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Exercices
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 9
NOTION DE RAYONS
Le filtre chromatique
Un rayon lumineux est constitu de la superposition de deux
couleurs ou radiations,rouge et violette. Ce rayon se propage dans
un verre dont les indices pour la lumire rou-ge et la lumire
violette sont respectivement gaux nr = 1,595 et nv = 1,625. Ce
rayonarrive sur la surface de sparation avec lair.
1. Calculer les angles dincidence critique pour les lumires
rouge et violette dans ce verre.
2.a. Quelle(s) couleur(s) observe-t-on dans lair si le rayon
arrive dans ce milieu sous un angledincidence i = 35 ?
b. Mme question si le rayon arrive sous un angle dincidence i =
38,5.
3. Quel est lintrt de ce type de montage ?
CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult majeure ; il
sagit dune application directe de la loide Descartes pour la
rfraction n1sini1 = n2sini2.
1. Le calcul des angles dincidence critique seffectue laide de
la loi de Descartes pourla rfraction : n1sini1 = n2sini2, avec dans
le verre n1 = nr ou nv, et n2 indice de l'air.
Langle dincidence critique i1c correspond un angle dmergence i2
gal /2, soitn1sin i1c = n2. On a donc :
A.N. i1c(rouge) = 38,8 et i1c(violet) = 37,9.2. a. Pour un angle
dincidence gal i = 35, infrieur aux deux angles critiques, les
deuxradiations mergent du verre et sont rfractes dans lair. En
revanche, les angles de r-fraction sont diffrents pour les deux
radiations : les radiations sont donc spares aprsrfraction (figure
ci-dessus).b. Si langle dincidence est gal 38,5 seule la radiation
rouge sera rfracte. La radia-tion violette sera totalement
rflchie.3. Ce type de montage peut tre utilis comme un filtre
chromatique non color puisquilpermet dliminer certaines radiations
(celles qui sont totalement rflchies).
Exercice 1
Solution
i2r
i1
VerreAir
n1>n2
i2v
n1n2
i1c arcn2n1--- sin=
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10
Caractristique d'une onde
Lindice de rfraction dun milieu transparent dpend de la
temprature du milieu maisaussi de la frquence de londe considre.Un
rayon lumineux se propage dans lair. Il arrive sur un morceau de
flint (le flint est unverre base de plomb utilis en optique) avec
un angle dincidence de 20 avec la nor-male la surface de
verre.Lindice de rfraction du flint est n = 1,585 pour une
radiation de longueur donde = 486 nm.Que deviennent les quantits
suivantes : frquence, vitesse de londe et longueur donde lors-que
la lumire passe de lair au flint (on assimile lair au vide). Faire
les applications numriques dans les milieux 1 (lair) et 2 (le
flint).
CONSEIL : on sinterroge ici sur les modifications des diffrentes
quantits associes une onde au coursde sa propagation : frquence,
longueur donde et clrit. Une notion essentielle est la conservation
de lafrquence dune onde.
Une onde lumineuse est caractrise par sa frquence f : la
frquence est une grandeur in-variante de londe. Une onde de
longueur donde 2 = 486 nm dans le flint, dont lindiceest n2 =
1,585, a une frquence :
Par dfinition de lindice dun milieu, les vitesses de londe dans
les milieux 1 et 2 sontdonnes par :
- dans l'air,
- dans le flint,
Dans le flint, on a 2 = 486 nm. La longueur donde 1 dans l'air
se dduit de la vitesse v1et de la frquence f :
En conclusion, lorsque la lumire passe dun milieu un autre,
seule la frquence estconserve ; sa vitesse de progagation et sa
longueur donde sont modifies.
Exercice 2
Solution
f v22----c
n22-------- 3 895, 1014 Hz.= = =
n1 1,v1cn1---= 3 108 m.s 1==
n2 1,585,v2cn2---= 1 89, 108m.s 1==
1 v1f---n2n1---2 770nm.= = =
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 11
Le tolune et le verre
Le tolune (C6H5CH3), corps organique liquide drivdu benzne, est
non miscible dans leau. En procdantavec attention, on remplit
successivement un bcher dedeux liquides formant ainsi deux couches
: eau/tolune.On y introduit alors la tige de verre (photo
ci-contre).On rappelle que lindice de rfraction du verre est gal n
= 1,33.
Commenter la photo. Que vaut lindice optique dutolune ?
CONSEIL : cet exercice, fond sur lanalyse dune photo, sappuie
sur la notion de rfraction des rayonslumineux au passage dun milieu
1 un milieu 2 (ici le verre et leau ou le verre et le tolune).
La partie de la tige immerge dans leau est visible ; les indices
de rfraction de leau et duverre sont trs diffrents et les rayons
traversant le verre sont dvis. En revanche, on nevoit pas (ou trs
peu) la partie de la tige immerge dans le tolune. Cela signifie que
lesrayons se propageant dans le tolune et rencontrant le verre sont
peu dvis : lindice dutolune est voisin de celui du verre. Ainsi, on
dduit immdiatement :ntolune nverre = 1,33.
LOIS DE DESCARTES
Constructions gomtriques de Descartesdes rayons rflchi et
rfract
Descartes a propos une construction gomtrique des rayons rfract
et rflchi lors-qu'un rayon incident dans un milieu dindice n1
rencontre une interface (dioptre plan)sparant le premier milieu dun
autre, dindice n2. Dans cette construction, le point din-cidence I
est pris pour centre de deux cercles C1 et C2 de rayons gaux
respectivementaux indices n1 et n2 ( un facteur multiplicatif prs).
Le rayon incident est prolong jus-quau cercle C1 quil coupe en un
point J. La perpendiculaire au dioptre passant par Jcoupe C2 en A
dans le milieu d'indice n2, et, C1 en B dans le milieu d'indice n1.
Le rayonrfract correspond au rayon IA et le rayon rflchi au rayon
IB.
1. En supposant que n1 < n2, montrer que cette construction
permet de retrouver les lois deDescartes.
2. Dans le cas o n1 > n2, montrer par une construction
gomtrique lexistence dune r-flexion totale.
Exercice 3
Solution
Exercice 4
-
12
CONSEIL : les constructions de Descartes tant dcrites dans
lnonc, le problme consiste raliser laconstruction gomtrique et en
exploiter les proprits gomtriques pour retrouver les lois de
Descartes.
1.
La construction gomtrique ci-dessus permet de retrouver les lois
de Descartes. En ef-
fet, on a pour le rayon incident : , pour le rayon rfract :
, et pour le rayon rflchi : .
On obtient donc : i1 = i1 et n1 sini1 = n2 sini2.Remarquons
qu'avec n2 > n1, la droite passant par J et perpendiculaire au
dioptre coupetoujours C2 en un point A et C1 en un point B : il y a
toujours un rayon rflchi et unrayon rfract.2. Avec n2 < n1, le
point A nexiste pas toujours. Pour de faibles valeurs de i1, la
perpen-diculaire au dioptre passant par J coupe le cercle C2 : on
observe un rayon rfract et unrflchi (fig. a.). Pour un angle
dincidence i1 suprieur une valeur critique ic, la perpen-diculaire
au dioptre passant par J ne coupe pas C2 : on observe seulement un
rayon tota-lement rflchi (fig. c.). Le cas limite est obtenu
lorsque la perpendiculaire au dioptrepassant par J est tangente C2
(fig. b.). Le point A est confondu avec le point H et on a
IH = n2 = n1sin ic, d'o la valeur de ic dfinie par la relation :
.
Solution
i1
n1
n2
n1i1
I1
n2
I H
i2
B
A
C1C2
J
i1sinIHIJ------
IHn1------= =
i2sinIHIA------ IH
n2------= = isin 1
IHIB------
IHn1------= =
i 1sinn2n1---=
i1
n1
n2
n1
i1
n2
H
i2
B
A
C2C1
J
i1ic
a. b. c.
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 13
Construction gomtrique de Huygens
La construction gomtrique de Huygens permet de tracer un rayon
rfract IB partirdun rayon incident donn AI. Dans un premier temps,
on trace, dans le milieu dindicede rfraction n2, deux demi-cercles
concentriques C1 et C2, de centre I et de rayons res-
pectifs et . On prolonge le rayon incident et on note D
lintersection
de (AI) avec C1. On mne alors la tangente en D C1 : elle coupe
le dioptre plan en H.La tangente C2, passant par H, coupe C2 en B.
IB correspond au rayon rfract.
1. Raliser les constructions pour n1 < n2 et n1 > n2.
2. Que se passe-t-il si IH < ?
CONSEIL : comme dans lexercice prcdent, il sagit ici de raliser
la construction de Huyghens donndans lnonc et den dduire les
proprits demandes.
1. Cas n1 < n2 : langle i1 est alors plus grand que langle i2
:
Cas n1 > n2 : langle i1 est alors plus petit que langle i2
:
2. Si , il y a rflexion totale et aucun rayon lumineux ne
traverse le milieu.
Notons que cela nest possible que dans le cas n1 > n2 (voir
construction).
Exercice 5
R11n1---= R2
1n2---=
1n2-----
Solution
i1
n1n2
i2 D
HI
1n2
1n1
A
B
i1
n1n2
i2
HI
A
1n1
1n2
BD
IH 1n2---
-
14
Lois de Descartes ou sauvetage en mer
Au XVIIe sicle Fermat a nonc un principe qui permet aujourdhui
de comprendreloptique des rayons lumineux : La lumire se propage
dun point vers un autre sur unetrajectoire telle que la dure du
parcours soit minimale . Nous nous proposons de re-prendre cette
notion dans un cadre un peu diffrent.
Un matre nageur, initialement en A sur la plage, doit sauver un
nageur qui se noie enB dans la mer. Sa vitesse de marche sur le
sable est V1 tandis que sa vitesse de nage estV2 (V2 < V1 ).
1. Quel chemin le matre nageur devra-t-il prendre, le plus
rapide ou bien le plus court ?
2. Exprimer cette condition et retrouver la loi de Descartes
relative la rfraction.
CONSEIL : lobjet de cet exercice est de retrouver la loi de
Descartes relative la rfraction en utilisant leprincipe de Fermat :
la lumire suit un chemin qui minimise son temps de parcours. Au
passage dunmilieu 1 un milieu 2, la vitesse de londe est modifie et
le principe de Fermat prvoit que londe ira dupoint A dans le milieu
1 au point B dans le milieu 2 suivant une courbe LAB telle que son
temps de parcoursle long de LAB soit minimum. Cette proprit de
londe est reprise ici dans le cas dun matre nageur se d-plaant sur
une plage ou dans leau.
1. Le matre nageur va prendre le chemin le plus rapide sil veut
sauver la personne temps. Il est raisonnable de penser quil va
courir plus vite sur la plage quil ne peut nagerdans leau ! Il faut
donc quil trouve un compromis tel que le chemin comporte une
partiedu trajet plus important sur la plage que dans leau. 2. Pour
mener bien le calcul demand, il faut donc exprimer le temps T mis
par le matrenageur du point A au point B sachant quil atteindra le
bord de leau en un point O (voirfigure ci-dessous). Entre A et O sa
vitesse est gale V1 et entre O et B, sa vitesse est V2.Sur AO et
OB, la faon la plus rapide de se dplacer reste bien sr la ligne
droite ! Toutela difficult consiste trouver la position du point O
qui minimise T. Ceci est ralis endiffrentiant T par rapport une
variable qui dcrit la position du point O.
La dure T du trajet AB est gale :
Remarquons que, quel que soit le chemin emprunt, les distances
OH et OH sontconstantes.
Exercice 6
Solution
HO
A
Hi
B
r
Plage Mer
T AOV1------- OBV2
-------+ OHV1 icos------------ OHV2 rcos
-------------+= =
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 15
Par ailleurs, la distance AH + HB = cte, ce qui peut galement
scrire :OH tani + OH tanr = cte
Changer de trajet revient changer dangle dincidence i
(attention, r nest pas indpen-dant de i). Pour dterminer langle i
correspondant la dure minimale du trajet, A et B
tant fixs, il suffit de chercher i tel que = 0. Nous obtenons
ainsi :
On exprime partir de la seconde expression et on simplifie la
premire expression :
Applique loptique gomtrique o et cette relation est
quivalente
la loi de Descartes pour la rfraction.
PRINCIPE DE FERMAT. STIGMATISME
Du principe de Fermat la loi de Snell-Descartes
Un dioptre plan spare deux milieux dindices de rfraction n1 et
n2. On cherche le rayonlumineux qui se propage du point A, dans le
premier milieu, vers le point B dans ledeuxime milieu. I est le
point dintersection du dioptre plan avec le rayon.
1. Recopier et complter le schma ci-dessus, placer le point I
sur le dioptre plan, le rayon AIpuis IB, les angles i1 et i2 de ces
deux rayons par rapport la normale au dioptre passant parI, ainsi
que (x1, y1) et (x2, y2) coordonnes respectives de A et B dans un
repre orthonorm Ixy.
2. Exprimer le chemin optique L(AB) en fonction des grandeurs
n1, n2, x1, x2, y1 et y = y2 + y1.De combien de variables L(AB)
dpend-il ?
3. Retrouver la loi de Snell-Descartes en appliquant le principe
de Fermat qui prvoit que lechemin optique est minimal (on dit aussi
stationnaire).
dTdi------
OH isinV1 icos2---------------- OH rsin
V2 rcos2------------------+ dr
di---- 0=
et OHicos2
--------- OHrcos2
---------+ drdi---- 0=
drdi----
isinV1
------- rsinV2
--------=
V1cn1---= V2
cn2---=
Exercice 7
n1n2
A
B
y
x
-
16
CONSEIL : cet exercice ne pose pas de problme de mise en forme
mathmatique, lnonc guidant forte-ment vers une mise en place des
quations rsoudre. Il suffit donc de se laisser guider !
1.
2. Les points A, B et le dioptre sont fixs donc les valeurs de
x1 et x2 sont constantes. Ilen est de mme pour la distance latrale
(parallle au dioptre) entre A et B, cest direpour D = y2 y1. Le
chemin optique L(AB) est par dfinition :
L(AB) = n1 AI + n2 IBDans le triangle AIH, on a :
De mme dans le triangle BIH :
On en dduit lexpression de L(AB) :
Ce chemin optique ne dpend que de y1 puisque x1, x2 et D sont
constants.3. Le chemin optique est minimal si ses drives
partielles, par rapport toutes les varia-bles, sont nulles. Ici,
L(AB) ne dpend que de y1, cette condition sexprime par :
On a, par ailleurs :
- dans le triangle AHI,
- dans le triangle BHI,
On retrouve bien la loi de Snell-Descartes :n1 sini1 = n2
sini2
Solution
x1A
B
x
i1
i2
Hy
n1
n2
y2y1 IH
x2D
AI x21 y21+= .
IB x22 y22+ x
22 (D y1)
2+ += = .
L(AB) L(y1) n1 x21 y
21+ n2 x
22 (D y1)
2+ ++= =
dLdy1------ n1
y1x21 y
21+
----------------- n2D y1+
x22 (D y1)2+ +
----------------------------- 0=+=
i1siny 1
x21 y21+
-----------------=
i2siny2
x22 y22+
-----------------D y1+
x22 (D y1)2+ +
-----------------------------= =
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 17
Stigmatisme approche dun dioptre plan
Un dioptre plan spare deux milieux dindice n et n. On considre
un point source Adans le milieu dindice n. La normale au dioptre
passant par A coupe le plan du dioptreen O. Un rayon issu de A est
rfract en I sur le dioptre. Le prolongement du rayon r-fract coupe
la droite OA en un point A. On note i et i les angles forms par les
rayonsincident et rfract par rapport la normale au dioptre en I.1.
Exprimer le chemin optique L entre A et A en fonction de OA, OA, n,
n, i et i.
2. Montrer que la condition de stigmatisme est obtenue dans
lapproximation paraxiale.Quelle relation de conjugaison obtient-on
alors ?
CONSEIL : lobjet de cet exercice est dtablir la relation de
conjugaison dun dioptre plan dans lapproxi-mation paraxiale,
cest--dire pour des angles faibles entre les rayons lumineux et
laxe. La relation de con-jugaison du dioptre lie les positions
relatives de lobjet (ici A) et de son image (A), les points A et A
tantdits points conjugus travers le dioptre.
1.
Exprimons le chemin optique L entre A et A :
L = n AI n IA.
Le chemin optique entre I et A est compt ngativement car limage
A est virtuelle.Dans les triangles AOI et AOI, rectangles en O, on
a :
On a donc :
2. Le principe de Fermat prvoit quun systme optique est
stigmatique si, pour deuxpoints conjugus, le chemin est indpendant
de langle i (et donc de i). La drive de Lpar rapport i est donc
nulle :
Exercice 8
Solution
iO
Ii
i
i
n n
Dioptre
AA
AI OAicos
-------- et AI OAicos
---------==
L n OAicos
-------- n OAicos
---------=
dLdi----- nOA isin
i2cos---------------= nOA isin
i2cos------------------di
di----- 0=
-
18
i et i sont lis par la loi de rfraction de Descartes : n sini =
n sini.En diffrentiant cette expression, on obtient : n cosi di = n
cosi di.
On remplace, dans , di par son expression en fonction de di. On
obtient
finalement :
ce stade, quel que soit i, raliserait le stigmatisme rigoureux,
ce qui nest
manifestement pas possible ; en effet, on aurait alors :
quelle que soit la position de I ; or le rapport nest pas
constant lorsque I se dplacele long du dioptre.On recherche alors
la condition de stigmatisme approch en se plaant dans
lapproxima-tion paraxiale, o les angles i et i sont faibles.
Au premier ordre, cosi cosi 1 et sini i, soit :
Si , on a alors quel que soit i.
On a donc tabli une relation de conjugaison pour les points A et
A. Le dioptre planralise une condition de stigmatisme approch.
Principe de Fermat et dioptre sphrique
On considre un dioptre sphrique sparant un milieu dindice n dun
milieu dindice n.Le centre C du dioptre se trouve dans le milieu
dindice n et on note S son sommet, avec
R = . Soit A (p = ) un point du milieu objet, situ sur laxe
principal et AI lerayon incident rencontrant le dioptre en I. Le
rayon rfract coupe laxe en un point A
(p = ).
1. Construire le rayon incident et rfract si on suppose que A et
A sont rels.
2. Soit H la projection de I sur laxe principal, on pose x = .
Calculer le chemin optique Lentre A et A en fonction des
donnes.
3. Montrer que le principe de Fermat permet dtablir une relation
de conjugaison pour ledioptre sphrique dans lapproximation des
rayons paraxiaux. Que vaut alors le chemin opti-que entre A et A
?
1. Le schma est ralis dans les conditions suivantes : A est plac
avant le centre C etn > n. On a ainsi un objet et une image
rels.
dLdi-----
dLdi----- n2 isin icos OA
n i3cos------------ OA
n i 3cos-------------- =
dLdi----- 0=
nOA2
nOA2--------------
AI3
AI3--------=
AIAI------
dLdi----- ni OAn
------- OAn---------
0=OA
n-------OA
n---------=dLdi----- 0
Exercice 9
SC SA
SA
SH
Solution
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 19
2. Le chemin optique L entre A et A scrit alors :
Pour calculer AI, considrons le triangle AIH, rectangle en H. On
a :
Posons x = , o H est la projection de I sur laxe AS.Dans le
triangle CHI, rectangle en H :
Sur laxe, on a simplement :On a donc lexpression de AI :
On trouve de mme pour IA :
On obtient finalement L :
3. Dans lapproximation paraxiale, les rayons restent proches de
laxe ; le point H est doncvoisin de S, soit encore x 0 ; la
relation prcdente peut donc scrire :
On peut effectuer un dveloppement limit de L, en utilisant
pour
-
20
Le chemin optique L est indpendant du rayon considr sil est
indpendant de x soit
. On obtient :
Cette dernire relation correspond la relation de conjugaison du
dioptre sphrique danslapproximation paraxiale :
On a alors :
Points de Weierstrass
On considre un dioptre sphrique sparant un milieu dindice n dun
milieu dindice n.Le centre C du dioptre se trouve dans le milieu
dindice n et on note S son sommet, avec
R = . Soit A (p = ) un point du milieu objet, situ sur laxe
principal et AI le rayonincident rencontrant le dioptre en I. Le
rayon rfract coupe laxe en un point A
(p = ).
Calculer les positions des points, dits points de Weierstrass,
qui ralisent la condition de stig-matisme rigoureux.
CONSEIL : lnonc de cet exercice vous laisse assez libre du choix
de rsolution. Nous proposons ici unesolution qui sappuie sur le
calcul dj effectu dans lexercice prcdent, savoir lexpression du
cheminoptique.
Les positions des points de Weierstrass sont repres par les
variables p et p, la variable
reprant le rayon incident AI tant, dans lexercice prcdent, note
x = , o H est laprojection de I sur laxe AS. Trouver les valeurs de
p et p ralisant la condition de stig-
matisme rigoureux revient trouver les valeurs de p et de p
telles que la variation soit
rigoureusement nulle quelle que soit la valeur de x.Reprenons
lexpression du chemin optique L entre A et B tablie dans
lexerciceprcdent :
Pour les points de Weierstrass, ce chemin est rigoureusement
indpendant de la po-sition du point I, cest--dire de x. On a :
L np np x+ + n n R np-- np---
dLdx----- 0=
n n R np-- np--- 0=
np-- np---
n nR
----------=
L n p np+
Exercice 10
SC SA
SA
Solution
SH
dLdx-----
L n p= 1 2xp--Rp---
1 + np 1 2 xp--- Rp--- 1 ++
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 21
Le stigmatisme rigoureux impose , quel que soit x.
Pour x = 0, on obtient la condition (i):
En supposant cette condition vrifie, on a alors :
Pour que soit nul, quel que soit x, on doit avoir :
Soit la condition (ii):
Les conditions (i) et (ii) peuvent se rcrire :
On obtient finalement p et p qui sont les positions des points
de Weierstrass ralisant la
condition de stigmatisme rigoureux ( , quel que soit x) :
dLdx-----
n Rp---1
1 2xp--Rp---
1 +------------------------------
n Rp--- 1
1 2 xp---
Rp---
1 +-------------------------------+=
dLdx----- 0=
n Rp---1 n Rp--- 1 =
dLdx----- n Rp---
1 11 2xp--
Rp---
1 +------------------------------ 1
1 2 xp---Rp--- 1 +
-------------------------------=
dLdx-----
1 2xp--Rp---
1 + 1 2 xp--- Rp--- 1 +=
1p---
Rp--- 1 1p---- Rp--- 1 =
np np=
1p---
Rp--- 1 1p---- Rp--- 1 =
dLdx----- 0=
pnn--- 1+ R=
p nn--- 1+ R=
-
22
Conditions dAbbe et de Herschellpour le dioptre sphrique
On considre le dioptre de lexercice prcdent. Les conditions
dAbbe et de Herschelltraduisent la conservation du stigmatisme
perpendiculairement et suivant laxe dudioptre.On considre un objet
transverse AB dont limage travers le dioptre est AB et un objetAD
parallle laxe dont limage travers le dioptre est AD. Les points A
et A sontles points de Weierstrass pour le dioptre. Langle
(respectivement ) repre langle(AA, AI) (respectivement (AA,
AI)).
1. On appelle condition dAbbe la condition pour que le systme,
rigoureusement stigmatiquepour A et A, le soit galement pour B et
B. crire la condition dAbbe sous la forme dunerelation entre n, n,
, , et . On utilisera lexpression du chemin optique entre A etA : ,
o est le vecteur unitaire portant le rayon incident AI et levecteur
unitaire portant le rayon rfract IA et lexpression du chemin
optique LB entre B etB, B voisin de A : LB = LA + dL ; on donnera
alors une expression de dL.
2. La condition de Herschell est la condition pour que le
systme, rigoureusement stigmatiquepour A et A, soit stigmatique
pour D et D. crire la condition de Herschell sous la forme
dunerelation entre n, n, , , et .
CONSEIL : cet exercice est un peu difficile car il ncessite
davoir bien assimil la notion de chemin opti-que. On utilisera le
fait que les points A et A sont, par dfinition, des points
conjugus, lobjectif tant dedonner une condition pour que des objets
tendus au voisinage de A et de A soient galement conjugus.
1. Exprimons le chemin optique LA entre A et A sous forme
vectorielle ; on note le
vecteur unitaire portant le rayon incident AI et le vecteur
unitaire portant le rayonrfract IA :
Le chemin optique LB entre B et B, B voisin de A, scrit :LB = LA
+ dL
o dL est la variation de chemin optique lorsque A se dplace en B
et A en B, le point
Exercice 11
AB ABL nAI u= nIA u+ u u
AD AD
Solution
u
u
LA nAI u= nIA u+
I i
ASC
i
An n
Bu
B
u
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 23
I restant fixe. On a donc . dL scrit :
Le chemin optique entre A et A tant, par dfinition, constant, le
chemin optique entreB et B le sera galement si dL est constant quel
que soit le point I, cest--dire quels que
soient les vecteurs et . Utilisant les angles et , on a :
La relation est valable quels que soient et ; pour = = 0, on
obtient cte = 0, soitla condition dAbbe :
2. On peut reprendre le raisonnement prcdent : le chemin optique
LC scrit en fonc-tion du chemin optique LA :
Utilisant les angles et , on a :
La relation est valable quels que soient et ; pour = = 0, on
obtient :
.
On a donc
On obtient finalement la condition de Herschell :
( dAI AB) et (dIA AB)==
dL n dAI u n+ dIA u=
dL n AB u n+ AB u=
u u
dL n AB sin n+ AB sin cte==
n AB sin nAB sin=
I
AA
D DC
u
u
LC LA dL+=
dL n dAI u n+ dIA u=
dL n dAD u n+ dAD u=
dL n AD cos n+ AD cos cte==
cte n AD n+ AD=
n AD(1 cos ) nAD(1 cos )=
nACsin2 2--- nACsin2 2---- =
-
24
Stigmatisme approch dun miroir sphrique
Soit un miroir sphrique de centre C et de rayon R et soit un
point source en A sur laxe
du miroir tel que ; un rayon issu du point A se rflchit en I sur
le miroir, le
rayon rflchi rencontre de nouveau laxe en A. On note langle
(CS,CI) et = r.1. Calculer le chemin optique L entre A et A en
fonction de , r et r.
2. Donner une expression approche de L lorsque les points A et A
sont proches du centre Cdu miroir (|r|
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 25
Le trajet entre A et A ne dpend pas du rayon choisi si, quel que
soit , L 2nR (obtenu lordre 0). On en dduit que cette condition
peut tre vrifie au premier ordre si :
r + r = 0La condition de stigmatisme approch est donc obtenue
pour des couples de points sy-mtriques par rapport au centre C du
miroir. On a alors :
MILIEUX DINDICES VARIABLES. MIRAGES
Fibre optique saut dindice
Une fibre optique peut tre schmatise par un cylindre de
rvolution daxe Oz, de
rayon R, limite son entre par une section droite de centre O. On
note le vecteurdirecteur de laxe Oz. La fibre est constitue dune
matire souple dindice n > 1 et bai-gne dans lair. Un rayon
lumineux passant par O se propage dans la fibre et rencontre le
bord de la fibre pour la premire fois en I. On note . On note
langledattaque du rayon lorsquil rencontre la fibre en O par
rapport la normale la sectionde la fibre.
1. Dterminer la condition sur i pour que le rayon soit pig
lintrieur de la fibre.
2. En dduire l'angle maximal m.
CONSEIL : un rayon est dit pig dans la fibre lorsquil ne peut
pas en sortir ; a priori, lorsque le rayonrencontre le bord de la
fibre, il est partiellement rflchi dans la fibre et partiellement
rfract hors de lafibre. Le rayon ne sera donc pig que si le rayon
est totalement rflchi.
1. Le rayon est pig dans la fibre si aucun rayon n'est rfract
dans l'air, cest--dire siles rayons subissent des rflexions totales
dans la fibre. Sur le schma ci-dessous, il fautdonc que le rayon OI
subisse une rflexion totale en I. Le rayon rencontrera alors
toujoursl'interface fibre/air avec le mme angle et subira une
rflexion totale tout le long de sapropagation dans la fibre. On
garantie ainsi que l'intensit de la lumire envoye dans lafibre est
conserve (dans le cas contraire, on constaterait des pertes
d'intensit lumineuse chaque rfraction).
L nR 1 r2
R2----+ 2 r
R--- cos 1 r
2
R2----+ 2 r
R--- cos+
=
L nR 2 cosR
---------- (r r ) 12R2------- (r2 r2)++ +
L 2nR O r2 r2+R2
----------- +=
Exercice 13
eZ
(eZ, OI) i=
Solution
-
26
La condition de rflexion totale en I porte sur l'angle :n sin
> 1
o n est l'indice de la fibre. On a par ailleurs dans le triangle
OIJ rectangle en J :
La condition de pigeage du rayon se traduit donc sur l'angle i
:
n cosi > 1
La fonction cosinus est dcroissante sur [0 ; ], l'ingalit est
donc inverse lorsque lon
applique la fonction arccos lingalit et on a :
i < arccos (1/n)2. l'entre dans la fibre, on a : sin = n
sinisoit,
sin2 = n2 sin2i = n2 (1 cos2i)Daprs la condition de pigeage, n
cosi > 1, on a :
n2 cos2i < 1Soit finalement : sin2 < n2 1Do langle maximal
m:
Fibre optique indice continment variable
On assimile une fibre optique un cylindre de rvolution constitu
dun milieu dindicevariable n. Le milieu prsente une symtrie
cylindrique autour de laxe Oz de la fibre.On repre lespace en
coordonnes cylindriques (r, , z). Lindice dpend donc unique-ment de
la distance r laxe : n = n(r).
I
i
JO
2-- i=
n 2-- i sin 1>
2--
arc ( n2 1 )sin< m=
Exercice 14
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 27
Soit un rayon lumineux qui se propage dans la fibre et s
labscisse curviligne le long dece rayon.
1. Montrer que la trajectoire admet deux invariants : et .
2. Dcrire la propagation des rayons mridiens (b = 0) et des
rayons obliques (b 0). Justifierces dnominations.
3. La fibre est caractrise par la rpartition dindice n(r)
suivante : n(r) est variable pour r Ret gal 1 pour r > R, R tant
le rayon de la fibre. On dit quun rayon est guid sil ne peutpas
sortir de la fibre. Exprimer par une relation entre R, a et b la
condition de guidage dans lafibre.
CONSEIL : le problme trait est identique celui de lexercice
prcdent mais le traitement mathmati-ques est trs diffrent. On
considre ici un indice continment variable n(r) de sorte que la
trajectoire desrayons est continment modifie par la variation
dindice. Il faut considrer lquation de propagation desrayons
lumineux et lexprimer en coordonnes cylindriques, adapte la gomtrie
de la fibre ; partir decette relation, on obtient les invariants a
et b (le calcul nest pas facile).
1. Reprenons lquation de propagation des rayons lumineux ,
note (1). n ne dpend que de r donc la loi de variation de n =
n(r) donne
. Effectuons le produit scalaire de lquation de propagation des
rayons
lumineux par le vecteur , il vient :
Or
On a donc . tant constant, on peut le rentrer dans la drive, do
:
On en dduit que la quantit est constante.
Exprimons maintenant le vecteur en fonction de la position du
rayon (repre en coordonnes cylindriques) :
On a finalement : , o a est une constante.
a ndzds-----= b nr2d
ds----=
Solution
dn(u)ds
----------- grad(n)=
grad(n) dndr-----ur=
uZ
d(nu)ds
----------- uZ grad(n) uZ=
grad(n) uZdndr-----ur uZ 0= =
d(nu)ds
----------- uz 0= uz
d(nu)ds
----------- uZd(nu uZ )
ds------------------- 0= =
nu uZ
u
u dMds
------- drds---- ur r dds----- u
dzds----- uZ+ += =
nu uZ ndzds----- a= =
-
28
Reprenons lquation de propagation des rayons et remarquons que
:
On a donc, en effectuant le produit scalaire par . Remarquons
alors que :
car
On a donc :
Par suite, on a , et en rentrant nouveau dans la drive, on en
d-
duit que est constant.
La composante suivant z du vecteur scrit , do on dduit le
second
invariant : , o b est une constante.
2. Les rayons mridiens vrifient , soit constante. Les rayons se
dplacent
dans un plan mridien. Les rayons obliques sont tels que garde un
signe cons-
tant. Ces rayons senroulent autour de laxe Oz.
3. Un rayon lumineux est pig dans la fibre si, lorsquil parvient
sur la surface, en r = R,il subit une rflexion totale. Le rayon est
rflchi si la loi de Descartes pour la rfraction(conservation de la
composante tangentielle de n la traverse de linterface) ne peutpas
tre satisfaite, soit, avec la normale linterface sur la surface de
la fibre, si :
Or , la condition de rflexion totale
scrit donc :
On reconnat les constantes , do la condition sur R, a et b :
r grad (n) (r ur z uZ)+= dndr----- ur z dndr
----- u=
uZ : (r grad (n)) uZ 0=
dds----(r nu) dr
ds---- nu r d(nu)
ds----------- r d(nu)
ds-----------=+=
drds---- nu u nu 0= =
r grad (n) r= d(nu)ds
----------- dds----(r nu) zdn
dr-----u=
dds----(r nu) uZ 0= uZ
(r nu) uZ
(r nu) r2dds-----
nr2dds----- b=
nr2dds----- 0=
dds----- b
nr2-----=
uur
n(R) u ur 1>
u ur drds----ur rdds-----u
drds----
uZ+ + ur r dds-----uz dzds-----u+==
R2 n (R) dds-----
2
n (R) dzds-----
2
1>+
a dzds-----
= et b n= r2dds-----
b2
R2---- a2+ 1>
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 29
quation des rayons lumineux dans un milieunon homogne.
Mirage
Soit un milieu non homogne isotrope, dindice n(M) variable
continment selon la po-sition du point M considr. Un mme rayon
lumineux passe par M et M, point infi-niment voisin de M. Soit le
vecteur unitaire tangent en M au rayon lumineux etd(n ) le vecteur
accroissement du vecteur n entre M et M.
1. Justifier que d(n ) est parallle .
2. Montrer que , o s est labscisse curviligne le long du
rayon.
3. Montrer que la trajectoire dun rayon lumineux dans un milieu
non homogne est identique
la trajectoire dune particule de vitesse et subissant une
acclration dont ondonnera lexpression en fonction de v0 et n. On
prendra v0 constante.
En t, lair au contact du sol est plus chaud quen altitude et il
y a apparition dun gra-dient dindice. Pour dcrire ce phnomne, on
prend un gradient dindice telque soit constant et non nul, et quil
soit vertical et orient vers le haut. 4. Montrer que, dans
certaines conditions, il existe deux rayons lumineux allant dun
point A un point B. Peut-on parler de mirage ?
CONSEIL : cet exercice est difficile. Il sagit de travailler sur
lquation donnant la trajectoire dun rayonlumineux en milieu dindice
continment variable.
1. est, par dfinition, perpendiculaire aux surfaces iso-indices
ou iso-n (ensem-ble des points auxquels est associe une mme valeur
de n). Considrons que M et Mappartiennent deux milieux dindice n(M)
et n(M), spars par une couche (interface)
dans laquelle n varie de n(M) n(M). La normale linterface est
colinaire
puisque n ne varie que dans linterface dpaisseur d.
Par ailleurs, les lois de loptique gomtrique traduisent la
continuit de la composante
tangentielle du vecteur . On a donc : n(M) (M) n(M) (M) = a , o
a est uneconstante. Cette relation reste valable lorsque M et M
sont sur la couche dpaisseur d,soit lorsque le milieu est
inhomogne.
Exercice 15
uu u
u grad n
d(nu)ds
------------ grad n=
v v0 nu( )= a
grad (n2)
Solution
grad(n)
N
grad(n)
NM
M
d
nu u u N
-
30
Par ailleurs, lorsque M et M sont infiniment voisins, on a n(M)
(M) n(M) (M)
= d( ) ; on a donc d( ) parallle . Il vient finalement d( ) et
parallles.
2. tablir la relation revient chercher la constante de
proportionna-
lit entre d( ) et qui sont parallles, comme nous lavons montr.
Soit b cette
constante :
Avec et en multipliant lgalit par ds
= = , il vient :
avec . = 1 , .d = 0 et . ds = dn, on a ds = b.On en dduit
finalement lquation de propagation des rayons :
3. On assimile le rayon lumineux une particule de masse m et de
vitesse . Son
acclration scrit :
en utilisant lquation de propagation des rayons et la dfinition
de la vitesse :
. On obtient finalement :
Poursuivons lanalogie avec la mcanique classique et cherchons
lquation de la trajec-toire du ou des rayons qui, issus dun point
objet A, arrivent au point B (o lil se trou-
ve). Le gradient dindice est tel que soit constant, soit n 2(y)
= ay + b, o y dsigne
la coordonne suivant un axe vertical ascendant (avec a > 0),
de sorte que et par suite :
Intgrons cette quation (deux fois) :
u u
nu nu N nu grad(n)
d(nu)ds
----------- grad(n)=
nu grad(n)
d(nu) b grad(n)=
d(nu) dn u ndu+= d(nu) b grad(n)= u
MM dM
dn u uds ndu uds+ b grad(n)uds=
u u u u grad(n) u
d(nu)ds
----------- grad(n)=
v v0nu=
dvdt----- dv
ds----- ds
dt---- v0
d(nu)ds
-----------v0n v 02 ngrad(n)= = = =
dsdt----
v v0n= =
v 02 ngrad(n) v 02
2-----grad(n2)= =
grad(n2)
grad(n2) aj=
v 02
2-----aj=
-
1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET
STIGMATISME 31
o vA est la vitesse du rayon en A, langle quelle forme avec laxe
A et (x,y) repre latrajectoire du rayon lumineux. liminons le temps
pour donner lquation de latrajectoire :
Remarquons que et que A tant lorigine du repre, on a nA2 = b, de
sorte que
lquation de la trajectoire scrit :
4. La condition pour que le rayon lumineux issu de A arrive en B
de coordonnes (X,Y)est quil existe au moins une valeur de langle
telle que :
Cette quation admet des solutions pour tan (et donc pour ) si
:
Soit si :
Lgalit donne lquation de la parabole de scurit de sommet
tour-
nant sa concavit vers les y > 0. Pour tous les points dans la
concavit de cette parabole, il existe deux rayons issus de A et
parvenant au point B. Lil en B pourra donc voir deux images de A
(aucune ne correspondant la position relle de A) ; en ce sens, on
peut parler de mirage.
vvA cos
v 02
2-----at vA sin+
et xy
vA cos t
v 02
4-----at
2 vA tsin+==
i
y v 02
4vA2
2cos------------------- x2 xtan+=
v 02
vA2-----
1nA
2-----=
y a4b 2cos----------------x2 xtan+=
Y a4b 2cos----------------X 2 tan X+ + aX
2
4b------- 2tan X+ tan aX
2
4b------- Y 0=+=
X 2 4 aX2
4b------- aX
2
4b------- Y 0
Y a4b----X 2 ba--
xs 0, ysba--
= =