ESTRUCTURAS REPETITIVAS DE MATLAB

8/18/2019 ESTRUCTURAS REPETITIVAS DE MATLAB

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Introducci´ on Ciclo para Ciclo mientras N´umeros aleatorios Referencias

Introducci´on a los Computadores (CNM–130):Estructuras repetitivas en Matlab ®

Alejandro Piedrahita H.

Instituto de Matem´ aticasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

Copyleft 2013. Reproducci´ on permitida bajo lostérminos de la licencia de documentaci´ on libre GNU .

http://ciencias.udea.edu.co/http://ciencias.udea.edu.co/http://ciencias.udea.edu.co/


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Contenido

1 Introducci´on

2 Ciclo para

3 Ciclo mientras

4 Números aleatorios

5 Referencias


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Estructuras de control repetitivas

Las estructuras de control permiten modicar el ujo de ejecuci´ onde las instrucciones de un algoritmo o programa

Se utilizan cuando en el desarrollo de la soluci´ on de un problema esnecesario ejecutar una serie de instrucciones repetidas de veces

El conjunto de instrucciones que se ejecuta repetidamente se llamaciclo o bucle

Cada vez que se ejecuta el bucle se dice que se ha producido unaiteraci´ on

Caracteŕısticas de los ciclos:

Deben incluir una condici´ on de parada

Deben nalizar luego de un n´ umero nito de veces


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Tipos de estructuras repetitivas

Ciclo para (for)

Se conoce a priori el n´ umero de veces que se deben repetir lasinstrucciones

El n úmero de repeticiones no depende de las sentencias del ciclo

Ciclo mientras (while)

No se conoce a priori el n´ umero de veces que se deben repetir lasinstrucciones

La condici´on de parada se eval´ ua antes de ejecutarse el ciclo

El n úmero de repeticiones puede depender de las sentencias del ciclo

Ciclo repetir (repeat)No se conoce a priori el n´ umero de veces que se debe repetir el conjuntode instrucciones

Se ejecuta primero el ciclo y luego se eval´ ua la condici´ on de parada

El n úmero de repeticiones puede depender de las sentencias contenidas

en el ciclo

d ´ l l ´ l f


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Estructura repetitiva para

Estructura de control en la que se conoce el n´ umero m áximo deiteraciones

Elementos del bucle:

V: variable de control del cicloVI: valor inicial

VF: valor nalID: incremento o decremento

Sintaxis en Matlab

for variable = inicio:incremento:final

...end

I t d i´ Ci l Ci l i t N´ l t i R f i


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Introducci on Ciclo para Ciclo mientras N umeros aleatorios Referencias

Ciclo forSintaxis en Matlab

for variable = inicio:incremento:final

end

>> for i = 1:5disp(i)end

12345

>> i

i = 5

>> for i = 1:2:5disp(i)end

1

35

>> for k = 5:-1:1disp(k)end

54321

>> for j = 1:2:5

fprintf( ’j es %d \ n’ , j);fprintf( ’j+1 es %d \ n’ , j+1);endj e s 1j+1 es 2j e s 3j+1 es 4

j e s 5j+1 es 6



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Variables contadoras

Variables que se incrementan o disminuyen de forma constante cadavez que se ejecuta la instrucci´ on que lo contiene

Usos:Cuentan las veces que ocurre un determinado suceso

Controlan la ejecuci´ on de un bucle que se realiza un determinadonúmero de veces.

Todo contador debe tomar un valor inicial antes de ser usadoSintaxis de un contador:

nombre variable = nombre variable ± constante> > a = 0a =

0> > a = a + 1 ;> > a = a + 1 ;> > a = a + 1 ;> > a = a + 1 ;>> aa =

4

>> impares = 0;

>> for i = 1:2:99impares = impares+1;end

>> imparesimpares =

50



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Ejemplo

Realice un programa en ( Matlab ) que lea n n´ umeros enteros desde el teclado y cuente cu´ antos de ellos son ceros.

Soluci´ on

n : almacena el n´umero de datos que se ingresannum: almacenar los valores de los enteros ingresados.numceros : variable contador , cuenta el n´umero de ceros

>> numceros = 0;>> num = input( ’Ingrese un numero entero: ’ );>> Ingrese un numero entero: 2>> num = input( ’Ingrese un numero entero: ’ );>> Ingrese un numero entero: 0>> numceros = numceros+1;

>> num = input( ’Ingrese un numero entero: ’ );>> Ingrese un numero entero: 0>> numceros = numceros+1;>> num = input( ’Ingrese un numero entero: ’ );>> Ingrese numero: -1>> numceros

numceros =2



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Ejemplo 2.1

nceros.m

% El programa recibe n enteros y determina% el numero de ceros ingresados.

clear all;

numceros = 0;n = input( ’Ingrese n: ’ );

for i=1:n

num = input( ’Ingrese numero: ’ );if num == 0numceros = numceros + 1;

endend

fprintf( ’Numero de ceros ingresados: %d \ n’ , numceros);

>> ncerosIngrese n: 3Ingrese n: -1Ingrese n: 0Ingrese n: 2Numero de ceros ingresados: 1


https://www.dropbox.com/s/h6wns1bjik32q6n/nceros.mhttps://www.dropbox.com/s/h6wns1bjik32q6n/nceros.m


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p

Variables acumuladoras

Almacenan valores que se incrementan o disminuyen de forma variable

Sintaxis de un acumulador en Matlab :nombre variable = nombre variable ± variablenombre variable = nombre variable * variable

Todo contador debe tomar un valor inicial antes de ser usado:nombre variable = 0 ´ o nombre variable = 1

>> suma = 0;>> i = 1 ;>> suma = suma + i;> > i = i + 1 ;>> suma = suma + i;> > i = i + 1 ;>> suma = suma + i;> > i = i + 1 ;>> suma = suma + i;>> sumasuma =

4

>> mult = 1;>> i = 1 ;>> mult = mult * i;> > i = i + 1 ;>> mult = mult * i;> > i = i + 1 ;>> mult = mult * i;> > i = i + 1 ;>> mult = mult * i;>> mult mult =

24

>> suma = 0;>> for i=1:4suma = suma + i;end>> sumasuma =

4

>> mult = 1;>> for i=1:4 mult = mult * i;end>> mult

mult =24



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Ejemplo 2.2: serie geométrica

EjemploRealice una funci´ on en Matlab que tenga como argumento un entero

positivo n y calcule n

i =1

12i

= 121

+ 122

+ 123

+ · · ·+ 12n

Soluci´ onn : almacena el entero hasta donde se realiza la sumasuma : almacena la n-ésima suma parcial.

>> suma = 0;>> i = 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;

> > i = i + 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;> > i = i + 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;> > i = i + 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;> > i = i + 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;

> > i = i + 1 ;

>> suma = suma + 1/2 ∧ i;> > i = i + 1 ;

>> suma

suma =0.9844



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geom.m

function y = geom(n)% Calcula la suma parcial% de la serie geometrica

suma = 0;for i=1:nsuma = suma + 1/2 ∧ i;

end

y = suma;end

>> geom(1)ans =

0.5000

>> geom(6)ans =

0.9844

>> geom(10)ans =

0.9990

>> geom(20)

ans =1.0000


https://www.dropbox.com/s/m4c8a942tr8ubbh/geom.mhttps://www.dropbox.com/s/m4c8a942tr8ubbh/geom.m


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Ejemplo 2.3: Fibonacci

Ejemplo

Realice un programa en Matlab

que calcule los n primeros términos de la suci´ on de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .

Soluci´ on

n : almacena el entero hasta donde se realiza la sumaEl t́ermino n-ésimo de la sucesi´ on para n = 2 , 3, . . . est á dado por:

f n = f n − 1 + f n − 2 con f 0 = f 1 = 1pri : representa a f n − 2 ; seg : representa a f n − 1 ; ter : representa a f n

>> pri = 1; seg = 1;

>> ter = pri + segter =

2

>> pri = segpri =

1

>> seg = ter

seg =2

>> ter = pri + segter =

3



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bonacci.m

% El programa calcula los n primeros% terminos de la sucesion de Fibonacci.

clear all;

pri = 1; seg = 1;n = input( ’Ingrese n: ’ );disp(pri);disp(seg);

for k=1:(n-2)ter = pri + seg;

pri = seg;seg = ter;disp(ter)

end

>> fibonacciIngrese n: 9

112358

132134


https://www.dropbox.com/s/34x7kpnbhgbkaut/fibonacci.mhttps://www.dropbox.com/s/34x7kpnbhgbkaut/fibonacci.m


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Ejemplo

Realice un programa en Matlab que encuentre todos los divisores positivos de un entero no negativo n e imprima el n´ umero de divisores que posee.

Soluci´ onn : almacena el entero positivo ingresado por el usuarioi : almacena los divisores de n y controla el ciclonumdiv : variable contadora, cuenta los divisores de n

>> n = 15;

>> i = 1 ;>> numdiv = 0;

>> if rem(n,i)==0disp(i);numdiv = numdiv + 1;

end1

>> i = i+1;>> if rem(n,i)==0disp(i);numdiv = numdiv + 1;end

>> i = i+1;

>> if rem(n,i)==0disp(i);numdiv = numdiv + 1;end

3

>> i = i+1;>> if rem(n,i)==0disp(i);numdiv = numdiv + 1;end

> numdivnumdiv =

2



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Ejemplo 2.4: divisores de un entero

divisores.m

% El programa calcula los divisores positivos% de un entero no negativo n.clear all;

n = input( ’Ingrese n: ’ );numdiv = 0;

for i=1:nif rem(n,i) == 0

disp(i);numdiv = numdiv + 1;

endend

fprintf( ’ %d tiene %d divisores \ n’ , n, numdiv);

>> divisoresIngrese n: 12

12346

1212 tiene 6 divisores


https://www.dropbox.com/s/l7t84h8vfib45nw/divisores.mhttps://www.dropbox.com/s/l7t84h8vfib45nw/divisores.m


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Ejemplo 2.5: números primos

EjemploUn n´ umero entero n > 1 es primo si los ´ unicos enteros positivos que lo

dividen son 1 y n. Escriba una funci´ on en Matlab que tenga comoargumento a n y devuelva true si n es primo y false en caso contrario.

Soluci´ onn : almacena el entero positivo ingresado por el usuarioi : almacena los divisores de n y controla el ciclo

primo : variable booleana ( true si n es primo y false sino lo es)>> n = 35;>> i = 2 ;>> primo = true;

>> if rem(n,i)==0 primo = false; end

>> i = i+1;

>> if rem(n,i)==0 primo = false; end>> i = i+1;

>> primo

primo =1



>> ii =

6

>> primoprimo =

0



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primo.m

function y = primo(n)% La funcion devuelve true si n es primo% Se asume que n es un entero positivo

if n==1y = false;

elseif n == 2y = true;

elsey = true;for i=2:(n/2)

if rem(n,i) == 0y = false;

endend

end

end

>> primo(32)ans =

0>> primo(17)ans =

1


https://www.dropbox.com/s/ch721j8q9cav6ss/primo.mhttps://www.dropbox.com/s/ch721j8q9cav6ss/primo.m


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Estructura repetitiva mientras

Estructura de control utilizada cuando NO se conoce el n´ umero

máximo de iteraciones

Elementos del bucle:

expresion : variable de control del ciclo

instrucciones : sentencias a ejecutar si expresion es verdadera

Sintaxis en Matlab

while (expresion)

instrucciones...end



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Ciclo mientrasSintaxis en Matlab

while (expresion)

instruccionesend

>> n = 3 ;>> i = 1 ;

>> while i> eps = 1;

while (1+eps/2 ∼ = 1) eps = eps/2; end

>> epseps =

2.2204e-16

>> num = 1;

>> while (num ∼ = 666)num = input( ’Ingrese numero: ’ );endIngrese numero: 3Ingrese numero: -2Ingrese numero: 666



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Ejemplo ( 3.1): la conjetura de Collatz (Ulam)

Ejemplo (Problema de Collatz)

Sea n un entero positivo. Si n es par, div́ıdalo entre 2, sino lo es,multipĺıquelo por 3 y s´ umele 1. Repita este proceso hasta que el n´ umeroobtenido sea 1. Realice un programa en Matlab que implemente dichoproceso.

Observaciones

Para n = 10 la sucesi ón generada es

10 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1

Conjetura de Collatz:

“Para cualquier entero positivo n, el proceso iterativo de Collatz arriba descrito siempre terminar´ a en 1 en un n´ umero nito de pasos”

La conjetura de Collatz es un problema abierto en matem´ aticas y hasta

ahora no ha sido resuelto



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collatz.m

% Itera el proceso de Collatz

clear all;

n = input( ’Ingrese entero: ’ );while n ∼ = 1

disp(n);if rem(n,2) == 0

n = n/2;else

n = 3*n + 1 ;end

end

disp(n);

>> collatz

Ingrese n: 1010

516

8421

https://www.dropbox.com/s/8dth51hn00z2vzj/collatz.mhttps://www.dropbox.com/s/8dth51hn00z2vzj/collatz.m


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esprimo.m

function y = esprimo(n)% La funcion devuelve true si n es primo% Se asume que n es un entero positivo

if n==1y = false;

elseif n==2y = true;

elsey = true;k = 2 ;

while (y && k∧2> esprimo(13)ans =

1>> esprimo(49)ans =

0


https://www.dropbox.com/s/ywem5ynhsvzxnob/esprimo.mhttps://www.dropbox.com/s/ywem5ynhsvzxnob/esprimo.m


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Ejemplo 3.3: función contadora de n´umeros primos

EjemploImplemente en Matlab la funci´ on denida por

π(x) = n´ umero de primos ≤x, x ∈R .Soluci´ on

>> n = 8 ;>> i = 2 ;>> numprimos = 0;

>> if esprimo(i)numprimos = numprimos+1;end> > i = i + 1 ;

>> numprimosnumprimos =1


>> if esprimo(i)numprimos = numprimos+1;end

> > i = i + 1 ;



>> numprimosnumprimos =

3



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primos.m

function y = primos(x)% Cuenta el numero de primos menores o iguales que n% Requiere la funcion primo del ejemplo (3.2 )numprimos = 0;i = 2 ;

while i> primos(1)ans =

0

>> primos(pi)ans =

2

>> primos(150)ans =

35


https://www.dropbox.com/s/5qawvuvml0ympxt/primos.mhttps://www.dropbox.com/s/5qawvuvml0ympxt/primos.m


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Nociones de probabilidad

Denici ón1 Experimento aleatorio : experimento cuyo resultado no puede ser de-

terminado de antemano.2 Espacio muestral : conjunto Ω formado por todos los posibles resultados

de un experimento aleatorio.

Ejemplo 1

Experimento: lanzamiento de una moneda corriente

Espacio muestral: Ω = {c, s} donde c =“cara” y s =“sello”

Ejemplo 2

Experimento: lanzamiento de un dado corriente 3 vecesconsecutivasEspacio muestral: Ω = {(a 1 , a 2 , a 3 ) | a i = 1 , 2, 3, 4, 5 ó 6}


N i d b bilid d


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Denici ón1 Experimento aleatorio : experimento cuyo resultado no puede ser de-

terminado de antemano.2 Espacio muestral : conjunto Ω formado por todos los posibles resultados

de un experimento aleatorio.

Ejemplo 3

Experimento: contar el n´ umero de veces que es necesario lanzaruna moneda corriente hasta obtener “cara” por primera vez

Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, . . .}

Ejemplo 4Experimento: registrar la posici´ on de una part́ıcula que se muevealeatoriamente sobre el eje realEspacio muestral: Ω = R

R


N i d b bilid d


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Denici ón1 Evento : alg´ un subconjunto A

⊆

Ω del espacio muestral

2 Probabilidad de un evento A: n´ umero real P (A) que nos indica la “posibilidad” que tiene el evento A de ocurrir y satisface:

P (A ) ≥ 0 para todo evento A ;

P (Ω) = 1 ;

Si A1 , A 2 , . . . son eventos mutuamente excluyentes (A i ∩ A j = ∅ ) ,P (A 1 ∪ A 1 ∪ · · · ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · ·

Ejemplo 5


Eventos: {c} = “se obtuvo cara” y {s} = “se obtuvo sello”Es igualmente probable obtener “cara” o “sello”:

P ({c}) = P ({s}) = 12

= 0 .5


N i d b bilid d


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Denici ón1 Evento : alg´ un subconjunto A⊆Ω del espacio muestral

2 Probabilidad de un evento A: n´ umero real P (A) que nos indica la “posibilidad” que tiene el evento A de ocurrir y satisface:


P (Ω) = 1 ;

Si A1 , A 2 , . . . son eventos mutuamente excluyentes (A i ∩ A j = ∅ ) ,

P (A 1 ∪ A 1 ∪ · · · ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · ·

Ejemplo 6

Experimento: lanzamiento de un dado corriente Eventos: cualquier subconjunto de Ω =

{1, . . . , 6

}Es igualmente probable obtener cualquier “cara”:P ({1}) = · · ·= P ({6}) =

16

= 0 .1666 · · ·La pobabilidad de “obtener 2 ´ o 5” es:

P ({2}∪{5}) = P ({2}) + P ({5}) = 16 +

16 =

13




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Denici ónFrecuencia relativa : si al repetirse N veces el experimento, el evento A

ocurre n(A) veces, la frecuencia relativa de A est´ a dada por

fr (A) = n(A)

N

Proposici´on

La frecuencia relativa de un evento nos permite estimar su probabilidad:

fr (A) →P (A) cuando n se hace “grande”Ejemplo 7

Experimento: se lanza una moneda corriente n = 100 veces y en 56 delos lanzamientos se obtiene “cara”Eventos: A = “se obtuvo cara” y B = “se obtuvo sello”Las frecuencias relativas de los eventos A y B son:

fr (A) = n(A)

N =

56

100 = 0 .56 y f r (B ) =

n(B )

N =

44

100 = 0 .44




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Denici ón (Resumen)

Un espacio de probabilidad es una terna (Ω,

F , P ) donde:

1 Ω es un conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio (espacio muestral)

2 F es una colecci´ on de subconjuntos de Ω (eventos)3 P : F →R es una funci´ on tal que


P (Ω) = 1 ;

Si A1 , A 2 , . . . son eventos mutuamente excluyentes (A i ∩ A j = ∅ ) ,

P (A 1 ∪ A 1 ∪ · · · ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + · · ·

Propiedades1 P (∅ ) = 02 A ∩B = ∅ =⇒ P (A∪B ) = P (A) + P (B )3 P (Ac ) = 1 −P (A)4

P (A∪B ) = P (A) + P (B ) −P (A ∩B )


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Generadores de congruencia


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Generadores de congruencia

Generador de congruencia lineal

Sea m un entero positivo, a y b enteros y x0 ∈ {1, . . . , m }. Entonces lasucesi ón u0 , u 1 , . . . , generada por

xn +1 = ax n + b (mód m)u n = xn /m

es una sucesi´on de n úmeros que resulta “casi imposible” de distinguir de unasucesi ón de n úmeros que distribuyen uniformemente en [0 , 1).

>> a = 3 ; b = 0 ;>> m = 7 ; x = 2 ;>> for i = 1:8disp(x);x = rem(a*x+b,m);end

26451326

>> a = 171; b = 0;>> m = 29241; x = 3;>> for i = 1:8disp(x);x = rem(a*x+b,m);end

3513000000

>> a = 171; b = 0;>> m = 30269; x = 27218;>> for i = 1:8disp(x/m);x = rem(a*x+b,m);end

0.89920.76390.61850.76140.19480.30850.75920.8276


Números pseudoaleatorios en Matlab


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Numeros pseudoaleatorios en Matlab

Comando Genera

rand() Número pseudoaleatorio que distribuye uniformemente en (0 , 1)randn() Número pseudoaleatorio que distribuye normal en (0 , 1)randi(n) Número pseudoaleatorio entero ≤ n que distribuye uniformemente

>> rand()ans =0.7475

>> randn()ans =

1.6050

>> randi(8)ans =

5

>> for i=1:10disp(rand())end

0.36730.74490.89230.24260.12960.12960.35000.28710.92750.0513


Ejemplo: simulaci´on de un experimento tipo Bernoulli


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Ejemplo: simulaci on de un experimento tipo Bernoulli

EjemploUtilice n´ umeros pseudoaleatorios para simular la realizaci´ on del lanzamientode una moneda corriente 10 veces consecutivas.

Soluci´ on

Experimento: lanzamiento de una moneda corriente 10 vecesconsecutivas

Espacio muestral: Ω = {(a 1 , . . . , a 10 ) | a i = 0 ó 1}“a i = 0” ⇐⇒ “se obtuvo cara en el i-ésimo lanzamiento”“a i = 1” ⇐⇒ “se obtuvo sello en el i-ésimo lanzamiento”En cada lanzamiento hay igual posibilidad de obtener cara (0) o sello(1)

Para simular cada lanzamiento, generamos un n´ umero pseudoaleatorior que distribuya uniformemente en (0 , 1):

cara : 0 ≤ r < 12 sello :

12 ≤ r ≤ 1



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lanzamientos.m

% Simula el lanzamiento de una moneda

% corriente 10 veces consecutivasfor i = 1:10

if rand() < 1/2disp(0);

elsedisp(1);

endend

>> lanzamientos001

1100010

>> lanzamientos0010111110

>> lanzamientos111

1110000


Ejemplo: simulaci´on de la probabilidad de un evento

https://www.dropbox.com/s/jm1cl6z0fx7tsmj/primo.Rhttps://www.dropbox.com/s/jm1cl6z0fx7tsmj/primo.R


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Ejemplo: simulaci on de la probabilidad de un evento

Ejemplo (Lanzamiento de una moneda corriente)

Utilice n´ umeros pseudoaleatorios para simular la probabilidad de “obtener cara” al lanzar una moneda corriente.

Soluci´ on


Espacio muestral: Ω = {0, 1}{0} = “se obtuvo cara ”{1} = “se obtuvo sello ”Es igualmente probable obtener cara (0) o sello (1):

P ({0}) = P ({1}) = 12

= 0 .5

Para simular P ({0}) utilizamos frecuencias relativas: si al lanzar lamoneda N veces, el evento {0} ocurre n veces, entoncesf r (

{0

}) =

n

N →P (

{0

}) cuando n se hace “grande”



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lanzamientos.m

function f = moneda(N)% Calcula la frecuencia relativa de% obtener cara al lanzar N veces una

% moneda corriente% Cuenta el numero de caras obtenidasn = 0 ;for i = 1:N

if rand() < 1/2n = n+1;

endendf = n/N;

end

>> moneda(20)ans =

0.4000

>> moneda(57)ans =

0.5088

>> for i=100:100:2000disp(moneda(i))end

0.4300

0.48500.53330.46250.52000.51330.47860.5088

0.49560.51600.50640.45920.49460.49460.50200.50200.49250.49470.51390.51390.51000.5015


Bibliografı́a I

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ESTRUCTURAS REPETITIVAS DE MATLAB

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