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FiabilidadFiabilidad
Estadstica Industrial
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Qu es la fiabilidad?Qu es la fiabilidad?
Permanencia de la calidad de losproductos (o servicios) a lo largo deltiempo.
Capacidad de desarrollar adecuadamentesu labor a lo largo del tiempo.
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La Calidad .....La Calidad .....
se limita a garantizar que el productosale de fbrica en buenas condiciones
Permanece en buenas condiciones?
La Fiabilidad intenta garantizar que el producto permanecer
en buenas condiciones durante un periodo razonable de tiempo.
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Calidad vs. FiabilidadCalidad vs. Fiabilidad
Surge la necesidad de considerar uncontrol de calidad basado en el tiempo. Elcontrol de calidad habitual, o de
inspeccin, no tiene continuidadtemporal: el producto pasa un control ono lo pasa
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HerramientasHerramientas
Se estudia mediante el anlisis estadsticode datos de supervivencia.
Por qu ESTADSTICO?
ISO define fiabilidad como laprobabilidadde que un componenteo sistema, desarrolle durante un periodo de tiempo dado,la tarea que tiene encomendada sin fallos, y en las condicionesestablecidas.
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Introduccin al ADSIntroduccin al ADS Vamos a estudiarDuraciones de Procesos que es
algo muy comn en muchas ciencias: Duracin de un componente (Fiabilidad)
Supervivencia de un paciente a un tratamiento
(Medicina) Duracin del desempleo (Economa)
Edad de las personas (Demografa y sociologa)
Variables Aleatorias Positivas
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En Fiabilidad el tiempo seEn Fiabilidad el tiempo sepuede medir de otra manera:puede medir de otra manera:
Nmero de veces que se enciende uninterruptor.
Ciclos de lavado en una lavadora.
Horas de vuelo de un avin
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Conceptos bsicosConceptos bsicos
Eje de tiempos
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Conceptos bsicosConceptos bsicos
Eje de tiemposInicio del proceso
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Conceptos bsicosConceptos bsicos
Eje de tiemposInicio del proceso
Fallo del componente 1
Fallo del componente 2
Fallo del componente 3
Fallo del componente 4
Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:
t1, t2, t3 y t4.
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Funciones asociadas al ADSFunciones asociadas al ADS
En otros anlisis estadsticos hemosutilizado la Funcin de Densidad y laFuncin de Distribucin.
En ADS adems usaremos: Funcin de Supervivencia o Funcin de
Fiabilidad Tasa de Fallos o Hazard Function
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Funcin de Densidad (repaso)Funcin de Densidad (repaso)
Se denomina f(t)Histogram for peso
37 57 77 97 117
peso
0
10
20
30
40
50
frequency
El rea comprendida bajo la funcin de densidad es la probabilidadde encontrar observaciones en ese intervalo.
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Mean,Std. dev.
175,8,6
Normal Distribution
x
ensty
130 150 170 190 210 2300
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
P(170
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Nuevas funcionesNuevas funciones
Funcin de Supervivencia o de Fiabilidad Tasa de Fallos o Hazard Rate
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Funcin de supervivenciaFuncin de supervivencia
La probabilidad de que un individuo/componente
sobreviva/funcione ms all de un instante t, viene dada
por la funcin
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Si un componente tiene una funcin de Fiabilidad:S(1000)=0.89
quiere decir que la probabilidad de que el
componente siga funcionando al cabo de 1000 horas es de 0.89.
La funcin de supervivencia proporciona la probabilidadde que un componente est funcionando al cabo det horas.
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Funcin de supervivenciaFuncin de supervivencia
0 2000 4000 6000 8000 100000.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo
S upervivencia de Bombillas
La probabilidad de que ambas estn funcionando al cabo
de 6000 horas es de 0.3 y 0.42 respectivamente.
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Funcin de supervivenciaFuncin de supervivencia
0 2000 4000 6000 8000 100000.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tiempo
S upervivencia de Bombillas
Evidentemente:
0)(
1)0(
=
=
S
S
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Tasa de FallosTasa de Fallos
Para el anlisis de procesos de duracin, resulta especialmente
indicada la hazard function -en fiabilidad se conoce como failure rateo tasa de fallo- que se define:
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Tasa de FallosTasa de Fallos
Esta funcin proporciona la posibilidad de fallo inmediato
dado que el componente est funcionando.
Es habitual encontrar funciones constantes, crecienteso decrecientes dependiendo del tipo de fenmeno estudiado.
Los distintos procesos se van a definir segn su tasa de fallos sea:
Creciente (IFR o Increasing Failure Rate)Decreciente (DFR o Decreasing Failure Rate)
Constante (CFR)
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Tasa de fallos constanteTasa de fallos constante
Indica que la probabilidad de fallo instantneoes la misma en cualquier momento yconsecuentemente el proceso no tiene memoria,
ya que la posibilidad de fallo estandofuncionando, es idntica en cualquier momentode la vida del componente
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Tasa de fallos constanteTasa de fallos constante
Tasa de Fallos Constante
Horas
0 20 40 60 80 100
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
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Tasa de fallos crecienteTasa de fallos creciente
Surge, en la mayora de los casos por desgastesy fatigas, es decir por un proceso deenvejecimiento. La tasa de fallos crecienteindica que la probabilidad de fallo inmediato,
teniendo en cuenta que el componente estfuncionando, se incrementa a medida que pasael tiempo
Evidentemente a medida que un componente sehace ms viejo, su tasa de fallos tender acrecer.
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Tasa de fallos crecienteTasa de fallos creciente
Tasas de Fallos Crecientes
Miles de horas
0 3 6 9
0
3
6
9
12
15
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Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decreciente
Se observa en productos cuya probabilidad de fallo es menorcuando aumenta el tiempo de supervivencia.sto aparece a menudo en cualquier tipo de materiales:
al principio de su funcionamiento la probabilidad de fallo
es alta debido a la existencia de posibles defectos ocultos
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Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decrecienteTasas de Fallos Derecientes
Horas
0 40 80 120 160 2000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Si no fallan en las primeras 80 horas, la posibilidad de fallo sereduce notablemente en ambos casos.El ensayo bajo stress permitir eliminar aquellos componentes quefallen al principio. De esta manera la empresa evita introducir en
el mercado piezas defectuosas.
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Tasas de Fallos Derecientes
Horas
0 40 80 120 160 200
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
La tasa de fallos decreciente aparece muy amenudo en estudios clnicos de supervivencia a
intervenciones quirrgicas:El riesgo disminuye a medida que transcurre elpostoperatorio.
Tasa de fallos decrecienteTasa de fallos decreciente
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Cmo ser la tasa deCmo ser la tasa defallos de la vidafallos de la vida
humana?humana?
HACEDLO
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Curva de la baeraCurva de la baera
Generalizacin de los procesos anteriores Muy comn en la prctica un elemento que se comporta inicialmente de
forma decreciente (a esta zona se le denominade mortalidad infantil) en su vida media con una probabilidad de fallo
casi constante (zona de vida til) finalmente con probabilidad de fallo que
aumenta con la edad (zona de deshecho,wearout)
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Curva de la BaeraCurva de la Baera
Cuando la tasa de fallo del elemento responde a la curva de la baeraes conveniente realizar un ensayo acelerado del mismo (en condiciones destress)para que supere la zona de mortalidad infantil o de Burn-in.
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Periodos de Garanta yPeriodos de Garanta y
ensayos aceleradosensayos acelerados
Producto con tasa de fallos con mortalidad infantil (DFR o curva
de la baera) la empresa se enfrenta a un problema: Sus productos tienen mayor posibilidad de fallo en los primeros
momentos de funcionamiento debido a la existencia de defectosocultos.
Sin embargo, la empresa no puede detectar fcilmente esos fallos. Posibilidad interesante:
determinar cuando comienza la vida til del producto y ofrecer a losclientes una garanta de funcionamiento durante ese periodo de
funcionamiento problemtico. Una vez superado el periodo crtico, la empresa est razonablemente
segura de que el producto tiene una posibilidad de fallos reducida
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Periodos de Garanta yPeriodos de Garanta y
ensayos aceleradosensayos acelerados
En el ejemplo, la empresa garantizara el producto durante, al menos, 400horas.
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Algunas empresas estn desarrollando estrategiascomerciales basadas en ampliar el periodo de garantaa la vida til del producto.
Un producto tiene una tasa de fallos muy baja durante su vida til.Entonces, el es muy probable que el producto empiece a fallar
cuando alcance la zona de desgaste. Si esto es as, la empresapuede prolongar a muy bajo coste la garanta incluyendo unaimportante parte de la zona til del producto, resaltando que el
producto es muy fiable.
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La empresa podra incrementar la garanta hasta 700 horas con un coste adicional muy bajo
Estrategia para coches, electrodomsticos......
Algunos productos sin embargoAlgunos productos sin embargo
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Algunos productos, sin embargoAlgunos productos, sin embargo
no pueden fallar:no pueden fallar:
Componentes clave de determinados
procesos como por ejemplo vlvulasde centrales nucleares, aviones,
mecanismos de seguridad, etc, nopueden tener problemas en losprimeros momentos de su aplicacin
debido a la tasa de fallos decreciente.
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Las pruebas aceleradas o bajo stress se realizan nicamente
en sistemas que requieren una alta fiabilidad desde el principio.En otras condiciones no suele ser rentable
Una posibilidad en estos casos:Probar el componente sometido a condiciones limite. Porejemplo, si una vlvula en una central nuclear debe funcionara 10 atmsferas de presin y 100C de temperatura, se somete
las vlvulas a un ensayo de funcionamiento a 30 atmsferas y200C.
Los defectos ocultos que provocan la mortalidad infantil
afloran y la fiabilidad del aparato aumenta.
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Modelos utilizados en Fiabilidad.Modelos utilizados en Fiabilidad.
Datos CompletosDatos Completos
Ajustaremos modelos de probabilidad parapoder generalizar los conocimientos quetenemos a partir de una pequea muestra decomponentes.
El criterio de eleccin de un modelo se basaren tcnicas descriptivas y especialmente en elconocimiento terico que tengamos del proceso.
Este conocimiento nos permitir saber enmuchas ocasiones que el proceso tiene tasa defallos creciente, decreciente o en forma de
baera.
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Modelo exponencialModelo exponencial
El modelo exponencial es bien conocido.Su funcin de densidad es:)/exp(
1)(
ttf =
Supervivencia: )/exp()( ttS =
Tasa de fallos: /1)( =th
=
)(tEEsperanza:
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Medias1000
2000
Exponential Distribution
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
Tiempo en Horas X 1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
F
uncin
desupervivencia
Funcin de Supervivencia
Si son bombillas Cul es mejor?
Funcin de Supervivencia
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Medias10002000
Exponential Distribution
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
Tiempo en Horas X 1000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Funcin
desupervi
vencia
E(una)=1000 horas y E(otra)=2000horas
La probabilidad de que el componente con vida media de 1000 horas funcionemas de 2000 horas es del 13.5%.Para el componente de 2000 horas de duracin media es de 36.7%.Estas cifras se obtienen de la funcin de supervivencia
135.0)( 1000/2000/ === eetS t
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Tasa de Fallos
Si son bombillas Cul es mejor?
Medias10002000
Exponential Distribution
0 2 4 6 8 10 12(X 1000)
Tiempo en Horas X 1000
0
2
4
6
8
10
12(X 0,0001)
TasadeFallo
s
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Modelo WeibullModelo Weibull
El modelo Weibull tiene la siguiente funcin dedensidad:
M d l W ib llModelo Weibull
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Modelo WeibullModelo Weibull
Tasa de fallos:
Segn sean los valores de beta puede presentartasas de fallo crecientes, decrecientes oconstantes.
Cuando beta=1 el modelo Weibull se convierteen exponencial y presenta tasa de fallosconstante. El modelo exponencial es por tantoun caso particular del modelo Weibull.
Cuando beta>1 el modelo presenta tasa defallos creciente.
Cuando beta
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Modelo Weibull: tasas deModelo Weibull: tasas de
fallosfallos
Beta, Lambda1,4,1
0,5,11,1
Distribucin Weibull
Tiempo en Horas X 1000
TasadeFallos
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
El modelo Weibull es muy verstil
y en la practica es uno de los mas utilizados
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Estimacin ParamtricaEstimacin Paramtrica
El proceso de ajuste de modelos estadsticos apartir de datos muestrales es simple: Se estudian los datos mediante tcnicas de
estadstica descriptiva
Se elige un modelo de distribucin de probabilidad
Se estima
Se realiza una diagnosis para detectar posibles
errores.
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Ejemplo 1Ejemplo 1
Se ha realizado un ensayo para estudiar la duracin devida de unos componentes electrnicos. Para ello se hanpuesto 20 elementos a prueba y se han observado hastael fallo. Los tiempos de vida recogidos han sido los
siguientes: 58,91 158,8 25,16 80,26 77,85 105,4
95,97 87,29 81,49 16,39 79,10 36,89
68,05 21,31 209,41 519,26 34,24 44,33283,2 8,33
Ejemplo 1Ejemplo 1
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Ejemplo 1Ejemplo 1
58,91 158,8 25,16 80,26 77,85 105,4 95,97 87,29
81,49 16,39 79,10 36,89 68,05 21,31 209,41 519,26
34,24 44,33 283,2 8,33
Histograma
Tiempos de Vida
Frecuencias
-20 180 380 580 780
0
2
4
6
8
10
12
Ajuste del modelo exponencialAjuste del modelo exponencial
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Ajuste del modelo exponencialAjuste del modelo exponencial
El modeloexponencial puede
ser adecuado paraestos datos.Optaremos por una
distribucinexponencial con:
En nuestro casoTheta=media de tiempos=104.6
Ajuste del modelo exponencialAjuste del modelo exponencial
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Ajuste del modelo exponencialAjuste del modelo exponencial
A partir de aqupodemos inferir
muchas propiedadesde nuestrocomponente.
Por ejemplo, laprobabilidad de queun componente duremas de 200 horas
ser:
104,6
Exponential Distribution
Tiempo
Funcindesupervivencia
0 200 400 600 800
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Mtodos grficos para elegirMtodos grficos para elegir
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Mtodos grficos para elegirMtodos grficos para elegir
el modelo adecuado.el modelo adecuado.
A mano: Estimar la funcion de distribucion empiricade los datos y representarla en unas escalas
tales que si el modelo elegido es correcto losdatos presenten aspecto lineal.
En ordenador: Lo normal. Hace lo mismo pero de forma
mecnica.
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Construccin del grficoConstruccin del grfico
exponencialexponencial
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exponencialexponencial Si los datos son exponenciales, la funcin de
supervivencia ser:S(t)=e-t/
Tomando logsLog S(t)=-t/
Como F(t)=1-S(t)
-Log (1-F(t))= t/ Por tanto si en un grfico se coloca en el eje Y
la variable Y= -Log (1-F(t)) y en el eje X la
variable tSi los datos son exponenciales
deberan estar alineados
A mano:A mano:Ej l
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EjemploEjemplo
1. Datos ordenados de menos a mayor
2. Estimacin de la Funcin de Distribucincorregida mediante:
Fi=(i-0.3)/(n+0.4)
A mano:A mano:
Ej lEj l
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EjemploEjemplo
2. Estimacin de la Funcin deDistribucin corregida mediante:
Fi=(i-0.3)/(n+0.4)
A mano:A mano:
Ej lEj l
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EjemploEjemplo
En un grfico se colocaen el eje Y la variable
Y= -Log (1-F(t))y en el eje X la variable t
A mano:A mano:
Ej lEj l
En un grfico se coloca en el eje Y lavariable Y= -Log (1-F(t))
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EjemploEjemplog ( ( ))
y en el eje X la variable t
-Log (1-F(t))
t
Alineacin de datos para elAlineacin de datos para el
modelos Weibullmodelos Weibull
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modelos Weibullmodelos Weibull
Alineacin de datos para elAlineacin de datos para el
modelos Weibullmodelos Weibull
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modelos Weibullmodelos Weibull
WeibullWeibullEn un grfico se coloca en el eje Y lavariable Y=Log( -Log (1-F(t)))
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g( g ( ( )))
y en el eje X la variable log(t)
Y=Log( -Log (1-F(t)))
Log(t)
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Weibull ejemploWeibull ejemplo
Weibull en grficoWeibull en grfico
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Weibull en grficoWeibull en grfico
exponencialexponencial
-Log (1-F(t))
t
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Weibull ejemploWeibull ejemplo
Y=Log( -Log (1-F(t)))
Log(t)
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Grficos en ordenadorGrficos en ordenador
Elaborar estos grficos es laborioso
En la prctica se hacen con ordenador.
Statraphics lo hace mucho mejor que
nosotros As que NO HAREMOS GRFICOS A
MANO QUE ES HORRIBLE
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Grficos en ordenadorGrficos en ordenador
Se introducen los datos
Se va a DESCRIBE y Distribution Fitting
Se va a Weibull analysis
Se escogen los datos adecuados y se pideel Weibull Plot.
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Grficos en ordenadorGrficos en ordenador
El resultado es:
Weibull Plot
tiempos
10 100 1000
0,1
0,51
5102030
50709099
99,9
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Estimacin WeibullEstimacin Weibull
33.678.203
=
=
Con estos valores es posible conocer muchas cosas de
nuestro componente.
Por ejemplo la probabilidad de que falle antes de 100 horas es de
0.11. Y la de que falle antes de 250 horas es de 0.97
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Estimacin WeibullEstimacin WeibullWeibull Distribution
0 50 100 150 200 250
Tiempos
0
2
4
68
10
12(X 0,001)
density
33.678.203
=
=
Weibull Distribution
0 50 100 150 200 250
Tiempos
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
survivalprobability
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Datos incompletosDatos incompletos
Censura
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Una observacin esta censurada cuando solo contieneinformacin parcial sobre la variable a estudiar.
Esta situacin es muy frecuente: la longitud del
intervalo entre trnsitos impide muchas veces elseguimiento de la muestra hasta el transito final.
Hay tres tipos de censura:
Censura por la derecha Censura por la izquierda
Censura por intervalos
CensuraCensura
Sin censuraSin censura
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Eje de tiemposInicio del proceso
Fallo del componente 1
Fallo del componente 2
Fallo del componente 3
Fallo del componente 4
Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t2, t3 y t4.
Fin del estudio al cabo de un tiempo tc
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Eje de tiemposInicio del proceso
Fallo del componente 1
Fallo del componente 2
Fallo del componente 3
Fallo del componente 4
Nuestros datos sern las duraciones de los tres primeros fallos:t1, t2 y t4
PERO NO OBSERVAMOS EL FINAL DE t3. Slo sabemos quet
3>t
c
tc
Fin del estudio al cabo de un tiempo tc
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Eje de tiemposInicio del proceso
Fallo del componente 3
tc
Parte de la derecha no observada del componente 3CENSURA POR LA DERECHA
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Censura por la derechaCensura por la derecha
Economa: duracin del desempleo sueleobtenerse de encuestas que preguntan a losparados cuanto tiempo llevan en paro. Al no
conocerse el tiempo adicional que van apermanecer sin trabajo, solo se sabe suduracin censurada.
El paro es superior al que el entrevistado indica enla encuesta. Si una persona dice que lleva en paro 3meses, su paro real ser ti>3
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Censura por la derechaCensura por la derecha
Fiabilidad: es muy normal poner aprueba una partida de componentes y observarlos fallos durante un periodo de tiempodeterminado. Los elementos que fallen durante
este periodo proporcionaran observacionescompletas. Los que sigan en funcionamiento alfinal del periodo proporcionaran observaciones
censuradas. El tiempo que se recoge para los elementoscensurados ser ti>tc
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Censura por la izquierdaCensura por la izquierda
Cuando no podemos observar unacontecimiento por ocurrir demasiadorpido (Vida de partculas subatmicas)
Fint1
Aqu se puede empezara registrar tiempo
tc
Registramos que la duracin t1
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Censura por la izquierdaCensura por la izquierda
Economa se producen censuras por laizquierda habitualmente. Un ejemplo son lasedades de jubilacin.
Si tenemos como dato la edad de una persona ysabemos que esta jubilada, podemos deducirque su edad de jubilacin es menor que su edad
actual Registramos Ejub
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Tipos de censuraTipos de censura
Tipo 1: El experimento que genera datos con censura de
tipo 1 consiste en poner a prueba una partida de ncomponentes y observarlos durante un tiempo
predeterminado tc La duracin tc es decidida por el experimentador.
Se observan los datos completos correspondientes alos r componentes que han fallado antes de t
c.
La duracin de los n-r componentes que no hanfallado sabemos que es mayor que tc
Censura de Tipo 1Censura de Tipo 1
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Eje de tiemposInicio del proceso
Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t3 y t4 Adems t2>tc.
n=4 y r=3
tc
t4
t3t2
t1
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Tipo 2Tipo 2 Tipo 2:
El experimento que genera datos con censura detipo 2 consiste en poner a prueba una partida de ncomponentes y observarlos hasta que falla el r-simocomponente en el instante tc
El nmero de fallos es decidido previamente por elexperimentador.
La duracin tc NO es decidida por el
experimentador. Se observan los datos completos correspondientes alos r componentes que han fallado antes de tc.
La duracin de los n-r componentes que no han
fallado sabemos que es mayor que tc
Censura de Tipo 2.Censura de Tipo 2.
Termina cuando falle el 75%Termina cuando falle el 75%
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Eje de tiemposInicio del proceso
Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t1, t3 y t4 Adems t2>t4.
n=4 y r=3
tc
t4
t3t2
t1
=t4
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Censura aleatoriaCensura aleatoria
La censura se produce aleatoriamente
Se trata a un grupo de pacientes con unnuevo tratamiento que mejora su
supervivencia a determinadaenfermedad. Un paciente se traslada deciudad y no vuelve al control del hospital.
Veremos una serie de observacionescompletas y otras censuradas.
Censura aleatoriaCensura aleatoria
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Eje de tiempos
Nuestros datos sern las duraciones de estos cuatro componentes:t2 y t3 completos
Adems t1 y t4. Fallan o desaparecen antes del final de su tiempo.
Observamos T1*
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censuradoscensurados
Mucho ms compleja que con datoscompletos
En general es imposible calcularlo a
mano Lo haremos en ordenador
Estimacin con datosEstimacin con datos
dd
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censuradoscensurados Si hay censura las tcnicas descriptivas bsicas
no van a servir. No podremos realizar histogramas si no
conocemos la longitud final de las
observaciones. La nica forma de saber qu modelo elegir es
usar los grficos a escala que hemos aprendido
pero adaptados a la censura El grfico usado es el estimador de producto
lmite o estimador de Kaplan Meier
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Estimador deEstimador de Kaplan MeierKaplan Meier
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Se realiza un experimento para saber si unanueva droga es efectiva tratando unaenfermedad mortal.
Un grupo de pacientes es tratado con la nuevadroga (6M) y el otro con placebo. El ensayo es doble ciego
Datos de primer grupo (6MP): 6 6 6 6* 7* 9 10* 10* 11 13 16* 17* 19* 20 22 23*25* 32* 32* 34* 35
Datos del segundo grupo (Placebo) 1 1 2 2 3 4 4 5 5 8 8 8 8 11 11 12 12 15 17 22 23
Estimador deEstimador de Kaplan MeierKaplan Meier
Realiza las siguientes operaciones:
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Se ordenan los valores de menor a mayor Para cada tiempo de fallo (Si hay varios fallos en el
mismo momento, para el ultimo) se calcula el
numero de individuos que quedan en riesgo. El estimador para el primer tiempo de fallos ser:
S(t1)=(n1-d1)/n1 n1representa el numero de individuos que estn enriesgo justo antes del primer tiempo de fallo. d1 es el nmero de fallos/muertes en el primer
tiempo de fallo. Para el segundo tiempo de fallo ser
S(t2)=[(n2-d2)/n2].S(t1)
S(t3)=[(n3-d3)/n3].S(t2)
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OrdenadorOrdenador
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OrdenadorOrdenador
Statgraphics hace este estimador en DESCRIBE
DISTRIBUTION FITTING Y LIFE
TABLES (TIMES) Se escriben los tiempos y se aade unavariable de censura que toma el valor 0 si la
variable es completa y el valor 1 si escensurada
OrdenadorOrdenador
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Estimated Survival Function
0 10 20 30 40
Time
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
survivalprob
ability
Drug
6 MP
PLACEBO
OrdenadorOrdenador
Estimacin paramtrica conEstimacin paramtrica con
censura (Anlisis Weibull)censura (Anlisis Weibull)
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censura (Anlisis Weibull)censura (Anlisis Weibull) El proceso con STATGRAPHICS. es el
siguiente: DESCRIBE
Distribution Fitting (censored data) y Weibull
Analysis Se escriben los tiempos y se aade una variable de
censura que toma el valor 0 si la variable es
completa y el valor 1 si es censurada Se aade una variable de grupo si lo hay
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Fitted Weibull Distribution for Drug = 1
entage
Uncensored
Censored
20
30
40
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Parece que no ajusta: Es por la censura que no la tiene en cuenta
En el papel Weibull estaban alineados
Time
perce
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
10
20
Weibull Distribution
Time
hazard
Drug
1
2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0,05
0,10,15
0,2
0,250,3
0,350,4
0,45
0,5
OrdenadorOrdenador
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OrdenadorOrdenadorEstimated Cumulative Hazard Function
0 10 20 30 40
Time
0
1
2
3
4
cumulativehazard
Drug6-MPPlacebo
Ensayos aceleradosEnsayos acelerados
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Ensayos aceleradosEnsayos acelerados
Ensayos aceleradosEnsayos acelerados
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Ensayos aceleradosEnsayos acelerados Surgen debido a que algunos productos tienen
unas duraciones tan elevadas que es imposibleseguir un experimento hasta el final. Por ejemplo componentes diseados para
durar 40 aos. Es muy improbable que algunofalle en el tiempo en que razonablemente sepuede realizar un ensayo.
Se pone a prueba el componente bajocondiciones de trabajo mucho masdesfavorables de las habituales y se propiciaque el fallo se produzca antes
Ensayos aceleradosEnsayos acelerados
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Ensayos aceleradosEnsayos acelerados La realizacin de ensayos acelerados es
compleja y debe ser planificada por los propiosingenieros de diseo, ya que hay que tener encuenta que factores hay que acelerar y en quemedida.
Por ejemplo, si queremos acelerar un ensayocon vlvulas de precisin, Ser precisodeterminar si acelerar la presin de trabajo, la
temperatura o la concentracin de elementosoxidantes.
El esquema de trabajo es elEl esquema de trabajo es el
siguiente:siguiente:
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siguiente:siguiente: Se obtienen datos de tiempos de fallo con
diversas aceleraciones. Se estima mediante un anlisis Weibull la
distribucin para cada uno de esos niveles
Se calcula la mediana y los percentiles 10% y90%. Se dibuja en un grafico la mediana y los
percentiles respecto al nivel de stress Se extrapola para las condiciones nominales.
Se extrapola para lasSe extrapola para las
condiciones nominalescondiciones nominales
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condiciones nominales.condiciones nominales.
Si no hay experiencias previas
la extrapolacin es siempre peligrosa
EjemploEjemplo
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EjemploEjemplo Los datos representan tiempos de fallo en
horas de un componente en funcin de sustress. El componente debe funcionar encondiciones de Stress=4. Los datos conasterisco son censurados.
DatosDatos
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DatosDatos
Representacin grfica: Datos enRepresentacin grfica: Datos en
funcin del Stress. Hay datosfuncin del Stress. Hay datos
censurados.censurados.
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censurados.censurados.
Plot of Datos vs Stress
Stress
D
atos
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
6(X 10000)
Anlisis WeibullAnlisis Weibull
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Anlisis WeibullAnlisis Weibull
Weibull Plot
100 1000 10000 100000
Tiempos
0,1
0,51
51020305070909999,9
cu
mulativepercent
Stress20
40
60
80
Datos alineados en los cuatro grupos
Anlisis WeibullAnlisis Weibull
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Anlisis WeibullAnlisis Weibull
Valores de lambda y Beta para los cuatro grupos
Sample Number of Estimated Estimated Starting
Group Size Failures Shape Scale Point
---------------------------------------------------------------------------------------
20 10 5 12,4232 25379,7 0,0
40 10 9 7,68861 9137,44 0,0
60 10 10 4,15438 3481,62 0,0
80 10 10 6,42138 1101,88 0,0
Anlisis WeibullAnlisis Weibull
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Anlisis WeibullAnlisis Weibull
Las cuatro funciones de densidad
Weibull Distribution
100 1000 10000 100000
Tiempos
0
4
8
12
16
20
24(X 0,0001)
density
Stress
2040
6080
SupervivenciasSupervivencias
Weibull Distribution
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Tiempos
survivalprobability Stress
20
406080
100 1000 10000 100000
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Marcamos los percentiles 10, 50 y 90
PercentilesPercentiles
((critical valuescritical values
))
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( )Critical Values for Tiempos
Group Lower Tail Area Critical Value
-----------------------------------------------------20 0,1 21174,7
0,5 24641,8
0,9 27142,0
40 0,1 6818,85
0,5 8712,08
0,9 10184,4
60 0,1 2025,49
0,5 3187,620,9 4255,69
80 0,1 776,135
0,5 1040,75
0,9 1254,71
Haciendo un grficoHaciendo un grfico
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g
Plot of Medianas y Percentiles vs Aceleracion
Aceleracion
Tiempos
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
6(X 10000)
Vemos que ajustar una exponencial sera adecuado
Regresin exponencial:Regresin exponencial: plotplot
de los datosde los datos
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Stress
Tiempos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
55,56
(X 10000)
Transformando ambas variables aTransformando ambas variables a
logaritmoslogaritmos
Log Y vs Log X
10 6
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Log Stress
LOGTiempos
2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7
6,6
7,6
8,6
9,6
10,6
Plot of Fitted Model
Log Stress
LogTiempos
2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,4 4,7 5
6,6
7,6
8,6
9,6
10,6
Quitando losQuitando los logslogs::
tiempo=beta1.stresstiempo=beta1.stressbeta2beta2
Plot of Fitted Model
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Plot of Fitted Model
Stress
T
iempos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
00,5
11,5
22,53
3,54
4,55
5,56
6,57
7,58
(X 10000)
Transformando slo Y a logaritmosTransformando slo Y a logaritmos
Log Y vs X
10,6
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
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Stress Sin LOGS
LO
GTiempos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
6,6
7,6
8,6
9,6
10,6
Mucho ms lineal
Plot of Fitted Model
Stress sin logs
LogTiempos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
6,6
7,6
8,6
9,6
10,6
Plot of Fitted Model
8(X 10000)
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Stress
Tiem
pos
0 10 20 30 40 50 60 70 80
00,5
11,5
22,5
33,544,5
55,5
66,5
77,5
8
Regression Analysis - Exponential model: Y = exp(a + b*X)
-----------------------------------------------------------------------------
Dependent variable: Col_5
Independent variable: Col_4
-----------------------------------------------------------------------------
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
Intercept 11,1592 0,160231 69,6442 0,0000
Slope -0,0528778 0,00292541 -18,0753 0,0000
-----------------------------------------------------------------------------
Tiempos=11.16 stress-0.05
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122/144
Fiabilidad de SistemasFiabilidad de Sistemas
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SistemasSistemas
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
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Hemos estudiado cmo estimar la
Fiabilidad/Duracin de componentessimples En la prctica estn integrados en
sistemas ms complejos. Dentro de sistemas complejos los ms
elementales son los sistemas serie yparalelo
Sistema SerieSistema Serie
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C1 C2
El sistema no funciona cuando el flujo de sealentre la entrada y la salida se interrumpe
Es decir slo funciona si funcionan los dos componentes
)(1 tS
)(2 tS
Funcin de supervivencia del Componente 1
Funcin de supervivencia del Componente 2
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)(2 tS
)().()(
)()()(
21
21
tStStS
FuncionexPFuncionePFuncioneP
s
s
=
=
EjemploEjemplo Un sistema serie con dos componentes. S1(t)=exp(-t/2000) S2(t)=exp(-t/1500)
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
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Vamos a Calcular la fiabilidad del sistema serie.
SS(t)= S1(t ). S2(t )=exp(-t/2000). exp(-t/1500)=
SS(t)=exp(-t/200-t/1500)=exp(-t/857)
SS(t)=exp(-t/857)
LA FIABILIDAD DEL SISTEMA SERIE ES MENORQUE LA DE CUALQUIERA DE SUS COMPONENTES.
SSSS(t)=(t)=expexp((--t/857)t/857)
0.7
0.8
0.9
1
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0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
C1
C2
Sistema
Sistemas paralelosSistemas paralelos
Consta de dos o ms componentes en
paralelo. Funciona mientras un solo componente lo
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Funciona mientras un solo componente lo
haga. Se estropea cuando TODOS los
componentes han dejado de funcionar.
C1
C2
Funcin de SupervivenciaFuncin de Supervivencia
)()()( N FPN FPN FP
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)()..()(1)(
)().()( 21
tStenFuncPFuncPNoFuncP
NoFuncPNoFuncPNoFuncPS
=
=
=
))(1))((1(1)(` 21 tStStSS =
EjemploEjemplo
P i
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Primer componente
S1(t)=exp(-t/2000) Segundo componente
S2(t)=exp(-t/1500)
Sistema:Ss(t)=1-(1-exp(-t/2000)).(1-exp(-t/1500))
Ss(t)= exp(-t/2000)+ exp(-t/1500)- exp(-t/857)
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C1
C5C4
C2
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133/144
C1C6
C4
C3
C7
Sistemas complejos
Sistemas complejosSistemas complejos
H i l i d t
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Hay que ir resolviendo por partes
pequeas En etapas
Esto slo sirve para pequeos sistemascomplejos
Los grandes sistemas (Una central
nuclear) utilizan otros mtodos.
C1C5
C4C2
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C1C6
C3
C7
Sistemas complejos
C1C5
C4C2pC3
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136/144
C1C6
C7
C2pC3
C1 C4C2pC3 C5pC6
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
137/144
C1
C7
C2pC3 p
C1 C4C2pC3 C5pC6
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138/144
C1
C7
C2pC3 p
C4 C5pC6C1s(C2pC3)
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
139/144
C7
p
C1s(C2pC3) C4s(C5pC6)
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
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C7
( p )
C1s(C2pC3) C4s(C5pC6)
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141/144
C7
( p )
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C7s(C1s(C2pC3))sC4s(C5pC6)
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
143/144
Sistema equivalente
8/8/2019 Fiabilidad presentacion
144/144
FINFIN