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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Centro: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
UFRN Departamento: ESTATÍSTICA
DISCIPLINA
CÓDIGO DENOMINAÇÃO CRÉDITOS CARGA HORÁRIA
Tot. Aul. Lab. Est. Tot. Aul. Lab. Est. EST0322 Estatística Aplic. à Informát.
04 03 01 - 60 45 15 -
P R É - R E Q U I S I T O S
CÓDIGO DENOMINAÇÃO CRÉDITOS CARGA HORÁRIA
Tot. Aul. Lab. Est. Tot. Aul. Lab. Est. MAT0005
Cálculo Diferencial
e Integral II ou 06 04 02 - 90 60 30 -
MAT0312 Matemática p/ Engenharia II 06 04 02 - 90 60 30 -
E M E N T A
Probabilidade. Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas Unidimensionais e Bidimensionais. Distribuições de Probabilidade Discretas: Poisson e Binomial e Contínuas: Normal e Exponencial. Introdução aos Processos Estocásticos. Correlação e Auto–Correlação.
PROFESSOR RESPONSÁVEL
ALLAN ROBERT DA SILVA
Natal 2007
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P R O G R A M A EST0322 – Estatística Aplicada à Informática (4 créditos, 60 horas/aula)
UNIDADE I – PROBABILIDADE
1.1 - Experimentos Aleatórios 1.2 - Espaço Amostral 1.3 - Eventos 1.4 - Probabilidade 1.5 - Definições Clássicas e Axiomáticas de Probabilidade. Propriedades 1.6 - Probabilidade Condicional 1.7 - Teorema do Produto, da Probabilidade Total e de Bayes 1.8 - Eventos Independentes
UNIDADE II – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 2.1 - Variáveis Aleatórias Unidimensionais 2.1.1 - Variáveis Aleatórias Discretas 2.1.2 - Variáveis Aleatórias Contínuas
2.1.3 - Média, Variância e Desvio Padrão para Variáveis aleatórias Discretas e Contínuas
2.2 - Variáveis Aleatórias Discretas Bidimensionais 2.2.1 - Distribuição Conjunta de Probabilidade 2.2.2 - Variáveis Aleatórias Independentes 2.2.3 - Covariância 2.2.4 – Coeficiente de Correlação UNIDADE III – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 3.1 - Principais Distribuições Discretas (Bernoulli, Binomial, Poisson) 3.2 - Principais Distribuições Contínuas (Exponencial, Normal) UNIDADE IV – PROCESSOS ESTOCÁTICOS 4.1 - Noções Básicas de Processos Estocásticos
4.2 - Processos Markovianos
UNIDADE V – CORRELAÇÃO E AUTOCORRELAÇÃO 5.1 - Coeficiente de correlação
5.2 - Propriedades do Coeficiente de Correlação Linear 5.3 - Regressão Linear Simples 5.4 - Análise de Resíduos
5.5 - Autocorrelação
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B I B L I O G R A F I A
1. MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A. C. P. de . Noções de Probabilidade e Estatística. 5ª Ed. Edusp. São Paulo. 2004. 2. DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um Curso Introdutório. Ed. USP, São Paulo, 2a Ed., 2000.
3. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. Rio de Janeiro. Livros técnicos e científicos editora, 1984.
4. AZEVEDO, Paulo Roberto Medeiros de. Introdução à Estatística. Natal, ed. UFRN, 2005.
5. CLARKE, A. Bruce. Probabilidade e Processos Estocásticos. Rio de Janeiro, LTC S. A. 1979.
6. TRIOLA, Mario F., Introdução à Estatística, 9ª ed., LTC Editora (2005).
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UNIDADE I - PROBABILIDADE
1.1 Experimentos Aleatórios
A Teoria da probabilidade é útil para analisar situações que envolvem o acaso. Jogos de
dados e de cartas, ou o lançamento de uma moeda para o ar. As distribuições de probabilidade
incorporam a estatística descritiva e a teoria da probabilidade. Ambas formam a base da
inferência estatística. Algumas aplicações:
Na maioria dos jogos esportivos (futebol, basquete, turfe...), até certo ponto;
Na decisão de parar de imunizar pessoas com menos de 20 anos contra determinada
doença;
Na decisão de arriscar-se a usar determinado antivírus;
Todas utilizam a probabilidade consciente ou inconscientemente.
Um fenômeno ou experimento se diz aleatório se:
a) O experimento pode ser repetido sob condições idênticas;
b) Todos os possíveis resultados do experimento são conhecidos de antemão;
c) Em qualquer realização do experimento, não de pode predizer com certeza, qual
resultado particular ocorrerá, quando o experimento for realizado.
Dito de outra forma: um experimento aleatório é aquele cuja natureza, envolve um
elemento casual, que torna impossível a previsão, com certeza, de qualquer resultado particular,
dentre todos os possíveis, que este experimento possa apresentar, quando de sua realização.
1.2 Espaço Amostral
É o conjunto dos distintos resultados de um experimento aleatório, e será representado
por Ω . Cada elemento desse conjunto (dos resultados possíveis), é chamado ponto amostral.
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1.3 Eventos
É um subconjunto do espaço amostral, isto é, é um subconjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório, e é sempre representado por letras maiúsculas A, B, etc.
Se um evento A é formado por apenas um ponto amostral, A é dito evento elementar. Temos
ainda que φ e Ω são eventos. O primeiro é chamado de evento impossível (nuca ocorre), o
segundo é chamado de evento certo (sempre ocorre).
Dado que os eventos associados a um espaço amostral, são, por sua vez conjuntos,
podemos efetuar as operações do tipo: união, intercessão, complementação e diferença, de forma
semelhante às respectivas operações que se realizam com os subconjuntos de qualquer conjunto
abstrato, e formar a partir destas operações, novos eventos tais como:
• BxouAx:xBA ∈∈=∪ , isto é: A ∪ B é o evento que ocorre sempre que
ocorre A ou sempre que ocorre B, e somente neste caso.
• BxeAx:xBA ∈∈=∩ isto é: A ∩ B é o evento que ocorre somente quando
ocorrem A e B simultaneamente.
• Ac = x : x ∈ Ω, x ∉ A, isto é Ac é o evento contrário de A, somente ocorre se A não
ocorre, (e não ocorre, se A ocorre). Claramente nota-se que Ac ∪ A = Ω.
• A – B = x : x ∈ A e x ∉ B, isto é: (A – B) é o evento que ocorre unicamente
quando ocorre A e não ocorre B.
Quando dois eventos são tais que, eles nunca podem ocorrer simultaneamente, neste caso
se tem que A ∩ B = ∅, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente
excludentes, (em termos de conjunto, diríamos que são conjuntos disjuntos). Seguem-se
exemplos, para melhor esclarecer o acima exposto.
Ex. 1. Uma fábrica produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 03
artigos e cada um testado, e classificado como B (bom), D (defeituoso). Um espaço amostral
associado ao experimento é: Ω = BBB, DDD, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB
Ex. 2. Considere o experimento que consiste em selecionar uma família aleatoriamente,
em certo distrito do Seridó, e verificar o nº de filhos que esta família já registrou. Um espaço
amostral associado a este experimento é: Ω = 0, 1, 2, 3, 4, ...
Ex. 3. Seja agora o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir
seu tempo de vida antes de se queimar. Um espaço amostral pode ser:
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Ω = R+, isto é, Ω = t : t ≥ 0
Ex. 4. Um dado é lançado e o nº que aparece na face superior é observado. Um espaço
amostral é:
Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Com exceção do exemplo 3, que é contínuo, todos os demais são espaços amostrais do
tipo chamado discreto. Um espaço amostral é discreto quando é formado por um conjunto
contável (finito ou infinito). Caso contrário, ele é dito contínuo.
Consideremos novamente o Ex. 1. Sejam os eventos associados a este espaço, tais como:
• A = “obter dois artigos defeituosos”. Logo, A = DDB, DBD, BDD
• B = “obter no mínimo 1 artigo bom”. Logo, B = DDB, DBD, BDD, BBD, BDB,
DBB, BBB
• C = “obter no máximo 1 artigo defeituosos”. Logo, C = BBB, BBD, BDB, DBB
Então poderemos ter, por exemplo, os novos eventos (resultantes das operações).
• A ∩ B = DDB, DBD, BDD = A
• A ∩ C = ∅, (portanto A e C são incompatíveis ou mutuamente exclusivos ou
excludentes).
• A ∪ C = BBB, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB
• Bc = DDD, (portanto Bc é um evento elementar).
Consideremos agora o exemplo 3 (espaço amostral contínuo), e seja A o evento dado por:
A = “o tempo de vida da lâmpada é inferior a 20 horas”. Então, A = t : 0 ≤ t < 20 e Ac = (t ≥
20.
Naturalmente que A ∪ Ac = (t : t ≥ 0) = Ω é o evento certo. E observe que, sempre, A ∩
Ac = ∅, para qualquer evento A.
Obs.: Vale a pena lembrar as leis de MORGAN, referente a álgebra de conjuntos:
• (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (o complementar da união é igual à interseção dos
complementares)
• (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (o complementar da interseção é igual à união dos
complementares)
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1.4 Resultados Equiprováveis
Muitos experimentos aleatórios sugerem que os distintos resultados de um espaço
amostral finito estejam associados, cada um deles, a um mesmo valor p, que representa a
probabilidade de sua ocorrência. Por exemplo, em um lançamento de um dado honesto se tem
que o espaço amostral finito é formado por:
Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
e cada ponto amostral tem a mesma probabilidade de ocorrência que será neste caso, p = 1/6.
Suponha por exemplo que sorteamos, numa urna com n bolas numeradas, 1, 2, 3, ..., n,
uma bola ao acaso. A probabilidade de cada bola (cada ponto amostral) será 1/n. Se um evento
A, associado a este espaço é formado por K pontos, digamos A = 1, 2, ..., 10, (n>10), então se
tem :
n
10
n
1.10)A(P ==
possíveiscasos
favoráveiscasos
espaçodoelementosdeºn
Aeventodoelementosdeºn)A(P =
Ω=
1.5 Principio fundamental da contagem e relação com a probabilidade:
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer
de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o
número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1 · k2 · k3 · ... · kn
Exemplo: uma pessoa pode viajar de natal ate recife de 2 maneiras: avião ou ônibus, mas pode
voltar de 3 maneiras: avião, ônibus ou uma carona com um amigo. Quantas maneiras ele pode
fazer esta viagem? qual a probabilidade dele ir de avião e voltar de carona? e de volta de carona?
Vejamos que pela regra ele tem 2 maneiras de ir e 3 de voltar. Logo ele tem 3*2 maneiras de ir e
voltar, ou seja, 6 maneiras de fazer a viagem, a seguir escritas:
Avião - Avião Ônibus - Avião
Avião - Ônibus Ônibus - Ônibus
Avião – Carona Ônibus - Carona
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A probabilidade de ir de avião é 1/2 e voltar de carona 1/3 = 1/2*1/3=1/6
Qual a probabilidade dele volta de carona? Não há restrições a sua ida, logo ele pode escolher 2
entre duas opções 2/2=1 e de a probabilidade de voltar de carona é 1/3=1*1/3=1/3.
1.6 Conceitos de Probabilidade
1.6.1 Definição Frequentista
Probabilidade definida como limite de freqüências relativas (definição de R. Von
Misses). Seja n o nº de provas realizadas em um experimento aleatório, e seja a, um evento
associado a este experimento. Seja f(A), a freqüência da ocorrência de evento A, isto é, o nº de
vezes em que se observou a ocorrência do evento A, nas n provas. Então a probabilidade do
evento A, segundo a definição frequentista, é dada por:
limnumero de ocorrencias de A f (A)
P(A) P(A)nnº total de provas ou observações n
= ⇒ =→ ∞
1.6.2 Definição Clássica
Regra de Laplace, aplicada aos casos de espaços amostrais finitos, cujos resultados,
(pontos amostrais), (têm cada um a mesma probabilidade de ocorrência).
n
n
possíveiscasosdeºn
Aeventodoocorrênciaàfaveráveiscasosdeºn)A(P A==
Pela regra de Laplace, se tem que:
a) 0 ≤ P(A) ≤ 1
b) P(∅) = 0n
0= ; P(Ω) = 1
n
n=
c) Se A e B são incompatíveis, isto é A ∩ B = ∅, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
1.6.3 Formulação Axiomática do Conceito de Probabilidade
Este conceito de probabilidade se estabelece a partir de uma função real P(A), definida
sobre os eventos associados a um espaço amostral, a qual faz corresponder a cada subconjunto
A, de Ω (sendo este subconjunto um evento), um nº real, tal que cumpra os seguintes axiomas:
a) P(A) ≥ 0
b) P(Ω) = 1
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c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é A ∩ B = ∅, então se tem que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Obs.: Esta definição axiomática é mais abrangente que a regra de Laplace, dado que, a definição
clássica se limita aos espaços amostrais finitos equiprováveis.
1.6.4 Teoremas Fundamentais do Cálculo das Probabilidades
a) Se ∅ é um conjunto vazio, então P(∅) = 0
Demonstração:
Pelo axioma (b), 1 = P(Ω) e pelo axioma (c), P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅) 1 = 1 + P(∅) P(∅) = 0
b) Sejam A e B eventos quaisquer, então, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Demonstração:
• Se A e B são incompatíveis então A ∩ B = ∅ e P(∅) = 0, se tem então que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), com A ∩ B = ∅ (axioma c)
• Se A e B não são incompatíveis, da forma: A ∪ B = (A - B) ∪ B e sendo
assim pelo axioma (c), P(A ∪ B) = P(A - B) ∪ P(B) (1)
Analogamente A pode ser escrito da forma: A = (A ∩ B) ∪ (A – B), sendo (A
∩ B) e (A – B) eventos incompatíveis.
Portanto: P(A) = P(A ∩ B) + P(A – B) ou P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B)
Substituindo em (1) se tem: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
c) Se Ac é o complementar de A, então: P(Ac) = 1 – P(A)
Demonstração:
Temos que Ω = A ∪ Ac, sendo A ∩ Ac = ∅
Pelo axioma (b), temos que P(Ω) = 1 e pelo axioma (c), temos que P(A ∪ Ac) =
P(A) + P(Ac)
Logo, P(Ω) = P(A ∪ Ac) = 1 = P(A) + P(Ac) donde P(Ac) = 1 – P(A)
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d) Se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)
Demonstração
Se A ⊂ B, podemos escrever B da forma: B = A ∪ (Ac ∩ B), onde A e (Ac ∩ B)
são eventos incompatíveis, e portanto, pelo axioma (c), se tem que P(B) = P(A) +
P(Ac ∩ B),
Logo P(B) - P(A) = P(Ac ∩ B), pelo axioma (a), P(Ac ∩ B) ≥ 0
Portanto, P(B) – P(A) ≥ 0 logo, P(B) ≥ P(A)
EXERCÍCIOS
1. Faça A e B serem eventos
I. Indique no Diagrama de VENN os novos eventos:
a) Ocorre A, mas não ocorre B.
b) Apenas A ou B ocorre, mas não ambos.
c) Não ocorre A.
II. Encontre uma expressão para estes eventos.
2. Considere o experimento aleatório: Lançar uma moeda e um dado. Pede-se:
a) Um conjunto que represente o espaço amostral associado a este experimento.
b) Expresse os eventos:
A = “cara e nº par”
B = “números primos”
C = “coroa e nº ímpar”
c) Expresse claramente os eventos:
1. A ou B ocorre
2. B ou C ocorre
3. Somente B ocorre
4. Ocorre BA ∪
d) Quais eventos A, B e C são mutuamente exclusivos?
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1.7 Relação Entre Probabilidade e Frequência Relativa
O método clássico para determinar probabilidades está limitado às situações em que os
resultados são igualmente prováveis. Mas, há muitos casos em que isso não ocorre. Por exemplo,
no caso de uma moeda não equilibrada, é claro que cara e coroa não são igualmente prováveis.
Uma forma de lidar com situações como esta é obter alguns dados empíricos, numa tentativa de
estimar as probabilidades. Parece razoável considerar o lance repetido da moeda, um grande
número de vezes (sob condições idênticas), observando os resultados para testar a hipótese de
resultados igualmente prováveis.
Mas não é absolutamente essencial realizar um experimento para obter dados amostrais.
Em muitos casos dispomos de informação histórica, que pode ser utilizada precisamente da
mesma maneira.
1.8 Probabilidade Condicionada
Sejam A e D, eventos quaisquer, associados a um espaço amostral sendo P(D) > 0.
Muitos problemas envolvem o cálculo da probabilidade da ocorrência de A, quando já se tem a
informação de que houve a ocorrência de D. Isto é, a probabilidade de A será calculada
considerando-se a condição de que já houve a ocorrência de D. Esta nova informação, (de que D
ocorreu), equivale a restringir o espaço amostral, que agora será considerado como o conjunto
dos pontos amostrais que formam o evento D. E, a probabilidade de A, dentro desta condição,
chama-se “probabilidade condicional de A, dentro desta condição, chama-se: “probabilidade
condicional de A, dado que D ocorreu”. A qual será escrita sob a forma: P(A / D), sendo definida
como:
)D(P
)DA(P)D/A(P
∩= , com P(D) > 0
Desta relação acima, obtemos a chamada REGRA DO PRODUTO DE
PROBABILIDADE, dada por:
P(A ∩ D) = P(D) . P(A / D) ou P(A ∩ D) = P(A) . P(D / A)
Esta regra pode ser estendida para mais de dois eventos: Sejam A1, A2, … , An eventos quaisquer
associados a Ω, então:
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1 ∩ A2). ... . P(An/A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An-1)
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Ex.: Um par de dados “honestos” é lançado. Qual a probabilidade de ocorrer o nº 2 em pelo
menos um dos dados, se já se tem a informação de que ocorreu que a soma dos nº dos dados é
igual a seis?
Solução:
Sejam os eventos: A: “a soma dos dois dados é 6”
B: “ocorre o nº 2 em pelo menos um dos dados”
)A(P
)BA(P)A/B(P
∩=
# Ω = 6 x 6 = 36
A = (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) ⇒ # A = 5
B = (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) ⇒ # B = 11
A ∩ B = (2,4), (4,2) ⇒ # (A ∩ B) = 2
Portanto, 5
2)A/B(P
365
362
==
Ex.: Consideremos novamente o lançamento de dois dados “honestos”. Qual a probabilidade de
ocorrer a soma igual a 6, se, sabe-se que em um dos dados apareceu o nº 2”
Solução: agora pede-se P(A/B).
Portanto P(A/B) = 11
2
)B(P
)BA(P
3611362
==∩
Ex.: Para a 3ª avaliação de estatística, um professor indica os 10 primeiros capítulos do livro
adotado e diz que elaborará 10 problemas, numerados de 1 a 10, onde cada um deles será
baseado no respectivo capítulo a ser estudado (ex: problema 1 – capítulo 1, etc.) O professor
avisa que a prova constará, de apenas 3 destes 10 problemas, os quais serão sorteados no início
da avaliação, aleatoriamente, um após outro, entre 10 papeizinhos numerados de 1 a 10, que
corresponderão aos respectivos problemas. Um estudante, por ter ido farrear na noite anterior,
somente estudou os 4 primeiros capítulos.
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a) Qual a probabilidade de que “caia” na avaliação somente capítulos que ele tenha
estudado?
b) Qual a probabilidade de que somente no 3º sorteio (a 3ª questão) “caia” exatamente um
ponto que ele não estudou?
Solução: Sejam os eventos:
A1 = “No 1º sorteio “cai” um ponto que ele estudou”
A2 = “No 2º sorteio “cai” um ponto que ele estudou”
A3 = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele estudou”
B = “No 3º sorteio “cai” um ponto que ele não estudou”
(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩ A2) = 4/10 . 3/9 . 2/8 = 1/30
(A1 ∩ A2 ∩ B) = P(A1).P(A2/A1).P(B/A1∩ A2) = 4/10 . 3/9 . 6/8 = 1/10
1.9 Teorema de Bayes
Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é expressa
pelo Teorema de Bayes, também conhecido como regra das probabilidades das causas.
Suponha que o conjunto A1, A2, … , An seja uma partição do espaço amostral Ω, isto é, Ai ∩
Aj = ∅ para todo i ≠ j e A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = Ω. Seja B um evento qualquer, e suponha que são
conhecidas as probabilidades das causas P(Ai), e as probabilidades condicionais P(B/Ai) de
ocorrência do evento B, dado que ocorreu a causa Ai, i = 1, 2, ... , n. Então teremos:
Teorema de Bayes: A probabilidade P(Ai/B), de ocorrência da causa Ai, dado que
ocorreu o evento B é dado por:
)A/B(P)A(P...)A/B(P)A(P)A/B(P)A(P
)A/B(P)A(P)B/A(P
nn2211
iii
⋅++⋅+⋅
⋅=
Ex.: Temos 5 urnas externamente iguais, cada urna com 6 bolas. Duas destas urnas, (tipo A1),
tem 3 bolas brancas. Duas outras urnas, (tipo A2), têm 2 bolas brancas, e a última urna, (tipo A3),
tem as 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e desta urna retiramos uma bola. Qual a
probabilidade da urna escolhida ser a do tipo A3, sabendo-se que a cor da bola retirada é branca?
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Solução:
Sejam os eventos:
B = “a bola retirada é branca”
A1 = “a urna selecionada contém 3 bolas brancas” P(A1) = 2/5 P(B/A1) = 3/6
A2 = “a urna selecionada contém 2 bolas brancas” P(A2) = 2/5 P(B/A2) = 2/6
A3 = “a urna selecionada contém 6 bolas brancas” P(A3) = 1/5 P(B/A3) = 6/6 = 1
)A/B(P)A(P)A/B(P)A(P)A/B(P)A(P
)A/B(P)A(P)B/A(P
332211
333
⋅+⋅+⋅
⋅=
8
3
1.5/16/2.5/26/3.5/2
1.5/1=
++=
Exercícios (Regra de Bayes)
1. Consideremos a situação: Um estudante que em certa manhã sai de casa apressado para a
escola e apanha na cozinha aleatoriamente uma das 3 sacolas iguais que estão em cima da
mesa. Uma delas contém o seu lanche: dois sanduíches de queijo manteiga. Outra sacola
contém o lanche de sua irmã: ums sanduíche de queijo manteiga e outro de presunto, (que ele
detesta). A terceira sacola contém restos de comida que será dada ao gato. Pensando em ter ou
não, pego a sacola errada, no meio do caminho, ele abre a sacola e tira um sanduíche. Verifica
que é de queijo manteiga. (Fica aliviado, pelo menos não é a da comida do gato). Pergunta-se:
Nestas condições, qual a probabilidade dele ter apanhado a sacola certa?
Solução: Sejam os eventos:
A = “o sanduíche é de queijo manteiga”
S1 = “a sacola contém 1 sanduíche de queijo”
S2 = “a sacola contém 2 sanduíche de queijo”
S3 = “a sacola contém a comida do gato”
Pede-se: P(S2/A) = ?
3
2
0.1..
1.
)S/A(P)S(P)S/A(P)S(P)S/A(P)S(P
)S/A(P)S(P)A/S(P
31
31
21
31
31
332211
222 =
++=
⋅+⋅+⋅
⋅=
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1.10 Eventos Independentes
Definição: Um evento A é considerado independente de um outro evento B se a probabilidade de
A é igual a probabilidade condicional de A dado B, isto é:
P(A) = P(A/B)
Naturalmente, que, se A é independente de B, B é também independente de A, desta forma:
P(B) = P(B/A)
A partir do teorema do produto podemos afirmar que se os eventos A e B são independentes
então se tem:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Têm-se n eventos: A1, A2, … , An, diremos que eles são independentes se e somente se, eles
forem independentes dois a dois; três a três; quatro a quatro; n a n.
P(A1 ∩ A2) = P(A1).P(A2)
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1).P(A2).P(A3)
. . . .
. . . .
. . . .
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1).P(A2) ... P(An-1).P(An)
Exercícios
(Espaços amostrais – Eventos)
1 – Numa classe de Ciências, onde há 20 alunos, faz-se um sorteio de uma passagem aérea para
participação de um congresso sobre Política. Para isto, cada aluno da classe recebe um nº
entre 1 e 20. Determine:
a) O espaço amostral associado a este sorteio.
b) O evento A formado pelos nº múltiplos de 3.
c) O evento B formado pelos nº pares inferiores a 6.
d) O evento A
e) O evento BA ∩
f) O evento A ∪ B
g) Pergunta-se: Os eventos A e B são mutuamente exclusivos?
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2 – Retira-se ao acaso, uma após outra, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 pastas
idênticas, (nestas pastas estão as contas de 4 firmas as quais estão numeradas de 1 a 4), duas
destas pastas. Após a retirada de cada pasta, seu nº é anotado, na ordem dos sorteios,
obtendo-se assim, um par ordenado.
Determine:
a) O espaço amostral associado a este experimento.
b) O evento A, formado pelos pares cuja soma é 4.
c) O evento B, formado pelos pares de nº iguais.
d) O evento C, formado pelos pares cujo 1º número é maior que o segundo número.
3 – Repita o exercício nº 2, supondo agora, que as retiradas das duas pastas sejam feitas com
reposição.
(Probabilidade – Axiomas e Principais Teoremas)
4 – Dados:
a) 3
1)B(P;
6
5)A(P)BA(P ===∩ . Calcule P(AUB)
b) 6
5)C(P;
3
2)CB(P)B(P ==∪= . Calcule P(B ∪ C)
c) P(A) = 6
1)C(P = . Sendo A e C eventos incompatíveis. Calcule P(A ∪ C)
5 – Numa gaveta, há misturados 3 recibos de telefones da Firma A; 5 da Firma B; 4 da firma C;
2 da Firma D; e 1 da Firma E. Extraindo-se um recibo ao acaso, pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de sair um recibo que não seja da Firma C?
b) Qual a probabilidade de sair um recibo da Firma A ou um recibo da Firma D?
c) Qual a probabilidade de sair um recibo da Firma E ou um recibo da Firma D?
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6 – Seja o experimento: lançar um dado honesto e observar o nº que aparece na sua face superior.
Sejam os eventos associados a este experimento:
A : “Sai um nº ímpar”
B : “Sai um nº maior que 5”
a) Pergunta-se: os eventos A e B são incompatíveis?
b) Determine P(A ∪ B)
7 – Um experimento aleatório pode apresentar apenas 4 resultados possíveis distintos: A ou B ou
C ou D. Sabe-se que o resultado A ocorre com probabilidade igual a 1/10; a probabilidade
do resultado B não ocorrer é igual a 4/5; e o resultado de C não ocorrer é igual a 7/10.
Determine a probabilidade de ocorrer o resultado D.
8 – Seja o espaço amostral, dado por: (W1, W2, W3. Qual destas funções abaixo representa uma
probabilidade neste espaço amostral?
a) P(W1) = 1/4; P(W2) =1/3; P(W3) = 1/2
b) P(W1) = 2/3; P(W2) =-1/3; P(W3) = 2/3
c) P(W1) = 1/6; P(W2) =1/3; P(W3) = 1/2
d) P(W1) = 0; P(W2) = 1/3; P(W3) = 2/3
e) P(W1) = 0; P(W2) =1; P(W3) = 1/4
9 – Seja o experimento aleatório: lançar um dado e uma moeda (honestos). Considere os eventos:
A: “Sai coroa e nº par”
B: “Sai um nº maior que 4”
C: “Sai cara”
Determine:
a) P(A) b) P(B) c) P(C) d) )CA(P ∪ e) P(A ∩ C)
10 – Em um lançamento de um dado viciado, cuja probabilidade de sair um número menor que 3
é 4 vezes maior que a probabilidade de sair o nº 3, e a probabilidade de sair um número
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maior que 3 é duas vezes maior que a probabilidade de sair o número 3. Encontre a
probabilidade de sair o nº 1 ou o nº 5, em 1 lançamento do dado.
(Probabilidade Condicional – Independência - Teorema de Bayes)
11- Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa (S) ou um
prato à base de carne (C). 20% dos fregueses do sexo masculino (H) preferem salada; 30%
das mulheres (M) escolhem carne; 75% dos fregueses são homens.
a) Qual a probabilidade do freguês preferir salada, dado que é homem?
b) Qual a probabilidade do freguês preferir carne, dado que é mulher?
c) Qual a probabilidade do freguês ser mulher, dado que prefere salada?
12- A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B resolva
é de 3/4. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser
resolvido?
13- A urna I contém duas bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna II contém três bolas
pretas e três brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraímos uma bola, que tem
cor branca. Se a bola é recolocada na urna, qual é a probabilidade de se retirar novamente
uma bola branca da mesma urna?
14- Três máquinas A, B e C produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do número total de
peças de uma fábrica. As porcentagens de defeituosas na produção destas máquinas são
3%, 4% e 5% respectivamente. Se uma peça é selecionada aleatoriamente é considerada
defeituosa, qual a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?
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UNIDADE 2 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
2.1 Definição de Variáveis Aleatórias
Ao descrever um espaço amostral de um experimento, não especificamos que um
resultado individual necessariamente seja um número. Por exemplo, ao descrever uma peça
manufaturada, podemos empregar apenas as categorias “defeituosa” e “não defeituosa”.
Também, ao observar a temperatura durante o período de 24 horas, podemos simplesmente
registrar a curva traçada pelo termógrafo. Contudo, em muitas situações experimentais,
estaremos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como um número.
Mesmo nos casos mencionados acima, poderemos atribuir um número a cada resultado (não
numérico) do experimento. Por exemplo, poderemos atribuir o valor 1 (um) às peças perfeitas e o
valor 0 (zero) às defeituosas. Poderemos registrar a temperatura máxima do dia, ou a temperatura
mínima, ou a média das temperaturas máxima e mínima (Meyer, 1983).
Consideremos um experimento aleatório ε, e seja Ω o espaço amostral associado a este
experimento.
Definição: Variável aleatória (que escrevemos de modo abreviado: v.a.) num espaço
amostral Ω, é uma função x, que associa Ω, (isto é, a cada ω ∈ Ω), um nº real, X(ω). Ver Figura
6.
Ω X R
ω X(ω)
Figura 6
Ex.1: Consideremos o experimento aleatório: extraem-se duas bolas, sem reposição, de uma
urna que contém: 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V). Vamos definir a v.a. X como: X = “o nº
de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações”. Portanto os valores possíveis que a v.a. X pode
assumir são:
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X = 0, se ocorre o evento “BB”, (duas bolas brancas)
X = 1, se ocorre o evento: “VB” ou “BV” (vermelha e branca ou branca e vermelha)
X = 2, se ocorre o evento: “VV” (duas bolas vermelhas)
2.2 Tipos de Variáveis
As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas. Uma v.a. é dita
discreta quando ela assume somente valores num conjunto enumerável de pontos do conjunto
real. Ela é uma v.a. contínua se for do tipo que pode assumir qualquer valor em um intervalo
real.
2.3 Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
2.3.1 Variáveis Aleatórias Discretas
Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores possíveis de X (isto é, Rx, o
contradomínio) for finito ou infinito numerável, denominamos X de variável aleatória discreta.
Isto é, os valores possíveis de X, podem ser postos em lista como x1, x2, x3, ..., xn.
• Distribuição de Probabilidade da Variável Aleatória
Seja X uma v.a. definida num espaço amostral Ω, tal que: X(Ω) = x1, x2, x3, ..., xn.
Podemos definir a probabilidade da v.a. X assumir o valor xi, (i = 1, 2, ..., n), a qual escreve-se
P(X = xi) ou f(xi). Esta função f, que a cada xi do conjunto X(Ω), (os valores possíveis que a v.a.
X pode assumir), associa sua probabilidade de ocorrência, é chamada de DISTRIBUIÇÃO (ou
FUNÇÃO) DE PROBABILIDADE DA V.A. X, e pode ser expressa por uma tabela, um gráfico
ou uma fórmula. Há outras notações, usuais para P(X = xi), que são por exemplo: pi ou P(xi) ou
P(X = x) ou P(x).
A distribuição dada por P(X = xi), satisfaz as condições:
a) P(xi) ≥ 0
b) ∑ ==
n
1ii 1)x(P
Ex.2: Consideremos uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 brancas, de onde se extraem
sem reposição duas bolas. Tínhamos que a v.a. X foi definida como:
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X = “nº de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações”.
Portanto: X(Ω) = 0, 1, 2. Construindo o diagrama da árvore termos o seguinte:
RESULTADOS X PROBABILIDADES
BB 0 1/10
BV 1 3/10
VB 1 3/10
VV 2 3/10
Σ 1
Portanto temos: P(X = 0) = P(BB) = 1/10
P(X = 1) = P(BV ou VB) = 3/10 + 3/10 = 6/10
P(X = 2) = P(VV) = 3/10
Desta forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE desta v.a. X, (em esquema de tabela),
será:
x P(x)
0 1/10
1 6/10
2 3/10
Σ 1
Ex.3: Consideremos o lançamento de uma moeda “honesta” duas vezes. Seja a v.a. Y, definida
como: Y = “o nº de “caras” obtidas nos dois lançamentos”. ⇒ Y = 0, 1, 2. Portanto temos:
RESULTADOS Y PROBABILIDADES
C C 2 1/4
C C 1 1/4
C C 1 1/4
C C 0 1/4
Σ 1
Portanto: P(Y = 0) = P( C C ) = 1/4
P(Y = 1) = P(C C ou C C ) = 1/4 + 1/4 = 2/4
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P(Y = 2) = P(C C) = 1/4
Desta forma, a DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE desta v.a. Y, (em esquema de tabela),
será:
x P(x)
0 1/4
1 2/4
2 1/4
Σ 1
Assim, variável aleatória é uma função que associa a cada ponto de um espaço amostral, um nº
real. E a tabela que associa a cada valor de uma variável aleatória, a sua probabilidade,
denominamos DISTRIBUIÇÃO (ou FUNÇÃO) DE PROBABILIDADES DA VARIÁVEL
ALEATÓRIA.
2.3.2 Variáveis Aleatórias Contínuas
Suponha-se que o contradomínio de x seja formado por um número finito muito grande
de valores, digamos todos os valores de x no intervalo 0 ≤ x ≤ 1, da form: 0; 0,01; 0,02; ... 0,98;
0,99; 1,00. A cada um desses valores está associado um número não negativo p(xi) = P(X = xi), i
= 1, 2, ..., cuja soma é igual a 1. Esta observação está representada geometricamente na Figura 7.
Poderia ser matematicamente mais fácil idealizar a apresentação probabilística de X, pela
suposição de que X pudesse tomar todos os valores possíveis, 0 ≤ x ≤ 1. Se fizermos isso, que
acontecerá às probabilidades no ponto p(xi)? Como os valores possíveis de X não são
numeráveis, não podemos realmente falar do i-ésimo valor de X, e, por isso, p(xi) se torna sem
sentido. O que faremos é substituir a função p definida somente para x1, x2,... por uma função f
definida para todos os valores de x, 0 ≤ x ≤ 1.
Figura 7
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23
• Função Densidade de Probabilidade (fdp)
Seja X uma v.a. contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é uma função que satisfaz as
seguintes condições:
a) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ Rx
b) ∫ =xR 1dx)x(f
c) Além disso, definimos, para qualquer a < b em Rx, P(a < X < b) = ∫ba dx)x(f
em que Rx é o contradomínio de X.
Exemplo
Se f(x) = 2x, para 0 ≤ x < 1, e zero fora desse intervalo, vemos que f(x) ≥ 0, qualquer que seja x,
e a área sob o gráfico de f é unitária (verifique Figura 8). Logo, a função f pode representar a
função densidade de uma variável aleatória contínua X.
Figura 8
Aqui, a P(0 ≤ x < ½) é igual à área do triângulo de base ½ e altura 1. Logo a probabilidade em
questão é P(0 ≤ x < ½) = ½.( ½ . 1) = ¼.
2.4 Valor Esperado de Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
2.4.1 Valor Esperado de Variáveis Aleatórias Discretas
Definição: Se x1, x2, x3, ..., xn são os possíveis valores da v.a. X, e P(x1), P(x2), P(x3), ...,
P(xn) são as respectivas probabilidades então o valor esperado, (ou esperança matemática ou
média), de X, denotado por E(X) ou µx, é definido por:
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24
∑==
n
1iii )x(P.x)X(E
Ex.4: Consideremos novamente o exemplo da urna com 3 bolas vermelhas e 2 brancas, de onde
se extraem sem reposição duas bolas. A v.a. X é definida como:
X = “nº de bolas vermelhas obtidas nas duas extrações”. Portanto: X(Ω) = 0, 1, 2.
O valor esperado ou média da v.a. X será:
2,110
12
10
3.2
10
6.1
10
1.0)X(E ==++=
Ex.5: Consideremos novamente o exemplo do lançamento de uma moeda “honesta” duas vezes.
Seja a v.a. Y, definida como:
Y = “o nº de “caras” obtidas nos dois lançamentos”. ⇒ Y = 0, 1, 2. Portanto temos:
14
4
4
1.2
4
2.1
4
1.0)Y(E)y(P.y)Y(E
n
1iii ==++∑ ===
=
2.4.2 Valor Esperado de Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição: Se x1, x2, x3, ..., xn são os possíveis valores da v.a. X, e P(x1), P(x2), P(x3), ..., P(xn)
são as respectivas probabilidades então o valor esperado, (ou esperança matemática ou média),
de X, denotado por E(X) ou µx, é definido por:
∫=∞
∞−
dx)x(f.x)X(E
Ex.: Considerando o mesmo exemplo onde f(x) = 2x, para 0 ≤ x < 1, temos que
∫=1
0dx)x(f.x)X(E = ∫
1
0dxx2.x =
1
0
3
3
x2= 2/3
2.5 Propriedades
1) A média de uma constante é a própria constante: E(K) = K
2) Multiplicando uma v.a. X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa
constante. E(K.X) = K.E(X)
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25
3) Somando ou subtraindo uma constante a uma v.a., a sua média fica somada ou
subtraída da mesma constante. E(X ± K) = E(X) ± K
4) A média da soma ou da diferença de duas v.a’s é a soma ou a diferença das médias.
E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
5) A média do produto de duas v.a’s independentes é o produto das médias. E(XY) =
E(X).E(Y)
2.6 Variância de Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
2.6.1 Variância de Variáveis Aleatórias Discretas
Seja o seguinte exemplo: Vamos considerar a v.a. X, com distribuição dada conforme
tabela abaixo:
X -2 -1 0 1 2
P(x) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
Portanto a v.a. X tem média, E(X) = -2.1/5 + (-1).1/5 + 0.1/5 + 1. 1/5 + 2.1/5 = 0
Consideremos agora a v.a. Y dada por Y = 2.X. Então a tabela abaixo dá a distribuição e média
de Y:
y -4 -2 0 2 4
P(y) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
Logo E(Y) = 0.
Observando as distribuições das v.a. X e Y, notamos que elas têm a mesma média, E(X)
= E(Y) = 0, e que são simétricas ao redor deste valor, (o ponto 0). Porém, pode-se notar ainda
que, a v.a. Y é mais “espalhada” ao redor deste ponto zero, do que a v.a. X, (ou
equivalentemente: X está mais “concentrada” ao redor do 0 do que Y). Ver graficamente.
Uma medida de “DISPERSÃO” ou “EXPANSÃO” dos valores assumidos por uma v.a.,
ao redor de sua média, é dada pela VARIÂNCIA desta variável aleatória, (ou pelo desvio
padrão).
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26
Definição: Seja X uma v.a. discreta, com média E(X). Então, a variância da v.a. X é
definida por:
)x(P)]X(Ex[Var i2
n
1ii ⋅−∑=
=
Pode-se mostrar que esta expressão acima equivale à fórmula alternativa (geralmente mais
usada) dada por:
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
Outras notações, também adotadas para a variância de uma v.a. X, além de Var(X), são:
σX2 ou σ2(X), ou simplesmente σ2 quando não suscitar dúvidas (quando, por exemplo, somente
se está tratando com uma variável, digamos X. Nestes casos é comum se referir a µ como média
de X, e a σ2 como variância de X).
Definição: O Desvio Padrão de uma v.a. X com média E(X), é definido como a raiz
quadrada positiva de Var(X). Portanto, o desvio padrão de X será:
)X(VarX =σ
As notações usuais para o desvio padrão, além desta usada, (σX), ou σ(X) ou
simplesmente σ, quando não suscitar dúvidas (ver comentário feito anteriormente a respeito das
notações usuais de variância).
Exemplo
Consideremos a v.a. X dada no exemplo anterior. Tínhamos que E(X) = 0. Calculemos a
variância e o desvio padrão desta v.a. X. Primeiro, devemos calcular E(X2) para aplicarmos a
fórmula da variância.
Portanto, E(X) = 10/5 = 2. Logo, Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 2 – 02 = 2
E o desvio padrão será 4142,12 ==σ
x2 P(x) X2.P(x)
0 1/5 0
1 2/5 2/5
4 2/5 8/5
∑ 1 10/5 = 2
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27
2.6.2 Variância de Variáveis Aleatórias Contínuas
22 )]X(E[)X(E)X(Var −=
onde ∫=∞
∞−
dx)x(f.x)X(E 22
Ex.: Considerando o mesmo exemplo onde f(x) = 2x, para 0 ≤ x < 1, temos que para calcular a
Var(X), temos que primeiro achar E(X2).
∫=∞
∞−
dx)x(f.x)X(E 22 = ∫1
0
2 dxx2.x = 1
0
4
4
x2 = ½
Então, 22 )]X(E[)X(E)X(Var −=
Var(X) = ½ - (2/3)2 = 1/2 – 4/9 = 1/18
2.7 Propriedades
1) A variância de uma constante é zero. Var(K) = E[(K – E(K))2] = E[(K – K)2] = 0
2) Multiplicando-se uma v.a. por uma constante, sua variância fica multiplicada pelo
quadrado da constante. Var(KX) = K2.Var(X)
3) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a uma v.a., sua variância não se altera.
Var(X ± K) = Var(X) ± Var(K) = Var(X), pois Var(K) = 0
4) A variância da soma ou diferença de duas v.a’s independentes, é a soma das
respectivas variâncias. Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) , quando Cov(X,Y) = 0.