Fibonacci arvudest

TALLINNA ÜLIKOOL

Matemaatika ja Loodusteaduste Instituut

Matemaatika osakond

Joosep Vaikma

FIBONACCI ARVUDEST

Seminaritöö

Juhendaja: Paul Tammela

Autor: .....................................................................................”........”.....................2011

Juhendaja: ..............................................................................”........”.....................2011

2

Sisukord

Sisukord 2

Sissejuhatus 3

1. Ajalugu 4

1.1. Fibonacci arvud 5

1.1. Kuldlõige 6

2. Üldistusi Fibonacci arvudele 8

2.1. Esimene üldistus e. jada algsete väärtuste muutmine 8

2.2. Teine üldistus e. summeeritavate elementide muutmine 8

2.3. Kolmas üldistus e. liidetavate elementide arvu muutmine 8

3. Fibonacci arvude genereeriv funktsioon 10

3.1. Genereeriv funktsioon 10

3.2. Fibonacci genereeriv funktsioon ja Binet´ valem 10

4. Fibonacci arvude omadused 14

4.1. – 14

4.2. 14

4.3. 14

4.4. Negatiivse Fibonacci elemendi valem 15

4.5. Negatiivse Lucas´ elemendi valem 16

4.6. Fibonacci arvude liitmisvalem 16

4.7. Fibonacci arvude lahutamisvalem 17

4.8. Lucas´ arvude liitmisvalem 17

4.9. Lucas´ arvude lahutamisvalem 18

4.10. Lucas´ arvude valem Fibonacci arvude kaudu 18

4.11. Fibonacci arvude valem Lucas´ arvude kaudu 19

4.12. Fibonacci ja Lucas´ arvude seoseid 20

4.12.1. 20

4.12.2. 20

Kokkuvõte 21

Kasutatud kirjandus 22

3

Sissejuhatus

Matemaatikas on üheks kestvaimaks uurimusobjektiks olnud Fibonacci arvud –

jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., milles iga järgnev element on kahe eelneva summa. Esimesena

käsitleti neid teaduslikult juba 13. sajandil. Varasest avastamisest hoolimata pakuvad nad

aga suurt huvi ka tänapäeva matemaatikutele, omades väärtust nii teoreetikute kui

praktikute jaoks. Nende uurimisele on pühendunud 4 korda aastas ilmuv ajakiri, neid

käsitletakse ka paljudes teistes väljaannetes ja tähtsamaid uurimustulemusi avaldatakse

tihti raamatutena. Kõige selle põhjuseks on ilmselt just nende arvude lai rakendatavus ja

üldistatavus. Nimelt põhineb suur osa looduslikest protsessidest kas eksponentfunktsioonil

(ex) või siis just diskreetsetel rekurrentsetel jadadel, millistest lihtsaimaks ehk ongi

Fibonacci jada. Siiski on imetlusväärne, et siiani leitakse uusi viise nende arvude

rakendamiseks, nii börsi liikumiste ennustamiseks, õnnemängudes võitmiseks ning

algoritmide keerukuse hindamiseks. Huvi pakuvad kindlasti ka puhtalt arvuteoreetilised

tulemused, mida arvude pikast ajaloost hoolimata siiski pidevalt juurde avastatakse. Niisiis

on Fibonacci arvude näol tegu vägagi unikaalse nähtusega matemaatikas.

4

1. Ajalugu

Leonardo Pisano (1170-1250) oli üks 13. sajandi väljapaistvamaid matemaatikuid.

Tänapäeval tuntakse teda eelkõige just Fibonacci arvude järgi, mille ta pakkus välja

lahendusena järgmisele ülesandele: “Olgu mingis kindlas piiratud piirkonnas üks

jänestepaar. Kui mitu jänestepaari on seal aasta pärast, kui iga paar hakkab peogima kahe

kuu möödudes ja saab seejärel igal kuul 2 järglast (ehk uue jäneste paari)?” Fibonacci

kaotas ülesandest ära ajapiirangu ja leidis üldkuju lahendiks jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....

Jada sai tänu sellele tema järgi nime. Läbi sajandite on leitud selle jada erinevaid omadusi

ja rakendusi. Lucas´ jada on saanud nime Fracois Edouard Anatole Lucas´ (1842-1891)

järgi, kes oli esimesi, kes Fibonacci jada teema peale mitmesaja-aastast unustust taas

päevakorda tõi ja kes ka tõepoolest omanimelise jada ja selle põhiomadused avastas.

Fibonacci sündis Pisa linnas (tänapäeva Itaalias), kuid sai hariduse põhiliselt Põhja-

Aafrikas, kus tema isa esindas Pisa vabariigi kaupmehi, kes kauplesid Bugias. Nüüd

nimetatakse seda Kirde-Alžeerias asetsevat Vahemere sadamat Bejaiaks. Tema hüüdnimi

Fibonacci tulenes isa nimest Guilielmo ja pere nimest Bonacci (Pisano tähendas Piisast

pärit ehk siis Piisalane, sest keskajal kasutati perenime asemel tavaliselt teise nimena linna

või asula nime, kust inimene pärit on). Fibonacci õpetas Bugias matemaatikat ja reisis

palju oma koos isaga, kus nägi tohutuid edusamme matemaatilistes süsteemides. Fibonacci

lõpetas oma rändamise umbes aastal 1200 ja pöördus tagasi Pisasse, kus ta kirjutas palju

olulisi traktaate, mis kõik olid käsitsi kirjutatud, sest sellel ajal veel ei oldud leiutatud

trükikunsti. Tal on teeneid eelkõige arvuteooria ja diskreetse matemaatika vallas, kuid ta

tegeles ka geomeetria ja majandusmatemaatikaga.

Tema teostest Liber Abaci (1202), Praktica Geometriae (1220), Flos (1225) ja

Liber Quadratorum leidub koopiaid ka tänapäeval.

5

1.1. Fibonacci arvud

Tänapäpeval Fibonacci arvude nime all tuntakse jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., kus

jada iga järgmine element on kahe eelneva summa. Seda seost defineeritakse seosega

kusjuures tavaliselt fikseeritakse ja .

Seega , , , , , , , , ...

Fibonacci jadal on ka kaasjada, mida nimetatakse Lucas´ jadaks ja mis järgib sama

rekurrentset võrrandit, kuid defineeritud on ja .

Seega , , , , , , , , ...

Fibonacci jada näol on tegemist väga tähtsa jadaga, antud jada on isegi kutsutud

looduse jadaks. Fibonacci jada liikmed eksisteerivad väga erinevates kohtades. Näiteks on

paljudel lilledel kas täpselt või keskmisel mõni Fibonacci arv õielehti (enamikul

karikakardel nt. 34, 55 või 89 õielehte, mis on vastavalt , ja ). Samuti on paljude

seemnete ja käbide soomuste paigutuses märgatud, et nad paiknevad spiraalselt ja neid

spiraale on sel juhul alati mõne Fibonacci arvu jagu ning ka paljudel taimedel lehtede

paigutus varrel nii, et kahe täpselt üksteise kohal asuva lehe vahel on varrel mõne

Fibonacci arvu jagu lehti.

Rakendades Eukleidese algoritmi, et leida kahe järjestikuse Fibonacci arvu suurim

ühistegur, siis kulub selleks nii mitu rida, kui mitmes Fibonacci arv see on ja suurim

ühistegur on alati 1. See on tingitud sellest, et

jääk on alati , mille tõttu on

järgmine ride uuesti kaks järjestikus Fibonacci arvu ja see kordub kuni . On ka

tõestatud, et mistahes kahe järjestikuse Fibonacci arvu puhul vajab see algoritm kõige

rohkem korduseid võrreldes sama suurte suvaliste arvudega.

6

1.1. Kuldlõige

Kuldlõikeks kutsutakse lõigu jaotamist kaheks osaks nii, et lõigu pikema osa ja

lühema osa jagatis on võrdne kogu lõigu ja pikema osa jagatisega.

Kehtib võrdus

, millest järeldub, et pikema lõigu pikkus peab olema

kogu lõigu pikkuse ja lühema lõigu pikkuse geomeetriline keskmine. Kuldlõike suhtarv on

irratsionaalarv ja teda tähistatakse

Kahe järjestikuse Fibonacci jada arvu jagatis läheneb kuldlõike suhtarvule ning on

seda täpsem, mida suurem järjenumbriga järjestikused arvud võtta, ehk

Kuldlõike suhtarvu leidub veel paljudes huvitavates seostes:

Tegemist on suhtega, mida võib tähele panna väga paljudes kohtades. Seda loetakse

inimesele kõige harmoonilisemana tunduvaks suhteks ja sellepärast on seda kasutatud läbi

aegade suhteliselt palju nii arhitektuuris, kujutavas kunstis, heliteostes ja mõnedes

alternatiivsetes akustikateooriates. Kui ristküliku küljed suhtuvad üksteisega nagu

kuldlõike suhtarv, siis seda ristkülikuks kutsutakse kuldseks ristkülikuks ning spiraali, mis

moodustub kui iga poole pöördega kandub joon keskpunktist kuldlõike suhtarvu korda

kaugemal, kui ta enne oli, kutsutakse kuldspiraaliks.

Nimelt on juba Vana-Egiptuse püramiidide juures leitud seoseid kuldlõikega. Selle

teadlik kasutamine sai tõendatavalt alguse juba Vana-Kreekast, kust pärineb väidetavalt ka

tema tähistus, nimelt olevat Pheidiase ( ειδας) skulptuurides juba kuldlõiget kasutatud.

Kuldlõiget on kasutatud ääretult paljudes erinevates kohtades, näiteks Beethoveni 5.

sümfoonias, Stradivariuse viiulite ehitustes, mängukaartide ja krediitkaartide kujunduses

7

(nn. kuldsed ristkülikud) ja ka looduse maalimises, kuid kõik need seosed ei pruugi olla

tahtlikud, sest piisava andmehulga korral on võimalik leida praktiliselt kõiki arve, kuid on

teada, et Vana-Kreeka matemaatikud seda arvu ka juba matemaatiliselt tundsid.

8

2. Üldistusi Fibonacci arvudele

Käosolevas uurimustöös käsitleme kolme peamist üldistust Fibonacci arvudele,

erinevaid üldistusi on palju rohkem. Hetkeline kasutusala on piiratud, sest üldistusi pole

uuritud nii palju kui Fibonacci arve ise ning need valemid, mis on olemas, ei pruugi olla

piisavalt üldised või lihtsad, et neid rakendada. Kuid üsna tõenäoliselt leiavad tulevikus

kasutust kombinatoorikas, majandusmatemaatikas, tõenäosusteoorias või informaatikas.

2.1. Esimene üldistus e. jada algsete väärtuste muutmine

Kuna Fibonacci jada põhiliseks omaduseks on tema rekurrentne võrrand, siis selle

asemel, et jada alustada kahe kindla väärtusega nagu Fibonacci või Lucas´ arvude korral,

võib ta alata suvaliste väärtustega. Sellist lähenemist võib rakendada ka kõigile ülejäänud

üldistustele. Edaspidi märgime suvalise algusega jada n-indat elementi kui , mis on

määratud rekurrentse võrrandiga .

2.2. Teine üldistus e. summeeritavate elementide muutmine

Fibonacci ja Lucas´ arvud on tuntud selle poolest, et jada kahe järjestikuse arvu

summa annab järgmise arvu jadas, kuid selle võib anda ka vahetult eelneva ja sellest

fikseeritud kaugusel asuva liikme summa. Selle üldistuse puhul tuleb jada rekurrentne

võrrand seega , kus on siinkohal selle jada n-is element ja k on mingi

kindel täisarvuline ja enamasti ühest suurem konstant. Tasub tähele panna, et korral

on tulemuseks Fibonacci ja Lucas´ arvude rekurrentne seos. Sellise määramise puhul tuleb

aga tähele panna, et jada kahe elemendi määramisest ei piisa enam jada üheseks

defineerimiseks, vaid on vaja kindlalt määrata järjestikust elementi. Edaspidi märgime

sellise jada elementi , mis järgib eeltoodud rekurrentset võrrandit ja mille elemendid

on võrdsed 1-ga. Samamoodi tähistab sellise jada elementi, mis järgib

eeltoodud rekurrentset võrrandit, kuid mille esimesed elemendid ei ole määratud.

2.3. Kolmas üldistus e. liidetavate elementide arvu muutmine

Kui oleme harjunud ühe liikme saamiseks kaks liiget liita, võib selle asemel liita ka

rohkem elemente, näiteks 3 või 4 või elementi. Siingi ei piisa enam alati kahe

9

algelemendi defineerimisest vaid on vaja ette anda nii mitu algelementi, kui mitut

liidetavat on kasutatud jada järgmise arvu arvutamisel. Sellise jada üldiseks rekurrentseks

võrrandiks osutub seega ∑

. Sellest jadast on olemas kindlate algjuhtudega

sagedamini kasutatav erikuju , kus

ja

. Tähtis on

siinjuures seda üldistust eelmisega mitte segi ajada, kuna tähistus on sama.

10

3. Fibonacci arvude genereeriv funktsioon

3.1. Genereeriv funktsioon

Uurimaks täisarvulise jada {bk} omadusi on kasulik konstrueerida genereeriv

funktsioon.

∑

Selle funktsiooni abil proovitakse leida ka analüütiline valem jada üldelemendi

jaoks. Kuna genereeriv funktsioon on astmerida, siis omab ta koonduvuspiirkonda, milles

rea summa e. kinnine kuju esitab genereerivat funktsiooni. Kui , siis

∑

3.2. Fibonacci genereeriv funktsioon ja Binet´ valem

Nüüd uurime genereerivat funktsiooni Fibonacci arvude jaoks. Leiame esmalt selle

genereeriva funktsiooni kinnise kuju.

∑

.

Nendest kahest saame

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

11

(∑

)

Millest saame järeldada

Millega leidsimegi Fibonacci arvude genereeriva seose.

Leidmaks Fibonacci arvude üldavaldist peame arendama genereeriva funktsiooni

tagasi astmereaks. Lahutame esmalt

osamurdudeks, et seda teha lahendame

võrrandi . Kasutades ruutvõrrandi lahendamisvalemit saame,

√

√

Tähistame

√

√

Järelikult

Kehtib seos

√

√

(√ )

Siis saame

12

(

) (

)

Lahutame selle osamurdudeks

Saame võrrandisüsteemi

{

Asendades teise võrrandisse saame

√

√

√

√

Tehtud asendusest järeldub, et

√

Saime

√ (

)

Teame, et

∑

Viimaste kahe võrrandiga saame

13

√ (∑

∑

)

√ ∑(

)

Siit saamegi üldavaldise Fibonacci arvude leidmiseks

√ (

)

√ [(

√

)

( √

)

]

Seda valemit tuntakse Binet´ valemina.

Analoogselt on võimalik tuletada Binet´ valemit ka Lucas´ arvude jaoks. Tulemuseks

saame

( )

[( √

)

( √

)

]

Nende kahe valemi abil on võimalik tõestada väga palju erinevaid valemeid, mis

seovad Fibonacci arve Lucas´ arvudega.

14

4. Fibonacci arvude omadused

4.1. –

Seda saab tõestada induktsiooni abil. Kõigepealt näitame, et valem kehtib baas

korral. Saame lihtsa arvutuse teel – .

Järgmisena näitame, et kehtib ka n-1 korral. Algseslt võrrandist saame asendades, et

– . Kasutame valemit võrrandis

–

ja saame

–

–

4.2.

Tõestame eelmise punkti abil. Asendades meie võrrandisse, saame

–

Eelmisest punktist teame juba, et see on võrdne .

4.3.

Tõestus

15

Kasutades liitmisvõtet, saame

4.4. Negatiivse Fibonacci elemendi valem

Binet´ valemist teame

√ (

)

Järelikult ka

√ (

)

√ (

)

√ (

)

√ (

)

Kuna

√

√

Siis saame

√ (

)

√ (

)

16

4.5. Negatiivse Lucas´ elemendi valem

Ka selle tõestamisel kasutame Binet´valemit

( )

Sarnaselt eelmisele

(

)

Kuna siingi

√

√

Siis saame

(

)

4.6. Fibonacci arvude liitmisvalem

Kasutame Binet´ valemit

(

√ (

)

√ (

))

√ (

)

√ (

)

√ (

)

17

4.7. Fibonacci arvude lahutamisvalem

Kasutame Binet´ valemit

(

√ (

)

√ (

))

√ (

)

√ (

)

√

(

)

√ (

)

√ (

)

√ (

)

4.8. Lucas´ arvude liitmisvalem

Kasutame Binet´ valemit

(

√

√ (

) (

))

(

)

18

(

)

4.9. Lucas´ arvude lahutamisvalem

Kasutame Binet´ valemit

((

) (

)

√

√ )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4.10. Lucas´ arvude valem Fibonacci arvude kaudu

Kasutame Binet´ valemit

( )

( )

Kuna

19

√

√

√

√

√

√

Siis saame

√

√

4.11. Fibonacci arvude valem Lucas´ arvude kaudu

Tõestame sarnaselt eelmisele tõestusele

Kuna

√

√

√

√ √

√

√

√

√ √

Siis saame

√ ( )

√ (

)

20

4.12. Fibonacci ja Lucas´ arvude seoseid

4.12.1.

Tõestame järgnevalt

Eelnevalt tõestasime, et

Siis saamegi, et

4.12.2.

Tõestame järgnevalt kasutades ära eelnevaid tõestusi

21

Kokkuvõte

Käesoleva seminaritöö eesmärk oli anda ülevaade Fibonacci arvudest ja tema

omadustest.

Töö koosnes neljast peatükist. Esimeses peatükis kandis sissejuhatavat eesmärki,

tutvusime põgusalt ajalooga, Fibonacci ja Lucas´ arvudega ning kuldlõikega. Teises

peatükis oli juttu kolmest peamisest Fibonacci jada üldistustest. Kolmas peatükk oli

pühendatud Fibonacci genereerivale funktsioonile ja Binet´ valemile, mis sai ära märgitud

nii Fibonacci kui ka Lucas´arvude kohta. Kogu neljas peatükk koosnes erinevatest

Fibonacci ja Lucas´ arvude omadustest, omavahelistest seostest ja tõestustest.

22

Kasutatud kirjandus

1. James Moore. Fibonacci Numbers and the Golden Mean [WWW]

http://www.docstoc.com/docs/45745920/Fibonacci-Numbers-and-the-Golden-

Mean

(29.12.2011)

2. Fibonacci GCD's, please [WWW]

http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/20004.5.shtml

(29.12.2011)

3. Fibonacci Number [WWW]

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

(29.12.2011)

4. Lucas Number [WWW]

http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html

(29.12.2011)

5. Generalized Fibonacci Number [WWW]

http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedFibonacciNumber.html

(29.12.2011)

6. Redi, E., Arvuteooria. Tallinn: Avita, 1998

7. Fibonacci arvud ja nende üldistatud kujud [WWW]

http://lepo.it.da.ut.ee/~velochy/uurimus.pdf

(29.12.2011)