Page 1
1
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA Y
APLICACIONES
I – La integral indefinida (repaso)
(Comenzamos por el recordatorio de los conceptos de primitiva, integral definida y sus
propiedades y los métodos de integración que se suponen conocidos)
- Definición 1. Sea y = f(x) una función real de variable real, se dice que y= F(x) es una
función primitiva de y=f(x) si )()()´( fDxxfxF ∈∀= .
Ejemplo: 2)( xxF = es primitiva de f(x)=2x. 7)( 2 += xxG también lo es.
En general si F(x) es una primitiva de f(x) entonces G(x) = F(x) + C con RC∈
también lo es.
- Definición 2. Dada y = f(x) una función real de variable real, se llama integral
indefinida de y=f(x) al conjunto de sus infinitas funciones primitivas:
Si y = F(x) es una primitiva de y= f(x), se escribe: ∫ += CxFdxxf )()( con C
cualquier constante real.
- Propiedades. Se recuerda que en función de las propiedades de las funciones
derivables, la integral indefinida verifica que es un operador lineal (además de inverso
de la derivación):
∫ ∫ ∫ ∈∀⋅+⋅=⋅+⋅ Rkkdxxgkdxxfkdxxgkxfk 212121 ,)()())()(( y
∀ f(x) , g(x) funciones reales de variable real.
- Métodos de integración
1.- Integrales inmediatas
Recordamos que son aquellas que se pueden calcular con el uso de las reglas de
derivación de forma directa y con el arreglo de constantes multiplicativas.
Para ello se le pide al alumno que vuelva a utilizar la tabla de integrales inmediatas que
tiene desde la unidad anterior ( Se incluye la tabla en estos apuntes)
Con ayuda de varios ejemplos, se recuerda las interrogantes básicas que le ayudarán a
ver si una integral es inmediata o no:
a) ¿Qué tipo de función es?.
b) ¿Parece responder a la forma generalizada que recoge la tabla dependiendo de
la localización del tipo de función que he hecho?.
Page 2
2
c) ¿Puede ajustarse con el uso adecuado de constantes multiplicativas?
d) Si es fracción, el numerador es la derivada del denominador salvo constantes
multiplicativas?.
e) Si no es inmediata, ¿qué método parece lógico utilizar?.
Ejemplo 1: Calcular ∫
−+− dxxxx3
76
5
32 23
Cxxxx
dxxxx +⋅−⋅+⋅−⋅=
−+−∫ 3
7
26
35
3
42
3
76
5
32
23423
Ejemplo 2: Calcular ∫ −⋅ dxxx )56( 32
∫∫ +−⋅−=−⋅⋅−
=−⋅ Cx
dxxxdxxx3
)56(
15
1)56(15
15
1)56(
33232232
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS FORMA SENCILLA FORMA GENERALIZADA
∫ += Cxdx ∫ += Ckxkdx
11
1
−≠++
=∫+
nCn
xdxx
nn ∫ −≠+
+=⋅
+
11
))(()´())((
1
nCn
xudxxuxu
nn
∫ += Cxdxx
ln1
∫ += Cxudxxu
xu)(ln
)(
)´(
∫ += Cedxe xx ∫ +=⋅ Cedxxue xuxu )()( )´(
∫ += Ca
adxa
xx
ln ∫ +=⋅ C
a
adxxua
xuxu
ln)´(
)()(
∫ +−= Cxxdx cossen ∫ +−=⋅ Cxudxxuxu ))(cos())(sen()´(
∫ += Cxxdx sencos ∫ +=⋅ Cxudxxuxu ))(sen())(cos()´(
∫ ∫ +=+= Cxdxxdxx
tg)tg1(cos
1 22
∫ += Cxudxxu
xu))(tg(
))((cos
)´(2
∫ +=−Cgxdx
xcot
sen
12
∫ +=−Cxgudx
xu
xu)(cot
))((sen
)´(2
∫ +=+
Cxdxx
arctg1
12
∫ +=+
Cxudxxu
xu))(arctg(
))((1
)´(2
Page 3
3
∫ +=−
Cxdxx
arcsen1
12
∫ +=−
Cxudxxu
xu))(arcsen(
))((1
)´(2
∫ +=−−
Cxdxx
arccos1
12
∫ +=−
−Cxudx
xu
xu))(arccos(
))((1
)´(2
Ejemplo 3: Calcular ∫ +−−
dxxx
x
562
13
2
∫∫ ++−⋅=+−
−⋅=+−
−Cxxdx
xx
xdx
xx
x562ln
6
1
562
66
6
1
562
1 33
2
3
2
2.- Integración por partes.
Uso de la fórmula ∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu
Para utilizar esta fórmula se intenta identificar en la función a integrar parte de ella con
una función fácilmente derivable (u) y la otra parte con una función fácilmente
integrable (dv)
Ejemplo 4: Calcular ∫ ⋅ xdxx cos
∫ ∫∫=−⋅=⋅⇒
==⇒==⇒=
senxdxsenxxxdxxsenxxdxvxv
dxduxucos
coscos
Cxsenxx ++⋅= cos
Ejemplo 5: ∫ ⋅ senxdxx2
En algunos casos, la integración por partes requiere de la aplicación del método 2 veces;
como en este caso
∫ ∫∫=−⋅−−⋅=⋅⇒
−==⇒==⇒=
dxxxxxsenxdxxxsenxdxvsenxv
xdxduxu)cos(2)cos(
cos
222
2
∫ ⋅+⋅−= xdxxxx cos2cos2
Aplicamos nuevamente la integración por partes a esta 2ª integral:
∫ ∫∫=⋅−⋅=⋅⇒
==⇒==⇒=
senxdxsenxxxdxxsenxxdxvxv
dxduxu22cos2
coscos
22
Page 4
4
)cos(22 xsenxx −−⋅=
Sustituyendo en la principal:
Cxsenxxxxsenxdxx +⋅+⋅+⋅−=⋅∫ cos22cos22
3.- Integración por sustitución o cambio de variable.
Con el cambio x= g(t) (con dx = g´(t)dt), puede ocurrir que la integral resulte
inmediata:
∫ ∫ ⋅= dttgtgfdxxf )´())(()(
Al cambiar la variable con una función concreta g(t) , se interpreta dx como la derivada
de la función de cambio g(t) respecto de la nueva variable t.
Ejemplo 6: Calcular ∫ ⋅− xdxx 2
Permite hacerla el cambio tdtdxtx 22 2 =⇒=− y por tanto queda:
( ) ( )∫ ∫∫ +−+−=+=+=⋅+⋅=⋅− Cxxtt
dttttdtttxdxx35
35242 2
3
22
5
2
3
2
5
2)22(2)2(2
Ejemplo 7: ∫ +dx
x
x
1
Hacemos el cambio de variable tdtdxtx
tx2
1
12
2
=⇒
−==+
La integral queda por tanto
( )∫ ∫∫ ++⋅−+⋅=
−⋅=−⋅=⋅−=
+Cxxt
tdtttdt
t
tdx
x
x121
3
2
32)1(22
1
1
33
22
4.- Integrales de funciones racionales.
Este método resuelve la integral de funciones racionales (fracciones polinómicas) en
aquellos casos en los que la fracción polinómica puede descomponerse en suma de
fracciones simples y siempre con el numerador de grado menor que el polinomio
denominador.
Entendemos fracciones simples aquellas de las formas siguientes:
ax
k
− y
nax
k
)( − con k y a números reales concretos y n natural , n > 1.
Page 5
5
Estas dos fracciones tienen integral inmediata:
∫∫ +−⋅=−
=−
Caxkdxax
kdxax
kln
1
Caxn
k
n
axkdxaxkdx
axkdx
ax
kn
nn
nn+
−⋅+−=
+−−⋅=−⋅=
−⋅=
− −
+−−
∫ ∫ ∫ 1
1
)()1(1
)()(
)(
1
)(
Ejemplo 8: ∫ ++⋅=+
Cxdxx
2ln32
3
Ejemplo 9: ∫ ∫ +−
−=+−
−⋅=−⋅=−
+−− C
x
xdxxdx
x 3
2
12
)3(2)3(2
)3(
2 122
2
En general, la descomposición de la fracción depende de las raíces del polinomio
denominador y de su factorización, por ello consideramos los siguientes casos:
4.1.- Denominador con todas sus raíces simples.
En estos casos, la fracción se puede descomponer en suma de tantas fracciones como
factores simples tenga el denominador en su descomposición y su integral por tanto, en
suma de integrales simples como las del ejemplo 6.
Ejemplo 10: ∫ −+−
dxxx
x
2
822
Factorizamos el denominador con ayuda de sus raíces
)1()2(21,202 221
2 −⋅+=−+⇒=−=⇒=−+ xxxxxxxx por tanto:
12)1()2(
82
2
822
2
−+
+=
−⋅+−=
−+−
x
B
x
A
xx
x
xx
x con A y B constantes a determinar
Para hallar A y B procedemos a la inversa, hacemos la suma de las fracciones e
igualamos a la original. Como los denominadores son iguales, deben serlo también los
numeradores.
Al igualar numeradores, damos valores concretos a x y obtenemos A y B:
⇒−⋅+
−=−⋅+
+⋅+−⋅=−
++ )1()2(
82
)1()2(
)2()1(
12 xx
x
xx
xBxA
x
B
x
A
Page 6
6
)2()1(82 ++−=− xBxAx damos valores a x (por ejemplo las raíces)
2361
4)3(122
−=⇒⋅=−⇒==⇒−⋅=−⇒−=
BBxsi
AAxsi
Utilizando la descomposición para resolver la integral
∫ ∫∫ +−⋅−+⋅=−
−++
=−+
−Cxxdx
xdx
xdx
xx
x1ln22ln4
1
2
2
4
2
822
4.2.- Denominador con raíces simples y múltiples
El procedimiento es similar al anterior. Hay que descomponer la fracción en suma de
fracciones simples.
La diferencia reside en el hecho de que cada factor múltiple, determina en la
descomposición de la fracción, tantas fracciones como indica la multiplicidad de la raíz.
Cada una de grado superior al anterior y con numeradores constantes hasta llegar al
grado del factor.
Por ejemplo, si en la factorización del polinomio denominador interviene 3)2( −x , este
factor ( y solo él independientemente del resto de factores que llevarán los suyos) da
lugar a las 3 fracciones siguientes:
32 )2()2(2 −+
−+
− x
C
x
B
x
A
Las constantes que queden en los numeradores se hallan igual que en el caso anterior de
las raíces simples.
Ejemplo 11: ∫ −+−−
dxxx
xx
2
9333
2
Factorizamos el polinomio denominador, buscando sus raíces (Ruffini) queda
23 )1()2(2 −⋅+=−+ xxxx una simple y una doble. La fracción por tanto
22
2
3
2
)1(12)1()2(
933
2
933
−+
−+
+=
−⋅+−−=
−+−−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
xx
xx
Igual que en el caso anterior, sumamos las 3 , igualamos a la original
2
2
2 )1()2(
)2()1)(2()1(
)1(12 −⋅+++−++−=
−+
−+
+ xx
xCxxBxA
x
C
x
B
x
A
Igualando numeradores (los denominadores lo son), tenemos
)2()1)(2()1(933 22 ++−++−=−− xCxxBxAxx
Page 7
7
Damos 3 valores concretos a x ( por ejemplo -2 , 1 y 0) y resolvemos el sistema
obteniendo A = 1 , B = 2 y C = -3
Utilizando la descomposición, nuestra integral será :
∫ ∫ ∫∫ =−−+
−+
+=
−+−−
dxx
dxx
dxx
dxxx
xx23
2
)1(
3
1
2
2
1
2
933
Cx
xx +−
+−++=1
31ln22ln
4.3.- Denominador de 2º grado sin raíces reales
En este caso puede haber dos situaciones: numerador constante o numerador de grado
1.
Vemos las dos
4.3.1.- Con numerador constante.
Esta integral es de tipo arcotangente, por ello se utiliza la inmediata de la tabla de
primitivas inmediatas ∫ +=+
Cxuarctgdxxu
xu))((
))((1
)´(2
La integral que nos den se transformará de manera equivalente para poder aplicar esta
regla.
Ejemplo 12: ∫ +dx
x 2
32
No hay raíces y por tanto no se puede descomponer. Hacemos la transformación:
∫∫ ∫ ∫∫ =
+
⋅=+
⋅=
+
=+
=+
dxx
dxx
dxx
dxx
dxx 22222
21
1
2
3
21
1
2
3
212
3
2
3
2
3
Cx
arctgdxx
+
⋅=
+
⋅⋅= ∫ 22
23
21
2
1
22
32
4.3.2.- Con numerador de grado 1.
Cuando el numerador es de grado 1 y el denominador de segundo grado sin raíces
reales, la integral de la función da lugar a suma de dos integrales. La primera de ellas es
de tipo logaritmo neperiano y la segunda es de tipo arcotg como el caso anterior.
Recordemos que los dos tipos, según la tabla de inmediatas, son:
Page 8
8
∫ += Cxudxxu
xu)(ln
)(
)´( y que ∫ +=
+Cxuarctgdx
xu
xu))((
))((1
)´(2
Ilustramos con un ejemplo las transformaciones para ver este tipo
Ejemplo 13: ∫ ++
dxx
x
4
132
La primera transformación se hace para obtener la de tipo ln. Para ello el numerador
debe ser la derivada del denominador y aquí basta con separar los monomios del
numerador:
∫ ∫∫ =+
++
=++
(*)4
1
4
3
4
13222
dxx
dxx
xdx
x
x
∫ ∫ ∫ +⋅=+
⋅⋅=+
⋅=+
4ln2
3
4
2
2
13
43
4
3 2222
xdxx
xdx
x
xdx
x
x
La segunda integral que nos queda, ∫ +dx
x 4
12
, es como el caso anterior. Buscamos
las transformaciones para arctg:
∫∫∫∫ =
+⋅⋅=
+⋅=
+⋅
=+
dxx
dxx
dxx
dxx 2222
21
2
1
24
1
21
1
4
1
414
1
4
1
⋅=22
1 xarctg
Nuestra integral queda definitivamente .
Cx
arctgx +
⋅++⋅=22
14ln
2
3(*) 2
Nota Importante: Cuando la función racional a integrar, ∫ dxxQ
xP
)(
)(, tiene numerador de
grado mayor o igual que el denominador, se puede hacer la división polínomica y aplicar el
algoritmo de la división:
)()()()( xRxQxCxP +⋅= (dividendo = cociente por divisor más resto)
Esto permite expresar la fracción de la forma siguiente:
)(
)()(
)(
)(
xQ
xRxC
xQ
xP += y por tanto la integral quedaría:
Page 9
9
∫ ∫∫ += dxxQ
xRdxxCdx
xQ
xP
)(
)()(
)(
)(
Con la primera integral inmediata, por ser polinómica, y la segunda integral ya es con
numerador de grado menor al igual que los casos anteriores.
Ejemplo 14: ∫ −+−−
dxxx
xx
2
62
3
Hacemos la división polinómica y tenemos con la prueba de la división
2
821
2
622
3
−+−+−=
−+−−
xx
xx
xx
xx. Por tanto
∫ ∫ ∫∫ =−+
−+−=−+
−+−=−+−−
dxxx
xx
xdx
xx
xdxxdx
xx
xx
2
82
22
82)1(
2
62
2
22
3
Cxxxx +−⋅−−⋅+−= 1ln22ln42
2
puesto que la última integral es la misma que la
del ejemplo 10
II- Área determinada por una curva. Integral definida de una
función continua. Propiedades.
El cálculo integral resolverá el problema del cálculo de áreas limitadas por curvas.
Recordemos que tan solo sabemos calcular el área de algunos recintos planos,
recurriendo a las áreas conocidas: triángulos, rectángulos, polígonos,….
Recurriendo a ellos se puede aproximar el área de un recinto cualquiera, tal y como nos
muestran las figuras siguientes:
Page 10
10
El recinto de área R, puede ser sucesivamente acotado por áreas mayores (en rojo) y
áreas menores (en azul) utilizando polígonos.
En este razonamiento se basa el cálculo del área limitada por una curva y el eje de
abscisas (Recinto R en la figura siguiente) que resolverá siempre el problema general de
un recinto limitado por curvas:
Dividimos el intervalo [a,b] en n intervalos, no necesariamente iguales, mediante los
puntos x0 = a , x1 , x2 , ….. , xn = b; haciendo así una partición P de [a,b] en n sub-
intervalos [xi-1 , xi] .
La función es continua y acotada en cada sub-intervalo por lo que alcanza su máximo
M i y su mínimo mi en algún punto del intervalo [xi-1 , xi] para los n intervalos (Teorema
de Weierstrass) y podemos acotar así el área R determinada por la curva por :
∑ −−⋅=i
iiin xxms )( 1 (suma inferior de Riemann para la partición P)
∑ −−⋅=i
iiin xxMS )( 1 (suma superior de Riemann para la partición P)
nn SRs ≤≤
Page 11
11
Tomando particiones con cada vez más puntos, determinamos dos sucesiones de áreas
convergentes: { } { }nn Sys con NnSRsySSss nnnnnn ∈∀≤≤≥≤ ++ 11 ,
y tales que nn
nn
SsR∞→∞→
== limlim obteniendo así el área R de nuestra curva con el eje
OX entre x = a y x = b.
Definición: Sea y = f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a , b]. Se
llama integral definida de la función f en dicho intervalo al área ,A, de la región del
plano limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = a y x = b y se designa:
∫ =b
aAdxxf )(
Si la función es negativa en el intervalo [a , b], la integral definida en dicho intervalo
será también negativa ( mi y Mi serán negativos en todos los sub-intervalos de las
particiones sucesivas)
Si la función cambia de signo en el intervalo, su integral puede ser positiva, negativa o
nula dependiendo de cada caso:
Propiedades de la integral definida
Se deducen fácilmente de la definición y son:
Page 12
12
1.- Si b = a , la integral es nula: ∫ =a
adxxf 0)(
2.- Si f es continua en [a , b] y ),(bac∈ entonces ∫ ∫∫ +=c
a
b
c
b
adxxfdxxfdxxf )()()(
3.- Si cambiamos los límites de integración, la integral cambia de signo:
∫∫ −=a
b
b
adxxfdxxf )()(
4.- S y = f(x) e y = g(x) son continuas en [a , b] entonces:
∫ ∫ ∫+=+b
a
b
a
b
agxxgdxxfdxxgxf )()())()((
5.- ∫ ∫⋅=⋅∈∀b
a
b
adxxfkdxxfkRk )()(
6.- Si y = f(x) e y = g(x) son continuas en [a , b] y [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥
∫∫ ≥b
a
b
adxxgdxxf )()(
III- Teorema fundamental del Cálculo integral. Regla de
Barrow.
Establecido el concepto de integral definida de una función continua en un intervalo nos
queda ver cómo se puede calcular fácilmente una integral definida.
Se establece con los teoremas siguientes, cuyas demostraciones no se incluyen pero que
pueden resultar interesantes para acrecentar el grado de formalización matemática que
deben adquirir estos alumnos.
1.- Teorema del valor medio
Si y = f(x) es continua en el intervalo [a , b] [ ]bac ,∈∃⇒ tal que
∫ −⋅=b
aabcfdxxf )()()(
Interpretación que queda perfectamente clara con la figura adjunta:
Page 13
13
El Teorema fundamental del cálculo precisa de la consideración de la función siguiente:
Para f continua en [a , b], si tomamos [ ]bax ,∈ , el área del trapecio mixtilíneo que
determina la gráfica de y = f(x) en el intervalo [a , x] es una función que depende de x, y
sabemos que es la integral definida de la función entre a y x: ∫=x
adttfxS )()(
Teniendo en cuenta esta función, se verifica el siguiente:
2.- Teorema fundamental del cálculo integral
Si y = f(x) es una función continua en [a , b] y G(x) es la función definida de la forma
∫=x
adttfxG )()( ⇒ G es derivable y además G´(x) = f(x) ),(bax∈∀ .
Así pues, la función G(x) es una primitiva de f(x) lo que permite calcular integrales
definidas usando la regla siguiente que se deduce del teorema fundamental del cálculo
integral:
3.- Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en [a , b] e y = F(x) es una función primitiva de
y = f(x), entonces se verifica que )()()( aFbFdxxfb
a−=∫
Page 14
14
Con este resultado queda establecido de forma muy sencilla el procedimiento de cálculo
de integrales definidas.
Ejemplo 15: Calcular ∫ +1
0 2)1(
2dx
x
Encontrando la primitiva ∫ ∫ ++
−=−+⋅=+⋅=
+
−− C
x
xdxxdx
x 1
2
1
)1(2)1(2
)1(
2 12
2,
1)2(11
2
)1(
21
0
1
02
=−−−=
+−=
+∫ xdx
x
Ejemplo 16: Calcular ∫e
xdx1
ln
Con la ayuda de la integración por partes resolvemos la correspondiente integral
definida, obteniendo ∫ +−⋅= Cxxxxdx lnln . Por tanto tenemos:
[ ] 1)11ln1()ln(lnln 11=−⋅−−⋅=−⋅=∫ eeexxxxdx ee
Ejemplo 17: Cuando se recurre a un cambio de variable para encontrar la primitiva de la
función a integrar, si se cambian también los límites de integración, no es necesario
deshacer el cambio de variable para calcular la integral definida tal y como muestra el
siguiente ejemplo:
∫ −1
0
21 dxx . Recurriendo al cambio de variable trigonométrico x = sen t tendremos
⇒
==
tdtdx
sentx
cos los límites de integración serán
=⇒=
=⇒=
21
00π
txsi
txsi; quedando
∫ ∫ ∫∫ =
+=+==−=−1
0
2
0
2
0
2
0
22
0
22
4
2
2
1
2
2cos1coscos11
π ππ
π tsentdt
ttdttdttsendxx
40
422
1 πππ =−
+⋅= sen
IV- Representación de funciones (repaso)
Antes de comenzar la aplicación más importante de la integral definida en este nivel, se
hace necesario el repaso del método de representación de funciones. Con dos ejemplos
repasamos el procedimiento de estudio y representación de funciones.
Page 15
15
Es necesario hacer hincapié en que a la hora de resolver un problema de área, debe
obtenerse el esbozo de la gráfica de forma rápida buscando lo elemental : dominio,
monotonía y extremos fundamentalmente.
Ejemplo 18 :Estudio y representación gráfica de funciones
Estudio y representación de x
xxfy
1)(
2 −==
1) Dominio: { }0)( −= RfD En x = 0 tiene una discontinuidad de salto infinito con:
−∞=+∞=+− →→
)(lim)(lim00
xfyxfxx
Por lo demás, f es continua y derivable en todo su dominio.
2) Simetrías: )(11)(
)(22
xfx
x
x
xxf −=−−=
−−−=− . Simétrica impar.
3) Puntos de corte con los ejes: Eje OY: No corta: )(0 fD∉
Eje OX: ⇒−==⇒=−⇒= 11010 212 xyxxy corta en (1 , 0) y (-1 , 0).
4) Monotonía . Extremos relativos: Uso de la 1ª derivada
⇒∈∀≠⇒+= )(0´
1´
2
2
fDxyx
xy No tiene extremos relativos.
Como ⇒∈∀> )(0´ fDxy y = f(x) es creciente en todo su dominio:
Intervalo )0,(−∞ (0 ,+ ∞)
Signo(y´) + +
Monotonía Creciente Creciente
5) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión: Uso de la 2ª derivada
⇒∈∀≠⇒−= )(0´´
2´´
3fDxy
xy No tiene Puntos de Inflexión . Además:
Intervalo )0,(−∞ ),0( ∞+
Signo(y´´) + -
Page 16
16
Curvatura Cóncava Convexa
6) Asíntotas:
a) Verticales: x = 0 con los límites laterales calculados en el apartado 1).
b) Horizontales:
⇒+∞=−=+∞→+∞→ x
xxf
xx
1lim)(lim
2
No tiene asíntotas horizontales.
c) Oblicuas: y=mx + n
11
lim
1
lim)(lim2
2
2
=−=
−
==∞→∞→∞→ x
x
xx
x
xfmxxx
01
lim1
lim))((lim2
=−=
−−=⋅−=
∞→∞→∞→ xx
x
xxmxfn
xxx
Asíntota oblicua: y = x
7) Representación gráfica:
Ejemplo 19 :Estudio y representación gráfica de funciones
Estudio y representación de x
exfy
x
−==
−
1)(
1) Dominio: { }1)( −= RfD En x = 1 tiene una discontinuidad de salto infinito con:
Page 17
17
−∞=+∞=+− →→
)(lim)(lim11
xfyxfxx
Por lo demás, f es continua y derivable en todo su dominio.
2) Simetrías: ))(()(1
)( xfxfx
exf
x
−≠≠+
=− . No presenta simetrías.
3) Puntos de corte con los ejes: Eje OY: 10 =⇒= yx Por tanto el punto (0 , 1).
Eje OX: ⇒=⇒= − 00 xey No corta al no anularse la exponencial
4) Monotonía . Extremos relativos: Uso de la 1ª derivada
000´,)1(
´2
=⇒=⋅⇒=−⋅= −
−
xexyx
exy x
x
Como Rxe x ∈∀>− 0 , el signo de y´ quede en función del signo de x y de la
discontinuidad
Intervalo )0,(−∞ (0 , 1) ),1( ∞+
Signo(y´) - + +
Monotonía Decreciente Creciente Creciente
En x = 0 f tiene un mínimo relativo en coordenadas (0 , 1).
5) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión: Uso de la 2ª derivada
⇒∈∀≠−
⋅+=−
)(0´´;)1(
)1(´´
3
2
fDxyx
exy
x
No tiene Puntos de Inflexión .
Además:
Intervalo )1,(−∞ ),1( ∞+
Signo(y´´) + -
Curvatura Cóncava Convexa
6) Asíntotas:
a) Verticales: x = 1 con los límites laterales calculados en el apartado 1).
b) Horizontales: ⇒=−=−
−=−
= ∞−−
+∞→
−
+∞→+∞→0
1lim
1lim)(lim e
e
x
exf
x
x
x
xxy = 0
c) Oblicuas: No tiene al tener horizontal y = 0.
Page 18
18
7) Representación gráfica:
V- 1ª aplicación de la integral definida: área limitada por una
función, el eje OX y las rectas x = a y x = b.
Por orden establecemos las distintas posibilidades dependiendo de la situación de la
gráfica respecto del eje OX:
1.- Si la función es continua y positiva en [a , b] ya sabemos que 2)( udxxfAb
a∫=
2.- Por las propiedades de la integral, si la función es continua y negativa en [a , b]
tendremos que 2)( udxxfAb
a∫=
3.- Si la función es continua en [a , b] y cambia de signo (como muestra la figura)
∫ ∫∫ ++=++=d
c
b
d
c
audxxfdxxfdxxfTTTA 2
321 )()()(
4.- Si la función tiene alguna discontinuidad de salto finito en algún punto de [a , b], se
tendrá en cuenta dicho punto y las consideraciones anteriores para calcular el área.
Page 19
19
VI- 2ª aplicación de la integral definida: área limitada por dos
curvas.
Cuando el problema nos lleva a el cálculo del área limitada por dos curvas entre las
rectas x = a y x = b, y sin puntos de corte entre ellas en dicho intervalo (figura), y
siendo las dos funciones continuas en [a , b]
Las propiedades de la integral muestran, independientemente de que las curvas sean
positivas o negativas, que si [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥ entonces:
2))()(( udxxgxfAb
a∫ −=
En cuanto al problema general del cálculo del área limitada por dos curvas, debemos
tener en cuenta los puntos de intersección de las mismas y los correspondientes
intervalos en los que una de ellas está por encima de la otra para poder aplicar la
fórmula anterior.
Ejemplo 20: Calcular el área limitada por las curvas 2)(2)( 2 +=+= xxgyxxxf
Se hace la representación de las dos curvas
Encontramos los puntos de corte de las dos curvas:
1222)()( 212 =−=⇒+=+⇒= xyxxxxxgxf
Page 20
20
Como podemos observar en el intervalo [-2 , 1] , la curva g(x) está por encima de la
curva f(x). Por tanto el área buscada será:
=
+−−=+−−=−=
−−− ∫∫
1
2
231
2
21
22
23)2())()(( x
xxdxxxdxxfxgA
2
2
94
2
4
3
82
2
1
3
1u=
−−−
+−−=
Ejemplo 21: Calcular el área determinada por la función xexy ⋅= y las rectas x = 1 e
y = 0.
Es necesario hacer una representación gráfica aproximada de la función.
Tiene por dominio D = R. Corta a los dos ejes en O(0,0). Es continua y derivable en
todo su Dominio y sus derivadas primera y segunda son:
xx exyeexy ⋅+=⋅+= )2(´´)1(´ que se anulan respectivamente en x = -1 y x = -2.
De las mismas se deduce que :
Es creciente en ),1( +∞− , decreciente en )1,( −−∞ y tiene un mínimo relativo en el
punto ( )1,1 −−− e .
Es convexa en )2,( −−∞ , cóncava en ),2( +∞− y tiene un punto de inflexión en
( )22,2 −⋅−− e
Con todo ello su gráfica queda de la forma siguiente:
Teniendo en cuenta las rectas x = 1 e y = 0 , el área encerrada por la curva y las dos
rectas es la zona marcada con la flecha. Es el área que determina con el eje de abscisas
la función xexy ⋅= entre x = 0 y x = 1.
Por tanto:
Page 21
21
∫ ⋅=1
0dxexS x
Buscamos una primitiva de nuestra función resolviendo por partes la integral indefinida:
∫ ⋅ dxex x (*) . Utilizando integración por partes:
xx evdxedv
dxduxu
=⇒==⇒=
⇒
⇒ (*) ∫ +−⋅=−⋅= Ceexdxeex xxxx
Utilizando la primitiva básica:
[ ] 200111
0
1
01)0()1( ueeeeeexdxexS xxx =−⋅−−⋅=−⋅=⋅= ∫
VII- 3ª aplicación de la integral definida: cálculo de
volúmenes de revolución.
Si tomamos una curva continua en [a , b] y hacemos girar el trapecio mixtilíneo que
determina con el eje OX respecto de dicho eje, obtenemos un sólido de revolución del
que no es difícil calcular su volumen utilizando la integral definida.
Razonamos de la misma forma que para el cálculo del área plana del trapecio:
Haciendo una partición Pi de [a , b], al ser la función continua en dicho intervalo, lo es
también en [xi-1 , xi] ni ,....,1=∀ por lo que f alcanza su máximo, Mi, y su mínimo, mi,
en dicho intervalo [xi-1 , xi].
Los rectángulos de anchura xi – xi-1 y alturas mi y Mi respectivamente, originan
cilindros de volúmenes
)()( 12´
12
−− −⋅⋅=−⋅⋅= iiiiiiii xxMVyxxmV ππ
Por tanto si llamamos V al volumen del sólido se verifica que ´ii VVV ≤≤ para toda
partición Pi del intervalo [a , b].
Page 22
22
Tomando particiones cada vez más finas de [a , b], obtendremos dos sucesiones de
volúmenes { } { }´nn VyV , verificando
⇒
∈∀≤≤∈∀≤≤
+
+
NnVVV
NnVVV
nn
nn´´
1
1 { } { }´nn VyV tienen límite común y ese límite es el
volumen buscado: ´limlim nn
nn
VVV∞→∞→
==
Además ese límite coincide con la integral definida de la función 2f⋅π en [a , b] :
∫ ⋅=b
audxxfV 32))((π
Ejemplo 22: Calcular el volumen de la esfera de radio r.
(Representar en pizarra el semicírculo de radio r, centrado en O, que genera la esfera de
radio r al girar alrededor del eje OX)
La esfera se genera al girar la curva 22)( xrxf −= (como función) continua en el
intervalo [-r , r] alrededor del eje OX en dicho intervalo.
Así pues el volumen de la esfera es:
∫−−
⋅⋅=
−⋅=−⋅=
r
r
r
r
urx
xrdxxrV 333
222
3
4
3)( πππ