E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Noviembre 2006, Versión 1.1 1 EDO’s separables Ejercicio 1 Resuelve las siguientes EDO’s separables 1. dy dx = sin 5x 2. dx + e 3x dy =0 3. (x + 1) dy dx = x +6 4. xy 0 =4y 5. dy dx = y 3 x 2 6. dx dy = x 2 y 2 1+ x 7. dy dx = e 3x+2y 8. ¡ 4y + yx 2 ¢ dy − ¡ 2x + xy 2 ¢ dx =0 9. 2y (x + 1) dy = x dx 10. y ln x dx dy = μ y +1 x ¶ 2 (1.1) dy dx = sin 5x dy = sin 5x dx Z dy = Z sin 5x dx y = − 1 5 cos 5x + c. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios resueltos Tema 7
Ecuaciones diferenciales de primer ordenFrancisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07Noviembre 2006, Versión 1.1
1 EDO’s separablesEjercicio 1 Resuelve las siguientes EDO’s separables
1.dy
dx= sin 5x
2. dx+ e3x dy = 0
3. (x+ 1)dy
dx= x+ 6
4. xy0 = 4y
5.dy
dx=y3
x2
6.dx
dy=x2y2
1 + x
7.dy
dx= e3x+2y
8.¡4y + yx2
¢dy −
¡2x+ xy2
¢dx = 0
9. 2y (x+ 1) dy = x dx
10. y lnxdx
dy=
µy + 1
x
¶2
(1.1)dy
dx= sin 5x
dy = sin 5xdxZdy =
Zsin 5x dx
y = −15cos 5x+ c.
1
Ejercicios: EDO’s de primer orden 2
(1.2)dx+ e3x dy = 0
e3x dy = −dx
dy =−1e3x
dx
= −e−3x dxZdy =
Z−e−3x dxZ
dy =1
3
Ze−3x (−3) dx
y =1
3e−3x + c.
(1.3)
(x+ 1)dy
dx= x+ 6
dy =x+ 6
x+ 1dxZ
dy =
Zx+ 6
x+ 1dx
Zx+ 6
x+ 1dx =
Zx+ 1 + 5
x+ 1dx =
Z µ1 +
5
x+ 1
¶dx
= x+ 5 ln |x+ 1|+ c
y = x+ 5 ln |x+ 1|+ c.(1.4)
xy0 = 4y
xdy
dx= 4y
1
ydy = 4
1
xdxZ
1
ydy = 4
Z1
xdx
ln |y| = 4 ln |x|+ c1ln |y| = lnx4 + c1
|y| = elnx4+c1 = x4 · ec1 (c2 = e
c1)
= c2x4
y = ±c2x4
y = cx4, (c = ±c2).
Ejercicios: EDO’s de primer orden 3
(1.5)dy
dx=y3
x2
1
y3dy =
dx
x2Zy−3 dy =
Zx−2 dx
1
−2y−2 = −x−1 + c1
−12y2
=−1x+ c1
1
y2=2
x+ c, c = −2c1.
Solución implícita1
y2=2 + xc
x.
Solución explícita
y = ±r
x
2 + cx.
(1.6)dx
dy=x2y2
1 + x
y2 dy =
µ1 + x
x2
¶dxZ
y2 dy =
Z µ1
x2+1
x
¶dx
1
3y3 = − 1
x+ ln |x|+ c1.
Solución implícita
y3 = 3 ln |x|− 3x+ c, (c = 3c1) .
Solución explícita
y =3
r3 ln |x|− 3
x+ c.
(1.7)dy
dx= e3x+2y
dy
dx= e3x · e2y
dy
e2y= e3x dxZ
e−2y dy =
Ze3x dx
Ejercicios: EDO’s de primer orden 4
−12
Ze−2y (−2) dy = 1
3
Ze3x3 dx
−12e−2y =
1
3e3x + c1.
−3e−2y = 2e3x + c, (c = 6c1) .
(1.8) ¡4y + yx2
¢dy −
¡2x+ xy2
¢dx = 0¡
4y + yx2¢dy =
¡2x+ xy2
¢dx
dy
dx=x¡2 + y2
¢y (4 + x2)
y
2 + y2dy =
x
4 + x2dxZ
y
2 + y2dy =
Zx
4 + x2dx
1
2
Z2y
2 + y2dy =
1
2
Z2x
4 + x2dx
1
2ln¡2 + y2
¢=1
2ln¡4 + x2
¢+ c1.
Solución implícita
ln¡2 + y2
¢= ln
¡4 + x2
¢+ c2, (c2 = 2c1) .
Calculamos la solución explícita
ln¡2 + y2
¢− ln
¡4 + x2
¢= c2
ln
µ2 + y2
4 + x2
¶= c2
2 + y2
4 + x2= ec2 = c
2 + y2
4 + x2= c
2 + y2 = c¡4 + x2
¢y2 = c
¡4 + x2
¢− 2
soluciones explícitasy = ±
pc (4 + x2)− 2.
(1.9)2y(x+ 1) dy = xdx
2y dy =x
x+ 1dxZ
2y dy =
Zx
x+ 1dx
Ejercicios: EDO’s de primer orden 5
Zx
x+ 1dx =
Zx+ 1− 1x+ 1
dx =
Z µ1− 1
x+ 1
¶dx
= x− ln |x+ 1|+ c
y2 = x− ln |x+ 1|+ c.(1.10)
y lnxdx
dy=
µy + 1
x
¶2y lnxdx =
(y + 1)2
x2dy
(y + 1)2
ydy = x2 lnx dxZ
(y + 1)2
ydy =
Zx2 lnx dx
Z(y + 1)2
ydy =
Zy2 + 2y + 1
ydy =
Z µy + 2 +
1
y
¶dy
=y2
2+ 2y + ln |y|Z
x2 lnxdx = integral por partes
Tomamosu = lnx du = 1
x dx
dv = x2 dx v = 13x
3
)Zx2 lnx dx =
1
3x3 lnx−
Z1
3x31
xdx
=1
3x3 lnx− 1
3
Zx2 dx
=1
3x3 ln |x|− 1
9x3 + c
y2
2+ 2y + ln |y| = 1
3x3 ln |x|− 1
9x3 + c.
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes EDO’s separables
1.ds
dr= ks, k constante.
2.dP
dt= P − P 2
3. sec2 x dy + csc y dx = 0
4. ey sin 2x dx+ cosx¡e2y − 1
¢dy = 0
5. (ey + 1)2 e−ydx+ (ex + 1)3 e−x dy = 0
Ejercicios: EDO’s de primer orden 6
6.¡y − yx2
¢ dydx= (y + 1)2
7.dy
dx= sinx
¡cos 2y − cos2 y
¢8. x
p1− y2 dx = dy
9. (ex + e−x)dy
dx= y2
(2.1)ds
dr= ks
1
sds = k drZ
1
sds = k
Zdr
ln |s| = kr + c1
|s| = ekr+c1
|s| = ekrec1
= c2ekr, (c2 = e
c1)
s = ±c2ekr
s = cekr, (c = ±c2) .(2.2)
dp
dt= p− p2
1
p− p2 dp = dtZ1
p− p2 dp =ZdtZ
1
p− p2 dp = integral racional.
Descomposición en fracciones simples
1
p− p2 =1
p(1− p) =A
p+
B
1− p =A(1− p) +B(p)
p(1− p)
igualamos numeradores1 = A(1− p) +Bp
determinamos los coeficientes:si p = 0
1 = A+B · 0 ⇒ A = 1,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 7
si p = 11 = A · 0 +B · 1 ⇒ B = 1,
descomposición1
p(1− p) =1
p+
1
1− p.
Z1
p(1− p) dp =
Z µ1
p+
1
1− p
¶dp = ln |p|− ln |1− p|
= ln
¯p
1− p
¯.
Solución implícita
ln
¯p
1− p
¯= t+ c1.
Calculamos la solución explícita¯p
1− p
¯= et+c1 = et · ec1
¯p
1− p
¯= c2e
t, (c2 = ec1)
p
1− p = ±c2et
p
1− p = cet, (c = ±c2)
p = cet(1− p)= cet − cetp
p+ cetp = cet
p¡1 + cet
¢= cet.
Solución explícita
p =cet
1 + cet.
(2.3)sec2 x dy + csc y dx = 0
sec2 xdy = − csc y dx1
csc ydy =
−1sec2 x
dx
1µ1
sin y
¶ dy = −1µ1
cos2 x
¶ dxsin y dy = − cos2 x dx
−Zsin y dy = +
Zcos2 xdx
Ejercicios: EDO’s de primer orden 8
Zcos2 x dx =
Z1 + cos 2x
2dx =
x
2+1
4sin 2x+ c
cos y =x
2+1
4sin 2x+ c.
(2.4)ey sin 2x dx+ cosx
¡e2y − 1
¢dy = 0
cosx¡e2y − 1
¢dy = −ey sin 2x dx
e2y − 1ey
dy = −sin 2xcosx
dxµey − 1
ey
¶dy = −2sinx cosx
cosxdx¡
ey − e−y¢dy = −2 sinx dxZ ¡
ey − e−y¢dy = 2
Z(− sinx) dx.
Solución implícitaey + e−y = 2cosx+ c1.
Si usamos el coseno hiperbólico
cosh y =ey + e−y
2,
podemos obtener una solución explícita
ey + e−y
2= cosx+
c12
cosh y = cosx+ c
µc =
1
2c1
¶y = arc cosh (cosx+ c) .
(2.5)(ey + 1)
2e−y dx+ (ex + 1)3 e−x dy = 0
(ex + 1)3
exdy = −(e
y + 1)2
eydx
ey
(ey + 1)2dy = − ex
(ex + 1)3dxZ
ey
(ey + 1)2 dy = cambio de variable
tomamost = ey + 1dt = ey dyZ
ey
(ey + 1)2 dy =
Zdt
t2= −1
t= − 1
ey + 1,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 9
de forma similar, para la integralZex
(ex + 1)3 dx
tomamos el cambiot = ex + 1dt = ex dx
Zex
(ex + 1)3dx =
Zdt
t3= −1
2t−2 = − 1
2t2
=−1
2 (ex + 1)2 .
Solución de la EDO−1
(ey + 1)=
1
2 (ex + 1)2+ c.
(2.6) ¡y − yx2
¢ dydx= (y + 1)2
y¡1− x2
¢ dydx= (y + 1)
2
y
(y + 1)2 dy =
1
1− x2 dx
Para la integral Zy
(y + 1)2 dy
podemos tomar el cambio ⎧⎨⎩ t = y + 1dt = dyy = t− 1
Zy
(y + 1)2dy =
Zt− 1t2
dt =
Z µ1
t− 1
t2
¶dt
= ln |t|+ 1t= ln |y + 1|+ 1
y + 1.
También se puede resolver descomponiendo en fracciones simples
y
(y + 1)2 =
A
y + 1+
B
(y + 1)2 =
A(y + 1) +B
(y + 1)2,
igualamos numeradoresy = A(y + 1) +B
y determinamos los coeficientes. Si y = −1
−1 = A · 0 +B ⇒ B = −1,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 10
si y = 00 = A+B ⇒ A = 1.
Descomposicióny
(y + 1)2=
1
y + 1− 1
(y + 1)2Zy
(y + 1)2dy =
Z ∙1
y + 1− 1
(y + 1)2
¸dy = ln |y + 1|+ 1
y + 1.Z
1
1− x2 dx = integral racional; descomponemos en fracciones simples.
1− x2 = (1− x)(1 + x)1
1− x2 =A
1− x +B
1 + x=A(1 + x) +B(1− x)
1− x2igualamos numeradores
1 = A(1 + x) +B(1− x),
identificamos los coeficientes.Si x = 1,
1 = 2A ⇒ A = 1/2,
Si x = −1,1 = 2B ⇒ B = 1/2.
Obtenemos1
1− x2 =1/2
1− x +1/2
1 + xZ1
1− x2 dx =
Z1/2
1− x dx+Z
1/2
1 + xdx = −1
2ln |1− x|+ 1
2ln |1 + x|
=1
2ln
¯1 + x
1− x
¯.
Solución
ln |y + 1|+ 1
y + 1=1
2ln
¯1 + x
1− x
¯+ c1
ln (y + 1)2+
2
y + 1= ln
¯1 + x
1− x
¯+ c, (c = 2c1) .
(2.7)dy
dx= sinx
¡cos 2y − cos2 y
¢1
cos 2y − cos2 y dy = sinxdxZ1
cos 2y − cos2 y dy =Zsinx dx
En la primera integral, simplificamos la expresión usando la fórmula del cosenodel ángulo doble
cos 2y = cos2 y − sin2 y
Ejercicios: EDO’s de primer orden 11
cos 2y − cos2 y = cos2 y − sin2 y − cos2 y = − sin2 yZ1
cos 2y − cos2 y dy =Z
1
− sin2 ydy = cot y =
cos y
sin y.
Solucióncos y
sin y= − cosx+ c.
(2.8)xp1− y2 dx = dy
x dx =1p1− y2
dyZxdx =
Z1p1− y2
dy
1
2x2 = arcsin y + c1.
Solución explícita
arcsin y =1
2x2 + c (c = −c1)
y = sin
µ1
2x2 + c
¶.
(2.9) ¡ex + e−x
¢ dydx= y2
1
y2dy =
1
ex + e−xdxZ
1
y2dy =
Z1
ex + e−xdxZ
1
y2dy = −1
yZ1
ex + e−xdx =
Zex
e2x + 1dx = arctan (ex) .
Solución−1y= arctan (ex) + c.
Solución explícita
y =−1
arctan (ex) + c. ¤
Ejercicio 3 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial ½
(e−y + 1) sinxdx = (1 + cosx) dyy(0) = 0
Ejercicios: EDO’s de primer orden 12
sinx
1 + cosxdx =
1
e−y + 1dyZ
sinx
1 + cosxdx =
Z1
e−y + 1dyZ
sinx
1 + cosxdx = −
Z − sinx1 + cosx
dx = − ln (1 + cosx)Z1
e−y + 1dy =
Z1
1ey + 1
dy =
Zey
1 + eydy = ln (1 + ey)
Familia de soluciones
− ln (1 + cosx) = ln (1 + ey) + c.
Imponemos la condición inicial y(0) = 0
− ln (1 + cos 0) = ln¡1 + e0
¢+ c
c = −2 ln 2 = − ln 4.Solución particular
− ln (1 + cosx) = ln (1 + ey)− ln 4.
Reescribimos la solución
ln (1 + ey) + ln (1 + cosx) = ln 4
(1 + ey) (1 + cosx) = 4.
Solución explícita
1 + ey =4
1 + cosx
ey =4
1 + cosx− 1
y = ln
µ4
1 + cosx− 1¶
¤
Ejercicio 4 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial (
y dy = 4x¡y2 + 1
¢1/2dx
y(0) = 1
y
(y2 + 1)1/2dy = 4xdx
Zy
(y2 + 1)1/2dy =
Z4x dx
Ejercicios: EDO’s de primer orden 13
Zy
(y2 + 1)1/2dy =
1
2
Z ¡y2 + 1
¢−1/22y dy =
1
2
1¡12
¢ ¡y2 + 1¢1/2=
¡y2 + 1
¢1/2.
Familia de soluciones ¡y2 + 1
¢1/2= 2x2 + c.
Imponemos la condición inicial
y(0) = 1,
√2 = 0 + c ⇒ c =
√2,
solución particular ¡y2 + 1
¢1/2= 2x2 +
√2.
Soluciones explícitas
y2 + 1 =³2x2 +
√2´2
y = ±r³
2x2 +√2´2− 1,
teniendo en cuenta la condición inicial, y(0) = 1, debemos tomar la rama posi-tiva
y =
r³2x2 +
√2´2− 1 ¤
Ejercicio 5 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial½x2y0 = y − xyy(−1) = −1
x2dy
dx= y − xy
1
ydy =
1− xx2
dxZ1
ydy =
Z1− xx2
dxZ1− xx2
dx =
Z µ1
x2− 1x
¶dx = − 1
x− ln |x| .
Familia de solucionesln |y| = − 1
x− ln |x|+ c.
imponemos la condición inicial y(−1) = −1
ln 1 = 1− ln 1 + c ⇒ c = −1.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 14
Soluciones implícitas
ln |y| = − 1x− ln |x|− 1.
Determinamos la solución explícita
ln |y|+ ln |x| = − 1x− 1
ln |yx| = −µ1 +
1
x
¶|xy| = e−(1+ 1
x)
y = ± 1xe−(1+
1x).
Teniendo en cuenta la condición inicial y(−1) = −1, debemos tomar la rama
y =1
xe−(1+
1x) ¤
Ejercicio 6 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial ⎧⎨⎩
dy
dx=2x+ 1
2yy(−2) = −1
2y dy = (2x+ 1) dxZ2y dy =
Z(2x+ 1) dx.
Familia de solucionesy2 = x2 + x+ c,
imponemos la condición inicial y(−2) = −1
(−1)2 = (−2)2 − 2 + c1 = 4− 2 + cc = −1.
Solución implícitay2 = x2 + x− 1,
soluciones explícitasy = ±
px2 + x− 1.
Teniendo en cuenta la condición inicial y(−2) = −1, debemos tomar la rama
y = −px2 + x− 1 ¤
Ejercicios: EDO’s de primer orden 15
2 EDO’s homogéneasEjercicio 7 Resuelve las siguientes EDO’s homogéneas
1. (x− y) dx+ xdy = 0
2. xdx+ (y − 2x) dy
3.¡y2 + yx
¢dx− x2dy = 0
4.dy
dx=y − xy + x
5. −y dx+¡x+√xy¢dy = 0
(7.1)(x− y) dx+ x dy = 0
Forma normaldy
dx=y − xx
,
cambioy = ux, y0 = u0x+ u,
u0x+ u =ux− xx
=x (u− 1)
x= u− 1
u0x+ u = u− 1u0x = −1 (separable).
Determinamos u(x)du
dx=−1x
du =−1xdxZ
du =
Z −1xdx
u = − ln |x|+ c.Deshacemos el cambio
y
x= − ln |x|+ c,
resulta la solución explícita
y = −x ln |x|+ c x.
(7.2)x dx+ (y − 2x) dy = 0
Forma normaldy
dx=−xy − 2x =
x
2x− y ,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 16
realizamos el cambioy = ux, y0 = u0x+ u
y resulta
u0x+ u =x
2x− ux =1
2− u
u0x+ u =1
2− u
u0x =1
2− u − u
=1− 2u+ u22− u (separable).
Determinamos u(x),
xdu
dx=1− 2u+ u22− u
2− u1− 2u+ u2 du =
1
xdxZ
2− u1− 2u+ u2 du =
Z1
xdx
La integral Z2− u
1− 2u+ u2 du
es racional. Para resolverla, descomponemos en fracciones simples
2− u1− 2u+ u2 =
2− u(u− 1)2
=A
u− 1 +B
(u− 1)2=A (u− 1) +B(u− 1)2
,
igualando numeradores, resulta
2− u = A (u− 1) +B.
Determinamos los coeficientes, si u = 1,
2− 1 = B ⇒ B = 1,
si u = 0,2 = −A+B ⇒ A = −2 + 1 = −1.
Hemos obtenido la descomposición
2− u(u− 1)2
=−1u− 1 +
1
(u− 1)2,
que nos permite resolver la integralZ2− u(u− 1)2
du =
Z −1u− 1 du+
Z1
(u− 1)2du
= − ln |u− 1|− 1
u− 1 .
Ejercicios: EDO’s de primer orden 17
Solución de la EDO
− ln |u− 1|− 1
u− 1 = ln |x|+ c.
Deshacemos el cambio u = y/x
− ln¯yx− 1¯− 1
yx − 1
= ln |x|+ c.
Si operamos, podemos mejorar el aspecto de la solución
ln |x|+ ln¯yx− 1¯+
x
y − x + c = 0
ln |y − x|+ x
y − x + c = 0.
(7.3) ¡y2 + yx
¢dx− x2 dy = 0
Expresamos la ecuación en forma normal
dy
dx=y2 + yx
x2
y realizamos el cambio habitual
y = ux, y0 = u0x+ u
resulta
u0x+ u =u2x2 + ux2
x2= u2 + u
u0x = u2.
Hemos obtenido la EDO separable
xdu
dx= u2
la resolvemos para determinar u(x).
1
u2du =
1
xdxZ
1
u2du =
Z1
xdx
− 1u= ln |x|+ c.
Deshacemos el cambio−xy= ln |x|+ c
y obtenemos la solución explícita
y =−x
ln |x|+ c .
Ejercicios: EDO’s de primer orden 18
(7.4) La EDO ya está en forma normal
dy
dx=y − xy + x
efectuamos el cambioy = ux, y0 = u0x+ u
u0x+ u =ux− xux+ x
=u− 1u+ 1
u0x =u− 1u+ 1
− u = u− 1− u2 − uu+ 1
=−1− u2u+ 1
.
Obtenemos la EDO separable
xdu
dx= −1 + u
2
u+ 1,
que resolvemos para determinar u(x),
u+ 1
u2 + 1du = − 1
xdxZ
u+ 1
u2 + 1du = −
Z1
xdx
Calculamos aparte la primera integralZu+ 1
u2 + 1du =
Zu
u2 + 1du+
Z1
u2 + 1du =
1
2ln¡u2 + 1
¢+ arctanu,
y obtenemos la solución
1
2ln¡u2 + 1
¢+ arctanu = − ln |x|+ c.
Deshacemos el cambio u = y/x
1
2ln
µy2
x2+ 1
¶+ arctan
y
x= − ln |x|+ c
y reescribimos la solución en una forma más conveniente
ln
µy2
x2+ 1
¶+ 2arctan
y
x= −2 ln |x|+ 2c
ln
µy2
x2+ 1
¶+ lnx2 + 2arctan
y
x= c1 (c1 = 2c)
ln¡y2 + x2
¢+ 2arctan
y
x= c1.
(7.5)−y dx+ (x+√xy) dy = 0
Escribimos la EDO en forma normal
dy
dx=
y
x+√xy
Ejercicios: EDO’s de primer orden 19
cambioy = ux, y0 = u0x+ u
u0x+ u =ux
x+√ux2
=u
1 +√u
u0x =u
1 +√u− u = u− u− u3/2
1 +√u
=−u3/21 + u1/2
xdu
dx=−u3/21 + u1/2
separable.
1 + u1/2
u3/2du = − 1
xdxZ
1 + u1/2
u3/2du = −
Z1
xdxZ
1 + u1/2
u3/2du =
Z µ1
u3/2+1
u
¶du = − 2√
u+ ln |u|
Solución− 2√
u+ ln |u| = − ln |x|+ c,
deshacemos el cambio u = y/x
− 2pyx
+ ln¯yx
¯= − ln |x|+ c
reescribimos la solución en forma más conveniente
−2rx
y+ ln
¯yx
¯+ ln |x| = c
ln |y|− 2rx
y= c, c ∈ R. ¤
Ejercicio 8 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial (
xy2dy
dx= y3 − x3,
y(1) = 2.
EDO homogénea. Forma normal
dy
dx=y3 − x3xy2
cambioy = ux, y0 = u0x+ u
u0x+ u =u3x3 − x3u2x3
=u3 − 1u2
u0x =u3 − 1u2
− u = −1u2
Ejercicios: EDO’s de primer orden 20
separamos variables Zu2du = −
Z1
xdx
1
3u3 = − ln |x|+ c
deshacemos el cambio u = y/x
1
3
y3
x3= − ln |x|+ c
y3 = −3x3 ln |x|+ c1x3 (c1 = 3c)
imponemos la condición inicial y(1) = 2
8 = 0 + c1 ⇒ c1 = 8.
solucióny3 = −3x3 ln |x|+ 8x3
y = x 3p8− 3 ln |x|. ¤
Ejercicio 9 Determina una solución explícita para el siguiente problema devalor inicial ½ ¡
En este caso particular, al aplicar el método de Taylor de 2o orden con 5 pasosse obtienen los mismos resultados que con el método de Euler modificado. ¤
Ejercicio 24 Consideramos el problema de valor inicial½y0 = e−2x − 2y,y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 0.5.
1. Calcula la solución exacta.
2. Aproxima la solución usando el método de Euler de 5 pasos, calcula loserrores de truncamiento.
3. Aproxima la solución usando el método de Euler modificado de 5 pasos,calcula los errores de truncamiento.
4. Aproxima la solución usando el método de Taylor de orden 2 de 5 pasos,calcula los errores de truncamiento.
1. Solución exacta
EDO lineal, la escribimos en forma estándar
y0 + 2y = e−2x,
homogénea asociaday0 + 2y = 0,
identificamosp(x) = 2,
solución general de la EDO homogénea
yh = ke−R2 dx = ke−2x, k ∈ R.
Solución completa por variación de parámetros, hacemos k = k(x)
y = k(x)e−2x,
y0 = k0e−2x − 2ke−2x,sustituimos en la EDO completa para determinar k(x)
6 Problemas de aplicaciónEjercicio 25 Se sabe que la población de una cierta comunidad aumenta conuna rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier mo-mento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicaráy se cuadriplicará?
Notacionesy(t) población en instante t,t tiempo en años,t = 0 instante inicial,y0 = y(0) población inici.al
EDOdy
dt= αy,
donde α es una constante desconocida. Se trata de una EDO lineal homogénea
y0 − αy = 0.
y = ke−R(−α) dt = keαt.
Condición inicialy(0) = y0,
y0 = keα·0 = k.
Modelo matemáticoy = y0e
αt.
Sabemos que la población se duplica en 5 años
y(5) = 2y0,
y0e5α = 2y0,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 70
e5α = 2,5α = ln 2,
α =ln 2
5.
Modeloy = y0e
ln 25 t.
Determinamos el tiempo necesario para que la población se triplique. Resolve-mos
y(t) = 3y0,
y0eln 25 t = y03,
eln 25 t = 3,
ln 2
5t = ln 3,
t =5 ln 3
ln 2= 7.92 años.
Determinamos el tiempo necesario para que la población se cuadriplique. Re-solvemos
y(t) = 4y0,
y0eln 25 t = 4y0,
eln 25 t = 4,
ln 2
5t = ln 4,
t = 5ln 4
ln 2= 5
2 ln 2
ln 2= 10 años. ¤
Ejercicio 26 La población de una comunidad crece a razón proporcional a lapoblación en cualquier momento t. Su población inicial es de 500 individuos yaumenta un 15% en 15 años. ¿Cuál será la población en 30 años?
Notaciones:y(t) población,t tiempo en años,t = 0 instante inicial,y0 = y(0) = 500 población inicial.
EDOdy
dt= αy,
donde α es una constante desconocida. Se trata de una EDO lineal homogénea
y0 − αy = 0,
y = ke−R(−α) dt = keαt, k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
y(0) = 500,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 71
ke0 = 500 ⇒ k = 500.
Obtenemosy = 500eαt.
Determinamos α con la condición de que la población aumenta el 15% en 10años
y(10)− y(0)y(0)
= 0.15,
y0e10α − y0y0
= 0.15,
e10α − 1 = 0.15,e10α = 1.15,
10α = ln 1.15,
α =ln 1.15
10= 0.01 398.
Modeloy = 500e0.01398t.
Población en 30 años
y(30) = 500e0.01398×30
= 760 individuos. ¤
Ejercicio 27 Cuando un haz vertical de luz pasa por una sustancia transpar-ente, la rapidez con que decrece la intensidad I(x) es proporcional a I(x), dondex representa el espesor, en pies, del medio. En agua clara, la intensidad a 3pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 del haz incidente.¿Cuál será la intensidad del haz de luz a 15 pies bajo la superficie?
Notaciones:
I(x) intensidad a profundidad x,x profundidad en pies (1pie = 30.5cm),x = 0 superfície,I0 intensidad del haz en la superfície,I(3) = 0.25I0 intesidad a 3 pies de profundidad.
EDOdI
dx= αI,
donde α es una constante desconocida; se trata de una EDO lineal homogénea
I 0 − αI = 0.
Solución generalI(x) = ke−
R(−α) dx = keαx.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 72
Imponemos la condición inicial
I(0) = I0,
keα·0 = I0 ⇒ I0 = k.
Obtenemos el modeloI(x) = I0e
αx,
usamos la condiciónI(3) = 0.25I0
para determinar α:I0e
3α = 0.25I0,
e3α = 0.25,
3α = ln 0.25,
α =ln 0.25
3= −0.4621.
ModeloI(x) = I0e
−0.4621x.
Intensidad 15 pies bajo la superficie
I(15) = I0e−0.4621·15 = 0.000978 I0.
La intensidad 15 pies bajo la superficie es el 0.098% de la intensidad en lasuperficie ' 0.1%. ¤
Ejercicio 28 El Pb-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con unarapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante t y tiene unavida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempodebe transcurrir para que se desintegre el 90%?Nota. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario paraque se desintegre la mitad de la cantidad inicial.
Notaciones:y(t) cantidad de Pb-209 en gr,t tiempo en horas,t = 0 instante inicial,y0 = 1 cantidad inicial.
Ecuación diferencialdy
dt= αy ⇒ y0 − αy = 0,
y0 − αy = 0.
Solución generaly = ke−
R(−α) dt = keαt, k ∈ R.
Condición inicialy(0) = y0 ⇒ y0 = ke
0 ⇒ y0 = k,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 73
y = y0eαt.
Usamos la condición de vida media
y(3.3) =1
2y0
para determinar α:1
2y0 = y0e
3.3α,
e3.3α =1
2,
3.3α = ln1
2,
α =1
3.3ln 1/2 = −0.2100.
Modeloy = y0e
−0.2100t.
Inicialmente teníamos 1gr, por lo tanto el modelo es
y = e−0.2100t,
cuando se desintegra el 90%, queda el 10%. Resolvemos
e−0.2100t = 0.1,
t = − ln 0.10.21
= 10.9647 ' 11 horas. ¤
Ejercicio 29 Inicialmente, había 100 miligramos de una sustancia radioactivay, al cabo de 6 horas, la cantidad ha disminuido en un 3%. Si la velocidadde desintegración, en el instante t, es proporcional a la cantidad de sustanciapresente, calcula la vida media de la sustancia.
Notaciones:
y cantidad de sustancia en miligramos,t tiempo en horas,t = 0 instante inicial,y0 cantidad inicial.
EDOy0 = αy,
y0 − αy = 0,
y = ke−R(−α) dt = keαt,
imponemos la condición inicial
y0 = keα·0 ⇒ k = y0.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 74
Modeloy = y0ke
αt.
Para determinara α usamos la condición de que después de 6 horas queda el97% de la cantidad inicial
y(6) = 0.97 y0,
y0e6α = 0.97y0,
e6α = 0.97,
α =ln 0.97
6= −0.00508.
Vida media: Tenemos que calcular tm para que
y(tm) =1
2y0,
y0e−0.00508tm =
1
2y0,
e−0.00508tm =1
2,
tm = −ln 1/2
0.00508= 136.45 horas.
La vida media es tm = 136.45 horas. ¤
Ejercicio 30 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura delaire es de 70oF y se lleva al exterior, donde la temperatura es de 10oF. Despuésde medio minuto, el termómetro indica 50oF. ¿Cuál será la lectura cuando t =1minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a 15oF?
Notaciones y datos relevantes:
y(t) temperatura en oF,t tiempo en minutos,t = 0 instante inicial,y0 = y(0) = 70
oF temperatura inicial,y(0.5) = 50oF temperatura después de 1/2 min,Tm = 10
oF temperatura ambiente.
Modelo: Ley de enfriamiento de Newton
dy
dt= −α(y − Tm),
donde α es una constante desconocida. Se trata de una EDO lineal completa
y0 = −α(y − 10),
la escribimos en forma estándar
y0 + αy = 10α.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 75
EDO homogénea asociaday0 + αy = 0.
Solución general de la EDO homogénea
yh = ke−Rα dt = ke−αt, k ∈ R.
Solución de la EDO completa por variación de parámetros. Proponemos unasolución particular de la EDO completa de la forma
y = k(t) e−αt,
y0 = k0e−αt − ke−αt,sustituimos en la EDO completa para determinar k(t)
k0e−αt − αke−αt + αke−αt = 10α,
k0eαt = 10α,
k0 =10α
e−αt= 10αeαt,
k =
Z10αeαt dt
= 10eαt.
Resulta la solución particular
yp = 10eαte−αt = 10.
Solución general de la EDO completa
y = ke−αt + 10, k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
y0 = 70,
ke0 + 10 = 70,
k = 60,
obtenemosy = 10 + 60e−αt.
Determinamos α con la condición
y(0.5) = 50,
10 + 60e−0.5α = 50,
60e−0.5α = 40,
e−0.5α =40
60=2
3,
−0.5α = ln 2/3,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 76
α = − 1
0.5ln 2/3 = −2 ln 2/3,
α = 0.8109.
Modeloy = 10 + 60e−0.8109t.
La temperatura después de 1 minuto será
y(1) = 10 + 60e−0.8109 = 36.67oF.
Para determinar el tiempo necesario para que la temperatura sea de 15oF ,resolvemos
y(t) = 15,
10 + 60e−0.8105t = 15,
60e−0.8109t = 5,
e−0.8109t =5
60=1
12,
t = − 1
0.8109ln
µ1
12
¶=
ln 12
0.8109= 3.06 minuntos.
Nota. Es habitual escribir la ley de enfriamiento de Newton en la forma
dy
dt= −α(y − Tm),
en este caso, la constante α es positiva y la variación de temperatura es negativacuando la temperatura y del cuerpo es superior a la temperatura ambiente. Sinembargo, no hay ningún inconveniente en plantear la ecuación diferencial en laforma
dy
dt= α(y − Tm),
en este caso, obtendremos un valor negativo para la constante α y el modeloresultante será el mismo. ¤
Ejercicio 31 Un termómetro que indica 70 oF se coloca en un horno precalen-tado a temperatura constante. A través de una ventana del horno, un observadorregistra una temperatura de 110 oF después de 1/2 minuto y de 145 oF despuésde 1 minuto. ¿A qué temperatura está el horno?
Notaciones y datos relevantes:
y(t) temperatura del termómetro (en oF),t tiempo en minutos,t = 0 instante inicial,y0 = y(0) = 70
o temperatura inicial del termómetro,Tm temperatura del medio.
Disponemos de las observaciones½y(0.5) = 110 oF,y(1) = 145 oF.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 77
el objetivo es determinar la temperatura del medio Tm.Ley de enfriamiento de Newton
dy
dt= −α (y − Tm) . (α constante.)
Se trata de una EDO lineal completa, la escribimos en forma estándar
y0 + αy = αTm.
Homogénea asociaday + αy = 0,
yh = ke−Rα dt = ke−αt, k ∈ R.
Solución de la EDO completa por variación de parámetros
y = k(t)e−αt,
y0 = k0e−αt − αke−αt,
k0e−αt − αke−αt − αke−αt = αTm,
k0e−αt = αTm,
k0 = αTmeαt,
k =
ZαTme
αt = Tmeαt,
yp =¡Tme
αt¢e−αt = Tm.
Solución general de la EDO completa
y = ke−αt + Tm, k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
y0 = 70,
ke−α·0 + Tm = 70,
k = 70− Tm.Modelo
y = (70− Tm) e−αt + Tm.Determinamos α y Tm con los datos
El modelo matemático que describe la temperatura del termómetro es
y = 390− 320µ49
64
¶t,
vemos que, efectivamente, con este modelo se obtienen los valores observados
y(1) = 390− 320µ49
64
¶1= 145,
y(1/2) = 390− 320µ49
64
¶1/2= 390− 320× 7
8= 110. ¤
Ejercicio 32 Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30gramos de sal. Entra al tanque un caudal de 4 litros por minuto de solución con1 gramo de sal por litro. Bien mezclado, sale del tanque un caudal de 4 litrospor minuto. Calcula la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque en cualquierinstante t.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 79
Notaciones y datos relevantes:
A(t) cantidad de sal, en gramos,t tiempo en minutos,t = 0 instante inicial,A0 = 30g cantidad inicial de sal en el tanque,A200 concentración mezcla (en gr/litro),1 g/litro concentración entrada.
Observamos que
caudal de entrada = 4 litros/min = caudal de salida,
por lo tanto, el volumen de líquido en el tanque se mantiene constante.
Variación de la cantidad de sal =
entraz }| {1g
litro× 4 litros
min−
salez }| {A
200
g
litro× 4 litros
min
= 4
µ1− A
200
¶g/min .
Ecuación diferencial
dA
dt= 4
µ1− A
200
¶= 4− 4A
200
= 4− A
50.
Es una EDO lineal, la escribimos en forma estándar
A0 +A
50= 4.
Homogénea asociada
A0 +A
50= 0.
Solución general de la EDO homogénea
Ah = ke− t50 , k ∈ R.
Solución de la EDO completa por variación de parámetros, proponemos unasolución de la forma
A = k(t) e−t50
y la sustituimos en la EDO completa para determinar k(t)
k0e−t50 − t
50ke−
t50 +
t
50ke−
t50 = 4,
Ejercicios: EDO’s de primer orden 80
k0 = 4et50 ,
k =
Z4e
t50 dt = 200
Ze
t501
50dt
= 200 et50 ,
Ap =³200 e
t50
´e−
t50 = 200.
Solución general de la EDO completa
A = ke−t50 + 200, k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
A0 = 30,
ke0 + 200 = 30,
k = −170,Modelo
y = 200− 170e−t/50. ¤
Ejercicio 33 Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmueracon 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. El tanque se mezcla bien poragitación y de él sale la mezcla con la misma rapidez. Determina la cantidadA(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. ¿Cuál es laconcentración de la solución del tanque cuando t = 5 min?
Notaciones y datos relevantes:
1 galón 37.85 litros,1 libra 0.4536 kg,A(t) cantidad de sal en libras,t tiempo en minutos,t = 0 instante inicial,A0 = A(0) = 0 libras cantidad inicial de sal (agua pura),Volumen del tanque 500 galones (constante),Caudal de entrada = caudal de salida 5 gal/min,Concentración entrada 2 lb/gal,Concentración en el tanque en instante t A
500 libras/galón.
Tasa de entrada de sal2 lbgal
× 5 galmin
=10 lbmin
.
Tasa de salidaA lb500 gal
× 5 galmin
=A
100
lbmin
.
Tasa netadA
dt= 10− A
100.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 81
Es una EDO lineal, la escribimos en forma estándar
A0 +A
100= 10.
Ecuación homogénea
A0 +A
100= 0.
Solución de la EDO homogénea
A = ke−R
1100 dt = ke−
t100 .
Sabemos que la solución general de la EDO completa se puede escribir en laforma
A = Ah +Ap,
donde Ap es una solución particular cualquiera de la EDO completa, en estecaso (y en los problemas anteriores) podemos obtener una solución singular deforma directa. Las soluciones singulares son soluciones constantes, por lo tanto,tenemos A0 = 0 y resulta la ecuación
A
100= 100⇒ A = 1000,
por lo tanto, disponemos de la solución particular
Ap = 1000.
Solución de la ecuación completa
A = 1000 + ke−t100 , k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
A(0) = 0,
1000 + ke0 = 0⇒ k = −1000.Obtenemos el modelo
A = 1000− 1000 e− t100 .
Concentración cuando t = 5 min. Calculamos la cantidad de sal
A(5) = 1000− 1000 · e− 5100 = 48.77 libras,
la concentración es48.77 lb500 gal
= 0.0975 lb/gal. ¤
Ejercicio 34 Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera,con 10 lb de sal disuelta. Le entra salmuera con 1/2 lb de sal por galón a razón de6 gal/min. El contenido sale del tanque (bien mezclado) a razón de 4 gal/min.Calcula la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 82
Notaciones:
y(t) cantidad de sal en el instante t,t = 0 instante inicial,y0 = y(0) = 10 lb cantidad inicial de sal,Volumen inicial 100 galones.
EDO lineal completa; la escribimos en forma estándar
y0 +4y
100 + 2t= 3,
identificamosp(t) =
4
100 + 2t.
Solución de la EDO homogénea
y = ke−R
4100+2t dt
= ke−2 ln|100+2t|,
como t ≥ 0
y = ke−2 ln(100+2t)
= keln³
1(100+2t)2
´,
y = k1
(100 + 2t)2 .
Ejercicios: EDO’s de primer orden 83
Solución de la EDO completa por variación de parámetros
y0 = k01
(100 + 2t)2 + k
(−2)(100 + 2t)
3 · 2
= k01
(100 + 2t)2− 4k
(100 + 2t)3.
Sustituimos eny0 +
4y
100 + 2t= 3,
k01
(100 + 2t)2− 4k
(100 + 2t)3+
4
100 + 2t· k
(100 + 2t)2= 3,
k01
(100 + 2t)2= 3,
k0 = 3 (100 + 2t)2 ,
k =
Z3 (100 + 2t)2 dt =
3
2
Z(100 + 2t)2 2 dt
=3
2· 13(100 + 2t)3
=1
2(100 + 2t)
3.
Solución particular de la EDO completa
yp =1
2(100 + 2t)
3 1
(100 + 2t)2
=1
2(100 + 2t) .
Solución general de la EDO completa
y =k
(100 + 2t)2 +
1
2(100 + 2t) , k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
y (0) = 10,
k
(100 + 0)2+1
2(100 + 2 · 0) = 10,
k
1002+ 50 = 10,
k = (−40)× 1002 = −4× 105.Modelo matemático de la cantidad de sal
y =1
2(100 + 2t)− 4× 105
(100 + 2t)2 .
Ejercicios: EDO’s de primer orden 84
La cantidad de sal después de 30 minutos es
y(30) =1
2(100 + 60)− 4× 105
(100 + 60)2
=1
2× 160− 4× 10
5
1602
= 80− 15.625 = 64.375 lb. ¤
Ejercicio 35 La ecuación diferencial que describe la velocidad de una masa men caída, cuando la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantáneaes
mdv
dt= mg − cv,
donde c > 0 es una constante y el sentido positivo se ha tomado hacia abajo.
1. Resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial v (0) = 0.
2. Determina la velocidad terminal de la masa
vT = limt→∞
v (t) .
3. Si s (t) es la distancia, medida desde el punto en que se suelta la masa,tenemos
ds
dt= v.
Determina la ecuación de s(t) con la condición inicial s(0) = 0.
1. Solución de la ecuación diferencial
mdv
dt= mg − cv,
dv
dt= g − c
mv.
Es una EDO lineal completa, la escribimos en forma estándar
v0 +c
mv = g.
Solución de la EDO homogénea
v0 +c
mv = 0,
identificamosp(t) =
c
m,
solución general de la EDO homgénea
v = ke−R
cm dt = ke−
cm t, k ∈ R.
Ejercicios: EDO’s de primer orden 85
Solución general de la EDO completa
v = vh + vp,
v = ke−km t + vp.
En este caso es sencillo hallar una solución particular de la EDO completa vp,pues la EDO tiene una solución constante (solución singular), que se obtienehaciendo v0 = 0 y determinando v
0 = g − c
mv,
vp =mg
c.
(Verifica que la solución vp realmente satisface la EDO completa).Solución general de la EDO completa
v(t) =mg
c+ ke−
cm t, k ∈ R.
Determinamos k con la condición inicial
v(0) = 0,
mg
c+ ke0 = 0,
k = −mgc,
Finalmente, resulta
v(t) =mg
c− mg
ce−
cm t,
=mg
c
¡1− e− c
m t¢.
2. Velocidad terminal
vT = limT→∞
v(t) =mg
c
¡1− e−∞
¢=
mg
c.
Observa que la velocidad terminal coincide con la solución singular.
3. Ecuación de la posición. Tenemos la ecuación diferencial