ベクトル場の発散 - 九州大学（KYUSHU …snii/AdvancedCalculus/...ベクトル場の発散 発散の意味 よって、立方体の体積h3 で割ってh → 0 とすると、

ベクトル場の発散

用語空間のベクトル場

に対し

をベクトル場 の発散 とよぶ。ナブラとよぶ を用いると次の様に

書ける：

. – p.1/11

ベクトル場の発散[用語]

空間のベクトル場F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) = F1i+F2j+F3k

に対しdiv F =

∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z

をベクトル場 Fの発散 (divergence)とよぶ。

ナブラとよぶ を用いると次の様に書ける：

. – p.1/11

ベクトル場の発散[用語]

空間のベクトル場F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) = F1i+F2j+F3k

に対しdiv F =

∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z

をベクトル場 Fの発散 (divergence)とよぶ。∇ = i

∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z(ナブラとよぶ)を用いると次の様に

書ける：div F = ∇ · F

. – p.1/11

ベクトル場の発散発散の意味

流速が で与えられる流体を考える。点 を囲む一辺の長さの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り余り

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味流速が Fで与えられる流体を考える。

点 を囲む一辺の長さの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り余り

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味流速が Fで与えられる流体を考える。点 (x, y, z)を囲む一辺の長さhの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：

余り

余り余り

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味流速が Fで与えられる流体を考える。点 (x, y, z)を囲む一辺の長さhの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：h2

{

F(x + h2, y, z) · i + F(x − h

2, y, z) · (−i)

+F(x, y + h2, z) · j + F(x, y − h

2, z) · (−j)

+F(x, y, z + h2) · k + F(x, y, z − h

2) · (−k) + (余り)

}

余り余り

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味流速が Fで与えられる流体を考える。点 (x, y, z)を囲む一辺の長さhの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：h2

{

F(x + h2, y, z) · i + F(x − h

2, y, z) · (−i)

+F(x, y + h2, z) · j + F(x, y − h

2, z) · (−j)

+F(x, y, z + h2) · k + F(x, y, z − h

2) · (−k) + (余り)

}

=h2{(

F1(x, y, z)+ h2F1x(x, y, z)

)

−(

F1(x, y, z)+(−h2)F1x(x, y, z)

)

+(

F2(x, y, z)+ h2F2y(x, y, z)

)

−(

F2(x, y, z)+(−h2)F2y(x, y, z)

)

+(

F3(x, y, z)+ h2F3z(x, y, z)

)

−(

F3(x, y, z)+(−h2)F3z(x, y, z)

)}

+(余り)

余り

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味流速が Fで与えられる流体を考える。点 (x, y, z)を囲む一辺の長さhの立方体を考える： (x,y,z) i-i

h

F

各面を通って流出する流体の量は：h2

{

F(x + h2, y, z) · i + F(x − h

2, y, z) · (−i)

+F(x, y + h2, z) · j + F(x, y − h

2, z) · (−j)

+F(x, y, z + h2) · k + F(x, y, z − h

2) · (−k) + (余り)

}

=h2{(

F1(x, y, z)+ h2F1x(x, y, z)

)

−(

F1(x, y, z)+(−h2)F1x(x, y, z)

)

+(

F2(x, y, z)+ h2F2y(x, y, z)

)

−(

F2(x, y, z)+(−h2)F2y(x, y, z)

)

+(

F3(x, y, z)+ h2F3z(x, y, z)

)

−(

F3(x, y, z)+(−h2)F3z(x, y, z)

)}

+(余り)= h3div F+(余り)

. – p.2/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、

点 から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

となる。例

. – p.3/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

となる。例

. – p.3/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

div F(x, y, z)

となる。

例

. – p.3/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

div F(x, y, z)

となる。[例]

. – p.3/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

div F(x, y, z)

となる。[例]

• 単位時間単位体積あたりに流体が湧き出す量。

電荷密度 の電荷分布が作り出す電場をとすると

但し は真空の誘電率とする。ガウスの法則の微分形

. – p.4/11

ベクトル場の発散発散の意味よって、立方体の体積 h3 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)から湧き出す流体の単位体積あたりの量は

div F(x, y, z)

となる。[例]

• 単位時間単位体積あたりに流体が湧き出す量。• 電荷密度 ρ(x, y, z)の電荷分布が作り出す電場を

E(x, y, z)とすると∇ · E =

1

ε0

ρ

但し ε0 は真空の誘電率とする。(ガウスの法則の微分形)

. – p.4/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。

をラプラシアン とよぶ。例空間の温度分布が で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流： ：熱伝導度よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

例空間の温度分布が で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流： ：熱伝導度よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流： ：熱伝導度よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が T (x, y, z)で与えられているとする。

熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流： ：熱伝導度よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が T (x, y, z)で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。

すなわち、熱流： ：熱伝導度よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が T (x, y, z)で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流：h = −κ grad T ( κ：熱伝導度 )

よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は流れ込む熱量は

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が T (x, y, z)で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流：h = −κ grad T ( κ：熱伝導度 )よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

div(−κ grad T ) = −κ∆T (流れ込む熱量は+κ∆T )

各点の温度変化を表す方程式 熱方程式 ：

. – p.5/11

ラプラシアン[用語]

スカラー場 f(x, y, z)に対し∆f = div (grad f) = ∇ · (∇f)

とする。∆ =

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2をラプラシアン (Laplacian)とよぶ。

[例]

空間の温度分布が T (x, y, z)で与えられているとする。 熱は温度の高いところから低い方へ温度差に比例して流れる。すなわち、熱流：h = −κ grad T ( κ：熱伝導度 )よって、単位時間単位体積あたりに各点から流れ出す熱量は

div(−κ grad T ) = −κ∆T (流れ込む熱量は+κ∆T )

各点の温度変化を表す方程式 (熱方程式)：∂T

∂t= κ∆T

. – p.5/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味流体の流れを 軸方向から見たとき、平面上で点 を囲む

一辺 の正方形を考える。(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる 軸周りの流れは余り

余り余り

. – p.6/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味

流体の流れを 軸方向から見たとき、平面上で点 を囲む

一辺 の正方形を考える。(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる 軸周りの流れは余り

余り余り

. – p.6/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味流体の流れを z 軸方向から見たとき、y-z 平面上で点 (x, y, z)を囲む一辺 hの正方形を考える。

(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる 軸周りの流れは余り

余り余り

. – p.6/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味流体の流れを z 軸方向から見たとき、y-z 平面上で点 (x, y, z)を囲む一辺 hの正方形を考える。

(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる z 軸周りの流れはh{

F2(x+ h2,y,z)−F2(x−

h2,y,z)−F1(x,y+ h

2,z)+F1(x,y− h

2,z)

}

+(余り)

余り余り

. – p.6/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味流体の流れを z 軸方向から見たとき、y-z 平面上で点 (x, y, z)を囲む一辺 hの正方形を考える。

(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる z 軸周りの流れはh{

F2(x+ h2,y,z)−F2(x−

h2,y,z)−F1(x,y+ h

2,z)+F1(x,y− h

2,z)

}

+(余り)=h

{(

F2(x,y,z)+ h2F2x(x,y,z)

)

−(

F2(x,y,z)+(−h2)F2x(x,y,z)

)}

−h{(

F1(x,y,z)+ h2F1y(x,y,z)

)

−(

F1(x,y,z)+(−h2)F1y(x,y,z)

)}

+(余り)

余り

. – p.6/11

ベクトル場の回転[用語]

ベクトル場 Fに対して、Fの回転 (rotation)を次で定義：rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

= ∇× F

回転の意味流体の流れを z 軸方向から見たとき、y-z 平面上で点 (x, y, z)を囲む一辺 hの正方形を考える。

(x,y,z)

F2(x+h/2,y,z)

F2(x-h/2,y,z)F1(x,y-h/2,,z)

F1(x,y+h/2,z)

x

y

このとき、正方形の縁に沿ってまわる z 軸周りの流れはh{

F2(x+ h2,y,z)−F2(x−

h2,y,z)−F1(x,y+ h

2,z)+F1(x,y− h

2,z)

}

+(余り)=h

{(

F2(x,y,z)+ h2F2x(x,y,z)

)

−(

F2(x,y,z)+(−h2)F2x(x,y,z)

)}

−h{(

F1(x,y,z)+ h2F1y(x,y,z)

)

−(

F1(x,y,z)+(−h2)F1y(x,y,z)

)}

+(余り)= h2 {F2x(x, y, z) − F1y(x, y, z)}+(余り)

. – p.6/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、

点 の周りを 軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は となる。 全ての軸周りの回転量を並べると

例

. – p.7/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)の周りを z-軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は ∂F2

∂x−

∂F1

∂yとなる。

全ての軸周りの回転量を並べると

例

. – p.7/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)の周りを z-軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は ∂F2

∂x−

∂F1

∂yとなる。 全ての軸周りの回転量を並べると

rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

例

. – p.7/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)の周りを z-軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は ∂F2

∂x−

∂F1

∂yとなる。 全ての軸周りの回転量を並べると

rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

[例]

. – p.7/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)の周りを z-軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は ∂F2

∂x−

∂F1

∂yとなる。全ての軸周りの回転を並べると

rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

[例]• 流体の各座標軸周りの単位時間あたりの回転量。

マクスウェル方程式：

電場 磁場 電流密度 真空の誘電率 光速

. – p.8/11

ベクトル場の回転回転の意味よって、正方形の面積 h2 で割って h → 0とすると、点 (x, y, z)の周りを z-軸周りに回る単位面積あたりの流体の量は ∂F2

∂x−

∂F1

∂yとなる。全ての軸周りの回転を並べると

rot F =

(

∂F3

∂y−

∂F2

∂z,

∂F1

∂z−

∂F3

∂x,

∂F2

∂x−

∂F1

∂y

)

[例]• 流体の各座標軸周りの単位時間あたりの回転量。• マクスウェル方程式：

∇·E =ρ

ε0

, ∇×E = −∂B

∂t, ∇·B = 0, c2∇×B =

∂E

∂t+

1

ε0

J

E :電場 B :磁場 J :電流密度 ε0 :真空の誘電率 c :光速. – p.8/11

ポテンシャル[用語]

. – p.9/11

ポテンシャル[用語]

• ベクトル場 Fに対し、F = −gradf

となるスカラー場 f があるとき f を Fのスカラーポテンシャルとよぶ。

ベクトル場 に対し、

となるベクトル場 があるとき を のベクトルポテンシャルとよぶ。

. – p.10/11

ポテンシャル[用語]

• ベクトル場 Fに対し、F = −gradf

となるスカラー場 f があるとき f を Fのスカラーポテンシャルとよぶ。

• ベクトル場 Fに対し、F = rot f

となるベクトル場 f があるとき f を Fのベクトルポテンシャルとよぶ。

. – p.10/11

宿題

問題集 p.60例題 7～ p.68例題 14

. – p.11/11