Captulo5Primitiva cao5.1Determine uma express ao geral de todas as primitivas das seguintes fun c oes.a) (1 x)5, b) |x|.(GrupoIII2daProvade25/7/77)5.2Para cada uma das fun c oes denidas em R pelas express oescos
2x 4
,x1 +x4, xex2(todas elas imediatamente primitiv aveis) obtenha, se possvel:a) A primitiva que se anula no pontox = 0.b) A primitiva que tende para 1 quandox +.Se nalgum caso for impossvel obter uma primitiva que verique a condi c ao requerida explique araz ao dessa impossibilidade.(Pergunta1daProvade20/7/78)Resolu cao:Designando porFuma primitiva de cos
2x 4
temos:F(x)
cos
2x 4
dx =12
cos
2x 4
2 dx =12 sen
2x 4
+K.a) SeF(0) = 0 e porqueK =122; a primitiva que se anula parax = 0 e pois:F(x) =12 sen
2x 4
+122.b) Para nenhum valor de K existe o limite limx+F(x) pelo que n ao existe nenhuma primitivatal que limx+F(x) = 1.Designando porG uma primitiva dex1+x4temos:G(x)
x1 +x4dx =12
2x1 + (x2)2dx =12 arctg x2+K.99CAPITULO5. PRIMITIVACAOa) SeG(0) = 0 e porqueK = 0; a primitiva que se anula em 0 e pois:G(x) =arctg x22.b)limx+G(x) = limx+arctg x22+K =4+K.Se limx+F(x) = 1 e porqueK = 1 4, logo a primitiva pedida e:G(x) =12 arctg x2+
1 4
.Designando porHuma primitiva dexex2H(x)
xex2dx = 12
ex2(2x) dx = 12ex2+K.a) SeH(0) = 0 e porqueK =12. Logo, a primitiva pedida e:H(x) =12
1 ex2
.b) limx+H(x) = limx+
12ex2+K
= K. Logo a primitiva que vericalimx+H(x) = 1 e:H(x) = 12ex2+ 1.5.3a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:x2cos(x3+ 1),1 +x1 x2, exsenx.b) Determine a fun c aoFdenida em R \ {1} que obedece ` as seguintes condi c oes:F
(x) =1(x 1)2, F(2) = 0, limxF(x) = 10.(GrupoIdaProvade11/9/78)5.4Obtenhaumaprimitivadecada umadasseguintes fun c oes(todaselas elementarmentepri-mitiv aveis).sen(2x) cos(2x),1x(2 3 log x)23, ex+ex.(GrupoIadaRepeti caodo2oTestede18/9/80)Resolu cao:Notando que a derivada deddx(sen(2x)) = 2 cos(2x):
sen(2x) cos(2x) dx =12
sen(2x) cos(2x)2 dx =14 sen2(2x).100Notando que1xe a derivada de log x:
1x(2 3 log x)23dx =
1(2 3 log x)231x dx= 13
(2 3 log x)23
3x
dx = 133(2 3 log x)13= (2 3 log x)13.FinalmenteH(x) =
ex+exdx =
exeexdx = eex.5.5Paracadaumas das fun c oes (todas elas imediatamenteprimitiv aveis) denidas pelas ex-press oes:xsen x2,ex2 + ex,1(1 + x2)[1 + (arctg x)2]determine, se possvel:1. Uma primitiva que se anule no pontox = 0;2. Uma primitiva que tenda para 0 quandox +.Nos casos em que n ao seja possvel obter uma primitiva nas condi c oes requeridas explique sucin-tamente a raz ao dessa impossibilidade.(GrupoIbdo2oTestede28/7/80)5.6Determine uma primitiva delog xx(log2x + 1)no intervalo ]0, +[.(Pergunta1bdaProvade7/74)5.7a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:tg xsec2x; sen x 2cos x;1x + xlog2x.b) Determine a fun c aof, denida em R \ {0} que verica as seguintes condi c oes:f
(x) = 4xlog |x|,f(1) = 1,f(1) = 1.(GrupoIaebdoExamede2aepocade11/2/80)Resolu cao:a) Designamos porF(x) uma primitiva de tg xsec2x.F(x) =
tg xsec2xdx =12 tg2x.101CAPITULO5. PRIMITIVACAODesignemos porG(x) uma primitiva de sen x2cos x.G(x) =
sen x2cos xdx =
2cos xsen xdx=1log 2
e(log 2) cos x(log 2 senx) dx = e(log 2) cos xlog 2= 2cos xlog 2 .Designemos porH(x) uma primitiva de1x+xlog2xH(x) =
1x + xlog2xdx =
11 + log2x1x dx.Usando primitiva c ao por substitui c ao comy = log x e portantodydx= 1/x consideramos
11 + y2dy = arctg ydondeH(x) = arctg(log x).b) Trata-se de determinar em R \ {0} uma primitivaJ(x) de 4xlog |x| de forma que:
f(1) = 1,f(1) = 1.Sex > 0 devemos ter para alguma constanteK1:J(x) =
4xlog xdx = 4
xlog xdx = 4
12x2log x
12x2 1x dx
= 2x2log x 2
xdx = 2x2log x x2+ K1 = x2(2 log x 1) + K1Sex < 0 devemos ter para alguma constanteK2:J(x) =
4xlog(x) dx = 4
12x2log(x)
12x21x(1) dx
= x2(2 log(x) 1) + K2.AssimJ(x) ter a de ser da forma:J(x) =
x2(2 log x 1) + K1, sex > 0,x2(2 log(x) 1) + K2sex < 0.Para obterf(1) = 1 ef(1) = 1 as constantesK1 eK2 tem de escolher-se assim:K1 = 0, K2 = 2.5.8Determine a fun c aof, denida no intervalo ]0, +[ e que satisfaz as condi c oes:f
(x) = x5log x 1x2 sen xx>0e f(1) = 0.(Pergunta1adaProvade18/12/72)1025.9Estabele ca uma f ormula de recorrencia para o c alculo deP tgnx, n N1.(Pergunta3daProvade12/3/74)Resolu cao:Ponha-seJn(x) = tgnxdx. Sen = 1:J1(x) =
tg xdx =
sen xcos x dx ==
1cos x(senx) dx = log | cos x|Sen = 2:J2(x) =
tg2xdx =
(sec2x 1) dx = tg x x.Sen > 2:Jn(x) =
tgnxdx =
tgn2xtg2xdx ==
tgn2x(sec2x 1) dx =
tgn2xsec2xdx Jn2(x) =1n 1 tgn1x Jn2(x).Temos pois:Jn(x) =1n 1 tgn1x Jn2(x), sen > 2,J1(x) = log | cos x|,J2(x) = tg x x.5.10Primitivexlog x + log xx+1xlog x +1xlog xlog(log x).(Pergunta2daProvade21/10/74)5.11Determine a fun c aofque verica:
f
(x) = senxsen 2x, para todo ox R,f(0) = f
(0) = 1.(Pergunta3adaProvade19/7/71)5.12Determine a fun c aof: ] 1, +[ R que verica:
f
(x) =11+x, qualquer que sejax > 1,f(0) = f
(0) = 1.(GrupoIIadaProvade18/9/79)103CAPITULO5. PRIMITIVACAO5.13Determine a fun c ao, denida em R e que verica as condi c oes seguintes:
(x) =x+1x2+1qualquer que sejax R,(0) = 1,
(0) = 0.(Pergunta2bdeumaProvadeAnaliseII)5.14Calcule
x4x41 dx.(GrupoIadaProvade23/2/79)Resolu cao:Escrevamosx4x41como soma de frac c oes simples:x4x41= 1 +1x41e1x41=Ax +Bx2+ 1+Cx 1 +Dx + 1.DeterminemosA,B,CeD:1 = (Ax +B)(x21) +C(x2+ 1)(x + 1) +D(x2+ 1)(x 1)1 = (A+C +D)x3+ (B +C D)x2+ (A+C +D)x + (B +C D)A+C +D = 0B +C D = 0A+C +D = 0B +C D = 1A = 0B = 12C =14D = 14Quer dizer que:
x4x41 dx =
1 dx 12
1x2+ 1 dx + 14
1x 1 dx 14
1x + 1 dx= x 12 arctgx + 14 log |x 1| 14 log |x + 1|= x 12 arctgx + 14 log
x 1x + 1
.5.15Obtenha a primitiva da fun c ao12x + 8x44x2denida no intervalo ]2, +[ e que tende para 1 quandox tende para +.(GrupoIbdaRepeti caodo2oTestede18/9/80)5.16Determine:a) Uma express ao geral das primitivas da fun c ao denida em R pela f ormula:f(x) = (x + 1)ex2+2x.104b) A primitivaG, da fun c aog(x) =x + 3x4x2denida no intervalo ]1, +[ e que verica a condi c ao limx+G(x) = 3.(GrupoIdaProvade28/6/79)5.17a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:f(x) = cos(2x) cos x, g(x) =log arcsenx1 x2, h(x) =x3
(x41)3.b) Considere a fun c ao:f(x) =3x2+ 7(x2+ 4)(x21)denida emR\{1, 1}. Obtenha uma primitiva F de f que satisfa ca as tres condi c oes seguintes:i) limxF(x) =2,ii) limx+F(x) = 0,iii) F(0) = 1.(GrupoIdaProvade11/9/79)5.18a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:ex2+2 sen x(x + cos x),(1 + 2 arctg x)31 + x2, x2sh x.b) Calcule:
4x23x + 5(x 1)2(x + 2) dx.(GrupoIdaProvade22/9/78)5.19Calcule uma primitiva de cada uma das fun c oes seguintes:arcotg xx2e3x + 4(x 5)2+ 3.(Pergunta2adaProvade6/7/71)5.20Calcule
x4x45x2+ 4 dx.(GrupoII1adaProvade18/7/77)5.21Determine:a) Uma fun c aof, denida em R, e vericando as condi c oes:f
(x) =arctg x1 + x2xRe limx+f(x) = 0.105CAPITULO5. PRIMITIVACAOb) Decida justicadamente se existe uma fun c aog, denida no intervaloI = ]16, +[ e tal que:g
(x) =1 +xx(4 x)xIe limx+g(x) = 1.(Pergunta3daProvade20/2/71)5.22Calcule uma primitiva de cada uma das fun c oeslog x1 + xe5x 6x[(x 1)2+ 2].(Pergunta2adaProvade5/7/71)Resolu cao:a) Primitivando por partes delog x1+xparax > 0:I(x) =
log x1 + xdx =
(1 + x)12log xdx = 2(1 + x)12log x 2
(1 + x)121x dx.Para calcular J(x) = (1+x)121x dx poderia parecer razo avel tentar de novo uma primitiva c aopor partes. Noentanto talconduzsemprea primitivasenvolvendo potencias fraccion ariasde1 + xamultiplicarpor umapotencia inteiraen aonula dexou conduz-nos denovo ` aprimitiva com que tnhamos come cado.Como as potencias fraccion arias de 1+x s ao um problema tentamos uma mudan ca de vari avelpara elimin a-las. Para tal consideramos a substitui c aoy = (1 + x)12, ondex > 0 e portantoy>1, cujainversa ex=y2 1queporsuaveztemderivadadxdy=2y, conduzindoaoc alculo de:
y1y212y dy = 2
y2y21 dy = 2
(1 +1y21) dy = 2y + 2
1y21 dy. (5.1)Decompondo1y21=Ay+1 +By1e determinando as constantesA eBatraves de 1 = A(y 1) + B(y + 1) obtem-seA = 12eB =12, quer dizer1y21=12
1y 1 1y + 1
,pelo que
1y21dy =12 log y 1y + 1(sey> 1).Substituindo em (5.1)
y2y21 dy = y + 12 log y 1y + 1.Da que:J(x) = 2(1 + x)12+ log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1.Voltando aI(x):I(x) = 2(1 + x)12log x 4(1 + x)122 log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1= 2(1 + x)12(log x 2) 2 log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1.106Em conclus ao:
log x1 + xdx = 2
1 + x(log x 2) log1 + x 11 + x + 1
+ K.b) A primitiva 5x6x[(x1)2+2] dx calcula-se mais comodamente efectuando a mudan ca de vari avely = x 1 o que conduz a:
5y 1(y + 1)(y2+ 2) dy.Decompondo a frac c ao racional:5y 1(y + 1)(y2+ 2)=Ay + 1 +By + Cy2+ 2obtem-se calculandoA,BeC,5y 1(y + 1)(y2+ 2)=2y + 1 + 2y + 3y2+ 2e da:
5y 1(y + 1)(y2+ 2) dy = 2 log |y + 1| +
2y + 3y2+ 2 dy= 2 log |y + 1| +
2yy2+ 2 dy + 3
1y2+ 2 dy= 2 log |y + 1| + log(y2+ 2) + 32
1
y2
2+ 1dy= 2 log |y + 1| + log(y2+ 2) +32 arctgy2.Invertendo a mudan ca de vari avel:
5x 6x[(x 1)2+ 2] dx = 2 log |x| + log((x 1)2+ 2) +32 arctgx 12.5.23Calcule
1x41 + xdx(GrupoIIIdaProvade19/9/77)5.24Determine as fun c oesfeg, denidas em R e que vericam as condi c oes:f
(x) = (1 + senx) cos x, f
(0) = 1, f(0) = 3;g
(x) =11 + e2x, limx+g(x) = 1.(Pergunta2adoPontono5de25/10/71)107CAPITULO5. PRIMITIVACAO5.25Obtenha uma primitiva da fun c ao(x) =2ex1 e2x,denidanointervalo ]0, +[etalque(+) = 1. Seria possvel obterumaprimitivadedenida em ] , 0[ e com limite nito quando x ?Justique abreviadamente a resposta.(GrupoIIcdoExamede2/10/80)Resolu cao: Vamos fazer a mudan ca de vari avely = exem
2ex1e2xdx. Notando quex = log y edxdy=1yobtemos1
2ex1 e2xdx =
2y11 y21ydy = 2
1y2(1 y2) dy.Tem-se:1y2(1 y2)=Ay2+By+C1 y +D1 +y;A,B,CeD calculam-se a partir de:1 = A(1 y2) +By(1 y2) +Cy2(1 + y) +Dy2(1 y)atribuindo por exemplo ay os valores 0, 1, 1 e 2:1 = A1 = 2C1 = 2D1 = 3A6B + 12C 4DA = 1C =12D =12B = 0Vem, desta forma:
1y2(1 y2) dy =
1y2dy + 12
11 ydy + 12
11 +ydy= y1+ 12 log
1 +y1 y
+C.Portanto:(x) =
2ex1 e2xdx = 2y + log
1 +y1 y
+K = 2ex+ log
1 +ex1 ex
+K.Selimx+(x) =1eporque K=1. Assim 2ex+ log
1+ex1ex
+Keaindaaformageraldasprimitivasdeparax 0existeumadecomposic aodeItalqueaoscilac aodefemcadaumdossubintervalosdeIdeterminadosporessadecomposic aoemenorque.Mostre ainda que a verica c ao da condi c ao referida n ao e necess aria para quefseja integr avel.(GrupoVdo1oTestede20/7/78)Resolu cao: Sendof: [a, b] R ed = {x1, . . . , xn1} uma decomposi c ao de [a, b] dene-seSd =
n1i=0Mi(xi+1 xi), sd =
n1i=0mi(xi+1 xi) (comx0=a exn=b) ondeMi = sup[xi,xi+1]f,mi = inf[xi,xi+1]fe portanto: Sd sd =
n1i=0 (Mi mi)(xi+1 xi).Sendovericadaacondi c aodoenunciado, dado>0, escolha-seumadecomposi c aoddeI=[a, b] tal queaoscila c aoMi midef emcadaumdossubintervalosdeI determinadospord = {x1, . . . , xn1} seja menor que =ba. Vir a ent ao:Sd sd =n1
i=0(Mi mi)(xi+1 xi) 0 e possvel encontrar uma decomposi c aod de [a, b] tal queSd sd< ,o que equivale a dizer quefe integr avel em [a, b].Para ver que a condi c ao do enunciado n ao e necess aria para que fseja integr avel, basta considerara fun c aof(x) =
0, sex = x0,1, sex = x0,ondex0 [a, b]. A fun c aofe integr avel mas n ao existe uma decomposi c aodde [a, b] tal que aoscila c ao de fem cada um dos subintervalos de [a, b] determinados por d seja menor do que 1 poisem qualquer subintervalo que contenhax0a oscila c ao defser a igual a 1.111CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANN6.2Acada aplica c aof: R R podemos associar as aplica c oesf+ef(designadas por partepositivae parte negativadef, respectivamente) pelas seguintes deni c oes:f+(x) =
f(x), sef(x) 0,0, sef(x) < 0, f(x) =
f(x), sef(x) 0,0, sef(x) > 0.a) Indique uma aplica c ao limitadaf : R R tal quef+seja integr avel em [0, 1] ef n ao o seja.b) Indique uma aplica c ao limitadag : R R tal queg++ gseja integr avel em [0, 1] egn ao oseja.6.3Mostre que a integrabilidade def: R R em [a, b] implica a integrabilidade def2em [a, b].Observa cao: Prove-o directamente, isto e, n ao utilize o conhecimento de que o produto de duasfun c oes integr aveis num intervalo e integr avel nesse intervalo.(Pergunta6daProvade12/3/74)6.4Seja uma fun c ao integr avel em [0, 1] e(x) = xa(t) dt coma [0, 1]. Justique que eintegr avel em [0, 1] e mostre que existeb [0, 1] tal que
10(t) dt =
ba(t) dt.(Na resolu c ao desta alnea poder a ser-lhe util recorrer ao teorema da media).(GrupoIVbdo1oTestede11/9/78)Resolu cao:Sendo integr avel em [0, 1], a fun c ao e contnua em [0, 1] e portanto integr avel em[0, 1]. Existe por issob [0, 1] tal que
10(t) dt = (b)(1 0) = (b) =
ba(t) dt.6.5Sejamfe denidas em [a, b] maiores ou iguais a 0 e integr aveis em [a, b]. Suponha-se que e crescente e designe-se por(b) o limxb(x).1) Mostre que: c[a,b] : baf(x)(x) dx = (b)
bcf(x) dx.2) A igualdade seria v alida se substituissemos(b) por(b)?3) Mostre que se e estritamente crescente em ]a, b[ e baf(x) dx = 0 ent ao c dever a ser diferentedea e deb.(GrupoIVdo1oTestede11/9/79)6.2 Teoremafundamental. RegradeBarrow6.6Sejafumafun c aoduas vezes diferenci avel etalquef
(x)ef
(x)s ao positivas emtodo opontox R; seja aindag(x) =
x0f(t2) dt, xR.Justique que g e tres vezes diferenci avel, calcule g
(x) e g
(x) para x R e aproveite o resultadopara estudar, quanto ` a concavidade e inex oes, o gr aco deg.(Pergunta4adoPontono5de25/10/71)1126.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROWResolu cao: Comof econtnuaemRtem-seemR, peloTeoremaFundamental doC alculo,g
(x)=f(x2). Comofeduasvezesdiferenci avel seguedoTeoremadeDeriva c aodaFun c aoCompostaque:g
(x) = 2f
(x2)x,g
(x) = f
(x2)(2x)2+f
(x2)2 = 4f
(x2)x2+ 2f
(x2).Oestudodaconcavidadeeinex aodegpodefazer-seatraves dosinaldeg
(x): comof
(x)ef
(x)s aopositivas: g
(x)>0sex>0, g
(x) 1.(Pergunta4daProvade12/3/74)6.23Calcule
1xarctg xdx.(GrupoI2adaProvade19/9/77)6.24Calcule
10arctg x1 + x2dx e
0sen3u du.(GrupoIIadoExamede2/10/80)6.25Sejafuma fun c ao denida no intervalo [a, b] e que admite segunda derivada contnua nesseintervalo. Exprima baxf
(x) dx como fun c ao dos valores defef
nos pontosa eb.(GrupoIV2doExamede18/7/1977)6.26Calcule
10dxx 3,
42x3x 1 dx.(GrupoII2daProvade2/12/76)1Assume-seaconven c aohabitual dequedopontodevistadaintegra c aoumafun c aopoden aoestardenidanumn umeronitodepontos. Destaforma asolu c aodoprobleman aotemavercomofactodafun c aointegrandan aoestardenidaem0massimcomafun c aoserilimitadanumaqualquervizinhan cade0.1166.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROW6.27Calcule
e1log xdx, 1201x21 dx.(Pergunta2aebdaProvade23/3/77)6.28Calcule
321x3+ x dx e
sen2xdx.(GrupoIado2oTestede28/7/80)6.29Calcule
214x 4x4+ 4x2dx.(GrupoIIadaProvade11/9/78)6.30Calcule
10x(x + 2)2(x2+ 4) dx.(GrupoIcdaProvade28/2/74)6.31Sendof
(x) =x4+1x2+1, xR ef(0) = 1, calcule:
10f(x) dx.(Pergunta3adaProvade20/7/71)6.32Calcule o integral
101et+ e2tdt.(GrupoIIdaProvade20/7/78)6.33Calcule
10et+ 4e2t+ 4 dt.(GrupoIcdoExamede2aepocade11/2/80)6.34Calcule 308 tg x3 + sen2x dx.(GrupoIbdaProvade18/9/79)6.35Calcule
0sen3x2 sen2x dx.(Grupo1adaProvade18/12/72)117CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANNResolu cao:Uma maneira de calcular o integral e observar que x cos x e uma bijec c ao de [0, ]em [1, 1] e usar a mudan ca de vari avely = cos x.Tem-se ent ao, designando o integral que pretendemos calcular porI:I
0sen3x2 sen2x dx =
0sen2x2 sen2x sen xdx =
01 cos2x1 + cos2x senxdx=
111 y21 + y2dy =
111 y21 + y2dy.Ora1y21+y2= 1 +21+y2e da 1y21+y2dy = y + 2 arctg y. Quer dizer:I = [y + 2 arctg y]11 = (1 + 2 arctg 1) (1 + 2 arctg(1))=
1 + 24
1 24
= 2 + = 2.6.36Aplicando a regra de Barrow prove que, sendofuma fun c ao contnua em R,
cacbf(c x) dx =
baf(x) dx.(Pergunta4adaProvade5/7/71)6.37SejaFuma fun c ao contnua em R e sejama,b,c n umeros reais comc = 0. Mostre que
baF(x) dx = c bcacF(cx) dx.(GrupoIVdaRepeti caodo1oTestede22/9/78)6.38Sejafuma fun c ao contnua em R ea um ponto de R. Mostre que:a) Sefe par, aa f(x) dx = 2 a0f(x) dx.b) Sefe mpar, aa f(x) dx = 0.(GrupoIV1doExamede18/7/1977)6.39Sendo diferenci avel em R,fcontnua em R eh denida pela f ormula seguinteh(x) =
(x3)(x)x2f(t) dt,calculeh
(x). Supondo agora que efs ao mpares, mostre queh e par.(GrupoIIbdaRepeti caodo2oTestede18/9/80)Resolu cao:h
(x) =ddx
x2
(x3)(x)f(t) dt
=2x
(x3)(x)f(t) dt + x2(f((x3))
(x3)3x2f((x))
(x)).Ora se efs ao mpares, tem-se, usando a mudan ca de vari avelt = u:1186.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROWh(x) =
(x3)(x)x2f(t) dt =
(x3)(x)x2f(t) dt=
(x3)(x)x2f(u)(1) du =
(x3)(x)x2f(u) du = h(x),pelo queh e par.6.40Considere a fun c ao denida no intervalo ]0, +[ pela f ormula(x) =
x1t(1 + t2)2 log t dt.a) Calcule(2).b) Mostre que e diferenci avel (em todo o seu domnio) e, supondox > 0, indique, justicando,o valor de
(x).c) Estudeafun c aosobopontodevistadocrescimentoemostrequeh aums opontocdodomnio de satisfazendo a condi c ao(c) = 0.(Pergunta2daProvade23/1/72)6.41Considere a fun c aoFdenida pela igualdadeF(x) =
x11 +3u23u(1 +3u)2duno conjunto dos valores reais dex para os quais tem sentido o integral do segundo membro.a) CalculeF
(3) eF
(3).b) CalculeF(3).c) Indiqueodomniode F, sobaformadeintervalo, ejustiquequeeefectivamenteesseodomnio.(Pergunta3daProvade8/1/73)6.42a) Sejag a fun c ao denida pela f ormulag(x) = logx0xet2dt. Mostre queg
(1) = 1.b) Sejah uma fun c ao denida em R, contnua, mpar e estritamente crescente e sejaHa fun c aodenida em R pela f ormulaH(x) =
x0h(t) dt.Justique que H e diferenci avel em R, que e fun c ao par, que tem um mnimo absoluto no pontozero, e determine os intervalos de monotonia deH.(GrupoIIIdaProvade11/9/78)6.43a) Justique que a igualdade (onde surge um integral que n aodever a calcular)(x) =
x0(2 + sent2) dtdene uma fun c ao indenidamente diferenci avel em R.Mostre que e estritamente crescente e estude o sinal de(x), para cadax R.Ser a par?E mpar?Justique.119CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANNb) Considere a fun c ao denida em R pela equa c ao seguinte(x) =
x21xesentdt.Determine a fun c ao derivada.(GrupoIVde20/7/78)6.44Sejafuma fun c ao diferenci avel em todos os pontos de R. Considere, para cada h = 0, umanova fun c aoFhdenida porFh(x) =1h
x+hxf(u) du.Como sabe,Fh(x) representa o valor medio defno intervalo [x, x + h].a) Em que pontos do seu domnio eFhdiferenci avel?Justique a resposta e determine a derivadaF
h(x) =ddx (Fh(x)).b) Para cada valor de x, Fh(x) e F
h(x) dependem de h. Considere ent ao, para um dado x = a, duasoutras fun c oes, e , denidas respectivamente pelas igualdades (h) = F
h(a) e (h) = Fh(a),hR\{0}. Determinelimh0(h) e limh0(h).(Pergunta4daProvade6/7/71)6.45Como sabe, diz-se que a fun c aof: R R tem perodoa ssef(x + a) = f(x), xR.Supondo que a fun c ao contnua ftem perodo a e queg e uma primitiva def(em R), mostreque a fun c ao g(x+a)g(x) e constante; aproveite o resultado para provar que, sendo f uma fun c aocontnua que tenha perodoa, as primitivas defter ao tambem esse perodo sse a0f(x) dx = 0.(GrupoIIIado2oTestede28/7/80)6.46a) Para cada x R, seja (x) = sen x0log(1+t2) dt. Sem efectuar qualquer integra c ao proveque(x + 2) = (x) (qualquer que sejax R) e determine os valores dex, pertencentes aointervalo [0, 2[ e tais que a tangente ao gr aco de no ponto (x, (x)) seja horizontal; indiqueainda, justicando, quais desses valores s ao pontos de m aximo ou de mnimo para a fun c ao.b) Sejamu ev fun c oes contnuas em R, tais que, para qualquerx R,
xau(t) dt =
xbv(t) dt,ondea eb s ao n umeros reais. Prove queu = v e que bau(x) dx = 0.c) Sejafuma fun c ao contnua em R eF(x) =
1x
x0f(t) dt, sex = 0,f(0), sex = 0.Prove queFe contnua em R e diferenci avel em R\ {0}; mostre que, nas condi c oes indicadas,Fpode n ao ser diferenci avel na origem.(GrupoIIIdaProvade28/6/79)1206.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROW6.47Sejamfe duas fun c oes que admitam segundas derivadas contnuas em R e sejaF(x) =
(x)0f(t) dt.a) ExprimaF
(x) eF
(x) em termos das derivadas defe.b) Supondoque f(x) >0,xRe
(x) =0, xR, mostrequeospontosdem aximode Fcoincidem com os de e os pontos de mnimo deFcoincidem com os pontos de mnimo de.c) Mostrepormeiodeumexemploque, omitindoahip otesef(x) >0, xR, Fpodeadmitirm aximos e mnimos em pontos onde n ao admita extremos.(GrupoIIdoExamede2aepocade7/2/79)6.48Sejafuma fun c ao contnua em R e o seu integral indenido com origem no ponto 0.a) Se tem m aximo no pontoa, qual e o valor def(a)?Justique cuidadosamente a resposta.b) Prove que, se(c) = 0, sendoc = 0,ftem pelo menos uma raiz real, com o mesmo sinal dec.c) Mostre que, sendoa > 0 eI = [0, a],maxxI|(x)| a maxxI|f(x)|ede umexemplodeumafun c aofpara aqualseverique aigualdade,qualquer quesejaopontoa > 0.(Pergunta4daProvade2aepocade18/12/72)Resolu cao:a) Sendofcontnua em R, (x)= x0f(t) dt e diferenci avel em R,sendo
(x) =f(x). Ora seuma fun c ao e diferenci avel em R e tem um m aximo ema ent ao necess ariamente
(a) = 0,pelo quef(a) = 0.b) Oteoremadovalormedioeacontinuidadedefgarantemqueexisteumnointervalodeextremos0ectalque c0f(t) dt=f()(c 0). Ora,se(c)= 0, ent aof()c= 0e, comoc = 0, tem-sef() = 0. Como est a no intervalo entre 0 ec, tem o sinal dec.c) Para todoox Item-se |(x)|=
x0f(t) dt
x0 |f(t)| dt
a0 |f(t)| dt a maxtI |f(t)|.Logo maxtI |(x)| a maxtI |f(t)|. Qualquer fun c ao constante verica a igualdade.6.49Supondo quefe uma fun c ao diferenci avel em R e tal que, para qualquerx R, os valoresf(x) ef
(x) s ao ambos negativos, considere a fun c aog denida em R pela f ormula:g(x) =
x24x+30f(t) dt.1. Determine os intervalos em queg e mon otona, os seus pontos de m aximo ou de mnimo e asrazes da equa c aog(x) = 0. Estude ainda o sentido da concavidade do gr aco deg.2. A fun c aog e majorada?E minorada?Justique.(GrupoIIIadoExamede2/10/80)121CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANN6.50Sendo uma fun c ao contnua e positiva em R e(x) =
x2x(t) dt, xR.1. Estude o sinal de (x).2. Justique que e diferenci avel e calcule
.3. Prove que e estritamente decrescente no intervalo ] , 0[.4. Justiquequetemmnimo(absoluto)e, designandoessemnimoporm, provequeseverica necess ariamente a rela c ao:|m| 14maxx[0,1](x).(GrupoIIIbdo2oTestede28/7/80)6.51Sendo(x)=1cos xx2sex =0e(0)=0, considereafun c aog, denidapelaf ormula:g(x) = x0(u) du (x R). Nestas condi c oes:1. Justique que a fun c aog e mpar.2. Determineg
(x) parax = 0 e aindag
(0); justique as respostas.3. Indique as abcissas dos pontos em que o gr aco de g tem tangente horizontal. Justique queg e estritamente crescente.4. Justique queg e limitada.(GrupoIIIbdoExameFinal de18/9/80)6.52Justique que a f ormula(x) =
x20etdtdene uma fun c ao : R R. Mostre que e uma fun c ao par. Calcule a derivada de nos seuspontos de diferenciabilidade, e estude quanto ao crescimento e convexidade.Sendoaum n umero positivo tal queex>x4para todo ox>a,determine em fun c ao dea,um majorante do limx+(x).(GrupoIVbdaProvade18/9/79)6.53Sejafuma fun c ao contnua em R e tal quef(x) > 0 qualquer que sejax R e sejag(x) =
x0f(t) dt, xR.a) Justique queg e diferenci avel em R. Qual e o valor da derivada deg num pontoa R?b) Mostre queg e estritamente crescente e que, para todo ox R \ {0},xg(x) > 0.c) Prove que, se f(x) tem limite positivo quando x +, ent ao limx+g(x) = + e mostre,por meio de exemplos, que, se f(x) tender para zero quando x +, o limite de g(x) quandox + pode ser nito ou +.(Pergunta4daProvade1/8/72)1226.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROW6.54Sejafuma fun c ao contnua em R e sejag a fun c ao denida pela f ormulag(x) =
x+10f(t) dt, xR.a) Justique queg e diferenci avel em R e indique, justicando, o valor deg
(x).b) Prove que, se limx+ f(x) = 0, ent ao tambem limx+[g(x) g(x 1)] = 0.c) Mostre, por meio de um exemplo, que pode vericar-se a igualdadelimx+[g(x) g(x 1)] = 0sem quef(x) tenha limite quandox +.(Pergunta4daProvade4/9/72)6.55Sejafuma fun c ao contnua em R eg a fun c ao denida em R \ {0} pela igualdadeg(x) =1x
x0f(t) dt.a) Indique o valor de limx0 g(x). Justique cuidadosamente a resposta.b) Prove queg e uma fun c ao constante (em R \ {0}) se e s o seftambem o e (em R).c) Prove que o contradomnio deg est a contido no def.d) Sendo um dado n umero real, de um exemplo de uma fun c aof(contnua em R) sem limitequandox + e tal que limx+ g(x) = .(Pergunta4daProvade11/10/72)Resolu cao:a) Comofe contnua em R,oseu integral indenido e diferenci avel usando o TeoremaFunda-mental do C alculo, permitindo usar a regra de Cauchypara obter:limx0g(x) =limx0
x0f(t) dtx=limx0f(x)1= f(0).b) Se g for constante e igual a k vem: x0f(t) dt = kx e por deriva c ao f(x) = k para todo o x R.Reciprocamente,sefforconstante o c alculo do integral permiteobter quegtoma o mesmovalor constante.c) Se pertence ao contradomnio de g ent ao existe R\{0} tal que = g() e portanto, usandoo teorema do valor medioe a continuidade defvem =1
0f(t) dt =1( 0)f() = f();logo pertence ao contradomnio def.d) Sejaf(t) = + cos t. Ent ao n ao existe limt+ f(t) e, no entanto,limx+1x
x0( + cost) dt = + limx+sen xx= .123CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANN6.56Considere a fun c aof(x) = 3xxcos ttdt.a) Determine o seu domnio e mostre que e par.b) Mostre ainda que e diferenci avel e calcule a sua derivada.c) Mostre que existe um > 0 tal quef|]0,[ e mon otona e limitada.d) Que pode concluir quanto ` a existencia de limite da fun c aofna origem?(GrupoIIIdaProvade4/2/80)6.57Sejafuma fun c ao real denida e diferenci avel no intervalo [0, +[ e tal que:f(0) = 0; limx+f(x) = +; f
(x) > 0 x[0,+[.1. Mostre quef1e integr avel no intervalo [0, b], b>0.2. Prove (analiticamente) que, qualquer que sejat [0, +[tf(t) =
t0f +
f(t)0f1e aproveite o resultado para mostrar que, quaisquer que sejama, b [0, +[ab
a0f +
b0f1.(GrupoIVbdoExameFinal de25/9/78)yxbaf(a)f1(b)yxbaf(a)f1(b)Figura6.1: Oscasosb > f(a)eb < f(a).Resolu cao:1. Nas condi c oes do enunciado,fe uma fun c ao estritamente crescente e contnua em [0, +[.Alem disso, como limt+f(t) = + ef(0) = 0,o teoremadovalorintermediogaranteque o seu contradomnio e [0, +[. Assim, existef1: [0, +[[0, +[. Pelo teorema decontinuidade da inversa, f1tambem e contnua e portanto integr avel em qualquer intervalo[0, b] comb > 0.1246.2. TEOREMAFUNDAMENTAL.REGRADEBARROWxyy = f(x)y = f1(x)Figura 6.2: Simetriadogr aco de umafunc ao f e dasuainversaf1relativamente ` abissectriz do1oquadrante.2. Considere-se f(t)0f1(u) du e fa camos neste integral a mudan ca de vari avelu = f(v). Ob-temos:
f(t)0f1(u) du =
t0f1(f(v))f
(v) dv =
t0vf
(v) dv=vf(v)|t0
t0f(v) dv = tf(t)
t0f(v) dv.Ent ao tf(t) = t0 f(v)dv + f(t)0f1(u) du. Se interpretarmos gracamente os n umeros a0fe b0f1veremos que eles correspondem ` as medidas das areas a diferentes tons de cinzentona gura 6.1.Esta interpreta c ao geometrica resulta do facto dos gr acos defe f1se relacionarem (umavez escolhidas as mesmas unidades de medida nos dois eixos), atraves de uma simetria emrela c ao ` a bissectriz do primeiro quadrante como se ilustra na gura 6.2.No caso de serb = f(a) e claro que:ab = af(a) =
a0f +
f(a)0f1=
a0f +
b0f1.Seb > f(a):ab = a(f(a) + b f(a)) = af(a) + a(b f(a))=
a0f +
f(a)0f1+
bf(a)f1(f(a)) dt
a0f +
f(a)0f1+
bf(a)f1=
a0f +
b0f1,em que no pen ultimo passo us amos o facto def1ser crescente.125CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANNSeb < f(a) (e portantof1(b) < a):ab = (f1(b) + a f1(b))b = f1(b)b + (a f1(b))b=
f1(b)0f +
f(f1(b))0f1+ (a f1(b))b=
f1(b)0f +
b0f1+ (a f1(b))b
f1(b)0f +
b0f1+
af1(b)f=
f1(b)0f +
af1(b)f +
b0f1=
a0f +
b0f1.onde tambem utiliz amos o teorema do valor medio, o facto de f ser crescente e a desigualdade:
af1(b)f (a f1(b)) min[f1(b),a]f = (a f1(b))f(f1(b)) = (a f1(b))b.Seb > f(a) podemos usar o caso anterior aplicado af1.6.58a) Para cada > 0 e cadax 0 existe 0txetdt. Porque?b) Mostra-sequeexistelim+
0tx1etdt(parax 1)erepresenta-sepor(x). Mostreque tem lugar a rela c ao (x +1) = x(x) para x 1. Calcule (1). O que pode dizer de (n)comn N1?(GrupoIVbdaProvade7/74)6.59Sendofuma fun c ao contnua em R ea R,designa-se porIafo integral indenido defcom origem no pontoa.a) Utilizando o metodo de integra c ao por partes, mostre queIa(Iaf) (que designaremos por I2af)e dado pela seguinte express ao:(I2af)(x) =
xa(x t) f(t) dt.b) SendoD o operador de deriva c ao, mostre queD(Iaf) = f e D2(I2af) = f.c) Supondoagoraf comsegundaderivadacontnuaemR, mostreque I2a(D2f)eorestodaf ormula de Taylor resultante da aproxima c ao defpelo seu polin omio de Taylor de grau 1no ponto a. [Sugestao: pode ser-lhe util o resultado obtido na alnea a) e uma nova utiliza c aoda integra c ao por partes].(GrupoIIIdaRepeti caodo2oTestede18/9/80)1266.3. CALCULODEAREAS,COMPRIMENTOSDELINHAEVOLUMESDESOLIDOSDEREVOLUC AOResolu cao:a) Como (Iaf)(x) =
xaf(t) dt vem(Ia(Iaf))(x) =
xa
taf(u) du
dt =
xa(1
taf(u) du) dt= t
taf(u) du|xa
xatf(t) dt = x
xaf(u) du
xatf(t) dt=
xaxf(t) dt
xatf(t) dt =
xa(x t)f(t) dt.b)(D(Iaf))(x) = D
xaf(t) dt
= f(x)(D2(I2af))(x) = D2
xa(x t)f(t) dt
== D2
x
xaf(t) dt
xatf(t) dt
== D
xaf(t) dt + xf(x) xf(x)
= f(x)c) Da alnea (a) temos:(I2af
)(x) =
xa(x t)f
(t) dt = (x t)f
(t)]xa
xa(1)f
(t) dt= (x a)f
(a) +
xaf
(t) dt = (x a)f
(a) + f(x) f(a).Ent ao f(x) = f(a)+(xa)f
(a)+(I2af
)(x), o que permite concluir imediatamente que I2aD2fe o resto da f ormula de Taylor referida no enunciado.6.3 Calculodeareas, comprimentosdelinhaevolumesdes olidosderevolu cao6.60Calcule a area da regi ao plana denida pelas seguintes condi c oes:y< ex,y> log x,1 x e.(GrupoI1daProvade2/12/76)Resolu cao:Como temosex> log x para todo ox > 0 a area e dada por
e1(exlog x) dx = [exx(log x 1)] |e1 = eee 1.127CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANN6.61Calcule a area da regi ao plana denida pelas condi c oesx2+y2 4 ey 3x2.(GrupoIIbdaProvade11/9/78)6.62Calcule a area da regi ao do planoXOYlimitada pelo gr aco da fun c aoy = arctg x e pelasrectas de equa c aox = 1 ey = 0.(Pergunta4adaProvade7/74)6.63Determinea areadaregi aoplanaconstitudapelospontos(x, y) R2quesatisfazemascondi c oes seguintes:0 y 4, y 16x2, y arctg x.(GrupoIcdaProvade4/2/80)6.64Calculea areadaregi aocontidanosemiplanox 0elimitadapelaslinhasdeequa c oesy = arctg x ey =4x.(Pergunta2bdoPontono5de25/10/71)6.65Calcule a area do conjuntoA = {(x, y) : 0 x 1 xarctg x y 4x}.(GrupoIIcdoExameFinal de18/9/80)6.66Calcule a area da regi ao plana limitada pelas linhas de equa c oes x = 0,x = 2y ey =11+x2.(GrupoIadaProvade18/9/79)6.67Determinea area doconjuntodospontos(x, y)cujascoordenadas vericamascondi c oes:0 x 1 e arcsenx y 2 arctg x.(GrupoIIado2oTestede28/7/80)6.68Calcule a area do conjunto limitado pelos arcos das curvas de equa c oes y = x2e y = x2cos xcompreendidosentreaorigemeopontodemenorabcissapositivaemqueasduascurvasseintersectam.(Pergunta2bdoPontono2de1/10/71)Resolu cao: Os pontos de intersec c ao dos dois gr acos tem por abcissas as solu c oes da equa c aox2= x2cos x que s aox = 0 ex = 2k (k Z). O ponto de intersec c ao de menor abcissa positivae poisx = 2. A area pedida e ent ao:A =
20(x2x2cos x) dx =13x3]20
20x2cos xdx =833
20x2cos xdx.Ora
x2cos xdx = x2senx 2
x2sen xdx= x2senx 2
x(cos x)
(cos x) dx
== x2senx + 2xcos x + sen xpelo queA =8334.1286.3. CALCULODEAREAS,COMPRIMENTOSDELINHAEVOLUMESDESOLIDOSDEREVOLUC AO6.69Calculea areadoconjuntodospontos P(x, y), cujascoordenadasvericamascondi c oes1 x 2 e 0 y cos(log x). (Na primitiva c ao pode utilizar de incio a substitui c aox = et).(Pergunta2bdaProvade11/10/72)6.70Calcule a area da regi ao do plano limitada pelos arcos das curvas de equa c oes:y = log x ey = log2xcompreendidos entre os pontos de intersec c ao das duas curvas.(GrupoIIbdoExamede2/10/80)6.71Calcule o valor dea [1, +[ por forma a que a area da parte colorida na gura6.3 sejaigual a.xyx2+ y2= 1x2+ y2/a2= 1Figura6.3: Aguradoexerccio6.71.(GrupoIbdoExamede2aepocade7/2/79)Resolu cao:Designando a area pretendida porA temosA =_11_a_1 x2_1 x2_dx =_11(a 1)_1 x2dx= (a 1)_11_1 x2dx = (a 1)_ 22_1 sen2t cos t dt= (a 1)_ 22cos2t dt.Ora _ cos2t dt =12_(1 + cos 2t) dt =12(t +12 sen 2t) pelo que:A = (a 1)_12(t + 12 sen2t)_22= (a 1)12__2+ 12 sen__2+ 12 sen()__=2(a 1).129CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANNQuerendo que2(a 1) = ter a de sera = 3.6.72Calcule a area do conjunto de todos os pontos (x, y) cujas coordenadas vericam as condi c oes:|x| 1 0 y
x2x4.(Pergunta2bdaProvade4/11/72)6.73Considere duas circunferencias de raio igual a 1,com centro nos pontos (0, 0) e (1, 0),quelimitam dois crculos no plano.Determine a area do conjunto reuni ao desses crculos.(Pergunta2bdaProvade5/7/71)6.74Calculea area doconjuntolimitadopelosarcos dascurvas deequa c oesy=xsen xey=xcos x, compreendidos entre a origem e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvasse intersectam.(Pergunta2adoPontono1de1/10/71)6.75Determine a area da regi ao do plano denida pelas condi c oes:
x2+ x y 11 +x + 1e 0 x 1.(GrupoIIbdo1oTestede11/9/79)6.76Determine a area do conjunto de menor area limitado pela elipse de equa c ao:x24+y22= 1e pela par abolax2= 2y.(Pergunta2bdaProvade6/7/71)2 210 xyy = x2/222Figura6.4: Oconjuntonoexerccio6.76.1306.3. CALCULODEAREAS,COMPRIMENTOSDELINHAEVOLUMESDESOLIDOSDEREVOLUC AOResolu cao: O conjunto referido e o que est a colorido na gura 6.4. Os pontos de intersec c ao dapar abola e da elipse tem por abcissa as solu c oes da equa c aox22=_2(1 x24 ) que s aox = 2 ex = 2.A area pedida e poisA =_22_2_1 x24_x22_dx =2_22_1 x24dx 232.Ora_22_1 _x2_2dx = 2_2222_1 y2dy = 2_ 44cos2t dt ==_t + 12 sen 2t_44=_4+ 12__4 12_=2+ 1.LogoA =2_22_1 x24dx 232 =2_2+ 1_ 232 =_2+ 13_2.6.77Determinea area doconjuntodospontos(x, y)cujascoordenadas vericamascondi c oes:y2x2 a2e |y| a2 coma > 0.(Pergunta3bdaProvade19/7/71)6.78Determinea areadoconjuntodetodos os pontos (x, y) cujas coordenadasvericamascondi c oes: x2+ y2 10 e |x| +|y| 4.(Pergunta3bdaProvade20/7/71)6.79SejaA o conjunto dos pontosP(x, y) cujas coordenadas vericam as condi c oes:0 y log x e x a(ondea designa um n umero real maior do que 1).a) Calcule a area deA.b) Calcule o comprimento da linha (formada por um arco de curva e dois segmentos de recta) quelimita o conjuntoA.(Pergunta1daProvade4/9/72)Resolu cao:a) A area deA e dada por _a1log xdx =[xlog x]|a1 = a log a.b) O comprimento do arco de curva e:C =_a1_1 + ((log x)
)2dx =_a1_1 +1x2dx ==_a1_1 + x2x2dx =_a11x_1 + x2dx.131CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANNxya110y = log xFigura6.5: Aregi aoAnoexerccio6.79.Asubstitui c aox= t21(quedeneumaaplica c aobijectivaediferenci avel dointervalo[2,1 + a2] no intervalo [1, a]) conduz a
1 + x2= t,dxdt=tt21e portantoC =
a11x
1 + x2dx =
1+a22t2t21 dt=
1+a22
1 + 121t 1 121t + 1
dt =
t + 12 log t 1t + 1
1+a22=
1 + a2+ 12 log1 + a211 + a2+ 1 2 12 log2 12 + 1.Os dois segmentos tem comprimentosa 1 e log a pelo que o comprimento total da linha e:(a 1) + log a + C.6.80a) Calcule a area da regi ao plana limitada pela curva de equa c aoy = logx e pela rectaque intersecta aquela curva nos pontos de abcissa 1 ee.b) Calcule o comprimento da linha que limita essa regi ao.(GrupoIIIdo1oTestede20/7/78)6.81SejaA o conjunto dos pontosP(x, y) cujas coordenadas vericam a condi c ao:x2 y x + 2.a) Calcule a area deA.b) Calcule o comprimento da linha (formada por um segmento de recta e um arco de par abola)que limita o conjuntoA.(Pergunta1daProvade1/8/72)1326.3. CALCULODEAREAS,COMPRIMENTOSDELINHAEVOLUMESDESOLIDOSDEREVOLUC AO6.82Considere a regi ao plana limitada pelas linhas de equa c ao y = x+1 ey = (x 1)2. Calcule:a) a sua area;b) o comprimento da linha que limita essa regi ao.(Pergunta1bdaProvade23/2/79)6.83Fa ca um esbo co da regi ao planaA denida por:A = (x, y) : 1 x 1 x21 y arccos x
e determine a sua area. Calcule o comprimento da linha que limita a regi aoB = A {(x, y) : y 0}.(GrupoIIdaProvade22/9/78)6.84Fa ca um esbo co da regi ao plana denida por:A = (x, y) : | senx| y ch2x 0 x 2
e determine a sua area. Calcule o comprimento da linha que limita superiormente a regi aoA(de uma forma mais precisa, a linha denida pela equa c aoy = ch2x comx [0, 2]).Nota Na resolu c ao desta quest ao poder ao ser-lhe uteis as seguintes igualdades:ch2x sh2x = 1 e sh(2x) = 2 shxch x.(GrupoIdaProvade9/10/78)6.85Determine o comprimento do gr aco das seguintes fun c oes, entre os pontos considerados:a) y =x44+18x3entre os pontosx = 1 ex = 2.b) y = chx entre os pontos de abcissas 0 ex.(GrupoI2daProvade2/12/76)6.86Calcule o comprimento do arco da curva de equa c aoy =x 33xcompreendido entre os pontos de abcissas 0 e 1.(Pergunta1bdoPontono3de1/10/71)6.87Calcule o comprimento do arco de curva de equa c aoy =x 63
x2compreendido entre os pontos de abcissas 0 e 2.(Pergunta1bdoPontono4de1/10/71)133CAPITULO6. INTEGRALDERIEMANN6.88Calcule o comprimento do arco da curva de equa c aoy = log(cos x)compreendido entre os pontos de abcissas 0 e3.(Pergunta2adaProvade11/10/72)6.89Calcule o comprimento do arco da curva de equa c aoy =a2_exa+ exa_compreendido entre os pontos de abcissas 0 ea.(Pergunta2cdeumaProvadeAnaliseMatematicaII)6.90Determine o comprimento do arco da curva de equa c aoy = log ex1ex+ 1compreendido entre os pontos de abcissasa eb com 0 < a < b.(GrupoIIbdo2oTestede28/7/80)Resolu cao:O comprimento e dado por:_ba_1 +__log ex1ex+ 1_
_2dx =_ba1 +_ex+ 1ex1ex(ex+ 1) ex(ex1)(ex+ 1)2_2dx=_ba1 +_2exe2x1_2dx =_ba1 +4e2x(e2x1)2dx=_bae2x+ 1e2x1 dx =_ba2e2x(e2x1)e2x1dx=_ba1 +2e2xe2x1 dx = a b + log_e2b1e2a1_.6.91Sejag a fun c ao denida em [0, 1] porg(x) = x2. Calcule:a) A area limitada pelo gr aco deg, pelo eixo dosxx e pelas rectas de equa c oesx = 0 ex = 1.b) O comprimento do gr aco deg.c) O volume do s olido de revolu c ao gerado pela rota c ao do gr aco deg em torno do eixo dosxx.(GrupoII2doExamede18/7/77)Resolu cao:a) Comox2 0_10x2dx =13x3x=1x=0 =13.1346.3. CALCULODEAREAS,COMPRIMENTOSDELINHAEVOLUMESDESOLIDOSDEREVOLUC AOxy11y = x2Figura6.6: Aregi aonoexerccio6.91b) O comprimento ser a dado por (note a mudan ca de vari avel 2x = shy):
10
1 + (g
(x))2dx =
10
1 + 4x2dx=
argsh 20
1 + sh2y12 ch y dy =12
argsh 20ch2y dy=14
argsh 20(1 + ch 2y) dy =18(2y + sh2y)|y=argsh 2y=0=14 argsh2 + 182 sh(argsh2) ch(argsh2) =14 argsh2 + 125.c) O volume ser a
10g(x)2dx =
10x4dx = 15x5
x=1x=0 =5.6.92Seja a fun c ao denida em R por: (x) =11+|x|.a) Indique o domnio de diferenciabilidade de e fa ca um esbo co do seu gr aco.b) Calcule o volume do s olido gerado pela rota c ao em torno do eixo dos xx do gr aco da restri c aoda fun c ao ao intervalo [1, 1].(GrupoIVaecdoExamede23/3/1977)135
