Exemplos de aplicação das leis de Newton e Conservação da Energia
Exemplos de aplicação das leis de Newton e
Conservação da Energia
O Plano inclinado Vimos que a força resultante sobre o bloco é dada por .
Portanto, a aceleração experimentada pelo bloco é dada por (em módulo):
𝐅𝑟 = mg sin 𝛼 𝐢
m
P
N
α
F𝑟 = mg sin 𝛼 = 𝑚𝑎
𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛α
Podemos calcular a velocidade, usando a equação do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado:
2 2
0 2
2 sen
v v ad
v g d
O plano inclinado Contudo, podemos expressar o seno do ângulo α em função do comprimento do plano inclinado e de sua altura:
senh
d
Logo:
2 sen 2
2
hv g d g d
d
v gh
Energia potencial gravitacional Considere uma partícula que é elevada do solo até uma altura h perto da superfície da Terra:
Terra
h
P
Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre ele. A essa ação do agente externo chamamos de Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade constante:
F
mg F P j
O trabalho, W, neste caso, é simplesmente o produto do módulo da força pela distância percorrida sob a ação desta força:
W mgh
Este trabalho fica armazenado na forma de energia potencial do sistema partícula – Terra:
pgW E mgh
Energia Total
A Energia Total do sistema é a soma das formas cinéticas mais potenciais. No caso de uma partícula sobre a qual atua apenas a força gravitacional:
21
2E mv mgh
Parte cinética Parte potencial
Teorema da Conservação da Energia
A energia total de um sistema fechado é conservada.
O plano inclinado – usando a conservação da energia Vamos agora usar a conservação da energia para calcular a velocidade do objeto quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso.
Etapa 1 – Energia no topo do plano inclinado
Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial:
i c p pE E E E mgh
Etapa 2 – Energia na base do plano inclinado
Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cinética, já que a energia potencial é nula neste ponto (h=0):
21
2f c p pE E E E mv
O plano inclinado Como não temos atrito, a energia é conservada: a energia no topo do plano inclinado deve ser igual à energia na base do plano inclinado:
212
2f iE E mv mgh v gh
Máquina de Atwood
28,0 kg
15,0 kg
Qual o valor da aceleração do sistema e das tensões?
R. Sobre a massa de 15 kg temos duas forças agindo: a força peso, para baixo e a tensão na corda, para cima:
T1
P1
1 1 1 1 1 1 (I)rF T P T m g m a
Sobre a massa de 28,0 kg também temos duas forças agindo:
T2
P2
2 2 2 2 2 2 (II)rF P T m g T m a
Observe que as duas tensões formam um par de ação e reação: |T1|= |T2|
Máquina de Atwood Logo, podemos escrever:
1 1
2 1 1 2
2 2
22 1
2 1
2
28,0kg 15,0kg9,81m/s
28,0kg 15,0kg
2,97m/s
T m g m am g m g m a m a
m g T m a
m ma g a
m m
a
A tensão na corda será dada por:
1 1
2 11 1
2 1
2 1 2 1 2 11 1
2 1 2 1
21 2
2 1
1
15kg 28kg2 2 9,81m/s
15kg 28kg
191,64N
T m g m a
m mT m g m g
m m
m m m m m mT m g m g
m m m m
m mT g T
m m
T
Diagrama de energia potencial Ep
x x1 x2 x3 x4 x5
E1
E2
Pontos de equilíbrio estável
Pontos de equilíbrio instável
E3
Diagrama de Energia
x x1 x2 x3 x4 x5
00
E1
E2
E1 E2
Altura máxima de um projétil
Queremos determinar a altura máxima que um projétil pode alcançar em função do ângulo de lançamento.
v0
α h
Vamos usar a conservação da energia, supondo que não exista atrito com o ar. Dois pontos devem ser observados;
1) No ponto mais alto da trajetória a velocidade na direção vertical é nula;
2) A velocidade na direção horizontal é constante.
v
Altura máxima de um projétil Este é um problema que envolve as duas dimensões, x e y.
Inicialmente o objeto possui somente energia cinética (definimos o zero de potencial nesta posição). Logo, a energia total será dada por:
2 2 2
0 0 0 0
1 1
2 2x yE mv m v v
No ponto mais alto da trajetória, temos que a energia total será dada por:
2 2 21 1
2 2x yE mv m v v mgh
Como não temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais:
2 2 2 2
0 0 0
1 1
2 2x y x yE E m v v m v v mgh
Altura máxima de um projétil Usaremos agora as duas condições anunciadas antes:
0
0
x x
y
v v
v
Logo:
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 202 0
0
2 2
sen2
2 2
x y x y x y x
y
y
v v v v gh v v v gh
v vv gh h h
g g
Energia potencial elástica
F F
F kx
Posição de máxima compressão
Posição de máxima elongação
Posição de equilíbrio
X=0 X
A energia potencial elástica é dada por:
21
2pE kx
Constante elástica da mola
A distância em relação à posição de equilíbrio de chamada de elongação.
F
Um exemplo de energia potencial elástica Uma força de 800 N estica certa mola até uma distância de 0,2 m. Qual é a energia potencial da mola quando ela está esticada 0,2 m? Qual a energia potencial da mola quando ela está comprimida de 5,0 cm?
X=0
0,2 m
a)
Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual é a constante k da mola. Para isso, vamos usar que a força aplicada é igual à força restauradora no equilíbrio:
800N4000N/m
0,2m
FF kx k
x
Logo: 2 2 21 1 N
4000 (0,2) m2 2 m
80 J
p
p
E kx
E
Um exemplo de energia potencial elástica
F
X=0
0,05 m
b) Podemos calcular diretamente a energia potencial:
2 21 1 N4000 ( 0,05)
2 2 m
5 J
p
p
E kx
E