Fale cz. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PL [email protected]http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykladu Spis tre ´ sci 1. Procesy falowe 2 1.1. Klasyfikacja fal .............................................. 2 1.2. Równanie fali ............................................... 4 2. Energia i fala 5 2.1. Przenoszenie energii ........................................... 5 2.2. Np. tsunami ................................................ 6 2.3. Równanie falowe ............................................. 8 3. Interferencja 8 3.1. Zasada superpozycji ........................................... 8 3.2. Fala stojąca ................................................ 10 3.3. Przyklady fal stojących ......................................... 12 4. Dodawanie fal o ró˙ znych cz ˛ estotliwo ´ sciach 14 4.1. Dudnienia ................................................. 14 4.2. Prędkość grupowa ............................................ 14
15
Embed
Fale cz. 1 - Centrum Nauczania Matematyki i Fizykicmf.p.lodz.pl/iowczarek/materialy/fizyka/7fale1_new12i.pdf · 3. grupowa —toprędkośćv g pakietu(grupy,paczki)fal,prędkośćzjakąprzenoszona
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Falato zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w ośrodku lub przestrzeni ze skończonąprędkością i niosące ze sobą energię.
Cechą charakterystyczną faljest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii,a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.
Ze względu na fizyczną naturę zachodzących zjawisk rozróżnia się:
• Fale mechaniczne powstają w ośrodkach sprężystych.
• Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni lub ośrodku materialnym, wywo-łane są zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych.
• Fale materii lub fale de Broglie’a.
Falę stanowi rozchodzące się w ośrodku zaburzenie, zmiany jakiejś wielkości (powtarzającesię wielokrotnie i cyklicznie zmieniające swoje wychylenie).
Rodzaje fal
Podział fal
1. ze względu czoło fali
• płaskie,
• walcowe,
• kuliste (kołowe),
• mieszane,
2. ze względu na kierunek drgań
• fale podłużne,
• fale poprzeczne.
Fale podłużne związane są z odkształceniem objętości ośrodka sprężystego – mogą sięrozchodzić w dowolnym ośrodku. Fale poprzeczne związane są z odkształceniem ścinania– mogą powstawać i rozchodzić się w ośrodkach mających sprężystość postaci, tzn. w ciałachstałych.
Fale mechaniczneRozchodzenie się fal mechanicznych nie jest związane z przenoszeniem – transportem
substancji.
Fala mechaniczna (sprężysta)to proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka,któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka.
Poruszające się zaburzenie jest funkcją położenia i czasu
ξ(x, y, z, t) = f(x, y, z, t).
Jeżeli, np. t = 0, toξ(x, t) = f(x, 0)
przedstawia profil fali, to jednowymiarowa funkcja falowa fali poruszającej się z prędkością~v
ξ(x, t) = f(x− vt).
Równanie fali poruszającej się z prędkością ~v w dodatnim kierunku osi x
3. grupowa — to prędkość vg pakietu (grupy, paczki) fal, prędkość z jaką przenoszonajest przez falę sprężystą energia.
Ponieważ faza zaburzenia ξ(x, t) jest stała
ϕ = kx− ωt = const.
to prędkość przemieszczania się fazy, tzw. prędkość fazowa (czoła fali, fali)
dϕ
dt= k
dx
dt− ω = 0
vf =dx
dt.
Prędkość propagacji fali v jest prędkością przemieszczania się fazy fali
v = vf =ω
k=λ
T.
Prędkość fazowa ma znak dodatni, gdy fala porusza się w kierunku dodatnim osi x, orazznak ujemny, gdy porusz się w kierunku przeciwnym. W próżni (ośrodek niedyspersyjny)– vf = const., tj.
dvfdk
= 0.
Jeżeli prędkość fazowa fali zależny od jej długości
dvfdk
=dvfdλ6= 0,
to występuje dyspersja prędkości fali, wówczas prędkość rozchodzenia się czoła fali, pacz-ki fali (prędkość grupowa) jest inna niż prędkość fazowa. Prędkość fazowa światła (falielektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni, w ośrodkach jest innai często większa od prędkości światła w próżni.
2. Energia i fala
2.1. Przenoszenie energii
Energia faliRuch falowy związany jest z dwoma procesami:
• transportem energii przez ośrodek od cząsteczki do cząsteczki,
• z ruchem drgającym poszczególnych cząsteczek dokoła ich położenia równowagi.
Nie jest natomiast związany z ruchem materii jako całości. W przypadku fali podłużnejenergia kinetyczna
Ek =12dm(dξ(x, y)dt
)2=
12ρdV
(dξ(x, y)dt
)2.
Energia potencjalna jest przenoszona przez falę z taką samą szybkością
Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
2.2. Np. tsunami
Czy fala przenosi energie?Tsunami (jap. tsunami – fala portowa) – fala oceaniczna, wywołana podwodnym trzę-
sieniem ziemi, wybuchem wulkanu bądź osuwiskiem ziemi.
Tsunami26 grudnia 2004, największe od 40 lat trzęsienie ziemi wystąpiło na Oceanie Indyjskim
(Tajlandia) pomiędzy płytami australijską i euroazjatycką. 27 lutego 2010, trzęsienie ziemiw Chile. 11 marca 2011 roku północno-wschodnią Japonię nawiedziło największe trzęsienie
ziemi od 140 lat. Wstrząsy o sile prawie 9 w skali Richtera wywołały falę tsunami, którąosiągała wysokość nawet 10 metrów i zmiatała z powierzchni budynki oraz samochody.
Prędkość i długość wędrującej fali ulegają zmianom w zależności od głębokości wody(okres fali jest stały). Ponieważ kierunek ruchu fali jest do brzegu prostopadły, to:
• gdy fala przechodzi na płytką wodę to: odległość między kolejnymi grzbietami fali(długość fali) zmniejsza się,
• fala zmienia kierunek ruchu,
• rośnie wysokość fali czyli amplituda fali.
Korzystając z przybliżeń równania rozchodzenia się fali
• dla wody głębokiej prędkość fazowa wynosi:
v =√g
k,
i zależy od długości fali. Długie fale przemieszczają się szybciej.
• dla wody płytkiej prędkość fazowa wynosi:
v =√gd,
nie zależy od jakichkolwiek parametrów fali – zależy wyłącznie od głębokości d akwenu.
Czym różnią się od zwykłych fal na wodzie?
Fala tsunami na głębokiej wodziemała amplituda, duża szybkość rozchodzenia się 800km/h.
Fala tsunami na płytkiej wodziemniejsza szybkość rozchodzenia się, ale duża amplituda (nawet do 30m).
PodsumowanieTsunami są falami płytkiej wody, a więc są zjawiskami objętościowymi, nie powierzchnio-
wymi.
Rodzaj fali Wysokość Długość PrędkośćTsunami na oceanie kilkadziesiąt cm > 100km > 700km/hTsunami przy brzegu do 30m ≈ 30m kilkadziesiąt km/hZwykła fala 3m 100m 4− 8km/h
Jest to prędkość przemieszczania się grzbietu obwiedni czyli prędkość grupowa
vg =dω
dk=dx
dt.
Prędkość grupowa jest prędkością rozprzestrzeniania się energii.Jeżeli dla fal monochromatycznych ω jest zależne od k, (tj. ω = ω(k)), prędkość grupowa
(uwzględniając, że λ = 2πk) określona jest w następujący sposób
vg =dω
dk=d(vfk)dk
= vf + kdv
dk=
= vf + k(dv
dλ
dλ
dk
)= vf + k
(dv
dλ
)dλ
dk= vf + k
d 2πλ
dk
(dv
dλ
)=
= vf + k(− 2πk2
)(dv
dλ
)= vf + k
(− λ
k
)dv
dλ,
vg = vf − λdv
dλ.
Prędkość grupowa może być mniejsze jak i większe od prędkości fazowej vf w zależności odznaku dv
dλ. Zależność prędkości fazowej od długości fali nazywa się dyspersją. W ośrodkach
niedyspersyjnych, tj. gdydv
dλ= 0
prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej
vg = vf .
Literatura
[1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t. 1-5. PWN, 2005.
[2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagad-nień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
[3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t. 1-3. PWN, 1984.
[4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ http://cmf.p.lodz.pl/efizyka e-Fizyka.Podstawy fizyki.
[5] Kąkol Z. Żukrowski J. http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizy-ki.