CALCUL INTÉGRAL Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT Chapitre 3 : Techniques d’intégration, règle de l’Hospital et intégrales impropres Adaptation Vincent Godbout Hughes Boulanger
CALCUL INTÉGRAL
Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition
SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT
Chapitre 3 : Techniques d’intégration, règle de l’Hospital et intégrales impropres
Adaptation
Vincent Godbout Hughes Boulanger
Exercices 3.1 page 427
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 3.1 - Intégration par parties
1. Soit . 2
sin et dxxdvxu == Alors ,2
cos2- et xvdxdu == et
.2
sin42
cos2-
2sin22
2cos2-
2
cos2-2
cos2- 2
sin
Cxxx
Cxxx
dxxxxdxxx
++=
+⋅+=
−= ∫∫
2. Soit . cos et θπθθ ddvu == Alors ,sin1 et πθπ
θ == vddu de sorte que
( )
.cos1sin
cos-11sin
sin1sin cos
2 C
C
dd
+−=
+⋅−=
−= ∫∫
πθπ
πθπθ
πθππ
πθπθ
θπθπ
πθπθθπθθ
3. Soit . cos et2 dttdvtu == Alors ,sin 2 et tvdttdu == d'où . sin2sin cos 22 ∫∫ −= dtttttdttt
Dans la seconde intégrale, posons . sin et dttdvtu == Alors ,cos- et tvdtdu == de sorte que
2 2 2cos sin 2 - cos -cos sin 2 cos 2sin .t t dt t t t t t dt t t t t t C⎡ ⎤= − − = + − +⎣ ⎦∫ ∫
L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat :
( ) ( )
CtttttCtttttdtt
+−+=
++−=∫sin2cos2sin
sin-2cos-2sin cost 2
22
428 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
4. Soit . sin et2 dxxdvxu == Alors ,cos- 2 et xvdxxdu == de sorte que
. cos2cos- sin 22 ∫∫ += dxxxxxdxxx
Dans la seconde intégrale, posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == d'où
( )
2 2
2
2
sin - cos 2 sin sin
- cos 2 sin 2 -cos
- cos 2 sin 2cos .
x x dx x x x x x dx
x x x x x C
x x x x x C
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
= + − +
= + + +
∫ ∫
L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat.
cos2+sin2cos- sin 22 Cxxxxxdxxx ++=∫
5. Soit . ln et dxxdvxu == Alors ,2
1 2
et xvdxx
du == de sorte que
dxx
xxxdxxx 12
ln2
ln22
⋅−= ∫∫
.4
ln2
221ln
2
21ln
2
22
22
2
Cxxx
Cxxx
dxxxx
+−=
+−=
−= ∫
Finalement, 2
1
2
1
22
4ln ln∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
xxxxdxxx
.
434ln
432ln2
41012ln2
−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
Exercices 3.1 page 429
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. Soit . ln 3et dxxdvxu == Alors ,4
1 4
et xvdxx
du == de sorte que
.161ln
4
41ln
4 ln 4
43
43 Cxxxdxxxxdxxx +−=−= ∫∫
Finalement, e
1
e
1
44
3
161ln
4 ln∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= xxxdxxx
( ) ( )
4 4
4
1 11 04 16 4 16
3 1 .16 16
e e
e
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
7. Soit . tan et dydvyarcu == Alors , 1
1 et2 yvdyy
du =+
= de sorte que
( ).1lntan
1ln21tan
1
221tan
1
tan tan
2
2
2
2
Cyyarcy
Cyyarcy
dyyyyarcy
dyy
yyarcydyyarc
++−=
++−=
+−=
+−=
∫
∫∫
8. Soit . sin et dydvyarcu == Alors , 1
1 et2
yvdyy
du =−
= de sorte que
( )
( )
.1sin
211
21sin
1
2-21sin
1
sin sin
2
212
2
2
Cyyarcy
Cyyarcy
dyy
yyarcy
dyy
yyarcydyyarc
+−+=
+−
+=
−+=
−−=
∫
∫∫
430 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9. Soit . sec 2et dxxdvxu == Alors ,tan et xvdxdu == de sorte que
∫ ∫−= dxxxxdxxx tantan sec2
. cos lntan Cxxx ++=
10. Soit . 2sec 4 2et dxxdvxu == Alors ,2tan21 4 et xvdxdu == de sorte que
∫ ∫−= dxxxxdxxx 2tan22tan2 2sec4 2
. 2cos- ln2tan2 Cxxx ++= 11. Procédons par intégration tabulaire.
( )3 3 2
3 2
3 6 6
3 6 6
x x x x x
x
x e dx x e x e xe e C
x x x e C
= − + − +
= − + − +
∫
12. Procédons par intégration tabulaire.
( )
4 - 4 - 3 - 2 - - -
4 3 2 -
- 4 12 24 24 .
- 4 12 24 24
p p p p p p
p
p e dp p e p e p e pe e C
p p p p e C
= − − − − +
= + + + + +
∫
Exercices 3.1 page 431
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. Procédons par intégration tabulaire.
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2
2
5 5 2 5 2
5 2 5 2
7 7
x x x x
x
x
x x e dx x x e x e e C
x x x e C
x x e C
− = − − − + +
= − − + + +
= − + +
∫
14. Procédons par intégration tabulaire.
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2
2
2
1 1 2 1 2
1 2 1 2
2
r r r r
r
r
r r e dr r r e r e e C
r r r e C
r r e C
+ + = + + − + + +
= + + − − + +
= − + +
∫
15. Procédons par intégration tabulaire.
( )
5 5 4 3 2
5 4 3 2
5 20 60 120 120
5 20 60 120 120
x x x x x x x
x
x e dx x e x e x e x e xe e C
x x x x x e C
= − + − + − +
= − + − + − +
∫
16. Procédons par intégration tabulaire.
2 4 2 4 4 4
2 4
1 1 1 4 8 321 1 1 4 2 8
t t t t
t
t e dt t e t e e C
t t e C
= − + +
⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
432 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. Procédons par intégration tabulaire.
( ) ( ) ( ) ( )
21
841
41
8
141001-
410
41-
8-
2cos412sin
22cos
2- 2sin
22
2
2
0
2
0
22
−=−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=∫
ππ
ππ
θθθθθθθθπ π
d
18. Procédons par intégration tabulaire.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
223 3 2
00
3 2
2
1 3 3 3cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos22 4 4 8
3 3 3 3 0 -1 0 -1 0 0 0 116 16 8 8 8
3 3-16 4
ππ
x x dx x x x x x x x
π π π
π
⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
∫
19. Soit . sec et dttdvtarcu == Alors ,2
1
1 2
2et tvdt
ttdu =
−= de sorte que
( )
2
2
2
2
1 222
22
1 sec sec 2 2 1
1 2sec 2 4 1
11sec2 4 1 2
1sec 1 .2 2
t tt arc t arc t dtt
t tarc t dtt
tt arc t C
t arc t t C
= −−
= −−
−= − +
= − − +
∫ ∫
∫
.33
95
63
632
23
32
31
21
32sec
323
212sec2
121sec
2 sec
2
32
222
32
,Finalement
−=+⋅−−⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=∫
πππ
arcarc
ttarctdttarct
Exercices 3.1 page 433
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. Soit dxxdvxarcu 2 sin et2 == Alors , 1
2 24
et xvdxx
xdu =−
= de sorte que
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) .1sin
211
21sin
1
4-21sin
1
2sin sin 2
422
21422
4
322
4
3222
Cxxarcx
Cxxarcx
dxx
xxarcx
dxx
xxarcxdxxarcx
+−+=
+−
+=
−+=
−−=
∫
∫∫
( ) ( )
( )
123
121
23
621
10411
21sin
21
1sin sin 2 21
0
42221
0
2,Finalement
−+=−+⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=∫
ππ
arc
xxarcxdxxarcx
21. Soit . sin et θθθ ddveu == Alors ,cos- et θθθ == vdedu de sorte que
. coscos- sin θθθθθ θθθ deede ∫∫ +=
Dans la seconde intégrale, posons . cos et θθθ ddveu == Alors ,sin et θθθ == vdedu
d'où . sin sincos- sin θθθθθθ θθθθ deeede ∫∫ −+=
, sincos- sin2 Ceede ′++=∫ θθθθ θθθ d'où ( ) ,+cossin2
sin Cede θθθθθ
θ −=∫ où 2CC′
=
est une constante d'intégration arbitraire. 22. Soit dyydveu y cos et- == . Alors yvdyedu y sin - et- == , de sorte que
dyyeyedyye yyy sinsin cos --- ∫∫ += .
Dans la seconde intégrale, posons dyydveu y sin et- == . Alors yvdyedu y cos- - et- == ,
434 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( ) Cyyedyye
dyyeyeyedyyeyy
yyyy
′+−=
−+=
∫∫∫
cossin cos2
coscos-sin cos --
----oùd'
d'où ( ) Cyyedyyey
y +−=∫ cossin2
cos -
- , où 2
CC′
= est une constante d'intégration arbitraire.
23. Soit . 3cos et dxxdveu x == 2 Alors ,3sin31 2 et xvdxedu x ⋅== 2 de sorte que
. 3sin323sin
31 3cos dxxexedxxe xxx ∫∫ −= 222
Dans la seconde intégrale, posons . 3sin et dxxdveu x == 2 Alors ,3cos31- 2 et xvdxedu x == 2
( ) ,3cos23sin39
3cos9
13
3cos943cos
923sin
31 3cos
3cos323cos
31-
323sin
31 3cos
2
oùd'
Cxxedxxe
dxxexexedxxe
dxxexexedxxe
xx
x2xxx
xxxx
′++=
−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
∫
∫∫
∫∫
2
222
2222
d'où ( ) ,+3cos23sin313
3cos Cxxedxxex
x +=∫
2
2 où CC ′= .139 est une constante d'intégration
arbitraire.
24. Soit dxxdveu x 2sin et2- == . Alors xvdxedu x 2cos21- -2 et2- == , de sorte que
dxxexedxxe xxx 2cos2cos21- 2sin ∫∫ −= 2-2-2- .
Dans la seconde intégrale, posons dxxdveu x 2cos et == -2 . Alors xvdxedu x 2sin21 2- et == 2- ,
d'où ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= ∫∫ dxxexexedxxe xxxx 2sin2sin
212cos
21- 2sin 2-2-2-2-
( ) Cxxedxxe
dxxexexedxxe
xx
xxxx
′++=
−−=
∫
∫∫
2sin2cos21- 2sin2
2sin2sin212cos
21- 2sin
2-2-
2-2-2-2-
d'où ( ) Cxxedxxe xx ++=∫ 2sin2cos41- 2sin 2-2- , où
2CC′
= est une constante d'intégration
arbitraire.
Exercices 3.1 page 435
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. Posons ,93 += sx alors . 3 2 93 et2 dsdxxsx =+=
. 32 93 dxxedse xs ∫∫ =+
Posons . et dxedvxu x== Alors , et xevdxdu == de sorte que
( )( )
( )
( ) .19332
13232
32
93
93
Cse
Cxe
Ceex
dxeexdse
s
x
xx
xxs
+−+=
+−=
+−=
−=
+
+ ∫∫
26. Posons ,1 xy −= alors .01 10 ,- et =⇒==⇒== yxyxdxdy
( ) ( )
( )15400
52
32
2523 1- 1
1
0
25231
0
23210
1
1
0
=−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−=− ∫∫∫
yydyyydyyydxxx
27. ( )∫ ∫ ∫ ∫−=−=3
0
3
0
3
0
3
0
222 . sec 1sec tanπ π π π
dxxdxxxdxxxdxxx
Dans la première intégrale, posons dxxdvxu sec 2et == .
Alors xvdxdu tan et == , de sorte que
[ ]3
0
3
0
3
0
3
0
23
02
2 tantan sec
ππ π ππ∫ ∫ ∫ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=−
xdxxxxdxxdxxx
[ ]
( )( )
( ) ( )
32330 0
0
2
2 2
tan ln cos 2
tan 0 ln cos 3 ln 13 3 18
3 3ln 1 2 ln 2 .3 18 3 18
πππ xx x x
π π ππ
π π π π
⎡ ⎤⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= + − = − −
436 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
28. Posons ( ) . ln et2 dxdvxxu =+= Alors , 21 et2 xvdxxxxdu =
++
= de sorte que
( ) ( ) ( )( )
( )( ) . 1 ln2ln
1
12ln
1
21ln ln
2
2
22
Cxxxxx
dxx
xxx
dxxxxxxxxdxxx
+++−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−+=
++
−+=+
∫
∫∫
29. Posons xy ln= , de sorte que yexdxx
dy == 1 et .
( ) ∫∫ = dyeydxx y sin lnsin , qui s'intègre par parties.
Posons dyedvyu y sin et == . Alors yevdyydu == cos et .
∫∫ −= dyyeyedyey yyy cossin sin .
Dans la deuxième intégrale, posons dyedvyu y cos et == . Alors yevdyydu == sin- et , d'où
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
sin sin cos sin
sin sin cos sin
2 sin sin cos
sin sin cos , où 2 2
sin ln sin ln cos ln .2
y y y y
y y y y
y y
yy
ye dy e y e y ye dy
ye dy e y e y ye dy
ye dy e y y C
e Cye dy y y C C
xx dx x x C
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
= − −
′= − +
′= − + =
= − +
∫ ∫∫ ∫∫
∫
∫
30. Posons ,ln zy = alors . et dyedzez yy ==
( ) dyeydyeyedzzz yyy ln 2222 ∫∫∫ =⋅⋅=
Procédons par intégration tabulaire.
( )
( ) ( )( )∫
∫
++−=
++−=
++−=
Czzzdzzz
Cyye
Ceeyeydyeyy
yyyy
1ln2ln24
ln
,
1224
41
22
22
2
22
2222
22
finalementet
Exercices 3.1 page 437
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
31. dxexy x 42∫=
Procédons par intégration tabulaire.
( )
2 4
24 4 4
42
1 4 8 32
8 4 132
x
x x x
x
y x e dx
x xe e e C
e x x C
=
= − + +
= − + +
∫
32. dxxxy ln2∫=
Posons . ln 2et dxxdvxu == Alors ,3
1 3
et xvdxx
du == de sorte que
dxxxxdxxxy 31ln
3 ln 2
32 ∫∫ −==
.
9ln
3
331ln
333
33
Cxxx
Cxxx
+−=
+⋅−=
33. θθ dy sin∫=
Posons θ=x . Alors dxxdddx 2 2
1 et == θθθ
.
∫ ∫= dxxxd sin2 sin θθ
Posons dxxdvxu sin et == . Alors xvdxdu cos- et == , de sorte que
[ ]
( )
sin 2 - cos cos
2 - cos sin
2 sin cos .
y θ dθ x x x dx
x x x C
θ θ θ C
⎡ ⎤= = +⎣ ⎦
= + +
= − +
∫ ∫
438 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
34. θθθθ dy tansec∫=
Posons . tansec et θθθθ ddvu == Alors ,sec et θθ == vddu de sorte que
∫ ∫−== θθθθθθθθ ddy secsec tansec
. tansec lnsec C++−= θθθθ
35. sin ∫=b
a
dxxxA
Posons . sin et dxxdvxu == Alors ,cos- et xvdxdu == de sorte que
[ ] [ ]bab
a
ba xxxdxxxxA sincos- coscos- +=+= ∫
a) [ ] ( ) ( ) 00sincos- sincos- 0 +−+=+= ππππxxxA
( ) ππ =+= 01--
b) [ ] ( ) ( )2 - cos sin -2 cos 2 sin 2 - cos sin ππA x x x π π π π π π= + = + − +
( ) ( )( ) -2 1 0 - -1 0 -2 3π π π π π⎡ ⎤= + − + = − =⎣ ⎦
c) [ ] ( ) ( ) 2sin2cos2-3sin3cos3- sincos- 32 ππππππππ +−+=+= xxxA
( )( ) ( )( ) -3 -1 0 -2 1 0 5π π π⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦
d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de .π
Nous pouvons chercher une régularité :
entre 0 et ,π l'aire ; π=
entre π et ,2π l'aire ; 3π=
entre π2 et ,3π l'aire ; 5π=
aurons-nous, entre πn et ( ) ,1 π+n l'aire ( )π12 += n ?
Exercices 3.1 page 439
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Vérifions :
[ ]( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( ) ( )
1
1
- cos sin
- 1 cos 1 sin 1 - cos sin
- 1 -1 0 -1 0
-1 - 1 -1
-1 -1 2 1 2 1 .
n ππ
n n
n
n n
A x x x
n π n π n π nπ nπ nπ
n π nπ
n π nπ
nπ π nπ n π n π
+
+
= +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + ⋅ + + −
⎡ ⎤= + ⋅ +⎣ ⎦
= + + = + = +
36. cos ∫=b
a
dxxxA
Posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == de sorte que
[ ] [ ] sin sin sin cosb
b ba a
a
A x x x dx x x x= − = +∫
a) [ ] 2
cos2
sin22
3cos2
3sin2
3 cossin 232 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
ππππππππxxxA
( ) ( )3 -1 0 1 0 22 2π π π⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
b) [ ] 2523cossin π
πxxxA +=
2
3cos2
3sin2
32
5cos2
5sin2
5 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ππππππ
( ) ( ) πππ 4 01-2
3012
5 =−−+=
c) [ ]7 25 2 sin cos ππA x x x= +
2
5cos2
5sin2
52
7cos2
7sin2
7 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ππππππ
( ) ( ) πππ 6 12
501-2
7 =−+=
440 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de π .
Nous pouvons chercher une régularité :
entre 2π et ,23π l'aire ; 2π=
entre 23π et ,25π l'aire ; 4π=
entre 25π et ,27π l'aire ; 6π=
entre π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
212n et ,
212 π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +n aura-t-on l'aire πn2= ?
Vérifions :
[ ]2 1
22 1
2
sin cos
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 sin 0 sin 0 2 2 2 2
n π
n πA x x x
n n n n n nπ π π π π π
n π n π n π n π
n
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ( ) ( ) ( ) ( )
( )
11 1 1 1-1 -1 -1 -1 2 2 2 2
-1 2 2 .
n n n
n
π n π n n π
nπ nπ
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + + = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
37. Méthode des tubes :
Dans la deuxième intégrale du membre de droite, posons . et dxedvxu x==
Alors . et xevdxdu ==
[ ][ ]
( )
. 2 2ln2
2ln2
du tubehauteur du tube ncecirconfére
2ln
0
2ln
0
2ln
0
dxexdxe
dxex
dxV
xx
x
∫∫
∫
∫
−=
−=
=
ππ
π
Exercices 3.1 page 441
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )( )( )
( )
ln 2ln 2 ln 2
0 00
ln 2
0
Nous aurons 2 ln 2 2
2 ln 2 2 1 2 2ln 2 0
2 ln 2 2 2ln 2 2 1
2 ln 2 4 ln 2 2 2 1 ln 2 .
x x x
x
V π e π xe e dx
π π e
π π
π π π π
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤= − − − − ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
= − + = −
∫
38. a) Méthode des tubes :
[ ][ ]
1 1- -
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 2 .x x
V dx
πxe dx π xe dx
=
= =
∫
∫ ∫
Posons . -et dxedvxu x==
Alors . -et x-evdxdu ==
b) Méthode des tubes :
[ ][ ]
( ) ( )1 1
- -
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 1 2 1 .x x
V dx
π x e dx π x e dx
=
= − = −
∫
∫ ∫
Posons . 1 -et dxedvxu x=−= Alors . - -et x-evdxdu ==
( )
( ) ( )
11- -0
0
1- -0
-1 -1
2 -
2 -
2 0 1
22 1 .
Ainsi, x x
x x
V π xe -e dx
π xe e
π -e e
πe
⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
( )
( )( )
( )
11- -0
0
1- -0
1- - -0
1- -10
2 - 1-
2 - 1-
2
22 2 0 .
Ainsi, x x
x x
x x x
x
V π x e e dx
π x e e
π -e xe e
ππ xe π ee
⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦
∫
442 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
39. a) Méthode des tubes :
[ ][ ]2 2
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 cos 2 cos .π π
V dx
πx x dx π x x dx
=
= =
∫
∫ ∫
Posons . cos et dxxdvxu == Alors .sin et xvdxdu ==
[ ]
[ ]
( )
( ).212
2
0cos02
cos2
sin2
2
cossin2
sinsin2
20
2
0
20Ainsi,
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
ππππ
ππππ
π
π
π
ππ
xxx
dxxxxV
b) Méthode des tubes :
[ ][ ]
[ ] ( )
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
20
circonférence du tube hauteur du tube
2 cos 2 cos cos 2 2
2 sin 1 Voir a2 2
2 sin sin 0 12 2 2
2 1 0 1 2 1 22 2
π π π
π
V dx
π ππ x x dx π x dx x dx
π ππ x
π π ππ
π ππ π π
=
⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤= − − + = =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫ ∫ ∫
.
40. a) Méthode des tubes :
[ ][ ]
( ) 2 2
0 0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 sin 2 sin 2 sin .π π π
V dx
πx x x dx πx x dx π x x dx
=
= = =
∫
∫ ∫ ∫
y
xz
xy cos=
2/π
Exercices 3.1 page 443
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Intégration tabulaire :
( ) ( )
( ) ( )
20
2
2 2
2 - cos 2 sin 2cos
2 - cos 2 sin 2cos 0 0 2cos0
2 2 2 2 4 .
πV π x x x x x
π π π π π π
π π π π
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦
= − − = −
b) Méthode des tubes :
[ ][ ]
( ) 2 2
0 0 0
circonférence du tube hauteur du tube
2 sin 2 sin 2 sin .π π π
V dx
π π x x x dx π x x dx π x x dx
=
= − = −
∫
∫ ∫ ∫
Intégration tabulaire pour la première intégrale :
( )( )
[ ] ( )( )( ) ( ) ( )
2 20
2 3
3 3
2 - cos sin 2 4sin
1 -cos 2 - cos sin 0 sin 0 2 8 Voir a0 -sin
2 2 8 8 .
πV π x x x π πx x
x π π π π π πx
π π π π
= + − −
+⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦−
= − + =
41. ( ) . cos1 cos202
1moy2
0
-2
0
- dttedttef tt ∫∫ =−
=ππ
ππ
Soit . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t == de sorte que
. sinsin cos --- dttetedtte ttt ∫∫ +=
Dans la seconde intégrale, posons . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t ==
( )( )
( ).cossin2
cos
cossin cos2
coscos-sin cos
--
--
----oùd'
ttedtte
ttedtte
dttetetedtte
tt
tt
tttt
−=
−=
−+=
∫
∫∫∫
444 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )
( ) ( )
( ).121
21
2-1
0cos0sin2
2cos2sin2
1
cossin2
1moy
2-2-
02-
2
0
-
Donc,
ππ
π
π
ππ
πππ
π
ee
ee
tteft
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
42. ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
−= ∫∫∫ dttedttedtef ttt cos sin2 cost-sint4
021moy
2
0
-2
0
-2
0
-πππ
ππ
Or ( )41 n levoir 22
1 cos o2-2
0
-ππ edtte t −=∫
Il reste à calculer . sin2
0
- dtte t∫π
Soit . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t == de sorte que
. coscos sin --- dttetedtte ttt ∫∫ −=
Dans la seconde intégrale, posons . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t ==
( )( )
( ).sincos21- sin
sincos sin2
sinsincos sin
--
--
----oùd'
ttedtte
tt-edtte
dtte-tet-edtte
tt
tt
tttt
+=
+=
−−=
∫
∫∫∫
( )
( ) ( )
21
21-
0sin0cos212sin2cos
21-
sincos21- sin
2-
02-
2
0
-2
0
-Donc,
+=
+++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=∫
π
π
ππ
ππ
e
ee
ttedte tt
( ) .022
121
21-2moy
2-2-et =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+=
ππ
πeef
Exercices 3.1 page 445
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
43. Posons . cos et dxxdvxu n == Alors ,sin et1 xvdxnxdu n == − de sorte que
∫ ∫ −−= . sinsin cos 1 dxxxnxxdxxx nnn 44. Posons . sin et dxxdvxu n == Alors ,cos- et1 xvdxnxdu n == − de sorte que
∫ ∫ −+= . coscos- sin 1 dxxxnxxdxxx nnn
45. Posons . et dxedvxu axn == Alors ,1 et1 axn ea
vdxnxdu == − de sorte que
∫ ∫ −−= . 1 dxexan
aexdxex axn
axnaxn
46. Posons ( ) . ln et dxdvxu n == Alors ( ) , 1ln et1 xvdxx
xndu n =⋅= − de sorte que
( ) ( ) ( )∫ ∫ −−= . lnln ln 1 dxxnxxdxx nnn 47. Posons . sin sin et1 dxxdvxu n == − Alors ( ) ,cos- cossin1 et2 xvdxxxndu n =−= − d'où
( )∫ ∫ −− −+= dxxxnxxdxx nnn cossin1cossin- sin 221
( ) ( )( ) ( )∫ ∫
∫−−−+=
−−+=−−
−−
dxxndxxnxx
dxxxnxxnnn
nn
sin1 sin1cossin-
sin1sin1cossin-21
221
( ) ( )1 21 1 sin -sin cos 1 sin n n nn x dx x x n x dx− −+ − = + −∫ ∫
∫ ∫ −− −
+= dxxn
nn
xxdxx nn
n sin1cossin- sin 21
et
∫ −− −+= . sin1sincos1- 21 dxx
nnxx
nnn
48. ( )dxxxdxxxdxx nnn 1sectan tantan tan 2222 ∫∫ ∫ −== −−
∫∫ −− −= dxxdxxx nn tan sectan 222
446 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons ,tan xu = d'où
. sec2 dxxdu =
Alors, ∫ ∫ ∫ −− −= dxxduudxx nnn tan tan 22
. tantan
11
tan1
1
21
21
∫
∫−−
−−
−−
=
−−
=
dxxxn
dxxun
nn
nn
49. a) ∫ ++=+= Cxxxdxxxdxx21sincos
21-
21sincos
21- sin2
b) ∫+= dxxxxdxx sin43sincos
41- sin 234
Cxxxxx
Cxxxxx
++−=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
83sincos
83sincos
41-
21sincos
21-
43sincos
41-
3
3
50. a) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan31 tan 234
[ ]
Cxxx
dxxx
++−=
−−= ∫
tantan31
tantan31
3
3
b) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan41 tan 345
Cxxx
dxxxx
++−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−= ∫
sec lntan21tan
41
tantan21tan
41
24
24
51. a) Posons ( ).-1 xfy = Alors ( ) ( ) , et dyyfdxyfx ′== de sorte que
( ) ( ) . -1 ∫∫ ′= dyyfydxxf
Exercices 3.1 page 447
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Posons ( )dyyfdvyu et ′== dans la deuxième intégrale.
Alors ( ), et yfvdydu ==
de sorte que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ∫∫∫ −′=−=′ dyyfxfxdyyfyyfdyyfy
Donc, ( ) ( ) ( ) . -1 dyyfxfxdxxf ∫∫ −′=
52. Posons ( ) . et-1 dxdvxfu == Alors ( ) , et1- xvdxxfdxddu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= de sorte
que ( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= . 1-1-1- dxxf
dxdxxxfdxxf
53. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,sin sin et-1 yyfxarcxfy === où
; 22
- ππ≤≤ y
∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc sinsin sin alors
( ) .sin cossin cossin
CxarcxarcxCyxarcx
++=++=
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
sin sin sin darc x dx x arc x x arc x dxdx
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
( )
.1sin
211
21sin
1
2-21sin
1
sin
2
212
2
2
Cxxarcx
Cxxarcx
dxx
xxarcx
dxx
xxarcx
+−+=
+−
+=
−+=
−−=
∫
∫
c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) 2cos sin 1 .arc x x= −
448 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
54. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,tan tan et-1 yyfxarcxfy === où
; 22
- ππ<< y
∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc tantan tan alors
( ) . tan cos lntan
cos lntan
Cxarcxarcx
Cyxarcx
++=
++=
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= dxxarc
dxdxxarcxdxxarc tan tan tan
( ) .1ln21tan
1
221tan
1
tan
2
2
2
Cxxarcx
dxxxxarcx
dxx
xxarcx
++−=
+−=
+−=
∫
∫
( )
( )
( )2
21-2
2
1ln21-
1ln
1
1 ln tan cos ln puisque ,identiquessont sexpression Les
x
x
xxarc
+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
+=c)
55. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,cos cos et-1 yyfxarcxfy === où
; 0 π≤≤ x
∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc coscos cos alors
( ) . cos sin cos sin cos
CxarcxarcxCyxarcx
+−=+−=
Exercices 3.1 page 449
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
dxxarcdxdxxarcxdxxarc cos cos cos ∫ ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
( )
.1cos
211
21cos
1
2-21cos
1
-cos
2
212
2
2
Cxxarcx
Cxxarcx
dxx
xxarcx
dxx
xxarcx
+−−=
+−
−=
−−=
−−=
∫
∫
c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) .1cos sin 2xxarc −=
56. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ; 2 log et2
-1 yyfxxfy ===
∫ ∫−= dyxxdxx y 2log log 22alors
.2
2ln1log
22ln
1log
2log2
2
Cxx
Cxx
x
y
+−=
+−=
b) Dans le contexte de l'exercice 52,
∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= dxx
dxdxxxdxx loglog log 222
.2ln
1log
2ln1log
2ln
11log
2
2
2
Cxxx
dxxx
dxx
xxx
+⋅−=
−=
⋅⋅−=
∫
∫
c) Les expressions sont identiques, puisque .2 2log xx =
450 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 3.2 - Intégrales trigonométriques et substitutions trigonométriques
1. ( ) dxxxdxxxdxx sincos1 sinsin sin2
0
222
0
42
0
5 ∫∫∫ −==πππ
Posons .cos xu = Alors .02et 10 ,- sinet sin- =⇒==⇒=== uxuxdudxxdxxdu π
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−=−=−
1
0
1
0
5342
2
0
0
1
2222
532 21 1- sincos1 uuuduuuduudxxx
π
( )158000
51
321 =+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
2. dxxxdxxxdxx 2
sin2
cos1 2
sin2
sin 2
sin0
22
0
4
0
5 ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
πππ
Posons .2
cos xu = Alors ,2- 2
sinet 21
2sin- dudxxdxxdu =⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
.0et 10 =⇒==⇒= uxux π
( ) ( )
( )
2 0 122 2 2 4
0 1 0
13 5
0
1 cos sin 1 -2 2 1 2 2 2
2 2 1 162 2 1 0 0 03 5 3 5 15
π x x dx u du u u du
u uu
⎛ ⎞− = − ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
3. ( ) dxxxdxxxdxx cossin1 coscos cos2
2-
22
2-
22
2-
3 ∫∫∫ −==π
π
π
π
π
π
Posons .sin xu = Alors .12et 1-2- , cos =⇒==⇒== uxuxdxxdu ππ
( ) ( )34
311-
311
3 1 cossin1
1
1-
32
2-
1
1-
22 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−∫ ∫
uuduudxxxπ
π
Remarque : Comme xy 3cos= est une fonction paire, nous aurions aussi pu écrire
.34
3112
32... cos2 cos
1
0
32
0
32
2-
3 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=== ∫∫
uudxxdxxππ
π
(Voir les exercices 1.5, no 85)
Exercices 3.2 page 451
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
4. ( )∫ ∫ ∫ −==6
0
6
0
6
0
2245 3cos3sin13 3cos3cos3 3cos3π π π
dxxxdxxxdxx
Posons .3sin xu = Alors , 3cos3 dxxdu = .16et 00 ⇒==⇒= πxux
( ) ( )
( )
( )158000
51
321
532 21
1 3cos3sin13
1
0
531
0
42
1
0
226
0
22
=+−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−=
−=−
∫
∫∫
uuuduuu
duudxxxπ
5. ( ) dyyydyyydyy sincos1 sinsin sin
3267 ∫∫ ∫ −==
Posons .cos yu = Alors .- sinet sin- dudyydyydu ==
( ) ( ) ( )
5 73 32 2 2 4 6 3
5 7 5 73 3
31 cos sin - 1 - 1 3 3 -5 7
3 3cos cos- -cos cos5 7 5 7
u uy y dy u du u u u du u u C
u u y yu u C y y C
⎛ ⎞− = − = − + − = − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + − + + = + − + +
∫ ∫ ∫
6. ( ) dtttdtttdtt cossin17 coscos7 cos7
3267∫ ∫ ∫ −==
Posons .sin tu = Alors . cos dttdu =
( ) ( ) ( )3 32 2 2 4 6
5 73
53 7
53 7
7 1 sin cos 7 1 7 1 3 3
375 7
217 75
21sin7sin 7sin sin5
t t dt u du u u u du
u uu u C
uu u u C
tt t t C
− = − = − + −
⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − + − +
= − + − +
∫ ∫ ∫
452 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
7. ( )∫ ∫ ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
== dxxdxxdxx 2
2cos18 sin8 sin82
224
Cxxx
Cxxx
dxxx
dxxxdxxx
++−=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+−=+−
=
∫
∫∫
4sin412sin23
44sin
21
22sin2
232
24cos2cos2
232
2
4cos12cos212 4
2cos2cos2182
8. ( ) dxxdxxdxx 2
4cos18 2cos8 2cos82
224 ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==πππ
( )28 1 cos81 2cos 4 cos 4 2 1 2cos4 4 2
3 cos82 2cos 4 2 2
3 2sin 4 1 sin822 4 2 8
1 13 sin 4 sin88
πxπx πx dx πx dx
πxπx dx
πx πxx Cπ π
x πx πx Cπ π
⎛ ⎞+⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
∫ ∫
∫
9. Puisque xxy 2
4
cossin4
= est une fonction paire, ∫ ∫ ∫==4
4-
4
0
4
02
4
2
4
2
4
cossin8
cos4sin2
cos4sinπ
π
π π
dxxxdx
xxdx
xx
( ) ( )224 4 42 4
2 22 2
0 0 0
44 42 2
00 0
1 cos 1 2cos cos8 8 8 sec 2 cos cos cos
1 cos2 3 1 3 1 sin 28 sec 2 8 sec cos 2 8 tan2 2 2 2 2 2
3 1 18 tan sin tan 0 0 s4 2 4 4 2 4
π π π
ππ π
x x xdx dx x x dxx x
x xx dx x x dx x x
π π π
− − += = = − +
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞= − ⋅ + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )3 1in 0 8 1 0 0 0 10 38 4π π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + − − + = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Exercices 3.2 page 453
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
10. ( ) θθ
θθθθθθθ
θθ ddd
sinsinsin3sin31
sinsin1
sincos
2
642
2
32
2
6
∫∫∫−+−
=−
=
( )
C
C
d
d
d
d
d
d
d
+−−−=
+−−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅−−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−=
−+−=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
324sin
22sin
815cot-
44sin
81
22sin
815cot-
4cos812cos
815csc
4cos81
812cos
47csc
2
4cos1412cos
47csc
4
2cos2cos47csc
4
2cos22cos
412cos
23
233csc
2
2cos12
2cos133csc
sinsin33csc
2
2
2
22
22
22
422
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθθ
θθθθ
θθθθ
11. ( )( )
22 2 23 2
3 23 36 6 6
1 sin3cos cos 3 cos 3 cos sinsin sin
π π π
π π π
tt tdt t dt t dttt t
−= =∫ ∫ ∫
Posons .sin tu = Alors .12et 216 , cos =⇒==⇒== ututdttdu ππ
( )( )
( )22 1 12
-3 2 1 23 2 3 2
6 1 2 1 2
1-1 2 3 2
1 2
1 sin 13 cos 3 3 sin
2 1 13 2 163 3 -2 -2 2-1 2 3 2 3 23 2
π
π
t ut dt du u u duut
u u
− −= = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
12. Posons ( ) .cos
sin3
xxxf = Alors ( )
( )( )( )
( ) ( )3 3 3sin -sin sin- - -
cos coscos -
x x xf x f xx xx
= = = = .
La fonction ( )xf est donc une fonction impaire et ( ) 0 3
3-
=∫ dxxfπ
π
(Voir l'exercice 86, page 64).
454 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. ∫∫ =ππ
θθθθθθθ2
0
222
0
32 cos2 2cos2sin 2cos2sin dd
( ) ( )∫∫ −=−=ππ
θθθθθθθθ2
0
422
0
22 cos2 2sin2sin 2cos2sin12sin dd
Posons .2sin θ=u Alors ,02et 00 , 2cos2 =⇒==⇒== uuddu πθθθθ de sorte que
( ) ( )∫∫ =−=−0
0
422
0
42 0 21 2cos 2sin2sin duuudθθθθ
π
par la définition 1.2.8, page 22.
14. dxxxxdxxx cos cossin cossin 22
0
2532
0
25 ∫∫ =ππ
( )
( ) dxxxx
dxxxx
cossinsin
cossin1sin
2
0
2925
22
0
25
∫
∫
−=
−=
π
π
Posons .sin xu = Alors . cos dxxdu =
De plus, .12et 00 =⇒==⇒= uxux π
( ) ( )
( ) ( ) ( )
12 1 7 2 11 25 2 9 2 5 2 9 2
0 0 0
Ainsi, sin sin cos 7 2 11 2
2 2 81 1 0 0 .7 11 77
π u ux x x dx u u du⎡ ⎤
− = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
15. ∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=4
2-
4
2-
22 2
2cos12
2cos116 cossin16π
π
π
π
dxxxdxxx
( )
( )
( )
4 42
- 2 - 2
4 4
- 2 - 2
4
- 2
1 cos44 1 cos 2 4 1 2
1 cos44 2 1 cos4 2 2
sin -2sin 4 sin2 2 -4 4 4 2 4
32 0 04 2 2
π π
π π
π π
π π
π
π
xx dx dx
x dx x dx
πx π π πx
π π π
+⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
Exercices 3.2 page 455
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
16. dyyyydyyy cossinsin8 cossin8 22224 ∫∫ =
( )2
2
2 2
2
3
3
1 cos2 sin 28 1 cos 2 sin 2 2 2
sin 2 cos2 sin 2
1 cos4 cos2 sin 2 2
1 1 sin 4 sin 2 12 2 4 3 21 1 1sin 4 sin 22 8 6
y y dy y y dy
y dy y y dy
y dy y y dy
y yy C
y y y C
−⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
−= −
= − − ⋅ +
= − − +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
17. ( ) θθθθθθθθθθθ ddd cossin1sin35 coscossin35 cossin35 242434 ∫∫ ∫ −==
( ) θθθθ d cossinsin35 64∫ −=
Posons .sinθ=u
Alors ( ) θθθθθθ dddu cossinsin35et cos 64∫ −=
( ) .sin5sin775
35 35 7575
64 CCuuduuu +−=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= ∫ θθ
18. ( )∫ ∫= dtttdttt cossin4 cossin4
22244
( )22
22
2 2
sin 2 14 sin 2 2 4
1 1 cos4 1 1 cos4 cos 4 4 2 4 4 2 4
1 1 1 1 cos8cos4 16 8 16 2
1 1 sin 4 1 1 sin816 8 4 32 32 83 1 1sin 4 sin8
32 32 256
t dt t dt
t t tdt dt
tt dt
t tt t C
t t t C
⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞−⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤+⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= − + + +
= − + +
∫ ∫
∫ ∫
∫
456 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. ( ) ( ) dxx
xx lncoslnsin4 22
∫
Posons .ln xu = Alors et 1 dxx
du =
( ) ( )
( )
( )
2 22 2
2
4sin ln cos ln 4sin cos
1 cos2 1 cos 24 1 cos 2 2 2
1 cos4 1 11 cos4 2 2 2
1 1 sin 4 1 sin 42 2 4 2 4
sin lnsin 4ln1 1ln ln2 4 2
x xdx u u du
xu u du u du
u du u du
u uu C u C
xx C x
=
− +⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
( )4
.4
xC
⎡ ⎤⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦
20. Posons .tan yarcu = Alors dyy
du 1
12+
= et
( )
( ) ( )
( ) ( ) .3
tan costan cos-12
3coscos-12
sincossin12 sincos112
sinsin12 sin12 1
tan sin12
3
3
22
232
3
Cyarcyarc
Cuu
duuuuduuu
duuuduudyy
yarc
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
−=−=
==+
∫∫
∫∫∫
21. Il est démontré à l'exemple 5, page 197, que . tansec ln21tansec
21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
003- 3
- 3
Ainsi, 2sec sec tan ln sec tan
- -sec0 tan 0 ln sec0 tan 0 sec tan ln sec - 3 tan - 3 3 3
1 0 ln 1 0 2 - 3 ln 2 3
2 3 ln 2 3 .
ππ
x dx x x x x
π π π π
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
= × + + − ⋅ + −
= − −
∫
Exercices 3.2 page 457
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
22. Posons .1−= xeu Alors dxedu x = et ( ) . sec 1sec 33 ∫∫ =− duudxee xx
Or, il est démontré à l'exemple 5, page 197, que
. tansec ln21tansec
21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 1Ainsi, sec 1 sec tan ln sec tan 2 21 1 sec 1 tan 1 ln sec 1 tan 1 .2 2
x x
x x x x
e e dx u u u u C
e e e e C
− = + + +
= − − + − + − +
∫
23. ∫∫ =π
π
π
π 2
2
2
3 2
csc 2
csc 2
csc dxxxdxx
Posons . 2
csc 2
csc 2 dxxdvxu == Alors ,2
cot-2et 2
cot2
csc21- xvdxxxdu == et
dxxxxxdxx 2
csc2
cot2
cot2
csc2- 2
csc 23 ∫∫ −=
2
3
3
-2csc cot csc 1 csc2 2 2 2
-2csc cot csc csc2 2 2 2
-2csc cot csc 2ln csc cot .2 2 2 2 2
x x x x dx
x x x xdx dx
x x x x xdx C
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
= − − + +
∫
∫ ∫
∫
(voir la page 73, Table 3.1.2, no 2)
Il s'ensuit que Cxxxxdxx++−=∫
2cot
2csc ln2
2cot
2csc2-
2csc2 3
et π
π
π
π 2
2
2
3 2
cot2
csc ln2
cot2
csc- 2
csc ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=∫
xxxxdxx
( ) ( )
-csc cot ln csc cot -csc cot ln csc cot 2 2 2 2 4 4 4 4
-1 0 ln 1 0 - 2 1 ln 2 1 2 ln 2 1 .
π π π π π π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= × − + − ⋅ − + = + +
458 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
24. Posons .θ=y Alors . 2 1et 2
1 dydddy == θθ
θθ
Ainsi, 3
3 2csc 2 csc 2 csc csc .θ dθ y dy y y dyθ
= =∫ ∫ ∫
Posons . cscet csc 2 dyydvyu ==
Alors ,cot-et cotcsc- yvdyyydu == et
( )
3 2
2
3
31
2 csc 2 -csc cot cot csc
-2csc cot 2 csc 1 csc
-2csc cot 2 csc 2 csc
-2csc cot 2 csc 2ln csc cot
y dy y y y y dy
y y y y dy
y y y dy y dy
y y y dy y y C
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= − −
= − +
= − − + +
∫ ∫
∫∫ ∫∫
(Voir la page 73, Table 3.1.2 numéro 2).
Il s'ensuit que 13 cotcsc ln2cotcsc2- csc4 Cyyyydyy ++−=∫ et
33csc 2 cos -csc cot ln csc cot
-csc cot ln csc cot ,
θ dθ y dy y y y y Cθ
θ θ θ θ C
= = − + +
= − + +
∫ ∫
où .21
1CC =
25. ( )∫∫ −=4
0
24
0
2 sec1sec sectanππ
dxxxdxxx
( )4 4 4
3 3
0 0 0
4
0
4
0
sec sec sec sec
1 1sec tan ln sec tan ln sec tan 2 2
1 1sec tan ln sec tan 2 2
π π π
π
π
x x dx x dx x dx
x x x x x x
x x x x
= − = −
⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
( )
1 1 1 1sec tan ln sec tan sec0 tan 0 ln sec0 tan 02 4 4 2 4 4 2 2
1 1 1 12 1 ln 2 1 1 0 ln 1 0 2 2 2 21 2 ln 2 12
π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
Exercices 3.2 page 459
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26. ( ) dxxxdxxx csc1csc csccot2
6
2
6
22∫ ∫ −=π
π
π
π
( )2 2 2
3 3
6 6 6
2
6
2
6
csc csc csc csc
1 1- csc cot ln csc cot ln csc cot 2 2
1 1- csc cot ln csc cot 2 2
1 1 1 1- csc cot ln csc cot - csc cot ln csc cot2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 6
π π π
π π π
π
π
π
π
x x dx x dx x dx
x x x x x x
x x x x
π π π π π π π
= − = −
⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
( )6
1 1 1 1 1- 1 0 ln 1 0 2 3 ln 2 3 3 ln 2 32 2 2 2 2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ − + = − +
27. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+==4
0
224
0
24
0
224
0
224
0
4 sectan sec sectan1 sec sec secπππππ
θθθθθθθθθθθθθ ddddd
Posons θtan=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uddu θθθ
et .14 =⇒= uπθ
[ ] [ ]
.34
3110
310tan4tan
3tan tan sec
1
0
31
0
40
24
0
40
4
=+=−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+= ∫∫
π
θθθθ ππ
π uduud
28. ∫ ∫=12
0
12
0
224 3sec3sec3 3sec3π π
dxxxdxx
( )∫ ∫ ∫+=+=12
0
12
0
212
0
2222 3sec3tan3 3sec3 3sec3tan13π π π
dxxxdxxdxxx
Posons xu 3tan= dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , 3sec3 2 dxxdu =
112et 00 =⇒==⇒= uxux π .
[ ] [ ]
34
3101
0310tan4tan
33tan 3tan 3sec3
1
0
312
0
1
0
120
2120
4
=+−=
−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+=∫ ∫ π
πππ uxduuxdxx
460 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+== θθθθθθθθθθθθθ ddddd csccot csc csccot1 csccsc csc 22222224
Posons θcot=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , csc- 2 θθ ddu = de sorte que
( ) .3
cotcot-3
cot--cot- csc33
24 CCuduud +−=+−=⋅+= ∫∫θθθθθθ
30. θθθθθθθθ π
π
π
π
π
π
ddd 2
csc2
cot13 2
csc2
csc3 2
csc3 2
2
22
2
2
2
4 ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
θθθθθ π
π
π
π
dd 2
csc2
cot3 2
csc3 2
2
2
2
2 ∫∫ +=
Posons 2
cot θ=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors . 2
csc21- 2 θθ ddu =
De plus, ,0et 12 =⇒==⇒= uu πθπθ de sorte que
( ) ( )
( )
( )
( )
04 2
22 1
12
0
13
0
3csc 3 -2cot 2 3 -2 2
-6 cot 2 cot 4 6
-6 cot 2 cot 4 63
1-6 0 1 6 0 6 2 8.3
ππ
ππ
θ dθ θ u du
π π u du
uπ π
⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦
= − +
⎡ ⎤= − + ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎛ ⎞= − + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫
31. ( )4 4 4 4 4
3 2 2 2
0 0 0 0 0
4 tan 4 tan tan 4 sec 1 tan 4sec tan 4 tan π π π π π
x dx x x dx x x dx x x dx x dx= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uxdxxdu
et .14 =⇒= ux π
20214
24 4 tansec4
1
0
24
0
1
0
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==∫ ∫
uduudxxxπ
Exercices 3.2 page 461
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De plus, 4 4
4
00 0
4 tan 4 4 tan 4 ln sec ,π π
πx dx x dx x⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ par le résultat 1.5.3, page 60, d'où
( )4
0
4 tan 4 ln sec 4 ln sec0 4ln 2π
x dx π⎡ ⎤= − =⎣ ⎦∫ .
Nous avons finalement ( ) ( )4
3 4
0
4 tan 2 4ln 2 2 ln 2 2 ln 4.π
x dx = − = − = −∫
32. ( )∫ ∫ ∫ −==3
6
3
6
3
6
223 cot1csc cotcot cotπ
π
π
π
π
π
dxxxdxxxdxx ∫ ∫−=3
6
3
6
2 cot cotcscπ
π
π
π
dxxdxxx
Posons xu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 36
, csc- 2 =⇒== uxdxxdu π
et .3
13
=⇒= ux π
( )
( )
( ) ( )( )
3 1 3336
6 3
32 3
61 3
cot - ln sin
ln sin 2
3 1 ln sin 3 ln sin 6 2 64 ln 3 2 ln 1 23
4 3 2 ln3 1 2
ππ
ππ
π
π
x dx u du x
u x
π π
⎡ ⎤= ⋅ − ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
= − − −
= − −
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
( )4 ln 3 .3−
462 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. ( )∫∫∫ −==2
4
222
4
222
4
4 1csccot8 cot cot8 cot8π
π
π
π
π
π
dtttdtttdtt
( )
∫∫∫
∫∫
∫∫
+−=
−−=
−=
2
4
2
4
22
4
22
2
4
22
4
22
2
4
22
4
22
8 csc8 csccot8
1csc8 csccot8
cot8 csccot8
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
dtdttdttt
dttdttt
dttdttt
Posons tu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 14 , csc- 2 =⇒== utdttdu π
et .02 =⇒= ut π
( ) [ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
3162
2838
481080
318
428
4cot
2cot8
38
8cot8 8
8cot-8-8 cot8
1
0
3
24
1
0
24
2
24
24
2
4
0
1
24
−=
+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
++=
+−⋅=
∫
∫ ∫
π
ππ
ππππ
ππ
ππ
ππ
ππ
π
π
u
ttduu
ttduudtt
34. ( )∫ ∫ ∫ −== dxxxdxxxdxx 1sectan6 tantan6 tan6 22224
( )∫∫∫
∫∫∫∫
+−=
−−=
−=
dxdxxdxxx
dxxdxxx
dxxdxxx
6 sec6 sectan6
1sec6 sectan6
tan6 sectan6
222
222
222
Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors . sec2 dxxdu =
Cxxx
CxxCuCxxduudxx
++−=
++−+=++−=∫ ∫6tan6tan2
6tan63
66tan6 6 tan6 Ainsi,
3
12
3
124
,
où .12 CCC +=
Exercices 3.2 page 463
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
35. ( )dttt coslnsec2∫ peut s'intégrer par parties.
Posons ( ) . secet cosln 2 dttdvtu ==
Alors tvdttdttt
du tanet tan- sin-cos
1==⋅= de sorte que
( ) ( )( ) ( )( )( ) .tancoslntan
seccoslntan
1seccoslntan
tancoslntan coslnsec
2
2
22
Ctttt
dtdtttt
dtttt
dttttdttt
+−+=
−+=
−+=
+=
∫ ∫∫
∫ ∫
36. , cossin2
cossin 3
04
23
3-4
2
θθθθ
θθ ππ
π
dd ∫∫ = puisque ( )θθθ 4
2
cossin
=f est une fonction paire.
∫∫∫ ⋅=⋅=3
0
222
3
02
23
04
2
sectan2 cos
1cossin2
cossin2
πππ
θθθθθθ
θθθθ ddd
Posons .tanθ=u Alors . sec2 θθ ddu = De plus, .33et 00 =⇒==⇒= uu πθθ
Ainsi, .3203
3323
2 2 sectan23
0
33
0
23
0
22 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫∫
uduudπ
θθθ
37. ( ) ( ) dxxxxdxxx sectantan sectan 232233 ∫∫ =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) dxxxxdxxxx
dxxxdxxxx
dxxxx
tansecsec tansecsec
tansec tansecsec
sectan1sec
2125
23232
232
∫∫∫∫
∫
−=
−=
−=
Dans chacune des intégrales, posons ,sec xu = de sorte que . tansec dxxxdu =
Nous aurons alors ( ) ∫∫∫ −= duuduudxxx sectan 2125233
( ) ( ) .sec32sec
72
23272327
2327
Cxxuu+−=−=
464 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. ( ) ( ) dxxxxdxxx csccotcot csccot 21-221-3 ∫∫ =
( )( )
( )( )( )
( ) ( )
-1 22
-1 23 2
-1 23 2
1 2 -3 2
cot csc 1 csc
cot csc csc
cot csc cot csc
cot csc csc cot csc csc
x x x dx
x x x dx
x x dx x x dx
x x x dx x x x dx
= −
= −
= −
= −
∫
∫
∫ ∫∫ ∫
Dans chacune des intégrales, posons ,csc xu = de sorte que .cot csc- xxdu =
Nous aurons alors
( )
.csc2csc
32-
232-
21-23- - csccot
23
2321-23
23-2121-3
Cx
x
Cu
uCuuduuduudxxx
+−=
+−=++=+= ∫∫∫
39. 9 8cos cos cos θ dθ θ θ dθ=∫ ∫
Il suffit alors de transformer θ8cos en termes de θsin par ( ) ( )4 48 2 2cos cos 1 sin ,θ θ θ= = −
d'effectuer la substitution θsin=u et de développer ( )421 u− avant d'intégrer. 40. ∫ ∫= θθθθθ dd sinsin sin 1213
Il suffit alors de transformer θ12sin en termes de θcos par ( ) ( ) ,cos1sinsin626212 θθθ −==
d'effectuer la substitution θcos=u et de développer ( )621 u− avant d'intégrer. 41. a) ( ) ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−== . tan sectan tan1sec tantan tan 32332325 θθθθθθθθθθθθθ ddddd
En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons
∫∫ −= . tan4
tan tan 34
5 θθθθθ dd
Exercices 3.2 page 465
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) ( )7 2 5 2 5 5 2 5tan tan tan sec 1 tan tan sec tan .θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ dθ= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons
∫∫ −= . tan6
tan tan 56
7 θθθθθ dd
c) ( )∫ ∫ ∫ −−+ −== θθθθθθθθ ddd kkk tan1sec tantan tan 12212212
∫ ∫ −− −= . tan sectan 12212 θθθθθ dd kk
En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons
∫∫ −+ −= . tan2
tan tan 122
12 θθθθθ dk
d kk
k
42. a) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 32332325
En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :
. cot4
cot- cot 34
5 ∫∫ −= θθθθθ dd
b) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 52552527
En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :
. cot6
cot- cot 56
7 ∫∫ −= θθθθθ dd
c) ( ) θθθθθθθθ ddd kk cot1csc cot cot cot 1221+2k212 −+ ∫∫∫ −==
∫ ∫ −− −= θθθθθ dd kk cot csccot 12212
En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :
. cot2
cot- cot 122
12 ∫∫ −+ −= θθθθθ dk
d kk
k
466 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
43. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,2et 3 == nm nous pouvons écrire :
[ ]
( ) ( )
0 0
- -
0
-
1sin 3 cos2 sin sin 5 2
1 cos5 -cos2 5
cos -51 cos0 -cos0 -cos -2 5 5
1 1 -12
π π
π
x x dx x x dx
xx
ππ
= +
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= −
∫ ∫
1 61 - .5 5 5
⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦
44. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,3et 2 == nm nous pouvons écrire :
( )
( )
( )
2 2
0 0
2
0
5 2
1sin 2 cos3 sin - sin 5 2
-cos -1 cos5 2 -1 5
1 cos cos0 cos - 2 cos02 5 5
1
π π
π
π
x x dx x x dx
x x
π
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
=
∫ ∫
( ) 1 20 0 1 - .2 5 5⎡ ⎤⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
45. À partir de l'équation (1) de la page 205 avec ,2et 4 == nm nous pouvons écrire :
[ ]6 6
12 12
6
12
18sin 4 sin 2 8 cos 2 cos6 2
sin 2 sin 6 42 6
sin 3 sin sin 6 sin 2 42 6 2 6
π π
π π
π
π
x x dx x x dx
x x
π π π π
= ⋅ −
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
3 1 1 2 1 3 3 1 4 0 3 1 3 .4 4 6 3 3 3
⎡ ⎤ −= − − + = − + = − =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Exercices 3.2 page 467
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
46. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,61et
31
== nm nous pouvons écrire :
( ) ( )
( ) ( )[ ] .2123-00
21
cos23
cos6-2
3cos22
cos6-21
212cos
616cos-
21
2
sin6
sin21
6cos
3sin
3
2
3
2
3
2
=+−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=∫ ∫
ππππ
π
π
π
π
π
π
xx
dxxxdxxx
47. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,41et
31
== nm nous pouvons écrire :
.7
18324733
73333
21-
76
216
23
76
236
67sin
76
6sin6
37sin
76
3sin6
127sin
712
12sin12
21
127cos
12cos
21
4cos
3cos
4
2
4
2
4
2
−=+−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−⋅+⋅=
−−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∫ ∫
ππππ
π
π
π
π
π
π
xx
dxxxdxxx
48. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,7et 21
== nm nous pouvons écrire :
2 2
0 0
2
0
1 -13 15cos cos7 cos cos 2 2 2 2
-13 15sin sin1 2 2 2 -13 2 15 2
1 2 -13 - sin2 13 4
π π
π
x x dx x x dx
x x
π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= +
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠
∫ ∫
2 15 -2 2sin sin 0 sin 015 4 13 15
1 -2 2 2 2 14 2 - - .2 13 2 15 2 195
π⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
468 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. ∫∫ = dxxxdxx csccsc csc 23
Posons . cscet csc 2 dxxdvxu ==
Alors ,cot-et cotcsc- xvdxxxdu == de sorte que
( )
cotcsc ln csccotcsc-
csc csccotcsc-
csc1csccotcsc-
csccotcotcsc- csc
3
3
2
23
xxdxxxx
dxxdxxxx
dxxxxx
dxxxxxdxx
+−−=
+−=
−−=
−=
∫∫∫
∫∫∫
(voir la page 73, Table 3.1.2 no 2)
Il s'ensuit que ∫ +−= cotcsc lncotcsc- csc2 3 xxxxdxx
et . cotcsc ln21cotcsc
21- csc3 Cxxxxdxx ++−=∫
50. a) ( ) ( )( )2 21sin sin cos cos
2
a π a π
a a
mx nx dx m n x m n x dx+ +
= − − +∫ ∫
( ) ( ) 2sin sin1 ,
2
a π
a
m n x m n xm n m n
+⎡ ⎤− +
= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
où 0et 0 ≠+≠− nmnm
( )( ) ( )( ) ( ) ( )sin 2 sin 2 sin sin1 .
2m n a π m n a π m n a m n a
m n m n m n m n
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Mais ( )( ) ( )sin 2 sinm n a π m n a
m n m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
− − et
( )( ) ( )sin 2 sin,
m n a π m n am n m n
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ +
puisque la fonction ( )xsin est périodique de période ,2π d'où ∫+
=π2
0 sinsina
a
dxnxmx et les
fonctions nxmx sinet sin sont orthogonales sur tout intervalle de longueur .2π
Exercices 3.2 page 469
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) ( ) ( )( )dxxnmxnmnxmxa
a
coscos21coscos
2
∫ ∫+
++−=π
( ) ( ) 2sin sin1 ,
2
a π
a
m n x m n xm n m n
+⎡ ⎤− +
= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
où 0et 0 ≠+≠− nmnm ( )( )1 sin 2 .2
m n a π⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
51. Posons .22
-pour , sec3 ,tan3 2 πθπθθθ <<== ddyy
( )2 2 2 29 9 9 tan 9 1 tan 9secy θ θ θ+ = + = + =
de sorte que ,sec3 sec 3sec99 22 θθθ ===+ y
puisque .22
-pour 0sec πθπθ <<>
Alors, ∫∫∫ ==+
θθθθθ dd
y
dy secsec3
sec3
9
2
2
2
2
2
ln sec tan
9+ln
3 3
ln 9+ ln3
ln 9+ , où ln3.
θ θ C
y y C
y y C
y y C C C
′= + +
′= + +
′= + − +
′= + + = −
52. Posons θθθ ddyy sec 3 ,tan3 2==
pour .22
- πθπ<<
,sectan191 222 θθ =+=+ y de sorte que
,sec sec sec91 22 θθθ ===+ y
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
Alors, 2
22
3 sec sec ln sec tan ln 1 9 3 .sec1+9
dy θ dθ θ dθ θ θ C y y Cθy
= = = + + = + + +∫ ∫ ∫
y2 9 y+
3θ
3y
1
29 1 y+
θ
470 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
53. Posons .22
-pour , cos5 ,sin5 πθπθθθ <<== ddtt
( ) ,cos25sin125sin252525 2222 θθθ =−=−=− t
de sorte que ,cos5 cos 5cos2525 22 θθθ ===− t
puisque .22
-pour 0cos πθπθ <<>
Alors, ∫∫ ⋅=− θθθ ddtt cos5cos5 25 2
.2
255
sin 225
525
55sin
225
cossin221
225
22sin
225
2
2cos125 cos25
2
2
2
Ctttarc
Ctttarc
C
C
dd
+−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+== ∫∫
θθθ
θθ
θθθθ
54. Posons θθθ ddtt cos 3 ,sin3 ==
pour .22
- πθπ<<
θθ 222 cossin191 =−=− t de sorte que
θθθ cos os cos91 22 ===− ct ,
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
( ) .9133sin
61
2cossin2
61
22sin
61
22cos1
31 cos
31cos 91Alors,
2
2
CtttarcC
Cdddtt
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=⋅=− ∫∫∫
θθθ
θθθθθθθ
2 52 t−
5t
θ
3t1
29 1 t−
θ
Exercices 3.2 page 471
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
55. Posons . tansec27 ,sec
27ou sec72 θθθθθ ddxxx ===
De ,27
>x on déduit que .2
0 πθ <<
De plus, ( )2 2 2 24 49 49sec 49 49 sec 1 49 tan ,x θ θ t− = − = − =
de sorte que ,tan7 tan 7tan49494 22 θθθ ===−x puisque .2
<<0pour 0tan πθθ >
Il s'ensuit que ∫∫ ∫ ==−
θθθ
θθθ dd
x
dx sec21
tan7 tansec
27
494 2
2
2 2
1 1 2 4 49ln sec tan ln 2 2 7 7
1 1 1ln 2 4 49 - ln 7 ln 2 4 49 2 2 2
x xθ θ C C
x x C x x C
−′ ′= + + = + +
′= + − + = + − +
où .7ln21- CC ′+=
56. Posons , tansec3 5 ,sec35 θθθθ ddxx ==
De ,53
>x nous déduisons que .2
0 πθ <<
De plus, ( ) ,tan91sec99sec9925 2222 θθθ =−=−=−x
de sorte que ,tan3 tan 3tan9925 22 θθθ ===−x
puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
Il s'ensuit que
2
2
5 3sec tan 5 25 9sec ln sec tan ln ,3tan 3 325 9
dx θ θ dθ x xθ dθ θ θ C Cθx
−= = = + + = + +
−∫ ∫ ∫
ou encore , 9255 ln 2 Cxx ′+−+ où .3ln−=′ CC
49 4 2 -x
7
2x
θ
5x
3
9 52 2 −xθ
472 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
57. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==
De ,1>x on déduit que .2
0 πθ <<
De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x de sorte que
,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque .2
<<0pour 0tan πθθ >
Il s'ensuit que .1sin cos sec
1tansec
tansec
1
2
222C
xxCddd
xx
dx+
−=+====
−∫∫∫ ∫ θθθθ
θθθθθ
(voir le triangle de référence) 58. Posons θθθθ ddxx tansec ,sec == .
De 1>x , nous déduisons que 2
0 πθ << .
De plus, θθ 222 tan1sec1 =−=−x ,
de sorte que θθθ tan tan tan1 22 ===−x , puisque 0tan >θ pour 2
0 πθ << .
Il s'ensuit que ( ) θθθθθθθθθ ddd
xx
dx 2cos1 cos2tansec
tansec2
1
2 2323 ∫ ∫∫∫ +===
−
.1sec
11sec2
cossin222sin
2
2
2
Cx
xxarc
Cxx
xxarcCC
+−
+=
+⋅−
+=++=++=θθθθθ
59. Posons 22
-pour , sec2 ,tan2 2 πθπθθθ <<== ddxx
( ) ,sec41tan44tan44 2222 θθθ =+=+=+x
de sorte que ,sec2 ec 2sec44 22 θθθ ===+ sx
puisque .2
<<2
-pour 0sec πθπθ >
1 2 -x
1
x
θ
4 2 +x
2
xθ
x
1
1 2 −xθ
Exercices 3.2 page 473
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que ∫ ∫⋅
=+ θ
θθθsec2
sec2tan8
4
23
2
3 d
x
dxx
( ) . tansec1sec8
tansectan8 sectan82
23
θθθθ
θθθθθθθ
d
dd
∫∫∫
−=
==
Posons . tansecet sec θθθθ dduu ==
Alors ( ) Cuuduux
dxx+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
+∫∫ 3
8 184
32
2
3
( ) .44431
24
24
318sec
3sec8
2232
23
23
Cxx
CxxC
++−+=
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= θθ
60. Posons , sec ,tan 2 θθθ ddxx ==
pour .22
- πθπ<<
,sec1tan1 222 θθ =+=+x
de sorte que ,sec sec sec1 22 θθθ ===+x puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que
θθθ
θθθθ
θθθθ ddd
xx
dx sincos
cos1
tan sec
sectan sec
12
2
22
2
22⋅===
+∫∫∫ ∫
( ) ( ) .1-sin
1-1-
sin cossin2-12-
Cx
xCCd ++
=+=+== ∫ θθθθθ
61. Posons .22
-pour , cos2 ,sin2 πθπθθθ <<== ddww
( ) ,cos4sin14sin444 2222 θθθ =−=−=− w de sorte que
,cos2 cos 2cos44 22 θθθ ===− w
.22
-pour 0cos puisque πθπθ <<>
4 2w-
2w
θ
x
1
1 2 +x
θ
474 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que θθθθ
θθ dd
ww
dw sin
12cos2sin4 cos28
4
82222 ∫∫∫ =
⋅⋅
=−
Cw
wCd +−
=+== ∫2
2 42-cot-2 csc2 θθθ (voir le triangle de référence, page précédente).
62. Posons , cos3 ,sin3 θθθ ddww ==
pour .22
- πθπ<<
( ) ,cos9sin19sin999 2222 θθθ =−=−=− w
de sorte que ,cos3 cos 3cos99 22 θθθ ===− w puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que ∫∫∫ ∫−
==⋅
=− θ
θθθ
θθ
θθθθ ddddw
ww
sinsin1
sin cos
sin9 cos3cos3 9
2
2
2
2
22
2
( ) .3
sin 9-cot- 1csc2
2 Cwarcw
wCd +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=+−=−= ∫ θθθθ
63. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==
De ,1>x on déduit que .2
0 πθ <<
De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x
de sorte que ,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque .2
0pour 0tan πθθ <<>
Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫∫∫ =⋅⋅===−
. sincos
sincos
cos1
tansec
tan tansec
122
2
23232θ
θθθ
θθ
θθ
θθ
θθθθ dddd
x
dx
Posons ,sinθ=u alors θθ ddu cos= et
( ) Cu
duuduux
dx+===
−∫∫ ∫
1- 1
1 2-
2232.
1-csc-
sin1-
2C
x
xCC +−
=+=+= θθ
1 2 -x
1
x
θ
w3
2 9 w−
θ
Exercices 3.2 page 475
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
64. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==
De ,1>x nous déduisons que .2
0 πθ <<
De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x de sorte que
,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
Il s'ensuit que ( ) θθθ
θθ
θθ
θθθθθ ddd
x
dxx sincos
cos1
tansec
tan tansecsec
1
4
4
34
3
5
2
252
2
⋅===−
∫∫∫∫
( ) ( )
( ) .13
-13
1-
sin31-
3-sin cossin
232
3
32
3
3-4-
Cx
xC
xx
CCd
+−
=+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=
+=+== ∫ θθθθθ
65. Posons , cos ,sin θθθ ddxx == pour .22
- πθπ<<
,cossin11 222 θθ =−=− x de sorte que
,cos cos cos1 22 θθθ ===− x puisque 0cos >θ
pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que ( ) . csccotsin
1sincos
sin coscos 1 24
24
4
6
3
6
232
∫∫∫∫ =⋅⋅=⋅
=− θθθθ
θθθ
θθθθ ddddx
xx
Posons ,cotθ=u alors ( ) ( ) Cuduudxxxddu +=⋅=
−= ∫ ∫ 5
-- 1et csc-5
46
2322 θθ
( ) .151-
5cot-
25
5
25
Cx
xC +−
=+=θ (Voir le triangle de référence ci-dessus)
1 2x-
1x
θ
x
1
1 2 −xθ
476 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
66. Posons , cos ,sin θθθ ddxx ==
pour .22
- πθπ<<
,cossin11 222 θθ =−=− x
de sorte que ,cos cos cos1 22 θθθ ===− x puisque 0cos >θ pour 22
- πθπ<< .
Il s'ensuit que ( )∫∫∫∫ =⋅==
− θθθθθθ
θθ
θθθ ddddxxx csccot
sin1
sincos
sin coscos 1 22
22
2
44
212
( ) .3
1-131-
3cot- 3
2323
23
CxxC
xxC +
−=+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −=+=
θ
67. Posons ,tan21ou tan2 θθ == xx
, sec21 2 θθ ddx = pour .
22- πθπ
<<
.sec1tan14 222 θθ =+=+x
Il s'ensuit que ( ) ( ) θθ dxx
dx sec21
sec
8
14
8 22222⋅=
+∫∫
.14
22tan 2
14
1
14
22tan 2
2cossin22
22sin2
2
2cos14 cos4 sec
14
2
22
22
Cx
xxarc
Cxx
xxarc
CC
ddd
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++=
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+⋅
++=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=
+=== ∫ ∫∫
θθθθθ
θθθθθθ
1 4 2 +x
1
2xθ
x1
2 1 x−
θ
Exercices 3.2 page 477
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
68. Posons , sec 3 ,tan3 2 θθθ ddtt ==
pour .22
- πθπ<<
θθ 222 sec1tan19 =+=+t et
( ) ( ) θθθθθθθ ddd
t
dt 2cos1 cos2sec
sec2
19
6 24
2
22 ∫ ∫∫∫ +===+
( )
( ) .19
33tan
19
1
19
33tan 2
cossin222sin
2
22
Ct
ttarc
Ctt
ttarcCC
++
+=
++
⋅+
+=++=++=θθθθθ
69. Posons .teu = Alors .44lnet 10 , =⇒==⇒== ututdtedu t
Il s'ensuit que .99
4
12
4ln
02 ∫∫
+=
+ u
du
e
dtet
t
Posons ,tan3 θ=u
, sec3 2 θθ ddu = pour .22
- πθπ<<
( ) ,sec91tan99tan99 2222 θθθ =+=+=+u
de sorte que ,sec3 sec 3sec99 22 θθθ ===+u puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
Nous avons ∫∫ ∫ ==+
θθθθθ dd
u
du secsec3
sec3
9
2
2
. 33
9 ln tansec ln2
CuuC +++
=++= θθ
Il en résulte que 4
4 2
21 1
9 5 4 10 1ln ln ln 3 3 3 3 3 39
du u u
u
⎡ ⎤+⎢ ⎥= + = + − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦
∫
( )( ) ( )ln9 ln 3 ln 10 1 ln 3 ln 9 ln 10 1 .= − − + − = − +
9 2 +u
3
uθ
3t
1
1 9 2 +t
θ
478 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
70. Posons ( ) θθθθ ddteete ttt sec et tanlnln ,tan 2====
pour .34
43
≤≤ θ
,sectan11 222 θθ =+=+ te
de sorte que ( ) θθθ sec sec sec1 2212 ===+ te
puisque 0sec >θ pour ,34
43
≤≤ θ et ( ) θ3232 sec1 =+ te
Il s'ensuit que ( )( )
( )ln 4 3 tan4 3 2
3 2 32ln 3 4 tan3 4
secsec1
arct
t arc
e dt θ dθθe
=+
∫ ∫
[ ] tan4 3
tan4 3 tan3 4
tan3 4
4 3 1cos sin .5 5 5
arcarcarc
arc
θ dθ θ= = = − =∫
71. Posons .tx = Alors .2et 2
1t
dtdxdtt
dx ==
Il s'ensuit que . 414 2
412
412
42
22 dxx
dxxt
dttttt
dt∫∫∫∫ +
=⋅+
=⋅+
=+
Posons ,tan21ou tan2 θθ == xx , sec
21 2 θθ ddx = pour .
22- πθπ
<<
Alors θθ 222 sectan141 =+=+ x et
( ) ( ) .2tan 22tan 222 sec21
sec4
414 2
22 ∫∫∫ +=+=+==⋅=+
CtarcCxarcCdddxx
θθθθθ
Finalement, ( )1 4 1 4
1 121 12
2 2 tan 24dt arc t
t t t⎡ ⎤= ⎣ ⎦+∫
[ ]
12 tan1 tan 212
22 tan1 tan2 3
12 tan1 tan3
2 4 6 6.
arc arc
arc arc
arc arc
π π π
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − =
1
2x24 1 x+
θ
3
54
Exercices 3.2 page 479
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
72. Posons θθθθ dedyey sec , 2tantan ==
.41tanet 00tan1 πθθθθ =⇒=⇒==⇒=⇒= eyy
( ) ,sectan1ln1 222 θθ =+=+ y de sorte que ( ) .sec sec secln1 22 θθθ ===+ y
puisque 0sec >θ pour .4
0 πθ ≤≤
Il s'ensuit que
( )
4 4tan 2 4
tan 021 0 0
sec sec ln sec tan sec1 ln
π πe θ π
θdy e θ dθ θ dθ θ θ
e θy y⎡ ⎤= = = +⎣ ⎦
+∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )ln sec 4 tan 4 ln sec0 tan 0 ln 2 1 ln 1 0 ln 2 1 .π π⎡ ⎤= + − + = + − + = +⎣ ⎦
73. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==
Si ,1>x alors ,0tanet 2
0 ><< θπθ de sorte
que θθθ tan tan tan1 22 ===−x et
. secsectansec
tansec
12CxarcCxarcCd
xx
dx+=+=+==
−∫∫ θ
θθθθθ
Si ,1-<x alors ,0tanet 2
<<< θπθπ de sorte que θθθ tan- tan tan1 22 ===−x et
( )( ) ( )
.où , sec-sec-sec
sec--tan-sec
tansec
12
ππ
θθθθθθ
−=′′+=
′+=+−=
+=+==−
∫∫
CCCxarcCxarcCxarc
CxarcCd
xx
dx
74. Posons . sec ,tan 2 θθθ ddxx ==
θθ 222 sectan11 =+=+ x
Il s'ensuit que .tan sec
sec1 2
2
2 CxarcCdx
dx+=+==
+ ∫∫ θθθθ
1 2 -x
1
x
θ
480 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
75. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==
Si ,1>x alors ,0tanet 2
0 ><< θπθ de sorte que θθθ tan tan tan1 22 ===−x et
.1tan sectan
tansecsec
1
222
CxCdd
x
dxx+−=+===
−∫∫∫ θθθ
θθθθθ
Si -1,<x alors ,0tanet 2
<<< θπθπ de sorte que θθθ tan- tan tan1 22 ===−x et
.1tan- sec-tan-
tansecsec
1
222
CxCdd
x
dxx+−=+===
−∫∫∫ θθθ
θθθθθ
76. Posons , cos ,sin θθθ ddxx ==
pour .22
- πθπ<<
θθ 222 cossin11 =−=− x
et ,cos cos cos1 22 θθθ ===− x
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que .sin cos
cos
1 2CxarcCd
x
dx+=+==
+∫∫ θ
θθθ
77. ( ) ( )2 222 5 2 1 4 1 4
dy dy dyy y y y y
= =− + − + + − +
∫ ∫ ∫
Posons ,tan21ou tan21 θθ +==− yy
, sec2 2 θθ ddy = pour .22
- πθπ<<
( ) ( )2 2 2 21 4 4 tan 4 4 tan 1 4secy θ θ θ− + = + = + =
Il s'ensuit que ∫∫∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+===+−
CyarcCddyy
dy2
1tan 21
21
21
sec4 sec2
52 2
2
2 θθθθθ
et que [ ] .8
042
10tan 1tan 21
21tan
21
52
3
1
3
12
ππ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−∫ arcarcyarc
yydy
( ) 4 1 2+-y
2
y - 1θ
x1
2 1 x−
θ
Exercices 3.2 page 481
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
78. ( )∫∫ ∫ +−
=++−
=+− 91912102 222 y
dyyydy
yydy
Posons θtan31 =−y
ou θθθ ddyy sec3 ,tan31 2=+= pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) .sec91tan99tan991 2222 θθθ =+=+=+−y
Il s'ensuit que Ce
yarcCdyy
dy+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+==+−∫ ∫
1tan 31
31
sec9 sec3
102 2
2
2 θθθθ et que
[ ] .12
043
10tan 1tan 31
31tan
31
102
4
1
4
12
ππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−∫ arcarcyarc
yydy
79. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 - 2 - 2 1 1 - 1 1 1 1 ,x x x x x x x x⎡ ⎤− = − = − + − = − − = − −⎣ ⎦
d'où ( ) ( )( )
.11
1
2
122 ∫∫
−−
−=
−
−
x
dxx
xx
dxx
Posons ,sin1ou sin1 θθ +==− xx , cos θθ ddx = pour .22
- πθπ<<
( ) ,cossin111 222 θθ =−=−− x de sorte que ( ) ,cos cos cos11 22 θθθ ===−− x
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
( )
( ) CxxCx
Cdd
xx
dxx
+−=+−−=
+===−
−∫∫∫
22
2
2-11-
cos- sincos
cossin
2
1 queensuit s' Il θθθθ
θθθ
et que ( ) .2311
23-12
493-2-
2
1 23
1
223
12
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
−
−∫ xx
xx
dxx
( ) 1 1 2-x-
1x - 1
θ
y - 1
3
( ) 9 1 2 +−y
θ
482 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
80. ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )2 222 2
2 2 2 2 2
5 4 - 4 5 - 4 4 9 9 2- 2 9
x dx x dx x dx x dx x dx
x x x x x x xx
− − − − −= = = =
⎡ ⎤+ − − − − + − − −− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Posons θsin32 =−x ou , cos3 ,sin32 θθθ ddxx =+=
pour .22
- πθπ<<
( ) ,cos3 cos 3cos3sin9929 222 θθθθ ===−=−− x
puisque ,0cos >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que
( ) ( )
.45-
3293
-cos3- sin3cos3
cos3sin3
45
2
2
2
2
Cxx
Cx
Cdd
xx
dxx
+−+=
+−−
=+==⋅
=−+
−∫∫∫ θθθ
θθθθ
81. ( )∫∫∫
−−=
−+−=
− 111122 222 x
dx
xx
dx
xx
dx
Posons ,sec1ou sec1 θθ +==− xx
, tansec θθθ ddx = pour .2
0 πθ <<
( ) ,tan1sec11 222 θθ =−=−−x
de sorte que ( ) ,tan tan tan11 22 θθθ ===−−x puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
. 21 ln
tansec ln sectan
tansec
2 queensuit s' Il
2
2
Cxxx
Cdd
xx
dx
+−+−=
++===−
∫∫ ∫ θθθθθ
θθθ
82. Posons . cos ,sin dttdyty ==
Alors ( )
.111122sin2sin
cos2222 ∫∫ ∫∫−+
=−++
=+
=+ y
dy
yy
dy
yy
dy
tt
dtt .
( ) 1 1 2 --x
1
x - 1
θ
x - 23
( )22 9 −− x
θ
Exercices 3.2 page 483
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Posons θsec1 =+y ou , tansec ,sec1- θθθθ ddyy =+=
pour .2
0 πθ <<
( ) ,tan tan tan1sec11 222 θθθθ ===−=−+y
puisque .2
0pour 0tan πθθ <<>
Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫ =
−+=
+ θθθθ
tan tansec
11sin2sin
cos22
d
y
dy
tt
dtt
. sin2sin1sin ln
21 ln tansec ln sec
2
2
Cttt
CyyyCd
++++=
++++=++== ∫ θθθθ
83. ( ) ( ) ,92944134 222 ++=+++=++ xxxxx d'où ( ) ( )( )∫ ∫
++
+=
++
+ .92
2
134
222 x
dxx
xx
dxx
Posons ,2tan3ou tan32 −==+ θθ xx
, sec3 2 θθ ddx = pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) ,sec91tan99tan992 2222 θθθ =+=+=++x d'où
( ) θθθ sec3 sec 3sec992 22 ===++x puisque 0sec >θ lorsque .22
- πθπ<<
( )
CxxC
dd
xx
dxx
+++=+=
=⋅
=++
+∫ ∫∫
134sec3
sectan3sec3
sec3tan3
134
2 queensuit s' Il
2
2
2
θ
θθθθ
θθθ
et ( ) .235134134
2+2
2-
2
2-
22
=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
++∫ xx
xx
dxx
( ) 9 2 2++x
3
x + 2θ
1
( ) 1 1 2 −+yθ
1 +y
484 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
84. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 28 2 - 2 8 - 2 1 9 - 1 9 9 1x x x x x x x x⎡ ⎤+ − = − − = − + − = − − = − −⎣ ⎦
Posons , cos3- ,sin31 θθθ ddxx ==− pour .22
- πθπ<<
( ) ,cos3 cos 3cos3sin991928 2222 θθθθ ===−=−−=−+ xxx
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que
( ) ( )∫∫∫ =
⋅=
−+
− θθθ
θθθ dd
xx
dxx sin-3cos
cos3-sin3
28
12
( )CxxC
xC +−+=+
−−⋅=+= 2
2
28319
3cosθ et que
( ) .223892828
1 1
0
21
02
−=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
−+
−∫ xx
xx
dxx
85. ( ) ,4141252 222 +−=++−=+− sssss d'où ( )
.4152 22∫ ∫
+−=
+− s
ds
ss
ds
Posons ,tan21ou tan21 θθ +==− ss , sec2 2 θθ dds = pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) ,sec41tan44tan441 2222 θθθ =+=+=+−s
d'où ( ) ,sec2 sec 2sec441 22 θθθ ===+−s
puisque 0sec >θ lorsque .22
- πθπ<<
.
21
252ln
tansec ln secsec2
sec2
52 queensuit s' Il
2
2
2
Csss
Cdd
ss
ds
+−
++−
=
++===+−
∫∫ ∫ θθθθθθθ
Note : En poursuivant les calculs, on obtient :
, 152 ln2ln 152 ln52
222
CsssCsssss
ds ′+−++−=+−−++−=+−
∫
où ,2ln−=′ CC qui est une réponse équivalente.
( ) 4 1 2+−s
2
s - 1θ
1 - x3
( )2 1 9 x−−
θ
Exercices 3.2 page 485
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
86. 3 3 3 3
2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5
z dz z zdz dz dzz z z z z z z z
− + −= = +
− + − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= zzu
Alors ( ) , 22 dzzdu −= .83et 41 =⇒==⇒= uzuz
Ainsi, 3 8
8
2 41 4
2 2 1 8 ln ln8 ln 4 ln ln 2.42 5
z dz du uuz z
− ⎛ ⎞⎡ ⎤= = = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦− + ⎝ ⎠∫ ∫
Pour la deuxième intégrale, ( ) ( )2 22
2 2 2 .2 5 2 1 4 1 4
dz dz dzz z z z z
= =− + − + + − +
∫ ∫ ∫
Posons , sec2 ,tan21 2 θθθ ddzz ==− pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que
( )
CzarcCd
ddddzz
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+==
=+
=+
⋅=
+−
∫
∫∫∫∫
21tan
secsec
1tansec
44
4tan4 sec22
412
2
2
2
2
2
2
2
θθ
θθθθ
θθ
θθθ
et que ( )
.4
04
0tan 1tan 2
1tan 41
23
1
3
12
ππ=−=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−∫ arcarczarcdz
z
Par conséquent, 3
21
2 ln 2 .42 5
z dz πz z
= +− +∫
87. ( ) ,4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx d'où ( )
.413
3569
322∫ ∫ +−
=+− x
dxxx
dx
Posons ,3tan21ou tan213 θθ +
==− xx
, sec32 2 θθ ddx = pour .
22- πθπ
<<
( ) ( ) θθθ 2222 sec41tan44tan4413 =+=+=+−x
Il s'ensuit que .2
13tan 21
21
21
sec4
sec323
569 3
2
2
2 CxarcCdd
xxdx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+==⋅⋅
=+− ∫∫ ∫ θθ
θ
θθ
( ) 4 1 3 2+−x
2
3x - 1θ
486 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
88. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 23 2 - 2 3 - 2 1 4 - 1 4 4 1 ,t t t t t t t t⎡ ⎤− − = + − = + + − = + − = − +⎣ ⎦
d'où ( )
.14
6
23
6 0
1-2
0
1-2 ∫∫
+−=
−− t
dt
tt
dt
Posons , cos2 ,sin21 θθθ ddtt ==+
pour .22
- πθπ<<
( ) ( )2 2 2 24 1 4 4sin 4 1 sin 2 cos 2 cos 2cost θ θ θ θ θ− + = − = − = = =
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que ∫∫⋅
=−− θ
θθcos2
cos26
23
62
d
tt
dt CtarcCd +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+== ∫ 21sin 666 θθ
et que 0
1-
0
1-2 2
1sin 623
6⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−−
∫tarc
tt
dt .06
60sin 21sin 6 ππ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= arcarc
89. ( ) ,4141232 222 −−=−+−=−− rrrrr d'où ( )
.4132 22∫ ∫
−−=
−− r
dr
rr
dr
Posons ,sec21ou sec21 θθ +==− rr
θθθ ddr tansec2= pour .2
0 πθ <<
( ) ( ) ,tan41sec44sec441 2222 θθθ =−=−=−−r
de sorte que ( ) ,tan2 tan 2tan441 22 θθθ ===−−r puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
,
232
21 ln
tansec ln sectan2
tansec2
32 queensuit s' Il
2
2
Crrr
Cdd
rr
dr
+−−
+−
=
++===−−
∫∫ ∫ θθθθθ
θθθ
ou encore .2lnoù , 321 ln 2 −=′′+−−+− CCCrrr
2
r - 1( ) 4 1 2
−−rθ
2
( )21 4 +− t
θ1 +t
Exercices 3.2 page 487
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
90. ( ) ,111122 222 −+=−++=+ xxxxx d'où
( ) ( ) ( )
.11121
1
122
1
122 ∫∫
−− −++=
++ xx
dx
xxx
dx
Posons . tansec ,sec1 θθθθ ddxx ==+
,212112 ≤+≤⇒≤≤− xx d'où
.34
et 11 πθπ<<>+x
( ) ,tan tan tan1sec11 222 θθθθ ===−=−+x
puisque 0tan >θ pour .34
πθπ<<
Il s'ensuit que ( )
( ) CxarcCdd
xxx
dx++=+===
++∫∫ ∫ 1sec
tansec tansec
21 2θθ
θθθθθ
et que( )
( ) ( )1
1
2 122 1
sec 1 sec2 sec 2 .3 4 121 2
dx π π πarc x arc arcx x x −
−
⎡ ⎤= + = − = − =⎣ ⎦+ +
∫
91. ( ) ,1214454 222 ++=+++=++ θθθθθ d'où ( )
.12
254
222∫ ∫ ++
=++ θ
θθθθ dd
Posons ,2tanou ,tan2 −==+ αθαθ
, sec2 ααθ dd = pour .22
- παπ<<
( ) .sec1tan12 222 ααθ =+=++
Il s'ensuit que ( )∫ ∫ ∫ ++=+===++
CarcCddd 2tan 222sec
sec254
22
2
2 θααααα
θθθ
et ( ) [ ] [ ]3
3
2 -2-2
2 2 tan 2 2 tan 5 tan 0 2 tan 5 0 2 tan 5.4 5dθ arc θ arc arc arc arc
θ θ⎡ ⎤= + = − = − =⎣ ⎦+ +∫
2 +θ( ) 1 2 2
++θ
1θ
488 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
92. dvvv
v
vv
dvv
vv
dvv 52
2+2221
52
221
52
25
12
25
12
25
12 ∫∫∫
+−
−=
+−=
+−
dvvv
dvvv
v 52
221
52
2221 25
12
25
12 ∫∫
+−+
+−
−=
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= vvu
Alors ( ) , 22 dvvdu −= .42525et 41 =⇒==⇒= uvuv
Ainsi, .212
254
425
2121
21
52
2-221
425
4
21425
4
21-25
12
=−=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
+−∫∫
uduudvvv
v
Pour la deuxième intégrale,
( ) ( )∫∫ ∫∫+−
=++−
=+−
=+−
. 41
1 412
1 52
1 52
221
2222dv
vdv
vvdv
vvdv
vv
Posons . sec2 ,tan21 2 θθθ ddvv ==−
Puisque .43tan 0et
2310 ,
251 arcvv ≤≤≤−≤≤≤ θ
Il s'ensuit que
( ) ∫∫∫∫ =
+=
+=
+− θ
θθ
θ
θθ
θ
θθ2
2
2
2
2
2
2 sec
sec
1tan2
sec2
4tan4
sec2 41
1 ddddvv
Cd
dd
++==
==
∫
∫∫
tansec ln sec
secsec
sec sec 22
θθθθ
θθθ
θθθ
puisque 0sec >θ pour ,43tan 0 arc≤≤ θ et que
( )
5 2tan3 4
021
1 ln sec tan 1 4
arcdv θ θ
v⎡ ⎤= +⎣ ⎦
− +∫
( ) ( )
.2ln 01 ln 43
45 ln
0tan0sec ln 43tan tan43tan sec ln
=+−+=
+−+= arcarc
Par conséquent, ∫ ++−
25
12
.2ln21=
52
vv
dvv
3θ
5
4
2
( ) 4 1 2 +−v
θ1 −v
Exercices 3.2 page 489
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
93. ( ) ,4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx d'où ( )
.413569 22∫ ∫
+−=
+− x
dx
xx
dx
Posons ,3tan21ou tan213 θθ +
==− xx
, sec32 2 θθ ddx = pour .
22- πθπ
<<
( ) ( )2 2 2 23 1 4 4 tan 4 4 tan 1 4sec ,x θ θ θ− + = + = + = de sorte que
( ) ,sec2 sec 2sec4413 22 θθθ ===+−x puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
,
213
2569 ln
31
tansec ln31 sec
31
sec2 sec
32
569 queensuit s' Il
2
2
2
Cxxx
Cdd
xx
dx
+−
++−
=
++===+−
∫∫ ∫ θθθθθθθ
ou encore .2ln31où , 13569 ln
31 2 −=′′+−++− CCCxxx
94. dyyy
yyy
dyyyy
dyy 569
661861
569 18
61
569 3
222 ∫∫ ∫ +−+−
=+−
=+−
∫∫ +−+
+−−
= dyyy
dyyy
y 569
661
569618
61
22
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .569 2 +−= yyu
Alors ( ) . 618 dyydu −=
Ainsi, . 569 ln61 ln
61 1
61
569618
61
12
12 CyyCuduu
dyyy
y++−=+==
+−−
∫∫
Pour la deuxième intégrale, . 569
1 569
661
22 dyyy
dyyy ∫∫ +−
=+−
Or, ( ) .4134169569 222 +−=++−=+− yyyyy
Posons , sec2 3 ,tan213 2 θθθ ddyy ==− pour .22
- πθπ<<
( ) 4 1 3 2+−x
2
3x - 1θ
3y - 1
2
( ) 4 1 3 2 +−y
θ
490 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que ( )
( )∫∫∫ +
=+−
=+− 4tan4
sec32 413
1 569
12
2
22 θθθ ddy
ydy
yy
.
213tan
61
61
61
secsec
61
1tansec
61
22
2
2
2
2
CyarcCd
dd
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+==
=+
=
∫
∫∫
θθ
θθθθ
θθ
Par conséquent, ,2
13tan 61 569 ln
61
569 3 2
2 Cyarcyyyy
dyy+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++−=+−∫ où .21 CCC +=
95. ( ) ,92944134 222 ++=+++=++ xxxxx d'où ( )
.92134 22∫ ∫
++=
++ x
dx
xx
dx
Posons ,2tan3ou tan32 −==+ θθ xx
dx = 3sec2θ dθ, pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) ,sec91tan99tan992 2222 θθθ =+=+=++x de sorte que
( ) ,sec3 sec 3sec992 22 θθθ ===++x puisque 0sec >θ lorsque .22
- πθπ<<
Cxxx
Cdd
xx
dx
++
+++
=
++===++
∫∫ ∫
3
23
134 ln
tansec ln secsec3
sec3
134 queensuit s' Il
2
2
2θθθθ
θθθ
et ( )1
1 2
2-2 -2
4 13 2 18ln ln 1 ln 1 0 ln 2 1 .3 3 34 13
dx x x x
x x
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= + = + − + = +⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦
∫
96. ( ) ( ) ( ) dzzz
z
zz
dzz
zz
dzz 34
24221
34
2221
34
1222 ∫∫∫
+−
+−=
+−
−=
+−
−
dzzz
dzzz
z 34
221
34
4221
22 ∫∫+−
++−
−=
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .342 +−= zzu
Alors ( ) . 42 dzzdu −=
( ) 9 2 2++x
3
x + 2θ
Exercices 3.2 page 491
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, .34212
1 21
34
4221
12
11
2121-
2CzzCuCuduudz
zz
z++−=+=+==
+−
−∫∫
Pour la deuxième intégrale, . 34
1 34
221
22dz
zzdz
zz∫∫
+−=
+−
Or, ( ) .1214434 222 −−=−+−=+− zzzzz
Posons , tansec ,sec2 θθθθ ddzz ==− pour .2
0 πθ <<
Il s'ensuit que ∫∫∫ =−
=+− θ
θθθ
θ
θθθ222 tan
tansec
1sec
tansec 34
1 dddzzz
∫
∫∫
=
==
θθ
θθθθ
θθθθ
d
dd
sec
tan tansec
tan tansec
,
puisque 0tan >θ pour ,2
0 πθ <<
( ) 22
22
2 342 ln 122 ln tansec ln CzzzCzzC ++−+−=+−−+−=++= θθ .
Par conséquent, ( )2
21
22
342 ln3434
1 CzzzCzzzz
dzz++−+−+++−=
+−
−∫
, 342 ln34 22 Czzzzz ++−+−++−=
où .21 CCC +=
97. ( ) ,9191282 222 −−=−+−=−− ttttt d'où ( )
.9182 22∫ ∫
−−=
−− t
dt
tt
dt
Posons ,sec31ou sec31 θθ +==− tt
θθθ ddt tansec3 alors = pour .2
0 πθ <<
( ) ( ) ,tan91sec99sec991 2222 θθθ =−=−=−−t de sorte que
( ) ,tan3 tan 3tan991 22 θθθ ===+−t puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
3
t - 1( ) 9 1 2
−−tθ
z - 2
1
( ) 1 2 2 −−zθ
492 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Cttt
Cdd
tt
dt
+−−
+−
=
++===−−
∫∫ ∫
3
823
1 ln
tansec ln sectan3
tansec3
82 queensuit s' Il
2
2θθθθ
θθθθ
et 6
6 2
25 5
1 2 8 5 4 4 7 4 7ln ln ln ln3 ln .3 3 3 3 3 3 32 8
dt t t t
t t
⎡ ⎤ ⎛ ⎞− − − +⎢ ⎥= + = + − + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎣ ⎦∫
98. dxxx
x
xx
dxx
xx
dxx 569
6618181
569
18181
569
222 ∫∫ ∫
+−
+−=
+−=
+−
dxxx
dxxx
x 569
6181
569
618181
22 ∫∫+−
++−
−=
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .569 2 +−= xxu
Alors ( ) . 618 dxxdu −=
Ainsi, .56991
21181
181
569
618181
12
1
2121-
2CxxCuduudx
xx
x++−=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
+−
−∫∫
Pour la deuxième intégrale, . 569
131
569
6181
22dx
xxdx
xx∫∫
+−=
+−
Or, ( ) .4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx
Posons , sec2 3 ,tan213 2 θθθ ddxx ==− pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que ( )∫∫∫
+⋅⋅=
+=
+− 1tan
sec21
32
31
4tan4
sec3231
569
131
2
2
22 θ
θθ
θ
θθ dddxxx
, tansec ln
91 sec
91
sec sec
91
sec sec
91
sec
sec91
2
22
2
2
Cd
ddd
++==
===
∫
∫∫∫
θθθθ
θθθ
θθθ
θ
θθ
puisque 0sec >θ pour ,22
- πθπ<<
( ), 13+ 569 ln
91
213
2413
ln91
32
2
2
CxxxCxx+−+−=+
−+
+−= où .
92ln
23 −= CC
3x - 1
2
( ) 4 1 3 2 +−x
θ
Exercices 3.2 page 493
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent,
32
12
2C+ 13569 ln
91569
91
569
−++−+++−=
+−∫ xxxCxx
xx
dxx
, 13569 ln91569
91 22 Cxxxxx +−++−++−=
où .31 CCC +=
99. ( ) ,1214454 222 ++=+++=++ rrrrr d'où ( )
.12
54
22∫ ∫++
=++ r
drr
rr
drr
Posons , secoù d' ,2tanou ,tan2 2 θθθθ ddrrr =−==+ pour .22
- πθπ<<
( ) ,sec1tan12 222 θ=+=++r de sorte que
( ) ,sec ec sec12 22 θθθ ===++ sr
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
( )
. 254 ln254
tansec ln2sec
sec2 sectansec
sec2tan
54
queensuit s' Il
22
2
2
Crrrrr
C
ddd
rr
drr
+++++−++=
++−=
−=−
=++
∫∫∫ ∫θθθ
θθθθθθ
θθθ
100. ( ) ( )∫∫∫ ++
++=
+++
=++
+544
84841
544128
41
544 32
222 xxdxxdx
xxx
xxdxx
∫∫ +++
+++
=544
841
54448
41
22 xxdxdx
xxx
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .544 2 ++= xxu
Alors ( ) . 48 dxxdu +=
Ainsi, . 544 ln41 ln
41 1
41
54448
41
12
12 CxxCuduu
dxxx
x+++=+==
+++
∫∫
Pour la deuxième intégrale, .544
2 544
841
22 ∫∫ ++=
++ xxdx
xxdx
( ) 1 2 2++r
1
r + 2θ
494 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or, ( ) .4124144544 222 ++=+++=++ xxxxx
Posons , sec2 2 ,tan212 2 θθθ ddxx ==+ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que θθθ
θθθ dddx
xxdx
sec sec
42
4tan4 sec2
5442 2
2
2
2
2 ∫∫∫ =+
=++
.2
12tan 21
21
21
22 CxarcCd +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+== ∫ θθ
Par conséquent, ( )21
22 2
12tan 21+ 544 ln
41
544 3+2 CxarcCxx
xxdxx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++=++∫
,2
12tan 21 544 ln
41 2 Cxarcxx +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++=
où .21 CCC +=
101. . 4et 44 22
2 dxx
xyx
xdxdyx
dxdyx ∫
−=
−=⇒−=
Posons , tansec2où d' ,sec2 θθθθ ddxx == pour .2
0 πθ <<
( ) ,tan41sec44sec44 2222 θθθ =−=−=−x
de sorte que ,tan2 tan 2tan44 22 θθθ ===−x puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
( )
.2
sec242
sec22
42
2tan22 sec2
1sec2 tan2
tansec2sec2tan2 4 queensuit s' Il
22
2
22
2
CxarcxCxarcx
Cdd
dd
ddxx
xy
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
+−=−=
−==
⋅=−
=
∫ ∫∫ ∫
∫∫
θθθθθ
θθθθ
θθθθθ
Comme ( ) .0où d' ,01sec200 aon ,02 =+=+−== CCCarcy
La solution de l'équation différentielle est donc .2
sec242 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
xarcxy
2
x 4 2
−xθ
2x + 1
2
( ) 4 1 2 2 ++x
θ
Exercices 3.2 page 495
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
102. dxx
yxdx
dydxdyx
9
1et 9
11922
2 ∫−
=−
=⇒=−
Posons ,sec3 θ=x d'où , tansec3 θθθ ddx =
pour .2
0 πθ <<
( ) ,tan91sec99sec99 2222 θθθ =−=−=−x
de sorte que ,tan3 tan 3tan99 22 θθθ ===−x
puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
Il s'ensuit que Cdddxx
y ++===−
= ∫∫∫ tansec ln sectan3
tansec3 9
12
θθθθθ
θθθ
.3ln 9 ln 3
93
ln 22
CxxCxx+−−+=+
−+=
Comme ( ) ,3ln5 =y nous avons
,3ln39ln3ln9ln3ln 9255 ln3ln CCCC +=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+−=+−−+=
d'où .0=C
La solution de l'équation différentielle est .3ln 9 ln 2 −−+= xxy
103. ( ) ∫ +=
+=⇒=+ .
43et
4334 22
2 dxx
yxdx
dydxdyx
Posons , sec2où d' ,tan2 2 θθθ ddxx == pour .22
- πθπ<<
( ) ,sec41tan44tan44 2222 θθθ =+=+=+x
∫ ∫ ∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+==⋅=
+= .
2tan
23
23
23 sec2
sec43
43où d' 2
22 CxarcCdddxx
y θθθθθ
Comme ( ) ,8
31tan 230 ,02 CCarcy +=+==
π de sorte que .8
3- π=C
La solution de l'équation différentielle est donc .8
32
tan 23 π
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xarcy
2
x 4 2
+x
θ
x
3
9 2 −xθ
496 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
104. ( ) ( ) ( ) dxx
yxdx
dyxdxdyx
1
1
1
111 232232
222 ∫+
=⇒+
=⇒+=+
Posons ,tanθ=x d'où , sec2 θθ ddx = pour .22
- πθπ<<
,sec1tan1 222 θθ =+=+x
d'où ( ) ,sec sec sec1 2212 θθθ ===+x puisque secθ > 0 pour .22
- πθπ<<
Ainsi, ( ) .1
sin cossec
sec 1
123
2
232C
x
xCdddxx
y ++
=+===+
= ∫∫∫ θθθθθθ
Comme ( ) ,10 =y nous avons ,10
012
C++
= d'où .1=C
La solution de l'équation différentielle est donc .112+
+=
x
xy
105. dxxA 3
93
0
2
∫−
=
Posons , cos3où d' ,sin3 θθθ ddxx == pour .22
- πθπ<<
( ) où d' ,cos9sin19sin999 2222 θθθ =−=−=− x
,cos3 cos 3cos99 22 θθθ ===− x
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
De plus, .23et 00 πθθ =⇒==⇒= xx
( ) .4
300022
322sin
23
2
2cos13 cos3
cos33
cos3 3
9 queensuit s' Il
2
0
2
0
2
0
2
3
0
2
0
2
ππθθ
θθθθ
θθθ
π
π π
π
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=
+==
⋅=−
=
∫ ∫
∫ ∫
dd
ddxxA
3x
9 2x -
θ
3
- 9 2xy =
x
y
31
1
x
1
1 2 +xθ
Exercices 3.2 page 497
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
106. Méthode des disques
( )( )
21 12
2 220 0
2 4 .1 1
b
a
dxV π R x dx π dx πx x
⎛ ⎞⎡ ⎤= = =⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠ +∫ ∫ ∫
Posons , sec ,tan 2 θθθ ddxx ==
.sectan11 222 θθ =+=+ x
Nous avons .41et 00 πθθ =⇒==⇒= xx
( ) ( )( )
4 4 41 22
2 2 22 20 0 0 0
44
00
sec 1Ainsi, 4 4 4 4 cos sec1 sec
sin 21 cos 2 sin 2 sin 04 2 2 02 2 4 2 2
12 1 .4 2 2
π π π
ππ
dx θ dθV π π π dθ π θ dθθx θ
πθ θ ππ dθ π θ π
π ππ π
= = = =+
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + = + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
∫
107. ( )( )∫ ∫∫ +−
=++−
=+−
=4
2
4
22
4
222
424
21
4444
21
844
21moy dx
xdx
xxdx
xxf
Posons , sec2où d' ,tan22ou tan22 2 θθθθ ddxxx =+==− pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) ,02et sec41tan44tan442 2222 =⇒==+=+=+− θθθθ xx alors que .44 πθ =⇒=x
( )( )
[ ]∫
∫
∫
=−===
⋅=
+−=
4
0
40
24
02
4
22
.4
04
sec2sec4
421
42
421moy queensuit s' Il
ππ
π
ππθθ
θθθ
d
d
dxx
f
θ
( ) 4 2 2+−x
2
x - 2
x
y
2 12
xy
+=
x
1
2 1 x+
θ
498 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
108. ( )
dxx
dxxx
dxxx
A 12
2 144
2 54
2 1
02
1
02
1
02 ∫∫∫ +−
=++−
=+−
=
Posons θθθ ddxx sec ,tan2 2==− .
( ) θθ 222 sec1tan12 =+=+−x
Ainsi, ( )∫∫ ∫ +−=+===+−
CxarcCdddxxx
2tan 222sec
sec2 54
22
2
2 θθθθθ et
( ) ( ) ( )
( )
11
2 00
2 2 tan 2 2 tan -1 2arctan -24 5
2 - 2 tan -2 0,644.4
dx arc x arcx x
π arc
⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦− +
⎛ ⎞= − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
109. ( )∫ ∫ +=+===23
0
23
0
222 . 41 21et 2où d' , dxxdxxLxdxdyxy
Posons ,2
tanou tan2 θθ == xx d'où , sec21 2 θθ ddx = pour .
22- πθπ
<<
,sec sec sec41et ,sectan141 22222 θθθθθ ===+=+=+ xx puisque 0sec >θ
lorsque .22
- πθπ<<
De plus, .32
3et 00 πθθ =⇒==⇒= xx
( ) .195,132ln213
21
01 ln2101
21 32 ln
2132
21
21
0tan0sec ln210tan0sec
21
3tan
3sec ln
21
3tan
3sec
21
21=
197) ,5 ' (
tansec ln21tansec
21
21 sec
21
sec21sec 41 queensuit s' Il
3
0
3
0
3
23
0
3
0
22
≈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⋅⋅−++⋅⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−++
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++==
⋅=+=
∫
∫ ∫
ππππ
θθθθθθ
θθθ
ππ
π
pageexemplelVoir
d
ddxxL
1
2x 4 1 2x+
θ
1
( ) 1 2 2 +−x
θ2 −x
Exercices 3.2 page 499
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
110. Méthode des disques
( )[ ]
( ).
1611400
16121400
172
1400 172
20
11
2-2
11
2-2
11
2-2
11
2-
2
2
2
∫∫
∫∫∫
+−=
++−=
+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−==
dxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxRVb
a
ππ
πππ
Posons , sec4 ,tan41 2 θθθ ddxx ==−
( ) ( ) θθθ 2222 sec161tan1616tan16161 =+=+=+−x .
Il s'ensuit que
( )
CxarcCdddxx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+===+− ∫ ∫∫ 4
1tan 100100100sec16
sec4400 161
1400 2
2
2 ππθθπθθθππ
( )( ) ( )[ ] .102,57675,0-tan 5,2tan 100
41tan 100
161-1400et
11
2-
11
2-2
≈−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+
= ∫arcarc
xarcdxx
V
π
ππ
111. ( ) 322 ++== xxxfy est une fonction non négative et lisse sur l'intervalle [ ],0 ,1-
puisque ( ) ( )32
122322
122 ++
+=+⋅
++=′
xx
xxxx
xf est continue sur cet intervalle.
( )
( ) dxxdxxx
dxxx
dxxx
xxxxxx
dxxxxxxx
dxxx
xxxdxdxdyyA
b
a
11+22 11222
2222
32
1232322
32121322
32
11322 12
0
1-
20
1-
2
0
1-
2
2
220
1-
2
2
20
1-
2
2
2
0
1-
22
∫∫
∫
∫
∫
∫∫
+=+++=
++=
+++++++
++=
++++
+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
++++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
ππ
π
π
π
ππ
x - 1
4
( ) 16 1 2 +−x
θ
500 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Posons . sec ,tan1 2 θθθ ddxx ==+
De plus, .40et 0-1 πθθ =⇒==⇒= xx
( ) θθθθ sec sec sec1tan11 222 ===+=++x
puisque 0sec >θ pour .40 πθ <<
( )
( )
402 2
-1 0
443
00
2 2 +1 1 2 2 sec sec
1 12 2 sec 2 2 sec tan ln sec tan2 2
1 1 1 12 2 sec tan ln sec tan sec0 tan 0 ln sec0 tan 02 4 4 2 4 4 2 2
1 1 1 12 2 2 1 ln 2 1 1 02 2 2
π
ππ
A π x dx π θ θ dθ
π θ dθ π θ θ θ θ
π π π ππ
π
= + = ⋅
⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫
( )
( ) ( )
ln 1 02
2 2 2 ln 2 1 2 2 ln 2 12π π
⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
112. Caractéristiques d'une bande verticale typique :
centre de masse : ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−=
102
1 ,~ ,~2 xx
xyx ; longueur : 102
22 +− xx
; largeur : dx ;
aire : ; 102
22
dxxx
dA+−
= masse : dxxx
dAdm 102
2 2 +−
== δ (nous pouvons, sans
perte de généralité, poser 1=δ ).
Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est
. 102
2 102
2
102
1 ~222
dxxx
dxxxxx
dmy+−
=+−
⋅+−
=
Ainsi, ( )
. 91
2 912
2 102
2 ~5
1
5
122
5
12 dx
xdx
xxdx
xxdmyM x ∫ ∫∫∫ +−
=++−
=+−
==
x + 1
1
( ) 1 1 2 ++x
θ
Exercices 3.2 page 501
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Posons . sec3 ,tan31 2 θθθ ddxx ==−
( ) ( )2 2 2 21 9 9 tan 9 9 tan 1 9sec .x θ θ θ− + = + = + =
( )
Cxarc
Cdddxx
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
+==×
=+− ∫∫∫
31tan
32
32
32
sec9 sec32
912
2
2
2 θθθ
θθ
( )( )[ ]
( ) .6182,034tan 32
0tan 34tan 32
31tan
32
912et
5
1
5
12
≈=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−
= ∫
arc
arcarcxarcdxx
M x
.
102
2 102
22
102
222 102
2 ~
5
12
5
12
5
12
5
12
dxxx
dxxx
x
dxxx
xdxxx
xdmxM y
∫∫
∫∫∫
+−+
+−
−=
+−
+−=
+−⋅==
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .1022 +−= xxu
Alors ( ) . 22 dxxdu −= De plus, .255et 91 =⇒==⇒= uxux
Ainsi, .49225221
102
2225
9
2125
9
21-5
12
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
+−
−∫∫
uduudxxx
x
Pour la deuxième intégrale, nous avons ( ) .91912102 222 +−=++−=+− xxxxx
Posons θθθ ddxx sec3 ,tan31 2==− comme dans le calcul de .xM
( ) ,sec3 sec 3sec991102 222 θθθ ===+−=+− xxx puisque
0sec >θ pour ( ).34tan 0 arc<< θ
Cxxx
Cdddxxx
+−
++−
=
++==⋅
=+−
∫∫ ∫
3
13
102 ln2
tansec ln2 sec2sec3
sec32 102
2
2
2
2θθθθ
θθθ
( )5
5 2
21 1
2 2 10 1 5 4et 2 ln 2 ln ln 1 0 2ln3.3 3 3 32 10
x x xdxx x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − ⎛ ⎞⎢ ⎥= + = + − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦− + ⎣ ⎦∫
x - 1
3
( ) 9 1 2 +−x
θ
x - 1
3
( ) 9 1 2 +−x
θ
502 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, .3ln24 +=yM
Finalement, ,3ln2 102
25
12
=+−
== ∫ ∫ dxxx
dmM comme nous l'avons calculé précédemment.
Par conséquent, .281,03ln2
6182,0et 820,23ln2
3ln24≈≈=≈
+==
MMy
MM
x xy
113. a) Posons . sec ,tan 2 θθθ daduau ==
Alors ( ) θθθ 222222222 sec1tantan aaaaau =+=+=+
et .tan 111sec
sec22
2
22 Cauarc
aC
ad
aada
audu
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+===
+ ∫∫ ∫ θθθθθ
b) Posons θθθ daduau cos ,sin == pour .22
- πθπ≤≤
Alors ( ) θθθ 222222222 cossin1sin aaaaua =−=−=−
et θθθθ cos cos coscos 22222 aaaaua ====−
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ≤≤
.sin cos
cos22
CauarcCd
ada
ua
du+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+===
−∫∫∫ θθ
θθθ
u
a
22 au +
θ
ua
22 ua −
θ
Exercices 3.3 page 503
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 3.3 - Fonctions rationnelles et méthode des fractions partielles
1. ( )( ) ,2323
135−
+−
=−−
−x
Bx
Axx
x d'où ( ) ( ) ( ) ( ).3232135 BAxBAxBxAx +−+=−+−=−
Nous avons donc .(2) 13(1) 5
32
==
++
BB
AA
En soustrayant ×2 (1) de (2), nous obtenons ,3=B d'où .2=A
Ainsi, ( )( ) .2
33
223
135−
+−
=−−
−xxxx
x
2. ( )( )2
5 7 5 7 ,2 1 2 13 2
x x A Bx x x xx x
− −= = +
− − − −− + d'où
( ) ( ) ( ) ( )5 7 1 2 2 .x A x B x A B x A B− = − + − = + − +
Nous avons donc ( )( ).21
75
2 ==
++
BB
BA
En soustrayant (1) de (2), nous obtenons ,2=B d'où .3=A
Ainsi, .1
22
323
752 −
+−
=+−
−xxxx
x
3. ( ) ( )
,111
422 +
++
=++
xB
xA
xx d'où ( ) ( ).14 BAAxBxAx ++=++=+
Nous avons donc ,4et 1 =+= BAA d'où .3=B
Ainsi, ( ) ( )
.1
31
114
22 ++
+=
++
xxxx
4. ( ) ( )
,111
2212
22222 −
+−
=−+
=+−
+x
Bx
Axx
xxx d'où ( ) .122 BAAxBxAx +−=+−=+
Nous avons donc ,2-et 2 =+= BAA d'où .4=B
Ainsi, ( )
.1
41
212
2222 −
+−
=+−
+xxxx
x
504 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
5. ( ) ,1
-1
122 −++=
−+
zC
zB
zA
zzz d'où ( ) ( ) 2111 CzzBzAzz +−+−=+
( ) ( ) .-222 BzBAzCACzBBzAzAz −+++=+−+−=
Nous avons donc ,1-et 1- ,0 ==+=+ BBACA d'où nous tirons .2et -2 ,-1 === CAB
Ainsi, ( ) .1
212-1
122 −+−=
−+
zzzzzz
6. ( ) 61
66 2223 −−=
−−=
−− zzzzzz
zzzz pour .0≠z
Or, ( )( )2
1 1 ,3 2 3 26
A Bz z z zz z
= = +− + − +− −
d'où ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 .A z B z A B z A B= + + − = + + −
Nous avons donc ,0=+ BA d'où BA -= et ,132-32 =−=− BBBA d'où .51et 51- == AB
Ainsi, ( ) ( ) ,25
135
1623 +
−−
=−− zzzzz
z où .0≠z
7. 65
25165
822
2
+−+
+=+−
+tt
ttt
t (division de polynômes)
( )( )2
5 2 5 2 ,3 2 3 25 6
t t A Bt t t tt t
+ += = +
− − − −− + d'où ( ) ( ) ( )5 2 2 3 2 3 .t A t B t A B t A B+ = − + − = + − −
Nous avons donc .(2) 2(1) 5
32- ==
−+
BB
AA
En additionnant ×2 (1) à (2), nous obtenons -12,=B d'où .17=A
Ainsi, .2
123
17165
82
2
−−
−+=
+−+
ttttt
8. 24
2
24
4
999-1
99
ttt
ttt
++
+=++ (division de polynômes)
( )
2 2
4 2 2 22 2
-9 9 -9 9 ,9 99
t t A B Ct Dtt t t tt t
+ + += = + +
+ ++ d'où
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2-9 9 9 9 9 9 .t At t B t Ct D t A C t B D t At B+ = + + + + + = + + + + +
Exercices 3.3 page 505
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Nous avons ,99 =B d'où ,09 ,1 == AB d'où ,9- ,0 =+= DBA d'où ,0et -10 =+= CAD
d'où .0=C
Ainsi, .9
101199
2224
4
+−+=
++
ttttt
9. ( )( )2
1 1 ,1 1 1 11
A Bx x x xx
= = +− + − +−
d'où ( ) ( )1 1 1 .A x B x= + + −
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .21=A
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21=B
Par conséquent ∫∫∫ ++
−=
− xdx
xdx
xdx
121
121
1 2
1 1-ln 1 ln 1 2 21 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 1
x x C
xx x C Cx
= ⋅ − + ⋅ + +
+⎡ ⎤= + − − + = +⎣ ⎦ −
10. ( ) ,22
12
12 +
+=+
=+ x
BxA
xxxx d'où ( ) ( ) ( )1 2 2 .A x B x A B x A= + + = + +
Nous avons ,12 =A d'où ,0et 21 =+= BAA d'où .21-- == AB
, 2
121 1
21
2 ,conséquentPar 2 ∫∫∫ +
−=+
dxx
dxxxx
dx
1 1 1ln ln 2 ln ln 2 ,2 2 2
x x C x x C⎡ ⎤= − + + = − + +⎣ ⎦
ou encore . 2
ln21 C
xx
++
11. ( )( )2
4 4 ,6 1 6 15 6
x x A Bx x x xx x
+ += = +
+ − + −+ − d'où ( ) ( )4 1 6 .x A x B x+ = − + +
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .75=B
En assignant à x la valeur -6, nous obtenons .72=A
506 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent ∫∫∫ −+
+=
−++
175
672
654
2 xdx
xdxdx
xxx
( ) ( )2 5
2 5ln +6 ln -1 , ou encore7 71 ln 6 1 .7
x x C
x x C
= + +
= + ⋅ − +
12. ( )( )2
2 1 2 1 ,3 4 3 47 12
x x A Bx x x xx x
+ += = +
− − − −− + d'où
( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 3 4 3 .x A x B x A B x A B+ = − + − = + − +
Nous avons ( )( )21
1,2
3-4- ==
−+
BB
AA
En additionnant ( ) ( ),2et 14× nous obtenons ,9=B d'où .7-=A
Par conséquent, . 4 ln9 3 ln7- 4
19 3
17- 127
122 Cxxdx
xdx
xdx
xxx
+−+−=−
+−
=+−
+∫∫∫
13. ( )( )2 ,
3 1 3 12 3y y A B
y y y yy y= = +
− + − +− − d'où ( ) ( )1 3 .y A y B y= + + −
En assignant à y la valeur -1, nous obtenons .41=B
En assignant à y la valeur 3, nous obtenons .43=A
Par conséquent ∫∫∫ ++
−=
−−
8
4
8
4
8
42 14
134
332
ydy
ydy
yydyy
( ) ( )
( )
8 8
4 4
2
3 1ln -3 ln +1 4 43 1 1 1ln 5 ln1 ln 9 ln5 ln 5 ln 94 4 2 41 1 1 1 1ln5 ln 3 ln 5 ln 3 ln5 ln32 4 2 2 21 ln15.2
y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + − = +
= + = + = +
=
Note : La réponse 9ln415ln
21
+ est tout à fait acceptable ; les étapes subséquentes
de raisonnement n'ont pour objet que de simplifier la réponse.
Exercices 3.3 page 507
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
14. ( ) ,11
442 +
+=++
=++
yB
yA
yyy
yyy d'où ( ) ( ) .14 AyBAByyAy ++=++=+
Nous avons .3-où d' ,1et 4 ==+= BBAA
Par conséquent, dyy
dyy
dyyy
y 1
13 14 41
21
1
21
1
212∫ ∫ ∫ +
−=++
( ) ( )( ) ( )
[ ] [ ]
1 1
1 2 1 2
3 2
4 ln 3 ln 1
4 ln1 ln 1 2 3 ln 2 ln 3 2
-4ln 1 2 3ln 2 3ln 3 2
-4 ln1 ln 2 3ln 2 3 ln 3 ln 2
4ln 2 3ln 2 3ln3 3ln 2
3ln3 2ln 2, ou encore ln 3 ln 2 , ou encore ln 27 ln 4,
y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − +
= − − + −
= − + −
= − −
−
27 ou encore ln .4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
15. ( ) ( )( )3 2 2
1 1 1 ,2 1 2 12 2
A B Ct t t t t tt t t t t t
= = = + ++ − + −+ − + −
d'où
( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 .A t t Bt t Ct t= + − + − + +
En assignant à t la valeur 0, nous obtenons .21-=A
En assignant à t la valeur -2, nous obtenons .61=B
En assignant à t la valeur 1, nous obtenons .31=C
Par conséquent, ∫∫∫∫ −+
++=
−+ 131
261
21-
223 tdt
tdt
tdt
tttdt
. 1 ln31 2 ln
61 ln
21- Cttt +−+++=
508 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
16. ( ) ( )( )3 2
3 3 3 ,2 2 2 2 2 22 8 2 4
x x x A B Cx x x x x xx x x x
+ + += = = + +
+ − + −− −
d'où ( )( ) ( ) ( ).2222223 ++−+−+=+ xCxxBxxxAx
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .43-=A
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .165=C
En assignant à x la valeur -2, nous obtenons .161=B
3
3 -3 1 1 1 5 1Par conséquent, 8 16 2 16 22 8-3 1 5ln ln 2 ln 2 .8 16 16
x dx dx dx dxx x xx x
x x x C
+= + +
+ −−
= + + + − +
∫ ∫ ∫ ∫
17. ( )( )22
3
1232
12 ++
+−=++ x
xxxx
x (division polynomiale)
( ) ( )
,111
2322 +
++
=++
xB
xA
xx d'où ( )3 2 1 .x A x B Ax A B+ = + + = + +
Nous avons donc ,3=A d'où -1,=B de sorte que
( )( )
( )
1 1 1 13
2 20 0 0 0
12
0
2 312 1 1
1 2 3ln 1 2 1
1 1 2 3ln 2 0 0 3ln1 12 2
3ln 2 2.
x dx dx dxx dxxx x x
x x xx
= − + −++ + +
⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎛ ⎞= − + + − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
∫ ∫ ∫ ∫
18. ( )22
3
1232
12 −−
++=+− x
xxxx
x (division de polynômes)
( ) ( )
,111
2322 −
+−
=−−
xB
xA
xx d'où ( ) .123 BAAxBxAx +−=+−=−
Nous avons donc ,2--et 3 =+= BAA d'où .1=B
Exercices 3.3 page 509
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
.2ln32212ln32
211000
11 1 ln32
2
1
11
32 12
Ainsi,
0
1-
2
0
1-2
0
1-2
3
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−−+++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−++=
+− ∫∫
xxxx
dxxx
xdxxx
x
19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22
1 1 ,1 11 1 1 11
A B C Dx xx x x xx
= = + + ++ −+ − + −−
d'où
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 .A x x B x x C x D x= + − + − + + − + +
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .41=C
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=D
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .21où d' ,1 =−++−= BADCBA
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .21-3où d' ,9931 =++++= BADCBA
En soustrayant l'équation 21=− BA de l'équation ,21-3 =+ BA nous obtenons
.41où d' ,41- == AB
Par conséquent, ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ −+
++
−−
+=
−2222 14
114
114
114
1
1 xdx
xdx
xdx
xdx
x
dx
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 4 1 4 1
1 1 1 1ln 4 1 4 1
1 1ln .4 1 2 1
x x Cx x
x x x Cx x
x x Cx x
= + − − − − ++ −
⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥= − +⎢ ⎥− −⎣ ⎦
+= − +
− −
510 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
2 22,
1 11 2 1 1 1 1x x A B C
x xx x x x x x= = + +
− +− + + − + + d'où
( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1 .x A x B x x C x= + + − + + −
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=A
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21-=C
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,0=−− CBA d'où .43=B
( )( ) ( )
( )
2
22
1 1 3 1 1 1Ainsi, 4 1 4 1 21 2 1 1
1 3 1 ln 1 ln 1 ,4 4 2 1
x dx dx dx dxx xx x x x
x x Cx
= + −− +− + + +
= − + + + ++
∫ ∫ ∫ ∫
ou encore ( ) ( ) ( )31 1ln 1 1 .
4 2 1x x C
x+ − + +
+
21. ( )( ) 22
1 ,1 11 1
A Bx Cx xx x
+= +
+ ++ + d'où ( ) ( )( )21 1 1 .A x Bx C x= + + + +
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21=A
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .21où d' ,1 ==+ CCA
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons CBA 3651 ++= et comme ,21== CA nous
en déduisons que .21-=B
Par conséquent, ( )( )
1 1 1
220 0 0
1 1 - 12 1 2 11 1
dx dx x dxx xx x
+= +
+ ++ +∫ ∫ ∫
( )
( )
1 11
2 200 0
11 20
0
1 1 1ln 1 - 2 2 1 1
1 1 1ln 1 - ln 1 tan2 2 2
1 1 1 1ln 2 ln1 - ln 2 tan1 - ln1 tan 02 2 2 2
1 1 1 2ln 2ln 2 ln 2 .2 4 2 4 8
xx dx dxx x
x x arc x
arc arc
π π
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+= − + ⋅ =
∫ ∫
Exercices 3.3 page 511
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
22. ( )
2 2
3 22
3 4 3 411
t t t t A Bt Ctt t tt t
+ + + + += = +
+ ++ d'où
( ) ( ) ( )2 2 23 4 1 .t t A t Bt C t A B t Ct A+ + = + + + = + + +
Nous avons donc ,3et 1 ,4 =+== BACA d'où -1.=B
[ ]
( ) ( )
( )
3 32
3 2 21 1
3 3 3
2 21 1 1
33 3211 1
4
3 4 4 1Ainsi, 1 1
1 1 2 14 2 1 1
14 ln ln 1 tan2
14 ln 3 ln1 ln 4 ln 2 tan 3 tan12
1 14ln 3 2ln 2 ln 22 2 3 4
ln 3 ln 2
t t tdt dttt t t t
tdt dt dtt t t
t t arc t
arc arc
π π
+ + ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= − ++ +
⎡ ⎤⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − − − + −
= − ⋅ + + −
= −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 2 9ln .12 122π π⎛ ⎞
+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
23. ( ) ( )2
2 2 22 2
2 1 ,11 1
y y Ay B Cy Dyy y
+ + + += +
++ + d'où
( )( ) ( ) ( ).112 2322 DByCAByAyDCyyBAyyy +++++=++++=++
Nous avons donc ,2 ,1 ,0 =+== CABA d'où ( ) ,1et 2 =+= DBC d'où .0=D
Ainsi ( ) ( )2
2 2 2 22 2
2 1 1 2 1 tan .1 11 1
y y ydy dy dy arc y Cy yy y
+ += + = − +
+ ++ +∫ ∫ ∫
24. ( ) ( )
2
2 2 22 2
8 8 2 ,4 14 1 4 1
x x Ax B Cx Dxx x
+ + + += +
++ + d'où
( )( ) ( )2 2 3 28 8 2 4 1 4 4 .x x Ax B x Cx D Ax Bx A C x B D+ + = + + + + = + + + + +
Nous avons ,04 =A d'où ,84 ,0 == BA d'où ,8 ,2 =+= CAB d'où ,2et 8 =+= DBC d'où
.0=D
512 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 2 2 22 2 2
2
8 8 2 2 8 2 8Ainsi, 4 1 2 14 1 4 1 4 1
1 tan 2 .4 1
x x x xdx dx dx dx dxx xx x x
arc x Cx
+ += + = +
+ ++ + +
= − ++
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
25. ( )( ) ( ) ( )3 2 2 32
2 2 ,111 1 1 1
s As B C D Esss s s s
+ += + + +
−++ − − − d'où
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 22 2 22 2 1 1 1 1 1 1s As B s C s s D s s E s+ = + − + + − + + − + +
En assignant à s la valeur 1, nous obtenons ,42 =E d'où .2=E
En développant l'équation polynomiale, nous obtenons :
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2 2 2 2 2
4 3 3 2 2 4
2 3 2 3 2 2
4 3 2
2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1
3 3 3 3
2 2
-3 2 3 3 2
- 3 2 - ,
s As B s s s C s s s D s s E s
As Bs As Bs As Bs As B Cs
Cs Cs Cs Cs C Ds Ds Ds D Es E
A C s A B C D s A B C D E s
A B C D s B C D E
+ = + − + − + + − + + + − + +
= + − − + + − − +
+ − − + + + + − − + +
= + + + − + + − + − +
+ + − + + + − +
d'où le système d'équations linéaires :
( )( )( )( )( )
102-3 2 033 3 2 04- 3 2 25 .- 2
A CA B C DA B C D EA B C DB C D E
+ =+ − + =− + − + =+ − + =
+ − + =
En additionnant les équations (2) et (3), nous obtenons ,02- =+ EB et puisque
,022- ,2 =+= BE d'où .1=B En additionnant les équations (3) et (4), nous obtenons
,22 =+ EA soit .0et 222 ==+ AA Il découle de l'équation (1) que 0=C et de l'équation (5)
que ,2201- =+−+ D d'où -1.=D
Par conséquent, ( )( ) ( ) ( )3 2 2 32
2 2 1 1 1 2 11 1 1 1
s ds ds ds dsss s s s
+= − +
++ − − −∫ ∫ ∫ ∫
( )
.1
11
1tan 2 Css
sarc +−
−−
+=
Exercices 3.3 page 513
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26. ( ) ( )
4
2 2 22 2
81 ,99 9
s A Bs C Ds Es ss s s
+ + += + +
++ + d'où
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
24 2 2
4 3 2
81 9 9
18 9 9 81 .
s A s Bs C s s Ds E s
A B s Cs A B D s C E s A
+ = + + + + + +
= + + + + + + + +
Nous avons ,8181 =A d'où ,1 ,1 =+= BAA d'où ,0918 ,0 ,0 =++== DBACB d'où
,09et -18 =+= ECD d'où .0=E
Ainsi, ( ) ( ) .9
9 ln 9
18 1 9
8122222
4
Cs
sdss
sdss
dsss
s+
++=
+−=
+
+∫∫∫
27. ( ) ( ) ,222222
485222222
23
++
++
+++
=++
+++
θθ
θθθ
θ
θθ
θθθ DCBA d'où
( )( )3 2 22 5 8 4 2 2θ θ θ Aθ B θ θ Cθ D+ + + = + + + + +
( ) ( ) ( )
3 2 2
3 2
2 2 2 2
2 2 2 2 .
Aθ Bθ Aθ Bθ Aθ B Cθ D
Aθ A B θ A B C θ B D
= + + + + + + +
= + + + + + + +
Nous avons donc ,5=+2 ,2 BAA = d'où ,822 ,1 =++= CBAB d'où ,42et 2 =+= DBC d'où
.2=D
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
3 2
2 2 22 2
2 22
2 2 22
22 2
2
2 5 8 4 2 1 2 2Par conséquent, 2 22 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1ln 2 2 2 21 1
ln 2 2
θ θ θ θ θdθ dθ dθθ θθ θ θ θ
θ θdθ dθθ θ θ θ
θ θdθ dθ dθθ θ θ θ θ θ
θ θ dθ Cθ θθ
θ θ ar
+ + + + += +
+ ++ + + +
+ − += +
+ + + +
+ += − +
+ + + + + +
= + + − − ++ ++ +
= + + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
( ) 21 tan 1 .2 2
c θ Cθ θ
+ − ++ +
Note : 0222 >++ θθ pour tout ,θ de sorte que ( )2 2ln 2 2 ln 2 2 .θ θ θ θ+ + = + +
514 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
28. ( ) ( ) ( ) ,111
1
13243222232
234
+
++
+
++
++
=+
+−+−∫
θ
θ
θ
θθθθ
θ
θθθθ FEDCBAd d'où
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
24 3 2 2 2
5 4 3 2
4 2 3 1 1 1
2 2 .
θ θ θ θ Aθ B θ Cθ D θ Eθ F
Aθ Bθ A C θ B D θ A C E θ B D F
− + − + = + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
Nous avons -4,2 ,1 ,0 =+== CABA d'où ,22 -4, =+= DBC d'où -3, ,0 =++= ECAD
d'où ,1et 1 =++= FDBE d'où .0=F
( ) ( ) ( )
( )
4 3 2
3 2 2 32 2 2
2 22
4 2 3 1 1Ainsi, 4 11 1 1
2 1 tan .1 4 1
θ θ θ θ θ θdθ dθ dθ dθθθ θ θ
arc θ Cθ θ
− + − += − +
++ + +
= + − ++ +
∫ ∫ ∫ ∫
29. ( )11212122
22
23
−+=
−+=
−+−
xxx
xxx
xxxx (division de polynômes)
Or ( ) ,11
1−
+=− x
BxA
xx d'où ( ) ( ).11 xBxA +−=
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons -1.=A
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .1=B
Par conséquent, 3 2
22 2 1 1 1 2
1x x dx x dx dx dx
x xx x− +
= − +−−∫ ∫ ∫ ∫ 2 ln ln 1 ,x x x C= − + − +
ou encore . 1 ln2 Cx
xx +−
+
30. 1
111 2
22
4
−++=
− xx
xx (division de polynômes)
( )( )2
1 1 ,1 1 1 11
A Bx x x xx
= = ++ − + −−
d'où ( ) ( )1 1 1 .A x B x= − + +
En assignant à x la valeur 1, nous trouvons .21=B
En assignant à x la valeur -1, nous trouvons .21-=A
Exercices 3.3 page 515
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
. 11 ln
21
3
1 ln21 1 ln
21
3
1
121
11
211
1 Ainsi,
3
3
22
4
Cxxxx
Cxxxx
dxxx
xdxx
x
++−
++=
+−++−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅+
+⋅−+=
− ∫∫
31. ( )11399139
2
2
23
3
−+−
+=−
+−xx
xxxxxx (division de polynômes)
Or ( ) ,11
13922
2
−++=
−+−
xC
xB
xA
xxxx d'où ( ) ( ) .11139 22 CxxBxAxxx +−+−=+−
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons -1.=B
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .7=C
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons ,7222213 ++=+−= ACBA d'où .2=A
Par conséquent, dxx
dxx
dxx
dxxxxx
117 1 129 139
223
3
∫∫ ∫ ∫ −+−+=
−+−
. 1 ln71 ln29 Cxx
xx +−+++=
32. ( )22
3
1241244
14416
−−
++=+− x
xxxx
x (division de polynômes)
( ) ( )
,121212
41222 −
+−
=−−
xB
xA
xx d'où ( ) .212412 BAAxBxAx +−=+−=−
Nous avons ,122 =A d'où -4,-et 6 =+= BAA d'où .2=B
( )
3
2 2
2
16 6 2Ainsi, 4 4 2 14 4 1 2 1
1 2 4 3ln 2 1 .2 1
x dx x dxxx x x
x x x Cx
⎛ ⎞⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟−− + −⎝ ⎠
= + + − − +−
∫ ∫
516 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. ( )
4 2
3 2
1 11
y y yy y y y+ −
= −+ +
(division de polynômes)
Or ( ) 22
1 ,11
A By Cy yy y
+= +
++ d'où ( ) ( ) ( )2 21 1 .A y By C y A B y Cy A= + + + = + + +
Il s'ensuit que ,0 ,1 =+= BAA d'où 0et -1 == CB
Par conséquent, dyy
ydyy
dyydyyy
yy 1
1 123
24
∫∫ ∫ ∫ ++−=
+−+
( ) .1ln21 ln
22
2
Cyyy+++−=
34. 1
2221
22323
4
−+−++=
−+− yyyy
yyyy (division de polynômes)
( )( )3 2 22
2 2 ,11 11 1
Ay B Cyy y y yy y
+= = +
−− + − ++ − d'où
( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 - .Ay B y C y A C y A B y B C= + − + + = + + + − +
Nous avons ,0=+CA d'où ,0- ,- =+= BAAC d'où ,2-et =+= CBAB d'où
,1-et 2- ==− AAA entraînant .1et 1- == CB
( ) . 1 lntan 1ln212
1
11
11
22
1
111-22
12 Ainsi,
22
22
223
4
Cyyarcyyy
dyyyy
yy
dyyy
yydyyyy
y
+−+−+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
−−
−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−
++=−+−
∫
∫∫
35. Posons .tey = Alors ( )( ) . 21
1 23
123
et 22 ∫∫∫ ++=
++=
++= dy
yydy
yyeedtedtedy tt
tt
Or ( )( )
1 ,1 2 1 2
A By y y y
= ++ + + +
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 .A y B y A B y A B= + + + = + + +
Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,12et - =+= BABA d'où ,1-et 12- ==+ BBB et finalement
.1=A
Exercices 3.3 page 517
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, ( )( ) dyy
dyy
dyyy
2
1 1+
1 21
1∫ ∫ ∫ +
−=++
1 1ln 1 ln 2 ln ln .2 2
t
ty ey y C C Cy e+ +
= + − + + = + = ++ +
36. Posons .tey = Alors ( )34 2 3
2 2 2
2 12 2 1 et .1 1 1
t tt t tt t
t t
e ee e e y ydy e dt dt e dt dye e y
+ −+ − + −= = =
+ + +∫ ∫ ∫
1
11
1222
3
+−
+=+−+
yyy
yyy (division de polynômes)
( )
( )
4 2
2 2
22
2 2
22
2 1Ainsi, 1 1
1 1 ln 1 tan2 21 1
1 ln 1 tan .2 2
t t t
t
tt t
e e e ydt y dye y
y yy dy y arc y Cy y
e e arc e C
⎛ ⎞+ − −= +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − = + + − +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
= + + − +
∫ ∫
∫
37. Posons ,sin yt = d'où . cos dyydt =
Alors ( )( )2 2
cos 1 1 .3 2sin sin 6 6
y dy dt dtt ty y t t
= =+ −+ − + −∫ ∫ ∫
Or ( )( ) ,2323
1−
++
=−+ t
Bt
Att
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 -2 3 .A t B t A B t A B= − + + = + + +
Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,132-et - =+= BABA d'où ,51et 132 ==+ BBB et
finalement .51-=A
Ainsi, ( )( )
1 1 1 1 1 - 3 2 5 +3 5 2
dt dt dtt t t t
= ++ − −∫ ∫ ∫
1 1 2 1 sin 2-ln +3 ln 2 ln ln .5 5 3 5 sin 3
t yt t C C Ct y− −⎡ ⎤= + − + = + = +⎣ ⎦ + +
518 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. Posons .cosθ=u Alors . 2
1-2coscos
sinet sin- 22 duuu
dddu ∫∫ −+=
−+=
θθθθθθ
( )( )2
1 1 ,2 1 2 12
A Bu u u uu u
= = ++ − + −+ −
d'où ( ) ( )1 1 2 .A u B u= − + +
En assignant à u la valeur 1, nous obtenons .31=B
En assignant à u la valeur -2, nous obtenons .31-=A
21 1 1 1 1 1 1Ainsi, - - - ln 2 ln 1
3 2 3 1 3 32
1 2 1 cos 2ln ln .3 1 3 cos 1
du du u u Cu uu u
u θC Cu θ
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = + − − +⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠
+ += + = +
− −
∫ ∫
39. ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )
22 23
2 2 22 2 2
3 4 12 tan 2 12 3 2 tan 2
4 1 2 4 1 2 4 1 2
x xx arc x x x x arc xdx dx dx
x x x x x x
+− − − −= −
+ − + − + −∫ ∫ ∫
( )( )
dxx
xdxx
xarc 2
3 142tan
22∫ ∫ −−
+=
Or ( ) ( )2 2
3 ,22 2
x A Bxx x
= +−− −
d'où ( ) ( ).B+2A-23 +=+−= AxBxAx
Nous avons donc ,02-et 3 =+= BAA d'où .6=B
Ainsi, ( )( )
( )( )2 2 2 2
tan 2 2 tan 23 1 1 1 3 6 2 24 1 4 12 2
arc x arc xxdx dx dx dx dxxx xx x
− = − −−+ +− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )( )
( )( )
2
2
tan 21 63ln 2 2 2 2
tan 2 63ln 2 .4 2
arc xx C
x
arc xx C
x
= − − + +−
= − − + +−
40. ( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )
22 23
2 2 22 2 2
9 11 tan 3 9 1 tan 3
9 1 1 9 1 1 9 1 1
x xx arc x x x x arc xdx dx
x x x x x x
++ + + += +
+ + + + + +∫ ∫ ∫
( )( )∫∫ +
++
= dxx
xdxx
xarc 1
193tan
22
Exercices 3.3 page 519
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or ( ) ( )
,111 22 +
++
=+ x
Bx
Ax
x d'où ( ) .1 BAAxBxAx ++=++=
Nous avons donc ,0et 1 =+= BAA d'où -1.=B
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2
2
tan 3 3 tan 31 1 1Ainsi, 3 19 1 9 11 1
tan 31 1ln 1 3 2 1
tan 3 1ln 1 .6 1
arc x arc xxdx dx dx dxxx xx x
arc xx C
x
arc xx C
x
⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + −⎜ ⎟++ ++ +⎝ ⎠
= + + + ++
= + + + ++
∫ ∫ ∫ ∫
41. ( ) . 23
1et 23
1123 222 ∫ +−
=+−
=⇒=+− dttt
xttdt
dxdtdxtt
Or ( )( )2
1 1 ,2 1 2 13 2
A Bt t t tt t
= = +− − − −− +
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A t B t A B t A B= − + − = + + −
Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,12-et - =−= BABA d'où ,1-et 12 ==− BBB
et finalement .1=A
Ainsi, . 12 ln 1 ln 2 ln
11
21
231
2 CttCttdt
tdt
tdt
ttx +
−−
=+−−−=−
−−
=+−
= ∫∫∫
Comme ( ) ,03 =x nous avons ( ) ,21ln0 C+= d'où ( ) .2ln21ln- ==C
La solution de l'équation différentielle est donc ,2ln 12 ln +
−−
=ttx ou encore
.2ln 1 ln 2 ln +−−−= ttx
42. ( )4 24 2
2 33 4 1 2 33 4 1
dx dxt tdt dt t t
+ + = ⇒ =+ +
et ( )( )4 2 2 2
2 3 12 3 3 4 1 3 1 1
x dt dtt t t t
= =+ + + +∫ ∫
Or ( )( ) 2 22 2
13 1 13 1 1At B Ct Dt tt t+ +
= ++ ++ +
d'où ( )( ) ( )( )2 21 1 3 1At B t Ct D t= + + + + +
( ) ( ) ( )3 23 3 .A C t B D t A C t B D= + + + + + + +
520 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Nous avons ,1=+ DB d'où ,03 ,1 =+−= DBDB d'où
,0 ,23et 21- ,031 =+===+− CABDDD d'où ,03et - =+= CACA
d'où .0et 0 ,03- ===+ ACCC
( )( )
( )( )
2 22 2
2 2
1 3 1 1 1Ainsi, 2 3 2 3 2 23 1 13 1 1
3 3 1 3 13 1
3 tan 3 3 tan .
x dt dtt tt t
dt dttt
arc t arc t C
⎛ ⎞= = ⋅ − ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ +
= −++
= − +
∫ ∫
∫ ∫
Comme ( ) ,43-1 π=x nous avons ,4
33
31tan 33tan 34
3- CCarcarc +⋅−⋅=+−=πππ
d'où .-4
34
3- ππππ=+−=C
La solution de l'équation différentielle est donc ( ) .tan 33tan 3 π−−= tarctarcx
43. ( ) ∫∫∫ +⇒
+=
+⇒+=+ dx
xttdt
xdxx
dtdxtt
11
21
222222 2
2
( ) ( )
1 1 1 ln 1 2 2 2
dt x dtt t t t
= ⇒ + =+ +∫ ∫
Or ( ) ,22
1+
+=+ t
BtA
tt d'où ( ) ( ) ( )1 2 2 .A t B t A B t A= + + = + +
Nous avons donc .21-où d' ,0et 21où d' ,12 ==+== BBAAA
( )
1 1 1 1 1 1Ainsi, ln 1 2 2 2 2 2
1 1ln ln 2 ln ,2 2 +2
x dt dt dtt t t t
tt t C Ct
+ = = −+ +
⎡ ⎤= − + + = +⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
d'où .2où , 2+
ln 1 ln CCCt
tx =′′+=+
Comme ( ) ,31ln2ln ,11 Cx ′+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== d'où .6ln3ln2ln
31ln2ln =+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=′C Nous avons donc
, 2
6ln6ln 2+
ln 1 ln+
=+=+t
tt
tx ou encore . 2
6 1 +
=+t
tx
Exercices 3.3 page 521
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Comme ,0et 0 >> tx les valeurs absolues ne sont pas nécessaires et ,2
61 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=+
ttx ou
encore .12
6−
+=
ttx
Finalement, comme ,012
6 ,0 >−+
>t
tx d'où ,25 ),02 (puisque 26 ,12
6>>++>>
+tttt
tt et
finalement .52>t
La solution de l'équation différentielle est donc ,12
6−
+=
ttx pour .52>t
44. ( ) ( ) CtCtxarctdt
xdxx
dtdxt ++=++=⇒
+=
+⇒+=+ ∫ ∫ 1ln 1 lntan
111 1 2
2 puisque -1.>t
Il s'ensuit que ( )tan ln 1 .x t C⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
Comme ( ) ,4
0 π=x nous avons ( )[ ],10lntan
4C++=
π d'où .4
tan πarcC =
La solution de l'équation différentielle est donc ( ) ( )tan ln 1 tan 4 .x t arc π⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
45. ( ) ( ) 122
11 Cedxedyyy
dxeyy
dyyyedxdy xxxx +==
−⇒=
−⇒−= ∫∫
Or ( ) ,11
1−
+=− y
ByA
yy d'où ( ) ( ) .11 AyBAByyA −+=+−=
Nous avons .1où d' ,0et 1-où d' ,1=- ==+= BBAAA
Par conséquent, ( ) , 1 ln ln- 1
1 1- 1
12Cyydy
ydy
ydy
yy+−+=
−+=
− ∫∫∫
d'où .=où , 1 lnou 1 ln 2112 CCCCey
yCeCy
y xx −+=−
+=+−
Comme ( ) .12ln-21lnoù d'
21ln ,20 00 −=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= eCCey
La solution de l'équation différentielle est donc ,12ln 1 ln −−=− xey
y ou encore
ln 1 l n ln 2 1.xy y e− − = − −
522 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
46. ( )( ) ( ) ∫∫ =
+⇒=
+⇒+= θθθθθ
θd
ydyd
ydyy
ddy sin
1 sin
1sin1 22
2 Cy
+=+
⇒ θcos-1
1-
Comme ( ) ,02 =πy nous avons ,2cos-1- C+= π d'où -1.=C
Ainsi, .11cos
1et 11cos
1 ,1cos1
1 ,1cos-1
1-−
+=+=
++=
+−=
+ θθθθ yy
yy
La solution de l'équation différentielle est .11cos
1−
+=
θy
47. dxxx
yxxdx
dy 23
123
122 ∫ +−
=⇒+−
=
Or ( )( )2
1 1 ,2 1 2 13 2
A Bx x x xx x
= = +− − − −− +
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A x B x A B x A B= − + − = + + −
Nous avons ,0=+ BA d'où ,12-et - =−= BABA d'où -1, ,12 ==− BBB et finalement .1=A
Ainsi . 1 ln 2 ln 1
1 2
1 Cxxdxx
dxx
y +−−−=−
−−
= ∫∫
Comme ( ) ,03 =y nous avons ,2ln1ln0 C+−= d'où .2ln1ln2ln =−=C
La solution de l'équation différentielle est ln 2 ln 1 ln 2.y x x= − − − +
2ln ln 2.1
xx−
= +−
48. 2 2 22 2
2 2 2 22 2 2ds s ds dt ds dtdt s st t t t t t
+= ⇒ = ⇒ =
+ ++ + +∫ ∫
Or ( ) ,22
12
12 +
+=+
=+ t
BtA
tttt d'où ( ) .21 BttA ++=
En assignant à t la valeur 0, nous obtenons .21=A
En assignant à t la valeur -2, nous obtenons .21-=B
Ainsi, ∫ ∫ ∫ +−=
+dt
tdt
tsds
21
21 1
21
22
1 1 1ln 1 ln ln 2 .2 2 2
s t t C+ = − + +
Exercices 3.3 page 523
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Comme ( ) ,3ln211ln
212ln
21 ,11 Cs +−== d'où .6ln
213ln
212ln
21
=+=C
Donc 1 1 1 1ln 1 ln ln 2 ln 62 2 2 2
s t t+ = − + +
ln 1 ln ln 2 ln 6
6ln 1 ln 2
6 1 .2
s t t
tst
tst
+ = − + +
+ =+
+ =+
La solution de l'équation différentielle est donc . 2
6 1 +
=+t
ts
49. Méthode des disques :
( )2,5 2,5
2 22
0,5 0,5
9 3
b
a
V π R x dx π y dx π dxx x
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ −∫ ∫ ∫
Or ( ) ,33
93
92 x
BxA
xxxx −+=
−=
− d'où ( ) ( )9 3 - 3 .A x Bx A B x A= − + = + +
Nous avons ,93 =A d'où ,0-et 3 =+= BAA d'où .3=B
Ainsi, 2,5
2,5
0,50,5
3 3 3ln 3ln 3 3
V π dx π x xx x
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠∫
( )
2,5
0,5
3 ln 3 ln5 ln 0,23
53 ln 3 ln 25.0,2
xπ πx
π π
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
50. Méthode des tubes :
[ ][ ]
( )( ) ( )( )1 1
0 0
circonférence du tube hauteur du tube
22 4 .1 2 1 2
V dx
xπx dx π dxx x x x
=
= ⋅ =+ − + −
∫
∫ ∫
Or ( )( )
,1 2 1 2
x A Bx x x x
= ++ − + −
d'où ( ) ( )2 1 .x A x B x= − + +
524 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .31-=A
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .32=B
( )
1 1
0 0
1 1
0 0
1 1 2 1Ainsi, 4 - 3 1 3 2
4 -ln 1 2 ln 2 3
4 4-ln 2 ln1 2ln1 2ln 2 ln 2.3 3
V π dx dxx x
π x x
π π
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + − + =
∫ ∫
51. a) ( ) ( ) ( ) ∫∫ +==−
⇒=−
⇒−= 1 1 CktdtkdxxNx
dtkxNx
dxxNkxdtdx
Or ( ) ,1xN
BxA
xNx −+=
− d'où ( ) ( )1 - .A N x Bx A B x AN= − + = + +
Nous avons ,1 AN= d'où ,0-et 1=+= BA
NA d'où .1
NB =
Par conséquent, ( ) dxxNN
dxxN
dxxNx
11 11 1∫∫∫ −
+=−
2 11 ln ln x N x C kt CN⎡ ⎤= − − + = +⎣ ⎦
ou encore , ln1 CktxN
xN
+=−
où .21 CCC −=
Comme ,2et 1000 ,2501
=== xNk lorsque ,0=t nous avons
1 2 1ln 0 ,1000 998 250
C= ⋅ +
d'où 1 1 1 1 1 1ln et ln ln ,1000 499 1000 1000 250 1000 499
xC tx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou encore
ln 4 ln 499,1000
ln ln 499 4 , et finalement1000
499ln 4 .1000
x tx
x tx
x tx
= −−
+ =−
=−
Exercices 3.3 page 525
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Comme 01000 ,10002 >−<< xx et les valeurs absolues sont inutiles, de sorte que
.1000
499 4tex
x=
− En isolant x dans l'expression, nous obtenons 4 4499 1000 ,t tx e e x= −
puis ( )4 4499 1000 ,t te x e+ = et finalement t
t
eex 4
4
4991000
+= qui est la solution de l'équation
différentielle.
b) .50021
== Nx Nous avons 4 4
4 4 44 4
1000 2500 , 1 , 499 2 , 499,499 499
t tt t t
t te e e e ee e
= = + = =+ +
jour. 55,14499ln ,499ln4 ≈== tt
52. ( )( ) ( )( )dx dxk a x b x k dtdt a x b x
= − − ⇒ =− −
a) Si ba = :
( )( ) ( ), 2 ∫∫ ∫ =
−=
−−dtk
xadx
xbxadx d'où .1 Ckt
xa+=
−
Puisque 1 1 10 en 0, et ,x t C kta a x a
= = = = +−
d'où ,1
,11+
=−+
=− akt
axaa
aktxa
.111
22
+=
+−+
=+
−=akt
ktaakt
aaktaakt
aax
La quantité x de produit est alors donnée par .1
2
+=
aktktax
b) Si ba ≠ :
( )( )
1 ,A Ba x b x a x b x
= +− − − −
d'où ( ) ( )1 .A b x B a x= − + −
En assignant à x la valeur a, nous obtenons .1ab
A−
=
En assignant à x la valeur b, nous obtenons .1ba
B−
=
526 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( )
( ) ( )
( )
1 1Ainsi,
1 1 - ln -ln
1 - ln ln
dx dx dxa x b x b a a x a b b x
a x b x Cb a a b
a x b x Cb a
= +− − − − − −
= ⋅ − + ⋅ − +− +
= − + − +−
=
∫ ∫ ∫
11 ln b x C k dt kt C
b a a x−
+ = = +− − ∫
et , ln12Ckt
xaxb
ab+=
−−
− où .12 CCC −=
Puisque 0=x lorsque ,ln1 ,0 2Cab
abt =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−= d'où ,ln1 ln1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
−−
− ab
abkt
xaxb
ab
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ln ln ,
ln ln ln ,
ln ln ,
,
,
e
e
1 e
b a kt
b a kt
b a kt
b a kt
b a kt b a kt
b a kt b a kt
b a kt b a kt
b x bb a kta x a
b x bea x a
b x b ea x ab x b ea x a
a b x be a x
ab ax ab be x
ab ab ax be x
ab x a be
−
−
−
−
− −
− −
− −
− ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
− ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦−
=−
− = −
− = −
− = −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
et finalement ( )
( )
1.
b a kt
b a kt
ab ex
a be
−
−
⎡ ⎤−⎣ ⎦=−
Exercices 3.4 page 527
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 3.4 - Règle de L'Hospital
1. Règle de L'Hospital : .41
21
42lim
2
..
0022==
−−
=→ x
HR
x xxx
Autre méthode : ( )( )22 2 2
2 2 1 1lim lim lim .2 2 2 44x x x
x xx x xx→ → →
− −= = =
+ − +−
2. Règle de L'Hospital : 51
5cos55sinlim0
..
000==
=→ x
HR
x
xx
x
Autre méthode : ( ) 515sinlim55
5sinlim55
5sin5lim5sinlim00500
=====→→→→ y
yx
xx
xx
xyxxx
3. Règle de L'Hospital : .75
1410lim
14310lim
1735lim
....
2
2
==−
=+−
∞→∞∞∞→∞∞∞→ x
HR
x
HR
x xx
xxx
Autre méthode : .75
1735lim
1735lim 22
2
=+−
=+−
∞→∞→ xx
xxx
xx
4. Règle de L'Hospital : 113
1123
341lim
12
2,.
003
3
1=
−=
−−−
=→
x
HR
x xx
xxx
Autre méthode : ( )( )
( )( )( )2 23
3 221 1 1
1 1 11 3lim lim lim114 3 4 4 31 4 4 3x x x
x x x x xxx x x xx x x→ → →
− + + + +−= = =
− − + +− + +
5. Règle de L'Hospital : 21
2coslim
2sinlimcos1lim
0
..
000
..
0020===
−→→→
xxx
xx
x
HR
x
HR
x.
Autre méthode : 2 20 0
1 cos 1 cos 1 coslim lim1 cosx x
x x xxx x→ →
− − +⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦
( ) ( )2 2
2 20 0
0
0 0 0
1 cos sinlim lim1 cos 1 cos
sin sin 1lim1 cos
sin sin 1 1 1lim lim lim 1 1 .1 cos 2 2
x x
x
x x x
x xx x x x
x xx x x
x xx x x
→ →
→
→ → →
−= =
+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+
528 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. Règle de L'Hospital : 064lim
1334lim
132lim
..
2
..
3
2
==++
=++
+→∞∞∞→∞∞∞→∞ xx
xxx
xxx
HR
x
HR
x
Autre méthode : 010
111
32
lim1
32lim32
2
3
2
==++
+=
+++
→∞→∞
xx
xxxx
xxxx
7. ( ) 0101
12coslimsinlim
2
0
..
00
2
0=
⋅=
⋅=
→→
θθθθ
θθ
HR
8. 41
2cos4-sinlim
2sin2-cos-lim
2cos1sin1lim
2
..
002
..
002===
+−
→→→ θθ
θθ
θθ
πθπθπθ
HRHR
9. -111-cos-lim
1sin-lim
11coslim
0
..
000
..
000===
−=
−−−
→→→ tt
HR
tt
HR
tt et
et
tet
10. ππππ +
=−
=−−
→→ 11
cos11lim
sinln1lim
1
..
001 tt
ttt
t
HR
t
11. ( )( ) 2ln
12lnlim
12lnlim
2ln111
1
limlog
1lnlim....
2==
+=
⋅
+=+
→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞ x
HR
xx
HR
x xx
x
xx
x
12. ( )
. .2
3
1 1log 3 ln3ln 2lim lim lim1 1log 3 ln 2
3 ln 3
R H
x x x
x xxx x
x→∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⋅ += = ⋅
+ ⋅+
2ln3ln
11lim
2ln3ln3lim
2ln3ln ..
=⋅=+
=→∞∞∞→∞ x
HR
x xx
Exercices 3.4 page 529
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. ( ) ( )1
22
2224lim
222lim1
222
1
limln
2lnlim0
..
002
2
0
2
0
..2
0==
++
=++
=+⋅
+=+
++++ →→→∞∞→ yy
yyyy
y
yyy
yyy
y
HR
yy
HR
y
14. y
yyyy
yy cos
sin2limtan
2lim
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→→
ππ
ππ
( ) ( )( ). .
0 0 2
-1 sin cos -1 1 0 02lim 1-sin -1
R H
y π
πy y y
y→
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ + ⋅⎝ ⎠= = =
15. 0-lim-lim1-1lim
1lnlimlnlim
0
2
020
..
00=====
+++++ →→→∞∞→→x
xx
xx
xxxx
xxx
HR
xx
16. ( )2 2
. .2
20 0
sec 1 -11 tan1lim tan lim lim sec 0 11 -1
R H
x x x
x xxxx x x→∞ →∞ →∞
⋅= = = =
17. ( )x
xxxxxx
xxxx
xxx sincossincos1limcos
sincos
sin1limcoscotcsclim
000
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=+−
+++ →→→
( ) ( ). ..
0 0 0
sin cos cos sin -sin 0 1 1 0 -0lim 1
cos 1
R H
x
x x x x xx+→
+ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =
18. ( )( ) 2lim ln 2 ln 1 lim ln1x x
xx xx→∞ →∞
⎛ ⎞− + = ⎜ ⎟+⎝ ⎠
Soit ( ) .1
2+
=x
xxf Alors .212lim
12lim
..==
+ →∞∞∞→∞ x
HR
x xx
Ainsi, ( )( ) ( )( ) ( )( )lim ln 2 ln 1 lim ln ln lim ln 2.x x x
x x f x f x→∞ →∞ →∞
− + = = =
530 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
++ →→ xxxx
xx sinlnlimsinlnlnlim
00
Posons ( ) .sin x
xxf = Alors ( ) ( ). .
0 00 0 0 0
1lim lim lim 1 et lim ln ln sinsin cos
R H
x x x x
xf x x xx x+ + + +→ → → →
= = = −
( ) ( )0 0
lim ln ln lim ln1 0.x x
f x f x+ +→ →
⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
20. ∞=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++ →→ xx
xx xx
1lim11lim00
21. ( ) xx
xxe
1
0lim +→
est une forme indéterminée .1∞
Posons ( ) ( ) .1 xx xexf += Alors ( ) ( ) ( ) ( )1 ln1ln ln ln
xxx x
e xf x e x e x
x x
+= + = ⋅ + =
et ( ) ( ) ( ).2
121lim
1
11
limlnlimlnlim00
..
0000==
++
=+⋅
+=+
=→→→→ xe
eexe
xxexf x
x
x
xx
x
HRx
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 2lnlimln
00
1
00 eeexfxe
xfxf
xx
xx
xx ====+ →
→→→
22. x
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→ 20
1lim est une forme indéterminée .0∞
Posons ( ) .12
x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= Alors ( ) ( )
xx
xx
xxf
x
11ln1ln1lnln
2
22 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= et
( ) ( ) .02lim-2-lim1-
2-1
1
lim11lnlimlnlim
0
23
2
02
32
0
..2
00==⋅⋅=
⋅==
→→→∞∞→→xx
xx
xxx
xxxf
xxx
HR
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim1lim 0lnlimln
00200 =====⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ →
→→→eeexf
xxfxf
xx
x
xx
23. 014
3lim22
53lim..
2 =−
=+−
−∞→∞∞∞→ xxx
xx
HR
x
De même, .014
3lim22
53lim-
..
2-=
−=
+−−
∞→∞∞∞→ xxxx
x
HR
x
Exercices 3.4 page 531
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
24. ( )( ) 11
711117
11sec117cos7lim
11tan7sinlim 220
..
000===
→→ xx
xx
x
HR
x
25. ( ) x
xx 1lnlim
→∞ est une forme indéterminée 0∞ .
Posons ( ) ( ) xxxf 1ln= Alors ( ) ( ) ( ) ( )x
xxx
xxf x lnlnlnln1lnlnln 1 =⋅== et
( ) ( ) . .1 1
ln ln 1lnlim ln lim lim lim 0.1 ln
R H
x x x x
x x xf xx x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⋅= = = =
⋅
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimlnlim 0lnlimln1 ===== ∞→
∞→∞→∞→eeexfx
xfxf
xx
x
xx
26. ( ) ( )x
xx ln2121lim +
→∞ est une forme indéterminée .0∞
Posons ( ) ( ) ( ).21 ln21 xxxf +=
Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
xxx
xxf x
ln221ln21ln
ln2121lnln ln21 +
=+=+= et
( ) ( ) .21
21lim
21lim12
221
1
limln2
21lnlimlnlim....
==+
=⋅
⋅+=
+=
∞→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞→ x
HR
xx
HR
xx xx
x
xx
xxf
Par conséquent ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).limlim21lim 21lnlimlnln21 eeeexfx
xfxf
xx
x
xx =====+ ∞→
∞→∞→∞→
27. ( ) 12
112lim
−
→+−
x
xxx est une forme indéterminée 00 .
Posons ( ) ( ) .1212 −
+−=x
xxxf
Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
212 2
ln 2 1ln ln 2 1 1 ln 2 1
1 1x x x
f x x x x x xx
− − += − + = − − + =
− et
( ) ( )( )
( )
( )22
1
..2
11 11-
2212
1
lim11
12lnlimlnlim−
−⋅+−=
−+−
=→∞∞→→ x
xxx
xxxxf
x
HR
xx
( )( )
( ) ( ) .012lim1-112lim
1
221
=−−=−⋅−−
=→→
xxxx
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlim12lim 0lnlimln
11
12
11 =====+− →
→→
−
→eeexfxx
xfxf
xx
x
xx
532 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
28. ( )
( ) x
xx cos
2coslim
−→ π est une forme indéterminé de 00 .
Posons ( ) ( ) .cos cos xxxf =
Alors ( ) ( ) ( )xxxxf x coslncoscoslnln cos ⋅== et
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
2 2
. .
2 2
2 2
lim ln lim cos ln cos
1 -sinln cos coslim limsec sec tan- tanlim lim -cos 0.
sec tan
x π x π
R H
x π x π
x π x π
f x x x
xx xx x xx x
x x
− −
− −
− −
→ →
∞ ∞→ →
→ →
= ⋅
⋅= =
= = =
Par conséquent, ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )
.1limlimcoslim 0lnlim
ln
22
cos
2
2 ===== −→
−−− →→→eeexfx
xfxf
xx
x
x
x π
πππ
29. ( ) x
xx 1
01lim +
+→ est une forme indéterminée ∞1 .
Posons ( ) ( ) .1 1 xxxf += Alors ( ) ( ) ( ) ( )x
xxx
xxf x +=+=+=
1ln1ln11lnln 1 et
( ) ( ) .11
1lim1
11
lim1lnlimlnlim00
..
00
1
00=
+=+=
+=
++++ →→→→ xx
xxxf
xx
HRx
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlim1lim 1
lnlimln
00
1
00 eeeexfx
xfxf
xx
x
xx =====+ +→
+++ →→→
30. ( )11
1lim −
→
x
xx est une forme indéterminée ∞1 .
Posons ( ) ( ).11 −= xxxf
Alors ( ) ( )1
lnln1
1lnln 11
−=
−== −
xxx
xxxf x et ( ) .1
11lim
1lnlimlnlim
1
..
0011==
−=
→→→
xx
xxfx
HR
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 1lnlimln
11
11
11 eeeexfx
xfxf
xx
x
xx ===== →
→→
−
→
Exercices 3.4 page 533
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
31. ( )xx
xsinlim0+→
est une forme indéterminée 00 .
Posons ( ) ( ) .sin xxxf = Alors ( ) ( ) ( ) ( )x
xxxxxf x
1sinlnsinlnsinlnln =⋅== et
( )x
xxx
xxxf
xx
HR
x sincos-lim
1-
cossin
1
limlnlim2
020
..
0
⋅=
⋅=
+++ →→∞∞→
( ) ( ) .01
0010cos
sin--cos2- 2..
00=
⋅+⋅=
⋅+⋅=
xxxxxHR
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0
lnlimln
0000 ===== +→
+++ →→→eeexfx
xfxf
xx
x
xx
32. ( ) x
xx tan
0sinlim
+→ est une forme indéterminée .00
Posons ( ) ( ) .sin tan xxxf =
Alors ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxf x
cotsinlnsinlntansinlnln tan =⋅== et
( ) ( ) 0sincos-limsin-sincoslim
csc-
cossin
1
limcotsinlnlimlnlim
0
2
020
..
00==⋅=
⋅==
+++++ →→→∞∞→→xxx
xx
x
xx
xxxf
xxx
HR
xx.
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0
lnlimln
00
tan
00 ===== +→
+++ →→→eeexfx
xfxf
xx
x
xx
33. ( )x
xx −
→ +
11
1lim est une forme indéterminée ∞-1 .
Posons ( ) ( ).11 xxxf −= Alors ( ) ( )xxx
xxxf x
−=⋅
−== −
1lnln
11lnln 11 et
( ) -1.1-lim1-
1lim1lnlimlnlim
11
..
0011===
−=
++++ →→→→ xx
xxxf
xx
HR
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 1-
lnlimln
11
11
11 eeexfx
xfxf
xx
x
xx ==== +→
+++ →→
−
→
34. 02lim2limlimlim....2
-2 ====∞→∞∞∞→∞∞∞→∞→ xx
HR
xx
HR
xx
x
x eex
exex
35. ( )2
21 2lim lim ln lim ln 2 ln lim ln ln 2x
x
xx x x xx
xdt t x xt x→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎡ ⎤= = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫
534 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
36. 11
1
lim1ln
lnlim1ln1
lnlimln
lnlim ln
ln1lim
....
1
1 ==+
=⋅+⋅
==→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞→∞ ∫
∫
x
xx
x
xxx
xxx
dttdtt
xx x
HR
xx
HRx
x
xx
37. 1-11-cos-lim
1sin-lim
11coslim
0
..
000
..
000===
−=
−−−
→→→ θθθθθθ
θθθθ
eee
HRHR
38. tete
t
t
t −+
∞→
2
lim est une forme indéterminée ∞∞ puisque ,lim 2 ∞=∞+∞=+
∞→tet
t que
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−
∞→∞→ tt
t
t
t etete 1limlim et que 01limlim
..==
∞→∞∞∞→ tt
HR
tt eet , de sorte que
( ) .011limlimlim ∞=−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=−
∞→∞→∞→ tt
t
t
t
t etete
Ainsi, .1lim2lim2limlim......2
==+
=−+
=−+
∞→∞∞∞→∞∞∞→∞∞∞→ t
t
t
HR
t
t
t
HR
t
t
t
HR
t
t
t ee
ee
tete
tete
39. 119lim
119lim
++
=++
∞→∞→ xx
xx
xx
Or ,91119lim
119lim =
++
=++
∞→∞→ xx
xx
xx
de sorte que .39119lim
119lim
119lim ==
++
=++
=++
→∞→∞→∞ xx
xx
xx
xxx
40. 11
1sinlim
1sin1lim
sinlim
0
00====
+
++
→
→→
xx
xxx
x
x
xx
41. ( ) ( ) ( )
111
sin1lim
sincos
cos1lim
tanseclim
222===⋅=
−−− →→→ xxx
xxx
xxx πππ
Exercices 3.4 page 535
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
42. 1coslim1
sinsincoslim
sin1
sincos
limcsccotlim
0000==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=++++ →→→→
xxxx
x
xx
xx
xxxx
43. La solution b) est correcte. La solution a) est erronée, puisque la règle de L'Hospital
ne s'applique que si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0 ou vers
∞± lorsque ,3→x ce qui n'est pas le cas ici.
44. Chaque cas comporte une infinité de réponses possibles.
En voici quelques exemples.
a) Soit ( ) ( ) xxgxxf =+= et 13 .
Alors ( )( ) .3
13lim13limlim
..==
+=
∞→∞∞∞→∞→ x
HR
xx xx
xgxf
b) Soit ( ) ( ) 2et 1 xxgxxf =+= .
Alors ( )( ) .0
21lim1limlim
..
2 ==+
=→∞∞∞→∞→∞ xx
xxgxf
x
HR
xx
c) Soit ( ) ( ) 1et 2 +== xxgxxf .
Alors ( )( ) .
12lim
1limlim
..2
∞==+
=→∞∞∞→∞→∞
xxx
xgxf
x
HR
xx
45. Si nous voulons que ( )xf soit continue en ,0=x il faudra que .5
3sin39lim 30 xxxc
x
−=
→
Or, .1027
303cos81lim
303sin27lim
153cos99lim
53sin39lim
0
..
000
..
0020
..
0030===
−=
−→→→→
xx
xx
xx
xxx
HR
x
HR
x
HR
x
Donc 1027=c est la valeur recherchée.
46. a) Pour ( ) ( ) ( ) ( ) 11et 12 ,0 =+=′=+=′≠ xdxdxgx
dxdxfx , de sorte que ( )
( ) 111lim
0==
′′
→ xgxf
x.
Mais ( )( ) 2
12limlim
00=
++
=→→ x
xxgxf
xx, de sorte que dans ce cas, ( )
( )( )( )xgxf
xgxf
xx ′′
≠→→ 00
limlim .
536 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Pourtant, la règle de L'Hospital n'est pas contredite puisque les conditions d'application
de la règle, soit l'existence de ( ) ( )0et 0 gf ′′ , ne sont pas remplies. En effet, les fonctions
( ) ( )xgxf et ne sont pas continues en 0=x , donc elles ne sont pas dérivables en .0=x
47. a) kt
k kr⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→1lim est une forme indéterminée ∞1 .
Posons ( ) .1kt
krkf ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += Alors ( )
kkrt
krkt
krkf
kt
1
1ln1ln1lnln
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
et ( ) .11
lim1-
-1lim
1
1lnlimlnlim 2
2
1-
..
00rtrt
kr
rtk
kr
krt
kkrt
kfkk
HR
kk==
+=
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=∞→∞→∞→∞→
Par conséquent, ( )kfAkrA
krA
k
kt
k
kt
k ∞→∞→∞→=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + lim1lim1lim 000
( ) ( ). lim 0
lnlim0
ln0
rtkfkf
keAeAeA k === ∞→
∞→
b) Selon la partie a), lorsque le nombre k de capitalisations dans une année tend vers
l'infini, le capital final après k capitalisations est le même que le capital final avec
capitalisation continue, de sorte que les montants des intérêts sont aussi égaux. 48. Le graphe suggère que la limite est voisine de -1.
En effet,
( )
-1.21
294
12
1294
lim
1232lim
12132lim
1
..
00
21232
1
2
1
=−−=−−
=
−+−−
=
−++−
→
→
→
xxx
xxxx
xxxx
x
HR
x
x
-1
1x
y( )
1 2 1 3 2
2
−++−= x
xxxy
(1,-1)
Exercices 3.4 page 537
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. a) La calculatrice graphique
indique une limite voisine
de -0,225.
La limite est une forme
indéterminée 00 .
( )( )xxxx
xx πcosln
1lim2
1 −−−
→
( )( ) ( )
( )
. .
0 0 1 1
. .
20 0 1
2 1 2 2lim lim1 ln sin1 ln 1 sin
2 2lim -0,2251 1cos
R H
x x
R H
x
x xx π πxx x πx π
x
ππ πx πx
→ →
→
− −= =
+⎡ ⎤⋅ + ⋅ − + ⎣ ⎦
= = ≈−⎡ ⎤+ ⎣ ⎦
b) Le graphique de la fonction
( )( )xxxx
xyπcosln
1 2
−−−
=
admet une asymptote verticale autour
de .552,2=x
1
y
x2
1
2
x− ( )( )xxxx
xy
cos ln
1
2
π−−
−=
x
y
( )( )xxxx
xy
cos ln
1
2
π−−
−=
538 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
50. a) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxf xg lnln =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
lim ln lim limln
lim ln lim lim ln - - .
x c x c x c
x c x c x
g x f x g x f x
g x f x y+
→ → →
→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∞ ⋅ = ∞ ⋅ ∞ = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Donc, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0limlim -lnlimln ==== ∞
→→→ eeexf
xfxgxf
cx
xg
cxcx
xg
b) ( ) ( ) ( ) ( )lim ln lim limln
x c x c x cg x f x g x f x
→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )0
lim ln lim - lim ln
- - .x c x c x
g x f x y+→ → →
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∞ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∞ ⋅ ∞ = ∞
Donc, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).limlim
lnlimln ∞==== ∞
→→→ eeexf
xfxgxf
cx
xg
cxcx
xg
51. En général, les calculatrices n'ont pas un degré de précision suffisamment élevé pour donner
une approximation acceptable de ( ) 12
6cos1x
xxf −= pour des valeurs voisines de 0.
Par exemple, pour ,5 999 999 999 999,0cos ,1,0 6 ≈= xx de sorte que sur une calculatrice à 10
décimales de précision, nous aurons ,0cos1et 1cos 66 =−= xx de sorte qu'une calculatrice
graphique indiquera des valeurs de ( )xf égales à 0 pour .1,01,0- << x Dans les faits,
( ) ( )6 5 6 56 6 6. . . .
12 11 6 50 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 6 cos 61 cos sin cos 1lim lim lim lim lim .2 212 2 12
R H R H
x x x x x
x x x xx x xx x x x→ → → → →
⋅−= = = = =
Exercices 3.4 page 539
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
52. a) 5,0-lim 2 ≈⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
∞→xxx
x
b) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
∞→xxx
x
2lim
est une forme indéterminée .∞−∞
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++⋅+−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +−
∞→∞→ xxx
xxxxxxxxxxx 2
222 limlim
( )
( )
2 2
2 2
-lim lim
-1 -1lim lim11 1 1 1 1
x x
x x
x x x x
x x x x x x
xx x
x
→∞ →∞
→∞ →∞
− + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦
,21-
111-
=+
=
ce qui est conforme à l'estimation graphique trouvée en a).
53. a) 011 >+x
lorsque -1,1>
x soit -1.ou 0 <> xx Le domaine de la fonction est
] [ ] [- ,-1 0, .∞ ∪ ∞
b) Posons ( ) .11x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += Alors ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xx
xxf
x 11ln11lnln et
( )- - - --1 -1 -1 -1
1 1lim ln lim ln 1 lim lim ln 1 -1 - =x x x x
f x x xx x→ → → →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ ∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ).limlim11lim
lnlimln
-1-1-1
--1---
∞=====⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∞
→→→
→ eeexfx
xfxf
xx
x
xx
c) ( ) ( )x
xx
xxfxxx 1
11lnlim11lnlimlnlim---
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
∞→∞→∞→
( ) 111
1lim1-
1-11lim-2
2-1
-
..
00=
+=
⋅+=
∞→∞→
xx
xxxx
HR
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).limlim11lim 1lnlimln
---- eeeexf
xxfxf
xx
x
xx =====⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∞→
∞→∞→∞→
y
x1
-0,5
( ) 2 xxxxf +−=
540 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
54. a) xx
xyxy xx ln1lnln 11 ==⇒=
Dérivation logarithmique :
,1ln-11ln1-122 xx
xxx
xdxdy
y+
=⋅+=⋅ d'où .ln1ln12
12 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=x
xxx
xydxdy x
0=dxdy lorsque .1ln0ln1 1 eexxx ==⇒=⇒=−
x e
dxdy + 0
y maximum
relatif
Comme 0>x , aucune valeur du domaine de xxy 1= ne fait en sorte que dxdy n'existe
pas.
Le tableau des signes indique un maximum relatif en ex = , qui est aussi un maximum
absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de e et décroissante partout à
la droite de e. La valeur maximale de la fonction est .44,1e1 ≈= ey
b) xx
xyxy xx ln1lnln 211 22
==⇒=
Dérivation logarithmique :
,ln2111ln2-1323 x
xxx
xxdx
dyy
−=⋅+⋅=⋅ d'où .ln21ln21
31
3
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=x
xxx
xydxdy x
0=dxdy lorsque .
21ln0ln21 21 eexxx ==⇒=⇒=−
x e
dxdy + 0
y maximum
relatif
Exercices 3.4 page 541
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Comme 0>x , aucune valeur du domaine de 21 xxy = ne fait en sorte que dxdy n'existe
pas.
Le tableau des signes indique un maximum relatif en ex = , qui est aussi un maximum
absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de e et décroissante partout
à la droite de e .
La valeur maximale de la fonction est .2019,11
≈=e
ey
c) xx
xyxy nxx nn
ln1lnln 11 ==⇒=
Dérivation logarithmique :
,ln11ln-11ln-1111
1-+++
− −=+=⋅+= nnnn
n
xxn
xx
xn
xxxnx
dxdy
y d'où
.ln1ln11
11 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
= ++ nx
n xxnx
xxny
dxdy n
0=dxdy lorsque .1ln0ln1 1 nex
nxxn =⇒=⇒=−
x ne1
dxdy + 0
y maximum
relatif
Comme 0>x , aucune valeur du domaine de nxxy 1= ne fait en sorte que dxdy n'existe
pas. Le tableau des signes indique un maximum relatif en nex 1= , qui est aussi un
maximum absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de ne1 et
décroissante partout à la droite de ne1 . La valeur maximale de la fonction est
( ) ( )e1e11 nn ee = .
542 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
d) Soit ( ) nxxxf 1= . Alors ( ) xx
xxf nxn
ln1lnln 1 == et
( ) .01lim
1
limlnlimlnlim 1
..====
∞→−∞→∞∞∞→∞→ nxnx
HR
nxx nxnxx
xxxf
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim 0lnlimln ==== ∞→
∞→∞→eeexf
xfxf
xxx
55. a)
b)
xxxxk
x k
k
HRk
kln
1ln1
1lnlim1lim
0
..
000=
⋅==
−→→
56. a) Il faudrait poser ( ) 10 =f .
x
y
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,5 1,5 2,5 321
( )xxy sin =
Exercices 3.4 page 543
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) ( )xx
xsinlim0+→
a la forme indéterminée 00 .
Posons ( ) ( )xxxf sin= . Alors ( ) ( ) ( ) ( )x
xxxxxf x
1sinlnsinlnsinlnln =⋅== et
( ) .010
sec2-lim
tan-lim
1-
cossin
1
lim1sinlnlim 20
,.
00
2
020
,.
0====
⋅=
++++ →→→∞∞→ xx
xx
x
xx
xx
x
HR
xx
HR
x
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0
lnlimln
0000 ===== +→
+++ →→→eeexfx
xfxf
xx
x
xx
c) La valeur maximale est voisine de 1 ; elle est obtenue pour une valeur de x
voisine de 1,57.
d) Trouvons la fonction dérivée de la fonction ( ) ( )xxxf sin= par la méthode de
dérivation logarithmique.
Si ( ) ( )xxxf sin= , alors ( ) ( ) ( )xxxxf x sinlnsinlnln == , de sorte que
( ) ( ) ( ) ( ) xx
xxxfxf
xfdxd cos
sin1sinln11ln ⋅⋅+⋅=′⋅= et
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln sin cot sin ln sin cotxf x f x x x x x x x x′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .
Dans l'intervalle [ ] ( )0, , π f x′ s'annule pour x voisin de 0,40, qui correspond à
un minimum relatif de la fonction ( ) ( )xxxf sin= , et pour x voisin de 1,57, qui
correspond à la valeur maximale de ( )xf recherchée.
2x
y'
1 3-1
-2
-3
-4
0,5 1,5 2,5
( )( )( )xxxxxy sincot sin ln +=′
544 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
e) ( ) ( ) ( ) ( )0 sin ln sin cot 0 ln sin cot 0xf x x x x x x x x′ ⎡ ⎤= ⇒ + = ⇒ + =⎣ ⎦ dans le voisinage
de 57,1=x , puisque ( )xxsin ne s'annule pas dans ce voisinage.
Procédons par la méthode de Newton d'approximation des zéros d'une fonction.
Posons ( ) ( )ln sin cotg x x x x= + .
Alors ( ) .csccot2csc-cot1cossin
1 22 xxxxxxxx
xg −=⋅+⋅+⋅=′
( ) 0=xg pour ( )( )
( )( )1 2
ln sin cot
2cot cscn n nn
n n nn n n n
x x xg xx x x
g x x x x+
+= − = −
′ −.
En posant 55,11 =x , nous trouvons 57122,12 =x , puis 57080,143 == xx .
Le zéro de ( )xf ′ est donc approximativement 1,57080.
f) ( ) ( )1,57 0,9 999 995 022 et 1,57 080 1f f≈ = , de sorte que 080 57,1=x donne la meilleure
estimation.
Exercices 3.5 page 545
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 3.5 - Intégrales impropres 1. a) L'intégrale est impropre parce qu'une des bornes d'intégration est infinie.
b) [ ] [ ]2
02
0tan tan limtan lim1
lim1 0
02
02
ππ=−=−==
+=
+ ∞→∞→∞→
∞
∫∫ arcbarcxarcx
dxx
dxb
bb
bb
[ ]2
02
0tan tan lim ππ=−=−=
→∞arcbarc
b
L'intégrale impropre converge.
c) 2π . 2. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en .0=x
b) ( )( ) 2212lim21
limlim0
121
0
1
0
1
0
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
+++ →→→ ∫∫ bxx
dxx
dxb
bb
bb
L'intégrale impropre converge.
c) 2 3. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en
.0=x
b) ∫ ∫∫ +=0
8-
1
03131
1
8-31 x
dxxdx
xdx
Or b
b
b
b
xxdx
xdx
8-
32
08-
310
0
8-31 2
3limlim-- ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
→→ ∫∫
( ) -6.60236
23lim8-
23
23lim 32
0
3232
0 --=−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
→→bb
bb
D'autre part, ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
→→
1
0
1321
031031 23limlim
++
cccc
xxdx
xdx
( ) .23023
23
23
23lim
231
23lim 32
0
3232
0 ++=⋅−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
→→cc
cc
546 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Finalement, .29-
23+-6
1
8-31 ==∫ x
dx
L'intégrale impropre converge.
c) 29- . 4. a) L'intégrale est impropre parce que les deux bornes d'intégration sont infinies.
b) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞
∞∞
∞ ++
+=
+
0
- 02222
-22 1
2
1
2
1
2
x
dxx
x
dxx
x
dxx
( ) ( )( )
-11
11-lim1
1-11-lim
1-1lim
1
2lim1
2
2-2-
01-2
-
0
-
0
22-22Or,
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
+=
+
∞→∞→
∞→∞
∞→∫ ∫
bb
x
x
dxx
x
dxx
bb
bb
bb
et ( ) ( )( ) 1.
11-
11-lim
1-1lim
1
2lim1
22
0
1-2
0 02222
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
+=
+ →∞→∞
∞
→∞∫ ∫ bx
x
x
x
dxxb
b
b
b
b
Ainsi, ( ) .011-1
2
-22
=+=+
∫∞
∞ x
dxx L'intégrale impropre converge.
c) 0 5. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en
.0=x
b) [ ] [ ] ∞=+===+++ →→→ ∫∫ b
bb
x
bb
x
b
x eeedxx
edxex 12ln1
0
2ln1
0
2ln
2
1
0
12ln
0
2- -lim-lim lim
L'intégrale impropre diverge.
c) L'intégrale impropre diverge.
Exercices 3.5 page 547
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en .0=x
b) ( )2 2
2
0 0 00
cot lim cot lim ln sin lim ln sin 2 ln sin 0π π
π
bb b bb
θ dθ θ dθ θ π b+ + +→ → →
⎡ ⎤= = = − = + ∞ = ∞⎣ ⎦∫ ∫ .
L'intégrale impropre diverge.
c) L'intégrale impropre diverge.
7. b
b
b
bx
xdx
xdx
1
0,001-
1001,1
1001,1 0,001-
1limlim ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
∞→
∞
∞→ ∫∫
100010000110001000-lim 001,0001,0 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +=
∞→ bb
8. ∫∫∫ +=1
032
0
1-32
1
1-32 x
dxxdx
xdx
[ ] [ ]( ) ( ) 60330
33lim33lim
31lim
31lim
limlim
31
0
31
0
131
01-
31
0
1
3201-
320
+-
+-
+-
=−++=
−++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+=
→→
→→
→→ ∫∫
cb
xx
xdx
xdx
cb
cc
b
b
cc
b
b
9. ( ) ( )[ ]bb
b
brdrr
rdr
021
40
21-4
04
42-lim4lim4 --
−=−=− →→ ∫∫
-4
lim -2 4 2 4 0 4 4b
r→
⎡ ⎤= − + = + =⎣ ⎦
10. 1001,0
0
1999,0-
0
1
0999,0 001,0
lim limb
bb
b
rdrrr
dr⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
++ →→ ∫∫
( )0,001
0lim 1000 1000 1000 0 1000
bb
+→= − = − =
548 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
11. [ ]bb
b
bxarc
x
dx
x
dx0
10
2
1
012
sin lim1
lim1 -- →→ ∫∫ =
−=
−
[ ]2
02
0sin sin lim-1
ππ=−=−=
→arcbarc
b
12. 2
-
2
2-
2
-2 2
tan 212lim
42lim
42
bb
bb
xarcdxx
dxx ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
+=
+ ∞→∞→∞
∫∫
-
- 3lim tan1 tan2 4 2 4b
b π π πarc arc→ ∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
13. ∫∫ −=
− ∞→∞
-2
2-
-2
-2 1
2lim1
2
bb x
dxx
dx
Or ( )( ) ,1111
21
22 +
+−
=+−
=− x
Bx
Axxx
d'où ( ) ( ) ( ) ( ).112 BAxBAxBxA −++=−++=
Nous avons .1et -1 ,22-où d' ,2et -où d' ,0 ====−==+ ABBBABABA
Il s'ensuit que dxxxx
dx
bb
1
11
1lim1
2 -2
-
-2
-2 ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=
− ∞→∞
-2 -2-2
- -
-2
- -
-
1 1lim lim ln 1 ln 1 1 1
1 1lim ln lim ln 3 ln +1 +1
1 1ln3 ln lim ln3 ln1 ln3.1 1
bb bb b
b bb
b
dx dx x xx x
x bx b
bb
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦− +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞−= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
∫ ∫
14. ∫∫ −=
− ∞→
∞ b
b ttdt
ttdt
22-
22
3lim 3
Or ( ) ,11
3 32 −
+=−
=− t
BtA
tttt d'où ( ) ( ).13 tBtA +−=
En assignant à t la valeur 0, nous obtenons -3.=A
En assignant à t la valeur 1, nous obtenons .3=B
Exercices 3.5 page 549
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que dttttt
dt b
b
133-lim 3
222 ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=
− ∞→
∞
2
2
lim -3ln 3ln 1
1 1 1lim 3ln lim 3ln 3ln2
1 1 1 1lim 3ln 3ln 3ln1 3ln1 2 2
1-3ln , 3ln 2.2
ou encore
b
b
b
b b
b
t t
t bt b
b
→∞
→∞ →∞
→∞
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
15. θθθ
θθθθ
θ ddb
2
1lim 2
1 1
020
1
02 ∫∫
+
+=
+
++→
Posons .22 θθ +=u Alors ( ) ( ) . 21 1et 1222 dud
ddu
=++=+= θθθθθ
De plus, 3=u
lorsque .0 lorsque 0et 1 === θθ u
[ ] .3033lim
2121lim
21lim 1
21
2
1 Ainsi,
0
321
0
321-
0
3
0
1
02
=−=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==+
+
++
+
→→
→ ∫∫∫
bu
duuduu
d
bb
b
bb
θθθ
θ
16. ∫∫−
+=
−
+→
b
bds
s
sdss
s
022
2
02
4
1lim 4
1-
( ) ( )
( )
( )
- -
- -
- -
- -
2 22 20 0
-1 2222 20 0
1 22
2 20
0
2
2 2
1lim lim 4 4
1 1lim 4 -2 lim -2 4
41lim - lim sin2 1 2 2
lim - 4 -2 lim sin sin 02
b b
b b
b b
b b
bb
b b
b b
s ds dss s
s s ds dss
s sarc
bb arc arc
→ →
→ →
→ →
→ →
= +− −
= − +−
⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )0 2 2 0 22ππ= + + − = +
550 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4
00 0 4 4
lim lim1 1 1 1 1
c
cbb
dx dx dx dx dxx x x x x x x x x x+
∞ ∞
→∞→= + = +
+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Posons .xu = Alors . 2et 2
1 dux
dxxdx
du==
Nous avons ( )
.tan 2tan 21
21 2 xarcuarc
udu
xxdx
==+
=+ ∫∫ (La constante d'intégration est
inutile ici puisque nous avons des bornes d'intégration.)
( )4 4
00
0
Ainsi, lim 2 tan lim 2 tan1
lim 2 tan 2 2 tan lim 2 tan 2 tan 2
2 tan 2 2 0 2 2 tan 2 .2
b bcb
cb
dx arc x arc xx x
arc arc b arc c arc
πarc arc π
+
+
∞
→∞→
→∞→
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − ⋅ + ⋅ − =
∫
18. ∫∫∫∞∞
−+
−=
− 22
2
12
12 111 xx
dx
xx
dx
xx
dx
[ ] [ ]
+
+
+
2
2 21 2
2
21
1
lim lim1 1
lim sec lim sec
lim sec2 sec lim sec sec2
03 2 3 2
c
cb b
c
b cb
cb
dx dx
x x x x
arc x arc x
arc arc b arc c arc
π π π π
→∞→
→∞→
→∞→
= +− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
19. [ ]22
12
2
112
seclim1
lim1
bb
bbsarc
ss
ds
ss
ds∫∫ ++ →→
=−
=−
( ) .3
03
sec2seclim1
ππ=−=−=
+→barcarc
b
Exercices 3.5 page 551
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. ∫∫ ++=
++ ∞→
∞ b
b
dd
1-2
1-2 65
lim65 θθ
θθθθ
Or ( )( ) ,3232
165
12 +
++
=++
=++ θθθθθθ
BA d'où ( ) ( ).231 +++= θθ BA
En assignant à θ la valeur -3, nous obtenons -1.=B
En assignant à θ la valeur -2, nous obtenons 1.=A
Il s'ensuit que θθθθθ
θ dd b
b
31
21lim
65 1-1-2 ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=
++ ∞→
∞
-1-1
2lim ln 2 ln 3 lim ln 3
2 1 1 2 1lim ln ln lim ln ln3 2 1 3 2
1 1ln1 ln -ln , ln 2.2 2
ou encore
bb
b b
b b
θθ θθ
b bb b
→∞ →∞
→∞ →∞
⎡ ⎤+⎡ ⎤= + − + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
21. ∫∫ −=
−
∞
∞→
b
bdv
vvdv
vv 22
22 2lim 2
Or ( ) ( ) ( ) ( ) .12où d' ,11
222 AvBAvBvA
vB
vA
vvvv−+=+−=
−+=
−=
−
Nous avons .2où d' ,0et -2où d' 2,- ==+== BBAAA
( )
2 22 2 2 2
22
2 2 2 2 lim lim - 1
1 lim -2ln 2ln 1 lim 2ln
1 lim 2ln 2ln 1 2
b b b
b b
bb
b b
b
dv dv dv dvv vv v v v
vv vv
bb
∞
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
⎡ ⎤= = +⎢ ⎥
−− − ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎡ ⎤= + − = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤−= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
∫ ∫ ∫ ∫
2
1 12ln lim 2ln 2 2ln1 2ln 21
0 2ln 2 2ln 2 ou encore ln 2 ou ln 4
b
b→∞
⎛ ⎞−+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + =
552 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
22. ∫∫ −=
− ∞→
∞ b
b tdt
tdt
22
22 1
2lim1
2
Or ( )( ) ,1111
21
22 −
++
=−+
=− t
Bt
Attt
d'où ( ) ( ).112 ++−= tBtA
En assignant à t la valeur -1, nous obtenons -1.=A
En assignant à t la valeur 1, nous obtenons 1.=B
Il s'ensuit que dtttt
dt b
b
11
11-lim
1 2
222 ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+=
− ∞→
∞
22
1lim -ln +1 ln 1 lim ln 1
1 1 1 1 1lim ln ln lim ln ln1 3 1 1 3
1 1ln1 ln -ln ln 3.3 3
ou
bb
b b
b b
tt tt
b bb b
→∞ →∞
→∞ →∞
⎡ ⎤−⎡ ⎤= + − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
23. bb
bb
sarcs
ds
s
ds
0022
2
022 2
sin lim4
lim4 -- ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
−=
−∫∫ →→
2
02
0sin 2
sin lim-2
ππ=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
→arcbarc
b
24. ∫∫−
=− →
b
b r
drr
r
drr
04
1
014 1
4lim1
4-
Posons .2ru = Alors drrdu 2= et ( )
( ),sin 2sin 21
21
221
4 22224
rarcuarcu
du
r
drr
r
drr==
−=
−=
−∫∫∫
d'où ( ) ( )- -
12 2
4 01 10
4 lim 2 sin lim 2 sin 2 sin 0 2 2 0 .21
b
b b
r dr πarc r arc b arc πr → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = ⋅ − ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦−∫
Exercices 3.5 page 553
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. ( )( ) ( )( )2 2
0 0
lim1 1 tan 1 1 tan
b
b
dv dvv arc v v arc v
∞
→∞=
+ + + +∫ ∫
Posons .tan 1 varcu += Alors .1
et 1
122 du
vdv
vdvdu
=++
=
Nous avons ( )( )2
1 ln ln 1 tan .1 1 tan
dv du u arc vuv arc v
= = = ++ +∫ ∫
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 20 0
0
Ainsi, lim1 1 tan 1 1 tan
lim ln 1 tan
lim ln 1 tan ln 1 tan 0
ln 1 2 ln1 ln 1 2 .
b
b
b
b
b
dv dvv arc v v arc v
arc v
arc v arc
π π
∞
→∞
→∞
→∞
=+ + + +
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦
= + − = +
∫ ∫
26. dxx
xarcb
dxx
xarc 1
tan 16lim
1tan 16 b
02
02 ∫∫ +∞→
=+
∞
( )
( ) ( )
( )
2
20 0
2 2
22 2
tan1lim16 tan lim1621
lim 8 tan 8 tan 0
8 8 0 22
bb
b b
b
arc xarc x dx
x
arc b arc
π π
→∞ →∞
→∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =
+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
27. ∫∫∫ →→+=
4
01-
4
1-0 +-
lim-
lim c
c
b
b xdx
xdx
xdx
- +
- +
4
-1 c0 0
0 0
lim -2 - lim 2
lim -2 - 2 1 lim 2 4 2
0 2 4 0 6
b
b c
b c
x x
b c
→ →
→ →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + − =
554 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
28. ∫∫∫ −+
−=
−
2
1
1
0
2
0 11 1 xdx
xdx
xdx
( ) ( )
[ ]40220
12lim121212-lim
211lim
211-lim
1lim
1lim
+-
+-
+-
11
221
10
21
1
2
10
1
=−++=
−−++−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=
−+
−=
→→
→→
→→ ∫∫
cb
xx
xdx
xdx
cb
cc
b
b
cc
b
b
29. θθθθ θθ dedeb
b ∫∫ ∞→∞
=0
-
0
-
lim
Posons . et θθ θ dedvu ==
Alors ,et θθ evddu == de sorte que θθθθθ θθθθθ eedeede −=−= ∫∫ et
θθθθ θθ dedeb
b ∫∫ ∞→∞
=0
-
0
-
lim
( )( )
0
- -
-- -
. .
--
lim lim 0 1
1-1 lim 1 -1 lim
1-1 lim -1 0 -1.-
θ θ b bbb b
bbb b
R H
bb
θe e be e
be be
e
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
∞ ∞ → ∞
⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦−
= − − = −
= − = − =
30. θθθθ θθ dedeb
b sin2lim sin2
0
-
0
- ∫∫ ∞→
∞
=
Posons . sinet 2 - θθθ ddveu == Alors ,cos-et 2- - θθθ == vdedu de sorte que
. cos2cos-2 sin2 --- θθθθθ θθθ deede ∫∫ −=
Dans l'intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons . coset 2 - θθθ ddveu ==
Exercices 3.5 page 555
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Alors .sinet 2- - θθθ == vdedu
[ ]θθθθθθ θθθθ deeede sin2sin2cos2 sin2 ---- ∫∫ +−= , d'où
θθθθ θθθ sin2cos2- sin22 --- eede −=∫ et .sincos- sin2 --- θθθθ θθθ eede −=∫
Il s'ensuit que [ ]bb
eede 0--
0
- sincos-lim sin2 θθθθ θθθ −=∞→
∞
∫
.01sincos-lim
0sin0cos-sincos-lim
sincos-lim
00
0
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
∞→
∞→
∞→
bbb
bbb
b
b
eb
eb
eeeb
eb
ee θθθθ
Comme ,1sin-1-et 1cos-1- ≤≤≤≤ bb et que ,01lim1-lim ==∞→∞→ bbbb ee
le théorème du sandwich assure
que 0cos-lim =∞→ bb e
b et que .0sin-lim =∞→ bb e
b Donc .10100 sin20
- =+++=∫∞
θθθ de
31. dxedxedxe xxx 0
-0
-
-
-
- ∫∫∫∞
∞
∞
∞
+=
dxe x 20
-
∫∞
−= (puisque xe- est une fonction paire ; voir page 64, exercice 85)
( )
0 0
- -
0 0
- -
2 lim 2 lim
2 lim 2 lim 2 1 0 2
x x
b bb b
x bbb b
e dx e dx
e e e
−
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
556 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
32. dxexdxexdxex xxx 2 2 20
-0
-
-
-
- 222
∫∫∫∞
∞
∞
∞
+=
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0- -
-0
0- -
- 0
- -
-
lim 2 lim 2
lim - lim -
-1+ lim lim - 1
-1 0 0 1 0
cx x
b cb
cx x
b cb
b c
b c
xe dx xe dx
e e
e e
→ ∞ →∞
→ ∞ →∞
→ ∞ →∞
= +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + + + =
∫ ∫
33. ∫∫ +→=
1
0
1
0
lnlim lnb
bdxxxdxxx
Posons . et ln dxxdvxu == Alors ,2
et 1 2xvdxx
du == de sorte que
4
ln2
2
ln2
ln222 xxxdxxxxdxxx −=−= ∫∫ et
1 1
00
12 2 2 2
0 0
2
20 0
. .
0
ln lim ln
1 1 lim ln lim ln1 ln2 4 2 4 2 4
1 1 ln - lim ln - lim4 2 4 2
1 1 - lim4 -4
b b
b bb
b b
R H
b
x x dx x x dx
x x b bx b
b bbb
b
+
+ +
+ +
+
→
→ →
→ →
∞ ∞ →
=
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= − = −
= −
∫ ∫
2
3 0
1 1 1- lim - +0 - .4 4 4 4b
bb +→
= − − = =
34. ( ) ( )dxxdxxb
ln-lim ln-0
1
0+→
=∫
Posons .et ln- dxdvxu == Alors ,et 1- xvdxx
du == de sorte que
( ) ∫∫ +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−= .ln- 1-ln- ln- xxxdx
xxxxdxx
Exercices 3.5 page 557
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que ( ) [ ]10
1
0
ln-lim ln- bb
xxxdxx +=+→∫
( ) [ ]
( )
0
0
. .
20 0
-1ln1 1 lim - ln
ln0 1 lim 0-1
11 lim 1 lim 1 0 1.1
b
b
R H
b b
b b b
bb
b bb
+
+
+ +
→
→
∞ ∞ → →
= + − +
⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − = − = − =
35. 2
00 02 2
sintan lim lim -ln cos cos
π bb
π πb b
θθ dθ θθ→ →
⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫2
lim -ln cos ln cos0 πb
b→
⎡ ⎤= + = ∞⎣ ⎦
L'intégrale impropre diverge. Note : Même si les tests de comparaison entre intégrales des pages 242 et 243 sont énoncés pour des intégrales impropres du premier type, il en existe de semblables pour les intégrales impropres du deuxième type. Nous y faisons appel dans certains des exercices qui suivent.
36. 2 2
2
0 00
coscot lim lim ln sin sin
π ππ
bb bb
θθ dθ dθ θθ+ +→ →
⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫
( ) ∞=∞−=−=+→
-0 sin lnlim 2sin ln0
bb
π
L'intégrale impropre diverge.
37. Posons .θπ −=x Alors πθ == xddx ,- lorsque 0et 0 == xθ lorsque .πθ =
De plus ( ) ,sinsinsin x=−= θπθ de sorte que 0
0 0
sin sin sin- .π π
π
θ dθ x xdx dxπ θ x x
= =−∫ ∫ ∫
Comme 1sin0 ≤≤ x pour tout ,0 π≤≤ x nous avons .1sin0xx
x≤≤
558 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or 0 0 00
1 1 lim lim 2 lim 2 2 2 ,π π π
bb b bb
dx dx x π b πx x+ + +→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ de sorte que cette
intégrale impropre converge.
Il s'ensuit que dxxx sin
0∫π
converge par le test de comparaison directe entre intégrales.
38. Posons .2θπ −=x Alors 02-et 22- , 2- =⇒==⇒== xxddx πθππθθ
Finalement, .22x
−=πθ
Ainsi, ( )
. 2
2sin
2
22cos
2
22cos-
2 cos 2
031
2
031
0
231
2
2-31 dx
x
x
dxx
x
dxx
xd
∫∫∫∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=−
ππ
π
π
π
ππ
θπθθ
Comme ( ) 12sin0 ≤≤ x pour tout ,20 π≤≤ x nous avons ( ) .2
12
2sin0 3131 xxx
≤≤
Or πππ 232
0
2
310
2
031 322
lim 2
1lim 2
1
bb
bb
xdxx
dxx ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
==++ →→ ∫∫
( ) ( ) ,243
43lim2
43 3232
0
32 ππ =−=+→
bb
de sorte que dxx
12
031∫
π
converge.
Il s'ensuit que ( )( )∫∫ −
=2
2-31
2
031 2
cos 2
2sin π
π
π
θπθθ ddx
xx converge par le test de comparaison directe
entre intégrales.
39. ∫∫ ∫ +→==
2ln
2
1-2ln
00
2ln
02
1-1-2- lim
b
x
b
xx dx
xedx
xedxex
( )ln 2-1 -1 ln 2 -1 -1 ln 2 -1 ln 2
0 0lim lim 0x b
bb be e e e e
+ +→ →⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦
L'intégrale impropre converge.
Exercices 3.5 page 559
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
40. ∫∫∫ ++ →→==
1 -
0
1 -
0
1
0
-
2-
2-lim lim b
x
bb
x
b
x
dxx
edxx
edxx
e
1- -1 -
0 0lim -2 -2 2 lim
-2 2.
x b
b bbe e e
e
+ +→ →⎡ ⎤= = +⎣ ⎦
= +
L'intégrale impropre converge. 41. Pour ,0sin ,0 ≥≤< tt π de sorte que ttt ≥+ sin et, puisque chaque membre de l'inégalité
est positif .1sin
10ttt
≤+
≤
De plus, ∫π
0 tdt converge (voir l'exercice 37).
Il s'ensuit que ∫ +
π
0 sin ttdt converge par le test de comparaison directe entre intégrales.
42. ∫ ∫ −=
− +→
1
0
1
0 sinlim
sin bb tt
dttt
dt
Posons ( ) ( ) .1et sin1
3ttg
tttf =
−=
Alors, ( )( ) .6
cos6lim
sin6lim
cos13lim
sinlimlim
0
..
000
..
00
2
0
..
00
3
00===
−=
−=
→→→→→ ttt
tt
ttt
tgtf
t
HR
t
HR
t
HR
tt
Mais ,2
1-lim21-
21-lim lim 20
1
20
1
0
13-
03 ∞=−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==
+++ →→→∫ ∫ btdtt
tdt
bbbb
b d'où cette intégrale impropre diverge.
Il s'ensuit que ∫ −
1
0 sin ttdt diverge par le test de comparaison entre intégrales par une limite.
560 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
43. ∫ ∫ ∫ −+
−=
−
2
0
1
0
2
1222 111 x
dxx
dxx
dx
Or ( )( ) ,1111
11
12 x
Bx
Axxx +
+−
=+−
=−
de sorte que ( ) ( ) ( ) ( ).111 BAxBAxBxA ++−=−++=
Nous avons .21et 21 ,1où d' ,1et ,où d' ,0 ===+=+==− ABBBBABABA
1
2 21 10 0 0 0
1 0
10
1 1Ainsi, lim lim2 1 2 11 1
1 1 lim - ln 1 ln 1 2 2
1 1 lim ln 2 1
b b b
b b
b
b
b
b
dx dx dx dxx xx x
x x
xx
− −
−
−
→ →
→
→
⎡ ⎤= = +⎢ ⎥
− +− − ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
1
1 1 lim ln ln1 .2 1b
bb−→
⎡ ⎤+= − = ∞⎢ ⎥−⎣ ⎦
L'intégrale ∫ −
1
021 x
dx diverge donc, d'où ∫∫∫ −+
−=
−
2
12
1
02
2
02 111 x
dxx
dxx
dx diverge aussi (voir la page 233).
44. ∫∫∫ −+
−=
−
2
1
1
0
2
0 111 xdx
xdx
xdx
Or ( ) ( )- - -
1
01 1 10 0
lim lim -ln 1 lim -ln 1 ln1 ,1 1
bb
b b b
dx dx x bx x→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − + = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −∫ ∫ d'où cette intégrale impropre
diverge.
Il s'ensuit que ∫ −
2
0 1 xdx diverge aussi.
Exercices 3.5 page 561
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45. dxxdxxdxx ln ln ln1
0
0
1-
1
1-∫∫∫ +=
∫∫
∫
+→=
=
1
0
1
0
1
0
. lnlim2 ln2=
paire)fonction uneest ln (puisque ln2
bb
dxxdxx
xdxx
Posons .et ln dxdvxu == Alors ,et 1 xvdxx
du == d'où
[ ]
[ ]
( )
1 11
0-1
1
0
0
0
ln 2 lim ln
2 lim ln
2 lim 1ln1 1 ln
2 -1 lim ln .
bb b
bb
b
b
x dx x x dx
x x x
b b b
b b
+
+
+
+
→
→
→
→
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
Or .0lim1-1lim
1lnlimlnlim
020
..
00=−===
++++ →→∞∞→→b
bb
bbbb
bb
HR
bb
Nous avons donc [ ]1
-1
ln 2 -1 0 -2.x dx = − =∫
L'intégrale impropre converge.
46. ( )1 0 1
-1 -1 0
- ln - ln - - ln x x dx x x dx x x dx⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .
Intégrons par parties. Posons ( ) dxxdvxu -et -ln == dans la première intégrale du membre de
droite. Alors .2
-et 1 -1-1 2xvdx
xdx
xdu ==⋅=
Ainsi, ( ) ( ) ( ) .4
-ln2
- 12
--ln2
- -ln-2222 xxxdx
xxxxdxxx +=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅= ∫∫
Dans la deuxième intégrale, , -et ln dxxdvxu == d'où ,2
-et 1 2xvdxx
du == , de sorte que
.4
ln2
- 12
-ln2
- ln-2222 xxxdx
xxxxdxxx +=⋅−= ∫∫
562 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Nous avons ( )- +
1 1
0 0-1 -1
- ln lim - ln - lim - ln b
b c c
x x dx x x dx x x dx→ →
⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ ∫
( )
( ) .4
ln2
-lim410
410
4-ln
2-lim
4ln
2-lim
4-ln
2-lim
22
0
22
0
122
01-
22
0
+-
+-
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
→→
→→
cccbbb
xxxxxx
cb
cc
b
b
Or ( ) ( ) .04
lim41lim
2--lnlim-ln
2-lim
2
030
..
20
2
0 ----====
→→∞∞→→
bbb
bbbb
bb
HR
bb
Par un raisonnement analogue, il peut être démontré que ( ) .0ln2
-lim2
0=
+→cc
c
Nous obtenons finalement (enfin !)
( ) ( ) .000410
41000 ln-
1
1-
=+−++−−+=∫ dxxx
Mise en garde : Même si la fonction ( ) ln- xxxf = est une fonction impaire, nous ne pouvons
appliquer ici la propriété ( )∫ =a
a
dxxf-
0 sans nous assurer d'abord que les intégrales impropres
( ) ( )dxxfdxxfa
a
et 0
0
-∫∫ sont convergentes.
47. ,1et 1pour 0 333 xxxx ≥+∞<≤> de sorte que .11
10 33 xx≤
+≤ Or ∫
∞
13x
dx converge (voir
l'exemple 4, page 231). Par conséquent ∫∞
+13 1xdx converge aussi selon le test de comparaison
directe entre intégrales (voir la page 242).
48. 01 >−x pour ,1et 4 xxx ≤−∞<≤ de sorte que .11
1xx
≥−
Or [ ] ,422lim21
lim 1lim 1
4
21
44
∞=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
→∞→∞→∞
∞
∫∫ bxdxx
dxx b
b
b
b
b de sorte que cette intégrale impropre
diverge.
Exercices 3.5 page 563
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent, l'intégrale impropre ∫∞
−4 1xdx diverge aussi selon le test de comparaison directe
entre intégrales.
49. 2
2 2
lim lim 2 lim 2 2 2b b
b b b
dv dv v vv v
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Donc cette intégrale impropre diverge.
De plus, ,111
1lim11
lim1
lim11
1
lim =−
=−
=−
=−→∞→∞→∞→∞ vvv
vv
v
v
vvvvv
de sorte que
dvv
1
1
2∫∞
− diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la
page 237).
50. ,24
44-lim21-
2lim 2lim 2
4
21-
423
423 =−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
∞→∞→∞→
∞
∫∫ bt
tdt
tdt
b
b
b
b
b d'où cette intégrale impropre converge.
De plus, ( ) 101
111
lim21
2lim21
2
lim 2323
2323
23
23
23=
−=
−=⋅
−=−
∞→∞→∞→ tttt
tt
tttt
, de sorte que ∫∞
−423 1 2
tdt
converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.
51. ∫ ∫ ∫ ∫∫∞ ∞∞
++
<+
++
=+
1
0 1
1
0 13666
06 1111 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx puisque ,1 366 xxx =>+ de sorte que
.1
1
136 xx
<+
Or ,01
1
06∫ ≥
+x
dx puisque la fonction [ ]0,1sur 01
16
≥+x
(voir l'exercice 28, page 28).
564 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De plus, [ ],0,1 intervallel'sur 11
16
≤+x
d'où ( )∫ =−⋅≤+
1
06
10111x
dx selon l'inégalité max-min pour
les intégrales définies (voir la page 23). Donc, ∫+
1
06 1x
dx est comprise entre 0 et 1.
Finalement, 21
131 1
13 =
−=∫
∞
dxx
(voir l'exercice 4 page 237) de sorte que
∫∞
=+<+
<0
6 23
211
10
x
dx et qu'elle converge.
52. [ ] [ ] ,2lnlnlimlnlim 1lim 12
22
∞=−===→∞→∞→∞
∞
∫∫ bxdxx
dxx b
b
b
b
b d'où cette intégrale impropre diverge.
De plus, ,111
1lim11
lim1
lim11
1
lim222
2=
−=
−=
−=−
∞→∞→∞→∞→ xxx
x
x
x
x
xxxxx
de sorte que
∫∞
−22 1
x
dx diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.
53. 21
23
1 1 1
231
2 =−
== ∫∫∞∞
dxx
dxx
x (voir l'exercice 4 p. 237)
Donc cette intégrale impropre converge.
De plus, ,111
1lim11
lim1
lim1
lim
2
2=
+=
+=
+=
+ ∞→∞→∞→∞→
xxx
xx
x
xxx
x
xxxx de sorte que
dxxx 1
12∫
∞ + converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la
page 243).
Exercices 3.5 page 565
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
54. [ ] [ ]2 242 2 2
1 lim lim lim ln lim ln ln 2 ,b b
b
b b b b
x dx x dx dx x bxxx
∞
→∞ →∞ →∞ →∞= = = = − = ∞∫ ∫ ∫ d'où cette intégrale
impropre diverge.
De plus, ,111
1lim11
lim1
lim1
1
lim442
2
4
4
4
4=
−=
−=
−=−
→∞→∞→∞→∞ xxx
x
x
x
x
xx
xxxx de sorte que
∫∞
−24 1
x
dxx diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.
55. .pour 012coset 12cosoù d' -1,cos π≥≥≥+
≥+≥ xxx
xxx
Or [ ] [ ]lim lim ln lim ln ln ,b
bπb b b
π π
dx dx x b πx x
∞
→∞ →∞ →∞= = = − = ∞∫ ∫ d'où cette intégrale impropre diverge.
Il en résulte que dxx
x cos2∫∞ +
π
diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales
(voir la page 236).
56. ,1sin1- ≤≤ x d'où 222sin10et 2sin10xx
xx ≤+
≤≤+≤ pour .π≥x
Or ,22022-lim2-lim 2lim 222 ππππππ
=+=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
∞→∞→∞→
∞
∫∫ bxdx
xdx
x b
b
b
b
b d'où cette intégrale
impropre converge. Il en résulte que dxx
x sin12∫
∞ +
π
converge aussi selon le test de comparaison
directe entre intégrales.
57. 0et 1 ≥≥+ θθθ eee pour tout .11
10où d' , θθθee
≤+
≤
Or - - - 00
0 0
lim lim - lim - 0 1 1b bθ θ b
θ b b b
dθ e dθ e e ee
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ , de sorte que cette intégrale
impropre converge.
566 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que θθ de
1
1
0∫∞
+ converge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales
(voir la page 236).
58. xx
xxx 1ln10et ln >⇒>< .
Or [ ] [ ]22 2
1 1 lim lim ln lim ln ln 2 ,b
b
b b bdx dx x b
x x
∞
→∞ →∞ →∞= = = − = ∞∫ ∫ d'où cette intégrale impropre diverge.
Il en résulte que dxx
ln1
2∫∞
diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales.
59. ,1pour 1 >≥ xex de sorte que .10x
ex
x
≤≤
Or ∫∞
1 xdx diverge (voir l'exemple 4 pages 231 et 232), de sorte que ∫
∞
1
dxx
ex
diverge aussi selon le
test de comparaison directe entre intégrales (voir la page 236). 60. Posons ,ln xy = d'où .yex = Alors .et , ∞→⇒∞→=⇒== yxeyexdyedx ey
Ainsi, ( ) . ln lnlne
dyeydxxe
y
e∫∫∞∞
=
Comme 0lnet 1 >> ye y pour .0lnln , >>≥ yyeey y
Or [ ]ln lim ln lim lnb
beb b
e e
y dy y dy y y y∞
→∞ →∞= = −∫ ∫ (voir l'exemple 7 page197)
[ ] ( )
( ) ( )
lim ln
lim ln 1 lim lim ln 1 ,b
b b b
b b b e e
b b b b→∞
→∞ →∞ →∞
= − − −
⎡ ⎤= − = ⋅ − = ∞⎣ ⎦
d'où cette intégrale impropre diverge. Il en résulte que ( )dxxdyeye
y
e
lnln lne∫∫∞∞
= diverge aussi,
selon le test de comparaison directe entre intégrales.
Exercices 3.5 page 567
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
61. - 2 - 2 - 2 -1 2 -1 21
1 1
2lim lim -2 lim -2 2 0 2 ,b bx x b
x b b b
dx e dx e e e eee
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ d'où cette intégrale
impropre converge.
De plus, ,101
1
1
1lim1
limlim1
1
lim =−
=−
=−
=−
=−∞→∞→∞→∞→
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
ex
exe
e
xe
e
e
xe
puisque .01limlim..
==∞→∞∞∞→ xx
HR
xx eex
Il s'ensuit que ∫∞
−1 xe
dxx
converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par
une limite (voir la page 243).
62. ∫∞
1xe
dx converge (voir la solution de l'exercice 61).
De plus, ,101
1
21
1lim21
lim2
lim1
2
1
lim =−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=−
=−∞→∞→∞→∞→ xxx
x
x
xx
x
x
x
xx
x
eee
e
xe
e
e
e
car .02lim12=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇒<
∞→
x
x ee Il s'ensuit que dx
e xx
2
1
1∫∞
− converge aussi selon le test de
comparaison entre intégrales par une limite.
63. ∫∫∞∞
∞ +=
+ 04
-4 1
21 x
dx
x
dx (puisque 1
14 +x
est une fonction paire).
Par ailleurs, ,1111
1
0 1
1
0 12444
04 ∫ ∫ ∫ ∫∫
∞ ∞∞
++
<+
++
=+ x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx puisque ,1 244 xxx =>+
de sorte que .1
1
124 xx
<+
568 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or ,01
1
04
≥+
∫x
dx puisque la fonction [ ]1,0sur 01
14
≥+x
(voir l'exercice 28, page 28).
De plus, [ ]1,0 intervallel'sur 11
14
≤+x
d'où ( ) 10111
1
04
=−⋅≤+
∫x
dx selon l'inégalité max-
min pour les intégrales définies (voir la page 23).
Donc, ∫+
1
04 1x
dx est comprise entre 0 et 1.
Finalement, 112
1 1
12 =
−=∫
∞
dxx
(voir l'exercice 4, page 237), de sorte que
2111
00
4=+<
+< ∫
∞
x
dx et que ,4221
0-
4=×<
+< ∫
∞
∞ x
dx et que cette intégrale impropre
converge.
64. Comme xx ee -1+
est une fonction paire, ∫∫∞∞
∞ +=
+ 0-
-- 2 xxxx ee
dxee
dx à condition que
∫∞
+0-xx ee
dx converge.
,0- >>+ xxx eee de sorte que .110 - xxx eee<
+<
De plus, -00
0 0
1 1 -1 1 lim lim - lim 0 1 1.b bx
x x bb b bdx dx e
e e e e
∞
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎡ ⎤= = = + = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Il s'ensuit que ∫∞
+0-xx ee
dx converge aussi selon le test de comparaison directe entre
intégrales, ce qui entraîne aussi la convergence de .2-
-0
- ∫∫∞
∞
∞
+=
+ xxxx eedx
eedx
65. a) Posons .ln xt = Alors ,1xdx
dt= de sorte que .1 dtdx
x= De plus, 0=t lorsque
2lnet 1 == tx lorsque .2=x
Exercices 3.5 page 569
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ∫∫∫ +→
==2ln
-
0
2ln
0
2
1
lim 1ln
Ainsi,b
p
bpp dttdttxx
dx
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=−−
→
+
→ ++ pb
ppt pp
bb
p
b 112lnlim
1-lim
11
0
2ln1-
0 pour 1≠p .
Or .1pour -1
limet 1pour 01
lim1
0
1
0>∞=
−<=
−
−
→
−
→ ++p
pbp
pb p
b
p
b
Finalement, pour [ ] ( )ln 2
ln 200 00
11, lim ln lim ln ln 2 ln -b b
p dt t bt + +→ →
⎡ ⎤= = = − = ∞⎣ ⎦∫ , d'où
l'intégrale diverge.
Par conséquent, ( )∫
2
1 ln pxxdx converge pour 1<p et diverge pour 1≥p .
b) Comme en a), nous posons .ln xt =
( ) ∫∫∫ ∞→
∞∞
==b
p
bpp dttdttxx
dx
2ln
-
2ln2
lim 1ln
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=−−
→∞
+
→∞ ppb
pt pp
b
bp
b 12ln
1lim
1-lim
11
2ln
1-
pour 1≠p .
Or .1pour 01
limet 1pour 1
lim11
>=−
<∞=−
−
→∞
−
→∞p
pbp
pb p
b
p
b
Finalement, pour [ ] [ ]ln 2ln 2
11, lim ln lim ln ln 2 ,b
b bp dt t b
t
∞
→∞ →∞= = = − = ∞∫ d'où
l'intégrale diverge.
Par conséquent, ( )∫
∞
2 ln pxxdx converge pour 1>p et diverge pour .1≤p
66. ( ) ( )2 22 2 0
0 0
2 2 lim lim ln 1 lim ln 1 ln11 1
b b
b b b
x dx x dx x bx x
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +∫ ∫
Il s'ensuit que ∫∞
∞ +-2 1 2
xdxx diverge par la définition 3.6.1, 3e cas.
Cependant, ( ) ( ) ( )2 2 22 -
-
2 lim lim ln 1 lim ln 1 ln 1 lim 0 0.1
b b
b b b bbb
x dx x b bx→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + − + = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦+∫
570 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
67. - - - 00
0 0
lim lim - lim - 0 1 1b bx x x b
b b bA e dx e dx e e e
∞−
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
68. Méthode des tubes :
[ ][ ]
. 2lim
2
du tubehauteur du tube ncecirconfére
0
-
0
-
dxex
dxex
dxV
bx
b
x
∫
∫
∫
∞→
∞
=
=
=
π
π
Évaluons dxex x -∫ par parties.
Posons . et - dxedvxu x==
Alors ,-et -xevdxdu == de sorte que .- -- ----- xxxxx eexdxeexdxex −=−= ∫∫
( )( )( )
- -0
- -
lim 2 -
2 lim - 0 1
2 0 0 0 1 2 ,
Doncbx x
b
b b
b
V π xe e
π be e
π π
→∞
→∞
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦
= − − + =
puisque .01-lim-lim-lim..
- ===∞→∞∞∞→∞→ bb
HR
bb
b
b eebeb
69. ( )[ ] ( ) dxedxxRVb
x
b lim
0
2-
0
2 ∫∫ ∞→
∞
== ππ
b
x
b
bx
bedxe
0
2-
0
2-
21-lim lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
∞→∞→ ∫ ππ
22
1021
21-lim 02 πππ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ += −
∞→ee b
b
Exercices 3.5 page 571
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
70. ( )∫ −=2
0
tansecπ
dxxxA
( )-
-
-
-
-
2 0
02
20
02
2
lim sec tan
lim ln sec tan ln sec
sec tanlim ln sec
lim ln 1 sin
lim ln 1 sin ln 1 sin 0 ln 2
b
b π
b
b π
b
b π
b
b π
b π
x x dx
x x x
x xx
x
b
→
→
→
→
→
= −
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤+= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦
∫
71. ∫∫∫∞∞∞
−−
≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
− 333 2 1
21
xdx
xdxdx
xx. En effet, l'intégrale à la gauche du signe ≠ converge, alors
que chacune des intégrales à droite diverge.
72. a) ( ) ( ) ( ) , --
dxxfdxxfdxxfb
a
ab
∫∫∫ +=∞∞
( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxfb
a
b
aab
et ∫∫∫∫ −=∞∞
existe puisque ( )xf est intégrable sur tout
intervalle [ ]. , ba
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfa
b
a
b
a
a
a
a
--
∫∫∫∫∫∫∞
∞
∞
∞
+−+=+
( ) ( ) ( )
( ) ( )dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
b
ba
a
b
b
-
-
∫∫
∫∫∫∞
∞
∞
∞
+=
++=
1
xy sec =
2π
xy tan =x
y
572 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
73. a) 9-9-9-3-
3
3-
3
3-
3
3-
31
310
31
31-lim
31-lim lim eeeeedxedxe b
b
bx
b
bx
b
x =+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==
∞→∞→∞→
∞
∫∫
000042,00000411,0 <≈ .
Si ,3>x alors ,et 3- ,3 3--22 2 xx eexxxx ≤<−> de sorte que
.000042,0 3 3
3-- 2<<∫ ∫
∞ ∞
dxedxe xx
Comme , 3
-
0
3
0
-- 222
∫∫ ∫∞∞
+= dxedxedxe xxx l'intégrale ∫∞
0
- 2
dxe x peut être remplacée par
dxe x 3
0
- 2
∫ sans que l'erreur introduite soit plus grande que 0,000042.
b) .88621,0 3
0
- 2≈∫ dxe x
Exercices réalisés avec Mathématica
74. Fonction sinus intégral
a) [ ] [ ]x
0
Sin tSI x : = dt
t∫
[ ] { } { } { }
[ ] { } { }
[ ] [ ] { } { } { }
Sin tTracer , t, 0, 25 , Style bleu , Image -0.3, 1
t
Tracer SI x , x, 0, 25 , Style vert
Sin xTracer , SI x , x, 0, 25 , Style bleu, vert , Image -0.3, 2
x
⎡ ⎤→ →⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪→ →⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
b) [ ] dt t
tSin0∫∞
[ ] { } { }⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ vertrouge,Style ,50 0, x, ,xSI ,
2Tracer π
Exercices 3.5 page 573
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
75. Fonction erreur
a) Cette fonction est déjà offerte dans Mathématica sous le nom [ ].xErf
[ ]
[ ] { } { }
2-tx
0
2F x_ : = dt
Tracer F x , x, 0, 25 , Image 0, 1.25
eπ
⎡ ⎤→⎣ ⎦
∫
b) dt 20
-t2
∫∞
πe
[ ][ ]
[ ]x
Erf 0
Erf
lim F x→∞
∞
76. a) [ ]2-x
21f x_ : = 2
eπ
[ ] { }[ ]
[ ][ ]{ }
Tracer f x , x, -3, 3
Croissance = Résous f x 0, x
Décroissance = Résous f x 0, x
Maximum - 0, f 0
⎡ ⎤⎣ ⎦
′⎡ ⎤>⎣ ⎦
′⎡ ⎤<⎣ ⎦
b) [ ] { }n
-nValeursDemandées = Table f x dx, n, 1, 3⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦∫
[ ]andéesValeursDemN Explorer les intégrales de [ ]xLogpx
77. [ ] { }⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∫
e
0p 3 3,- p, dx, xLogxTable
[ ]
[ ] { } { } { }
{ }
p0
p
x Log x dx
Tracer Table x Log x , p, -3, 3 , x, 0, , Image -2, 2 ,
Style rouge, vert, bleu, jaune, noir, cyan, rouge
e
e⎡ ⎡ ⎤ →⎣ ⎦⎣
⎤→ ⎦
∫
574 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
78. [ ] { }pTable x Log x dx, p, -3, 3e
∞⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫
[ ]
[ ] { } { }
{ } { }
p
p
x Log x dx
Tracer Table x Log x , p, -1, 1, 0.5 , x, e, 10 ,
Image 0, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir
e
∞
⎡ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣
⎤→ → ⎦
∫
79. [ ] { }p0
Table x Log x dx, p, -3, 3∞⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦∫
[ ]
[ ] { } { }
{ } { }
p0
p
x Log x dx
Tracer Table x Log x , p, -2, 2 , x, 0, 5 ,
Image -5, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir
∞
⎡ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣
⎤→ → ⎦
∫
80. [ ] { }p-
Table x Log Abs x dx, p, -3, 3∞
∞⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫
[ ]
[ ] { } { }
{ } { }
p-
p
x Log Abs x dx
Tracer Table x Log Abs x , p, -2, 2 , x, -5, 5 ,
Image -5, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir
∞
∞⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣
⎤→ → ⎦
∫
Exercices réalisés avec Maple 6
74. a) Commandes Maple
f:=unapply(int(sin(t)/t,t=0..x),x):
Exercices 3.5 page 575
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Commande Maple
Limit(Int(sin(t)/t,t=0..x),x=infinity)=limit(int(sin(t)/t,t=0..x),x=infinity);
= lim → x ∞
d⌠
⌡
⎮⎮⎮⎮0
x( )sin tt t
12 π b
75. a)
b)
76. a)
b)
c)
et = lim
→ b ∞d⌠
⌡⎮⎮
b
∞
e( )− /1 2 x
x 0
= l i m → x ∞
d ⌠
⌡
⎮ ⎮⎮⎮⎮⎮ 0
x
2 e ( ) − t 2
π t 1
= d ⌠
⌡ ⎮ - 1
1 f x . 6 8 2 6 8 = d⌠
⌡ ⎮ - 2
2
f x .95450 = d⌠⌡⎮-3
3
f x .99730
576 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
77. Commandes Maple
seq(["p "=p/2,Int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);
seq(["p"=-p/2,Int(x^(-p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(- p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫∫
ee
edxxxedxxx0
2
0
23
41 ln ,1"p"
92 ln ,
21"p"
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫∫
ee
edxxxedxxx0
32
0
2523
92 ln ,2"p"
256 ln ,
23"p"
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫∫
ee
dxxxedx
xx
00
21 - ln ,1-"p"2- ln ,21-"p"
( )
( )( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
ee
dxx
xdxx
x
02
023 - ln ,2-"p"- ln ,
23-"p"
L’intégrale ∫e
p dxxx0
ln converge pour des valeurs de ] [∞∈ 1,-p
78. ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
e
ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx
e
( ) ( ) ( )3 2 23"p" , ln "p" 2, ln 2 e e
x x dx x x dx∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = ∞ ⋅ = = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
e
ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx
e
( ) ( ) ( )3 2 23"p" , ln "p" 2, ln 2 e e
x x dx x x dx∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = ∞ ⋅ = = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
L’intégrale ∫∞
e
p xdxx ln converge pour des valeurs de ] [1- ,- ∞∈p
Exercices 3.5 page 577
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
79. ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
00
23 ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
0
2
0
23 ln ,2"p" ln ,23"p" dxxxdxxx
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
00
ln ,1-"p" ln ,21-"p" undefineddx
xxdx
xx
( )
( )( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞==⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∞== ∫∫
∞∞
02
023 - ln ,2-"p"- ln ,
23-"p" dx
xxdx
xx
L’intégrale ∫∞
0
ln dxxx p ne converge pas.
80. Graphiques de l’intégrande pour différentes valeurs de p
578 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices récapitulatifs
1. Posons .94 2 −= xu Alors . 81 et 8 dudxxdxxdu ==
( )3 2 3 22 1 2 21 1 14 9 4 9
8 8 3 2 12ux x dx u du C x C− = = + = − +∫ ∫
2. Posons .12 += xu Alors . 21et 2 ,
21 dudxdxduux ==
−=
( )
( ) ( )
1 2 1 2 3 2 1 2
5 2 3 2
5 2 3 2
1 1 12 1 2 2 4
14 5 2 3 2
2 1 2 110 6
ux x dx u du u du u du
u u C
x xC
−⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ += − +
∫ ∫ ∫ ∫
3. Posons .18 2 += xu Alors . 161 et 16 dudxxdxxdu ==
CxCuduux
dxx++=+⋅==
+∫∫ 18
81
21161
161
18
221
21-2
4. Posons .25 2yu += Alors . 21 et 2 dudyydyydu ==
( ) CyCuduuy
dyy++=+==
+∫ ∫ 22 25ln
21 ln
21 1
21
25
5. Posons .49 4tu −= Alors . 161- et 16- 33 dudttdttdu ==
CtCuduut
dtt+−=+==
−∫∫ 4
2121-
4
3
4981-
21161-
161-
49
Exercices récapitulatifs page 579
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. Posons .135 += zu Alors . 53 et
35 3232 dudzzdzzdu ==
( )
( )
5 32 32 3 5 3 2 3
5 35 3
3 31 5 5 5 39 125
uz z dz u du C
z C
+ = = +
= + +
∫ ∫
7. Posons .2cos1 θ−=u Alors ( ) . 21 2sinet 22sin dudddu =⋅= θθθθ
( ) ( )
-1-2
2sin 2 1 1 1 -
2 2 -1 2 1 cos21 cos2θ dθ uu du C C
θθ= = + = +
−−∫ ∫
8. Posons .2sin1 tu += Alors . 21 2coset 2cos2 dudttdttdu ==
cos2 1 1 1 ln 1 sin 2 2 2
1 ln 1 sin 2 2
t dt du u Ct u
t C
= = ++
= + +
∫ ∫
9. Posons .2cos xu = Alors ( ) . 21- 2sinet 22sin- dudxxdxxdu =⋅=
CeCeduedxex xuux +=+== ∫∫ 2cos2cos
21-
21-
21- 2sin
10. Posons .θeu = Alors . θθ dedu =
( ) ( ) CeCuduudee +=+==∫∫ θθθ θ tantan sec sec 22 . 11. Posons .1−= xu Alors .dxdu =
CCdudxxu
ux +=+==−
− ∫∫ 2ln2
2ln2 2 2
11 .
580 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
12. Posons .lnvu = Alors . 1 dvv
du =
CvCuduuvv
dv+=+== ∫∫ ln ln ln 1
ln
13. Posons .tan 2 xarcu += Alors . 1
12 dx
xdu
+=
( )( )2
1 ln ln 2 tan 1 2 tan
dx du u C arc x Cux arc x
= = + = + ++ +∫ ∫
14. Posons .2xu = Alors . 2 dxdu =
CxarcCuarcu
du
x
dx+=+=
−=
−∫∫ 2sin sin
141
222
15. ∫∫∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=− 2
22
431
41
169116916
t
dt
t
dt
t
dt
Posons .43 tu = Alors dtdudtdu
41
31et
43
==
CtarcCuarcduut
dt+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
−=
−∫ ∫ 4
3sin 31sin
31
1
131
916 22
16. .
91
91
9 22 ∫∫+
=+ t
dtt
dt Posons .3tu = Alors . 3et
31 dudtdtdu ==
CtarcCuarcu
dut
dt+=+=
+=
+ ∫∫ 3tan
31tan
31
1 3
91
9 22
17. ∫∫∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=− 2
222
5425
4
2516255
4
16255
4
xx
dx
xx
dx
xx
dx
CxarcCxarc +=+⋅= 4
5 sec51
54 sec
45
254
Exercices récapitulatifs page 581
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
18. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 24 3 - 4 3 - 4 4 1 - 2 1 1 2x x x x x x x x⎡ ⎤− − = − + = − + − = − − = − −⎣ ⎦
Posons .2−= xu Alors .dxdu =
( )
( )∫∫ ∫ +−=+=−
=−−
=−−
CxarcCuarcu
du
x
dx
xx
dx 2sin sin 12134 222
19. ( ) 4244484 222 +−=++−=+− yyyyy
Posons .2−= yu Alors .dydu =
( )
CyarcCuarcu
duy
dyyy
dy+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
+−=
+− ∫∫∫ 22tan
21
2tan
21
24284 2222
20. ( ) 111122 222 −+=−++=+ vvvvv
Posons .1+= vu Alors .dvdu =
( ) ( ) ( )
CvarcCuarcuu
du
vv
dv
vvv
dv++=+=
−=
−++=
++∫∫∫ 1 sec sec
111121 222
21. CxxCxxdxxdxx ++=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=∫∫ 12
6sin26
6sin21
26cos1 3cos2
22. θθθθθθθθ ddd 2
sin2
cos1 2
sin2
sin 2
sin 223 ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
Posons .2
cosθ=u Alors . 2- 2
sinet 21
2sin- dudddu =⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= θθθθ
( ) CuuCuuduud ++=+=+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= ∫∫ 2
cos32
2cos2-
322-
32- 12-
2sin 3
3323 θθθθ
582 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. ( )3 2 2 2tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 sec 2 1 tan 2 sec 2 tan 2 t dt t t dt t t dt t t dt t dt= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Posons .2tu = Alors . 21et 2 dudtdtdu ==
( )
23 2
2
1 1 1 tan 1tan 2 tan sec tan ln sec 2 2 2 2 21 1 tan 2 ln sec2 4 2
ut dt u u du u du u C
t t C
= − = ⋅ − +
= − +
∫ ∫ ∫
24. Cxxdxxx
dxxx
dx++=== ∫∫∫ 2cot2csc ln
21- 2csc
2sincossin2
25. ∫∫ =− x
dxxx
dx2cos
2sincos
222
Posons .2xu = Alors . 2 dxdu =
CxxCuuduuu
duxx
dx++=++===
− ∫∫∫ 2tan2sec ln tansec ln seccossincos
222
26. 2 2 2
224
4 4 4
csc 1 cot cot ln sin ln sin 2 ln sin 4 π π π
π
ππ π π
y dy y dy y dy y π π⎡ ⎤− = = = = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫
2ln2
1ln1ln =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
27. 3 4 3 4 3 4
2
4 4 4
cot 1 csc csc π π π
π π π
t dt t dt t dt+ = =∫ ∫ ∫
( )
3 4
4-ln csc cot
3 3-ln csc cot ln csc cot 4 4 4 4
2 1-ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1
2 1 2 1 3 2 2ln ln ln 3 2 22 12 1 2 1
π
πt t
π π π π
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
+⎡= − + + =⎣ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + += ⋅ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Exercices récapitulatifs page 583
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
28. 2 2 2
2
0 0 0
1 sin cos cos cos 2 2 2 2
π π π π
π
x x x xdx dx dx dx− = = −∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) 42002
2sin2sin20sin2
2sin2
2sin2
2sin2
2
0
=−−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
ππππ
π
π xx
29. ( ) tttttttt 2222222 sin2sinsinsincos1sincos12cos1 =+=+−=−−=−
∫∫∫∫ ===−2
0
2
2-
2
2-
22
2-
sin 22 sin 2 sin2 2cos1ππ
π
π
π
π
π
dttdttdttdtt
(puisque sin t est une fonction paire de t, voir les exercices 1.5, numéro 85, page 67)
[ ]
( ) ( )
22
00
2 2 sin 2 2 -cos
2 2 -cos 2 cos0 2 2 0 1 2 2.
ππt dt t
π
= =
= + = + =
∫
30. ∫∫∫∫∫ +===+π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
23
23222
2
cos2 cos2- cos 2 cos2 2cos1 dttdttdttdttdtt
[ ] [ ] ( ) ( )
( ) ( )( )
3 2 23 2- 2 sin 2 sin - 2 sin3 2 sin 2 sin 2 sin 3 2
- 2 -1 0 2 0 -1 2 2
π ππ πt t π π π π= + = − + −
= − + − =
31. ∫∫ ∫ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+dx
xxdx
xdx
xx
214
441
4 2222
2
4 tan 2 tan2 2 2
x xx arc C x arc C⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
32. ∫ ∫∫∫ +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+ 222
3
9 9
99
9 xdxxdxxdx
xxxdx
xx
Posons 29 xu += dans la deuxième intégrale du membre de droite.
Alors . 21et 2 dxxdudxxdu ==
Ainsi, ( ) .9ln29
2 ln
29
2 1
29
92
22
2
3
CxxCuxduu
dxxdxx
x++−=+−=−=
+ ∫∫∫
584 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. dyy
dyy
ydyy
y 2
1 4
2 412
2222 ∫∫∫ +−
+=
+−
Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons ,42 += yu
de sorte que . 2 dyydu =
( ) .2
tan 214ln
2tan
21 ln
2tan
21 1
412 Ainsi,
2
2
Cyarcy
Cyarcu
Cyarcduu
dyy
y
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+−
∫∫
34. ∫∫∫∫∫ ++
+=
++
+=
++ dy
ydy
yydy
ydy
yydy
yy
114
12
21
114
1
14
22222
( ) Cyarcy +++= tan 41ln21 2
35. dtt
dtt
tdtt
t 4
2 4
4
2222 ∫∫∫
−+
−=
−
+
( )
( )
Ctarct
Ctarct
dtt
dttt
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−=
−+⋅−= ∫∫
2sin 24-
2sin 2
214
2-1
4
12 2-42-
1
2
212
2
21-2
36. ( ) ( ) dtt
dtttdtt
dtt
tdttt
tt 1 2-1- 1 1
2 1
12 21-222
22
∫∫∫∫∫ +⋅−=+−
=−
−+
( )1 22
21
- ln -2 1 ln 1 2
tt C t t C
−= + + = − + +
Exercices récapitulatifs page 585
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. dxxxxx
xxx
xxdxx
sectansectan
sectan tan
sectan tan
−−
⋅+
=+ ∫∫
Cxxx
dxxxdxdxx
dxxxxdxxx
xxx
+++=
++=
−−=
−−
=
∫∫ ∫
∫∫
sectan-
tansec 1 sec-
1-
tansec1sec sectan
tansectan
2
2
22
2
38. Posons .32 += xu Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==
( ) ( ) ( ) CxxCuuduudxxx ++++=++==+ ∫∫ 3cot3csc ln21- cotcsc ln
21- csc
21 3csc 222
39. Cxdxxdxx+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫∫ 4
sin ln441
4cot4
4cot
40. Posons .1 xu −= Alors .-et 1 dudxux =−=
( ) ( )
( ) ( )
3 2 5 21 2 1 2 3 2
3 5
1 - 1 - -3 2 5 2
2 2- 1 13 5
u ux x dx u u du u u du C
x x C
⎛ ⎞− = − = − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − + − +
∫ ∫ ∫
41. Posons , sec4 ,tan4 2 θθθ ddZZ == pour .22
- πθπ<<
( ) ( ) ( ) -3 2-3 2 -3 22 2 216 16 16 tan 16 1 tanZ θ θ⎡ ⎤+ = + = +⎣ ⎦
( ) ( )3 2 3 32
1 1 1 1 1 ,64 64 64sec sec sec θθθ
= = =
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫ ==+ θθθθθ dddZZ cos
161
sec64 sec4 16 3
223-2
.1616
sin161
2C
Z
ZC ++
=+= θ
z
4
2 16 z+
θ
586 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
42. Posons .tan5 θ=y Alors θθ ddy sec5 2= pour 22
- πθπ<< et
θθθθ sec5 sec 5tan15tan252525 222 ==+=+=+ y
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
, 55
25 ln tansec ln sec
sec5 sec5
25
22
2Cyy
Cdd
y
dy++
+=++===
+∫ ∫∫ θθθθ
θθθ
ou encore .5lnoù , 25 ln 112 −=+++ CCCyy
43. Posons , cos ,sin θθθ ddxx == pour .22
- πθπ≤≤
θθ 2222 sin1sin1 −=− xx
,cossin cos sin 22 θθθθ == puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ≤≤
Il s'ensuit que ∫∫ ∫ ==−
θθθθ
θθ dd
xx
dx csccossin cos
12
222
.1-cot-2
Cx
xC +−
=+= θ
44. Posons .sinθ=x Alors cos θθ ddx = pour 22
- πθπ<<
et θθθ cos cos sin11 22 ==−=− x
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ<<
CxxxarcC
Cddd
x
dxx
+−−=+−=
+−=−
===−
∫ ∫∫∫
2
22
2
2
121sin
21cossin
21
21
2sin41
21
22cos1 sin
cos cossin
1
θθθ
θθθθθθθ
θθθ
x1
2 1 x−
θ
y2 25 y+
5
θ
x
2 1 x−
1
θ
Exercices récapitulatifs page 587
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45. Posons , tansec3 ,sec3 θθθθ ddxx == pour .2
0 πθ <<
( )2 2 29 9sec 9 9 sec 1 3 tan 3tan ,x θ θ θ θ− = − = − = =
puisque 0tan >θ pour .2
0 πθ <<
Il s'ensuit que ∫ ∫=− θ
θθθtan3
tansec3
92
d
x
dx
2
1 1
2 21
9sec ln sec tan ln 3 3
ln 9 ln3 ln 9 ,
x xθ dθ θ θ C C
x x C x x C
−= = + + = + +
= + − − + = + − +
∫
où .3ln1 −= CC
Note : La restriction 2
0 πθ << ne modifie en rien la réponse. Vous pourrez vérifier, si vous en
avez la curiosité, que pour 2- 0, 9 -3tan2π θ x θ< < − = et 2
2-ln 9 .
9
dx x x Cx
= − − +−
∫
Mais l'application de quelques lois algébriques vous convaincra sans peine que cette
réponse équivaut à la précédente.
46. Posons .secθ=x Alors θθθ ddx tansec= pour .2
0 πθ <<
θθθθ tan tan tan1sec1 222 ===−=−x puisque
0tan >θ pour .2
0 πθ <<
( )3 2 3 22
12 12sec tan 12cos tan sin1
dx θ θ dθ θ dθθ θx
= =−
∫ ∫ ∫
Posons .sinθ=u Alors . cos θθ ddu =
( )
-1-2
3 2 22
12 12 -12 -12 -1212 -1 sin 11
dx u xu du C C C Cu θ xx
= = + = + = + = +−−
∫ ∫
x
3
9 2 −x
x1 2 −x
1
θ
588 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
47. Soit ( ) .et 1ln dxdvxu =+=
Alors et ,et 1
1 xvdxx
du =+
=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) Cxxxxdxx
xx
dxx
xxxdxx
+++−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−+=
+−=+
∫
∫∫
1ln1ln 1
111ln
1
1+ln 1ln
que nous pouvons aussi transformer en
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.1où ,11ln1111ln11ln1
1
1
+=++−++=++−−++=+−++
CCCxxxCxxxCxxx
48. Posons . et ln 2 dxxdvxu == Alors .3
et 1 3xvdxx
du ==
CxxxCxxxdxxxxdxx
xxxdxxx +−=+−=−=⋅−= ∫∫∫ 9ln
3331ln
3
31ln
3 1
3ln
3 ln
33332
3332
49. Posons .et 3tan dxdvxarcu ==
Alors ( )
.et 913 3
311
22 xvdxx
dxx
du =+
=⋅+
=
∫ ∫ +−= dx
xxxarcxdxxarc 91
33tan 3tan 2
Posons maintenant .91 2xy += Alors . 61 3et 18 dydxxx
dxdy
==
( )2
1 1 tan 3 tan361 1 tan3 ln tan 3 ln 1 9 .6 6
arc x dx x arc x dyy
x arc x y C x arc x x C
= −
= − + = − + +
∫ ∫
50. Soit . ,2
cos dxdvxarcu =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= Alors . ,
4-
21
41
1-22
xvx
dxdxx
du =−
=⋅
−
=
∫∫−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
24
2
cos 2
os x
dxxxarcxdxxcarc
Exercices récapitulatifs page 589
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Posons .4 2xy −= Alors .21- et 2- dydxxdxxdy ==
Cxxarcx
Cyxarcxdyyxarcxdxxcarc
+−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫∫2
2121-
42
cos
2121
2cos
21
2cos
2os
51. Procédons par intégration tabulaire.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
1 1 2 1 2
1 2 1 2
x x x x
x
x e dx x e x e e C
x x e C
+ = + − + + +
⎡ ⎤= + − + + +⎣ ⎦
∫
52. Intégration tabulaire :
( ) ( )( ) ( )
2 2 sin 1 cos 1
2 sin 1 2cos 1 .
x x dx x x
x x x C
− = −
+ − − − +
∫
53. Soit . et 2cos dxedvxu x==
Alors ∫ ∫+=== . 2sin22cos 2coset ,et 2sin2- dxexxedxxeevdxxdu xxxx
Soit . et 2sin dxedvxu x==
Alors 2cos2 et , et cos2 cos2 2 sin 2 2 cos2 ,x x x x xdu x dx v e e x dx e x xe e x dx⎡ ⎤= = = + −⎣ ⎦∫ ∫
d'où [ ]5 cos2 cos 2 2 sin 2 et cos2 cos2 2sin 2 .5
xx x x x ee x dx e x e x e x dx x x C= + = + +∫ ∫
54. Soit . ,3sin 2- dxedvxu x== Alors .21-et 3cos3 2- xevdxxdu ==
∫∫ += dxxexedxxe xxx 3cos233sin
21- 3sin 2-2-2-
Soit . ,3cos 2- dxedvxu x== Alors .21-et 3sin3- 2- xevdxxdu ==
590 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
-2 -2 -2 -2
-2 -2 -2 -2
-2 -2 -2
-2 -2 -2
-1 3 -1 3sin 3 sin 3 cos3 sin 3 2 2 2 2-1 3 9sin 3 sin 3 cos3 sin 3 2 4 4
13 -1 3sin 3 sin3 cos34 2 4
-2 3sin 3 sin3 cos313 13
x x x x
x x x x
x x x
x x x
e x dx e x e x e x dx
e x dx e x e x e x dx
e x dx e x e x
e x dx e x e x C
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − −
= −
= − +
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
55. a) Posons .16 2yu −= Alors , 2- dyydu = d'où .21- dudyy =
CyCuduuy
dyy+−=+==
−∫ ∫ 2
2121-
216-
2121-
21-
16
b) Posons θθθ ddyy cos4 ,sin4 == pour .22
- πθπ≤≤
( )
2 2
2 2
16 16 16sin
16 1 sin 4 cos 4 cos 4cos ,
y θ
θ θ θ θ
− = −
= − = = =
puisque 0cos >θ pour .22
- πθπ≤≤
2
2
2
4sin 4cos Il s'ensuit que 4 sin -4cos4cos16
16-4
4
- 16 .
y dy θ θ dθ θ dθ θ Cθy
yC
y C
⋅= = = +
−
−= +
= − +
∫ ∫ ∫
56. a) Posons .4 2xu += Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==
CxCuduux
dxx++=+==
+∫ ∫ 2
2121-
24
2121
21
4
b) Posons θθθ ddxx sec2 ,tan2 2== pour .22
- πθπ<<
θθθθ sec2 sec 2tan12tan444 222 ==+=+=+ x
y4
2 16 y−
θ
x2 4 x+
2
θ
Exercices récapitulatifs page 591
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
CxCx
Cddx
dxx
++=++
=
+===+
∫∫ ∫
22
2
2
42
42
sec2 sectan2 sec2
sec2tan2
4
θθθθθθ
θθ
57. a) Posons .4 2xu −= Alors dxxdu 2-= et .21- dudxx =
CxCuduux
dxx+−=+==
−∫ ∫ 4 ln21- ln
21- 1
21-
4 2
2
b) Posons θθθ ddxx cos2 ,sin2 == pour .22
- πθπ≤≤
( )2 2 2 24 4 4sin 4 1 sin 4cos .x θ θ θ− = − = − =
( ) , 4 ln-
2ln 4 ln-
2
4 ln-
cos ln- cossin
cos4 cos2sin2
4 queensuit s' Il
212
12
1
2
122
Cx
Cx
Cx
Cddx
dxx
+−=
++−=
+−
=
+==⋅
=− ∫∫ ∫ θθ
θθ
θθθθ
. 4 ln21-2lnoù 2
1 CxCC +−=+=
58. a) Posons .14 2 −= tu Alors .8
et 8 dudttdttdu ==
CtCuduut
dtt+−=+==
−∫ ∫ 14
41
2181
81
14
221
21-2
b) Posons .sec2 θ=t Alors θθθθ ddtt tansec21et sec
21
==
pour .2
0 πθ <<
θθθ tan tan 1sec14 22 ==−=−t puisque 0tan >θ
x2
2 4 x−
θ
t21 4 2 −t
1
θ
592 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
pour .2
0 πθ <<
2 22
1 1sec sec tan 1 1 12 2 sec tan 4 1tan 4 4 44 1
θ θ θ dθt dt θ dθ θ C t Cθt
= = = + = − +−
∫ ∫ ∫
59. Posons .9 2xu −= Alors dxxdu 2-= et .21- dudxx =
22
1 1 1 1- - ln - ln 9 ,2 2 29
x dx du u C x Cux
= = + = − +−∫ ∫
ou encore ( )1 222
1-ln 9 ln .9
x C Cx
⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
60. ( )2
1 ,3 39
A B Cx x xx x
= + +− +−
d'où ( ) ( ) ( )2 2 21 9 3 3 .A x B x x C x x= − + + + −
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .91=A
En assignant à x la valeur 3, nous obtenons .181=B
En assignant à x la valeur -3, nous obtenons .181-=C
Il s'ensuit que
( )2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 3 ln 3 9 18 3 18 3 9 18 189
1 12ln ln 3 ln 3 ln .18 18 9
dx dx dx dx x x x Cx x xx x
xx x x C Cx
= + − = − − − + +− +−
⎡ ⎤= − − − + + = +⎣ ⎦ −
∫ ∫ ∫ ∫
61. ( )( )2
1 1 ,3 3 3 39
A Bx x x xx
= = +− + − +−
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 3 .A x B x A B x A B= + + − = − + +
Nous avons donc ,133et ,où d' ,0 =+==− BABABA c'est-à-dire
.61où d' ,
61et 133 ===+ BAAA
2
1 1 1 1 1Par conséquent, - ln 3 ln 3 6 3 6 3 691 3 ln 6 3
dx dx dx x x Cx xx
x Cx
⎡ ⎤= + = − + + +⎣ ⎦− +−+
= +−
∫ ∫ ∫
Exercices récapitulatifs page 593
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
ou encore . 33 ln
61 C
xx
+−+
62. Posons .sin3 θ=x Alors θθ ddx cos3= pour .22
- πθπ≤≤
θθθ cos3 cos 3sin999 22 ==−=− x puisque
0cos >θ pour .22
- πθπ<<
CxarcCd
x
dx+=+==
−∫∫ 3
sin cos3
cos3
9 2θ
θθθ
63. ( )( )2 ,
2 1 2 13 2x x A B
x x x xx x= = +
− − − −− + d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 - 2 .x A x B x A B x A B= − + − = + + −
Nous avons donc - 2 0, d'où -2 , et 1,A B A B A B− = = + = d'où .2et -1 ,12- ===+ ABBB
Par conséquent, 2 1 12 2ln 2 ln 1 .
2 13 2x dx dx dx x x C
x xx x= − = − − − +
− −− +∫ ∫ ∫
64. ( ) ( )2 2
1 ,11 1
A B Cx xx x x
= + +++ +
d'où ( ) ( )21 1 1 .A x Bx x Cx= + + + +
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .1=A
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons -1.=C
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons ,13224 =+=++ BCBA d'où -1.=B
Il s'ensuit que
( ) ( )2 2
1 1 1 ln ln +1 ln .1 1 1 11 1
dx dx dx xdx x x C Cx x x x xx x x
= − − = − + + = + ++ + + ++ +
∫ ∫ ∫ ∫
65. Posons .cosθ=u Alors .2
-2coscos
sinet sin- 22 ∫∫ −+=
−+=
uududddu
θθθθθθ
Or ( )( )2
1 1 ,2 1 2 12
A Bu u u uu u
= = ++ − + −+ −
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A u B u A B u A B= − + + = + + +
Nous avons donc ,12-et ,-où d' ,0 =+==+ BABABA c'est-à-dire .31-et ,31ou 12 ===+ ABBB
x
2 9 x−
3
θ
594 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
2 2sin Ainsi, -
cos cos 2 21 1 1 1- - 3 2 3 1
1 ln 2 ln 1 31 ln cos 2 ln cos 1 31 cos 2ln ,3 cos 1
θ dθ duθ θ u u
du duu u
u u C
θ θ C
θ Cθ
=+ − + −
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦
+= +
−
∫ ∫
∫ ∫
ou encore . 2cos1cos ln
31- C+
+−
θθ
66. ( )
2 2
3 22
3 4 4 3 4 4 ,11
x x x x A Bx Cxx x xx x
+ + + + += = +
+ ++
d'où ( ) ( ) ( )2 2 23 4 4 1 ,x x A x Bx C x A B x Cx A+ + = + + + = + + +
d'où ,3et 4 ,4 =+== BACA d'où -1.=B
( )
( )
2
3 2
2 2
2
- 43 4 4 1 4 1
1 2 14ln 4 2 1 114ln ln 1 4 tan .2
Il s'ensuit quexx x dx dx dx
xx x xxx dx dx
x x
x x arc x C
++ += +
+ +
= − ++ +
= − + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
67. ( ) ( )( )3 2
3 1 3 1 3 2 2 2 22 8 4
v v vdv dv dvv v vv v v v
+ + += =
+ −− −∫ ∫ ∫
Or ( )( )
3 ,2 2 2 2
v A B Cv v v v v v
+= + +
+ − + −
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 2 2 2 - 4 .v A v B v v C v v A B C v B C v A+ = − + − + + = + + + + −
Nous avons donc 4 3, d'où -3 4, 0, A A A B C− = = + + =
( )d'où - 3 4, et 2 - + 1, d'où - 1 2.B C A B C B C+ = = = + =
En additionnant les deux équations en B et en C, nous obtenons ,452 =C d'où
.8121et 85 =−== CBC
Exercices récapitulatifs page 595
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( )( )
3
56
5
6
3 1 3 1 1 1 5 1Il en résulte que - 2 4 8 2 8 22 81 -6ln ln 2 5ln 2
161 -ln ln 2 ln 2
16
2 21 ln .16
v dv dv dv dvv v vv v
v v v C
v v v C
v vC
v
+ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥+ −− ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
+ −= +
∫ ∫ ∫ ∫
68. ( )( )4 2 2 22 2
1 1 ,4 3 3 13 1
At B Ct Dt t t tt t
+ += = +
+ + + ++ + d'où
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2 3 2
3 2
1 1 3 3 3
3 3 .
At B t Ct D t At Bt At B Ct Dt Ct D
A C t B D t A C t B D
= + + + + + = + + + + + + +
= + + + + + + +
Nous avons ,0=+CA d'où ,0 ,- =+= DBCA d'où ,03 ,- =+= CADB d'où ,03- =+ CC
d'où ,13 ,0 =+== DBAC d'où - +3D=1, 2 1, 1 2 et -1 2.D D D B= = =
4 2 2 21 1 1 1 - 2 24 3 3 11 1 1- tan tan2 23 3
1 1- tan tan .22 3 3
Ainsi, dt dt dtt t t t
tarc arc t C
tarc arc t C
= ++ + + +
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
69. ( )( )
3 2
2 22 2 ,
2 1 2 12 2x x x x A Bx x x
x x x xx x x x+
= + = + = + ++ − + −+ − + −
d'où
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 - 2 .x A x B x A B x A B= − + + = + + +
Nous avons donc - 2 0, d'où 2 , et 2,A B A B A B+ = = + = c'est-à-dire
.34où d' ,32et 22 ===+ ABBB
( ) ( )3 2
2
2
4 2Par conséquent, 3 2 3 12
4 2 ln 2 ln 1 .2 3 3
x x dx x dxx xx x
x x x C
⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠
= + + + − +
∫ ∫
596 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
70. ( )( )
3 2
2 24 3 3
3 1 3 14 3 4 3x x x x A Bx x x
x x x xx x x x+
= − = − = + ++ + + ++ + + +
d'où
( ) ( ).313- +++= xBxAx
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .23=B
En assignant à x la valeur -3, nous obtenons .29-=A
. 1 ln
23 3 ln
29
2
1
123
31
29
344
2
2
23
queensuit s' Il
Cxxx
dxx
dxx
dxxdxxxxx
++++−=
++
+−=
+++
∫∫ ∫∫
71. ( ) ( ) ( )( )2432
8232
8224212
22
23
−++−=
−++−=
−++−+
xxxx
xxxx
xxxxx
( ) ,24
32−
++
+−=x
Bx
Ax
d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 4 -2 4 .x A x B x A B x A B= − + + = + + +
Nous avons donc ,1et ,2où d' ,042- =+==+ BABABA
c'est-à-dire 2 1 ou 1 3, d'où 2 3.B B B A+ = = =
( ) ( ) ( )3 2
2
2
2 21 24 2 1Par conséquent, 2 3 3 4 3 22 8
2 1 3 ln 4 ln 2 .3 3
x x x dx x dxx xx x
x x x x C
⎛ ⎞+ − += − + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠
= − + + + − +
∫ ∫
72. Posons .1+= xu Alors 21 , 2 et 1,2 1
du dx dx u du u xx
= = = ++
d'où .12 −= ux
( ) ( ) 22
2 2 1 3 11 33 1
dx u du duuu ux x
= =−−+
∫ ∫ ∫
Or ( )( )2
1 1 ,1 1 1 11
A Bu u u uu
= = +− + − +−
d'où ( ) ( )1 1 1 .A u B u= + + −
En assignant à u la valeur 1, nous obtenons .21=A
En assignant à u la valeur -1, nous obtenons .21-=B
Exercices récapitulatifs page 597
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
2 1 1 1 1 2 1 1 ln 1 ln 1 3 2 1 2 1 3 2 23 1
1 1 1 1 1ln ln .3 1 3 1 1
Ainsi, dx du du u u Cu ux x
u xC Cu x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+
− + −= + = +
+ + +
∫ ∫ ∫
73. Posons .seu = Alors .et udu
edudsdsedu s
s ===
Ainsi, ( )
.11s
ds duu ue
=−−∫ ∫
Or ( ) ,11
1−
+=− u
BuA
uu d'où ( ) ( )1 1 .A u Bu A B u A= − + = + −
Nous avons donc -1 et 0, d'où - =1.A A B B A= + = =
( )
1 1- -ln ln 1 1 11
1 1 ln ln
s
s
s
ds du du du u u Cu u u ue
u eC Cu e
= = + = + − +− −−
− −= + = +
∫ ∫ ∫ ∫
74. Posons .1+= seu Alors . 12
1 dsee
du s
s⋅
+=
,12 += seu d'où . 1
2et 1 22 du
uudsues
−=−=
( )( )
22
1 1 1ln ln 1 1 1
2 1 2 111
1 1 1 12 2 1 2 1
' 72
s
su eC Cu se
ds u du duuu ue
du duu u
voir l exercice
− + −= + = +
++ +
= =−−+
⎡ ⎤= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
598 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
75. Posons xu = . Alors .et 2 2 ,2
1 2uxduuduxdxxdx
du====
2
32
32
2 Par conséquent, 11
2 2 2 2 2 1 1
2 2 2ln 1 3
x dx u u duux
u du u u duu u
u u u u C
⋅=
++
⎛ ⎞= = − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= − + − + +
∫ ∫
∫ ∫
( )3 22 2 2ln 1 .
3x x x x C= − + − + +
76. Posons .tanθ=x Alors θθ ddx sec2=
pour 22
- πθπ<< et .sec1tan1 222 θθ =+=+x
( ) ( )( )
( )
2 3
2 2 22 2
2
2 2
22
sec 1 cos sintan sec1 tan sec
1 sin cos cos sin cos sin sin
sinln sin ln 2 2 11
dx θ dθ θdθ dθθθ θx x θ θ
θ θ θdθ dθ θ θ dθθ θ
θ x xθ C Cxx
= = =+
−= = −
= − + = − +++
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
77. Posons .xu = Alors . 2et 2
1 dux
dxxdx
du==
Ainsi, ( ) .sin2sin2 cos2 cos CxCuduudxx
x+=+== ∫∫
78. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2-2 - 2 - 2 1 1 - 1 1 1 1x x x x x x x x⎡ ⎤− = + = + + − = + − = − +⎣ ⎦
Posons .1+= xu Alors .dxdu =
( )
( )∫∫∫ ++=+=−
=+−
=−
CxarcCuarcu
du
x
dx
xx
dx 1sin sin 1112- 222
1 2 +x
1
xθ
Exercices récapitulatifs page 599
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
79. Posons , sec ,tan 2 θθθ dduu == pour .22
- πθπ<<
Ainsi, ,sec sec sectan11 222 θθθθ ===+=+ u
puisque 0sec >θ pour .22
- πθπ<<
2
2
2
sec sec sec1
ln sec tan ln 1 .
du θ dθ θ dθθu
θ θ C u u C
= =+
= + + = + + +
∫ ∫ ∫
80. dxxxdx
xxdx
xdx
xxx
sinsin
sincos
sin2
sinsincos2
2222 ∫∫∫∫ +−=+−
Cxxxx
dxxdxxxdxx
++−+=
+−= ∫ ∫ ∫ cotcsc lncsccot2-
csc cotcsc csc2 2
81. ( )( ) ( )( )( )4 22 2 2
9 9 9 ,3 381 99 9 9 3 3
Av B C Dv vv vv v v v v
+= = = + +
+ −− ++ − + + − d'où
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 29 9 9 3 9 3 .Av B v C v v D v v= + − + + − + + +
En assignant à v la valeur 3, nous obtenons .121
1089
==D
En assignant à v la valeur -3, nous obtenons .121
1089
==C
En assignant à v la valeur 0, nous obtenons ,331ou 272799 DCBDCB ++=++=
d'où .211261331 =−=−−= DCB
Finalement, en assignant à v la valeur 1, nous obtenons ( ) ,402089 DCBA +++= d'où
.0et 012401220494020898 ==−−−=−−−= ADCBA
. 33 ln
121
3tan
61
3 ln121 3 ln
121
3tan
31
21
3
1121
31
121
91
21
819 queensuit s' Il 24
Cvvvarc
Cvvvarc
dvv
dvv
dvv
dvv
+−+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+−−++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
−+
++
+=
− ∫∫ ∫∫
u
1
2 1 u+
θ
600 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
82. Posons ( ).12coset +== θθ dvu Alors ( ).12sin21et +== θθ vddu
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 21 1 1sin 2 1 - cos 2 12 2 21 1sin 2 1 cos 2 12 4
θ θ dθ θ θ θ dθ
θ θ θ C
θ θ θ C
+ = + − +
⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + + +
∫ ∫
83. ( )222
3
1232
12232
12 −−
++=+−
−++=
+− xxx
xxxx
xxx
( ) ,
112 2−
+−
++=x
Bx
Ax
( ) ( )d'où 3 2 1 - .x A x B Ax A B− = − + = + +
Nous avons donc -2,-et 3 =+= BAA c'est-à-dire .1où d' -2,3- ==+ BB
Par conséquent, ( )
.1
1 1 ln322
1
11
3212
2
22
3
Cx
xxxdxxx
xxx
dxx+
−−−++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−++=
+−∫ ∫
84. Posons .1 θ+=x Alors ( ) . 12et 2
1 dxxdddx −== θθθ
( )
( )
1 2 -1 2
3 2 1 2 3 2
2 1 2 2
1
42 2 1 4 13 2 1 2 3
xdθ dx x dx x dxxθ
x x C θ θ C
−= = −
+
= − + = + − + +
∫ ∫ ∫ ∫
85. Posons .xu = Alors . 2et 2
1 dux
dxxdx
du==
( ) ( ) ( ) .2cos-
22cos-2 2sin2
cossin22 secsin22
sec sin2 Ainsi,
CxCuduu
duuuduuu
xxdxx
+=+⋅==
==
∫
∫ ∫∫
Exercices récapitulatifs page 601
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
86. ( )( )( )
5
4 4 2
16 1616 16 4 2 2
x x xx xx x x x x
= + = +− − + + −
( )( )( ) 22
16 ,2 244 2 2
x Ax B C Dx xxx x x
+= + +
+ −++ + − d'où.
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 216 4 2 4 2 4 .x Ax B x C x x D x x= + − + − + + + +
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .1=D
En assignant à x la valeur -2, nous obtenons .1=C
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,884-0 DCB +−= d'où .0et 04- == BB
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons ,1553-16 +−= A d'où -2.=A
Il s'ensuit que ∫∫ ∫∫ ∫ −+
++
+−=
−dx
xdx
xdx
xxdxx
xdxx
21
21
42
16
24
5
2 2 2
22
4ln 4 ln 2 ln 2 ln .2 2 4x x xx x x C C
x−
= − + + + + − + = + ++
87. ( )∫∫∫ +−
=++−
=+− 3131242 222 θ
θθθθ
θθθ ddd
Posons .1−= θu Alors θddu = et
( ) ( ) ,
31tan
31
3tan
31
33142 2222 CarcCuarcu
dudd+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+=
+−=
+− ∫∫∫θ
θθ
θθθ
ou encore .31tan
33 Carc +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −θ
88. ( )22 22 2 1 1 1 1r r r r r+ = + + − = + −
Posons .1+= ru Alors .drdu =
( ) ( ) ( )2 2 2
sec sec 1 .1 2 11 1 1
dr dr du arc u C arc r Cr r r u ur r
= = = + = + ++ + −+ + −
∫ ∫ ∫
89. Posons .2cos1 θ+=u Alors . 21- 2sinet 2sin2- dud
ddu
== θθθθ
Ainsi, ( ) ( )
-1-2
2sin 2 1 1 1 1- - ,
2 2 -1 2 2 1 cos21 cos2θ dθ uu du C C C
u θθ= = + = + = +
++∫ ∫ ou encore
602 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
222
1 1 1 sec .44cos2 1 2cos 1
C C θ Cθθ
+ = + = ++ −
90. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22
1 1 ,1 11 1 1 11
A B C Dx xx x x xx
= = + + ++ −+ − + −−
d'où
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 .A x x B x C x x D x= + − + − + − + + +
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .41=B
En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=D
En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,1 DCBA +−+= d'où .21et 21 +==− CACA
En assignant à x la valeur 2, nous obtenons ,9931 DCBA +++= d'où
,92339323- CCCA ++=+= d'où .41et 41- == AC
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22
2
1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 1 41 11
1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 4 4 1
1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 1
1 1 1ln .4 1 2 1
Ainsi, dx dx dx dx dxx xx xx
x x Cx x
x x Cx x
x x Cx x
= + − ++ −+ +−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
+= − ⋅ +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
91. Posons .2 xu −= Alors .2et - ,1- uxdudxdxdu
−===
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .4232-622
32
24232
212
23
2 2-2 Ainsi,
21
21232123
21-2121
CxxCxx
CxxCuu
duuuduu
ux
dxx
++−=+−−−=
+−−−=+−=
−=−
=− ∫ ∫∫
Exercices récapitulatifs page 603
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
92. ( ) 1111222 222 +−=++−=+− yyyyy
Posons .1−= yu Alors dydu =
( )
( )∫∫ ∫ +−=+=+
=+−
=+−
.1tan tan 11122
et 222 CyarcCuarcu
duy
dyyy
dy
93. ( ) ( )1 2 1ln 1 ln 1 ln 1 2
x dx x dx x dx⎡ ⎤− = − = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫
Soit ( ) .et 1ln dxdvxu =−= Alors .et 1
1 xvdxx
du =−
=
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1ln 1 ln 1 2 2 1
1 1 ln 1 1 2 1
1 ln 1 ln 12
xx dx x x dxx
x x dxx
x x x x C
⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − − +⎣ ⎦
∫ ∫
∫
Note : 1ln −x a pour domaine ] [,,1 ∞ de sorte que .01>−x 94. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 4 2 4 2 2 28 2 - 2 8 - 2 1 9 - 1 9 9 1x x x x x x x x⎡ ⎤− − = + − = + + − = + − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
Posons .12 += xu Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==
( )2 4 2 22
2
1 1 sin2 2 38 2 99 1
1 1 sin .2 3
Ainsi, x dx x dx du uarc Cx x ux
xarc C
⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠− − −− +
⎛ ⎞+= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
95. ( ) 2 22 2
1 ,44
Z A B CZ DZ Z ZZ Z
+ += + +
++ d'où ( ) ( ) ( )2 2 21 4 4 .Z AZ Z B Z CZ D Z+ = + + + + +
En assignant à Z la valeur 0, nous obtenons ,41 B= d'où .41=B
( ) ( )3 21 4 4Z A C Z B D Z AZ B+ = + + + + +
Nous avons 4 1, d'où 1 4, + =0, d'où - -1 4, et 0, A A B D D B A C= = = = + =
4.1--où d' == AC
604 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
-222 2
1 1 1 1 1 1Ainsi, 4 4 4 44
Z ZdZ dZ Z dZ dZZ ZZ Z
+ += + −
++∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2
2
2
1 1 1ln 4 4 4
1 1 1 2 1ln tan4 2 2 24
1 1 1 1ln ln 4 tan .4 2 2 2
ZZ dZ dZZ Z Z
Z ZZ dZ arc CZ Z
ZZ Z arc CZ
⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
96. Posons .2xy = Alors . 21 et 2 dydxxdxxdy ==
dyeydxexxdxex yxx 21
22 23 ∫∫∫ =⋅=
Posons . et dyedvyu y== Alors .et yevdydu ==
2 2 2
22
1 1 1 2 2 2
1 12 2
y y y y y
x x x
ye dy ye e dy ye e C
xx e e C e C
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞−⎡ ⎤= − + = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫
97. Soit . 1et tan 2 dxx
dvxarcu == Alors .1-et 1
12 x
vdxx
du =+
=
( )2 2
tan 1 1 - tan 1
arc x dx arc x dxxx x x
= ++∫ ∫ .
Or ( ) 22
1 ,11
A Bx Cx xx x
+= +
++ d'où ( ) ( ) ( )2 21 1 .A x Bx c x A B x Cx A= + + + = + + +
Nous avons 1, 0, d'où - -1, et 0.A A B B A C= + = = = =
( )
( )
2 2
2
2
2
tan 1 1Ainsi, - tan 1
1 1- tan 1
1 1 2- tan ln 2 1
1 1- tan ln ln 1 ,2
arc x dx arc x dxxx x x
xarc x dx dxx x x
xarc x x dxx x
arc x x x Cx
= ++
= + −+
= + −+
= + − + +
∫ ∫
∫ ∫
∫
Exercices récapitulatifs page 605
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
ou encore .1ln lntan 1- 2 Cxxxarcx
++−+
98. Posons .tex = Alors . 23
123
et 22 dxxxee
dtedtedx tt
tt ∫∫ ++
=++
=
( )( )2
1 1 ,2 1 2 13 2
A Bx x x xx x
= = ++ + + ++ +
d'où ( ) ( )1 1 2 .A x B x= + + +
En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .1=B
En assignant à x la valeur -2, nous obtenons -1.=A
2
1 1 - -ln 2 ln 1 2 13 2
1 1ln ln .2 2
Ainsi,
t
t
x dx dx dx x x Cx xx x
x eC Cx e
= + = + + + ++ ++ +
⎛ ⎞+ += + = +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
99. ( ) dxxxxxdx
xx
sincos1sincos1
2cos12cos1
22
22
∫∫ −+−−
=+−
( )( )( )
2 2 22
22 2
2
1 cos sin 2sin tan 2cos1 sin cos
sec 1 tan
x x xdx dx x dxxx x
x dx x x C
− += = =
− +
= − = − +
∫ ∫ ∫
∫
100. Posons .sin xarcu = Alors dxx
du 1
12−
=
( )
( ) .sin sin
sin cos 1
sin cos 2
et
CxCxarc
Cuduudxx
xarc
+=+=
+==−
∫∫
101. ( ) ( )3 2 2
cos cos cos sin sin sin sin 1 sin -cos
x x xdx dx dxx x x x x x
= =− − ⋅∫ ∫ ∫
( ) ( )
1 2- - - 2csc2 sin cos sin 2
ln csc 2 cot 2
dx dx x dxx x x
x x C
= = =
= + +
∫ ∫ ∫
606 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
102. Posons .teu = Alors dtedu t =
( ) 1 ln 1 ln 1 .11
ett
tt
e dt du u C e Cue
= = + + = + +++∫ ∫
103. Posons ,ln yx = alors ,1ydy
dx= d'où .et , 22 xeydx
ydy
==
De plus, ∞→= xet 01ln lorsque .∞→y
Ainsi, -23 2 2
1 1 0 0
ln 1 1ln lim .b
xx b
y dy dyy x dx xe dxyy y e
∞ ∞ ∞
→∞= ⋅ ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫
Posons .eet 2- xdvxu == Alors ,e21-et 2- xvdxdu ==
.410
41
2-lim
41
2-lim
21
2-lim ln
22
022
0
2-
02
13
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
∞→
∞→
∞→
∞
∫∫
bbb
b
xxb
bx
b
xb
eeb
eex
dxeex
ydyy
Nous savons que 04
1-lim2
lim 2
..
2 ==−∞→∞∞∞→ bb
HR
bb eeb et que ,0
41lim 2 =−
∞→ bb e
de sorte que .41
41000 ln
13∫
∞
=+−−=y
dyy
104. ( ) ( )∫∫ ⋅= dv
vvv
vdvv
sinlnsincos
sinln cot
Posons ( ).sinln vu = Alors dvvv
du ⋅⋅= cossin
1
( )( ) . sinln ln
ln 1 sinlnsin
cos et
Cv
Cuduu
dvvv
v
+=
+==⋅ ∫∫
Exercices récapitulatifs page 607
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
105. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫
−−=
−+−−=
−−=
−− 1121-2
2
114412
2
4412
2
12 2222 xx
dx
xxx
dx
xxx
dx
xxx
dx
Posons .12 −= xu Alors dxdu 2= et
( )
. 12 sec sec112 22
CxarcCuarcuu
du
xxx
dx+−=+=
−=
−−∫ ∫
106. CxCxdxxdxe x +=+== ∫∫ 2323
ln
32
23
107. Posons .4 θeu = Alors θθ dedu 4= et . 41 dude =θθ
( ) ( ) ( ) CeCuduudee ++=++
=+=+ ∫∫23
2321 43
61
233
41 3
41 43 θθθ θ
108. Posons .vex = Alors .et x
dxdvdvedx v ==
Ainsi, ( ) .sec sec11 22
CearcCxarcxx
dx
e
dv v
v+=+=
−=
−∫ ∫
109. Posons .13 += θu Alors 3=θd
du et . 31 dud =θ
( ) CCdudu
u +⋅=+==+
+ ∫∫ 27ln27
31
27ln27
31 27
31 27
1313
θθ θ
110. Intégration tabulaire :
.sin120cos120sin60cos20sin5cos- sin
2
3455
Cxxxxxxxxxxxdxxx
++−−
++=∫
608 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
111. Posons .ru = Alors rdr
du2
1= et . 2 2 duudurdr ==
( ) CrrCuuduuu
duur
dr++−=++−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+=
+ ∫ ∫∫ 1ln22 1 ln22 1
221
21
112. ( )3 2 3
8 ,22
A B C Dy yy y y y
= + + +++
d'où ( ) ( ) ( )2 38 2 2 2 .Ay y By y C y Dy= + + + + + +
En attribuant à x la valeur 0, nous obtenons .4=C
En attribuant à x la valeur -2, nous obtenons -1.=D
En attribuant à x la valeur 1, nous obtenons ,3338 DCBA +++= d'où .-1ou -1 BABA −==+
En attribuant à x la valeur -1, nous obtenons ,8 DCBA −+−= d'où ,31- ,3 =−−=− BBBA
.1et -2 == AB
( )3 2 3
2 2
8 1 1 1 1 2 4 22
2 2 2 2ln ln 2 ln .2
Ainsi, dy dy dy dy dyy yy y y y
yy y C Cy y yy y
= − + −++
= + − − + + = + − ++
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
113. ( )2 2
8 8 7
49 4 7 7 4
dm dm
m m m m
×=
− −∫ ∫
Posons .7mu = Alors . 7et 7 dmdudmdu
==
CmarcCuarcuu
dudmmm
+=+⋅=−
=−
∫∫ 2
7 sec4 2
sec218
48
449
822
114. Posons .ln tu = Alors dtt
du 1=
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 ln ln 2 ln 1 2 1 2 1 1 1
sec 1 sec 1 ln .
et dt du du dut t t t u u u u u u u u
arc u C arc t C
= = =+ + + + + + + + −
= + + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
Exercices récapitulatifs page 609
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
115. ( )( )
. .
20 0 0 0 0
21ln 1 2 2 11 2lim lim lim2 2 1 2
R H
t t t
t t ttt t tt→ → →
−− + −+= =+
Or ( )-0
2 1lim2 1 2t
tt t→
−= +∞
− et
( )0
2 1lim - .2 1 2t
tt t+→
−= ∞
−
La limite n'existe pas.
116. ( )( )
2. .
20 0 0 0
sec 3 3tan 3 1 3 3lim limtan5 1 5 5sec 5 5
R H
t t
ttt t→ →
⋅ ⋅= = =
⋅⋅
117. ( ). . . .
0 0 0 0 0 0 0
cos 1 cos -sinsin 1 sin cos 1 1 0lim lim lim 21 cos sin cos 0
R H R H
x x x
x x x xx x x x xx x x→ → →
+ ⋅ + ⋅⋅ + + += = = =
−
118. ( )x
xx −
→
11
1lim est une forme indéterminée .1∞
Posons ( ) ( ).11 xxxf −= Alors ( ) ( )xxx
xxxf x
−=
−== −
1lnln
11lnln 11
( ). .
1 1 0 0 1
ln 1et limln lim lim -1.1 -1
R H
x x x
x xf xx→ → →
= = =−
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )1
limln1 1 ln -1
1 1 1
1lim lim lim .xf xx f x
x x xx f x e e e
e→−
→ → →= = = = =
119. x
xx1lim
∞→ est une forme indéterminée .0∞
Posons ( ) .1 xxxf = Alors ( )xxx
xxxf x lnln1lnln 1 === et
( ) .01
1limlnlimlnlim..
===→∞∞∞→∞→∞
xxxxf
x
HR
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlimlim 0lnlimln1 ===== ∞→
∞→∞→∞→eeexfx
xfxf
xx
x
xx
610 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
120. x
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
31lim est une forme indéterminée .1∞
Posons ( ) .31x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += Alors ( )
xx
xxxf
1
31ln31lnln
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
( )
.313lim
33lim31
3lim
1-
3-31
1
lim1
31lnlimlnlimet
..
2
2
..
00
==+
=+
=
⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
∞→∞∞∞→∞→
∞→∞→∞→
x
HR
xx
x
HR
xx
xx
x
x
xx
xxxf
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).limlim31lim 3lnlimln eeexf
xxfxf
xx
x
xx ====⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + ∞→
∞→∞→∞→
121. ,1cos1- ≤≤ r d'où rr
rr ln
1ln
cosln
1-≤≤
Comme ,ln ∞→r lorsque 0ln
coslimet 0ln1lim
ln1-lim , ===∞→
→∞→∞→∞ rr
rrr
rrr selon le
théorème du sandwich.
122. ( ) -1sin-1lim
cos2limsec2lim
2
..
0022==
−=−
→→→ θθπθθπθ
πθπθπθ
HR
123. ( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+⋅
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
− →→→
xxx
xxx
xxxx x
HR
xx 1ln1
11
limln1
1lnlimln1
11lim
1
..
0011
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⋅+⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⋅
−=
→→→ 11ln1
1-lim1ln
1lim1ln
1lim1
,,
0011
xxxxxx
xxxx
xx
xx
HR
xx
21-
1101-
=++
=
Exercices récapitulatifs page 611
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
124. x
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+→
11lim0
est une forme indéterminée .0∞
Posons ( ) .11x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += Alors ( )
xx
xxxf
1
11ln11lnln
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
( )
.01
lim11
1lim
1-
1-11
1
lim1
11lnlimlnlimet
00
2
2
0
..
0000
=+
=+
=
⋅+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
++
+++
→→
→→→
xx
x
x
xx
xxxf
xx
x
HR
xx
Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim11lim 0
lnlimln
0000 =====⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + +→
+++ →→→eeexf
x
xfxf
xx
x
xx
125. ( )θ
θθtanlim
0+→ est une forme indéterminée .0∞
Posons ( ) ( ) .tan θθθ =f Alors ( ) ( ) ( ) ( )θθθθθθ θ
1tanlntanlntanlnln =⋅==f et
( ) ( ) 2202
2
0
..
00-
sincos
cos1lim
1-
sectan
1
lim1tanlnlimlnlim θ
θθ
θθ
θθ
θθθ
θθθθ⋅⋅=
⋅==
++++ →→∞∞→→
HRf
( )θθθθθ
θθθ
θθ sin-sincoscos2-lim
cossin-lim
0
..
00
2
0 ⋅+⋅==
++ →→
HR
.010
sincos2lim 220
==−
=+→ θθ
θθ
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimtanlim 0
lnlimln
0000 ===== +→
+++ →→→eeef
ff
θθ
θθ
θ
θθθθ
126. ∞===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++ →→→∞ tt
tt
t
HR
t 2coslimsinlim1sinlim
0
..
0020
2
θθ
θ
127. ∞=−
=+−
=−++−
→∞∞∞→∞∞∞→∞ 466lim
1463lim
3213lim
..2..
2
23 xx
xxxxxx
x
HR
x
HR
x
612 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
128. 0612
6lim3416lim
213lim 2
..
23
..
34
2
=−
=−−
=+−+−
→∞∞∞→∞∞∞→∞ xxxxx
xxxx
x
HR
x
HR
x
129. bb
bb
xarcx
dx
x
dx
0032
3
032 3
sin lim9
lim9 -- ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−∫∫ →→
2
02
0sin 3
sin lim-3
ππ=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
→arcbarc
b
130. ∫∫ +→=
11
00
lnlim lnb
bdxxdxx
Posons .et ln dxdvxu == Alors .et 1 xvdxx
du ==
[ ]
[ ] ( )
1 11
0 0
1
0 0
. .
20 0 0 0
1lim ln lim ln
lim ln 1ln1 1 lim ln
ln 1-1 lim ln 0 -1 lim -1 lim -1 lim - -1 0 -1.1 -1
bb bb b
bb b
R H
b b b b
x dx x x x dxx
x x x b b b
b bb b bb b
+ +
+ +
+ + + +
→ →
→ →
∞ ∞→ → → →
⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= − = − − −
= − + = − = − = − = − =
∫ ∫
131. ∫ ∫∫∫ =+=1
0
1
03232
0
1-32
1
1-32 2
ydy
ydy
ydy
ydy (puisque 32
1y
est une fonction paire).
Ainsi, [ ] ( ) .6032313lim231
lim2 lim2 31
0
1 131
0
32-
0
1
1-32 =−=−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
+++ →→→ ∫∫ bydyyydy
bb b
bb
132. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +
++
=+
++
=+ →→
0
53-12-
53-1
0
1-53
-1
2-53
0
2-53 1
lim1
lim111 +-
cc
b
b
dddddθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
( ) ( )
( ) ( ) 0025
2501
25lim
25
251
25lim
521lim
521lim
52
-1
52
-1
052
-12-
52
-1
+-
+-
=−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
→→
→→
cbcb
cc
b
b
θθ
Exercices récapitulatifs page 613
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
133. ( )2
2 2 ,2 22
A Bu u u uu u
= = +− −−
d'où ( ) ( )2 2 2 .A u Bu A B u A= − + = + −
Nous avons ,22- =A d'où .1-où d' ,0et -1, ===+= ABBAA
( ) ( )
23 3
33
2 1 1Ainsi, - 22
1 1lim - lim -ln ln 2 2
lim -ln ln 2 -ln3 ln1
2lim ln ln3 ln1 ln3 ln 3,
bb
b b
b
b
du duu uu u
du u uu u
b b
bb
∞ ∞
→∞ →∞
→∞
→∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟−− ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠
⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫
puisque .1ln11limln2limln2lnlim
..=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→∞∞∞→∞→ b
HR
bb bb
bb
134. ( ) ,1414
134
132223 −++=
−−
=−−
vC
vB
vA
vvv
vvv d'où ( ) ( ) 23 1 4 1 4 1 .v Av v B v Cv− = − + − +
En attribuant à v la valeur 0, nous obtenons .1=B
En attribuant à v la valeur 41 , nous obtenons .4-=C
En attribuant à v la valeur 1, nous obtenons ,332 CBA ++= d'où .1et 4332 =−+= AA
3 2 3 2 21 1 1
1 1
. .
3 1 3 1 1 1 4 lim lim 4 14 4
1 1lim ln ln 4 1 lim ln 4 -1
1 1 1 1 3lim ln ln 1 ln ln 1 1 ln .4 1 3 4 3 4
Ainsi,b b
b b
bb
b b
R H
b
v vdv dv dvv vv v v v v
vv vv v v
bb b
∞
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞ ∞ ∞
− − ⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − − = − + = +⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
614 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
135. Procédons par intégration tabulaire.
[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=−−==
∞→∞→∞→
∞
∫∫ 120022-lim2 2-limlim
2
0---2
0
-2
0
-2bbbb
bxxx
b
bx
b
x
eeb
ebeexexdxexdxex
En appliquant la règle de L'Hospital à ,2-limet -lim2
bbbb eb
eb
∞→∞→ nous obtenons la réponse 0, pour
chaque limite.
De plus, 0.2-lim =∞→ bb e
Ainsi, .2 0
-2 =∫∞
dxex x
136. dxexdxexb
x
b
x lim 0
3
-
0
-
3 ∫∫ ∞→∞
=
Posons . et 3 dxedvxu x== Alors .3
et 3xevdxdu ==
91-0
91-
3-31lim
91-03lim
91-
93lim
910
93lim
33lim lim
3--
..
3--
33
-
033
-
0 303
-
03
-
=−=
−=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
∞→∞∞∞→∞→
∞→∞→∞→ ∫∫
bb
HR
bb
bb
b
b
xx
bb
x
b
x
bb
x
b
eebeeb
eexdxeexdxxe
137. ∫∫∫∫∫∫⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
=+
=+
++
=+ →∞
∞∞∞
∞
∞
∞
b
bx
dx
x
dxxdx
xdx
xdx
xdx
02
20 202
02
0
-2
-2
23
lim21
494
294
2949494
6
023
10tan 31
32tan lim
31
32tan
32lim
21
0
ππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
→∞→∞arcbarcxarc
b
b
b
Exercices récapitulatifs page 615
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
138. b
b
b
b
xarcdxx
dxxx
dx
002
02
-2 4
tan 414lim2
16 4lim2
16 42
16 4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅=
+=
+=
+ →∞→∞
∞∞
∞∫∫∫
ππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
→∞0
220tan
4arctanlim2 arcb
b
139. Soit ( ) ( )θθ gf et définies respectivement par ( ) ( ) .1et 1
12 θ
θθ
θ =+
= gf
( )( ) ( )2 22 2
lim lim lim lim 1.1 1 11 1θ θ θ θ
f θ θ θ θg θ θ θ θθ θ→∞ →∞ →∞ →∞
= = = =+ ++
Par ailleurs, [ ] ,lnlim 1lim 16
66
∞===∞→∞→
∞
∫∫ b
b
b
bdd θθ
θθ
θ d'où cette intégrale impropre diverge.
Il en résulte que ∫∞
+62 1θ
θd diverge aussi, selon le test de comparaison entre intégrales
par une limite.
140. ∫∫∞
∞→=
bu
b
u duueduue0
-
0
- coslim cos
Posons . coset - duudwev u == Alors .sinet - - uwduedv u ==
∫ ∫= duueueduue uuu sin+sin cos ---
Posons . sinet - duudwev u == Alors .cos-et - - uwduedv u ==
( )∫ ∫−= dueuueueduue uuuu coscos-+sin cos ----
( )∫
∫−=
−=
ueueduue
ueueduue
uuu
uuu
cossin21 cos
cossin cos2
---
---
( )
( ) ( )
( ) .21
2100
21
110121cossinlim
21
cossin21lim coslim
--
0
--
0
-Donc,
=+−=
⋅−⋅−−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
∞→
∞→∞→ ∫
ueue
ueueduue
uu
b
buu
b
b
u
b
L'intégrale impropre converge.
616 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
141. Posons .ln Zu = Alors ,1ZdZ
du= d'où ∞→= udu
ZdZ , lorsque 0et =∞→ uZ lorsque .1=Z
Ainsi, .20
2lim
2lim lim ln 22
0
2
001
∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡===
→∞→∞→∞
∞∞
∫∫∫buduuduudZ
ZZ
b
b
b
b
b
L'intégrale impropre diverge.
142. Pour tout .ee0 ,1 --
tt
tt ≤<≥
De plus, - - - - -11
1 1
1 1e lim e lim -e lim -e e 0 ,e e
b bt t t b
b b bdt dt
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ donc cette intégrale
impropre converge. Donc dtt
t
e
1
-
∫∞
converge selon le test de comparaison directe entre intégrales.
143. - -- 0
2x x x xdx dx
e e e e
∞ ∞
∞
=+ +∫ ∫ (puisque la fonction -
1x xe e+
est paire).
Or - 20 0 0
2 2 2 .1 1
x
x x xx
x
dx dx e dxe e ee
e
∞ ∞ ∞
= =+ ++
∫ ∫ ∫
Posons .xu e= Alors , 1xdu e dx u= = lorsque ∞→= ux et 0 lorsque .∞→x
[ ] [ ] .0
220tan tan lim2tan lim2
1lim2
122 Ainsi,
0
02
02
0-
ππ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=−==
+=
+=
+
∞→∞→
∞→
∞∞
∫∫∫
arcbarcuarc
udu
udu
eedx
b
b
b
b
bxx
L'intégrale impropre converge.
144. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
-1 0 1
2 2 2 2 2- - -1 0 11 1 1 1 1x x x x x
dx dx dx dx dxx e x e x e x e x e
∞ ∞
∞ ∞
= + + ++ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Or,
( )
2
0 0
2
1
lim lim1 21
1
x
x x
x
x e
x e
→ →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = + =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
et 11 1
2 20 0 00
1 1lim lim - -1 lim - ,b b bbb
dx dxx bx x+ + +→ → →
⎡ ⎤= = = − = ∞⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Exercices récapitulatifs page 617
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
donc cette intégrale impropre diverge.
Il s'ensuit que ( )
1
20 1 x
dxx e+∫ diverge selon le test de comparaison par une limite et, par conséquent,
que ( )2
- 1 x
dxx e
∞
∞ +∫ diverge.
145. ( ) ( ) 122
11 1 Cedxedyyy
dxedyyy
yyedxdy xxxx +==
−⇒=
−⇒−= ∫∫
Or ( ) ,11
1−
+=− y
ByA
yy d'où ( ) ( )1 1 .A y By A B y A= − + = + −
Nous trouvons .1-où d' ,0et -1,où d' ,1- ===+== ABBAAA
Ainsi, ( ) 2 1 ln ln- 1
11- 1
1 Cyydyyy
dyyy
+−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=− ∫∫ et
1 2-ln ln 1 , où .xy y e C C C C+ − = + = −
Comme 2=y lorsque ,0=x nous avons .2ln1-2ln-où d' ,1ln2ln- 00 −=−=+=+ eCCe
La solution de l'équation différentielle est donc .2ln1 1 ln ln- −−=−+ xeyy
146. ( )( ) ( )
Cy
dy
dydy
dyyddy
+=+
⇒=+
⇒=+
⇒+= ∫ ∫ θθθθθθθ
cos-1
1- sin1
sin1
sin1 222
Comme 0=y lorsque ,2πθ = nous avons ,01- C+= d'où -1.=C
La solution de l'équation différentielle est donc ,1cos
11+ou 1cos-1
1-+
=−=+ θ
θ yy
ou encore .11cos
1−
−=
θy
147. 23
23
122 +−
=⇒+−
=xx
dxdyxxdx
dy
Or ( )( )2
1 1 ,2 1 2 13 2
A Bx x x xx x
= = +− − − −− +
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A x B x A B x A B= − + − = + + −
Nous avons ,12-et ,-où d' ,0 =−==+ BABABA d'où .1et -1 ,12 ===− ABBB
618 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, ∫ ∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−=
+−= dx
xxxxdxdy
11
21
23 2 et . 1 ln 2 ln Cxxy +−−−=
Comme 0=y lorsque ,3=x nous avons .2lnet ,2ln1ln0 =+−= CC
La solution de l'équation différentielle est donc .2ln 1 ln 2 ln +−−−= xxy
148. tt
dtsds
tts
dtds
222222
22 +=
+⇒
++
=
Or ( ) ,22
12
12 +
+=+
=+ t
BtA
tttt d'où ( ) ( ) .21-et 21 ,221 ==++=++= BAAtBABttA
Nous avons donc ∫ ∫∫∫ +−=
+=
+dt
ttdtt
ttdt
sds
221
21
222 2
Ctts ++−=+ 2ln21 ln
21 1 ln
21
. 2
ln 1 ln Ct
ts ++
=+
Comme 1=s lorsque ,31ln2ln ,1 Ct +== d'où .6ln
312ln
31ln2ln ==−=C
La solution de l'équation différentielle est donc 2
6 ln6ln 2
ln 1 ln+
=++
=+t
tt
ts
ou . 2
6 1 +
=+t
ts
Exercices supplémentaires page 619
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications
1. Posons ( ) .et sin 2 dxdvxarcu == Alors .et 1
1sin 22
xvdxx
xarcdu =−
⋅=
Ainsi, ( ) ( ) . 1
sin 2sin sin 2
22 dxx
xxarcxarcxdxxarc ∫∫−
−=
Posons ( ) . 12- 1
2-et sin 21-2
2dxxxdx
x
xdvxarcu −=−
==
( )
( )
( ) ,21sin 2
1
121sin 2
1
sin 21221
1et 1
1 Alors
2
2
22
22
212
2
Cxxxarc
dxx
xxxarc
dxx
xxarcxxvdxx
du
+−−=
−
−−−=
−−−=
−=
−=
∫
∫
de sorte que ( ) ( ) ( ) .21sin 2sin sin 222 Cxxxarcxarcxdxxarc +−−+=∫
2. ( ) ; 1
111
1 ; 11+
−=+
=xxxxxx
( )( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 ;1 2 2 1 2 2
1 1 1 1 1 ;1 2 3 6 2 1 2 2 6 +3
1 1 1 1 1 1 ;1 2 3 4 24 6 1 4 2 6 +3 24 4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
= − ++ + + +
= − + −+ + + + +
= − + − ++ + + + + + +
nous retrouvons la régularité suivante : ( )( ) ( )
( )( ) ( )0
-11 .1 2 ... ! !
km
kx x x x m k m k x k=
=+ + + − +∑ .
Ainsi, ( )( ) ( )
( )( )0
-1ln .
1 2 ... ! !
km
k
dx x k Cx x x x m k m k=
= + ++ + + −∑∫
620 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
3. Posons . et sin dxxdvxarcu == Alors .2
et 1
1 2
2
xvdxx
du =−
=
Ainsi, . 12
sin 2
sin 2
22
dxx
xxarcxdxxarcx ∫∫−
−=
Pour évaluer l'intégrale du membre de droite de l'égalité,
posons , coset sin θθθ ddxx == pour .22
- πθπ≤≤
,cos cos cossin11 222 θθθθ ===−=− x puisque 0cos ≥θ pour .22
- πθπ≤≤
( )
2 22
2
2
sin 1 cos sin 2cos 22 1
1 1 cos 2 1 sin 2 2 2 4 2
1 2sin cos4 21 sin 1 .4
x θdx θ dθ θ dθθx
θ θdθ θ C
θ θθ C
arc x x x C
= ⋅ =−
− ⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − +
∫ ∫ ∫
∫
Finalement, ( )2
21 sin sin arcsin 1 .2 4xx arc x dx arc x x x x C= − − − +∫
4. Posons .yz = Alors . 2et 2
1 dzzdydyy
dz ==
Ainsi, ∫∫ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−== Czzzarczarczdzzzarcdyyarc 2
2
1sin 41sin
22 sin 2 sin
( )
.21sin
21sin
1arcsin21sin
2 Cyyyarcyarcy
Cyyyyarcy
+−+−=
+−−−=
5. 2
2 2 2 2
2
cos1 tan sin cos sin1
cos
dθ dθ θ dθθ θ θ θ
θ
= =− −
−∫ ∫ ∫
( )1 cos2 1 sec2 1 2cos2 2ln sec2 tan 2 1
2 2
ln sec2 tan 2 24
θ dθ θ dθθθ θ
θ C
θ θ θC
+= = +
⎡ ⎤+= + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ += +
∫ ∫
x
2 1 x−
1
θ
Exercices supplémentaires page 621
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. Posons ( ) .et 1ln dxdvxxu =++=
dxxx
dxxx
xxxx
dxxxxx
du
12
1
14
2121
1 121
21
11 Alors
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
et .xv =
( ) ( ) ∫∫ +−++=++
xxdxxxxxdxxx1
211ln 1ln
Or,
41
21
1
41
41
1111
22
2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−++
=+
=+
xxxxxxx
d'où ( ) ( ) .
41
21
211ln 1ln
2∫∫−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−++=++
x
dxxxxxdxxx .
Posons .sec21
21 θ=+x Alors θθθ ddx tansec
21
= pour 2
0 πθ <<
et θθ tan21 tan
21
41
21 2
2
==+=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + xxx puisque 0tan >θ pour .
20 πθ <<
( ) ( )
( )
2
2
2 2
1 1 1sec sec tan 1 1 2 2 2 12 21 1 tan
22 4
1 1sec sec tan ln sec tan 4 41 2 ln 2 1 2 .4
Ainsi,θ θ θ dθ
x dx
θx
θ θ dθ θ θ θ C
x x x x x C
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − = − + +
= + − + + + +
∫ ∫
∫
Il s'ensuit que ( ) ( ) .4
212 ln21ln 1ln
22
Cxxxxx
xxxdxxx ++++−+
−++=++∫
21
21 +x
xx 2 +θ
622 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
7. Posons , coset sin θθ ddtt == pour .22
- πθπ≤≤
,cos cos sin11 22 θθθ ==−=− t puisque 0cos ≥θ pour .22
- πθπ≤≤
.1tan
coscos
cossincossin
cos
1 2 ∫∫∫∫ −=
−=
−=
−− θθ
θθ
θθ
θθθ
θθ ddd
tt
dt
Posons , secet tan 2 θθθ dduu == d'où .1sec 22 +
==u
dududθ
θ
Alors, ( )( )22
.1 11
dt duu ut t
=− +− −
∫ ∫
Or ( )( ) 22
1 ,1 11 1
A Bu Cu uu u
+= +
− +− + d'où
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 .A u Bu C u A B u C B u A C= + + + − = + + − + −
Nous avons ,0=+ BA d'où ,0 ,- =−= BCBA d'où ,1et =−= CACB
d'où 21-,21-et 1- ===− CBBB .21et =A
( )
22
2 2
2
1 1 1 1Ainsi, 2 1 2 111 1 1 2 1 2 1 2 2 21 11 1 1 ln 1 ln 1 tan2 4 2
dt uduu ut t
u dudu duu u u
u u arc u C
+= −
− +− −
= − −− ⋅ + +
= − − + − +
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
2
2
1 1 1ln tan 1 ln tan 12 2 21 1 1 ln tan 1 ln sec 2 2 21 tan 1 1 ln 2 sec 2
11 11 ln 12 2
1
θ θ θ C
θ θ θ C
θ θ Cθ
tt ar
t
− − + − +
= − − − +
−= − +
−−= −
−
21 1sin ln 1 sin .2 2
c t C t t arc t C+ = − − − +
t
1 2t−
1
θ
Exercices supplémentaires page 623
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
8. Posons xu e=
Alors ( )( )
.
341
123
1 163
12 163
2et 222
2
duu
uduuu
udxee
eedxeduxx
xxx ∫∫∫
−−
−=
−−
−=
−−
−=
Posons .sec3
21 θ=−u
Alors θθθ ddu tansec3
2= pour .
20 πθ <<
( )
( )
2
21
2 21
2 21
2
4 sec 11 2 1 1 23 sec tan 23 4 3 3tan1 33
4 1 4 1sec sec tan ln sec tan 3 33 3
4 3 1 3 32 1 3 ln 1 2 1 3 3 2 2 23
2 1 1 1 32 ln 1 2 1 3 ln3 23 3 3
1 12 2 ln 133
x x x
θu du θ θ dθ
θu
θ dθ θ dθ θ θ θ C
u u u u u C
u u u u u C
e e e
+−
= ⋅− −
= + = + + +
= ⋅ − − + − + − − +
= − − + − + − − + +
= − − + −
∫ ∫
∫ ∫
2 12 .3
x xe e C⎡ ⎤
+ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
9. ( ) ( )( )4 4 2 2 2 2 22 2
1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 22 4
dx dx dx dxx x x x x x x xx x
= = =+ + + − + + − ++ −
∫ ∫ ∫ ∫
Les deux facteurs quadratiques sont irréductibles.
( )( ) 2 22 2
1 ,2 2 2 22 2 2 2
Ax B Cx Dx x x xx x x x
+ += +
+ + − ++ + − + d'où
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2
1 2 2 2 2
-2 2 2 2 2 2 2 2
Ax B x x Cx D x x
A C x A B C D x A B C D x B D
= + − + + + + +
= + + + + + + − + + + +
32
1 −u31 2 2 −− uu
θ
624 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Nous obtenons le système d'équations linéaires :
( )( )( )( )4321
1000
222
2
222
2-
====
+++
+++
−+
DD
DCC
C
BB
BA
AA
( ) ( ) ( )4123 +− donne .41=D
( )4 donne alors .41=B
( ) ( )32 + donne ,034- =++ DCB d'où .81-=C
( )1 donne .81=A
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 8 1 4 -1 8 1 41Ainsi, 4 2 2 2 2
1 2 4 -2 4 16 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 16 2 2 2 21 1 1 1
1 ln 2 2 2 tan 1 ln 2 2 2 t16
x xdx dx
x x x x x
x x dxx x x x
x x dxx x x xx x
x x arc x x x arc
⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + − +⎝ ⎠
+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟+ + − +⎢ ⎥+ + − +⎝ ⎠⎣ ⎦
= + + + + − − + +
∫ ∫
∫
∫
( )
( ) ( )2
2
an 1
1 2 2 1ln tan 1 tan 1 .16 82 2
x C
x x arc x arc x Cx x
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
⎛ ⎞+ + ⎡ ⎤= + + + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦− +⎝ ⎠
Note : 02222
2
2
>+−++
xxxx pour tout x puisque les facteurs quadratiques du numérateur et du
dénominateur sont irréductibles, donc toujours de même signe, et que leur valeur en ,0=x
par exemple, est positive.
10. ( )( ) ( )( )( )( )6 2 4 2 2 2
1 1 11 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x= =
− − + + − + − + + +
2 21 1 1 2 2 ,6 1 1 1 1
x xx x x x x x
− +⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥− + − + + +⎣ ⎦ d'où
6 2 21 1 1 1 2 2
6 1 11 1 1x xdx dx
x xx x x x x− +⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟− +− − + + +⎝ ⎠∫ ∫
Exercices supplémentaires page 625
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) 2 2 2 2
2
2
1 1 2 1 3 2 1 3ln 1 ln 1 6 12 1 11 3 1 3
2 4 2 4
1 1 1 1 2 1 2 1ln ln 2 3 tan 2 3 tan .6 1 12 1 3 3
x xx x dxx x x x
x x
x x x x xarc arc Cx x x
⎡ ⎤⎢ ⎥
− +⎢ ⎥= − − + + − − −⎢ ⎥− + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − += + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
11. [ ] [ ]- - -021 1 10
lim lim sin lim sin sin 0 02 21
bb
b b b
dx π πarc x arc b arcx→ → →
= = − = − =−
∫
12. . .
0
0
tan 1 tanlim tan lim lim
1 2
x
x R H
x x x
arc t dtarc x πarc t dt
x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞= = =
∫∫ .
13. ( )1
0lim cos
x
xx
+→ est une forme indéterminée ∞1 .
Posons ( ) ( ) .cos1 x
xxf = Alors ( ) ( ) ( ) ( )1 ln cos1ln ln cos ln cosx x
f x x xx x
= = ⋅ = et
( )( ) . .
0 00 0 0
2. .
0 00 0
2
0
1 1-sinln cos cos 2lim ln lim lim1
1sec1 tan 1 2- lim lim 12 2
21 1 1- lim sec - 1 - .2 2 2
R H
x x x
R H
x x
x
xx x xf xx
xx x
xx
x
+ + +
+ +
+
→ → →
→ →
→
⋅ ⋅= =
⋅= = −
= = ⋅ =
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )0
lim ln1 ln -1 2
0 0 0
1lim cos lim lim .xf xx f x
x x xx f x e e e
e+→
+ + +→ → →= = = = =
626 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
14. Posons ( ) ( ) .2 xxexxf += Alors ( ) ( )xex
xxf += ln2ln
( )
( ) ( )
( )
. .
. . . .
12 12ln lim ln lim lim
1
2 1 2 2lim lim lim 2.1
etxx
R H x
x x x
x x xR H R H
x x xx x x
ex e x ef xx
e e ex e e e
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞
⋅ ⋅ ++ += =
+= = = =
+ +
Donc ( ) ( ) ( ) ( )2 lim lnln 2lim e lim lim .xx f xf xx
x x xx f x e e e→∞
→∞ →∞ →∞+ = = = =
15. [ ] ( ) [ ]--
lim sin lim -cos lim -cos cos - lim -cos cosx
xxx x x x
x
t dt t x x x x→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦∫
(puisque la fonction xcos est une fonction paire) ( ) .00lim ==→∞x
16. 12
20 0 02
11lim lim 1 et
cos cost t
dttt t t
t
+ +→ →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ diverge (voir exercices récapitulatifs, exercice 144).
Donc dtt
t
xx
coslim1
20 ∫+→ diverge selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.
Ainsi dtt
txx
x coslim
1
20 ∫+→ est une forme indéterminée ,0 ∞⋅ que nous transformons pour appliquer la
règle de L'Hospital : 21 2. .
120 0 0 0
2
cos cos- -coslim lim lim lim cos 1.
11 -
x
R H
x x x xx
t xdttt xx dt x
xtx
+ + + +∞ ∞→ → → →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫
17. xdxdy 2cos= est continue sur l'intervalle [ ],4 ,0 π d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.
[ ]
10222
sin2 cos2 cos 2
1cos21 2cos1 1
40
4
0
4
0
4
0
24
0
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
===
−+=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
∫∫
∫∫∫
πππ
ππ
xdxxdxx
dxxdxxdxdxdyL
b
a
Exercices supplémentaires page 627
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
18. 212-xx
dxdy
−= est continue sur l'intervalle [ ]0, 1 2 , d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.
( )( )
( )
22 22 21 2 1 2
2 220 0
1 2 1 22
2 20 0
1 21 2
00
1 4-21 1 1 1
1 2 -1 1 1
1 1-1 - ln 1 ln 1 1 1
-1 -1ln 3 2 ln1 2 0 0 0 ln 32 2
b
a
x xdy xL dx dxdx x x
x dx dxx x
dx x x xx x
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −
+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + = + + − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ −⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
19. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
dxxx
dxxxx
16
132
1
0
2
1
0
−=
−⋅=
∫
∫
π
π
Posons .1 xu −= Alors ( ) .1et - 22 uxdxdu −==
De plus, .01et 10 =⇒==⇒= uxux
( )
( )
( )
( )
02 1 2
1
12 1 2
0
11 2 3 2 5 2
0
13 2 5 2 7 2
0
-6 1
6 1 2
6 2
263 2 5 2 7 2
2 4 2 326 0 0 03 5 7 35
V π u u du
π u u u du
π u u u du
u u uπ
ππ
= −
= − +
= − +
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
∫
y
x0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
xxy 1 3 −=
628 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. Méthode des disques :
( )
.4
154ln2541ln
454ln
5 5
ln
5
151
525
4
1
4
12
4
12
2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−++=
−==
∫
∫ ∫
ππ
π
π
ππ
xxx
dxxxx
dxxx
dxyVb
a
21. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b
a
V dx= ∫
dxexdxex xx 2 21
0
1
0∫∫ == ππ
Posons . et dxedvxu x== Alors ,=et xevdxdu =
de sorte que xxxxx eexdxeexdxex −=−= ∫∫ et
( )
1 1
00
2 2
2 0 1 2 .
x x xV π xe dx π xe e
π e e π
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦
∫
22. Méthode des tubes :
[ ][ ]
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
ln 2
0
ln 2
0
ln 22
0
22
2
circonférence du tube hauteur du tube
2 ln 2 1
2 ln 2 ln 2
2 ln 2 ln 22
ln 22 2ln 2 ln 2 2ln 2 2 2 ln 2 1
2
ln 22 - ln 2 1 .
2
b
a
x
x x
x x x
V dx
π x e dx
π e xe x dx
xπ e x xe e
π π
π
=
= − −
= − − +
⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
∫
y
x1 2 3 4
1
2
2,5
1,5
0,5
( )xxy 55/ −=
0
Exercices supplémentaires page 629
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. a) Méthode des disques troués :
( ) ( ) ,lnet 1 xxrxR == d'où
( )( ) ( )( )
( )
[ ] ( )
2 2
1
2
1
21
1
1 ln
ln
e
e
ee
V π R x r x dx
π x dx
π x π x dx
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
= −
∫
∫
∫
( ) dxx ln 2∫ s'obtient en posant ( ) .et ln 2 dxdvxu == Alors ,et ln2 xvdxx
xdu == de
sorte que ( ) ( ) . ln2ln ln 22 dxxxxdxx ∫∫ −=
De même, dxx ln∫ s'obtient en posant ,et ln dxdvxu == de sorte que
,et 1 xvdxx
du == et que .lnln ln∫ ∫ −=−= xxxdxxxdxx
Nous obtenons ainsi :
( ) ( )
( ) ( )[ ]
e2
11 ln 2 ln 2
1 2 2 0 0 2
1 2 .
V π e π x x x x x
π e π e e e
π e e π
⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − − + − − +⎣ ⎦
= − − + =
b) Méthode des disques
( )
( )
( )
2
2
1
2
1
1 ln
1 2ln ln .
e
e
V π R x dx
π x dx
π x x dx
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
= −
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
∫
∫
∫
Or ∫ +−= Cxxxdxx ln ln (voir l'exemple 4, page 190) et
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln 2 ln ln 2 lnx dx x x x dx x x x x x C= − = − − +∫ ∫ (voir l'exercice 46, page
194).
630 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )
( )
( )
( )( )
e2
1
e2
1
e2
1
Nous avons donc 2 ln ln 2 ln 2
2 ln 2 ln 2 ln 2
5 4 ln ln
5 4 5 0 0
2 5 .
V π x x x x x x x x x
π x x x x x x x x x
π x x x x x
π e e e
π e
⎡ ⎤= − − + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦
= −
24. a) Méthode des disques troués : ( ) ( )et 1.yR y e r y= =
( )( ) ( )( ) ( )
( )
12 2 2
0
1 22 2
0
1
311 02 2 2 2
dy
c
y
V π R y r y dy π e dy
π ee eπ y π
⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
b) Méthode des disques : ( ) 1.−= yeyR
( ) ( ) ( )
( )
1 122 2
0 0
12 2
0
22
1 2 1
12 2 1 2 02 2 2
4 5522 2 2
dy y y
c
yy
V π R y dy π e dy π e e dy
e eπ e y π e
π e eeπ e
⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
− +⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
25. a) 0-lim1-1lim
1lnlimlnlim
020
..
00====
++++ →→∞∞→→x
xx
xxxx
xx
HR
xx et ( ) ,00 =f d'où
( ) ( ).0lim0
fxfx
=+→
La fonction f est donc continue à droite en .0=x
b) Méthode des disques :
( )
( )
2
222
0
ln .
V π R x dx
πx x dx
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
=
∫
∫
L'intégrale s'obtient par intégration par parties.
Exercices supplémentaires page 631
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Posons ( ) . et ln 22 dxxdvxu == Alors .3
et 1ln23xvdx
xxdu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
( ) ( )
( )
( )
2 22 22 2
00
2 23 32
0
2 232 2
0
ln lim ln
1lim ln 2ln 3 3
2lim ln ln 3 3
b b
b bb
b bb
V πx x dx π x x dx
x xπ x x dxx
xπ x x x dx
+
+
+
→
→
→
= =
⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟= − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
∫ ∫
∫
∫
Posons cette fois . et ln 2 dxxdvxu == Alors ,3
et 1 3xvdxx
du == de sorte que
( )
( )
( ) ( ) .272ln
92ln
3lim
27162ln
9162ln
38
331
32ln
332ln
3lim
3
ln33
2ln3
lim
3323
0
2
2332
3
0
2 32322
3
0
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅+−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
+
+
+
→
→
→ ∫
bbbbb
xxxxx
dxxxxxxV
b
bb
bbbb
π
π
π
( ) ( ) ( )23 . .2
3 40 0 0
3. .
3 40 0 0
ln 2 ln 1Or lim ln lim lim
3 3 -9
2ln 2 1 2lim lim lim 0.27-9 27
R H
b b b
R H
b b b
b b bb bb b
b b bb b
+ + +
+ + +
∞ ∞→ → →
∞ ∞→ → →
⋅= =
⋅= = = =
De même, 330 0
-2 2lnlim ln lim 09 -9b b
bb bb+ +→ →
= = selon le raisonnement ci-dessus.
Finalement, .0272lim 3
0=
+→b
b
Nous pouvons enfin conclure que ( )28 16 16ln 2 ln 2 .3 9 27
V π ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
632 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26. Méthode des disques :
( ) ( )
[ ]
1 12 2 2
00
112
0
1
0
-ln lim ln
lim ln 2 ln
-2 lim ln 2 .
b
ba b
bbb
bb
V π R x dx π x dx π x dx
π x x x dx
π x x x π
+
+
+
→
→
→
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =
∫ ∫ ∫
∫
27. Posons . et 1
1 1 dynydvy
u n−=+
= Alors ( )2
1- et .1
ndu dy v yy
= =+
( )
( ) ( )∫∫
∫∫
++=
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=+
→∞→∞→∞
→∞
−
→∞
1
02
1
02
1
02
1
0
1
0
1
. 1
lim21
1lim
10
21lim
11
lim 1
lim Ainsi,
dyy
ydyy
y
dyy
yy
ydyy
ny
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
Or ( )( )
.1
011110 22 n
n
yy
yyyy ≤+
≤⇒≥+⇒≥+⇒≥
De plus, 01
1lim1
01
1lim1
lim lim111
0
11
0
=+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=→∞
++
→∞
+
→∞→∞ ∫ nnnnydyy
n
nn
n
n
n
n
n et .0 0lim
1
0∫ =
→∞dy
n
Il s'ensuit, selon le théorème du sandwich, que ( )
.01
lim1
02 =
+∫∞→ yyn
n
Finalement, .210
21
1lim
1
0
1
=+=+∫
−
∞→dy
ynyn
n
28. Posons .22 axu −= Alors . 2 dxxdu =
( )
( ) Cn
axC
nuCn
nu
Cnuduudxaxx
nn
nn
n
++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=++
=++
+
⋅=
++
==⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
++
+
∫∫
222
22
2
21
12
21
21
2222
12222
xy ln −=
y
x1
z
Exercices supplémentaires page 633
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. Si ,10 << x alors ,-0et 0 ,-- , 332323 xxxxxx ><>< d'où 322 44 xxx −−>− et
.2444 22232 xxxxx −=−−>−−
Comme 024et 04 ,04 2322 >−>−−>− xxxx pour ,10 << x il découle des inégalités
précédentes que 2322 2444 xxxx −>−−>− et que .24
1
4
1
4
12322 xxxx −
<−−
<−
Or .6
06
0sin 21sin
2sin
4
1 1
0
1
02
ππ=−=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
−∫ arcarcxarcdx
x
.
820
4210sin
21sin
21
2sin
21
2
12
1 24
1 ailleurs,Par 1
0
1
02
1
02
ππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=
−∫∫
arcarc
xarcdxx
dxx
Selon la propriété de dominance des intégrales définies (voir le théorème 1.2.9, page 25)
.8
2
46
1
032∫ <
−−<
ππ
xx
dx
30. dxxx
axdxxx
ax b
b
21
1lim
21
1 12
12 ∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ →∞
∞
( ) ( )
( )
22
11
2
11 1lim ln 1 ln lim ln2 2 2
11lim ln ln 2 .2
bab
b b
a
a
b
xa x xx
b
b
→∞ →∞
→∞
⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Or ( ) .21 si limlim1lim 2
1222
>∞==>+ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→∞→∞→∞ab
bb
bb a
b
a
b
a
b L'intégrale impropre diverge donc si .
21
>a
Pour ,21
=a nous avons ,111lim1lim 2
2
=+=+
∞→∞→ bbb
bb
( )1 22
1 211 1 1 ln 2 lim ln ln 2 ln1 ln 2 - .
2 2 2 4d'où
b
b
b→∞
⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎢ ⎥− = − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
L'intégrale impropre converge dans ce cas.
Pour ,21
<a ( ) ( ) ( )
2 22 11 1
0 lim lim lim 1 0
a aa
b b b
b bb
b b−
→∞ →∞ →∞
+ +≤ < = + = d'où ( ) .-1lnlim
2
∞=+
→∞ bb
a
b
634 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
L'intégrale impropre diverge dans ce cas.
En résumé, l'intégrale impropre dxxx
ax 21
112∫
∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+ ne converge que pour .
21
=a Sa valeur est
alors .42ln-
31. Posons ( ) .et dxdvxfu == Alors ( ) .et xvdxxfdu =′=
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
3 2 3 23 2
22 2
3 2
2
3 22
Alors
3 3 cos 2 2 2 2
3 sin2 2
3 -1 1 3 2.2 2
π ππ
ππ π
π
π
ππ
f x dx xf x xf x dx
π π π πf f x dx
π πb a x
π πb a b a
′⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − − − = − +
∫ ∫
∫
32. [ ] aarcarcaarcxarcx
dx aa
tan 0tan tan tan 1 0
02 =−==
+∫
[ ] [ ] aarcaarcbarcxarcx
dxb
bab
a
tan 2
tan tan limtan lim1 2 −=−==+ ∞→∞→
∞
∫π
Par conséquent, ,4
tan ou 2
tan 2tan 2
tan πππ==⇒−= aarcaarcaarcaarc d'où 1=a
puisque .0>a 33. Calculons la longueur du quart de cercle d'équation 24 xy −= situé dans le premier quadrant.
Nous avons .4
-2-42
122 x
xxxdx
dy
−=⋅
−=
Exercices supplémentaires page 635
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
ππ=−⋅=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−=
−+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+=
→
→
→ ∫∫
∫∫
02
2
0sin 22
sin 2lim
2sin 2lim
4
2lim 4
2
4
4 4
-1
-
-
-
2
02
022
2
02
2
02
222
0
2
2
arcbarc
xarc
dxx
dxx
dxx
xxdxx
xL
b
b
b
b
b
La longueur du cercle de rayon 2 est ,4L soit .4π
34. Cxyxdx
dyxdx
dy+±=⇒±=⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
21
412
Puisque 0=y lorsque ,0=x on en déduit que ,et 0 xyC ±== pour .40 ≤≤ x 35. Soit ( ) .2 cbxaxxP ++= Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ,000et 0et 110et 0 =⇒=′=′=⇒== bPbPcPcP
d'où ( ) .12 += axxP
Décomposons ( )( )23 1−xx
xP en fractions partielles : ( ) ( )
.111
123223
2
−+
−+++=
−+
xE
xD
xC
xB
xA
xxax
Pour que l'intégrale soit une fonction rationnelle, il faut que 0et 0 == DA
(puisque ln xAdxxA
=∫ et 1 ln 1
−=−∫ xDdx
xD qui ne sont pas des fonctions rationnelles).
Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 3 21 1 1 -2 2 ,ax Bx x C x Ex B E x B C x B C x C+ = − + − + = + + + + − +
d'où 02 ,1 =−= CBC d'où aBCB =−= 2 ,2 d'où .3-et 41 ==− aa
Le polynôme recherché est ( ) .13- 2 += xxP
636 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
36. L'intégrale dxx 11
1-
2∫ − est l'aire du demi-cercle centré à l'origine et de rayon 1 situé au-dessus de
l'axe des x. Cette aire est bien entendu la moitié de l'aire du cercle, soit ( ) ,2
121 2 ππ = ce qui
donneπ lorsqu'elle est doublée.
La longueur de l'arc circulaire 21 xy −= entre 1et -1 == xx est
( )221 1 1
2 2-1 -1 -1
- 11 1 221 1
dy x dxL dx dx π πdx x x
⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫ puisque L est la moitié de
la circonférence du cercle. Il est donc bien vrai que .1
121
1-2
1
1-
2 ∫∫−
=−x
dxdxx
37. Soit ( ) pp
xxxf 1- == pour .1 ∞<≤ x
L'aire de la région entre ( )xf et l'axe des x est ∫∞
=1
pxdxA et le volume du solide de révolution
autour de l'axe des x est, par la méthode des disques, ( )2
2
21 1 1
1 .p pdxV π R x dx π dx π
x x
∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎡ ⎤= = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
Or ∫∞
1px
dx converge si 1>p et diverge si 1≤p (voir l'exemple 4 de la section 3.6, page 231).
Donc l'aire de la région est infinie pour .1≤p
De même, ∫∞
12 px
dx converge si 12 >p et diverge si .12 ≤p
Donc le volume de révolution est fini si ,12 >p ou .21>p
Par conséquent, pour que l'aire de la région soit infinie et que le volume de révolution soit fini,
il faut .121
≤< p
Exercices supplémentaires page 637
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. L'aire est donnée par l'intégrale .1
0∫= px
dxA
Pour 1=p : [ ]10 0
lim ln - lim lnbb bA x b
+ +→ →= = = ∞ et l'intégrale diverge.
Pour 1>p : 11 1
0 0lim 1 lim -p p
bb bA x b
+ +
− −
→ →⎡ ⎤= = − = ∞⎣ ⎦ et l'intégrale diverge.
Pour 1<p : 11 1
0 0lim 1 lim 1 0 1p p
bb bA x b
+ +
− −
→ →⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦ et l'intégrale converge.
L'aire de la région est donc infinie pour .1≥p
Le volume du solide engendré par la rotation de la région autour de l'axe des x est ,1
02∫= px x
dxV π
qui converge si ,21ou ,12 << pp et diverge si .
21
≥p Le volume est donc infini dans tous les
cas où l'aire est infinie ( 1≥p ). Le volume du solide engendré par la rotation de la région autour de l'axe des y est
( ) 2
21 1
,y pdyV R y dy π
y
∞ ∞
⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫ qui converge si ,12>
p c'est-à-dire si 2<p (voir l'exercice 37).
En résumé, la région sous la courbe pxy -= a une aire infinie et donne lieu à un volume de
révolution fini pour .21 <≤ p 39. a)
b) ( ) ( ) ( )0- - -
- +- - 0
lim lim x x x x
bx e e ex x e x
a ba
e dx e e dx e e dx e e dx∞ ∞
−
→ ∞ → ∞∞ ∞
= = +∫ ∫ ∫ ∫
Posons .xeu = Alors dxedu x = et
638 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
b
1- -
- +- 1
1- -1- +
- -
- +
0
lim lim
lim - lim -
1 1lim - lim -
1 1- 0 1.
bx
a
b
a
a
ex e u u
a be
eu uea b
e e
a b
e dx e du e du
e e
e ee e
ee e
∞−
→ ∞ → ∞∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
= +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
L'intégrale impropre converge.
40. a) ( )∫∫ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+−+−=
+− 1
02
24561
02
44
722
144454
11 πdx
xxxxxdx
xxx
b) % 04,0%100722
≈×−
π
π
c) L'aire est inférieure à 0,003.
41.
d'où
2 2
2 2
1 cos3 sin 33
1 1 -2 - cos3 4 - cos3 ,9 9
x x
x x
e x dx e x
e x e x dx
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
∫
x
y
( )1 1 2
44
+−=
xxxy
10,2 0,4 0,6 0,8
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 0x
y
( )1 1 2
44
+−=
xxxy
10,2 0,4 0,6 0,8
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
Exercices supplémentaires page 639
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
∫
∫ ∫
+=
−+=
xexedxxe
dxxexexedxxe
xxx
xxxx
3cos923sin
31 3cos
913
3cos943cos
923sin
31 3cos
222
2222
et ( )∫ ++= .3cos23sin313
3cos2
2 Cxxedxxex
x
42.
d'où ∫ += xexedxxe xxx 4sin1634cos
41- 4sin
1625 333
et [ ] .4cos44sin325
4sin2534cos
254- 4sin
3333 Cxxexexedxxe
xxxx +−=+=∫
43.
d'où
∫ ∫++= dxxxxxxxdxxx sin3sin9sin3cos3cos3sin- sin3sin
∫ +=− xxxxdxxx sin3cos3cos3sin- sin3sin8 et
.8
sin3cos3cos3sin sin3sin Cxxxxdxxx +−
=∫
44.
d'où ∫ −= xxxxdxxx 4sin5sin1654cos5cos
41- 4sin5cos
169-
et .4sin5sin954cos5cos
94 4sin5cos Cxxxxdxxx ++=∫
( )( ) ( ) ( ) , sin-3sin9-sin-3cos3-
cos-3sin sin3sin dxxxxx
xxdxxx⋅+⋅
⋅=
∫∫
3 3
3 3
1 sin 4 - cos 44
3 9 sin 4 sin 4 ,16 16
x x
x x
e x dx e x
e x e x dx
=
+ −
∫
∫
1 cos 5 sin4 - cos 5 cos 44
5 25 sin 5 sin 4 cos 5 sin 4 ,16 16
x x dx x x
x x x x dx
=
− +
∫
∫
640 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45.
dxbxb
eabxb
eabxb
edxbxe axaxaxax sin1-sin1-cos1- sin 22
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅= ∫∫
dxbxebabxe
babxe
bdxbxe axaxaxax sinsincos1- sin 2
2
2 ∫∫ −+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +∫ bx
babx
bedxbxe
bab axax sincos1- sin 22
22
( ) Cbxbbxaab
edxbxeax
ax +−+
=∫ cossin sin 22
46.
d'où 2
2 211 cos sin cos ,ax ax axa ae bx dx e bx e bxbb b
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
+=∫ bx
babx
be
babdxbxe axax cossin1 cos 222
2
et ( ) .cossin cos 22 Cbxabxbba
edxbxeax
ax +++
=∫
47.
48.
( ) ( )
( )
1 ln ln
ln
ax dx x ax x dxx
x ax x C
= − ⋅
= − +
∫ ∫
2
2 2
1 cos sin
+ cos cos ,
ax ax
ax ax
e bx dx e bxb
a ae bx e bx dxb b
=
−
∫
∫
( ) ( )
( ) Cxaxx
dxxaxxdxaxx
+−=
−= ∫∫
9ln
3
3
ln3
ln 33
232
Exercices supplémentaires page 641
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. a) ( ) - -
0 0
1 lim b
t t
be dt e dt
∞
→∞Γ = =∫ ∫
- - 00
lim - lim - 0 1 1.bt b
b be e e
→∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b) ( ) dtetx tx 10
-∫∞
=+Γ
Posons . et - dtedvtu tx == Alors tx evdxxtdu -1 -et == − (x est un nombre réel
positif fixé.)
( )
( ) ( ) ( )
- -
0 0
- - 10
0
1 -
0
1 lim
lim - -
-lim 0
0 0
bx t x t
b
bx t t x
b
xx t
bb
x t e dt t e dt
t e x e t dx
b x t e dxe
x x x x
∞
→∞
∞−
→∞
∞−
→∞
Γ + = =
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= + + Γ = Γ
∫ ∫
∫
∫
Remarque : 0lim =−∞→ b
x
b eb quelle que soit la valeur de x. On dit alors que be est
« dominant » sur toute puissance ,xb en ce sens que ∞→be plus rapidement que xb
lorsque .∞→b (Attention ! Le rôle des lettres est inversé dans le présent contexte : b est
une variable et x est un nombre fixe).
La règle de L'Hospital s'avère un instrument bien utile ici, puisque les indéterminations
du type ∞∞ se succèdent ainsi :
( ) ( )( )2 31. . . . . .- 1 - 1 2- -lim lim lim lim etc.x xx xR H R H R H
b b b bb b b b
x x b x x x bb xbe e e e
− −−
→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞
− − −= = =
Si x est un entier, alors les dérivées successives de xb finissent par arriver à 0 alors
que le dénominateur demeure toujours le même à .be
Si x n'est pas un entier, alors les dérivées successives de xb finissent par donner un
exposant négatif de sorte que x
bb
∞→lim au numérateur arrive aussi à 0 alors que be au
dénominateur tend vers .∞
642 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) Soit à démontrer que ( ) !.1 nn =+Γ
(1) Vrai pour ,0=n puisque ( ) ( )0 1 1 1 0!.Γ + = Γ = =
(2) Supposons l'énoncé vrai pour kn = quelconque, où ( )0 : 1 !.k k k> Γ + =
(3) Alors l'énoncé sera vrai pour .1+= kn
( ) ( ) ( )( )( )
En effet, 1 1 1 1
1 ! d'après (2)
1 !.
k k k
k k
k
Γ + + = + Γ +
= +
= +
Il s'ensuit que ( ) !1 nn =+Γ pour tout entier positif n.
50. a) ( ) ( ) .22!!et 2 πππ nen
nennnnnn
xexx
nnx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≈⇒=Γ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≈Γ
b) n
πnen n
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Calculatrice
10 619,695 598 3 800 628 3
20 18104227868,2 × 1810432902,2 ×
30 32101075164,2 × 3210286525,2 ×
40 47106217214,8 × 47102815915,8 ×
50 64106446303,3 × 64109301404,3 ×
60 81108339430,8 × 81101780932,8 ×
c) n
πnen n
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ( )n
n
enen 1212 π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Calculatrice
10 619,695 598 3 051,108 286 3 800 628 3