ACED Análise Complexa e Equações Diferenciais Prof .Michael P aluch • 2 o Semestre 2019/2020 1. Escreva cada número complexo na forma re i θ com 0 ≤ θ < 2π. (i) i 3 , (ii) 1 - i, (iii) √ 2(1 + i ), (iv) √ 3 - i, (v) 2 - 2 √ 3i. 2. Escreva cada número complexo na forma x + iy com x, y ∈ R: (i) e πi /4 , (ii) 5e -πi (iii) 2e 3πi /2 , (iv) e 4πi /3 , (v) e 7πi /6 . 3. Escreva cada número complexo na forma e i θ com -π < θ ≤ π. (i) (1 - i )(-1 - i ), (ii) (1 - i ) -1 , (iii) ( √ 3 - i )/(1 + i ), (iv) (1 + √ 3i ) 3 . 4. Calcule, para n = 1, 2, 3, . . . , (i) i n , (ii) 1 - i 1 + i n , (iii) (1 + i ) n +(1 - i ) n . 5. Determine ∑ n k=0 e ikθ e mostre 1 + 2 n X k=1 cos kθ = sen(n + 1 2 )θ sen 1 2 θ para θ 6 = 2mπ com m ∈ Z. 6. Determine todas as soluções das equações seguintes: (i) 1 + z + ··· + z 7 = 0, (ii) (1 - z) 6 =(1 + z) 6 , (iii) 1 - z + z 2 = 0, (iv) 1 - z 2 + z 4 - z 6 = 0. 7. A relação de ordem usual > de R verifica as propriedades seguintes: (a) Se x 6 = 0, então x > 0 ou -x > 0, mas não as mesmas. (b) Se x, y > 0, então x + y > 0e xy > 0. Mostre que não existe uma relação > em C que verifica (a) e (b). 1
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Ficha 1 de Exercícios - ULisboa · ACED Análise Complexa e Equações Diferenciais Prof. Michael Paluch 2o Semestre 2019/2020 Ficha 4 de Exercícios 1.Para o caminho g(t) = (cost,3sent),
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Ficha 1 de Exercícios
1. Escreva cada número complexo na forma reiθ com 0 ≤ θ < 2π.
(i) i3, (ii) 1 − i, (iii)√
2(1 + i), (iv)√
3 − i, (v) 2 − 2√
3i.
2. Escreva cada número complexo na forma x + iy com x, y ∈ R:
(i) eπi/4, (ii) 5e−πi (iii) 2e3πi/2, (iv) e4πi/3, (v) e7πi/6.
3. Escreva cada número complexo na forma eiθ com −π < θ ≤ π.
(i) (1 − i)(−1 − i), (ii) (1 − i)−1, (iii) (√
3 − i)/(1 + i), (iv) (1 +√
3i)3.
4. Calcule, para n = 1, 2, 3, . . . ,
(i) in, (ii)(
1 − i1 + i
)n, (iii) (1 + i)n + (1 − i)n.
5. Determine∑n
k=0 eikθ e mostre
1 + 2n∑
k=1
cos kθ =sen(n + 1
2 )θ
sen 12 θ
para θ 6= 2mπ com m ∈ Z.
6. Determine todas as soluções das equações seguintes:
(i) 1 + z + · · ·+ z7 = 0,
(ii) (1 − z)6 = (1 + z)6,
(iii) 1 − z + z2 = 0,
(iv) 1 − z2 + z4 − z6 = 0.
7. A relação de ordem usual > de R verifica as propriedades seguintes:
(a) Se x 6= 0, então x > 0 ou −x > 0, mas não as mesmas.
(b) Se x, y > 0, então x + y > 0 e xy > 0.
Mostre que não existe uma relação > em C que verifica (a) e (b).
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Ficha 2 de Exercícios
1. Esboce os seguintes subconjuntos de C dados por:
(i) z | |z + 2| = 6.
(ii) z | |z − 3i| = |z + i|.
(iii) z |∣∣ 1
z
∣∣ ≤ 2.
(iv) z | |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|.
(v) z | |z + 1|+ |z − 1| = 2.
(vi) z | z2 + z2 = 1.
2. Encontre todas as soluções da equação z4 − 4z3 + 6z2 − 4z − 15 = 0.
3. Encontre a parte real e imaginária das funções
(i) f (z) = z + iz2.
(ii) f (z) = i − z3.
(iii) f (z) = z/z.
4. Para uma função f , seja Z( f ) = z ∈ C | f (z) = 0. Determine Z( f ) para as funções:
(i) (z4 − 1) sen(πz)
(ii) ch2 z
(iii) 1 + exp 2z
(iv) sen3 (z−1), para z ∈ C \ 0
(v) 1 − exp z2
(vi) 1 + exp z2
5. Esboce a imagem pela aplicação f do conjunto A indicado
(i) f (z) = z2, A =
z ∈ C | Arg(z) = 5π6
(ii) f (z) = (z − i)−1, A = z ∈ C | |z − i| = 2
(iii) f (z) = Log z, A =
z ∈ C | 2 < |z| < e, π4 < Arg z < 7π
4
, usando o ramo principal do
argumento na definição do logaritmo.
6. Encontre os limits
(i) limz→−i
z2 + 3iz − 2z + i
,
1
(ii) limz→0
sen zsh iz
.
7. Mostre que cada dos limite segiuntes não existe
(i) limz→0
zz
,
(ii) limz→0
z|z|
,
(iii) limz→0
Im zRe z
.
8. Seja f (z) = z/(1 + |z|).
(i) Mostre que f é contínua em C.
(ii) Mostre que f (z) = f (w) se e só se z = w.
(iii) Mostre que a imagem de f é o disco z | |z| < 1.
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Ficha 3 de Exercícios
1. Utilizando as condições de Cauchy-Riemann, verifique quais das funções seguintes sãodiferenciáveis pelo menos num ponto
(i) f (z) = z2z,
(ii) f (z) = cos(3z)− i,
(iii) f (z) = z Im z,
(iv) f (z) = |z|z,
(v) f (z) = Re z + Im z.
2. Quais das funções do exercício anterior são holomorfas pelo menos num ponto?
3. Mostre que a função f (x + iy) =√
|xy|, com x, y ∈ R, verifica as condições de Cauchy-Riemann na origem, mas não é diferenciável neste ponto.
4. Calcule as derivadas das seguintes funções:
(a) sen(z) + 3z2 − zez3,
(b) cos(z) + (2z + 1)z,
(c) tg(z),
(d) f (z) = az+bcz+d ,
(e) arcsen(z),
(f) log(z2 + (z − 3)−1).
5. Seja f ′(z) ≡ 0 num aberto conexo Ω. Mostre que f (z) ≡ (constante) em Ω.
6. Seja f : C→ C uma função holomorfa tal que se verifica uma das condições
(a) Re f (z) ≡ (constante),
(b) Im f (z) ≡ (constante),
(c) | f (z)| ≡ (constante).
Mostre que f (z) ≡ (constante).
7. Reconstrua a função holomorfa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sabendo a parte real e umvalor f (z0).
(i) u(x, y) =x
x2 + y2 , f (π) = π−1.
1
(ii) u(x, y) = x2 − y2 + 2x, f (i) = 2i − 1.
(iii) u(x, y) = 2 sen x · ch y − x, f (0) = 0.
8. Calcule os integrais
(i)´
γ cos y dx − sen y dy, γ =(x, y) | y = −x, x ∈ [−2, 2]
;
(ii)´
γ(xy − y2) dx + x dy, γ =(x, y) | y = 2
√x, x ∈ [0, 1]
;
(iii)´
γ(x2 − 2xy) dx + (y2 − 2xy) dy, γ =(x, y) | y = x2, x ∈ [−1, 1]
6. Determine a série de Laurent da função f (z) na vizinhança do ponto z0
(i) f (z) =sen z
z2 , z0 = 0;
(ii) f (z) = z3e1/z, z0 = 0;
(iii) f (z) =1 − cos z
z2 , z0 = 0;
(iv) f (z) =sen zz − 2
, z0 = 2.
7. Determine a série de Laurent da função f (z) no conjunto Ω
(i) f (z) =1
(z − 2)(z − 3),
a) Ω = z | 2 < |z| < 3,
b) Ω = z | 3 < |z| < +∞;
8. f (z) =1
z2 + 1, Ω = z | 0 < |z − i| < 2;
9. f (z) = z3 cos[
1z − 2
], Ω = z | 0 < |z − 2| < +∞;
2
10. f (z) = log[(z + 1)2
z2 + 4
], Ω = z | 2 < |z|.
11. Classifique a singularidade da função f (z) no ponto z0 para:
(i) f (z) =1
z − sen z, z0 = 0;
(ii) f (z) =sen z
e−z + z − 1, z0 = 0;
(iii) f (z) =1 + cos z
z − π, z0 = π;
(iv) f (z) =sh z
z, z0 = 0;
(v) f (z) =z2 − 1
z6 + 2z5 + z4 , z0 = 0;
(vi) f (z) =z2 − 1
z6 + 2z5 + z4 , z0 = −1;
12. Classifique todas as singularidades da função f (z) para:
(i) f (z) =1
1 − sen z,
(ii) f (z) = cos(z−1),
(iii) f (z) =1
e−z − 1+ z−2.
13. Classifique a singlaridade da função f (z) no ponto z =∞(i) f (z) =
z + 1z4 ,
(ii) f (z) = cos (1/z),
(iii) f (z) = z3e1/z,
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Ficha 7 de Exercícios
1. Calcule os resíduos
(i) Resz=0zn−1
senn z, n = 1, 2, . . . ;
(ii) Resz=0ez − 1 − z
(1 − cos 2z) sen z;
(iii) Resz=0zn−2
shn z, n = 2, 3, . . . .
2. Calcule os resíduos da função f (z) em todos os pontos singulares
(i) f (z) =tg z
z2 − πz/4,
(ii) f (z) = z3e1/z,
(iii) f (z) =ch z
(z2 + 1)(z − 3),
(iv) f (z) =eπz
z − i,
(v) f (z) =e1/z
z + 1.
3. Calcule os integrais
(i)‰|z|=1
ez
z2 − 6zdz;
(ii)‰|z|=2
sen izz2 − 4z + 3
dz;
(iii)‰|z|=1
tg zze1/(z+2)
dz;
(iv)‰|z|=2
cos izz3 dz;
(v)‰
γ
z(z − 1)2(z + 2)
dz, γ = z = x + iy | x2/3 + y2/3 = 32/3;
(vi)‰
γ
cos(z/2)z2 − 4
dz, γ = z = x + iy | x2/9 + y2/4 = 1;
1
(vii)‰
γ
e2z
z3 − 1dz, γ = z = x + iy | x2 + y2 − 2x = 0.
4. Calcule os integrais
(i)‰|z|=1
cos zz3 dz,
(ii)‰|z|=2
z sh z(z2 − 1)2 dz,
(iii)‰|z−2|=3
ch eiπz
z3 − 4z2 dz,
(iv)‰|z|=1/2
cos(
πz+1
)z3 dz.
5. Usando o resíduo em z =∞, calcule os integrais
(i)‰|z|=2
11 + z12 dz,
(ii)‰|z|=2
1000z + 21 + z1224 dz.
6. Calcule os integrais
(i)ˆ ∞
0
x2 + 1x4 + 1
dx;
(ii)ˆ +∞−∞
1(x2 + 1)3 dx;
(iii)ˆ ∞
0
x sen axx2 + 1
dx, a > 0;
(iv)ˆ 2π
0
11 − 2p cos x + p2 dx, 0 < p < 1;
7. Seja f (z) uma função analítica em todo o plano complexo e suponha que existem M ∈ R en ∈ N tais que | f (z)| ≤ M(1 + |z|n) para cada z ∈ C. Mostre que f (z) é um polinómio degrau menor ou igual a n.
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Ficha 8 de Exercícios
1. Mostre que para A > 0 a função
y(t) =
0 t ≤ A,(t2 − A)3 t > A
(1)
é uma solução de classe C1 do problema de valor inicial
dydt
= 6t 3√
y2
y(0) = 0 ,
diferente da solução y(t) = 0, ∀t ∈ R. Explique porque é que isto não contradiz o teoremade Picard.
2. Mostre que o problema de valor inicial
dydt
= y1/2
y(0) = 0,
tem infinitas soluções de forma
y(t) =
0 t < a[
t − a2
]2
t ≥ a(2)
com a > 0, e explique porque esse facto não contradiz o Teorema de Picard.
3. Considere a equação diferencial
(1 − t)ydydt
= 1 − y2
(i) Mostre que para cada constante K a equação 1 = y2 + K(1 − t)2 determina umasolução implícita.
(ii) Justifique que existe uma solução única definida num intervalo aberto de 1/2 queverifica y(1/2) = 2, e determine o intervalo máximo de unicidade dessa solução.
(iii) Mostre que o PVI admite um número infinito de soluções definidas em R.
1
(iv) Diga, justificando, porque não há contradição ao Teorema de Picard.
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Ficha 9 de Exercícios
1. Em resolve cada problema para t > 0 e estude cada solução como t→ o+.
(i) ty ′ + 2y = t2 − t + 1, y(1) = 1/2.
(ii) ty ′ + y = et, y(1) = 1.
(iii) y ′ + (cotg t)y = 2 csc t, y(π/2) = 1.
(iv) ty ′ + 2y = sen t, y(π) = π−1.
2. Em cada problema resolve o sistema de equações:
que satisfaz a condição inicial x(0) = 1, y(0) = 0.
(ii) Considerando agora o sistema
x ′ = x − yy ′ = 2x − yz ′ = y − (sen t)z
utilize a alínea anterior para determinar a solução que verifica a condição inicialx(0) = 1, y(0) = 0, z(0) = 1.
1
4. Em cada problema expressar a solução geral do sistema de equações em termos de funçõesreais.
(i) x ′ =(
3 −24 −1
)x
(ii) x ′ =
1 0 02 1 −23 2 1
x
(iii) x ′ =
1 1 12 1 −10 −1 1
x
(iv) x ′ =(
2 −51 −2
)x +
(− cos t
sen t
)(v) x ′ =
(2 −51 −2
)x +
(− cos t
sen t
)
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Ficha 10 de Exercícios
1. Para cada problema determine a solução geral.
a) y ′ + y/x = sen x, x > 0.
b) x2y ′ + 3xy = (sen x) /x, x < 0.
c) y ′ + (tg x) y = x sen 2x, −π/2 < x < π/2.
d) xy ′ + 2y = ex, x > 0.
2. Para cada problema determine a solução e indique o intervalo em que a solução é válida
a) xy ′ + 2y = x2 − x + 1, y(1) = 1/2.
b) xy ′ + y = ex, y(1) = 1.
c) xy ′ + 2y = sen x, y(π) = 1/π.
3. Determine a solução do problema de valor inicial
3t2 + 4ty + (2y + 2t2)y ′ = 0, y(0) = 1
e esclareça qual é o seu intervalo máximo de existência.
4. Resolve os problemas seguintes.
(i) y ′ =t3 − 2y
t
(ii) y ′ =2t + y
3 + 3y2 − t, y(0) = 0
(iii) ty ′ − y =√
ty
(iv) t2y + ty − y + (t2y − 2t2)y ′ = 0
(v) y ′ = −3t2y + y2
2t3 + 3ty, y(1) = −2
5. Considere a equação diferencial
yt+(
y3 − log t) dy
dt= 0 (3)
(i) Verifique que a equação (0.3) tem um factor integrante da forma µ = µ(y) e determine-o.
1
(ii) Prove que as soluções de (0.3) são dadas implicitamente por Φ(t, y) = C, onde C éuma constante arbitrária e
Φ(t, y) =12
y2 +1y
log t
(iii) Determine a solução de (0.3) que satisfaz a condição inicial y(1) =√
2.
6. Considere a equação diferencialdydt
= −y
4y2 + 2t
(i) Mostre que esta equação tem um factor integrante µ = µ(y).
(ii) Determine a solução que satisfaz a condição inicial y(1) = 1.
(iii) Determine o intervalo máximo de existência da solução que calculou na alínea ante-rior.
7. Considere a equação diferencial ordinária
xt− sen(t) + x ′ = 0 (4)
(i) Mostre que a equação (0.4) não é exacta.
(ii) Determine condições tais que uma equação na forma
M(t, x) + N(t, x)x ′ = 0
admite um factor integrante que é uma função de t, isto é, da forma µ(t), para umacerta função real de variável real µ, e escreva uma equação diferencial ordinária satis-feita por µ.
(iii) Determine a solução da equação (0.4) que satisfaz a condição inicial x(π) = 1, eindique o intervalo máximo de definição da solução.
8. Considere a equação diferencial ordinária(4x2y + 3xy2 + 2y3
)+(
2x3 + 3x2y + 4xy2) dy
dx= 0 (5)
(i) Mostre que (0.5) tem um factor integrante do tipo µ = µ(xy).
(ii) Mostre que a solução de (0.5) com condição inicial y(−1) = 1 é dada implicitamentepela expressão x4y2 + x3y3 + x2y4 = 1.
9. Mostre que o seguinte problema de valor inicial:
dydt
=1
3y2 + 3√(t + 1)2
y(0) = 1 ,
tem uma única solução y(t), definida para t ∈ [0,+∞[, e calcule limt→+∞ y(t) .
2
Sugestão: Não tente resolver a equação diferencial. Considere a função u(t) definida pordudt
=1
3u2
u(0) = 1 .
Uma vez determinada a função u(t), mostre que
dydt
>1
3 (u(t))2 + 3√(t + 1)2
,
e integre esta relação entre 0 e t.
10. Sendo y a solução do PVI dydt
= y2(2 + sen(et + y))
y(0) = 1 .
mostre que y(t) está definida para t no intervalo [0, T[ com T < 1.
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Ficha 11 de Exercícios
1. Considere a equaçãoy(3) − 4y(2) + 5y ′ = 0
a) Determine a sua solução geral.
b) Determine para que condições iniciais em t = 0 é que os problemas de valor inicialcorrespondentes têm soluções convergentes quando t→∞.
2. Seja k > 0. Para que valores de c ∈ R é que a equação
y ′′ − 2cy ′ + y = 0
admite uma solução satisfazendo y(0) = y(2kπ) = 0, que não seja identicamente nula?
3. Considere a equaçãoy(4) + 2y(3) + y(2) = t + cos t (6)
a) Determine a solução geral da equação homogénea correspondente a (0.6).
b) Determine uma solução particular de (0.6).
c) Determine a solução de (0.6) que verifica a condição inicial
y(0) = y ′(0) = y(2)(0) = y(3)(0) = 0
4. Determine a solução da equação linear:
y(3) − 2y(2) + y ′ − 2y = b(t)
que verifica as condições iniciais
y(0) = y ′(0) = 0 , y(2)(0) = 1
quando:
a) b(t) = 0, ∀t ∈ R.
b) b(t) = t, ∀t ∈ R.
c) b(t) = et, ∀t ∈ R.
1
5. Mostre que y1(t) =sen t
té uma solução da equação diferencial
td2ydt2 + 2
dydt
+ ty = 0 (7)
e use redução de ordem para determinar a solução geral de (0.7).
6. Considere a equação diferencialt2y ′′ + ty ′ − y = t (8)
Mostre que y1(t) = t e y2(t) = t−1 são soluções linearmente independentes de equaçãohomogénea associada, e determine a solução geral de (0.8) .
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Ficha 12 de Exercícios
1. Determine a transformada de Laplace das funções seguintes:
(i) f (t) = t,
(ii) f (t) = tet,
(iii) f (t) = sen 3t,
(iv) f (t) = t + 12 e−t,
(v) f (t) = 2 sen t − cos t,
(vi) f (t) = cos3 t,
(vii) f (t) = t2 cos t,
(viii) f (t) = t3 + e−t,
(ix) e2t sen t.
2. Encontre a função original f (t) se a sua transformada de Laplace F(s) é :
(i) F(s) =2e−s
s3 ,
(ii) F(s) =e−2s
s2 ,
(iii) F(s) =e−2s
s − 1,
(iv) F(s) =e−3s
s + 3,
(v) F(s) =1
s2 + 4s + 5,
(vi) F(s) =s
(s + 1)2 ,
(vii) F(s) =1
s3 + 2s2 + s,
(viii) F(s) =2s3 + s2 + 2s + 2
s5 + 2s4 + 2s3 ,
(ix) F(s) =s + 2
(s + 1)(s − 2)(s2 + 4),
(x) F(s) =s
s3 + 1,
1
(xi) F(s) =3s2
(s3 − 1)2 .
3. Calcule as transformadas de Laplace e as regiões de convergência das funções definidasem t ≥ 0 pelas expressões seguintes:
(i) f (t) = cosh(at) (ii) f (t) = t sen(at)
(iii) f (t) = eat cos(bt) (iv) f (t) =sen(t)
t, (t > 0)
4. Calcule a inversa da Transformada de Laplace de
(a) (s2 − 1)−2 (b) 6(s4 + 10s2 + 9)−1
(c)s + 1
s2 + s − 6(d)
1(s + 1)4
5. Utilizando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y ′′ − y ′ − 6y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −1
b) y ′′ + ω2y = cos(2t), ω2 6= 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0
c) y ′′ + 2y ′ + 2y = h(t), y(0) = 0, y ′(0) = 1 sendo
h(t) =
1 se π ≤ t < 2π0 se 0 ≤ t < π e t ≥ 2π
6. Designa-se por δ a função de Dirac com suporte na origem. Utilizando a transformada deLaplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y ′′ + 2y ′ + 2y = δ(t − π), y(0) = 1, y ′(0) = 0
b) y ′′ + y = δ(t − π)− δ(t − 2π), y(0) = 0, y ′(0) = 0
c) y ′′ + y = δ(t − π) + cos t, y(0) = 0, y ′(0) = 1
7. Calcule a série de Fourier da função f : [−1, 1]→ R definida por
f (x) =
−1 se −1 6 x 6 0,+1 se 0 < x 6 1.
8. Determine a série de Fourier da função g(x) = L − |x|, no intervalo [−L, L]. Utilizando asérie obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que
+∞∑n=1
1(2n − 1)2 = 1 +
132 +
152 + · · · = π2
8.
9. Determine a série de Fourier da função h(x) = x2, no intervalo x ∈ [−L, L]. Utilizando a
2
série obtida num ponto adequado, aproveite para mostrar que
+∞∑n=1
1n2 = 1 +
122 +
132 + · · · = π2
6.
10. Calcule a série de Fourier da onda sinusoidal rectificada, isto é, de
f (x) =
sen x se sen x > 00 se sen x 6 0
11. Desenvolva a função definida no intervalo [0, 1] por f (x) = 1 numa série de senos e indiquepara que valores converge (pontualmente) a série obtida.
12. Considere a função f : [0, 1]→ R definida por f (x) = x. Determine:
(i) a série de Fourier associada a f ;
(ii) a série de senos associada a f ;
(iii) a série de cosenos associada a f .
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ACEDAnálise Complexa e Equações Diferenciais
Prof. Michael Paluch • 2o Semestre 2019/2020
Ficha 13 de Exercícios
1. Determine os valores de λ para os quais os seguintes problemas de valores fronteira têmsoluções não triviais:
a) y′′ − 2y′ + (1 + λ)y = 0; y (0) = 0, y (1) = 0.
b) y′′ + λy = 0; y (0) = y (2π) , y′ (0) = y′ (2π) .