E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios resueltos Tema 8 EDOs de orden superior Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Noviembre 2006, Versión 1.1 Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias 1. 4y 00 + y 0 =0. 2. y 00 − y 0 − 6y =0. 3. y 00 +8y 0 + 16y =0. 4. 12y 00 − 5y 0 − 2y =0. 5. y 00 +9y =0. 6. y 00 − 4y 0 +5y =0. 7. 3y 00 +2y 0 + y =0. (1.1) 4y 00 + y 0 =0. Ecuación característica 4m 2 + m = 0, m (4m + 1) = 0, raíces m =0, m = −1/4, soluciones y 1 = e 0x =1, y 2 = e − 1 4 x . Solución general y = c 1 + c 2 e − 1 4 x , c 1 ,c 2 ∈ R. (1.2) y 00 − y 0 − 6y =0. Ecuación característica m 2 − m − 6=0, 1
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E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios resueltos Tema 8EDOs de orden superior
Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de CataluñaCurso 2006/07
Noviembre 2006, Versión 1.1
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. 4y00 + y0 = 0.
2. y00 − y0 − 6y = 0.
3. y00 + 8y0 + 16y = 0.
4. 12y00 − 5y0 − 2y = 0.
5. y00 + 9y = 0.
6. y00 − 4y0 + 5y = 0.
7. 3y00 + 2y0 + y = 0.
(1.1)4y00 + y0 = 0.
Ecuación característica
4m2 +m = 0,
m (4m+ 1) = 0,
raícesm = 0, m = −1/4,
soluciones
y1 = e0x = 1,
y2 = e−14x.
Solución generaly = c1 + c2e
− 14x, c1, c2 ∈ R.
(1.2)y00 − y0 − 6y = 0.
Ecuación característicam2 −m− 6 = 0,
1
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 2
m =1±√1 + 24
2=1± 52
=
(62 = 3,
−42 = −2.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e3x,
y2 = e−2x.
Solución generaly = c1e
3x + c2e−2x, c1, c2 ∈ R.
(1.3)y00 + 8y0 + 16y = 0.
Ecuación característicam2 + 8m+ 16 = 0,
m =−8±
√64− 642
= −82= −4 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−4x,
y2 = xe−4x.
Solución generaly = c1e
−4x + c2xe−4x, c1, c2 ∈ R.
(1.4)12y00 − 5y0 − 2y = 0.
Ecuación característica12m2 − 5m− 2 = 0,
m =5±√25 + 4 · 2 · 1224
=5±√25 + 96
24
=5±√121
24=5± 1124
=
(1624 =
23 ,
− 624 = −1/4.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e23x,
y2 = e−14x.
Solución generaly = c1e
23x + c2e
− 14x, c1, c2 ∈ R.
(1.5)y00 + 9y = 0.
Ecuación característicam2 + 9 = 0,
m2 = −9,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 3
m = ±√−9 = ±3i.
Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples)
z = α± βi,
con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo
y1 = eαx cosβx,
y2 = eαx sinβx.
Solución generaly = eαx (c1 cosβx+ c2 sinβx) ,
y = c1 cos 3x+ c2 sin 3x, c1, c2 ∈ R.(1.6)
y00 − 4y0 + 5y = 0.Ecuación característica
m2 − 4m+ 5 = 0,
m =4±√16− 202
=4±√−4
2
=4± 2i2
= 2± i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e2x cosx,
y2 = e2x sinx.
Solución general
y = e2x (c1 cosx+ c2 sinx) , c1, c2 ∈ R.
(1.7)3y00 + 2y0 + y = 0.
Ecuación característica3m2 + 2m+ 1 = 0,
m =−2±
√4− 126
=−2±
√−8
6
=−2± 2
√2i
6= −1
3±√2
3i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x
3 cos
Ã√2
3x
!,
y2 = e−x
3 sin
Ã√2
3x
!.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 4
Solución general
y = e−x3
"c1 cos
Ã√2
3x
!+ c2 sin
Ã√2
3x
!#, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. y000 − 4y00 − 5y0 = 0.
2. y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
3.d3u
dt3+d2u
dt2− 2u = 0.
4. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.
5. y(4) + y000 + y00 = 0.
6. 16d4y
dx4+ 24
d4y
dx4+ 9y = 0.
7.d5u
dr5+ 5
d4u
dr4− 2d
3u
dr3− 10d
2u
dr2+du
dr+ 5u = 0.
(2.1)y000 − 4y00 + 5y0 = 0.
Ecuación característicam3 − 4m2 − 5m = 0,
m¡m2 − 4m− 5
¢= 0,
m = 0, m2 − 4m− 5 = 0,m2 − 4m− 5 = 0,
m =4±√16 + 20
2=4±√36
2=4± 62
=
(102 = 5,
−22 = −1.
Raícesm = 0, m = 5, m = −1.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e0x = 1,
y2 = e5x,
y3 = e−x.
Solución general
y = c1 + c2e5x + c3e
−x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.2)y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 5
Ecuación característica
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = 0.
Intentamos con los divisores del término independiente
±1,±3,±9.
Para m = −1, obtenemos
(−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1− 5− 3 + 9 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 −5 3 9−1) −1 6 −9
1 −6 9 0
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = (m+ 1)¡m2 − 6m+ 9
¢.
Resolvemosm2 − 6m+ 9 = 0,
m =6±√36− 362
=6
2= 3 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = e3x,
y3 = xe3x.
Solución general
y = c1e−x + c2e
3x + c3xe3x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.3)d3u
dt2+d2u
dt2− 2u = 0,
u000 + u00 − 2u = 0.Ecuación característica
m3 +m2 − 2 = 0.Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 1 0 −21) 1 2 2
1 2 2 0
m3 +m2 − 2 = (m− 1)¡m2 + 2m+ 2
¢.
Resolvemosm2 + 2m+ 2 = 0,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 6
m =−2±
√4− 8
2=−2±
√−4
2=−2± 2i2
= −1± i.
Raíces de la ecuación característica
m = 1, m = −1± i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = et,
y2 = e−t cos t,
y3 = e−t sin t.
Solución general
y = c1et + e−t (c2 cos t+ c3 sin t) , c1, c2, c3 ∈ R.
(2.4)y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.
Ecuación característica
m3 + 3m2 + 3m+ 1 = 0,
(m+ 1)3= 0.
Raícesm = −1, (triple).
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = xe−x,
y3 = x2e−x.
Solución general
y = c1e−x + c2xe
−x + c3x2e−x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.5)y(4) + y000 + y00 = 0.
Ecuación característicam4 +m3 +m2 = 0,
m2¡m2 +m+ 1
¢= 0.
Resolvemosm2 +m+ 1 = 0,
m =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2
=−1±
√3 i
2= −1
2±√3
2i.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 7
Raíces de la ecuación característica
m = 0 (doble) ,
m = −12±√3
2i (complejas conjugadas, simples) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e0 = 1,
y2 = xe0 = x,
y3 = e−12x cos
Ã√3
2x
!,
y4 = e−12x sin
Ã√3
2x
!.
Solución general
y = c1 + c2x+ e− 12x
Ãc3 cos
Ã√3
2x
!+ c4 sin
Ã√3
2x
!!, c1, c2, c3, c4 ∈ R.
(2.6)
16d4y
dx4+ 24
d2y
dx2+ 9y = 0,
16y(4) + 24y(2) + 9y = 0.
Ecuación característica16m4 + 24m2 + 9 = 0.
Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m2
16t2 + 24t+ 9 = 0,
t =−24±
√242 − 4 · 16 · 932
=−24±
√576− 57632
=−2432
= −8 · 38 · 4 = −
3
4(doble).
m2 = −34,
m = ±r−34,
m = ±√3
2i (dobles).
Sistema fundamental de soluciones
y1 = cos
Ã√3
2x
!,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 8
y2 = x cos
Ã√3
2x
!,
y3 = sin
Ã√3
2x
!,
y4 = x sin
Ã√3
2x
!.
Solución general
y = c1 cos
Ã√3
2x
!+ c2x cos
Ã√3
2x
!+ c3 sin
Ã√3
2x
!+ c4 sin
Ã√3
2x
!, cj ∈ R.
(2.7)d5u
dr5+5d4u
dr4− 2d
3u
dr3− 10d
2u
dr2+du
dr+ 5u = 0.
Ecuación característica
m5 + 5m4 − 2m3 − 10m2 +m+ 5 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 5 −2 −10 1 51) 1 6 4 −6 5
1 6 4 −6 −5 01) 1 7 11 5
1 7 11 5 0−1) −1 −6 −5
1 6 5 0−1) −1 −5
1 5 0
Raícesm = 1 (doble) , m = −1 (doble) , m = −5.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = er,
y2 = rer,
y3 = e−r,
y4 = re−r,
y5 = e−5r.
Solución general
y = c1er + c2re
r + c3e−r + c4re
−r + c5e−5r, cj ∈ R. ¤
Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ y00 + 16y = 0,y(0) = 2,y0(0) = −2.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 9
Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 + 16 = 0,
m2 = −16,m =
√−16 = ±4i.
Solución generaly = c1 cos 4x+ c2 sin 4x.
Imponemos las condiciones iniciales
y0 = −4c1 sin 4x+ 4c2 cos 4x,
dey(0) = 2,
obtenemosc1 cos 0 + c2 sin 0 = 2,
c1 = 2.
De la condicióny0(0) = −2,
obtenemos−4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 = −2,
4c2 = −2,c2 = −1/2.
Solución del problema de valor inicial
y = 2 cos 4x− 12sin 4x. ¤
Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩d2y
dx2−4dydx− 5y = 0,
y(1) = 0,y0(1) = 2.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 − 4m− 5 = 0,
m =4±√16 + 20
2=4±√36
2=4± 62
=
(102 = 5,
−22 = −1.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 10
Solución generaly = c1e
5t + c2e−t.
Imponemos las condiciones iniciales
y0 = 5c1e5t − c2e−t,
dey(1) = 0,
obtenemosc1e
5 + c2e−1 = 0.
Dey0(1) = 2,
resulta5c1e
5 − c2e−1 = 2.Tenemos el sistema ½
c1e5 + c2e
−1 = 0,5c1e
5 − c2e−1 = 2.Sumamos las ecuaciones y resulta
6c1e5 = 2,
c1 =2
6e5=
1
3e5.
Sustituimos enc1e
5 + c2e−1 = 0
y obtenemos1
3e5e5 + c2e
−1 = 0,
c2e−1 = −1
3,
c2 = −1
3e.
Solución del problema de valor inicial
y =1
3e5e5t − 1
3e · e−t.
Podemos reescribir la solución en la forma
y =1
3e5t−5 − 1
3e−t+1,
y =1
3e5(t−1) − 1
3e−(t−1). ¤
Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial½y00 + y0 + 2y = 0,y(0) = y00(0) = 0.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 11
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 +m+ 2 = 0,
m =−1±
√1− 8
2=−1±
√−7
2= −1
2±√7
2i.
Solución general
y = e−x2
"c1 cos
Ã√7
2x
!+ c2 sin
Ã√7
2x
!#.
Dey(0) = 0,
obtenemose0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) = 0
c1 = 0.
Como c1 = 0, sabemos que la solución es de la forma
y = e−x2 c2 sin
Ã√7
2x
!.
Calculamos
y0 = −12e−x/2c2 sin
Ã√7
2x
!+ e−x/2c2
√7
2cos
Ã√7
2x
!,
de la condicióny0(0) = 0,
obtenemos
−12e0c2 sin 0 + e
0c2
√7
2cos 0 = 0,
c2 = 0.
La solución esy(x) = 0.
Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que y = 0 essolución ( y es única). ¤
Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y000 + 12y00 + 36y0 = 0,y(0) = 0,y0(0) = 1,y00(0) = −7.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 12
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m3 + 12m2 + 36m = 0,
m¡m2 + 12m+ 36
¢= 0,
m2 + 12m+ 36 = (m+ 6)2.
Raíces de la ecuación característica
m = 0, m = −6 (doble).
Solución generaly = c1 + c2e
−6x + c3xe−6x.
Imponemos las condiciones iniciales. De
y(0) = 0,
obtenemosc1 + c2e
0 + c3 · 0 · e0 = 0,c1 + c2 = 0.
Calculamosy0 = −6c2e−6x + c3e−6x − 6c3xe−6x.
De la condicióny0(0) = 1,
resulta−6c2 + c3 = 1.
Calculamos
y00 = 36c2e−6x − 6c3e−6x − 6c3e−6x + 36c3xe−6x
= 36c2e−6x − 12c3e−6x + 36c3xe−6x.
De la condicióny00(0) = −7,
resulta36c2 − 12c3 = −7.
Tenemos el sistema ⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,36c2 − 12c3 = −7.
Multiplicamos la 2a ecuación por 6 y la sumamos a la 3a⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,−6c3 = −1,
resultac3 =
1
6.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 13
Sustituimos en la 2a
−6c2 +1
6= 1,
−6c2 = 1−1
6=5
6,
c2 =−536.
Sustituimos en la 1a
c1 = −c2 =5
36.
Solución del problema de valor inicial
y =5
36− 5
36e−6x +
1
6xe−6x. ¤
Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 − 10y0 + 25y = 0,y(0) = 1,y(1) = 0.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 − 10m+ 25 = 0,
m =10±
√100− 1002
= 5 (doble) .
Solución generaly = c1e
5x + c2xe5x.
Imponemos las condiciones de contorno½y(0) = 1,y(1) = 0.
y obtenemos el sistema ½c1 = 1,c1e
5 + c2e5 = 0,½
c1 = 1,c1 + c2 = 0,
c1 = 1, c2 = −1.Solución
y = e5x − xe5x.= e5x (1− x) . ¤
Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 + y = 0,y0(0) = 0,y0(π2 ) = 2.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 14
Ecuación característicam2 + 1 = 0,
raícesm2 = −1,
m = ±√−1 = ±i.
Solución general
y = e0x (c1 cosx+ c2 sinx) ,
y = c1 cosx+ c2 sinx.
Calculamos y0
y0 = −c1 sinx+ c2 cosxe imponemos las condiciones de contorno½