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Sciences de gestion
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ric DOR
&
conomtrieCours et exercices adapts aux besoins des conomistes et
des gestionnaires
Corrigs dtaills avec Excel, SPSS, TSP, Easyreg
Donnes utiles aux exercices sur www.pearson.fr
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conomtrie
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Sciences de gestion
Synthsede cours & Exercicescorrigs
conomtrieric DOR
professeur associ dconomtrie lIESEG School of Management
(Lille)
Direction de collection : Roland Gilletprofesseur luniversit
Paris 1 Panthon-Sorbonne
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Microsoft Excel 2000 est une marque dpose de Microsoft
Corporation. Les captures dcran de louvragerespectent strictement
les conditions imposes par Microsoft Corporation, publies sur la
page Internethttp
://www.microsoft.com/france/permission/copyrigt/cop-img.htm#ScreenShot
en fvrier 2004.
Tous droits rservs
Composition sous LATEX : ScripTEX
Toute reproduction, mme partielle, par quelque procd que ce
soit, est interdite sans autori-sation pralable. Une copie par
xrographie, photographie, film, support magntique ou
autre,constitue une contrefaon passible des peines prvues par la
loi, du 11 mars 1957 et du 3 juillet1995, sur la protection des
droits dauteur.
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Copyright 2009 Pearson Education France
ISBN : 978-2-7440-4071-9
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Sommaire
Lauteur VII
Introduction IX
Chapitre 1 Modlisation en conomie et gestion 1
Chapitre 2 Modle linaire en univers stationnaire 23
Chapitre 3 Complments sur les modles linaires 75
Chapitre 4 quations multiples en univers stationnaire 127
Chapitre 5 Tests de racine unitaire et modles ARIMA 149
Chapitre 6 Variables intgres, modles VAR et cointgration 201
Chapitre 7 Variables dpendantes discrteset volatilit
conditionnelle autorgressive 257
Index 287
Sommaire V
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(Scriptex : 4e preuve) VI
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(Scriptex : 4e preuve) VI
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(Scriptex : 4e preuve) VII
Lauteur
ric Dor est docteur s sciences conomiques. Il est directeur de
la recherche et professeurassoci lIESEG School of Management de
Lille, membre de la Confrence des Grandescoles de France. Il
enseigne galement lInstitut Catholique des Hautes tudes
Com-merciales (ICHEC) de Bruxelles. Il est lauteur de nombreuses
publications scientifiques,en particulier dans des revues comme
Oxford Bulletin of Economics and Statistics, EmpiricalEconomics,
Recherches conomiques de Louvain, et Recherches et Applications en
Marketing.Au cours de sa carrire, il a t Senior Economist chez
Wharton Econometric ForecastingAssociates. Il a t frquemment matre
de confrences invit lUniversit Catholiquede Louvain et a t invit
dans plusieurs centres de recherche internationaux, dont leGraduate
Center de la City University of New York.
Lauteur VII
PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) VII
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(Scriptex : 4e preuve) VIII
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(Scriptex : 4e preuve) VIII
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PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) IX
Introduction
Lapproche de ce livre est rsolument pdagogique. Son objectif est
de prsenter clairementles principales mthodes conomtriques et
dexpliquer en dtail comment les utiliser enpratique. Notre ouvrage
se distingue par labondance des tudes de cas exposes, quiutilisent
systmatiquement des donnes relles et qui portent aussi bien sur des
probl-matiques dentreprise que sur des problmatiques financires ou
macroconomiques. Celivre constitue donc un outil particulirement
utile lapprentissage de lconomtrie pardes tudiants en sciences de
gestion comme en sciences conomiques.
Louvrage se distingue galement par la place quil accorde
expliquer comment lesmodles sont spcifis pour diffrents types
dapplications. Lenseignement de lco-nomtrie se concentre trop
souvent exclusivement sur les techniques destimation desmodles,
sans dtailler au pralable les mthodes de spcification de ces
modles. Or,dans la pratique, la validit dune tude conomtrique dpend
de la pertinence dela spcification du modle estim ; il est vain de
connatre les diffrentes mthodesdestimation et dinfrence statistique
si on les applique des modles incohrents.
Toutes les donnes utilises dans les exercices peuvent tre
tlcharges sur le site Internetde lditeur, ladresse
www.pearsoneducation.fr. Les applications sont ralises laidede
diffrents logiciels, dont lusage est trs rpandu. Dune part, pour
certains exercicessimples, nous montrons comment raliser des
calculs conomtriques avec un logiciel detype tableur, Excel, en
raison de sa popularit sur les postes de travail. Dautre part,
nousinitions le lecteur lutilisation de logiciels conomtriques
spcialiss de grande qualit :TSP, SPSS et Easyreg. Ceux-ci sont
complmentaires : ils diffrent dans leur mode defonctionnement, ce
qui donne au lecteur toutes les cls des outils informatiques TSP
estbas sur la programmation de squences dinstruction tandis que
SPSS et Easyreg reposentsur des choix de menus. Pour chacun des
logiciels utiliss, le livre prsente une introductiondtaille son
utilisation de base. De cette manire, le lecteur peut passer une
mise enpratique immdiatement, sans avoir lire au pralable les
notices dutilisation fourniespar les diteurs. Toutefois, notre
ouvrage ne prtend pas se substituer la documentationofficielle,
dont la lecture est indispensable pour une utilisation approfondie.
Prcisonsgalement que le choix de ces logiciels nimplique pas de
jugement de valeur quant auxautres outils conomtriques qui existent
sur le march il ntait pas possible dinclureune prsentation dtaille
de tous les logiciels disponibles.
Introduction IX
PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) IX
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PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) X
La comprhension de louvrage ncessite la connaissance de quelques
notions mathma-tiques de base. Au besoin, le lecteur peut se rfrer
louvrage Mathmatiques appliques la gestion de Ariane Szafarz. De la
mme manire, une connaissance de base de lathorie statistique est
ncessaire. Le lecteur peut se reporter utilement au livre de
PatrickRoger : Probabilits, statistique et processus stochastiques,
publi dans la mme collection.Les mthodes destimation et leurs
proprits sont prsentes avec une grande rigueurmathmatique et
statistique, tout en sefforant dexpliquer la porte pratique des
rsultatsprsents ; le lecteur doit comprendre sous quelles
conditions chaque mthode ou chaquetest peut tre utilis bon escient.
Les preuves mathmatiques des diffrents rsultatset proprits ne sont
toutefois pas dtailles dans cet ouvrage, le lecteur intress
tantrenvoy pour cela aux nombreux ouvrages dconomtrie thorique
existants. Notreconviction est que lenseignement de lconomtrie doit
dabord intresser ltudiant la discipline en lui montrant demble les
applications pratiques enthousiasmantesquelle permet de raliser. La
motivation qui en rsulte devrait inciter naturellementle lecteur
approfondir ensuite sa connaissance de lconomtrie, en sintressant
auxdveloppements mathmatiques la source des mthodes et de leurs
proprits.
Cet ouvrage constitue le manuel idal pour un premier cours
dconomtrie, centr surlexplication des mthodes et sur leur mise en
pratique. Le professeur peut y ajouter lui-mme, sa propre
convenance, les dmonstrations mathmatiques de certains
rsultats.Dans les programmes denseignement o lon organise sparment
des cours dconom-trie thorique et un cours dconomtrie applique,
notre ouvrage constitue bien sr unmanuel appropri ce dernier. Ce
livre peut galement tre utilis en complment dunmanuel
essentiellement thorique.
Je tiens remercier TSP International pour mavoir autoris
reproduire ici des extraitsde rsultats produits avec le logiciel
TSP, Herman Bierens pour avoir permis la repro-duction de captures
dcran issues dEasyreg, et SPSS France pour un accord simi-laire
concernant SPSS. La reproduction dlments issus dExcel respecte les
conditionsimposes par Microsoft Corporation, telles quelles taient
publies sur la page Inter-net http
://www.microsoft.com/france/permission/copyrgt/cop-img.htm#ScreenShoten
fvrier 2004.
Je remercie galement Roland Gillet, le directeur de la
collection, pour la confiance quilma tmoigne en me proposant de
rdiger ce manuel, ainsi que Pearson Education Francepour le soin
apport la ralisation de louvrage, en particulier Pascale Pernet,
AntoineChret, et tout spcialement Christophe Lenne pour son
engagement, sa patience et sarigueur. Leur professionnalisme permet
de proposer au lecteur un produit de grandequalit.
ric DorDocteur s sciences conomiques
Directeur de la rechercheIESEG School of Management
Lille
X Introduction
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(Scriptex : 4e preuve) X
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1ChapitreModlisationen conomieet gestion
Modlisation en conomie et gestion
1. Utilit et dfinition de lconomtrie . . 12. Relations
conomiques . . . . . . . . . . . . . . . 23. Vrification de
ladquation empirique
des relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24. Mesure des taux de raction . . . . . . . . . 35. Formes
fonctionnelles et paramtres . . 3
5.1 Choix dune relation linaire . . . . . . 35.2 Choix dune
relation non linaire 4
6. Validation empirique et typesde donnes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 56.1 Dimension du temps ou des agents
5
7. Formulation statistique des relationsconomiques . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8. Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . 79.
Modles statiques ou dynamiques et
thorie conomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Problmes et exercices . . . . . . 111. Ventes et publicit . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 112. lasticit des ventes aux prix
. . . . . . . . . . 113. Spcification dune fonction de
production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124. Fonction de consommation prix courants
ou constants? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135. Consommation, revenu disponible et
salaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 136. Taux dintrt nominal ou rel? . . . . . . . 147. Choix des
donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158. Spcification dune
fonction de
consommation dynamique . . . . . . . . . . . . 169. Spcification
dun modle dynamique de
taux de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Ce chapitre dfinit lobjectif et la mthode gnrale de
lconomtrie. Il prcise quelques notions de base
indispensables la comprhension de louvrage, lies
la modlisation mathmatique des phnomnes
rencontrs en sciences conomiques et en sciences de
gestion.
1 Utilit et dfinitionde lconomtrie
Lconomtrie est le principal outil danalyse quantitative
utilispar les conomistes et gestionnaires dans divers domaines
dappli-cation, comme la macroconomie, la finance ou le
marketing.Les mthodes de lconomtrie permettent de vrifier
lexistencede certaines relations entre des phnomnes conomiques, et
demesurer concrtement ces relations, sur la base dobservations
defaits rels.
Dans son acception la plus restreinte, lconomtrie est un
ensemblede techniques utilisant la statistique mathmatique qui
vrifient lavalidit empirique des relations supposes entre les
phnomnesconomiques et mesurent les paramtres de ces relations. Au
senslarge, lconomtrie est lart de construire et destimer des
modlesempiriques adquats par rapport aux caractristiques de la
ralit,et intelligibles au regard de la thorie conomique.
Utilit et dfinition de lconomtrie 1
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2 Relations conomiquesLa rflexion que lon peut mener sur une
ralit conomique quelconque conduit tou-jours tablir des relations
entre les phnomnes conomiques concerns. Une rflexionapprofondie
dans un domaine de science conomique ou science de gestion est la
basede toute analyse conomtrique. En dautres termes, la ralisation
de travaux conom-triques suppose la connaissance pralable des
disciplines conomiques en jeu, puisquellessuggrent le type de
relation vrifier sur les donnes relles observes.
ExempleOn suppose que la consommation totale des mnages augmente
avec leur revenu disponiblerel, mais diminue quand le taux dintrt
monte. Une telle relation conomique scrit de lamanire suivante
:
c = f (yd, r) , avec cyd
> 0 etfc
fr< 0 (a)
o c correspond la consommation, yd au revenu disponible et r au
taux dintrt. La nota-tion f (,) dsigne une fonction quelconque,
linaire ou non (il faudrait poser des hypothsessupplmentaires pour
en prciser la forme fonctionnelle, mais ce nest pas le propos de
cettesection). La supposition de dpart se formule de la faon
suivante : la drive partielle de f parrapport yd est positive taux
dintrt r inchang, une augmentation du revenu disponibleyd implique
une augmentation de la consommation c et la drive partielle de f
par rapport r est ngative revenu disponible inchang, une
augmentation du taux dintrt r impliqueune diminution de la
consommation c.
ExempleUne relation conomique suggre que le taux dintrt nominal
R est une fonction croissante dutaux dinflation INF et du taux de
croissance de la production CR :
R = f (INF, CR) , avec RINF
> 0 etR
CR> 0 (b)
3 Vrification de ladquation empiriquedes relations
Pour expliquer comment se dtermine(nt) un ou plusieurs phnomnes
conomiques,on construit un modle partir de certaines hypothses et
des rsultats quelles donnentdans le cadre dune thorie particulire.
On vrifie que ce modle dcrit rellement lamanire dont le ou les
concept(s) dintrt se dtermine(nt) dans la ralit. Il faut pourcela
disposer de mesures relles des phnomnes (les statistiques ) et
vrifier au moyende techniques issues de la statistique mathmatique
(1) que le modle correspond cesdonnes observes.
1. Si ncessaire, quelques rappels utiles de la statistique
mathmatique peuvent tre puiss dans tout bonmanuel de base, comme
par exemple le livre de Probabilits, statistique et processus
stochastiques de PatrickRoger, publi chez Pearson Education France
dans la mme collection.
2 Modlisation en conomie et gestion
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1Chapitre4 Mesure des taux de raction
Dans la mesure o le modle est acceptable, on souhaite galement
mesurer quantitati-vement les taux de raction des phnomnes expliqus
aux variations des phnomnesexplicatifs. Ces mesures permettront de
simuler ultrieurement leffet de telle ou tellevariation hypothtique
dun phnomne explicatif sur les phnomnes expliqus.
Soit un modle explicatif du taux dintrt, sous la forme dune
quation o le taux dinfla-tion est une variable explicative. On
vrifie son adquation la ralit observe. Commeon dispose alors des
mesures des taux de raction du taux dintrt ses dterminants,on peut
valuer lavance leffet sur le taux dintrt dune acclration de
linflationdun montant dtermin. Souvent, plusieurs thories
concurrentes expliquent les mmesralits conomiques. Les techniques
conomtriques permettent didentifier celle quiexplique le mieux la
ralit, celle qui est au plus prs des observations.
5 Formes fonctionnelles et paramtresLobjectif est de vrifier
ladquation dun modle la ralit observe et de mesurer lestaux de
raction des phnomnes expliqus aux phnomnes explicatifs. Pour
confronterefficacement modle et donnes, il convient dexprimer ce
dernier sous une forme mani-pulable . Selon la relation (a), la
consommation est une fonction du revenu disponible etdu taux
dintrt. Cette formulation est mathmatiquement trop vague pour
pouvoirtre confronte la ralit observe. Pour pallier le problme, il
faut spcifier a priori uneforme fonctionnelle particulire de la
fonction f (). Les possibilits sont innombrables.
5.1 CHOIX DUNE RELATION LINAIRE
Le choix le plus simple est celui dune relation linaire. Il se
justifie quand on peutraisonnablement supposer que les drives
partielles de la variable dpendante par rapport chaque variable
explicative ne sont pas fonction des niveaux atteints par ces
variablesexplicatives. Cette hypothse signifie que la variation de
la variable dpendante, suite une variation de une unit de lune des
variables explicatives, est toujours la mme quelsque soient les
niveaux dj atteints par celles-ci.
ExempleOn suppose que la fonction f () est linaire. Soient les
paramtres , et tels que :
c = + yd+ r , avec > 0 et < 0 (a)On a donc f (yd, r) = +
yd+ r. On remarque que :
= cyd
et = cr
Le coefficient est donc la drive partielle de c par rapport yd.
Il rend compte de limportancede la variation de c quand yd augmente
de une unit, r constant. Que se passe-il quand rne change pas, mais
que yd augmente de une unit (il sagit de lunit dans laquelle yd
estexprim)? La rponse est que c varie de units (il sagit ici de
lunit de mesure dans laquelle cest exprim). De la mme manire, est
la drive partielle de c par rapport r. Il rend comptede limportance
de la variation (par exemple en milliards deuros prix constants) de
c quandr augmente de une unit (par exemple dun montant absolu de 1
% lorsque r est exprim enpourcentage), yd restant inchang. Lorsque
la relation entre les variables est suppose linaire,chaque paramtre
est interprt comme la drive partielle de la variable dpendante
par
Formes fonctionnelles et paramtres 3
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(Scriptex : 4e preuve) 4
rapport la variable explicative concerne. Chaque paramtre mesure
donc la variation de lavariable dpendante suite une augmentation de
une unit de la variable explicative concerne,les autres variables
explicatives restant inchanges.
5.2 CHOIX DUNE RELATION NON LINAIRE
La linarit est certes commode, mais nest pas toujours une
proprit adquate la relationtraite. Souvent, il est irraliste de
supposer que la variation de la variable dpendante esttoujours la
mme, suite une variation de une unit dune variable explicative,
quels quesoient les niveaux dj atteints par cette dernire et par
les autres variables explicatives.On ne peut alors partir du
principe que les drives partielles sont indpendantes desniveaux des
variables. Dans ce cas, on travaille avec des relations formalises
sous la formedquations non linaires.
ExempleOn souhaite modliser la relation entre les ventes dun
produit de grande consommation V etles dpenses de publicit PUB de
lentreprise productrice. Si lon pense que la productivit ,en termes
de ventes, des dpenses de publicit dcrot avec leur montant, on peut
crire :
V = PUB , avec 0 < < 1Cette spcification implique en effet
une drive premire de V par rapport PUB, qui dcrotavec le montant de
PUB. Autrement dit, au fur et mesure que les dpenses
publicitairesaugmentent, laugmentation des ventes devient de plus
en plus faible.
Certaines relations non linaires sont quivalentes des relations
linaires entre destransformations des variables.
ExempleSi lon transforme les variables en logarithmes, une
fonction de production de Cobb-Douglas,du type Y = AKL, o Y , L et
K sont la production, le travail et le capital, implique une
relationlinaire entre les transformations des variables :ln(Y) =
ln(AKL) et donc ln(Y) = ln(A) + ln(K) + ln(L). Elle nimplique pas
toutefois laconstance des productivits marginales, qui restent bien
sr
Y
L= AKL1 et Y
K= AK1L.
Cette nouvelle quation ne constitue quune autre manire dexprimer
la mme fonction deproduction : chacune des deux critures implique
lautre et les proprits conomiques sont
exactement les mmes. Lcriture en logarithme met en vidence que =
ln Y ln K
= YK
K
Yet
= ln Y ln L
= YL
L
Ysont les lasticits (1) de la production aux quantits de
facteurs capital et
travail. Ces lasticits sont supposes constantes (indpendantes
des quantits de facteurs Ket L) dans une telle fonction de
production (Cobb-Douglas). Alors que la drive partielle
dunevariable x1 par rapport une variable x2 mesure la variation de
x1 (en nombres dunits) quandx2 augmente de une unit, llasticit de
x1 x2 mesure la variation de x1 (en pourcentage) quandx2 augmente
de 1 %. Les coefficients et , qui ne sont donc pas des productivits
marginales,sont des rapports entre productivits marginales et
moyennes. La fonction de Cobb-Douglasimplique en effet la constance
de ces rapports, au sens de leur indpendance par rapport Ket L.
1. Affirmer que llasticit de x1 x2 est gale 2 revient affirmer
la proposition suivante : lorsque x1 augmentede 1 %, alors x2
augmente de 2 %.
4 Modlisation en conomie et gestion
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(Scriptex : 4e preuve) 4
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(Scriptex : 4e preuve) 5
1ChapitreCela dit, de nombreuses formes fonctionnelles non
linaires ne peuvent tre linarisesmoyennant une transformation des
variables.
ExempleSoit la fonction de production CES, ayant la forme :
Y = (K + (1 )L)1/ ,Elle ne peut tre linarise exactement
(cest--dire transforme en une relation linaire reliantdes
transformations non linaires spares de chaque variable).
RemarqueUne erreur de spcification viter : la redondanceIl est
important de comprendre linterprtation des coefficients en termes
de drives par-tielles pour viter des erreurs dans la spcification
dune relation. Une erreur trs rpandueconsiste introduire une
variable explicative supplmentaire sous prtexte quelle affecte
lavariable dpendante par son effet sur une autre variable
explicative dj introduite. Cest lephnomne de la redondance !
6 Validation empirique et types de donnes6.1 DIMENSION DU TEMPS
OU DES AGENTS
Une fois reprsentes par des formes fonctionnelles adquates, les
relations thoriques,cest--dire le modle, peuvent tre confrontes aux
donnes observes. Il sagit de vrifierleur caractre explicatif de la
ralit et de mesurer concrtement la valeur de leursparamtres. Il est
alors possible de calculer les taux de raction des variables
expliquesaux variables explicatives. Les donnes observes peuvent
tre des sries temporelles, desdonnes en coupe instantane ou des
donnes panel.
Sries temporellesQuand une quation semble dcrire correctement la
manire dont une variable voluedune priode lautre, en fonction de
lvolution temporelle de certaines variablesexplicatives, elle peut
tre vue comme une relation stable et valable tout moment.
Sescoefficients ne sont pas indics par le temps. On les suppose
constants dans le temps. Cestune hypothse forte, mais dans la
mesure o la thorie conomique a une quelconquevalidit pour expliquer
les phnomnes conomiques, on peut supposer lexistence derelations
stables. Pour les vrifier empiriquement, il faut estimer leurs
coefficients partirdes observations historiques des variables du
modle, appeles sries temporelles (ou sries chronologiques ).
Donnes en coupe instantaneQuand une quation semble plutt dcrire
la manire dont diffrents agents conomiques(entreprises, individus,
rgions, pays, secteurs...) dterminent la valeur particulire
dunevariable en fonction des valeurs que prennent pour eux
certaines variables explicatives,elle peut tre vue comme une
relation commune aux diffrents agents. Les coefficients
Validation empirique et types de donnes 5
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(Scriptex : 4e preuve) 6
sont supposs les mmes pour tous les agents, durant une priode
dtude donne. Pourvrifier cette relation, il faut la confronter des
observations concrtes des variables dumodle pour un ensemble
dagents diffrents, durant une mme priode. On appelle detelles
observations des donnes en coupe instantane .
Donnes panelQuand une quation semble dcrire la manire dont une
variable varie dune priode lautre et diffre dun agent lautre en
fonction de lvolution dans le temps de certainesvariables
explicatives et de leurs diffrences dun agent lautre, elle peut tre
vue commeune relation stable et commune tous, dcrivant le
comportement de tous les agentsdurant toutes les priodes. Pour
mesurer et vrifier une telle relation, il faut la confronter des
observations des variables du modle pour un ensemble dagents
diffrents, sur despriodes diffrentes. On appelle de telles
observations des donnes panel .
Donnes relles ou nominalesUne variable de flux ou de stock peut
gnralement tre mesure en termes nominaux (prix courants, en
valeur...) ou en termes rels ( prix constants, en volume...). La
mesureen termes rels est gale la mesure en termes nominaux divise
par un indice de prixappropri. Le choix dun type de mesure au
dtriment de lautre dpend logiquement ducontexte de la relation
tudie. De manire gnrale, la variable dpendante et
certainesvariables explicatives doivent tre exprimes en termes rels
si la valeur relle de la variabledpendante reste inchange quand les
valeurs nominales de ces variables explicativesdoublent et que tous
les prix doublent simultanment.
Certaines variables de taux existent en version nominale ou
relle. Cest le cas des tauxdintrt et des taux de change. On ralise
une approximation du taux dintrt rel encalculant la diffrence entre
le taux dintrt nominal et le taux dinflation. On obtient letaux de
change rel entre deux devises en multipliant le taux de change
nominal par lerapport entre les indices de prix des deux zones
concernes. Une fois de plus, le choix delune des deux versions est
dict logiquement par le contexte de la relation tudie.
7 Formulation statistique des relationsconomiques
En conomtrie, on suppose gnralement que les variables conomiques
sont alatoires.En dautres termes, on considre que la valeur observe
dun phnomne conomique,par exemple linvestissement total effectu
durant une anne particulire, est en partiedue au hasard : cest la
ralisation dune variable alatoire correspondante susceptible
deproduire dautres ralisations si lon rpte lexprience.
Exemple
chaque priode t, on observe la valeur de la variable alatoire ct
, en loccurrence la consom-mation, mais, dun point de vue
conceptuel, on pourrait observer dautres valeurs,
ventuellementdiffrentes, si lon rptait lexprience. De la mme
manire, chaque priode t, les valeurseffectivement observes de ydt
et rt sont perues comme des ralisations uniques des
variablesalatoires correspondantes ydt et rt , qui pourraient avoir
dautres ralisations.
6 Modlisation en conomie et gestion
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PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 7
1ChapitreLe hasard dtermine en partie les ralisations
effectivement observes des variables co-nomiques et les rsultats
auraient pu tre diffrents. Les probabilits dobtenir telle outelle
valeur effectivement ralise sont dtermines par les distributions
statistiques desvariables. Les relations conomiques supposes par la
thorie conomique imposentdes liaisons entre ces distributions.
ExempleUne relation comme (a) relie les ralisations particulires
des variables alatoires ct , ydt etrt quelle contient, par une
forme fonctionnelle avec des coefficients , et supposs
nonalatoires. Habituellement, on ajoute un ala ut la relation :
ct = + ydt + rt + ut (a)(Lexemple est prsent dans un cadre
temporel, mais il en va de mme en coupe instantane :ci = + ydi + ri
+ ui, ou en panel : cit = + ydit + rit + uit .)
On justifie de diffrentes faons la prsence dun ala dans une
relation entre des variables.Trs souvent, on affirme quune relation
conomique nest pas une reprsentation exacteet complte de la ralit.
Elle ne reprend que les principaux facteurs qui influencent c ;lala
u, communment appel terme derreur , reprsente tous les effets qui
onttendance se compenser mutuellement, de toutes les autres
variables qui influencentgalement c. Cette interprtation, trs
intuitive, a longtemps t favorise dans les manuelsdconomtrie, au
dtriment des autres, sans que ce choix soit rellement justifi.
Selonune autre interprtation (qui nexclut pas la prcdente), trs
ancienne galement, lesmesures concrtes des ralisations des
variables, telles quelles sont calcules et publiespar les instituts
de statistiques, saccompagnent derreurs alatoires et lala u
reprsenteleffet cumul de toutes ces erreurs sur la relation
originale (pour que cette dernire soitexacte, il faudrait que les
concepts soient parfaitement mesurs). Autre interprtation :si lon
considre que la formule +ydt+rt constitue une approximation de la
variablealatoire ct par une fonction des variables alatoires ydt et
rt , ut est lerreur dapproximationqui en rsulte.
8 Processus stochastiquesEn finance, en marketing et en
macroconomie, la plupart des donnes se prsententsous la forme de
sries temporelles. Rappelons quune srie temporelle est un
ensembledobservations qui portent toutes sur un mme concept, mais
des dates successives.On suppose qu chaque priode, la donne observe
est une ralisation (unique) dunevariable alatoire spcifique, et que
lon obtiendrait dautres ralisations si lon rptaitlexprience. On
mesure donc la ralisation dune variable alatoire (univarie)
parpriode et lensemble des variables alatoires considres sur les
priodes successivesforme un processus stochastique. Une srie
temporellee est une ralisation dun processusstochastique, au sens o
chaque donne de la srie est la ralisation de lune des
variablesalatoires qui composent le processus stochastique.
Les processus stochastiques se rpartissent en deux groupes selon
quils sont stationnairesou non. Lorsquils le sont, lesprance
(valeur moyenne) et la variance (dispersion) restentconstantes dans
le temps, et les covariances entre des composantes de dates
diffrentes
Processus stochastiques 7
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(Scriptex : 4e preuve) 7
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PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 8
ne dpendent que de lcart de temps qui les spare. Un cas
particulier de processusstochastique stationnaire est le processus
bruit blanc (traduction littrale de whitenoise ) : lesprance est
nulle en toute priode, la variance est constante dans le temps
etles covariances entre composantes de dates diffrentes sont
toujours nulles.
Les processus stochastiques non stationnaires se rpartissent
eux-mmes en deux groupesselon quils sont tendance uniquement
dterministe ou tendance stochastique (onles appelle alors processus
intgrs ou processus racine unitaire ). Lorsquils sont tendance
uniquement dterministe, leur non-stationnarit est due un
phnomnepurement mcanique ; elle est inhrente leur partie
dterministe, mais en rien leurpartie alatoire. Lorsquils sont
tendance stochastique, leur non-stationnarit est due une
accumulation progressive de chocs alatoires ; elle est donc au
moins partiellementinhrente leur partie alatoire. Ces processus
peuvent avoir galement une tendancedterministe.
Si lon travaille avec des sries temporelles, le choix des
mthodes dinfrence statistique employer dpend de la nature des
processus stochastiques qui ont gnr les donnes.Cest pourquoi les
distinctions voques prcdemment sont trs importantes.
Dans un processus stochastique stationnaire, les coefficients de
corrlations entre deuxcomposantes de dates diffrentes sont appels
coefficients dautocorrlation . Ils nedpendent que de lcart de
temps, ou retard, qui spare les deux composantes. Lasuccession de
ces coefficients dautocorrlation, pour des retards croissants,
forment ceque lon appelle un autocorrlogramme . Il montre avec
quelle intensit les ralisationsdu processus restent lies
linairement leurs valeurs passes, pour des retards de plus enplus
loigns.
9 Modles statiques ou dynamiqueset thorie conomique
Un modle statique implique que linfluence dune variation dune
variable explicative surla variable dpendante produit tous ses
effets durant la priode o cette variation a lieu. Ilexclut toute
inertie et tout dlai dans les ajustements de la variable dpendante
aux fluctua-tions des variables explicatives, alors quils sont lun
et lautre plus la rgle que lexception.En effet, une variable
dpendante dpend souvent des valeurs passes, et pas seulementdes
valeurs actuelles, de ses variables explicatives (dlais
dajustement), ainsi que de sapropre valeur passe (inertie, effets
dhabitude). De nombreux phnomnes conomiquesrels sont donc mieux
expliqus par un modle dynamique plutt que statique.
Les relations entre les variables que la thorie conomique
propose sont souvent formulesde manire statique et reprsentent une
situation dquilibre (plus aucune force cono-mique ne pousse changer
de situation ; tous les ajustements sont effectus). Pour autant,la
thorie conomique ne prtend pas que, dans la ralit, la situation
soit quilibre chaque instant. Les donnes observes rendent compte
obligatoirement de cet tat de fait.
Il est donc erron de vrifier une thorie en estimant le modle
statique issu de cettethorie partir des donnes observes, car la
relation dquilibre thorique nest pas vraie chaque priode. Il faut
en fait estimer, sur la base de ces donnes, un modle
dynamiquesuffisamment riche pour prendre en compte toutes les
inerties et dlais dajustement, etvrifier que la relation entre les
variables mises en jeu pour une situation dquilibre estcompatible
avec la relation dquilibre thorique. Pour quil en soit ainsi, on
peut imposeraux paramtres du modle dynamique gnral les contraintes
ou restrictions ncessaires.
8 Modlisation en conomie et gestion
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(Scriptex : 4e preuve) 8
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(Scriptex : 4e preuve) 9
1ChapitreUn modle dynamique gnral relie une variable dpendante
ses valeurs passes etaux valeurs prsentes et passes de ses
variables explicatives. Ce modle dcrit doncla trajectoire de la
variable dpendante en fonction de la trajectoire de ses
variablesexplicatives.
ExempleSoit une variable dpendante ln(Y), et ses variables
explicatives ln(X), ln(W) et ln(L). Si lonne prend quune valeur
passe pour chaque variable, le modle dynamique scrit comme suit,les
deux formes tant quivalentes :
ln Yt = 1 + 2 ln Xt + 3 ln Xt1 + 4 ln Wt + 5 ln Wt1+ 6 ln Lt + 7
ln Lt1 + 8 ln Yt1 + ut
(ln Yt ln Yt1) = 1 + 2 (ln Xt ln Xt1)+ (2 + 3) ln Xt1 + 4 (ln Wt
ln Wt1)+ (4 + 5) ln Wt1 + 6 (ln Lt ln Lt1)+ (6 + 7) ln Lt1+ (8 1)
ln Yt1 + ut
La solution dquilibre stationnaire de ce modle dynamique gnral
est la relation entreles variables qui prvaut dans une situation o
elles restent toutes constantes chaquepriode, tout en respectant la
relation dcrite par le modle dynamique gnral.
Exemple (suite)Dans lexemple prcdent, la solution dquilibre
stationnaire est :
ln Y = 1 + 2 ln X + 3 ln X + 4 ln W + 5 ln W + 6L+ 7L+ 8 ln You
encore :
ln Y = (1)+ (2 + 3) ln X + (4 + 5) ln W + (6 + 7) ln L1 8
La solution de croissance quilibre dun modle dynamique gnral est
la relation entreles variables qui prvaut dans une situation o
elles croissent au mme taux, tout enrespectant la relation dcrite
par le modle dynamique gnral.
Exemple (suite)Dans lexemple prcdent, il faut donc imposer que
les taux de croissance de Y , X, W et L,qui sont respectivement
donns par ln(Yt) ln(Yt1), ln(Xt) ln(Xt1), ln(Wt) ln(Wt1) etln(Lt)
ln(Lt1), soient des constantes :
ln(Yt) ln(Yt1) = gC , tln(Xt) ln(Xt1) = gY , t
ln(Wt) ln(Wt1) = gW , tln(Lt) ln(Lt1) = gL , t
La solution de croissance quilibre est alors :
gY = 1 + 2gX + (2 + 3) ln Xt1 + 4gW + (4 + 5) ln Wt1+ 6gL + (6 +
7) Lt1 + (8 1) ln Yt1 , t
ou encore :
ln Yt =(1 + 2gX + 4gW + 6gL gY
)+ (2 + 3) ln Xt + (4 + 5) ln Wt + (6 + 7) ln Lt1 8 , t
Modles statiques ou dynamiques et thorie conomique 9
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(Scriptex : 4e preuve) 10
RemarqueParfois, mme en croissance quilibre, certaines variables
ne peuvent avoir logiquementquune croissance nulle (comme en
quilibre stationnaire). Cest gnralement le cas desvariables de
taux, comme les taux dintrt.
Exemple (suite)Si cest le cas de L dans lexemple prcdent, alors
gL = 0 et
ln Yt =(1 + 2gX + 4gW gY
)+ (2 + 3) ln Xt + (4 + 5) ln Wt + (6 + 7) ln L1 8 , t
Parfois la thorie conomique suggre qu long terme, la variable
dpendante doit treproportionnelle une variable explicative,
cest--dire avoir une lasticit unitaire parrapport cette variable
explicative. Il est alors ais didentifier les conditions
ncessairessur les coefficients du modle dynamique gnral pour que
ses solutions dquilibresoient compatibles avec la thorie. Le
mcanisme correction derreur est le modlequon obtient en imposant
ces restrictions au modle linaire gnral.
Exemple (suite)Soit le cas de figure suivant : selon la thorie
conomique, long terme Y doit tre proportionnel X, et donc llasticit
de long terme de Y X doit tre gale 1. Pour que les
solutionsdquilibre du modle linaire gnral soient compatibles avec
cette thorie, il faut que 2+3 =1 8. Le mcanisme correction derreur
est alors le modle quon obtient en imposantcette restriction au
modle linaire gnral :(ln Yt ln Yt1) = 1 + 2 (ln Xt ln Xt1)+ 4 (ln
Wt ln Wt1)+ (4 + 5) ln Wt1
+ 6 (ln Lt ln Lt1)+ (6 + 7) ln Lt1 + (8 1) (ln Yt1 ln Xt1)+
ut
RsumLconomtrie permet de vrifier lexistence de relations de
dpendance entredes phnomnes et de mesurer les taux de raction qui
caractrisent cesrelations, en utilisant des donnes observes. Pour
raliser ces objectifs, touterelation doit dabord tre exprime
mathmatiquement au moyen dune formefonctionnelle approprie. La
linarit ne se justifie que lorsquil est raliste desupposer que
limpact dune mme variation dune variable explicative surla variable
dpendante est toujours le mme, quels que soient les niveaux
desvariables au dpart. Lconomtrie reconnat demble le caractre
stochastiquedes phnomnes quelle tudie. Les variables observes sont
ainsi considrescomme des ralisations de variables alatoires et les
modles spcifis sontperus comme pertinents un terme derreur alatoire
prs. Il est souventncessaire de recourir des modles dynamiques pour
rendre compte delinertie des comportements. Pour plus de dtails sur
la nature de lconomtrieet sur certains points dvelopps dans ce
chapitre, on peut se rfrer Johnstonet DiNardo [JOH 1997], Hendry
[HEN 1995] et Spanos [SPA 1986].
10 Modlisation en conomie et gestion
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(Scriptex : 4e preuve) 10
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1ChapitreProblmeset exercices
EXERCICE 1 VENTES ET PUBLICIT
noncLes ventes V dune entreprise sont une fonction croissante de
ses dpenses de publicitPUB, mais au fur et mesure que les dpenses
de publicit augmentent, laccroissementdes ventes devient de plus en
plus faible, dautant plus que le niveau de dpart des
dpensespublicitaires est lev.
La relation entre les ventes V et les dpenses de publicit PUB
est-elle bien reprsentepar une des spcifications suivantes, et
laquelle?
Vt = 1 + 2PUBt , avec 1 > 0 et 2 > 0Vt = 1PUB2t , avec 1
> 0 et 0 < 2 < 1Vt = ln(1 + PUB2t ) , avec 1 > 0 et 0
> 2 > 1
Solution La deuxime spcification reprsente bien la relation
entre ventes et dpenses publicitaires.La drive de Vt par rapport
PUBt vaut en effet 12PUB
21t et cette drive diminue
quand PUBt augmente, parce que 1 > 0 et 0 < 2 < 1.
EXERCICE 2 LASTICIT DES VENTES AUX PRIX
noncPour que llasticit des ventes V au prix P du produit soit en
valeur absolue une fonctiondcroissante des dpenses de publicit PUB,
il faut quune des relations suivantes prvale :
Vt = 1P(2+(3/PUBt ))t , avec 1 > 0 et 2 > 0 et 3 > 0Vt
= 1 + 2PUBt + 3Pt , avec 1 > 0 et 2 > 0 et 3 < 0Vt = 1P2t
PUB3t , avec 1 > 0 et 2 < 0 et 3 > 0
Parmi ces trois relations, laquelle est retenir?
Solution La premire spcification est approprie, puisque
llasticit des ventes au prix vaut(2 + (3/PUBt)
). Cette expression est ngative puisque 2 > 0, 3 > 0, et
PUBt > 0
par dfinition. En valeur absolue, cette lasticit vaut donc(2+
(3/PUBt)
). Elle dcrot
si PUBt augmente tant donn que PUBt se trouve au dnominateur et
que 3 > 0.
Modlisation en conomie et gestion 11
Exer
cice
s
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EXERCICE 3 SPCIFICATION DUNE FONCTION DE PRODUCTION
noncSoit une fonction de production, quon reprsente de la manire
suivante, et en prenantcomme hypothse dabsence de progrs technique
:
Y = f (K, L)Y est la quantit produite, K est le capital et L
lemploi.
Parmi ces deux spcifications, laquelle est raliste : Y = + K + L
ou Y = AK L ?
Solution Exprimer cette relation sous une forme linaire, Y = + K
+ L, revient impo-ser arbitrairement que les productivits
marginales sont constantes, donc quelles ne
dpendent pas des quantits de facteurs. En effet, avec une telle
spcification, = YK
est la productivit marginale du capital et = YL
est la productivit marginale du
travail. Ces productivits marginales sont supposes indpendantes
des quantits defacteurs, puisquelles sont gales des constantes et .
Par consquent, en modlisantla production de cette manire, on ignore
dlibrment des caractristiques bien connuesde beaucoup de processus
de production rels. On ne tient pas compte en particulierdes deux
phnomnes suivants : la productivit marginale du travail diminue
quand laquantit de travail augmente et que le stock de capital
reste un niveau constant, et ellecrot quand le stock de capital
augmente et que la quantit de travail reste inchange.Concrtement,
ajouter lun aprs lautre des ouvriers supplmentaires une quipe
quitravaille sur une machine conduit en gnral des accroissements de
moins en moinsimportants de la production et devient au bout dun
certain temps contre-productif(on provoque une congestion qui
diminue la production). Par contre, mieux quiperles ouvriers permet
daugmenter la contribution productive apporte par une
ventuellemain-doeuvre supplmentaire. Une spcification linaire de la
fonction de productionnimplique pas ces proprits ralistes ; elle
est donc inadquate dans le cas dune fonctionde production.
Pour reprsenter correctement de telles caractristiques, on
utilise des formes fonction-nelles non linaires comme la fonction
de Cobb-Douglas :
Y = AKL
La productivit marginale du travail se mesure alors parY
L= AKL1 = Y
Let la
productivit marginale du capital parY
K= AK1L = Y
K. Cette fois, les producti-
vits marginales ne sont pas constantes, mais varient en fonction
du niveau dj atteintpar L et K. On peut vrifier quelles respectent
les proprits ralistes mises en vidence
prcdemment. En effet, quand K est inchang, le supplmentY
Lde production induit
par lintervention dun ouvrier supplmentaire diminue au fur et
mesure quaugmente
le nombre douvriers L dj en place :
(Y
L
)
L= A ( 1)KL2 = ( 1)Y
L2est
12 Modlisation en conomie et gestion
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(Scriptex : 4e preuve) 12
-
PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 13
1Chapitrengatif condition que soit infrieur 1. Pour un nombre
donn L douvriers dj luvre, augmenter le stock de capital K permet
daccrotre le supplment de productionapport par un intervenant
suppltif :
(Y
L
)
K= AK1L1 = Y
LK> 0
EXERCICE 4 FONCTION DE CONSOMMATION PRIX COURANTSOU
CONSTANTS?
noncSoient ct les quantits consommes et pt leur prix, la priode
t. La consommation relleest donc ct et la consommation nominale Ct
= ptct . Le revenu nominal est Yt et le revenurel est yt = Yt/pt .
En termes nominaux, la relation entre consommation et revenu estCt
= a+ bYt tandis quen termes rels, elle scrit ct = a+ byt .La
relation entre consommation et revenu doit-elle tre spcifie en
termes rels ounominaux?
Solution En termes nominaux, la relation est Ct = a+ bYt , et
donc ptct = a+ bYt , ce qui impliqueque ct = (a/pt) + b(Yt/pt),
cest--dire ct = (a/pt) + byt . Si les prix pt et le revenunominal
Yt doublent simultanment, le revenu rel yt reste inchang.
Toutefois, le termea/pt change. La relation Ct = a + bYt implique
donc que les quantits consommes ctdiminuent lorsque les prix et le
revenu nominal doublent simultanment.
Logiquement, si les prix doublent et que le revenu nominal
double aussi, cela ne changerien au pouvoir dachat des
consommateurs ; les quantits achetes devraient resterinchanges. La
relation en termes nominaux ne reflte donc pas un
comportementrationnel de la part des consommateurs. Il faut lui
prfrer la relation en termes rels :ct = a+ byt .
EXERCICE 5 CONSOMMATION, REVENU DISPONIBLE ET SALAIRE
noncOn ajoute la relation c = + yd + r dautres variables
explicatives susceptibles decontribuer dterminer lvolution de la
consommation, en loccurrence le niveau moyendes salaires w parce
que lorsque les salaires augmentent, le revenu disponible
augmenteet la consommation slve . On formule une nouvelle relation
linaire de la forme :
c = + yd + r + w (a)
Cette suggestion est-elle raisonnable?
Solution Cette suggestion nest pas fonde. Cette relation est
redondante et nest pas correctementspcifie. Pourquoi? Le
coefficient est la drive partielle de c par rapport au salaire w.Il
mesure donc la raction de la consommation c une variation des
salaires w, le revenudisponible yd et le taux dintrt restant
inchangs. Or on a voulu justifier lapportde w en indiquant que ses
variations provoquent une variation du revenu disponible yd,
Modlisation en conomie et gestion 13
Exer
cice
s
PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 13
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PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 14
et par l mme de c. Manifestement, ne mesure pas ce type deffet,
mais plutt unimpact direct hypothtique de w sur c, quand yd est
inchang (donc un effet de wsur c, qui ne passerait pas par yd).
Cest tout fait diffrent de leffet indirect quonvoulait
(inutilement) mettre en vidence w influence yd, qui lui-mme
influence c et qui est dj pris en compte travers yd dans lquation ;
il nest donc pas ncessairedajouter w. Le coefficient mesure limpact
sur c dune variation de yd, quelles quesoient les causes de ce
changement, y compris une variation de w. Pour ajouter w lquation
(a), et donc utiliser (a), il faut tre sr que, indpendamment de son
effetindirect via son influence sur yd, w influence aussi
directement c, pour une autre raison(cest seulement cet autre effet
qui sera mesur par son coefficient). Dans lexempleutilis, il est
difficile de justifier conomiquement une telle hypothse. Pour
expliquer lesvariations de c, il est donc inutile dajouter la
variable explicative w quand elle nexercequun effet indirect sur c.
Mais quand lintrt de ltude porte effectivement sur lamesure de
leffet indirect de w sur c, et non sur une explication des
variations de c,comment mesurer cet effet indirect? Il faut
spcifier une nouvelle relation dans le modle,qui explique yd en
fonction de w et de ses autres dterminants quon reprsente icipar
une variable x : par exemple, yd = + w + x. Leffet indirect de w
sur c estalors
c
w= cyd
y
w= ; il est obtenu partir des coefficients de deux quations
diffrentes.
EXERCICE 6 TAUX DINTRT NOMINAL OU REL?
noncLe revenu nominal est Yt la priode t, et Yt+1 la priode t +
1. Soient ct les quantitsconsommes, et pt leur prix, la priode t.
Soient ct+1 les quantits consommes, etpt+1 leur prix, la priode t +
1. Les consommations nominales des deux priodes sontCt = ptct et
Ct+1 = pt+1ct+1. Le taux dintrt nominal est Rt . Le taux dintrt
relest rt =
((1 + Rt)/(1 + It)
) 1, o It est le taux dinflation : It = (pt+1 pt)/pt .Les
consommateurs choisissent les quantits consommes ct et ct+1 sous la
contraintebudgtaire nominale intertemporelle Ct+1 = (Yt Ct)(1+ Rt)+
Yt+1. On veut spcifierun modle expliquant les quantits consommes ct
en fonction du revenu rel yt , durevenu rel yt+1 et du taux
dintrt.Celui-ci doit-il tre le taux dintrt nominal ou rel?
Solution La contrainte budgtaire nominale est encore pt+1ct+1 =
(Yt ptct)(1 + Rt) + Yt+1,ce qui implique la relation suivante entre
les quantits consommes : ct+1 =[((Yt/pt) ct
)/((1+ Rt)/(pt+1/pt)
)] + (Yt+1/pt+1). Cette contrainte peut se rcrireainsi : ct+1
=
[((Yt/pt) ct
)/((1+ Rt)/(pt+1/pt)
)] + (Yt+1/pt+1). Elle devient doncct+1 = (yt ct)/(1 + rt) +
yt+1, o yt = Yt/pt est le revenu rel la priode t,yt+1 = Yt+1/pt+1
est le revenu rel la priode t + 1, rt est le taux dintrt rel,
dfinipar rt = (1 + Rt)/(1+ It) 1 et It est le taux dinflation dfini
par It = (pt+1 pt)/pt .La contrainte budgtaire ainsi exprime montre
que les choix des quantits consommesaux priodes t et t+ 1 sont
influencs par les revenus rels aux priodes t et t+ 1 et par letaux
dintrt rel. Cest donc le taux dintrt rel, et non le taux dintrt
nominal, quidoit intervenir dans une fonction explicative des
quantits consommes.
14 Modlisation en conomie et gestion
PEARSON Education France Exercices dconomtrie 2e dition
(Scriptex : 4e preuve) 14
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(Scriptex : 4e preuve) 15
1ChapitreEXERCICE 7 CHOIX DES DONNES
noncLa fonction de consommation suivante explique les dpenses c
en fonction du revenudisponible yd et du taux dintrt r :
c = + yd + r
Vous voulez vrifier la pertinence de ce modle, cest--dire vous
assurer quil peut rendrecompte des donnes observes. Expliquez dans
quels cas vous utilisez :
des donnes en sries temporelles ;
des donnes en coupe instantane ;
des donnes panel.
Solution Sries temporelles. Si la fonction de consommation
semble une bonne description dela manire dont la consommation agrge
dun pays volue dune priode lautre, enfonction de lvolution
temporelle du revenu et du taux dintrt, cette fonction peut trevue
comme une relation stable et valable toute priode t. Soient ct la
consommationrelle agrge durant la priode t, ydt le revenu
disponible rel durant la priode t, et rtle taux dintrt moyen durant
la priode t. Lquation devient :
ct = + ydt + rt , pour tout t
Les coefficients , , ne sont pas indics par t, contrairement aux
variables ct , ydt et rt .On les suppose constants dans le temps.
La relation conomique thorique reprsentepar la fonction de
consommation est vraisemblablement une loi conomique stable dansle
temps. Cest une hypothse forte, mais dans la mesure o la thorie
conomique a unequelconque validit pour expliquer les phnomnes
conomiques, on peut supposerlexistence des relations stables. Pour
les vrifier, il faut estimer leurs coefficients partirdes
observations historiques de c, yd et r, appeles sries temporelles
.
Donnes en coupe instantane. Si lquation semble plutt dcrire la
manire dontdiffrents agents (ici les consommateurs) dterminent leur
consommation particulireen fonction de leur revenu disponible
personnel et du taux dintrt, durant une priodedonne, elle peut tre
vue comme une relation commune aux diffrents agents. Soientci la
consommation de lagent i, ydi le revenu disponible de lagent i et
ri le taux dintrtauquel lagent i peut prter ou emprunter. Le modle
devient :
ci = + ydi + ri , pour tout i
Les taux de raction ces variables, cest--dire les coefficients
et , sont suppossles mmes pour tous les agents, durant une priode
dtude donne. Pour vrifier cetterelation, il faut la confronter des
observations concrtes de la consommation, durevenu et du taux
dintrt pour un ensemble dagents diffrents, durant une priodeprcise.
Ces observations sont les donnes en coupe instantane. Remarque :
quand letaux dintrt est le mme pour tous les consommateurs, et
prend donc une valeur r,son effet est dilu dans un terme constant
commun reprsent par + r et le taux deraction nest pas
identifiable.
Modlisation en conomie et gestion 15
Exer
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(Scriptex : 4e preuve) 15
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(Scriptex : 4e preuve) 16
Donnes panel. Si lquation semble dcrire la manire dont la
consommation variedune priode lautre et diffre dun agent lautre en
fonction de lvolution dansle temps du revenu et du taux dintrt et
de leurs diffrences dun agent lautre, lafonction de consommation
peut tre vue comme une relation stable et commune tous,dcrivant le
comportement de tous les agents durant toutes les priodes. Soient
cit laconsommation en termes rels de lagent i durant la priode t,
ydit le revenu disponiblerel de lagent i durant la priode t, et rit
le taux dintrt pour lagent i durant lapriode t. Lquation devient
:
cit = + ydit + rit , pour tout i et pour tout t
On peut remplacer rit par rt quand on suppose que tous les
agents ont le mmetaux dintrt. Pour mesurer et vrifier une telle
relation, il faut la confronter desobservations du revenu et du
taux dintrt pour un ensemble dagents diffrents, surdes priodes
diffrentes de la consommation. De telles donnes sont appeles
donnespanel .
EXERCICE 8 SPCIFICATION DUNE FONCTIONDE CONSOMMATION
DYNAMIQUE
noncLes thories macroconomiques fondements microconomiques
impliquent gnrale-ment que la consommation relle agrge est,
lquilibre ( long terme ), propor-tionnelle au revenu disponible rel
agrg et que la constante de proportionnalit est unefonction du taux
de croissance dquilibre du revenu disponible rel, du taux
dinflationdquilibre et du taux dintrt dquilibre. Spcifiez un modle
dynamique explicatif dela consommation agrge, en veillant ce que
ses solutions dquilibre respectent ce quivient dtre dit.
Solution La relation dquilibre thorique peut se formuler ainsi
:
Ct = AYt , avec A = f (gY , gP, R)o
Yt est le revenu disponible rel agrg la priode t ;
gY est le taux de croissance dquilibre du revenu disponible rel
;
gP est le taux dinflation dquilibre (ou taux de croissance
dquilibre des prix) ;
R est la valeur dquilibre du taux dintrt ;
Ct est la consommation relle agrge la priode t.
Cette relation thorique scrit :
ln(Ct) = A + ln(Yt) , o A = ln(A)
La thorie implique donc que, lquilibre, llasticit de la
consommation au revenu estunitaire :
C
Y
Y
C= ln(C) ln(Y)
= 1
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(Scriptex : 4e preuve) 16
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1ChapitreIl faut commencer par estimer, partir des donnes, un
modle dynamique gnral(MDG) qui contient les valeurs prsentes et
passes de chaque variable :
ln Ct = 1 + 2 ln Yt + 3 ln Yt1 + 4 ln Pt+ 5 ln Pt1 + 6Rt + 7Rt1
+ 8 ln Ct1 + ut
Ce modle dynamique capte tous les dlais dajustement, effets
dhabitude et autresinerties, tous les dsquilibres de court terme
qui font que la consommation nest pas, chaque priode, en relation
dquilibre avec ses dterminants. On peut crire ce modledynamique
gnral dune autre manire, sachant que lgalit se maintient si lon
soustraitla mme quantit gauche et droite :
ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 ln Yt + 3 ln Yt1 + 4 ln Pt + 5 ln Pt1+ 6Rt
+ 7Rt1 + (8 1) ln Ct1 + ut
Le membre de droite est videmment inchang si on ajoute et
soustrait en mme tempsles mmes lments :
ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 ln Yt 2 ln Yt1 + 2 ln Yt1 + 3 ln Yt1+ 4 ln
Pt 4 ln Pt1 + 4 ln Pt1 + 5 ln Pt1+ 6Rt 6Rt1 + 6Rt1 + 7Rt1+ (8 1) ln
Ct1 + ut
Cela peut encore scrire de la manire suivante :
ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ (2 + 3) ln Yt1+ 4 (ln Pt ln
Pt1)+ (4 + 5) ln Pt1+ 6 (Rt Rt1)+ (6 + 7)Rt1 + (8 1) ln Ct1 +
ut
On obtient donc le modle dynamique gnral reparamtr (MDGR) :
ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ 3 ln Yt1 + 4 (ln Pt ln
Pt1)+ 5 ln Pt1 + 6 (Rt Rt1)+ 7Rt1 + 8 ln Ct1 + ut
Les relations entre les paramtres des deux quations MDG et MDGR
sont :
1 = 1 , 2 = 2 , 3 = 2 + 3 , 4 = 4 ,5 = 4 + 5 , 6 = 6 , 7 = 6 + 7
, 8 = (8 1)
Les quations MDG et MDGR ne sont pas deux modles diffrents, mais
deux critures,deux reprsentations diffrentes du mme modle
dynamique. Lune implique lautre !
Il faut ensuite rechercher la solution dquilibre stationnaire du
modle dynamique, quiest une proprit de ce modle. Elle se prsente
sous la forme dune relation entre lesvariables quil implique
lorsquelles sont constantes dans le temps, lorsquelles sont
enquilibre stationnaire. Dans cet exercice, la solution dquilibre
stationnaire du modledynamique est la relation entre les variables
impliques simultanment par lquationMDG (ou MDGR) et les hypothses
de stationnarit suivantes :
Ct = Ct1 = C , tYt = Yt1 = Y , tRt = Rt1 = R , tPt = Pt1 = P ,
t
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Exer
cice
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(Scriptex : 4e preuve) 18
Pour trouver cette solution, il suffit donc dintgrer ces
hypothses de stationnarit danslquation MDG. On obtient :
ln C = 1 + 2 ln Y + 3 ln Y + 4 ln P + 5 ln P + 6R+ 7R+ 8 ln
CCela implique :
ln C = (1)+ (2 + 3) ln Y + (4 + 5) ln P + (6 + 7) R1 8
Ce rsultat est la solution dquilibre stationnaire du modle
dynamique (1). Il sagit dela relation (et non dun nouveau modle)
quil implique dans le cas particulier dunesituation dquilibre
stationnaire. Pour tester sur les donnes la thorie, il faut
estimerle modle dynamique et vrifier que ses coefficients sont tels
que sa solution dquilibrestationnaire est compatible avec la
relation dquilibre de la thorie. Celle-ci est doncvrifie si les
hypothses suivantes ne sont pas rejetes :
(4 + 5)1 8 = 0 et
(2 + 3)1 8 = 1
On peut objecter que, sur des donnes macroconomiques caractrises
par une croissancecontinue, le concept dquilibre stationnaire est
peu pertinent. On peut aussi rechercher lasolution de croissance
quilibre du modle dynamique qui est une autre de ses proprits.Cette
solution est la relation entre les variables que le modle implique
lorsque toutes cellesqui reprsentent le flux, les stocks et les
prix croissent un taux constant dans le temps(elles sont en
croissance quilibre) et que les variables relatives aux taux sont
constantesdans le temps (elles sont en quilibre stationnaire
puisquil est insens quun taux dintrtaugmente un taux de croissance
constant indfiniment). Dans cet exercice, la solution decroissance
quilibre du modle dynamique est la relation entre les variables
impliquessimultanment par lquation MDG (ou MDGR) et les hypothses
de croissance quilibresuivantes :
ln(Ct) ln(Ct1) = gC , tln(Yt) ln(Yt1) = gY , t
Rt = Rt1 = R , tln(Pt) ln(Pt1) = gP , t
Pour trouver cette solution, il est prfrable dutiliser la
reprsentation MDGR du modledynamique. Si lon intgre ces hypothses
de croissance quilibre dans lquation MDG,on trouve :
gC = 1 + 2gY + 3 ln Yt1 + 4gP + 5 ln Pt1 + 7Rt1 + 8 ln Ct1t ,
tCela implique :
ln Ct1 = gC 1 2gY 3 ln Yt1 4gP 5 ln Pt1 7Rt1
8, t
Et donc :
ln Ct = gC 1 2gY 4gP 3 ln Yt 5 ln Pt 7Rt
8, t
1. On trouve exactement la mme solution en substituant les
hypothses de stationnarit dans lquationMDGR. Cest logique puisque
MDG et MDGR sont deux reprsentations diffrentes du mme modle.
18 Modlisation en conomie et gestion
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1ChapitreOu, de manire quivalente :
ln Ct =(1 + 2gY + 4gP gC
)+ (2 + 3) ln Yt + (4 + 5) ln Pt + (6 + 7) R1 8 , t
Ce rsultat est la solution de croissance quilibre du modle
dynamique. Il sagit de larelation quil implique dans le cas
particulier dune situation de croissance quilibre.Pour tester sur
les donnes la thorie, il faut estimer le modle dynamique et vrifier
queses coefficients sont tels que sa solution de croissance
quilibre est compatible avec lepostulat de relation dquilibre
thorique. Cette relation est donc vrifie si les restrictionsou
hypothses suivantes ne sont pas rejetes :
(4 + 5)1 8 = 0 et
(2 + 3)1 8 = 1
Pour sassurer que le modle dynamique gnral respecte la thorie,
cest--dire pour queses solutions dquilibre stationnaire et de
croissance quilibre soient compatibles avecla relation dquilibre de
la thorie conomique, il suffit dimposer ces contraintes
sesparamtres. Si lon procde ainsi, le modle dynamique gnral devient
le mcanisme correction derreur, en loccurrence :
ln Ct ln Ct1 = 1 + 2 (ln Yt ln Yt1)+ (1 8) (ln Yt1 ln Ct1)+ 4
(ln Pt ln Pt1)+ 6 (Rt Rt1)+ (6 + 7)Rt1 + ut
On peut calculer ses solutions dquilibre stationnaire et de
croissance quilibre :
ln Ct = (1)+ (6 + 7) R1 8 + ln Yt
ln Ct =(1 + (2 1) gY + 4gP
)+ (6 + 7) R1 8 + ln Yt
Elles sont bien compatibles avec la thorie macroconomique. Quand
C est proportionnel Y , gC = gY .
EXERCICE 9 SPCIFICATION DUN MODLE DYNAMIQUE DE TAUX DE
CHANGE
noncLa thorie de la parit des pouvoirs dachat implique qu
lquilibre, le taux de changeentre deux devises sajuste de manire
galiser le cot dacquisition dun panier de biensdans les deux pays
concerns, lorsque les biens sont exprims dans une mme devise. court
terme, le taux de change fluctue galement en fonction dautres
variables, tel lediffrentiel de taux dintrts nominaux entre les
deux pays. Spcifiez un modle explicatifde lvolution du taux de
change eij entre les devises de deux pays i et j, qui soit appropri
court terme tout en tant compatible avec la thorie de la parit des
pouvoirs dachat long terme. Supposez que les priodes sont annuelles
et que la dynamique peut se rduire des retards dune priode.
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(Scriptex : 4e preuve) 19
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Solution Soit eij le taux de change dfini comme le prix dune
unit de devise i exprim en unitsde devise j. Les variables
explicatives suggres par lnonc sont :
pi, lindice des prix dans le pays i, en devises du pays i ;
pj, lindice de prix dans le pays j, en devise du pays j ;
Ri, le taux dintrt nominal court terme pour la devise du pays i
;
Rj, le taux dintrt nominal court terme pour la devise du pays
j.
En donnes annuelles, on suppose que la dynamique peut se rduire
une priode. Onspcifie le modle dynamique gnral :
ln(eijt) = 1 + 2Rit + 3Rit1 + 4 ln(pit)+ 5 ln(pjt)+ 6 ln(pjt1)+
7 ln(pit1)+ 8Rjt + 9Rjt1 + 10 ln(eijt1)+ ut
Cela peut scrire ainsi :(ln(eijt) ln(eijt1)
) = 1 + 2(Rit Rit1)+ (2 + 3)Rit1 + 4(ln(pit) ln(pit1)
)
+ 5(ln(pjt) ln(pjt1)
)+ (5 + 6) ln(pjt1)+ (4 + 7) ln(pit1)+ 8(Rjt Rjt1)+ (8 + 9)Rjt1
+ (10 1) ln(eijt1)+ ut
La thorie de la parit des pouvoirs dachat suggre qu lquilibre
:
piteijt = kpjto k est un facteur de proportionnalit tenant
compte de diffrences ventuelles dans lacomposition et le choix de
lanne de base des indices de prix des deux pays. Cette
relationdquilibre scrit encore :
ln(eijt) = A+ ln(pit) ln(pit)o A = ln(k). La solution dquilibre
stationnaire du modle dynamique gnral est :
ln(eijt) =(1 + (2 + 3)Rit + (4 + 7) ln(pit)+ (5 + 6) ln(pjt)+ (8
+ 9)Rjt
)/(1 10)
puisque Rit = Rit1, Rjt = Rjt1, eijt = eijt1, pit = pit1 et pjt
= pjt1. La solution decroissance quilibre scrit :
ln(eijt) =((1 + 4gi + 5gj ge)+ (2 + 3)Rit + (4 + 7) ln(pit)+ (5
+ 6) ln(pjt)+ (8 + 9)Rjt)/(1 10)
o ge = ln(eijt) ln(eijt1), gi = ln(pit) ln(pit1), gj = ln(pjt)
ln(pjt1), Rit = Rit1et Rjt = Rjt1. Pour tre compatibles avec la
relation thorique ln(eijt) = A + ln(pit) ln(pit), les coefficients
de ces solutions dquilibre doivent tre contraints de sorte que(5 +
6)/(1 10) = (4 + 7)/(1 10) = 1. lquilibre, la relation
thoriqueln(eijt1) = A+ln(pit)ln(pit) implique aussi que ge = gjgi.
En imposant ces restrictionsau modle dynamique gnral, on obtient le
mcanisme correction derreur :(ln(eijt) ln(eijt1)
) = 1 + 2(Rit Rit1)+ (2 + 3)Rit1 + 4(ln(pit) ln(pit1)
)
+ 5(ln(pjt) ln(pjt1)
)
+ (5 + 6)(ln(pjt1) ln(pit1) ln(eijt1)
)
+ 8(Rjt Rjt1)+ (8 + 9)Rjt1 + ut
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(Scriptex : 4e preuve) 21
1ChapitreRfrences bibliographiques
[JOH 1997] J. Johnson, J. DiNardo, Econometric Methods, McGraw
Hill, 1997.
[HEN 1995] D. Hendry, Dynamic Econometrics, Oxford University
Press, 1995.
[SPA 1986] A. Spanos, Statistical Foundations of Econometric
Modelling, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 1986.
Rfrences bibliographiques 21
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2ChapitreModlelinaireen universstationnaire
Modle linaire en univers stationnaire1. Prsentation gnrale . . .
. . . . . . . . . . . . 242. Interprtations du modle linaire et
hypothses sur les erreurs . . . . . . . . . . . 253. Estimation
par la mthode des moindres
carrs ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.
Modle linaire dynamique . . . . . . . . . 385. Tests de mauvaise
spcification du
modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Problmes et exercices . . . . . . 451. Rgression linaire avec
Excel . . . . . . . . 452. Rgression linaire avec TSP . . . . . . .
. . . 513. Rgression linaire avec SPSS . . . . . . . . 614.
Rgression linaire avec Easyreg . . . . . . 66
Ce chapitre tudie les problmes de spcification,
destimation et dinfrence relatifs des relations
linaires entre des processus stochastiques purement
stationnaires ou stationnaires autour dune tendance
dterministe (voir chapitre 1). Linfrence statistique
tudie dans ce chapitre ne sapplique donc pas des
relations linaires entre des processus stochastiques
intgrs, cest--dire non stationnaires tendance
stochastique ou racine unitaire (voir chapitre 1). Les
exercices proposs se concentrent sur lestimation des
relations linaires par moindres carrs ordinaires au
moyen des logiciels Excel, TSP, SPSS et Easyreg.
Modle linaire en univers stationnaire 23
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1 Prsentation gnrale1.1 DFINITION GNRALE ET NOTATION GNRALE
Un modle linaire une quation, en sries temporelles, suppose
quune variablealatoire univarie Yt est une fonction linaire dautres
variables alatoires univariesX2t , X3t . . .Xkt , laquelle sajoute
une variable alatoire univarie ut appele termederreur , et met
certaines hypothses sur la distribution de toutes ces variables.
Onreprsente cet ensemble dhypothses de la manire suivante :
Yt = 1 + 2X2t + 3X3t + + kXkt + ut , pour tout t = 1 . . . n
(2.1)avec 1, 2 . . . k des coefficients non alatoires constants
dans le temps.
La variable Yt est dite dpendante. Les variables X2t , X3t . .
.Xkt sont dites explicatives.Yt et les Xit sont des variables
alatoires (1) (au sens o chacune delles peut avoir, dunpoint de vue
conceptuel, plusieurs valeurs possibles, en fonction du hasard, mme
silon observe effectivement une seule ralisation puisque la priode
t n a lieu quunefois) et observables (puisquon peut en observer une
ralisation).
La variable ut est appele terme derreur ou perturbation. Cest
une variable alatoireet non observable (en effet, ut = Yt12X2t3X3t
kXkt , mais on ne peutpas dduire sa ralisation des ralisations
observes de Yt et des Xit car les coefficientsi sont inconnus et
donc non observs).
Yt , X2t , X3t . . .Xkt et ut sont les composantes la date t des
processus stochastiques cor-respondants Y = {Y}=1...n, X2 =
{X2}t=1...n, X3 = {X3}=1...n . . .Xk = {Xk}t=1...n, etu =
{u}=1...n.
Le coefficient 1 est souvent appel constante (ou terme constant
) du modlelinaire. De faon implicite, une variable explicative X1t
vaut 1 chaque priode t(X1t = 1 pour tout t), ce qui implique que
1X1t = 1 pour tout t. Pour cette raison,lindice des variables
explicatives commence 2 dans la formulation du modle. Oncompte donc
k variables explicatives, constante comprise (soit k1 sans la
constante !).Les coefficients i sont des concepts non alatoires
(des valeurs uniques supposesexister dans la nature) et non
observables (leur valeur est inconnue).
ExempleLa fonction de consommation suivante est un exemple de
modle linaire :
ln(Ct) = 1 + 2 ln(YIt)+ 3Rt + ut , pour tout t = 1 . . . nln(Ct)
est le logarithme nprien de la consommation prix constants Ct
.ln(YIt) est le logarithme nprien du revenu disponible rel YIt .Rt
reprsente le taux dintrt rel.ln(Ct) correspond la variable
dpendante Yt .ln(YIt) correspond la variable explicative X2t .Rt
correspond la variable explicative X3t .On compte donc trois
variables explicatives, constante comprise (k = 3). ln(Ct),
ln(YIt), Rtet ut sont les composantes la date t des processus
stochastiques correspondants ln(C) ={ln(C)}=1...n, ln(YI) =
{ln(YI)}=1...n, R = {R}=1...n et u = {ut}=1...n.
1. Pour quelques rappels utiles sur les concepts de variable
alatoire, on peut se rfrer utilement au livre dePatrick Roger,
Probabilits, statistique et processus stochastiques, publi chez
Pearson Education France dansla mme collection.
24 Modle linaire en univers stationnaire
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(Scriptex : 4e preuve) 24
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2ChapitreExempleLa fonction de consommation suivante est un
autre exemple de modle linaire :
ln(Ct) = 1 + 2 ln(YIt)+ 3Rt + 4 ln(Ct1)+ 5 ln(YIt1)+ ut , pour
tout t = 2 . . . nln(Ct) correspond la variable dpendante Yt
.ln(YIt) correspond la variable explicative X2t .Rt correspond X3t
.ln(Ct1) correspond X4t .ln(YIt1) correspond X5t .On compte donc
cinq variables explicatives, constante comprise (k = 5). Dans cet
exemple,X4t = Yt1 et X5t = X2t1. ln(Ct), X2t , Rt et ut sont les
composantes la date t des processusstochastiques correspondants
ln(C) = {ln(C)}=1...n, ln(YI) = {ln(YI)}=1...n, R = {R}=1...n etu =
{u}=1...n. ln(Ct1) est la composante de date t1 du processus
stochastique {ln(C)}=1...n.ln(YIt1) est la composante de date t 1
du processus stochastique {ln(YI)}=1...n.
1.2 NOTATION MATRICIELLE
Lhypothse dun modle linaire reliant des processus stochastiques
X2, X3 . . .Xk peutencore tre prsente de la manire suivante :
Y = X+ u (2.2)
o Y =
Y1Y2...
Yn
, X =
1 X21 Xk11 X22 Xk2...
.... . .
...
1 X2n Xkn
, =
1
2...
k
, u =
u1u2...
un
.
Y est un vecteur n lments (une matrice n 1), X est une matrice n
lignes et kcolonnes, est un vecteur k lments (une matrice k1) et u
est un vecteur n lments(une matrice n 1). Exprim en notation
matricielle, le modle linaire implique que :
Y1 = 1 + 2X21 + 3X31 + 4X41 + + kXk1 + u1Y2 = 1 + 2X22 + 3X32 +
4X42 + + kXk2 + u2. . .
Yn = 1 + 2X2n + 3X3n + 4X4n + + kXkn + unLquation (2.2) est bien
quivalente lquation (2.1).
2 Interprtations du modle linaireet hypothses sur les
erreurs
Dans lquation (2.1), la somme 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt
est souventinterprte, de manire conventionnelle, comme la partie de
la variable dpendante Ytqui peut sexpliquer linairement en fonction
des variables explicatives X2t , X3t . . .Xkt ,tandis que le terme
derreur ut est interprt comme la partie ne pouvant sexpliquer
linairement en fonction des variables explicatives.
Interprtations du modle linaire et hypothses sur les erreurs
25
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(Scriptex : 4e preuve) 25
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(Scriptex : 4e preuve) 26
Pour intuitive quelle soit, cette interprtation est encore trop
vague et manque de rigueur.Il reste prciser les diffrents statuts
statistiques dun modle linaire. La section suivantetablit le lien
entre ces statuts et certaines proprits du terme derreur.
2.1 HYPOTHSES SUR LE LIEN ENTRE TERME DERREURET VARIABLES
EXPLICATIVES
Modle linaire comme approximation linaire
Statistiquement, les coefficients dun modle linaire sont les
coefficients de lapproxi-mation linaire de la variable dpendante
par les variables explicatives, condition quelesprance du terme
derreur soit nulle et que les covariances entre le terme derreuret
chaque variable explicative soient nulles. Cela se formalise ainsi
: si les processusstochastiques Y , X2 . . .Xk sont tels quils sont
relis par le modle linaire (2.1) (voirsection 1.1) sous les
hypothses que E(ut) = 0 t et Cov(ut , Xit) = 0 i = 2 . . . ket t,
la partie 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt reprsente
lapproximationlinaire de la variable alatoire Yt par les variables
alatoires X2t . . .Xkt . En dautres termes, = 1Xt Xt Yt o Xt est un
vecteur (1) alatoire k lments dfini par Xt = (1X1t . . .Xkt).
Remarque
Lapproximation linaire dune variable alatoire Yt par des
variables alatoiresX2t , X3t . . .Xkt est une fonction linaire des
variables X2t , X3t . . .Xkt , dont les coefficients sontchoisis de
manire minimiser lesprance du carr de lcart entre Yt et cette
fonctionlinaire.
Avec de telles hypothses sur le terme derreur, le modle linaire
suppose donc la constancedans le temps des coefficients de
lapproximation linaire de Yt par X2t , X3t . . .Xkt , et parl mme
un comportement particulier des esprances et variances des
variables Yt et Xit(i = 2 . . . k) ainsi que des covariances entre
ces variables, aux diffrentes priodes t. Eneffet, si ces esprances,
variances et covariances varient dans le temps, elles doivent le
fairede manire telle que 1Xt Xt Yt soit constante dans le
temps.
Exemple avec une variable explicative (k = 2)Le modle linaire Yt
= 1+ 2X2t+ ut , lorsquil comprend les hypothses Cov(ut , X2t) = 0
pourtout t et E(ut) = 0 pour tout t, implique que la valeur de
lexpression E(Yt) Cov(Yt , X2t)
V(X2t)E(X2t)
et celle de lexpressionCov(Yt , Xt)
V(X2t)ne changent pas quelle que soit la priode t. Les
coefficients
du modle linaire sont alors dfinis statistiquement ainsi :
1 = E(Yt) Cov(Yt , X2t)V(X2t)
E(X2t) et 2 = Cov(Yt , X2t)V(X2t)
1. Xt est une matrice carre k lignes et k colonnes puisque cest
la matrice de variances et covariances duvecteur Xt . Xt Yt est une
matrice k ligne et 1 colonne, donc un vecteur, puisque cest la
matrice des covariancesentre le vecteur Xt et la variable univarie
Yt .
26 Modle linaire en univers stationnaire
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2ChapitreModle linaire comme approximation conditionnelleLa
partie explique de la variable dpendante dun modle linaire est
aussi une approxi-mation conditionnelle qui dpend dune hypothse
plus forte que celle de la covariancenulle entre terme derreur et
variables explicatives : il sagit de lindpendance entreterme
derreur et variables explicatives. Si les processus stochastiques Y
, X2 . . .Xk sont telsquils sont relis par le modle (2.1) sous les
hypothses que E(ut) = 0 t et que ut estindpendant de Xit i = 2 . .
. k et t, la somme 1+2X2t+3X3t+4X4t+ +kXktreprsente lapproximation
conditionnelle (1) de la variable alatoire Yt par les
variablesalatoires X2t . . .Xkt . Par consquent :
1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt = E(Yt |X2t . . .Xkt) (2.3)Il
apparat clairement que ce cas implique celui de la rubrique
prcdente (Modle linairecomme approximation linaire). Un modle
linaire, avec les hypothses complmentairesque E(ut) = 0 t et que ut
est indpendant des variables explicatives X2t . . .Xkt , peutdonc
tre interprt de la manire suivante : lapproximation conditionnelle
de Yt parles variables explicatives X2t . . .Xkt est une fonction
linaire de ces variables explicativesavec des coefficients
constants dans le temps. Cela revient dire que
lapproximationconditionnelle de Yt par les variables explicatives
est identique lapproximation linairede Yt par ces variables
explicatives et que des coefficients sont constants dans le
temps.Dailleurs, lhypothse dindpendance entre ut et X2t . . .Xkt
pour tout t implique queCov(ut , Xit) = 0 i = 2 . . . k et t et
donc que les i sont la fois les coefficients delapproximation
linaire et ceux de lapproximation conditionnelle.
RemarqueLapproximation conditionnelle est gale lapproximation
linaire lorsque les variablesdpendante et explicatives sont toutes
distribues normalement. En effet, si la fonction dedensit jointe de
Yt et des Xit est une normale multivarie, lesprance conditionnelle
deYt , conditionnellement aux ralisations des Xit , est
effectivement une fonction linaire desralisations des Xit et est
gale lapproximation linaire. Toutefois, la normalit nimpliquepas
elle seule que les coefficients de lapproximation conditionnelle
(et linaire) de Yt enfonction des Xit soient constants dans le
temps. Il faut, pour cela, que la distribution jointe aitdes
proprits supplmentaires.
Autres casDans beaucoup de cas, en raison du contexte (la
problmatique conomique, financireou marketing) dans lequel on
suppose lexistence dune relation linaire constante entredes
processus stochastiques Y , X2 . . .Xk, du type de lquation (2.1),
on ne peut supposerque le terme derreur u est indpendant des
variables explicatives, ou que les covariancesentre le terme
derreur et les variables explicatives sont toutes nulles. Dans ces
conditions,lexpression 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt nest pas
lapproximation condi-tionnelle ni lapproximation linaire de Yt par
X2t , X3t . . .Xkt . Les coefficients i ne sontdonc pas ceux dfinis
pour les coefficients de lapproximation linaire.
La simultanit est une des causes principales de dpendance entre
terme derreur etvariables explicatives. Par simultanit, on entend
influence rciproque entre variabledpendante et variables
explicatives , cest--dire influences simultanes des variables
1. Pour quelques rappels utiles sur le concept desprance
conditionnelle, le lecteur peut se rfrer au manuelde Patrick Roger,
Probabilits, statistique et processus stochastiques, publi chez
Pearson Education Francedans la mme collection.
Interprtations du modle linaire et hypothses sur les erreurs
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explicatives sur la variable dpendante et de la variable
dpendante sur certainesvariables explicatives .
ExempleOn suppose habituellement que la consommation agrge Ct
est fonction du revenu dispo-nible YIt :
Ct = 1 + 2YIt + ut (a)Cette quation sinscrit dans un contexte o
le revenu disponible YIt est dfini comme unepartie du PIBt (produit
intrieur brut), qui est la somme des valeurs ajoutes dgages
danslconomie, soit approximativement la somme des revenus primaires
verss sous la forme desalaires, dividendes, intrts :
YIt = PIBt IMPt (b)o IMP est un montant dimpts et de cotisations
sociales nettes des prestations socialesoctroyes.
PIBt = Ct + It + Gt + Xt Mt (c)I reprsente linvestissement avec
les variations de stock, G les dpenses publiques, X lesexportations
et M les importations. Au regard de ces trois quations, on se rend
compte quetoute variation de ut affecte Ct , qui, en variant,
affecte PIBt , qui, en variant, affecte YIt . Le termederreur ut et
la variable explicative YIt ne sont donc pas indpendants :
u(a)
C(c)
PIB(b)
YI donc u YIIl en rsulte que les coefficients 1 et 2 ne sont pas
les coefficients de lapproximationconditionnelle ni de
lapproximation linaire de Ct par YIt . En particulier, 2 nest pas
gal Cov(Ct , YIt)/V(YIt).
2.2 HYPOTHSES POSSIBLES SUR LVOLUTION TEMPORELLEDU TERME
DERREUR
Plusieurs hypothses concernant la manire dont le terme derreur
volue dans le temps,et les liens ventuels quil a avec ses
ralisations passes, sont envisageables et seule lanature de la
problmatique tudie rend plausible lune dentre elles.
Terme derreur bruit blancLorsquon fait lhypothse dun modle
linaire coefficients constants reliant des pro-cessus stochastiques
Y , X2 . . .Xk, du type de lquation (2.1), on se demande si
lensembledes fluctuations systmatiques de Y au cours du temps est
expliqu par les fluctuationsdes variables explicatives X2 . . .Xk.
Si cest le cas, toutes les composantes systmatiquesde Yt sont
prises en compte par la somme 1 + 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt etle
terme derreur ut ne contient plus dlments systmatiques. On peut
donc supposerque ut est un bruit blanc. En effet, les ralisations
successives dun bruit blanc formentune suite de valeurs de moyenne
0, damplitude ou de dispersion constante et sans lienlinaire entre
elles. Il sagit bien dune succession de valeurs ne prsentant aucun
caractresystmatique.
RemarqueUn bruit blanc est un processus stochastique dont la
composante chaque date a uneesprance nulle et la mme variance, et
dont des composantes des dates diffrentes ontune covariance
nulle.
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2ChapitreTerme derreur autocorrl ou htroscdastique
Toutefois, dans beaucoup de cas, seule une partie des
fluctuations systmatiques de Y aucours du temps est explique par
les fluctuations des variables explicatives X2 . . .Xk.Lautre
partie se retrouve dans le terme derreur u. Celui-ci a donc une
composantesystmatique, ce qui implique quil nest pas un bruit blanc
(1). Trois cas de figure sontalors possibles :
Soit le terme derreur dune priode est autocorrl, cest--dire quil
est li toutesou certaines de ses valeurs passes : 6= 0| cov(ut ,
ut) 6= 0. On parle alorsd autocorrlation du terme derreur (ou des
perturbations).
Soit le terme derreur est htroscdastique, cest--dire que sa
variance (dispersion)varie dans le temps : V(ut) 6= 2u t. On parle
alors d htroscdasticit du termederreur (ou des perturbations).
Soit il est la fois autocorrl et htroscdastique.
3 Estimation par la mthode des moindrescarrs ordinaires
3.1 PRINCIPE DE LA MTHODE
On suppose que lhypothse dun modle linaire coefficients
constants reliant des pro-cessus stochastiques Y , X2 . . .Xk est
correcte. On veut dire par l quil existe effectivementdes
coefficients vrais inconnus i constants dans le temps tels que
:
Yt = 1+ 2X2t + 3X3t + 4X4t + + kXkt + ut , t , comme dans
lquation (2.1)ce que lon peut encore reprsenter par :
Y = X+ u , comme dans lquation (2.2)o Y , X, et u sont les
matrices dfinies la section 1.3.
Plusieurs estimateurs du vecteur vrai inconnu des coefficients
vrais inconnus i du modle linaire sont possibles. Le choix du bon
estimateur dpend du statut descoefficients i, cest--dire de leur
interprtation, qui dpend elle-mme des propritsdes distributions de
probabilit des variables alatoires multivaries Y , X2 . . .Xk et u
(voirsection 2). Dans cette section, on dfinit un estimateur trs
populaire : lestimateur desmoindres carrs ordinaires. On tudie ses
proprits sous diffrentes hypothses sur lemodle linaire sous-jacent,
ce qui permet de dterminer dans quels cas le choix de cetestimateur
est opportun et dans quels cas il ne lest pas.
Il faut donc dfinir la formule dun estimateur du vecteur vrai
inconnu , obtenueen appliquant le principe des moindres carrs
ordinaires (MCO). Cet estimateur estnot MCO. Il sagit dune formule
appliquer aux ralisations observes des processus
1. La problmatique de la section 2.2 est indpendante de celle de
la section 2.1 : si, par exemple, la partieexplique de Y dans le
modle est lapproximation conditionnelle linaire de Y et si, par l
mme, le termederreur u est indpendant des Xi, cela nimplique pas
pour autant que le terme derreur u soit un bruit blanc.
Estimation par la mthode des moindres carrs ordinaires 29
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Y , X2 . . .Xk, donc aux valeurs observes du vecteur Y et de la
matrice X, pour obtenir unevaleur estime du vecteur des
coefficients vrais inconnus .
En dfinissant un estimateur particulier MCO de , on dfinit
forcment un modleestim du type :
Y = XMCO + e (2.4)o MCO est lestimateur de et e est un rsidu
calcul, dfini ainsi : e = Y XMCO.Le modle estim (2.4) correspond au
modle linaire Y = X + u de lquation (2.2),o le vecteur des
coefficients vrais inconnus est remplac par lestimateur MCO,qui est
lui-mme un vecteur, et o le vecteur des termes derreur vrais
inobservables
u est remplac par le vecteur des rsidus calculs e. On a en effet
MCO =
MCO1MCO2...
MCOk
et
e =
e1e2...
en
. Par ailleurs, le vecteur XMCO, not Y , est la partie explique
de Y .
Le modle estim peut encore tre prsent ainsi :
Yt = MCO1 + MCO2 X2t + + MCOk Xkt + et , t = 1 . . . n (2.5)o,
la priode t, MCO1 + MCO2 X2t + + MCOk Xkt , not Y t , est la partie
explique de Yt .Le modle estim (2.5) correspond au modle vrai (2.1)
o les coefficients vrais incon-nus i sont remplacs par leurs
estimateurs MCOi et o le terme derreur vrai ut est
remplac par le rsidu et . Lestimateur des moindres carrs or