Evalúe las siguientes integrales: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 Solución- : 1 () 9 1 1 ( ), 3 3 9 1 , 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 J 3 uan Beltrán , 1 6 1 9 9 2 dx x dx x x x x A B C D x x x x x x Ax Bx x Cx Dx x Ax x Bx x 1. 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 6 9 9 3, 1 6 9 3 9 27 6 9 3 9 27 , 1 3 3 6 9 6 9 9 27 9 27 () Como ( ) es una 3 2 iden Cx x Dx x Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx C Dx Dx Dx D B Dx A B C Dx A B C Dx A B C D tidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben ser iguales a los correspondientes del miembro derecho; de tal manera que: 0 3 3 0 6 9 6 9 0 9 27 B D A B C D A B C D A () 9 27 1 La solución del sistema de 4 4 ( ), es: 1 1 1 1 , , , () 36 108 36 108 Sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene la forma de fracciones parci 4 3 5 5 2 ales del integrando en ( ) 1 ; B C D A B C D 2 2 2 2 2 2 de tal manera que: 1 1 1 1 108 3 108 3 36 3 36 3 1 1 1 1 1 1 1 1 , 36 108 3 36 108 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ln 3 ln 3 , 36 3 108 36 3 108 9 dx x x x x dx dx dx dx x x x x dx x x C x x x 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ln ; 36 3 3 108 3 9 1 1 3 ln 108 3 18( 9) . 9 x x x dx C x x x x dx C x x x
21
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Evalúe las siguientes integrales - Soluciones de Ingenio...Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales: 1 ... se resuelve por sustitución trigonométrica,
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Evalúe las siguientes integrales:
22
22
2 2 22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 9
Solución- :
1 ( )9
1 1 ( ),3 39
1 ,3 33 3 3 3
1 3 3 3 3 3
J
3
uan Beltrán
,
1 6
1
9 9
2
dxx
dxx
x xx
A B C Dx xx x x x
A x B x x C x D x x
A x x B x x
1.
2 2
2 3 2 2 3
2
3 2
3 6 9 9 3 ,
1 6 9 3 9 27 6 9
3 9 27 ,
1 3 3 6 9 6 9
9 27 9 27 ( )
Como ( ) es una
3
2 iden
C x x D x x
Ax Ax A Bx Bx Bx B Cx Cx C Dx
Dx Dx D
B D x A B C D x A B C D x
A B C D
tidad, los coeficientes del miembro izquierdo deben
ser iguales a los correspondientes del miembro derecho; de tal manera que:
0
3 3 0
6 9 6 9 0
9 27
B D
A B C D
A B C D
A
( )
9 27 1
La solución del sistema de 4 4 ( ), es:
1 1 1 1 , , , ( )36 108 36 108
Sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene la forma de fracciones parci
4
3
5
5 2 ales del integrando en ( )1 ;
B C D
A B C D
2 2
2 2
22
de tal manera que:
1 1 1 1 108 3 108 336 3 36 3
1 1 1 1 1 1 1 1 ,36 108 3 36 108 33 3
1 1 1 1 1 1 1 ln 3 ln 3 ,36 3 108 36 3 1089
dxx xx x
dx dx dx dxx xx x
dx x x Cx xx
22
2 22
1 1 1 1 1 3 ln ;36 3 3 108 39
1 1 3ln108 3 18( 9)
.9
x x
xdx Cx x xx
dx Cx xx
4
4
4
4
1
Solución- :
( )1
Dividimos el integrando en ( ), para hallar la parte entera y la fracciónpropia, luego expresamos dicha fracci
Jua
ón como una suma de
n Beltrán
frac
1
1cion
x dxx
x dxx
2.
4
4 4
4 2 2 2
22
2 2 2
3 2
esparciales:
1 1 ( )1 1
1 1 1 ,1 1 1 1 1 1
1
2
3 ( ),1 1 11 1 1
1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( )( 1),
1
xx x
x x x x x x
A B Cx Dx x xx x x
A x x B x x Cx D x
Ax Ax Ax A B
3 2 3 2
3 2
,
1 ( ) ( ),
Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivamente iguales; de tal man
4
4era que:
0
x Bx Bx B Cx Dx Cx D
A B C x A B D x A B C x A B D
A B C
0
( ) 0
1
La solución del sistema ( ) es:
1 1 1 , , 0, 4 4 2
Sustituyendo los valores anteriores
5
5
3 2en ( ), luego en ( ), la integral 1(
A B D
A B C
A B D
A B C D
41
4
4
4 2
4
4 2
41
4
)queda:
1 1 1 1 ,1 4 1 4 1 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1ln t
,4 1 4 1 21 1
1 1 1 ln 1 ln 1 tan ;4 4
an4 1
21
21
x dx dxx x x x
x dx dx dx dx dxx
x xdx x x
xx xx dx x x
x
x Cx
x
x
.C
4 2
22 2
4 2
22 2
4 2
2 2 22 2 2
1 1 4
Solución- :
1 ( )1 4
Expresemos el integrando en ( ) como una suma de fracciones parciales:
1
Juan Belt
11 4
1
1
r n
4
á
t t dtt t
t t dtt t
t t At B Ct D Ettt t t
3.
2
24 2 2 2 2 2
4 2 4 2 2 4 2
4 2 5 4 3 2 3 2
5
( ),4
1 4 1 1 4 ,
1 8 16 1 5 4 ,
1 8 8 16 16
2
Ft
t t At B t Ct D t Et F t t
t t At B t t Ct D t Et F t t
t t At Bt At Bt At B Ct Dt Ct D
Et Ft
4 3 2
4 2 5 4 3 2
5 5 4 4 ,
1 8 5 8 5
16 4 16 4 ( ),3
Como ( ) es una identidad, los coeficientes de ambos miembros son respectivame t
3n e
Et Ft Et F
t t A E t B F t A C E t B D F t
A C E t B D F
iguales; de tal manera que:
0
1
8 5 0 ( )
8 5 1
16 4 0
16 4 1
La solución del sistema ( ) es:
0,
4
4
A E
B F
A C E
B D F
A C E
B D F
A B
4 2
2 22 22 2 2
4 2
2 22 2
1 13 8, 0, , 0, 9 3 9
Sustituyendo los valores anteriores en ( ), la integral ( )queda:
1 1 13 8 ,9 1 9 41 4 3 4
1 1 1 13 1 9
2 1
311 4
C D E f
t t dt dtt tt t t
t t dt dttt t t
2 22
4 21 1
12 22 2 2
4 21 1
12 22 2 2
2
2
8 1 ,9 44
1 1 13 1 8 1 tan tan ,9 3 9 21 4 4
1 1 13 1 4 tan tan ( )9 3 91 4 4
5
t
t
dt dtt
t t dt t dt Ct t t
t t dt t dt Ct t t
2 22 2
2
2
La integral en ( ) se resuelve por sustitución trigonométrica, veamos:
1 ( )4 4
Sea
2 tan , 2sec ( )
Sustitiuyendo ( ) en ( ), s
5
6
7
7 e obtiene:
1
6
dtdtt t
t dt d
t
2 2 2
2 2 2 22 2 2
22 2 22 2
2sec 2sec 1 sec ,84 4 tan 4 16 tan 1 sec
1 1 1 1 cos ( )8 8sec4 4
La integral en ( ) se resuelve por el método de integración por partes:
8
8
d d ddt
ddt dt dt t
2
2 2 2
2 2
cos cos cos
Sea
cos , sen
cos , sen
De tal manera que:
cos sen cos sen sen cos (1 cos ) ,
cos sen cos cos ,
d d
u du d
dv d v
d d d
d d d
2
2
22
22
2 cos sen cos ;
1 1cos sen cos ( )2 2
sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 1 1 sen cos ,8 2 2
9
9
4
1 1 1 sen cos ( )16 164
De
8
10
7 ( ), se tiene
d c
d C
dt Ct
dt Ct
1
que:
2 tan tan tan ( / 2) ( )2
2 tan tan : con este dato se construye el triángulo2
rectángulo que aparece en la
11
:Fig.1
tt t
tt
2 2
12 2 22
22
2
Del triángulo rectángulo de , se deduce que:
2 sen , cos ( )4 4
sustituyendo ( ) y ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 2 1 tan ,16 164 44
1
12
1
1 12
F g
1
.
4
1
0
i
t
t
t t
tdt Ct tt
dtt
12
4 21 1 1
2 22 2
4 21
2 22 2
2 2
1 1 tan ( / 2) ( )8 164
Por último, sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 13 1 1 4tan tan tan ;9 3 8 16 941 4
1 1 13 13 tan9 24 41 4
13
13 5
t t
t t Ct
t t tdt t Ctt t
t t tdt ttt t
4 2
1 12 2
1
2
1
2
2 2
21 1 13 25tan tan
9 24 14441 4
4tan tan ;48 9
.
t t
tt t tdt t Ctt t
C
6
Solución- :
6 6
Juan
1 ;6 6 6
6 ln 6 .
Beltr n
6
á
x dxx
x d
x d
x dx dx dxx x x
x x x Cx
4.
9 5 2
Solución- :
9 ( )5 2
Expresemos el integrando como una sum de fracciones parciales:
9 ( ),5 25 2
9 5 2
Juan Beltrán
55
1
2
2
52
x dxx x
x dxx x
x A Bx xx x
x Ax x x xxx x
5.
,2
9 ( 2) ( 5) 9 2 5 ,
9 2 5 ( )
como ( ) es una identidad, los coeficientes del miembro izquierdo son igualesa los correspondientes del miembro der
3e
3
Bx
x A x B x x Ax A Bx B
x A B x A B
cho; de tal modo que:
1 ( ) ( )
2 5 9 (
i4
ii)
A B
A B
Para resolver el sistema ( ), multiplicamos la ecuación ( ) por 2 y, laecuación resultante, la sumamos con la ( ):
2 2 2 2 5 9
7 7 1 (
4 iii
5),
1 1
A BA B
B B
A
( ) en ( ) ;
2 ( )
Sustituyendo ( ) y ( ) en ( ) la integral ( ) queda:
9 2 1 1 1
9 2 ln 5 ln 25 2
4 ii
2 ;5 2 5 25 2
6
5 6 2 1
.
A
x dx dx dx
x dx x x Cx
dxx x x xx x
x
3
22
3 3
22 2
1 1
Solución- :
1 1 ( )1 1 1
1 ( ),1 11 1
1 1 1 ,1 1
1 ( 1) ( 1) 1 ,
Juan Beltrán
1 ( )
1
(
2
dxx
dx dxx x x
A Bx xx x
A Bx xx x
A x B x Ax A Bx B
A B x A B
6.
) ( );
0 ( ) ( )1
1 2 1 ( )2
sustituyendo ( ) en ( ), se obtiene:
1 1 0 ( )2 2
Susitiuyendo ( ) y ( ) en ( ), la in
3
iii
4
4 i
5
4 5 2 tegral definida ( ) queda:
1
A BA B
A A
B B
3 3 3
22 2 2
33
222
1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 1 1 1
Aplicamos el Teorema fundamental del cálculo para obtener: