�� 6���� �)� ,�� ���� ���*�(##�� 1� �1� ���� #( ��"�'��#& �$��6� ���� �)� ,�� %��(�9������ 6���� �)� � #( ��"�'��#& �$�� 6���� �)� ,� ��� ��&�� 6���( ������� ��� 6�����)� � ��� �+��"�'��#&���� �#(:�#�� / ,����4( ��1�;��� ���(�

�%& � ����� J�� &�� &��(#��� � �����#&( �@��� ����� 4# (�� �)� ,���4��� ,� #( ��� ���(&�����&� '�(#( �, 6�@�� � �& � ���& �#3���� ���� �@����

$ )��� #( � &����&#�� '�4��� #( ��(�� ��� �(� #� �1;��& ># � &��$��#�� � � ,���'�&- ���( �� ��*��� �� � �#(��'��&� #, �&I ��� 2�� � �'�(� �, #( ���#��. 6

���� ��( '� �����(��� �( ���� �6

�� �$���4��� #�

� *���,� ,�� 6�#( �� � �#3����#�� 6����

�� �#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 14: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

���� �1�;�1�� � ���(&�����&� '�(#( �, 6���� �)� �@6���� �)� �( �I� ������(H# &�� '� ������ �( ����� � � � � ���># �1�;���� ������ � � � � � ����% � #( � ���(&�����&�'�(#( �, � �7��(#�� 4#& �**���( #� �1�;���� ���� )����� /+�� � � # #( *�((#'��� &��(��& ��� � � � � �� (�& � �� ����� ��� ��� ����� ��� ������ '� � 9��(#+(�#&(�� ,���'�&- �, �)� ,��� B&&���#�" � ���*�(##�� 1� �1 ��� ���*�(##�� 1� �; #,�&I �� �& ���� � � � � �� �&#�$�( � ��&��*�#�" �, � ,��� (#�&� ���� #( ��"�'��#&�$�� ����� � � � � ��� �)� ,��������$��� #( ��"�'��#& �$�� ����� � � � � ��� �)� ,�� ���� � � � � ���4#& ��(���( � � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&- ��*���( �� � �#(��'��&� �*� �� ����� ��� �� �

#���� �� "������ ������ � ��&��� ��� &��(#��� � �����#&( �@���� 4##�*� � (�� )� ��� ��*� �� #�&� �@��� � #( &��((#&��� # ,����4( � ������#&( �@���� #( &��((#&���� ��� B**��#�" )����� /+1���� � � �����#&(�@���� 4# #�*� � (�� )� ��� ��*� �� # ,����4( � ��� �7#(( �� #��"��� (�& �� ,�� ��� �� ��

��� ���)� � �� � � � � ����� @���)� �� � � � � �����&�I� ����1�;���

2�� � � )����� 1��� �#� 4�( �(�� � �((��� � � ��*� ���- � ��� #(#���*����� �, 4��� # #( &��&����� �$�� � "����� 6��� � �� �$�� ��� #�&��1�;��� ���( ,�� ��� �� �� # #����#���� ,����4( �

��� ��� �� �)� � @��� ���)�&�I� ����1�;���

2�4 ��� � � (�9���&� ��& ��� 6���� �)� � @6���� �)� #( ���#�&���(#�"�)���,���� ��� �7#(( �� #��"�� �� ���"� ����"� (�& � ��& ��� ,�� ��� �� �� #�&� ��� �� �)� � ���(*�&#$��� ��� �� �)�� #( �'�#��� ,��� 6���� �)� � ���(*�&+#$��� ,��� 6���� �)�� '� ��:�#�#�" � #�6�#� (� ����� ����� ����� � � ��� #,����4( � ��& ��� 6����� �)� � @6����� �)�& ��� ���� � �)� � @���� � �)��)� ��(�� �� ,����4( ,��� � ��( �9���#�� �1�;��� �"��� 4# � &���##���1�;�1� �, )����� 1�;�; �**�#�� ,�� �& �� �

)*��� '�%�1� %��(#��� � �����#&( �@��� � 4#

)*�&)�)*�&)��)*�&)!�)*�&)��

�� )#( *���, (�4( � ���� "������ $��(#�� �, )����� 1�;��� � ���( #, � �����#&(�@�

��� 4# #�*� � (�� )� ��� ��*� � #( &��((#&��� �� #� ��� 4���(� #, � �����#&(

�@��� � #( &��((#&�� 4# ��(*�& � � &����� #�*� �

��� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 15: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

)*!& ���&)���&)�+)�

J�� �(

�*�& )����*�& �)�+)!� �����& )��+)�*�����& )��+��+ �)�+)!� *��

)�(� ��& 0� ��& � ��& �� ��& �� ��� � ���& �� %������ � � � �)� �� �*� ���� � � �)� �� � � � � �� �� =��&�� %���##�� �1�;�1� #( (�#(6�� 4# �&I ��� ��� �7#((� �9��(#+(�#&� (�� ,���'�&-� #���*����� �, � �#(��'��&�� 4#& #( � (���#��� � �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'����)� &��(��&#�� #� G /+�� �� &�� '� #�##��#5��'� (�#�" ���& �� ���& �*�� ���& ����� ���I����� / ,����4( ,��� � *���, �, )�+���� 1�;�; � �& ��*�� ���I����& �)��� )!*�+��� #( ������ � '� � 9��(#+(�#& (�� ,���'�&- #���*����� �, � �#(��'��&� 4#& #( � (���#�� �, ��#(��'��&� ��&��*�#�" *��'���� 2�� ��(� � � ��� � (�#(,�.

)��I��& 0)����+)�)!�*�I)�)!��I)�� ��& 0

2�#&� � � &��(��+���* (�(�� #( �#(��'��&� ��&��*��� 4#�� '�#�" #�*�+��*� ��&��*���� �

)*��� '�%���� %��(#��� � �����#&( �@��� � 4# � (�� ��*��(���#��

)*�& � +��)�)*�&

� &)�

%��&���#�" �* & � +��)�� �� & �* )�+ � +�� �#���( � ���& � >� (�� ��1�;�1� #( (�#(6�� ,�� �& � )��� �7#(( �� (�� ,���'�&- #���*����� �, ��#(��'��&� 4#& ��&��*��( � ��*� ,��� � �#(��'��&�� � �& �� � <� ��6�#+#�� ;�;��� ��� � ��� ������ '� � �9��(#+(�#&� (�� ,���'�&- ��, )� 4#& ��*���(�� ��� * � <� ���*�(##�� 1� �1� � ��*� � �, � &��(��+���* �����#&(�@���� � #( ��&��*��� ,��� � �#(��'��&��>� ��*�(#5� � � &��(��+���* �����#&( #( �� &��((#&�� ��� � #� #( &�(�

� ��#�� �, ��&��*�#�" (��� #� ��6�##�� 1� � 4#�� '� �#3���� ,��� � (��������#�� �, ��&��*�#�" ,���� #� � �#������ �(�� � �� ,�� &��*��#(���� B( � �����, ,�&� � #�##�� &���##��( �, � ��*� �, � &��(��+���* (�(�� ��� �3�&��'� � �#(��'��&�� =�4�$��� (#�&� ��& �� � ��*� #( &��*����� �����#��� '�

��;�#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 16: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

#( #�##�� &���##��( ��� '� � ��4 &����� �� #���� � �$���#�� �, � ��*� #(�� �3�&�� '� � �#(��'��&�� �

�����3� �� � ���� )� ����( 4���� �#-� � ��- D� =�5�� ��� N� D����* ,����*,�� &�����( ��� &�����"#�" �#(&�((#��(�

# � � �� �

� � BAO B�#���P�� �#�*� � ��� ���"� %�=�. ?� ���$�� ��"��#�� �� (��&���� %� D�B&��� &#� ���#( �! �� / ��� %�0 � ��;�� 0;� 0�

��� B��#��#� D�� L��� K� ��� ���"� %�=�. ���(���� &�����#&�#��� N��� ����;� <�#��#� �. 2��#����&#�" %����� 4# �'#�#� ,�� 2���#���� �(��(� $����� ��

�, C�&��� 2��( #� %����� ��� /�,���� &#� *�#�"��+Q����"� <���#� ��1�1� %��� C� ��� R��"�P�+��. �#(��'��&� ��&��*�#�" $#� �����#& ,���'�&-� /������ N�

�(��(� &#� % � ����� ��;��;1��� %��"� ��� /(#���#� B�� D�(*����-�>� ��� )���� )�N�. �7�& �#����#5�#�� �, ����#����

(�(��( 4# ��*�(� ��� �(��( )���� � � ����� �;��;��� ��������� ��. �� ��( ��! �#$�! �( �� �F����! � �� ��*��! (���#�� � &������� ��( (�(����(

��� �#��! �#��(� )�� (� �� ��&���� ?�#$��(#�! ���#( S/� ��;��� ��������� �� ��� ��#�((� ��. B�"��#�� �� (��&���� 6���#��( � ��! &��*��"�� %� D�

B&��� &#� ���#( �! �� / ��� %�( � ����� 0 � 0���� ��������� �� ��� ��#�((� ��. B� ��"�'��#& #���*���#�� �, � (��&��� ��"��#� 4#

�� �**�#&�#�� � ,���'�&- ��&��*�#�"� /� �� ��#�((� ��#��� 2���#���� %����� �(��(��(#"� ���� ���&�� ��*��( ,��� � ��� /�B% ��*�(#��� *�"�( 1���1�1� J7,��� ��;� ���"���� ���((

��� ��������� �� ��� ��#�((� ��. 2���#���� �#(��'��&� ��:�&#�� '� 9��(#+(�#& (�� ,���+'�&-� /� ?� =���-�� D� ����#&-��� ��� N� ������ ��#��(� �(��( ��� 2�4��-(.�����#&�� )���� ���B**�#&�#��( ��)2 F�;� Q����� //� /�$#�� ���%���#'�����*��(�� *�"�( 0�� �� <���#� ��1� B-����#� Q����"

� 0� ��������� �� ��� ����#�� �� #�$�� �� �. %���##��( �� ���" *��� �� ��:� �����#9�� ��*����'�#��(� %� D� B&��� &#� ���#( �! �� / ��� %�1 � ��1�� � � ��

� � ��������� �� ��� ����#�� �� #�$�� �� �. D��- &���##��( ,�� � �����#& �#(��'��&���&��*�#�" *��'���� /� ���&� ;;�� /��� %��,����&� �� ��&#(#�� ��� %������ C�-�<���� Q#(�� �C� *�"�( ��1� ���� ��1

� �� ��������� �� ��� ����#�� �� #�$�� �� �. J� � ��6�##�� �, ��&��*�#�" ,�� #�*�#&# ���"������#5�� (�(��(� /� �� ��"�#���#� ��#��� ���&� /�B% %��,����&� �� �(�� ��&+��� ��� %������ *�"�( ; �;�� 2���(� ����&� ���

� ;� ��������� �� ��� ����#�� �� #�$�� �� �. �#���#��( #� ,���'�&- (���(#(. ��� / � (�(��(��� ,���'�&-(� ����� ��� �� � ����� 1�� 1�

� 1� ��������� �� ��� D�(*����-�>�. C�4��#�" � �����( �, ���#$�#$�( �, &�����( #�"������#5�� (�� (*�&� (�(��(� N� ��� �(��( �(#�� %����� ( � ����� ;���;��

� �� ��������� �� ��� D����*� N�. ��&��*�#�" ��� �#����#5�#�� '� 9��(#+(�#& ,���'�&- �,"������#5�� (��(� /� B� /(#���#� � <#��#� �� ��(&�� B� �� C�&�� ��� ���� �# <���+���� ��#��(� ���&� ;�� ����*��� %����� %��,����&�� *�"�( 0��� 0�1� D��� ���

� �� ��(&�((�� N� ��� ���"� %�=�. ��&��*�#�" 4# �����#& &��*��(�#�� ,�� (���" #�+$��#'�� �3#�� ���+�#���� (�(��(� /������ N� %����� ' � ����� ;��� ;��

��1 �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�

Page 17: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

� �� ��(&�((�� N� ��� ���"� %�=�. �����#& ��&��*�#�" ,�� �#"+#�$��#'�� ����#���� (�(+��(� �(��( %����� C�� 4 � ����� ;1��;1�

� �� �# <������� ����� ��#55��� N�>� ��� ���"� %�=�. D��- #�$��#��( �, ����#���� (�(+��(� /B� N� %����� J*#�� 0 � ����� �������

� �� ��#�((� ��. Q��( ��� ���$���� �! ��#� �� '��&��"� �����#9�� (�� �� (��#� ��( (�(����(�/� B� <��(��((�� ��� N�C� C#��(� ��#��(� ���&� � /������ %��,� �� B����(#( ���J*#�#5�#�� �, �(��(� $����� �; �, C�&��� 2��( #� %����� ��� /�,���� &#��*�"�( ��;����� *�#�"��+Q����"� ���

��0� ��#�((� ��. B����#9�� � &��*( �#3�! ���#��(� ����� ��� � � ����� �����;��� � ����#����� B� ��� ���"� %�=�. )� �((��#�� �����( ��� � ����#���� ��&��*�#�"

*��'���� /������ N� %����� (� � ����� ���� �;1���� =�#:'��(� =�N�%�. �����#& ����'�&- #� 2���#���� ���(#( ���'���(� $����� 0 �,

%>/ )��&� #&#�" �����#(& %������ B�(����� ��1��;� =�#:'��(� =�N�%�� 2#:��#:��� =� ��� $�� ��� >�"��� C�C���. �����#& �#(��'��&�

��&��*�#�" ,�� ����#���� (�(��(. � ���(9���� ��� ���#�$��#'�� &�(�� /� <� <�������<� <�#��� N�+�� ���#��� ��� /� L�*-�� ��#��(� %�������������#&�� �(��(� $����� ��, ���"�� �(��( %����� )����� *�"�( �1;����� <#�-M�(�� ��

��1� =�#:'��(� =�N�%�� 2#:��#:��� =� ��� $�� ��� >�"��� C�C���. �����#& �#(��'��&���&��*�#�" ,�� ����#���� (�(��(� /B� N� %����� J*#�� %� � ����� ;;��;1�

���� /(#���#� B�. )� ��&#�" �, � *��(&�#'�� �#���� #�*�+��*� '��$#�� #� � ����#����(�(��� /��� )���(� B����� %����� B%+%� � ����� �������

���� /(#���#� B�. 2���#���� %����� �(��(� *�#�"��+Q����"� ��� ��##��� ������� /(#���#� B� ��� D�'��#� B�. J� � (���(#( �, �#���� #�*�+��*� ��(*��(�( ,�� ���+

�#���� (�(��(� �(��( %����� C�� ' � ��1�� �������� L��$��#(� %� ��� ����(� ��. ���(#( �, ���#$��#�'�� ����#���� &��������( '� #�*�@

��*� �#����#5�#��� B/%� N� %+ � ��0�� �1����1���� ���#�� ��. B� #��#�(#& (�3#&#�� &���##�� ,�� ��"���� ��&��*�#�"� �(��( %�����

C�� � � ��;�� ;�;�;� �;0� ���"� %�=� ��� ��#55��� N�>�. ��! &��*��"� ��� �#��! �#�� $� �� �F��"�� '�� �#��! �#��� %� D�

B&��� &#� ���#( �! �� / ��� %�0 � ����� 1����00�; � 2#:��#:��� =� ��� D�(*����-�>�. �����#& #�*�+��*� ��&��*�#�" �, ����#���� &��+

��� (�(��(� /��� )���(� B����� %����� B%+%% � ����� 0��� 0�0�;�� 2#:��#:��� =� ��� $�� ��� &�,� B�N�. 2���#���������#&�� %����� �(��(� *�#�"��+

Q����"� 2�4 P��- ��0�;;� ������� B���� R��"�P�+��� ���"� %�=� ��� %���� ��. �#(��'��&� ��&��*�#�" ,��

����#���� (�(��(. � ��#6�� �**���&� L�'����#-� ����"��� 1 � ��;�� 1���1�1�;1� ����#�� �� #�$�� �� �. J� � ����#���� �����#& �#(��'��&� ��&��*�#�" *��'���� N�

��� �(��( �(#�� %����� + � ����� ����;�� ����#�� �� #�$�� �� � ��� �#�� C�#�� Q� ��. �#(��'��&� ��&��*�#�" '� ��"���� �����#&

,���'�&- ,�� �3#�� ����#���� (�(��(. � �#���� ��"�'��#& �**���&� /� ���&� /�B%+>����%��"��((� $����� �� *�"�( ;���;�0� #���� ��;

�;�� D�(*����-�>�. �#(��'��&� ��&��*�#�" $#� �����#& ,���'�&-� /� <� <������� <� <�#���N�+�� ���#��� ��� /� L�*-�� ��#��(� %�������������#&�� �(��(� $����� � �, ���"�� �(��( %����� )����� *�"�( ;1��;��� <#�-M�(��� ��

�;�� D�(*����-�>� ��� 2#:��#:��� =�. J� ��&�� �#"+#�$��#'#�#� �, ����#���� &����� (�(+��(� %����� )���� B�$� )�&� ' � ����� ;���;1�

�;�� D����*� N�. >���+,����� �����#&( ����� 9��(#+(�#& (�� ,���'�&-� /� <� N�-�'&5�-�>� D�(*����-� ��� )� D5�5T �&�4(-#� ��#��(� ������� #� 2���#���� %����� ���

����#���#��( #� ,���'�&-( (���(#(. ��� //

Page 18: Filtrations in feedback synthesis: Part II – Input-output decoupling and disturbance decoupling

�#3����#�� /�&��(#��(� $����� ;� �, <���& %���� ��'��� *�"�( ;1��;�0� >��(5�4� ���

�;�� D����*� N� ��� ��������� ��. 2���#���� �#"+����� ��&#�" '� *��*�� &��*��(�#���� 9��(#+(�#& ,���'�&-� /� N�>� 2#��4���#(� %� ����"���� ��� =�C� )�����������#��(� ���&� ��� ����*��� %����� %��,����&�� *�"�( ���� �;;� ��;

�10� D�"�>� N�. B� #�*�+��*� &���&��#5�#�� ,�� �#����#5�#�� '� ,���'�&-� �(��(%����� C�� ' � ��1�� �������

�1 � #�"� �2�. ��&��*�#�" �, #�$��#'�� ����#���� (�(��( 4# (�� ,���'�&- ��� *��&��+*��(�#��� /��� )���(� B����� %����� B%+ ( � ��0�� �;�� �;�

�1�� $�� ��� >�"��� C�C���. C�&�� �#(��'��&� ��&��*�#�" 4# �'#�#� ,�� 2���#���� �(��(� $����� �� �, C�&��� 2��( #� %����� ��� /�,���� &#� *�#�"��+Q����"�<���#� ��

�1;� >#����(� N�%�. ����,��4��� &������ �/� &����� ��4(� ��� ����( #�$��#�� (�'(*�&�(� �(��( %����� C�� � � ����� �������

D�&�#$�� ��� �� ���H ��$#(�� ��� #� 6��� ,��� N��� �� ���

�������� ��������� C�'����#�� ��( (#"���7 � (�(����(� ?�#$��(#�! ���#( S/ � %2D � �*�! ��&� ������ �� ������� �+� �� �#,+(��+P$��� ����&�

�+��#�. ����������((�(�*���&�,������ �! �"#� ����#�� �� #�$�� ��*� ��"� �����U �#&�� �(&��� ���#�! &�#&�� ?�#$��(#���� �� �V ������� B$� ���,� C�&#��� ����'���� ��$�((� ;� ��� ��� %#���� ?�#$��(#�! �#�� �V ������ � � %�* 0��0�+�00� <��5#�

�+��#�. *�������&��(*�'�

��� �� �������� ��� �� � ����#�� �� #�$�