1 Fiche d’approfondissement 01 : Equation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients constants avec second membre dépendant du temps Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme : + = ! × Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps. ! : Amplification statique, sans unité : Constante de temps et a donc pour unité la seconde. étant un échelon de tension, on obtient pour > 0 : + = ! × Régime transitoire et régime permanent : La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes : = ! + ! • ! : solution générale de l’équation homogène associée !! ! !" + ! ! ! = 0 qui a pour forme : ! = × exp − , : à é • ! : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une solution continue : ! = ! × La solution générale devient alors = ! + ! = × exp − + ! × Pour un filtre passe d’ordre 1 : Dans la plupart des cas, le signal de sortie à = 0 est nul : = 0 = × exp − 0 + ! × = 0 ×1 + ! × = 0 Donc, on obtient : = − ! × La solution générale devient alors = × exp − + ! × = − ! ×× exp − + ! × On factorise par ! × et on obtient la solution de l’équation différentielle : = ! ×(1 − exp − )