EXERCÍCIO 2 Calcule as primitivas abaixo: a) dx x x 2 ln 1 b) dx x x tg 2 sec 2 2 2 3 c) dx x x 2 2 2 d) dx x x 20 2 2 e) dx e e x x 6 3 1 3 f) dx e e x x 3 3 3 1 3 g) dx x 2 1 1 h) dx x 2 5 1 5 i) dx x x 2 5 1 50 j) dx x x 2 1 ) cos( k) dx x sen x x ) ( cos 2 1 5 l) dx x x x 2 6 4 m) dx x e x x 3 cos 3 6 5 5 n) dx x tg o) dx x sen x cos p) dx x sen x x sen 2 1 cos 2 EXERCÍCIO 3 Calcule as seguintes primitivas a) dx x 4 3 b) dx x 7 3 c) dx x x 3 2 d) dx x e x x 2 cos 4 2 e) dx x x x x 2 1 4 3 f) dx x x x x x 5 2 1 2 3 3
39
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EXERCÍCIO 2 - Apontamentos TSI · EXERCÍCIO 2 Calcule as primitivas abaixo: a) x³ dx x ln 2 1 b) ³ tg 3 sec 22 x dx c) dx x x ³ 2 2 2 d) dx x x ³ 20 2 2 e) dx e e x x ³ 6 3
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Transcript
EXERCÍCIO 2
Calcule as primitivas abaixo:
a) dxxx
2ln1
b) dxxxtg 2sec22 23
c) dx
x
x
22
2 d) dx
x
x
20
2
2
e) dxe
e
x
x
6
3
1
3 f)
dx
e
e
x
x
33
3
1
3
g) dx
x
21
1 h)
dx
x
2
51
5
i)
dx
x
x
251
50 j) dx
xx
2
1)cos(
k) dxxsenxx
)(cos2
1 5 l) dx
x
xx
2
64
m) dxxe xx 3cos365 5 n) dxxtg
o) dxxsenx cos p)
dx
xsen
xxsen
21
cos2
EXERCÍCIO 3
Calcule as seguintes primitivas
a) dxx43 b) dx
x
7
3
c) dxxx32 d) dxxe xx
2cos42
e) dxx
xxx
2
143 f)
dx
x
xxxx
5
21233
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
2
EXERCÍCIO 4
Calcule as seguintes primitivas
a) dxx 2
25 b) dxx
x
13 2
c) dxxx
x
2
1
2 d) dxxtg
e) dxxx52 53 f) dxe x
12
g) dxx
x
4
3
2 h) dx
e
e
x
x
32
2
i) 2,ln
xdxx
x j)
dx
x
x 22 5cos
2
k) dx
x
x
25
l) dxxg2cot
m) dxx
xx
12
64
EXERCÍCIO 5
Calcule as seguintes primitivas:
a) x dx8 6 b) sen x x dx
4cos
c) x x
dxx
2 2
3 2
1 2 d)
cos( )
( )
xdx
sen x
e) 5
6
6xdx
x f)
6
6 8dx
x
g)
1
, 0ln
x dx xx
h) x x
x x
e edx
e xe
2
2
2
6
i) 3 3sen x dx j) 25sec 5x dx
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
3
k) cossen xe x dx l)
tan 2secg x
e x dx
m) xxe dx2
7 n)
2
5
1 5dx
x
o)
xdx
x 2
5
1 5 p)
2
cos( )
1
xdx
sen x
q) 3
8
xdx
x 5 r) x
x
edx
e 29 25
s) 21
x
x
edx
e t)
x
x
edx
e
1
u)
xdx
x 2
2
1 2 v)
2
2
1 2dx
x
x) 4
senx cos xdx
2 sen x y)
x
x
edx
e 21
z) x
dxx
2
8
3
EXERCÍCIO 6
Calcule as seguintes primitivas:
a) dx
x
24
1 b)
dx
x
xsen
2cos1
c) dx
x
x
41
2 d) dx
x
x
61
23
e)
dx
x
x
2ln4
4
f)
dx
x
xxsen
2cos1
cos2
g) dx
x
x
47
34 h) dx
x
24
1
i) dxx
x
24
2 j) dx
x
x
410
4
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
4
k) dxx
x
58
712 l) dx
xe
xe
23616
m)
dx
x
223
2 n)
dx
xsen
x
243
cos
o) dxx
2
8
3 p)
4
xdx
4 9x
EXERCÍCIO 7
Calcule as seguintes primitivas:
a) dxx
xarctg
24
2 b)
dx
xxx
22 1ln1
1
c) dxx
xarcsen
24
2cos
d)
dxx
xxearctgx
2
2
1
11ln
e) dxa
ax
x
55
f)
dxx
xarcsenx
241
2
g)
dxx
xx
2
2
1
1ln
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
5
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
EXERCÍCIO 2
a) dxxx
2ln1
(Estamos perante ff p )
CCx
dxxx
ff
,11
2ln2ln
111
1
dxxx
2ln1
=
CCx
,2
2ln2
b) dxxxtg 2sec22 23 (Estamos perante ff p )
dxxxtg 2sec22 23
CCxtg
dxx
p
xtg
ff
,13
222sec2
132
3
dxxxtg 2sec22 23
CC
xtg,
4
24
c) dx
x
x
22
2 (Estamos perante ff p )
CCx
dx
p
xxdx
x
x
f
f
,
12
1
222
2
21
2
122
1
2
2
CCxdx
x
x,22
2
2 2
2
d) dxx
x
20
2
2 (Estamos perante
f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
6
dxx
x
f
f
20
2
2 CCx ,20ln 2
e) dxe
e
x
x
6
3
1
3 (Estamos perante
21 f
f)
CCearctgdxe
edx
e
e x
x
x
x
x
,)()(1
3
1
3 3
23
3
6
3
f)
dx
e
e
x
x
33
3
1
3 (Estamos perante ff p )
CCe
dxeedx
e
e xxx
x
x
,1
13
1
3
13
133333
33
3
CCe
dx
e
e x
x
x
,1
1
3
2
23
33
3
g) dx
x
21
1 (Estamos perante
21 f
f)
CCxarcsendx
x
f
f
,
1
1
2
h)
dx
x
2
51
5 (Estamos perante
21 f
f)
CCxarcsendx
x
f
f
,5
51
5
2
i)
dx
x
x
251
50 (Estamos perante ff p )
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
7
CCx
p
xxdx
x
x
ff
,51
5150
51
50
12
1
12
122
1
2
2
dx
x
x
251
50= CCx ,512
2
j) dxx
x2
1)cos( (Estamos perante ffcos )
CCxsendxx
x
f
f
,2
1)(cos
k) dxxsenxx
)(cos2
1 5 (Estamos perante ff p )
CCx
dxx
xsenx
p
dxxsenxx
f
f
,6
)(cos
2
1)(cos)(cos
2
1 655
l) dxx
xx
2
64= dxdxdxdx xx
x
x
x
x
322
6
2
4 (Estamos perante fa f )
dxdx xx 32 = CCxx
,3ln
3
2ln
2
m) dxxe xx 3cos365 5 (Estamos perante fe f , fa f e ffcos )
dxxdxdxedxxe xxxx 3cos3653cos365 55 ¸
= CCxsenex
x ,36ln
65 5
n) dxxtg (Estamos perante
f
f)
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
8
CCxdxx
xsendxxtg
f
f
,coslncos
o) dxxsenx cos (Estamos perante ff p )
,
coscos 2
1
f
p
f
xsenxdxxsenx
p)
dx
xsen
xxsen
21
cos2 (Estamos perante ff p )
dxxsenxxsen
p
ff
2
1
21cos2
CCxsen
,
12
1
11
2
12
CCxsen
CCxsen
,12
,12
2
2
12
EXERCÍCIO 3
a) dxx43 = dxx
43 . (Estamos perante ff p )
=
dxxff
p
1.3
4
=14
314
x CC,
= 5
35x
CC,
b) dxx
7
3= dxdx
x 73
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
9
= dxdxx 71
3 (Estamos perante
f
f e perante c )
= xx 7ln3 CC,
c) dxxx32 = dxx 2
7
2 (Estamos perante ff p )
=
dxxf
p
f 1.2 2
7
=
2
92
2
9
x CC,
= 2
9
9
1x CC,
= xx4
9
1 CC,
d) dxxe xx 2cos42 = dxxdxdxe xx
2cos42 (Com pequenos ajustes,
estamos perante fffafe ff cos,, respectivamente). Vamos multiplicar e dividir a
primeira e a terceira primitivas por 2, para obter fe f e ff cos respectivamente:
dxxdxdxe xx 2cos42 =
dxxdxdxe
ff
x
f
x
f
2cos22
142
2
1 2
= xsenex
x 22
1
4ln
4
2
1 2 CC,
e) dxx
xxx
2
143 = dx
xdxxxxdx
2
143
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
10
= dxxdxxxdx2
1
2
3
243
(Com pequenos ajustes,
estamos perante ff p ). A terceira primitiva terá que ser multiplicada e dividida por 2, para
obtermos ff p :
dxxdxxxdx2
1
2
3
243
=
dxxdxxdxxff
p
fff
p
p
22
2
141.3
2
1
2
31
=
12
1
12
3
111
2
1
2
2
1
12
34
113
xxx CC,
= 2
1
242
3
2
5
2
5
2
xxx
CC,
= 2
1
25
8
23 2
52
xxx
CC,
f)
dxx
xxxx
5
21233
= dxxdxx
dxx
xdxx
5
21
5
1
5
2
5
1 32
dxx
xxxx
5
21233
= dxxdxx
dxxdxx
2
1
3
2
2
5
21
5
1
5
2
5
1 (Estamos
perante ff p e
f
f).
=
dxxdxx
dxxdxx
f
p
ff
f
fff
p
f
p
1.5
21
5
11.
5
21.
5
1 2
1
3
22
=
12
15
2ln
5
1
5
2
5
11
2
1
13
2
13
2
12
12
xx
xx CC,
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
11
=
2
35
2ln
5
1
5
2
35
1 2
3
3
1
3
1
3 xx
xx CC,
= 2
3
3
1
3
15
4ln
5
1
5
6
15
1xxxx CC,
EXERCÍCIO 4
a) dxx 2
25 (Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e dividir
a primitiva por 5:
dxx 2
25 =
dxx
ff
p
525
5
12
=
12
25
5
112
x CC,
=
3
25
5
13
x CC,
b) dxx
x
13 2 (Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 6:
dxx
x
13 2=
dxx
x
f
f
13
6
6
1
2
= 13ln6
1 2 x CC,
c) dxxx
x
2
1
2(Com alguns ajustes, podemos estar perante
f
f ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 2:
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
12
dxxx
x
2
1
2=
dx
xx
x
2
12
2
1
2
= dxxx
x
f
f
2
22
2
1
2
= xx 2ln2
1 2 CC,
d) dxxtg =
dxx
xsen cos
(Com alguns ajustes, podemos estar perantef
f ). Vamos
multiplicar e dividir a primitiva por -1:
dxx
xsen cos
=
dxx
xsen
cos
= xcosln CC,
e) dxxx52 53 (Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e
dividir a primitiva por 6:
dxxx52 53 = dxxx
ff
5
2 5366
1
=
15
53152
6
1
x CC,
=
6
53
6
162 x
CC,
f) dxe x
12 (Com alguns ajustes, estamos perante fe f ).
dxe x
12 = dxee x
2.
PRIMITIVAÇÃO IMEDIATA
13
=
dxee
f
x
2. Vamos multiplicar e dividir a primitiva por 2:
=
dxee
f
x
f
222
= xee 2
2 CC,
g) dxx
x
4
3
2 (Com alguns ajustes, estamos perante
f
f ). Vamos multiplicar e dividir a
primitiva por 2:
dxx
xdx
x
x
f
f
4
2
2
3
43
22
= 4ln2
3 2 x CC,
h) dx
e
e
x
x
32
2
(Com alguns ajustes, estamos perante ff p ). Vamos multiplicar e dividir