Estudando Geometria Analítica Hugo Gandra de Araújo Gilmara Teixeira Barcelos Silvia Cristina Freitas Batista Campos dos Goytacazes 2012
Estudando Geometria Analítica
Hugo Gandra de Araújo
Gilmara Teixeira Barcelos
Silvia Cristina Freitas Batista
Campos dos Goytacazes
2012
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I – Conhecendo alguns Recursos do Software GeoGebra
Os applets1 utilizados nas atividades da seção III foram desenvolvidos com o software
GeoGebra. Os recursos deste software são disponibilizados nos applets, de forma totalmente
funcional.
O GeoGebra é um programa livre, desenvolvido Markus Hohenwarter. O mesmo
encontra-se disponível, em português, no endereço eletrônico http://www.geogebra.at/. Trata-
se de um programa que integra Geometria Dinâmica, Álgebra e Cálculo e, dessa forma,
permite trabalhar com o que se entende por Matemática Dinâmica. A expressão “Matemática
Dinâmica” é utilizada por Markus Hohenwarter, criador do GeoGebra, ao explicar as funções
do mesmo. Seria uma extensão da definição de “Geometria Dinâmica”. Segundo Braviano e
Rodrigues (2002), a Geometria Dinâmica permite a elaboração de construções eletrônicas, nas
quais os elementos básicos podem ser movimentados na tela do computador, sem alterar as
posições relativas entre esses elementos e os objetos construídos a partir deles. Além de
objetos geométricos, o GeoGebra dá um caráter dinâmico a outros objetos matemáticos, como
funções, gráficos, números, fórmulas, entre outros, o que justifica a expressão “Matemática
Dinâmica”.
Abaixo, são apresentados alguns recursos necessários para a resolução das atividades
desta apostila.
Todos os botões da Barra de Botões (Figura 1) apresentam, no canto direito, uma seta
que, quando clicada, exibe diversas outras opções disponíveis.
Figura 1: Barra de Botões
Ao clicar na seta do 1º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Mover – a ferramenta “Mover” possibilita que o usuário selecione qualquer elemento
da janela geométrica, podendo, assim, movimentá-lo. Para tanto, com esta ferramenta
selecionada, clique no objeto e arraste-o para o lugar desejado.
Ao clicar na seta do 2º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta a seguir:
Novo ponto – a ferramenta constrói um ponto qualquer quando o usuário clica com o
botão esquerdo do mouse na Janela Geométrica.
1 Os referidos applets foram desenvolvidos no âmbito do projeto de pesquisa Tecnologias de Informação e Comunicação no
Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática, por Hugo G. de Araújo, bolsista de iniciação científica do IFFluminense Campus Campos-Centro, Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista
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Ao clicar na seta do 3º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Segmento definido por dois pontos – essa ferramenta cria um segmento de reta, a
partir de dois novos pontos ou de pontos já existentes na construção. Na janela
algébrica é mostrado o comprimento do segmento traçado.
Ao clicar na seta do 4º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Reta perpendicular – essa ferramenta cria uma reta perpendicular a um segmento ou
reta e por um ponto selecionados.
Ao clicar na seta do 6º. botão, da esquerda para a direita, são encontradas, entre outras,
as próximas ferramentas:
Círculo dados centro e raio – essa ferramenta cria uma circunferência, onde o centro e
o raio são definidos previamente.
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – a ferramenta possibilita a
construção de uma circunferência, a partir do centro e de um ponto que pertença à
circunferência.
Na parte inferior da tela principal do programa, encontra-se a Caixa de Entrada.
Figura 2: Caixa de Entrada
A Caixa de Entrada possibilita, entre outras ações, que gráficos de
diversas funções sejam construídos na Janela Geométrica, por meio da digitação das
respectivas leis. Na figura 3, apresenta-se o gráfico da função y = x² e da função x² +
y² = 15. Para tanto, na caixa de entrada, foram digitados y = x^2 e x^2 + y^2 = 15,
que equivalem, respectivamente, a “y = x²” e “x² + y² = 15”.
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Figura 3: Gráfico de “y = x²” e de “x² + y² = 15”
II - Atividades para o Estudo das Cônicas
Esta seção contém atividades investigativas, elaboradas por Hugo G. de Araújo,
Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista, onde algumas serão realizadas com o auxílio
dos applets sobre cônicas.
Atividade 1
1.1 No quadro da seção Applets, da Unidade de Aprendizagem sobre “Estudo das Cônicas”,
clique em “Distância entre Dois Pontos no Plano” e:
a) marque as caixas que aparecem no applet2, seguindo a numeração, e execute o que for
pedido.
2 Para marcar as caixas, a ferramenta “Mover” deve estar selecionada.
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b) reveja a forma como foi determinada a medida do segmento DE no applet antes de
responder este item. Sabendo que o segmento GH é paralelo ao eixo x, determine a
medida desse segmento, dados os pontos G(x1,y1) e H(x2,y1).
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c) volte ao applet e reveja como você determinou a medida do segmento DF antes de
resolver este item. Sabendo que o segmento IJ é paralelo ao eixo y, determine a medida
deste, dadas as coordenadas dos pontos I(x1,y1) e J(x1,y2).
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d) reveja a maneira como foi determinada a medida do segmento EF no applet e, a seguir,
dados os pontos L(x1,y1) e M(x2,y2), determine o comprimento do segmento LM, que não
é paralelo a nenhum dos eixos cartesianos.
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1.2 Sem utilizar recursos do software, determine a medida do segmento AB, dados os pontos
que o determinam, em cada caso abaixo:
a) A(3,5) e B(1,8)
b) A(-2,7) e B(0,1)
c) A(0,0) e B(5,2)
1.3 Dados os pontos abaixo, classifique os triângulos, cujos vértices são os pontos dados,
quanto à medida dos seus lados (escaleno, isósceles ou equilátero), sem utilizar recursos do
programa:
a) A(1,2), B(4,0) e C(-2,7)
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b) D(0,0), E(0,3) e F(5,2)
Atividade 2
2.1 Abra o applet “Equação Geral da Circunferência” e:
a) marque as caixas que aparecem no applet, seguindo a numeração, e execute o que se
pede.
b) verifique como foi encontrada a equação de cada circunferência e determine a equação
da circunferência C, dados o centro O1(x1,y1), o raio r e um ponto qualquer P(x,y).
________________________________________________________________________
2.2 Utilizando a ferramenta “Círculo dado centro e raio”, construa:
a) uma circunferência de centro (0,0) e raio 2. A seguir:
determine as coordenadas de todos os pontos da circunferência que se encontram
sobre os eixos;
_____________________________________________________________________
escreva as coordenadas de um ponto qualquer que pertença à circunferência, sem
utilizar recursos do programa.
_____________________________________________________________________
b) uma circunferência com centro sobre o eixo x e raio 3. A seguir:
determine as coordenadas de todos os pontos pertencentes à circunferência que se
encontram sobre os eixos.
____________________________________________________________________
obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do programa.
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____________________________________________________________________
c) uma circunferência com centro sobre o eixo y e raio 1. Depois:
escreva as coordenadas de todos os pontos da circunferência que coincidem com
os eixos cartesianos.
____________________________________________________________________
determine as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do software.
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d) uma circunferência com o centro em qualquer lugar do plano e raio 4. A seguir:
determine as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência que coincidem
com os eixos, se existirem;
____________________________________________________________________
obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do software.
____________________________________________________________________
2.3 Utilizando a ferramenta “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”, construa uma
circunferência no 2º quadrante do plano cartesiano. A seguir:
determine a equação da circunferência e determine o raio.
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aumente, observando a Janela de Álgebra e utilizando a ferramenta “Mover”, o
raio anterior de forma que o novo raio seja 5. Todos os pontos da nova circunferência
estão no 2º quadrante? Se não, em quais quadrantes há pontos desta circunferência?
____________________________________________________________________
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2.4 Dados o centro e o raio, determine a equação da circunferência em cada um dos itens a
seguir, sem utilizar o applet:
a) O(3,6) e r = 2 cm.
b) O(0,1) e r = 3/2 cm.
c) O(-2,-5) e r = 4 cm.
2.5 Sem utilizar recursos do software, determine as coordenadas do centro em cada item
abaixo:
a) (x + 3)² + (y - 2)² = 16
b) x² + (y + 5)² = 2
Atividade 3
3.1 Abra o applet “Relação entre o Ponto e a Circunferência” e:
a) marque as caixas, seguindo a numeração, e execute o que está sendo pedido.
b) reveja, no applet, a relação encontrada entre a posição do ponto Q e as medidas do
raio e do segmento OQ. A seguir, considerando uma circunferência qualquer de centro O
e raio r, e um ponto Q qualquer, distante d de O, descreva as condições necessárias para
que:
Q esteja no interior da circunferência;
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Q esteja no exterior da circunferência;
____________________________________________________________________
Q pertença a circunferência;
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____________________________________________________________________
c) movimente o ponto Q e observe a Janela de Álgebra. É possível determinar a
posição relativa do ponto Q sem visualizar a construção?
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3.2 Determine a posição do ponto P a seguir em relação a uma circunferência, dados:
a) o raio mede 4 cm e a distância d entre P e o centro O igual a 5 cm;
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b) as coordenadas do centro O(2,3) e do ponto P(4,1) e o raio r = 3,2 cm;
________________________________________________________________________
3.3 Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das ordenadas, é
externo à circunferência C, de raio 6 e centro O(-2,5), e que a distância entre o ponto e o
centro da circunferência é igual a 8.
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Atividade 4
4.1 Abra o applet “Relação entre duas Circunferências” e:
a) marque as caixas numeradas e execute o que for pedido;
b) reveja, no applet, as relações encontradas entre as posições das circunferências e a
distância entre os centros e a soma ou diferença entre os raios. A seguir, considerando
duas circunferências quaisquer, C1 e C2, de centros O1 e O2 e raios r1 e r2,
respectivamente, e uma distância d entre os centro, determine as condições necessárias
para que as duas circunferências sejam:
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exteriores;
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tangentes externas;
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secantes;
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tangentes internas;
_____________________________________________________________________
internas;
_____________________________________________________________________
4.2 São dadas duas circunferências, C1 e C2. Sabendo que suas equações são, respectivamente,
(x – 2)² + (y – 4)² = 36 e x² + (y + 1)² = 4, determine a posição relativa entre estas
circunferências.
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4.3 Determine o valor de m para que as circunferências C1 e C2 sejam tangentes externas,
sabendo que suas equações são, respectivamente, (x – m)² + y² = 36 e (x + 6)² + (y – 2)² = 4.
___________________________________________________________________________
Atividade 5
5.1 Abra o applet “Posição entre uma Reta e uma Circunferência” e:
a) marque as caixas numeradas e execute o foi pedido;
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b) reveja, no applet, as relações encontradas entre o raio da circunferência C e a distância
entre o centro O e a reta t. A seguir, considerando uma circunferência C qualquer e uma
reta t qualquer, escreva as condições necessárias para que C e t sejam:
externas;
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tangentes;
____________________________________________________________________
secantes;
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5.2 Determine a posição de em relação a nos casos:
a) e ;
b) e ;
5.3 Quais os possíveis valores para para que a reta seja tangente
a circunferência ?
Atividade 6
6.1 Abra o applet “Ponto Médio de um Segmento”. Considerando o ponto B no primeiro
quadrante, movimente o ponto A de modo que o ponto médio do segmento AB fique:
a) sobre o eixo x. O que é possível afirmar sobre as ordenadas dos pontos A e B?
_________________________________________________________________________
b) sobre o eixo y. O que é possível afirmar sobre as abscissas dos pontos A e B?
_________________________________________________________________________
c) sobre a origem do plano cartesiano. O que podemos afirmar sobre as coordenadas dos
pontos A e B?
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_________________________________________________________________________
6.2 Determine o quadrante do ponto médio do segmento AB em cada caso a seguir:
a) A(9,1) e B(-2,4);
b) A(5,6) e B (-8,-2);
6.3 Sendo w o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A(3,2),
B(0,-6) e C(4, -2), qual o valor de w²?
6.4 Dados os pontos A(n³, n²) e B(n-2, -n), , verifique em qual quadrante está localizado
o ponto médio do segmento AB, sabendo que:
a)
b)
6.5 Determine as coordenadas de um ponto A, que não esteja sobre nenhum dos eixos
cartesianos. Considerando um ponto B, de coordenadas (t - 3, 5 - 3t) e o segmento AB,
determine quais os possíveis valores de t para os quais o ponto médio de AB está:
a) no segundo quadrante;
b) no quarto quadrante;
c) sobre o eixo x;
d) sobre o eixo y;
6.6 Considere uma circunferência e uma reta secante a esta, passando pelo centro da mesma.
Sabendo que a reta intersecta a circunferência nos pontos P(2,6) e Q(8,2), determine a medida
do raio e, se possível, a equação desta circunferência.