1 Fiche d’approfondissement 02 : Equation différentielle linéaire d’ordre deux à coefficients constants avec second membre dépendant du temps Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme : ! ! + 2×× ! + ! ! = ! × ! ! ×() avec ! : pulsation propre du système étudié (en rad/s) : coefficient d’amortissement du système étudié (sans unité) ! : amplification statique du système (sans unité) Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps. étant un échelon de tension, on obtient pour t >0s : ! ! + 2×× ! + ! ! = ! × ! ! × Régime transitoire et régime permanent : La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes : = ! + ! • ! : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une solution continue : ! = ! × • ! : solution générale de l’équation homogène associée ! ! ! !" ! + 2×× ! !" !" + ! ! = 0 . La solution de cette équation homogène dépend de la valeur de Etude théorique de l’équation homogène : On associe à cette équation différentielle, un polynôme caractéristique : Equation/polynôme caractéristique : ! + 2×× ! + ! ! = 0 On recherche le discriminant : Δ = ! − 4 = 2 ! ! − 4 ! ! = 2 ! ! ! − 1 En fonction du signe du discriminant, l’équation admet 3 solutions. Régime apériodique pour > : Valeur de m : ! − 1 > 0 > L’amortissement du système est important. Sachant que = ! !! , on a alors < ! ! : le coefficient de qualité du système est donc faible. Détermination de ! : Les solutions sont réelles négatives.