EXAMEN FINAL FISICA

EXAMEN FINAL DE FSICA I_ (25/06/2013) Escuela Superior de Ingeniera

Universidad de Cdiz 1a. Deducir mediante el anlisis dimensional una expresin que relacione la presin de un fluido con su densidad y la velocidad de movimiento del mismo 1b. Obtenga la expresin en coordenadas polares de la aceleracin de un punto con movimiento plano Solucin: 1a. La relacin genrica puede ser del tipo: Siendo K una constante adimensional, P la presin, la densidad y c la velocidad del fluido Tomando dimensiones de cada una de las magnitudes por separado:

[P] =MLT-2L-2; []=ML-3; [c] = LT-1;

Por tanto: 1b.

La velocidad de la partcula es: Y la aceleracin :

P = K c

[P] = M L-1T-2 = K (M L-3)(LT -1) = K M L(-3 +)T -

=1 = 2 P = Kc

2

2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

11 - 42

Radial and Transverse Components When particle position is given in polar coordinates,it is convenient to express velocity and accelerationwith components parallel and perpendicular to OP.

rr e

dede

ded rrrr ==

dtde

dtd

ded

dted rr

r

rr==

dtde

dtd

ded

dted

r

rrr

==

( )

erer

edtdre

dtd

dtedre

dtder

dtdv rrrr

r&r&

rrr

rrr

+=

+=+==

The particle velocity vector is

Similarly, the particle acceleration vector is

( ) ( )

errerr

dted

dtdre

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dtd

dtdr

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dtdre

dtrd

edtdre

dtdr

dtda

rr

r

r&&&&r&&&

rrr

rr

rrr

222

2

2

2

++=

++++=

+=

err rr =


Vector Mechanics for Engineers: DynamicsSeventhEdition

11 - 42


rr e

dede

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r

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r

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2

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Vector Mechanics for Engineers: Dynamics

SeventhEdition

11 - 42


rr e

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rr

r

r&&&&r&&&

rrr

rr

rrr

222

2

2

2

++=

++++=

+=

err rr =

2. Un punto P en el plano Oyz gira alrededor del eje Oy con velocidad angular 1, y todo el sistema de referencia gira alrededor del eje Oz con velocidad angular 2. Hllese la velocidad y aceleracin absolutas del punto P en el instante en que est en la posicin de la figura. Indquese cul es el movimiento relativo y cul el de arrastre. Solucin: La velocidad absoluta de P se calcula: Dnde , Por otra parte, la aceleracin absoluta de P es: Dnde, Por lo que, la aceleracin absoluta de P es:

v =

v

0+

w

2 r +

v

R

v0= 0

w2

r = w2

k

i

j

k

0 0 w20 b a

= w2bi

v

R =

w

1r = w1

j b

j + a

k( ) =w1a

i

; debida al movimiento de arrastre

; debida al movimiento relativo

2w2

v

R = 2

i

j

k

0 0 w2w1a 0 0

= 2w1w2aj

v = (w

1aw

2b)

i La velocidad absoluta del punto P es :

a =

a

0+

w

2

w

2 r +

r +2

w

2 v

R+

a

R

a0= 0

w

2

w

2 r =w

2

k w2b( )

i = bw2

2j

w

2

w

2 r =w

2

k w2b( )

i = bw2

2j

r= 0 ; aceleracin de arrastre

;aceleracin de Coriolis

a

R=

w

1

w

1 r = w1

j w1a

i = aw1

2k ;aceleracin relativa

a = (2w

1w

2a bw2

2 )j a w1

2k

3. Un punto material P se mueve segn una trayectoria plana definida en un sistema ortogonal de coordenadas cartesianas mediante:

x = A [kt - sen(kt)] y = A [1- cos(kt)]

donde A y k son constantes positivas. (a) Obtener las componentes cartesianas de la velocidad de P y el mdulo de dicha velocidad, en

funcin del tiempo t (b) Calcular las componentes cartesianas de la aceleracin de P y el mdulo de dicha aceleracin,

en funcin de t (c) Determinar las componentes normal y tangencial de la aceleracin en funcin de t (d) Calcular la ley horaria, s(t), adoptando s(0) =0 (e) Calcular el radio de curvatura de la trayectoria en el instante t = ( / k) y expresar los vectores

del triedro intrnseco mediante sus componentes cartesianas Solucin:

(a)

(b) (c) La aceleracin tangencial puede obtenerse mediante: (se llega al mismo resultado derivando el mdulo de la velocidad respecto del tiempo) La aceleracin normal puede determinarse ahora a partir de los valores de a y at:

(d) (e) El radio de curvatura puede obtenerse de la aceleracin normal:

dxdt

= Ak (1 coskt )

dydt

= Ak senkt

v = kA 2(1 coskt) = kA 22sen2 kt2

= 2kAsenkt2

d2x

dt2= Ak2senkt

d2y

dt2= Ak2 coskt

a = k2A

at=

a

vv

= k2Acoskt2

an= a2-a

t2 = k2Asen

kt2

dss0

s

= vdt0t

; s(t)-s(0)= 2kAsenkt2dt

0

t

= -4Acos kt2

"

#$

%

&'0

t

=4A 1-coskt2

(

)*

+

,-

El vector normal tiene la misma direccin y sentido que la aceleracin normal: Y en el instante dado: Por tanto: El vector binormal es:

(t ) =v2

an

=4k2A2sen2

kt2

k2Asenkt2

= 4Asenkt2

(k) = 4A

e

n

k( )= - j

e

t=

vv

= kA[(1-coskt)

i+senkt

j]

2kAsenkt2

;e

tk( )=

i

an=

a -

a

t

at=0 ;

an=

a = k2A sen

kt2

!

"#

$

%&i+ cos

kt2

!

"#

$

%&j

'

())

*

+,,=-k2A

j

e

b=

e

t

e

n= -

k

4. Un bloque de masa m = 5 kg se deja caer partiendo del reposo desde el punto ms elevado A de un carril en pendiente a h = 4 m de altura (vase figura). El carril tiene tres tramos, AB, BC y CD, de los cuales nicamente en el tramo BC, de longitud d BC= 5 m, existe rozamiento apreciable. Al final del trayecto (tramo CD) hay un tope unido a un resorte cuya constante elstica es k= 4000 N/m. Cuando el bloque alcanza el tope, el resorte se comprime 25 cm. Suponiendo un choque perfectamente elstico, calclese el coeficiente de rozamiento dinmico del tramo BC Solucin: A lo largo de AB (tomando Ep(B) =0:

En el tramo BC la velocidad va disminuyendo a causa de la fuerza de rozamiento, de manera que vC < vB. El DCL en un punto intermedio del intervalo de ese trayecto puede representarse de la siguiente manera:

Aqu aplicamos el Teorema del trabajo y la energa:

Y sustituyendo el valor de vB, se llega a:

Para calcular vC consideraremos el balance de energa del sistema en el tramo CD:

Como en CD no hay rozamiento, debe cumplirse que:

5

PROBLEMA 4

Un bloque de masa m = 5 kg se deja caer partiendo del reposo desde el punto ms elevado Ade un carril en pendiente a h = 4 m de altura (vase figura). El carril tiene tres tramos, AB, BCy CD, de los cuales nicamente en el tramo BC, de longitud dBC = 5 m, existe rozamiento apreciable. Al final del trayecto (tramo CD) hay un tope unido a un resorte cuya constante elstica es k = 4000 N/m. Cuando el bloque alcanza el tope, el resorte se comprime 25 cm. Suponiendo un choque perfectamente elstico, calclese el coeficiente de rozamiento dinmico del tramo BC.

A

B C D

h BCd km

A lo largo del camino AB la velocidad va creciendo a medida que el bloque desciende, pues su energa cintica aumenta a medida que disminuye su energa potencial.

A

B

h

UEC

Bv

mghmvB 021 2 (Tomando el nivel de B

como referencia para U)

ghvB 2

Trabajo

y

energa

EC= -E

p ;

12

mvB2= - 0-mgh( )

vB= 2gh

EC= W

12m v

C2-v

B2( )=-FRdBC = -DmgdBC

D=1dBC

h-vC2

2g

!

"##

$

%&&

6

PROBLEMA 4 (Continuacin)

B C

BCd

v

gm

RF

En el tramo BC la velocidad va disminuyendo a causa de la fuerza de rozamiento, de manera que vC < vB. Representemos el DSL en un punto intermedio de ese trayecto.

N CR ExdNgmF

Teorema del trabajo y la energa:

22

021

21 270cos90cos180cos BC

BCd

R mvmvdxNmgF xd

ghmmvdxF C

BCd

R 221

21 2

0

2211 CBCR mvmghdFmgNF DDRComo la fuerza de rozamiento dinmica es

gvh

dC

BCD 2

1 2

Es evidente que para determinar el coeficiente de rozamiento, hay que calcular vC.

k

C Dx

Cv

0finalvC D

k

Puesto que en CD no hay rozamiento, la velocidad cuando choca con el tope es vC, y su energa cintica es 22/1 CmvCuando el resorte se comprime una distancia x, esa energa cintica se convierte en energa potencial elstica Uresorte.

resorteCfinal Umvmv 22 21

21

2

210 xk

Trabajo

y

energa

12

mvfinal

212

mvC2= -E

P(Resorte)=- 0 -

12

kx2#

$%

&

'( v

C2=

k x2

m

D=

1d

BC

h-k x 2

2m g

!

"##

$

%&& =

15

4 -4000 0.25 2

2 5 9.8

!

"##

$

%&& = 0.29

5. Una semiesfera y un cono, ambos macizos y homogneos, construidos con el mismo material y del mismo radio, estn soldados por sus bases. Calcular el centro de masas del conjunto Solucin: Centro de masas de un cono de radio R y altura H:

Eje axial Z ; V = (1/3)R2H ; M = V El centro de masas del cono est situado sobre su eje de simetra, a una distancia zC desde la base:

Teniendo en cuenta que: Y la relacin de semejanza entre tringulos:

zC=1M

zdm

dm = dv = r 2dz

rH-z

=RH

r =RH

H-z( )

r 2 =R2

H 2H 2+ z2-2 z H( )

zC=

1M

z R2

H 2H 2+ z2-2 z H( ) dz = R

2

MH 2H 2z+ z3-2 z 2H( )dz =

0

H

= R2

H 2R2H3

#

$%%

&

'((

H 2z2

2+

z4

4

-2 Hz3

3)

*

++

,

-

.

.0

H

=H4

Centro de masas de una semiesfera de radio R :

Eje axial Z ; V = (2/3)R3 ; M = V El centro de masas de la semiesfera est situado sobre su eje de simetra, a una distancia zCe desde la base:

Teniendo en cuenta que: Verificndose la relacin: El centro de masa del cuerpo compuesto estar situado (tomando el punto O como referencia):

zCe=1M

zdm

dm = dv = r 2dz

zCe=

1M

z r 2 dz

r 2 + z2 = R2

zCe=

1M

z R2 z2( )dz = M z R2 z3( )dz

0

R

=

= M

z 2 R2

2z4

4%

&

''

(

)

**0

R

=3R8

Fundamentos Fsicos de la Ingeniera Examen final / 6 de julio de 2000

Departamento de Fsica Aplicada Universidad de Crdoba Revisin: 04/04/2008 - Impresin:04/04/2008

4. Una semiesfera y un cono, ambos macizos y homogneos, construidos con el mismo material y del mismo radio, estn soldados por sus bases. Calcular el valor mximo de la altura del cono que permita el conjunto comportarse como un tentetieso (i.e., que no vuelque) al apoyarlo sobre una superficie horizontal.

Determinamos la posicin del centro de masa del cono: d

d

z Vz

V

Descomponemos el cono el rodajas (discos) perpendiculares al eje de revolucin, de modo que:

2d d r z RV r z r zR H H

2 2 32 2

2 20

1d d d3 3

HR R HV V r z z z RH H

2H 2 2 4

3 22 20

1zd d4 4

HR R HV z zH H

2R H 2 2

2

1d 34

1 4d3

R Hz Vz H

V R H

(medido desde el vrtice)

Procedemos anlogamente con la hemisfera.

2 2 3

sen cos d sen dd d sen ( sen )d senr R z R z RV r z R R R

3 d

03 3 3

/2(como es sabido)

2sen d 3

V R R

04 40

4 3 4

/2/2

send sen cos d4 4

Rz V R R

4

3

d 342 8d3

Rz V

z RV R

El centro de masa del cuerpo compuesto tiene que estar situado por debajo del punto O para que el cuerpo se comporte como un tentetieso (equilibrio estable). En las condiciones crticas ser:

cono cono hemisf hemisfcm cono cono hemisf hemisf

cono hemisf

2 3 2 2

0 0

1 3 2 3 33 4 3 8

3

V z V zz V z VV V

R H H R HR R H R

z

z

R

r

z

z R

z

r

R

H

O

z

zCM=zConoM

Cono+z

semiesferaM

semiesfera

Mcono+M

semiesfera

zCM

=

H4

VCono

+ 38RV

semiesfera

Vcono

+Vsemiesfera

=H2 3R2

4 H + 2R( )

6. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm se apoya sobre un cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kgf. Cunto deben valer, como mnimo, los coeficientes estticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema est en equilibrio?. Solucin: Para que el sistema est en equilibrio tienen que estarlo el cilindro y el tablero por separado. Por tanto debemos analizar las fuerzas que actan sobre cada uno de ellos. (En color azul sobre el tablero y en color rojo sobre el cilindro)

Tablero: Eje x:

Eje y: Y tomando momentos en A:

Cilindro: Eje x: Eje y: Y tomando momentos en C: Si calculamos la distancia AD , dispondremos de 6 ecuaciones con 6 incgnitas (N1, N2, N3, f1, f2 y f3). A partir de la figura puede calcularse como: Resolvemos el sistema y obtendremos las incgnitas y los coeficiente de rozamiento pedidos, que son:

Fundamentos Fsicos de la Ingeniera Primer Examen Parcial / 15 enero 2004

3. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm, se apoya sobre un cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kg. Cunto deben valer, como mnimo, los coeficientes estticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema est en equilibrio?

30 5 cm

25 cm

Determinamos la posicin del punto D de contacto del tablero con el cilindro : 5AD 18.66 cm

tg15 tg15R

Para que el sistema est en equilibrio, debern estarlo el tablero y el cilindro por separado. Aplicamos las ecuaciones cardinales de la esttica al tablero, tomando momentos en A:

3 1

1 3

A 3

1 sen 30

2 cos30

3 AD c2

N f

N NLN P

3

3

cos30

sen 30

os30

f

f P

15

25 cm

5 cm 15

P

f2

f3

f1

N1

N3

N2

P

N3

f3

AB

DE

C y al cilindro (momentos en C):

2 3

2 3

C 3 2

4 cos30

5 c

6

f f

N P N

f R f R

3

3

sen 30

os30 sen 30

N

f

de modo que disponemos de 6 ecuaciones con 6 incgnitas (N1, N2, N3, f1, f2 y f3) que resolvemos para obtener:

3

3 2

2 3 2 3 3

2 3 3

1 3 3

cos30 5 25cos303 2.90 kg2 18.662AD

6sen 30 sen 304 1 cos30 sen 30 2.90 0.78 kg

1 cos30 1 cos305 cos30 sen 30 5 2.90cos30 0.78sen 30 7.90 kg

2 cos30 sen 30 5 2.90

PLN

f f

f N f f N

N P N f

N P N f

1 3 2 3 3cos30 0.78sen 30 2.10 kg

1 sen 30 1 cos30 cos30 0.78 kgf N f f f

1 2 3 1 2 30.78 kg 2.10 kg 7.90 kg 2.90 kgf f f N N N y los coeficientes de rozamiento pedidos sern:

31 21 2 3

1 2 3

0.78 0.78 0.780.37 0.10 0.272.10 7.90 2.90

ff fN N N

Aplicando las ec. cardinales de la esttica al sistema completo (tablero+cilindro), tomando momentos en A:

2 1

1 2 1 2

A 2 2

i

ii 2 2 10 7.90 2.10 kg

/ 2 12.5iii AB AB cos30 1 cos30 1 cos30 5 7.90 kg2 18.66AB

f f

N N P N P N

L LN P P N P

que junto con el sistema de ecuaciones (1)-(2)-(3) o el (4)-(5)-(6) nos conduce a los mismo resultados que antes.

Departamento de Fsica Aplicada ETSIAM Universidad de Crdoba Revisin: 13/12/04 Impresin: 23/06/2005

Fsica Universitaria: Problemas de Fsica Esttica del slido rgido. M20.25

25. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm, se apoya sobre un cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kg. Cunto deben valer, como mnimo, los coeficientes estticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema permanezca en equilibrio?

Determinamos la posicin del punto D de contacto del tablero con el cilindro: 5AD 18.66 cm

tg15 tg15R! ! !


" #" #

" #

3 1 3

1 3 3

A 3

1 sen 30 cos302 cos30 sen 30

3 AD cos302

N f fN N f P

LN P

$ ! %

& % % !

!!

y al cilindro (momentos en C): " #" #" #

2 3 3

2 3 3

C 3 2

4 cos30 sen 305 cos30 sen 306

f f NN P N ff R f R

$ % !

& ! % %

!!


" #

" #

" # " #

" # " #" # " #

3

3 2

2 3 2 3 3

2 3 3

1 3 3

cos30 5 25cos303 2.90 kg2 18.662AD

6sen 30 sen 304 1 cos30 sen 30 2.90 0.78 kg

1 cos30 1 cos305 cos30 sen 30 5 2.90cos30 0.78sen 30 7.90 kg2 cos30 sen 30 5 2.90

PLN

f f

f N f f N

N P N fN P N f

'! ! !'

!

% ! $ ! ! ! ' !% %

! % % ! % % !

! ( % ! (" #" # " #1 3 2 3 3

cos30 0.78sen 30 2.10 kg1 sen 30 1 cos30 cos30 0.78 kgf N f f f

% !

! ! % ( ! !

1 2 3 1 2 30.78 kg 2.10 kg 7.90 kg 2.90 kgf f f N N N) ! ! ! ! ! ! y los coeficientes de rozamiento pedidos sern:

31 21 2 3

1 2 3

0.78 0.78 0.780.37 0.10 0.272.10 7.90 2.90

ff fN N N

! ! !* ! ! * ! ! * ! !

(sigue)

30 5 cm

25 cm

15

25 cm

5 cm 15

P

f2

f3

f1

N1

N3

N2

P

N3

f3

AB

DE

C

- 162 -

x

y

+ N

3sen30 = f

1+ f

3cos30 (1)

N1+N

3cos30 + f

3sen30 = P

(2)

N3AD = P

L2

cos30

f2+ f

3cos30 = N

3sen30

(4)

(3)

N2= P +N

3cos30 + f

3sen30 (5)

f3R= f

2R (6)

AD = R

tg 15= 18.66 cm

Fsica Universitaria: Problemas de Fsica Esttica del slido rgido. M20.25

25. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm, se apoya sobre un cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kg. Cunto deben valer, como mnimo, los coeficientes estticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema permanezca en equilibrio?

Determinamos la posicin del punto D de contacto del tablero con el cilindro: 5AD 18.66 cm

tg15 tg15R! ! !


" #" #

" #

3 1 3

1 3 3

A 3

1 sen 30 cos302 cos30 sen 30

3 AD cos302

N f fN N f P

LN P

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y al cilindro (momentos en C): " #" #" #

2 3 3

2 3 3

C 3 2

4 cos30 sen 305 cos30 sen 306

f f NN P N ff R f R

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" #

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" # " #

" # " #" # " #

3

3 2

2 3 2 3 3

2 3 3

1 3 3

cos30 5 25cos303 2.90 kg2 18.662AD

6sen 30 sen 304 1 cos30 sen 30 2.90 0.78 kg

1 cos30 1 cos305 cos30 sen 30 5 2.90cos30 0.78sen 30 7.90 kg2 cos30 sen 30 5 2.90

PLN

f f

f N f f N

N P N fN P N f

'! ! !'

!

% ! $ ! ! ! ' !% %

! % % ! % % !

! ( % ! (" #" # " #1 3 2 3 3

cos30 0.78sen 30 2.10 kg1 sen 30 1 cos30 cos30 0.78 kgf N f f f

% !

! ! % ( ! !

1 2 3 1 2 30.78 kg 2.10 kg 7.90 kg 2.90 kgf f f N N N) ! ! ! ! ! ! y los coeficientes de rozamiento pedidos sern:

31 21 2 3

1 2 3

0.78 0.78 0.780.37 0.10 0.272.10 7.90 2.90

ff fN N N

! ! !* ! ! * ! ! * ! !

(sigue)

30 5 cm

25 cm

15

25 cm

5 cm 15

P

f2

f3

f1

N1

N3

N2

P

N3

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EXAMEN FINAL FISICA

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