Exercícios de Matemática Progressão Geométrica – PG TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp) A MÁQUINA A VAPOR: UM NOVO MUNDO, UMA NOVA CIÊNCIA. 1 As primeiras utilizações do carvão mineral verificaram-se esporadicamente até o século Xl; ainda que não fosse sistemática, sua exploração ao longo dos séculos levou ao esgotamento das jazidas superficiais (e também a fenômenos de poluição atmosférica, lamentados já no século XIII). A necessidade de se explorarem jazidas mais ¢profundas levou logo, já no século XVII, a uma dificuldade: £a de ter que se esgotar a água das galerias profundas. O esgotamento era feito ou à força do braço humano ou mediante uma roda, movida ou por animais ou por queda-d'água. Nem sempre se dispunha de uma queda-d'água próxima ao poço da mina, e o uso de cavalos para este trabalho era muito dispendioso, ou melhor, ia contra um princípio que não estava ainda formulado de modo explícito, mas que era coerentemente adotado na maior parte das decisões produtivas: o princípio de se empregar energia não-alimentar para obter energia alimentar, evitando fazer o contrário. O cavalo é uma fonte de energia melhor do que o boi, dado que sua força é muito maior, mas são maiores também suas exigências alimentares: não se contenta com a celulose - resíduo da alimentação humana -, mas necessita de aveia e trevos, ou seja, cereais e leguminosas; compete, pois, com o homem, se se considera que a área cultivada para alimentar o cavalo é subtraída da cultivada para a alimentação humana; pode-se dizer, portanto, que utilizar o cavalo para extrair carvão é um modo de utilizar energia alimentar para obter energia não-alimentar. Daí a não-economicidade de sua utilização, de modo que muitas jazidas de carvão que não dispunham de uma queda d'água nas proximidades só puderam ser exploradas na superfície. Ainda hoje existe um certo perigo de se utilizar energia alimentar para se obter energia não-alimentar: num mundo que conta com um bilhão de desnutridos, há quem pense em colocar álcool em motores de automóveis. Esta será uma solução "econômica" somente se os miseráveis continuaremmiseráveis. 2 Até a invenção da máquina a vapor, no fim do século XVII, o carvão vinha sendo utilizado para fornecer o calor necessário ao aquecimento de habitações ea determinados processos, como o trato do malte para preparação da cerveja, a forja e a fundição de metais. Já o trabalho mecânico, isto é, o deslocamento de massas, era obtido diretamente de um outro trabalho mecânico: do movimento de uma roda d'água ou das pás de um moinho a vento. 3 A altura a que se pode elevar uma massa depende, num moinho a água, de duas grandezas: o volume d'água e a altura de queda. Uma queda d'água de cinco metros de altura produz o mesmo efeito quer se verifique entre 100 e 95 metros de altitude, quer se verifique entre 20 e 15 metros. As primeiras considerações sobre máquinas térmicas partiram da hipótese de que ocorresse com elas um fenômeno análogo, ou seja, que o trabalho mecânico obtido de uma máquina a vapor dependesse exclusivamente da diferença de temperatura entre o "corpo quente" (a caldeira) e o "corpo frio" (o condensador). Somente mais tarde o estudo da termodinâmica demonstrou que tal analogia com a mecânica não se verifica: nas máquinas térmicas, importa não só a diferença temperatura, mas também o seu nível; um salto térmico entre 50°C e 0°C possibilita obter um trabalho maior do que o que se pode obter com um salto térmico entre 100°C e 50°C. Esta observação foi talvez o primeiro indício de que aqui se achava um mundo novo, que não se podia explorar com os instrument os conceituais tradicionais. 4 O mundo que então se abria à ciênciaera marcado pela novidade prenhe de conseqüências teóricas: as máquinas térmicas, dado que obtinham movimento a partir do calor, exigiam que se considerasse um fator de conversão entre energia térmica e trabalho mecânico. Aí, ao estudar a relação entre essas duas grandezas, a ciência defrontou-se não só com um princípio de conservação, que se esperava determinar, mas também com um princípio oposto. De fato, a energia é "qualquer coisa" que torna possível produzir trabalho - e que pode ser fornecida pelo calor, numa máquina térmica, ou pela queda d'água, numa roda/turbina hidráulica, ou pelo trigo ou pela forragem, se são o homem eo cavalo a trabalhar -a energia se conserva, tanto quanto se conserva a matéria. Mas, a cada vez que a energia se transforma, embora não se altere sua quantidade, reduz-se sua capacidade de produzir trabalho útil. A Visite : WWW.ENEMDESCOMPLICADO.COM.BR Visite : WWW.ENEMDESCOMPLICADO.COM.BR
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Exercícios de MatemáticaProgressão Geométrica – PG
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp) A MÁQUINA A VAPOR: UM NOVO
MUNDO, UMA NOVA CIÊNCIA.
1 As primeiras utilizações do carvão mineral
verificaram-se esporadicamente até o século Xl; ainda
que não fosse sistemática, sua exploração ao longo
dos séculos levou ao esgotamento das jazidas
superficiais (e também a fenômenos de poluição
atmosférica, lamentados já no século XIII). A
necessidade de se explorarem jazidas mais
¢profundas levou logo, já no século XVII, a uma
dificuldade: £a de ter que se esgotar a água das
galerias profundas. O esgotamento era feito ou à
força do braço humano ou mediante uma roda,
movida ou por animais ou por queda-d'água. Nem
sempre se dispunha de uma queda-d'água próxima
ao poço da mina, e o uso de cavalos para este
trabalho era muito dispendioso, ou melhor, ia contra
um princípio que não estava ainda formulado de
modo explícito, mas que era coerentemente adotado
na maior parte das decisões produtivas: o princípio de
se empregar energia não-alimentar para obter energia
alimentar, evitando fazer o contrário. O cavalo é uma
fonte de energia melhor do que o boi, dado que sua
força é muito maior, mas são maiores também suas
exigências alimentares: não se contenta com a
celulose - resíduo da alimentação humana -, mas
necessita de aveia e trevos, ou seja, cereais e
leguminosas; compete, pois, com o homem, se se
considera que a área cultivada para alimentar o
cavalo é subtraída da cultivada para a alimentação
humana; pode-se dizer, portanto, que utilizar o cavalo
para extrair carvão é um modo de utilizar energia
alimentar para obter energia não-alimentar. Daí a
não-economicidade de sua utilização, de modo que
muitas jazidas de carvão que não dispunham de uma
queda d'água nas proximidades só puderam ser
exploradas na superfície. Ainda hoje existe um certo
perigo de se utilizar energia alimentar para se obter
energia não-alimentar: num mundo que conta com um
bilhão de desnutridos, há quem pense em colocar
álcool em motores de automóveis. Esta será uma
solução "econômica" somente se os miseráveis
continuarem miseráveis.
2 Até a invenção da máquina a vapor, no fim do
século XVII, o carvão vinha sendo utilizado para
fornecer o calor necessário ao aquecimento de
habitações e a determinados processos, como o trato
do malte para preparação da cerveja, a forja e a
fundição de metais. Já o trabalho mecânico, isto é, o
deslocamento de massas, era obtido diretamente de
um outro trabalho mecânico: do movimento de uma
roda d'água ou das pás de um moinho a vento.
3 A altura a que se pode elevar uma massa
depende, num moinho a água, de duas grandezas: o
volume d'água e a altura de queda. Uma queda
d'água de cinco metros de altura produz o mesmo
efeito quer se verifique entre 100 e 95 metros de
altitude, quer se verifique entre 20 e 15 metros. As
primeiras considerações sobre máquinas térmicas
partiram da hipótese de que ocorresse com elas um
fenômeno análogo, ou seja, que o trabalho mecânico
obtido de uma máquina a vapor dependesse
exclusivamente da diferença de temperatura entre o
"corpo quente" (a caldeira) e o "corpo frio" (o
condensador). Somente mais tarde o estudo da
termodinâmica demonstrou que tal analogia com a
mecânica não se verifica: nas máquinas térmicas,
importa não só a diferença temperatura, mas também
o seu nível; um salto térmico entre 50°C e 0°C
possibilita obter um trabalho maior do que o que se
pode obter com um salto térmico entre 100°C e 50°C.
Esta observação foi talvez o primeiro indício de que
aqui se achava um mundo novo, que não se podia
explorar com os instrumentos conceituais tradicionais.
4 O mundo que então se abria à ciência era
marcado pela novidade prenhe de conseqüências
teóricas: as máquinas térmicas, dado que obtinham
movimento a partir do calor, exigiam que se
considerasse um fator de conversão entre energia
térmica e trabalho mecânico. Aí, ao estudar a relação
entre essas duas grandezas, a ciência defrontou-se
não só com um princípio de conservação, que se
esperava determinar, mas também com um princípio
oposto. De fato, a energia é "qualquer coisa" que
torna possível produzir trabalho - e que pode ser
fornecida pelo calor, numa máquina térmica, ou pela
queda d'água, numa roda/turbina hidráulica, ou pelo
trigo ou pela forragem, se são o homem e o cavalo a
trabalhar - a energia se conserva, tanto quanto se
conserva a matéria. Mas, a cada vez que a energia setransforma, embora não se altere sua quantidade,
reduz-se sua capacidade de produzir trabalho útil. A
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descoberta foi traumática: descortinava um universo
privado de circularidade e de simetria, destinado à
degradação e à morte.
5 Aplicada à tecnologia da mineração, a
máquina térmica provocou um efeito de feedback
positivo: o consumo de carvão aumentava a
disponibilidade de carvão. Que estranho contraste!
Enquanto o segundo princípio da termodinâmica
colocava os cientistas frente à irreversibilidade, à
morte, à degradação, ao limite intransponível, no
mesmo período histórico e graças à mesma máquina,
a humanidade se achava em presença de um
"milagre". Vejamos como se opera este "milagre":
pode-se dizer que a invenção da máquina a vapor
nasceu da necessidade de exploração das jazidas
profundas de carvão mineral; o acesso às grandes
quantidades de carvão mineral permitiu, juntamente
com um paralelo avanço tecnológico da siderurgia -
este baseado na utilização do coque (de carvão
mineral) - que se construíssem máquinas cada vez
mais adaptáveis a altas pressões de vapor. Era mais
carvão para produzir metais, eram mais metais para
explorar carvão. Este imponente processo de
desenvolvimento parecia trazer em si uma fatalidade
definitiva, como se, uma vez posta a caminho, a
tecnologia gerasse por si mesma tecnologias mais
sofisticadas e as máquinas gerassem por si mesmas
máquinas mais potentes. Uma embriaguez, um sonho
louco, do qual só há dez anos começamos a
despertar.
6 "Mais carvão se consome, mais há à
disposição". Sob esta aparência inebriante ocultava-
se o processo de decréscimo da produtividade
energética do carvão: a extração de uma tonelada de
carvão no século XIX requeria, em média, mais
energia do que havia requerido uma tonelada de
carvão extraída no século XVIII, e esta requerera
mais energia do que uma tonelada de carvão extraída
no século XVII. Era como se a energia que se podia
obter da queima de uma tonelada de carvão fosse
continuamente diminuindo.
7 Começava a revelar-se uma nova lei
histórica, a lei da produtividade decrescente dos
recursos não-renováveis; mas os homens ainda não
estavam aptos a reconhecê-la.
(Laura Conti. "Questo pianeta", Cap.10.
Roma: Editori Riuniti, 1983. Traduzido e adaptado porAyde e Veiga Lopes)
1. O texto descreve o crescimento na produção
de carvão, o qual foi cada vez mais acelerado,
durante certo período. Isto é, o acréscimo na
produção a cada década, não era constante e sim
maior que o acréscimo havido na década anterior.
Muitos fenômenos desse tipo podem ser descritos
matematicamente por funções exponenciais.
Funções exponenciais e progressões geométricas
podem ser relacionadas de maneira natural. Por
exemplo, para todo n inteiro e positivo, a função
f(x)=5.Ë(3Ñ) relaciona-se com a progressão
geométrica (aŠ), de termo geral aŠ=f(n), na qual
a) a razão é 3b) a razão é Ë3c) a„ = 30
d) a… = 60
e) os termos decrescem
2. (Udesc) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3,
então os termos gerais da Progressão Aritmética e da
Progressão Geométrica correspondentes são:
a) 2 + 3n e 2.3¾/3b) 2 + 3n e 3¾•¢/2c) 3n - 1 e 2.3¾
d) 3 + 2n e 3.2¾
e) 3n - 1 e (2/3).3¾
3. (Ufsc) Determine a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A razão da P.A. em que a•=-8 e a‚³=30 é r=2.
02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) é 299.04. O primeiro termo da P.G. em que aƒ=3 e a�=3/16
é 12.
08. A soma dos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...) é 10.
4. (Uepg) Assinale o que for correto.
01) As raízes da função f(x) = x£-3x-4 são os dois
primeiros termos de uma P.A. decrescente. Então, o
terceiro termo dessa P.A. vale 1502) A sucessão (s , 2s , 3s, ...) com s · 0, é uma P.G.
crescente.
04) A razão da P.G. (eÑ, e£Ñ, e¤Ñ, ...) é eÑ
08) Numa P.A. de número ímpar de termos, o
primeiro termo é 3 e o último termo é 27. Assim, o
termo médio dessa P.A. vale 1516) A razão da P.A. (log4, log12, log36, ...) é log3
c) 1 bilhão de dólares.d) 80 bilhões de dólares.e) 1 trilhão de dólares.
27. (Unicamp) Existem 4 números inteiros positivos e
consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual
ao produto dos outros dois?
Justifique.
28. (Unicamp) Começando com um cilindro de raio 1
e altura também 1, define-se o procedimento de
colocar sobre um cilindro anterior um outro cilindro de
igual altura e raio 2/3 do raio anterior.
Embora a altura do sólido fictício resultante sejainfinita, seu volume pode ser calculado. Faça esse
cálculo.
29. (Unicamp) Considere que certo país troca de
moeda cada vez que a inflação acumulada atinge a
cifra de 900%. A nova moeda vale sempre 1000
vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês,
em quantos meses esse país trocará de moeda?
Use log•³ 2 = 0,301.
30. (Fuvest-gv) Dado um quadrado Q• cujo lado temcomprimento Ø=1, considere a seqüência infinita dequadrados {Q,Q‚,Qƒ,...} onde cada quadrado é obtido
unindo-se os pontos médios dos lados do quadrado
anterior. A soma das áreas de todos os quadrados da
seqüência é:a) 4
b) (4Ë2)/(Ë2-1)c) 4/3
d) 2
e) Ë2/(Ë2-1)
31. (Unesp) Um ângulo de 69°20' é dividido em dois
ao meio. A seguir, um dos ângulos obtidos também é
dividido em dois ao meio. E assim por diante. Se este
processo é interrompido quando se obtém um ângulo
1°5', determinar o número de divisões efetuadas.
32. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro
termo igual a 1 e razão igual a Ë2. Se o produto dos
termos dessa progressão é 2¤ª, então o número de
termos é igual a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
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33. (Unesp) Os comprimentos das circunferências de
uma seqüência de círculos concêntricos formam uma
progressão aritmética de razão 2. Os raios desses
círculos formam uma:
a) progressão geométrica de razão 1/2.b) progressão geométrica de razão 1/™.
c) progressão aritmética de razão 2.
d) progressão aritmética de razão ™.e) progressão aritmética de razão 1/™.
34. (Ufpr) Considere as progressões geométricas nasquais aŠ indica o n-ésimo termo, sendo aƒ=8 e a…=32.
É correto afirmar que:
01) A razão de cada uma dessas progressões é 4.
02) Todos os termos dessas progressões sãonecessariamente positivos.
04) O primeiro termo de cada uma dessas
progressões é 1.
08) Se i > 0 é a razão de uma das progressõesgeométricas, os números log‹ a, log‹ aƒ, log‹ a…
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
35. (Cesgranrio) A população de certa cidade é, hoje,
igual a P³ e cresce 2% ao ano. A população dessa
cidade daqui a n anos será:
a) P³(1 + n/50)b) P³(1 + (n - 1)/50)
c) P³ + (n - 1)/50d) P³ . 1,02¾•¢e) P³ . 1,02¾
36. (Ufes) A figura a seguir representa o gráfico da
função y=2Ñ, x ´ 0, e os primeiros elementos de uma
seqüência infinita de retângulos.
A soma das áreas de todos os retângulos dessaseqüência infinita é:
Dado: (ua=unidade de área)
a) 1/2 uab) 1 ua
c) 3/2 ua
d) 2 uae) maior que 2 ua
37. (Fatec) Num certo jogo de azar, apostando-se
uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades
seguintes:
1 ) perde-se a quantia X apostada;
2 ) recebe-se a quantia 2X.
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na
primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez,
apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4
centavos e assim por diante, apostando em cada vez
o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas
20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21 vez, ela
ganhou. Comparando-se a quantia total T por ela
desembolsada e a quantia Q recebida na 21• jogada,
tem-se que Q é igual a
a) T/2
b) T
c) 2T
d) T-1
e) T+1
38. (Fei) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27,
..... se a sua soma é 3280, então ela apresenta:
a) 9 termos
b) 8 termos
c) 7 termos
d) 6 termos
e) 5 termos
39. (Ita) Seja f:R*øë R uma função injetora tal quef(1)=0 e f(x.y)=f(x) + f(y) para todo x>0 e y>0. Se x•,x‚, xƒ, x„ e x… formam nessa ordem uma progressão
geométrica, onde x‹>0 para i=1,2,3,4,5 e sabendo que#f(x‹)=13f(2)+2f(x) onde n=5 e #f[x‹/(x‹ø)]=-2f(2x•)onde n=4, então, o valor de x• é:
a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
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40. (Ita) Sejam a, a‚, aƒ, a„ quatro números reais
(com a•· 0), formando nessa ordem uma progressão
geométrica. Então, o sistema em x e y
ýa x + aƒy = 1
þÿaa‚x + aa„y = a‚
é um sistema
a) impossível.b) possível determinado.c) possível indeterminado.
d) possível determinado apenas para a• > 1.e) possível determinado apenas para a• < -1.
41. (Ufpe) Em certa cidade a população de ratos é 20
84. (Uel) Considere a progressão (-3, 1, -1/3, ...). O
produto de seus 12 primeiros termos éa) ¦¥Ë3
b) ¥Ë3
c) ¤¦Ë3
d) £¨Ë3
e) ¢£Ë3
85. (Cesgranrio) O número de assinantes de um
jornal de grande circulação no estado aumentou, nos
quatro primeiros meses do ano, em progressão
geométrica, segundo os dados de uma pesquisa
constantes na tabela a seguir.
Em relação ao mês de fevereiro, o número de
assinantes desse jornal no mês de abril teve um
aumento de:
a) 1600
b) 1510
c) 1155
d) 1150
e) 1050
86. (Cesgranrio) Segundo dados de uma pesquisa, a
população de certa região do país vem decrescendo
em relação ao tempo "t", contado em anos,
aproximadamente, segundo a relação
Sendo P(o) uma constante que representa a
população inicial dessa região e P(t) a população "t"
anos após, determine quantos anos se passarão para
que essa população fique reduzida ã quarta parte da
que era inicialmente.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 15
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87. (Unirio) O número que deve ser subtraído de 1, de11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma
P.G., nesta mesma ordem, é:
a) 2
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/8
e) 1/16
88. (Cesgranrio) O professor G. Ninho, depois de
formar uma progressão aritmética de 8 termos,
começando pelo número 3 e composta apenas de
números naturais, notou que o 2Ž, o 4Ž e o 8Ž termos
formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica.
G. Ninho observou ainda que a soma dos termos
dessa progressão geométrica era igual a:
a) 42
b) 36
c) 32
d) 28
e) 24
89. (Cesgranrio) Considere uma progressão
geométrica de 5 termos e razão positiva, onde a
soma do primeiro com o terceiro termo é 9/2 e o
produto de seus termos é 1024. O produto dos três
termos iniciais dessa progressão é igual a:
a) 1/2b) 1
c) 2Ë2
d) 4Ë2e) 8Ë2
90. (Fuvest) Seja (aŠ) uma progressão geométrica de
primeiro
termo a• = 1 e razão q£, onde q é um número inteiromaior que 1. Seja (bŠ) uma progressão geométrica
cuja razão é q. Sabe-se que a=b�.
Neste caso:
a) Determine o primeiro termo b• em função de q.b) Existe algum valor de n para o qual aŠ = bŠ?
c) Que condição n e x devem satisfazer para que aŠ =
bÖ ?
91. (Ufrj) Uma progressão geométrica de 8 termos
tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal doproduto de seus termos vale 36.
Ache a razão da progressão.
92. (Mackenzie) As seqüências (x, 2y-x, 3y) e (x, y,3x+y - 1), de termos não nulos, são, respectivamente,
aritmética e geométricas. Então, 3x + y vale:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
93. (Mackenzie) A seqüência (a, b, c) é uma
progressão geométrica de razão não nula, com a<0 e
c>8b-12a. A soma dos possíveis valores inteiros da
razão é:
a) 7
b) 9
c) 12
d) 14
e) 20
94. (Mackenzie) Na seqüência geométrica (x£, x,
logx), de razão q, x é um número real e positivo.
Então, log q vale:
a) 1
b) -1
c) -2
d) 2
e) 1 / 2
95. (Puccamp) Sabe-se que a seqüência (x; y; 10) é
uma progressão aritmética e a seqüência (1/y; 2;3y+4) é uma progressão geométrica. Nessascondições, é correto afirmar que
a) a razão da progressão geométrica é 8.
b) a razão da progressão aritmética é 4.
c) y = 2xd) x + y = 0
e) x . y = -16
96. (Uel) A dízima periódica 0,303030... pode ser
escrita na forma 0,30+0,0030+0,000030+... e sua
fração geratriz pode ser determinada pela expressão
a) (3/100)/(1-1/10)
b) (3/100)/(1-1/100)c) (3/10)/(1-1/100)
d) (3/10)/(1-1/10)
e) 3/(1-1/100)
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97. (Unb) Conta uma lenda que o rei de certo país
ficou tão impressionado ao conhecer o jogo de xadrez
que quis recompensar seu inventor, dando-lhe
qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então,
disse ao rei: "Dê-me simplesmente 1 grão de trigo
pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda
casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela quarta e
assim sucessivamente, até a 64.ò casa do tabuleiro".
O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou
que fosse cumprido. Supondo que um grão de trigo
tem massa igual a 0,05 g e que a produção mundial
de trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas,
julgue os itens abaixo.
(1) O número de grãos de trigo devido ao inventor
apenas pela 11.ò casa do tabuleiro é menor que1.000.(2) Até a 30.ò casa, seriam devidas ao inventor maisde 50 toneladas de grãos.
(3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31.ò
casa corresponde à quantidade recebida até a 30.ò
casa acrescida de um grão.
(4) Seriam necessárias mais de 1.000 vezes aprodução mundial de trigo de 1997 para recompensar
o inventor.
98. (Puccamp) Uma progressão aritmética (P.A.) e
uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são
inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma
razão. Se o quinto termo da P.A. é 11 e a diferença
entre o segundo termo da P.G. e o segundo termo da
P.A. é 1, então o quinto termo da P.G. é
a) 243
b) 162
c) 95
d) 48
e) 32
99. (Ufrs) Na seqüência de figuras, cada quadrado
tem 1cm£ de área.
Supondo que as figuras continuem evoluindo no
mesmo padrão aqui encontrado, a área da figura 20
terá valor
a) entre 0 e 1000
b) entre 1000 e 10.000
c) entre 10.000 e 50.000
d) entre 50.000 e 100.000
e) maior que 100.000
100. (Unb) Considere a seguinte seqüência de
resistores de 1 ², em que se acrescenta em cada
passo , alternadamente, um resistor em série e outro
em paralelo com o conjunto de resistores do passo
anterior.
Sabendo que, se dois resistores de S² e T² estão
em série, a resistência equivalente é igual à soma
(S+T)² e que, caso estejam em paralelo, a
resistência equivalente, R, é dada por
1/R=(1/S)+(1/T), e considerando R(n) a resistência
equivalente total obtida no n-ésimo passo da
seqüência acima descrita, julgue os itens que se
seguem.
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(1) O 7° passo da seqüência dará origem a uma
associação de resistores equivalente à mostrada
acima.
(2) R(6) = (13/8) ²
(3) Se R(2j) = a‚Œ/b‚Œ, em que j, a‚Œ e b‚Œ são números
naturais, com jµ1, então a‚Œø=a‚Œ e a‚Œ=a‚Œ÷+b‚Œ÷, para
todo jµ1.
(4) Se a seqüência fosse constituída somente por
resistores em série, iniciando com um resistor de 1²
e, em cada passo, incluindo-se um resistor de
resistência igual ao dobro do último resistor
acrescentado, então a resistência total obtida no 100°
passo seria igual a (2¢¡¡-1)².
101. (Fatec) Se o lado, a altura e a área de um
triângulo equilátero formam, nessa ordem, uma
progressão geométrica, então a medida do lado
desse triângulo é um número
a) irracional.b) racional.
c) inteiro.
d) real e maior que Ë3.e) real e compreendido entre Ë2 e Ë3.
102. (Unirio) Um sociólogo que estuda, há anos, a
população de uma favela do Rio de Janeiro, chegou à
conclusão de que a população dobra anualmente,
devido aos problemas sociais e de migração interna.
Sabendo-se que, em 1997, essa população era de
520 habitantes, e que a condição geográfica do local
só suporta um máximo de 10.000 habitantes, essa
mesma população deverá ser removida, no máximo,
no ano de:
a) 1999
b) 2000
c) 2001
d) 2002
e) 2003
103. (Ita) O conjunto de todos os números reais q>1,para os quais a, a‚ e aƒ formam, nesta ordem, uma
progressão geométrica de razão q e representam asmedidas dos lados de um triângulo, é:
a) ]1, (1+Ë5)/2[
b) ]1, (1+Ë5)/2]
c) ]1, (1+Ë5)/Ë5]
d) ]1, (1+Ë5)/4[
e) ]1, 1+Ë5[
104. (Uff) São dadas duas progressões: uma
aritmética (P.A.) e outra geométrica (P.G.).
Sabe-se que:
- a razão da P.G. é 2;
- em ambas o primeiro termo é igual a 1;
- a soma dos termos da P.A. é igual à soma dostermos da P.G.;
- ambas têm 4 termos.
Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:
a) 1/6
b) 5/6
c) 7/6
d) 9/6
e) 11/6
105. (Uff) Considere a seqüência (x, x‚, ... , xŠ) tal
que x=1/2 e xŠø= 0,5 xŠ.
Determine o valor de i de modo que x‹=1/2¢¡.
106. (Uff) Considere
S=(x-1)£+[(x-1)£/2]+[(x-1)£/4]+[(x-1)£/8]+...
Determine o(s) valor(es) de x que torna(m) S = 2.
107. (Ufrrj) Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ
formando uma goteira no teto de uma das salas de
aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai
uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma
que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda
da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre
as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à
metade na medida em que a chuva piora.
Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo,
aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a
goteira se transformará em um fio contínuo de água?
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108. (Ufv) Na seqüência de quadrados representada
nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus
vértices nos pontos médios do quadrado que o
antecede.
Se o perímetro do primeiro quadrado é P e supondo
que essa seqüência continue indefinidamente, calcule
o perímetro:
a) do terceiro quadrado.
b) do n-ésimo quadrado.
109. (Uel) Os divisores positivos do número 3¢¡ são
3¡, 3¢, 3£ etc. A soma de todos esses divisores é
a) (3¢¢ - 1)/2
b) (3¢¡ - 1)/2
c) (3ª - 1)/2
d) 3¢¡
e) 3¢¡ - 1
110. (Ufes) Para que a soma dos n primeiros termos
da Progressão Geométrica 3,6,12,24,... seja um
número compreendido entre 50.000 e 100.000,
devemos tornar n igual a
a) 16
b) 15
c) 14
d) 13
e) 12
111. (Uece) Uma certa substância duplica seu volume
a cada minuto. Às 9 horas uma pequena quantidade
desta substância é colocada num recipiente e uma
hora depois, isto é, às 10 horas, o recipiente estava
completamente cheio. Nestas condições, asubstância ocupava 1/4 da capacidade total do
recipiente, às:
a) 9h15min
b) 9h 45min
c) 9h 58min
d) 9h 59min
112. (Ufsc) Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2,
2x+1) é uma P.A. e que a seqüência (4y, 2y-1, y+1) é
uma P.G., determine a soma dos númerosassociados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. A P.A. é crescente.02. O valor de y é 1/8.
04. A soma dos termos da P.A. é zero.08. -3/2 é a razão da P.G.
16. O valor de x é 2.
113. (Mackenzie) Seja a seqüência geométrica, de n
termos positivos, que se obtém inserindo-se K meios
geométricos entre 1/2 e 8. Se o produto de todos os
termos é 32, então n vale:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
114. (Mackenzie) Na figura, åæ e æè medem,
respectivamente, 5 e 4. Então o valor mais próximo
da medida de AB+BC+CD+ED+EF+... é:
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25
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115. (Ufpr) A sentença "a função f transforma uma
progressão em outra progressão" significa que, ao se
aplicar a função aos termos de uma progressão
(a,a‚,aƒ,...), resulta nova progressão(f(a ),f(a‚),f(aƒ),...). Assim, é correto afirmar:
(01) A função f(x) = 2x + 5 transforma qualquerprogressão aritmética de razão r em outra progressão
aritmética, esta de razão 5.
(02) A função f(x) = 3x transforma qualquerprogressão aritmética de razão r em outra progressão
aritmética, esta de razão 3r.
(04) A função f(x) = 2Ñ transforma qualquer
progressão aritmética de razão r em uma progressão
geométrica de razão 2 elevado à potência r.
(08) A função f(x) = logƒx transforma qualquer
progressão geométrica de termos positivos e razão 9
em uma progressão aritmética de razão 2.
Soma ( )
116. (Unesp) No dia 1Ž de dezembro, uma pessoa
enviou pela internet uma mensagem para x pessoas.
No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a
mensagem no dia 1Ž enviou a mesma para outras
duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que
recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a
mesma para outras duas novas pessoas. E, assim,
sucessivamente. Se, do dia 1Ž até o final do dia 6 de
dezembro, 756 pessoas haviam recebido a
mensagem, o valor de x é:
a) 12.
b) 24.
c) 52.
d) 63.
e) 126.
117. (Pucsp) Considere uma progressão geométrica
crescente, cujo primeiro termo é diferente de zero, e
uma progressão aritmética decrescente cujo primeiro
termo é zero. Somando-se os termos
correspondentes das duas progressões, obtém-se aseqüência (2, 1, 2, a„, a…, ...). A diferença a…-a„ é igual
a
a) 13
b) 15
c) 18
d) 20
e) 22
118. (Ufsm) Numa plantação de eucaliptos, as
árvores são atacadas por uma praga, semana após
semana. De acordo com observações feitas, uma
árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na
segunda semana; mais quatro, na terceira semana e,
assim por diante, até que, na décima semana,
praticamente toda a plantação ficou doente, exceto
sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de
árvores dessa plantação éa) menor que 824.
b) igual a 1030.
c) maior que 1502.d) igual a 1024.
e) igual a 1320.
119. (Uff) A empresa ACME concedeu a seus
funcionários mensalmente, durante dois meses, um
reajuste fixo de x% ao mês. Se ao final desses dois
meses o reajuste acumulado foi de 21%, o valor de x
é:a) 10
b) 10,5c) 11
d) 11,5
e) 21
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120. (Uff) Os retângulos R, R‚ e Rƒ, representados
na figura, são congruentes e estão divididos em
regiões de mesma área.
Ao se calcular o quociente entre a área da regiãopintada e a área total de cada um dos retângulos R•,R‚ e Rƒ, verifica-se que os valores obtidos formam
uma progressão geométrica (P.G.) decrescente detrês termos.
A razão dessa P.G. é:
a) 1/8
b) 1/4
c) 1/2
d) 2
e) 4
121. (Uff) Numa progressão geométrica (P.G.)
decrescente o primeiro termo é um número real
positivo e cada termo, a partir do terceiro, é igual à
sexta parte da soma dos dois termos imediatamente
anteriores.
Determine a razão dessa P.G.
122. (Fuvest) Uma progressão aritmética e uma
progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo
igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são
estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda
que o segundo termo da progressão aritmética
excede o segundo termo da progressão geométrica
em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
123. (Ita) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5
centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência
de triângulos do seguinte modo: os pontos médios
dos lados de um triângulo são os vértices do
seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em
centímetros quadrados que está mais próximo da
soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim
construídos, incluindo o triângulo inicial, é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
124. (Ufpr) Sendo a, b e x números reais tais que
3ò=2ö, 9ö=4Ñ e a · 0, é correto afirmar:
(01) b = x log‚ 3
(02) Se a = 2, então b < 3.
(04) a, b e x, nesta ordem, estão em progressão
geométrica.
(08) a + b = a log‚ 6
(16) 3 ò ® £ö = 2 ö ® £Ñ
Soma ( )
125. (Ufsc) Determine a soma dos númerosassociados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
01. Existem 64 múltiplos de 7 entre 50 e 500.02. O valor de x que satisfaz a equação
(x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155 é x=1.04. O oitavo termo da P.G. (Ë2, 2, ...) é a�=16.
08. A soma dos termos da P.G. (1/3, 2/9, 4/27,...) é
igual a 1.
126. (Ufscar) Uma bola cai de uma altura de 30m e
salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura
da qual caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de
número n. A expressão matemática para h(n) é:
a) 30.(2/3)¾
b) 2/3.(30)¾
c) 20.nd) 2/3.n
e) (2/3)¾
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127. (Ufc) Sejam PŠ, P‚Š e PƒŠ os produtos dos n, 2n e
3n primeiros termos, respectivamente, de uma
progressão geométrica cujo primeiro termo a• e cuja
razão q são números reais não nulos. Então, o
quociente PƒŠ/(PŠ.P‚Š) depende:
a) apenas de n.
b) apenas de a• e n.
c) apenas de q e n.
d) de q, a• e n.
e) nem de q, nem de a•, nem de n.
128. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões)
CORRETA(S).
01. O 10Ž termo da seqüência, cujo termo geral éaŠ=4n+7, é a•³=33.
02. Entre 20 e 1.200 existem 169 múltiplos de 7.
04. Se três números DISTINTOS formam uma
progressão aritmética, então eles não formam uma
progressão geométrica.
08. Uma seqüência de quadrados é construída a
partir de um quadrado arbitrário dado, tomando-se
para vértices de cada quadrado, a partir do segundo,
os pontos médios dos lados do quadrado anterior.
Então, as áreas desses quadrados formam uma
progressão geométrica de razão q=1/2.
129. (Unifesp) Em uma seqüência de 8 números, a•,a‚, ... , a�, a�, os 5 primeiros termos formam uma
progressão aritmética (P.A.) de primeiro termo 1; os 3
últimos formam uma progressão geométrica (P.G.) de
primeiro termo 2.Sabendo que a… = a� e a„ = a�,
a) determine as razões da P.A. e da P.G.
b) escreva os 8 termos dessa seqüência.
130. (Ufrn) As áreas dos quadrados a seguir estão
em progressão geométrica de razão 2.
Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão
ema) progressão aritmética de razão 2.b) progressão geométrica de razão 2. c)
progressão aritmética de razão Ë2 . d)
progressão geométrica de razão Ë2 .
131. (Ita) Considere n pontos distintos A, A‚, ... AŠ
sobre uma circunferência de raio unitário, de formaque os comprimentos dos arcos AA‚, A‚Aƒ, ..., AŠ÷AŠ
formam uma progressão geométrica de termo inicial
™ e razão 1/2. Para que valores de n Æ lN teremos ocomprimento do arco AŠA menor que 1/512 do
comprimento da circunferência?Obs.: Para todo arco A‹AŒ, o comprimento
considerado é o do arco que une o ponto A‹ ao ponto
AŒ no sentido anti-horário.
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132. (Fgv) Na equação
o 1Ž membro é a soma dos termos de uma
progressão geométrica infinita. A soma das raízes da
equação é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
133. (Ufrj) Um dos paradoxos atribuídos ao filósofo
grego Zenão (que viveu por volta de 450 a.C.) é o de
Aquiles e a tartaruga. Zenão teria afirmado que, por
mais rápido que fosse, Aquiles jamais alcançaria a
tartaruga.
Para fixar as idéias, vamos dar uma formulação
teórica e simplificada da questão. Admitiremos que
Aquiles é representado por um ponto A e a tartaruga,
por um ponto J, que se movem sobre a mesma reta e
no mesmo sentido, com velocidades constantes,
sendo a velocidade de Aquiles igual a dez vezes a da
tartaruga
.
Suponha ainda que, no instante inicial, a distância
entre Aquiles e a tartaruga seja d³ e que Aquiles leve
um tempo t³ para percorrê-la. O argumento de Zenão
é o seguinte: quando Aquiles chega ao ponto J³ em
que estava a tartaruga no instante inicial, esta já se
moveu para um ponto J•; quando Aquiles chega a J•,a tartaruga já se moveu para um ponto J‚, e assim
sucessivamente, de forma que Aquiles e a tartaruga
jamais estarão no mesmo ponto simultaneamente.
Com base nos dados acima, é verdadeira esta última
afirmação? Justifique rigorosamente sua resposta.
134. (Puc-rio) Um senhor tem a anos de idade, seu
filho tem f anos de idade e seu neto, n. Sobre estes
valores, podemos afirmar:
a) É impossível que a, f e n estejam em progressãoaritmética.
b) É impossível que a, f e n estejam em progressão
geométrica.
c) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente
em progressão aritmética e geométrica.d) É possível que a, f e n estejam simultaneamente
em progressão aritmética e geométrica.
e) É possível que a, f e n estejam em progressão
aritmética, mas é impossível que estejam em
progressão geométrica.
135. (Ufsm) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em
cada afirmativa.
( ) No primeiro semestre do ano 2000, a população
mensal de uma fábrica de sapatos cresceu emprogressão geométrica. Em janeiro, a produção foi de
3000 pares e, em junho, foi de 96.000 pares. Então,
pode-se afirmar que a produção do mês de março e
abril foi de 12.000 e 18.000 pares, respectivamente.
( ) A seqüência (x¾•¥, x¾•£, x¾, x¾®£), x· 0, é uma
progressão geométrica de razão x£.
( ) Uma progressão geométrica de razão q, com0<q<1 e a•>0, é uma progressão geométrica
crescente.
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A seqüência correta é
a) V - F - F.b) F - V - F.c) F - V - V.
d) V - V - F.
e) V - F - V.
136. (Ufv) Seja S(x) = x - x¤ + x¦ - x¨ + ... + (-1)¾ x£¾•¢ +
... uma série geométrica. Se S(x)=6/13, então o valor
de x é:a) 3/2b) 1/2
c) 1/3
d) 5/3
e) 2/3
137. (Pucpr) Em uma progressão geométrica
infinitamente decrescente, cuja soma é igual a 9 e a
soma dos quadrados de todos os seus termos é 40,5,
o seu 4° termo vale:
a) 3/8
b) 1/27
c) 5/32
d) 2/9
e) 4/27
138. (Uel) Na figura abaixo, a aresta do cubo maior
mede a, e os outros cubos foram construídos de
modo que a medida da respectiva aresta seja a
metade da aresta do cubo anterior. Imaginando que a
construção continue indefinidamente, a soma dos
volumes de todos os cubos será:
a) 0
b) a¤/2
c) 7a¤/8
d) 8a¤/7
e) 2a¤
139. (Ufrn) Um fazendeiro dividiu 30km£ de suas
terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de
modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos
filhos estavam em progressão geométrica, de acordo
com a idade, tendo recebido mais quem era maisvelho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2km£
de área.
O filho que tem idade imediatamente superior à domais novo recebeu um terreno de área igual a:
a) 10 km£
b) 8 km£
c) 4 km£
d) 6 km£
140. (Ufscar) A condição para que três números a, b
e c estejam, simultaneamente, em progressão
aritmética e em progressão geométrica é que
a) ac = b£.b) a + c = 2b.
c) a + c = b£.
d) a = b = c.
e) ac = 2b.
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141. (Ufal) As afirmações seguintes referem-se a
progressões geométricas e/ou aritméticas.
( ) Uma progressão geométrica é decrescente se
sua razão é negativa.( ) O vigésimo termo da seqüência (-8,-3,2,7,...) é87.
( ) Uma seqüência pode ser, simultaneamente,progressão geométrica e progressão aritmética.
( ) Se a seqüência (Ë2, 2, x) é uma progressãogeométrica, então x=Ë2.
( ) A soma dos termos da progressão aritmética (a•,a‚, 12, a„, ..., a��, 116, a‰‰, a ³³) é 6400.
142. (Ufc) Verifique se existe uma progressão
geométrica na qual três dos seus termos são 17, 51 e119.
143. (Puc-rio) Três números distintos podem estar
simultaneamente em progressão aritmética e
geométrica? Justifique a sua resposta.
144. (Ufal) Em uma cultura de bactérias, o número de
microorganismos duplica a cada 20 minutos.
Iniciando-se com uma população de 100 bactérias, o
tempo t necessário para se alcançar uma população
de 5.000 bactérias é tal que
a) 1h < t < 1h40min
b) 1h40min < t < 2h
c) 2h < t < 2h30min
d) 2h30min < t < 2h50mine) 2h50min < t < 3h
145. (Ufal) Numa progressão aritmética crescente,cujo primeiro termo é 2, os termos a, a„ e a³ estão em
progressão geométrica. Determine a razão dessaprogressão aritmética.
146. (Ufc) Seja x=1+10+10£+...+10¾•¢ e y=10¾+5.Determine Ë(xy+1).
147. (Uflavras) Sabendo-se que os números a³, a•,75, aƒ e 1875 estão em progressão geométrica, o
valor de aƒ é
a) 100
b) 1500
c) 225
d) 375
e) 1125
148. (Ufpel) Uma determinada planta aquática se
reproduz intensamente. O número de indivíduos, em
condições estáveis, é multiplicado por 3 a cada dia.
Se, nas condições normais, iniciando com uma
dessas plantas, são necessários 60 dias para
preencher a superfície de um lago, iniciando com 3
das referidas plantas, a mesma superfície será
preenchida no tempo de
a) 31 dias.
b) 20 dias.
c) 57 dias.
d) 59 dias.
e) 30 dias.
149. (Ufv) As medidas do lado, do perímetro e da
área de um quadrado estão, nesta ordem, em
progressão geométrica. A diagonal desse quadrado
mede:
a) 16Ë2
b) 10Ë2
c) 12Ë2
d) 14Ë2
e) 18Ë2
150. (Ufrrj) Uma de nossas mais tradicionais festas
juninas é realizada anualmente em Campina Grande,
na Paraíba. Nesta festa dança-se a quadrilha, na qual
os pares, para formarem o caracol, partem em fila
puxados pelo líder, seguindo semicircunferência no
sentido anti-horário.
A primeira semicircunferência é formada com 20m de
raio, a segunda com raio igual a 2/3 da primeira a
terceira com raio igual a 2/3 da segunda e assim
sucessivamente.
Ao final, quantos metros serão percorridos pelo líderdurante o movimento do caracol ?
151. (Mackenzie) Se numa progressão geométrica de
termos positivos o terceiro termo é igual à metade da
razão, o produto dos três primeiros termos é igual a:
a) 1/4
b) 4
c) 1/8c) 8d) 1/16
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152. (Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o
volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três
números em progressão geométrica. A área total
desse cubo é:
a) 20
b) 48
c) 24
d) 18
e) 12
153. (Pucrs) A seqüência numérica (x, x‚, xƒ, ...,
x‚Šø), onde n é um número natural, é uma progressão
geométrica de razão q=-1. A soma de seus termos éa) -1
b) 0
c) 1
d) x‚Še) x‚Šø
154. (Pucrs) Se o valor de um automóvel novo é P³ e
sofre uma desvalorização de 12% ao ano, o preço do
veículo após x anos de uso é
a) P=P³ + 12xb) P=P³ + (1,2)Ñ
c) P=P³ (0,12)Ñd) P=P³ + (0,88)Ñ
e) P=P³ (0,88)Ñ
155. (Ufrs) A tabela apresenta, em cada linha, o
número de cabeças de um rebanho no final do ano
dado.
Se o rebanho continuar decrescendo anualmente na
progressão geométrica indicada pela tabela, no final
de 2006 o número de cabeças do rebanho estará
entre (Dado log 2=0,3010)
a) 10 e 80. b)
80 e 100. c)
100 e 400. d)
400 e 800.
e) 800 e 1000.
156. (Uff) Certas imagens captadas por satélites
espaciais, quando digitalizadas, são representadas
por normas geométricas de aspecto irregular ou
fragmentado, conhecidas por fractais. Podem-se
obter tais fractais pela alteração da forma original e
uma curva por meio de um processo em que os
exultados de uma etapa são utilizados como ponto de
partida para a etapa seguinte.Considere o processo tal que, em todas as tapas,cada segmento de reta é transformado em uma
poligonal cujo comprimento é quatro vezes a terça
parte do segmento original, como ilustrado na figura a
seguir:
Por esse processo, a partir de um quadrado com 1
metro de lado, obtém-se a seqüência de figuras
anterior.
O perímetro, em metro, do quinto polígono dessaseqüência é:
a) 4¥/3¤
b) 4¥/3¦
c) 4¦/3¥
d) 3¦/4¦
e) 3¥/4¥
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157. (Uff) Os termos gerais de duas seqüências são
dados, respectivamente, por:
xŠ = 1/2¾ e yŠ = 1/ËxŠ , n Æ IN*
Considere a seqüência de termo geral aŠ=[(xŠ-xŠø).yŠ]/2, n Æ IN* e calcule:
a) a razão da progressão geométrica {a , a‚, ..., aŠ,
...};
b) a soma infinita S = a + a‚ + ... + aŠ + ...
158. (Ufjf) Um aluno do curso de biologia estudou
durante nove semanas o crescimento de uma
determinada planta, a partir de sua germinação.
Observou que, na primeira semana, a planta havia
crescido 16 mm. Constatou ainda que, em cada uma
das oito semanas seguintes, o crescimento foi
sempre a metade do crescimento da semana anterior.
Dentre os valores a seguir, o que MELHOR aproxima
o tamanho dessa planta, ao final dessas nove
semanas, em milímetros, é:
a) 48.
b) 36.
c) 32.
d) 30.
e) 24.
159. (Ufv) Se a soma dos n primeiros termos de umaprogressão geométrica (P. G.) é dada por SŠ=1-(1/2¾),
160. (Ufc) Considere a função real de variável realdefinida por f(x)=2•Ñ. Calcule o valor de
f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...
161. (Ufrj) A região fractal F, construída a partir de um
quadrado de lado 1 cm, é constituída por uma
infinidade de quadrados e construída em uma
infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-
se os quadrados de menor lado ( | ) acrescentados na
etapa anterior e acrescentam-se, para cada um
destes, três novos quadrados de lado | /3. As três
primeiras etapas de construção de F são
apresentadas a seguir.
Calcule a área de F. Justifique.
162. (Unesp) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm.
Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma
tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes
seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas
anteriormente.
Determine, ao final de 9 dessas operações,
a) quantas tábuas terá a pilha.b) a altura, em metros, da pilha.
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163. (Ita) Considere a seguinte situação baseada num
dos paradoxos de Zenão de Eléia, filósofo grego do
século V A.C. Suponha que o atleta Aquiles e uma
tartaruga apostam uma corrida em linha reta,
correndo com velocidades constantes v(A) e v(T),
com 0 < v(T) < v(A). Como a tartaruga é mais lenta, é-
lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a
corrida no instante t = 0 a uma distância d• > 0 nafrente de Aquiles. Calcule os tempos t, t‚, tƒ,... queAquiles precisa para percorrer as distâncias d, d‚,
dƒ,..., respectivamente, sendo que, para todo n µ 2, dŠ
denota a distância entre a tartaruga e Aquiles noinstante
da corrida.
Verifique que os termos t(k), k = 1, 2, 3,..., formam
uma progressão geométrica infinita, determine sua
soma e dê o significado desta soma.
164. (Fuvest) No plano cartesiano, os comprimentos
de segmentos consecutivos da poligonal, que começa
na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma
progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1.
Dois segmentos consecutivos são sempreperpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do
ponto B = (x,y) vale:
a) (1 - p¢£)/(1 - p¥)
b) (1 - p¢£)/(1 + p£)
c) (1 - p¢§)/(1 - p£)
d) (1 - p¢§)/(1 + p£)
e) (1 - p£¡)/(1 - p¥)
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165. (Ufes) Na figura a seguir, o triângulo ABC é
equilátero de lado igual a 1.
Considere o retângulo com dois vértices sobre a base
BC e cujos outros dois vértices, B• e C• são os pontos
médios dos lados AB e AC, respectivamente. No
triângulo AB•C•, considere o retângulo com dois
vértices sobre a base B•C• e cujos outros dois
vértices, B‚ e C‚ são os pontos médios dos lados AB
e AC•, respectivamente. Continuando este processo
indefinidamente, obtém-se uma seqüência de
retângulos. A soma das áreas totais de todos os
retângulos assim obtidos é igual a
a) Ë3/24
b) Ë3/12
c) Ë3/8
d) Ë3/6
e) Ë3/3
166. (Ufrn) A seqüência de figuras abaixo representa
os cinco primeiros passos da construção do conjunto
de Sierpinski. Os vértices dos triângulos brancos
construídos são os pontos médios dos lados dos
triângulos escuros da figura anterior. Denominamos
a , a‚, aƒ, a„ e a…, respectivamente, as áreas das
regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta
e quinta figuras da seqüência.
Podemos afirmar que a, a‚, aƒ, a„ e a… estão, nessa
ordem, em progressão geométrica de razão
a) 3/4b) 1/2c) 1/3
d) 1/4
167. (Ufjf) Os comprimentos das circunferências de
uma seqüência de círculos concêntricos formam uma
progressão geométrica de razão 3. As áreas desses
círculos formam uma:
a) progressão geométrica de razão 9.
b) progressão aritmética de razão 1/3.
c) progressão geométrica de razão 1/3.
d) progressão aritmética de razão 9.
e) progressão geométrica de razão 1/9.
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168. (Pucrs) O valor de x na equação x + (x/2) + (x/4)
+ (x/8) + ... = 10 éa) 5
b) 10
c) 20
d) 1/2
e) 1/4
169. (Ufscar) Numa progressão geométrica, o
primeiro termo é 5Ñ e a razão é 5. Se a soma dos
quatro primeiros termos é 3900, pode-se afirmar que
5Ñ•£/5, é igual a
a) 1/25b) 1/5c) 1
d) 5e) 25.
170. (Uem) A soma dos 2Ž, 4Ž e 7Ž termos de uma
P.G. é 111. A soma dos 3Ž, 5Ž e 8Ž termos é 222.
Então, pode-se afirmar que
01) a razão é q = 1/2.02) aƒ = 6 e a� = 2¤ . 6.
04) a‚ - a• = 2.
08) o décimo primeiro termo é 1536.
16) a soma dos 7 primeiros termos é igual a 333 + a•+ a�.
32) (a‚ . a„)/(a . aƒ) = (a„ . a�)/(aƒ . a…).
171. (Ufmg) A população de uma colônia da bactéria
E. coli dobra a cada 20 minutos.
Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um
tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por
mililitro. No final do experimento, obteve-se um total
de 4,096 x 10§ bactérias por mililitro.
Assim sendo, o tempo do experimento foi dea) 3 horas e 40 minutos.
b) 3 horas.
c) 3 horas e 20 minutos.d) 4 horas.
172. (Unirio) Há exatamente um ano, José iniciou
uma criação de coelhos e, durante este período, o
número de coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje,
preocupado com a falta de espaço para os coelhos,
José vai vender parte dessa criação, de modo que
apenas a quantidade inicial fique com ele. Se N³
denota a quantidade inicial de coelhos, então a
quantidade a ser vendida é
a) 15 N³
b) 13 N³
c) 12 N³
d) 8 N³
e) 7 N³
173. (Ufpe) Quantas soluções a equação
sen£x + [(sen¥x)/2] + [(sen§x)/4] + ... = 2, cujo
lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos
de uma progressão geométrica, de primeiro termo
sen£x e razão (sen£x)/2, admite, no intervalo [0,
20™]?
174. (Unicamp) Suponha que, em uma prova, um
aluno gaste para resolver cada questão, a partir da
segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a
questão anterior. Suponha ainda que, para resolver
todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto
63,5 minutos e para resolver todas as questões,
exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos.
Calcule:a) O número total de questões da referida prova.
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolvatodas as questões da prova.
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Este proce
até a obte
Supondo q
unidade d
Koch form
175. (Uerj) Considere a seguinte soma infinita:
(1/2) + (2/4) + (3/8) + (4/16) + ...No gráfico I, abaixo, cada parcela desta soma érepresentada pela área de um retângulo, e a soma
infinita é determinada pela soma das áreas desses
retângulos. No gráfico II, embora a configuração dos
retângulos tenha sido alterada, as áreas se mantêm
iguais.
Com base nessas informações, podemos afirmar que
a soma infinita tem o seguinte valor:a) 3/2b) 2
c) 5/2d) 4
176. (Uerj) O fractal chamado floco de neve de Koch
é obtido a partir de um triângulo eqüilátero, dividindo-
se seus lados em 3 partes iguais e construindo-se,
sobre a parte do meio de cada um dos lados, um
novo triângulo eqüilátero.
sso de formação continua indefinidamente
nção de um floco de neve de Koch.ue o lado do triângulo inicial meça 1
e comprimento, a área do floco de neve de
ado será, em unidades quadradas,equivalente a:
a) (Ë3)/5
b) (Ë3)/4
c) 2(Ë3)/5
d) (Ë3)/2
177. (Ufes) O governo federal, ao efetuar a restituição
de impostos, permite que os contribuintes consumam
mais. O gasto de cada contribuinte torna-se receita
para outros contribuintes, que, por sua vez, fazem
novos gastos. Cada contribuinte poupa 10% de suas
receitas, gastando todo o resto.
O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos
contribuintes a ser gerado por uma restituição de
impostos de 40 bilhões de reais é
a) 36
b) 40
c) 180
d) 360
e) 450
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178. (Ufrn) Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) é
considerado um dos maiores matemáticos de todos
os tempos. Aos 10 anos de idade, ele apresentou
uma solução genial para somar os números inteiros
de 1 a 100. A solução apresentada por Gauss foi5050, obtida multiplicando-se 101 por 50, como