INTRODUCCIN
Se ha dicho que si la desviacin estndar de una poblacin es
desconocida, como suele ocurrir casi siempre, es posible estimarla
calculando la desviacin estndar de una muestra grande (no menor de
50); pero, Qu hacer si no se puede extraer una muestra grande?Para
muestras pequeas (menor de 30), la desviacin estndar calculada
suele ser muy distinta de la desviacin estndar de la poblacin, y se
cometer un error considerable si se emplea la distribucin normal
con desviacin estndar s en vez de .Ante esta situacin se puede
emplear la distribucin t de Student en vez de la distribucin
normal.El nombre de la distribucin se debe a su autor W.S. Gosset,
quien le dio el seudnimo de T de Student ante la imposibilidad de
presentar sus trabajos so pena de perder su empleo, esto sucedi a
principio del siglo XX.Esta distribucin es recomendada cuando se
requiere estimar la media poblacional y no se conoce la desviacin
estndar y por lo tanto, hay que estimarla, eso s, siempre y cuando
la distribucin original sea aproximadamente normal.
MARCO TERICO
LA DISTRIBUCIN T DE STUDENT: Es una distribucin muy parecida a
la distribucin normal, pero a diferencia de ella es leptokrtica.
Esto significa que la parte central de esta distribucin es ms
delgada y elevada con colas ms anchas con respecto a la distribucin
normal. Esta ltima caracterstica (colas anchas) implica que la
probabilidad de eventos extremos es ms alta con la distribucin t de
Student que en la distribucin normal. Tiene un parmetro adicional a
la media y desviacin estndar, que se conoce como los grados de
libertad. Cuanto menores sean los grados de libertad, mayor ser el
ancho de las colas. Por otro lado, en el lmite cuantos ms altos
sean los grados de libertad, esta distribucin tender hacia la
distribucin normal.En el campo de la Ingeniera Civil, juega un rol
protagnico en los test de hiptesis donde la varianza poblacional es
desconocida, utilizada cuando se evalan nuevas tecnologas, tomando
como referencia la tecnologa actual, o aplicadas en problemas que
requieren muestras comparativas.
DISPOSICION ADECUADA PARA ESTA DISTRIBUCIN:1.- Para determinar
el intervalo de confianza dentro del cual se puede estimar Ia media
de una poblacin a partir de muestras pequea (n < 30). 2.- Para
probar hiptesis cuando una investigacin se basa en muestreo pequeo.
3.- Para probar si dos muestras provienen de una misma
poblacin.PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIN T STUDENT:1.- Cada curva t
tiene forma de campana con centro en 0.2.- Cada curva t, est ms
dispersa que Ia curva normal estndar. 3.- A medida que k aumenta,
Ia dispersin de Ia curva t correspondiente disminuye.4.- A medida
que k-> , la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal
estndar.
La funcin densidad de probabilidad de la variable t de Student
es la siguiente:
FEsta funcin es simtrica con media igual a cero. Su desviacin
estndar es:
DISTRIBUCIN T DE LA MEDIA MUESTRAL: Si se extraen varias
muestras de tamao (menor que 30), de una poblacin normal con media
y desviacin estndar desconocida, entonces la siguiente
variable:
Siendo:X= media.= el valor a analizar.s = desviacin estndar.n=
tamao de la muestra.
La probabilidad de error (P), se aplica por medio de la
frmula:
Se ha definido la desviacin estndar s con denominador n; pero,
cuando se extraen muestras pequeas, el mejor estimador estndar de
la poblacin emplea (n 1) como denominador. Se distinguen
entonces:
En conclusin, cuando es pequeo conviene usar () para estimar , y
cuando n es grande ambas expresiones dan prcticamente el mismo
valor.
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MEDIAS T DE STUDENT (MUESTRAS MENORES A
30):El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:PASO
1:Plantear Hiptesis Nula (Ho) e Hiptesis Alternativa (Hi). La
Hiptesis alternativa plantea matemticamente lo que queremos
demostrar. La Hiptesis nula plantea exactamente lo contrario.PASO
2:Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptacin de
hiptesis alternativa). Se considera: 0.05 para proyectos de
investigacin. para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de
mercadotecnia y polticas.PASO 3:Evidencia Muestral. Se calcula la
media y la desviacin estndar a partir de la muestra.PASO 4Se aplica
la Distribucin t de Student para calcular la probabilidad de error
(P) por medio de la frmula:
PASO 5:En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza
la hiptesis alternativa. Si la probabilidad de error (P) es mayor
que el nivel de significancia: SE RECHAZA HIPTESIS ALTERNATIVA. Si
la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de
significancia: SE ACEPTA HIPTESIS ALTERNATIVA.
Ejemplo: 1.- La seleccin de las proporciones de los materiales
que intervienen en la mezcla deber permitir que el concreto alcance
la resistencia en compresin promedio determinada en la seccin. El
concreto ser fabricado de manera de reducir al mnimo el nmero de
valores de resistencia por debajo del fc especificado.Solucin:Como
resultado de 22 ensayos a especmenes de concreto de una obra de
construccin de un colegio. La desviacin estndar es igual a . En
promedio se obtiene una resistencia a la compresin promedio de
.Nivel de significancia: = 0.01, para aseguramiento de calidad. La
resistencia a la compresin de diseo es .
Con los datos obtenidos podemos demostrar que no hay problemas
de resistencia a la compresin en los elementos de la
estructura?PASO 1: Hiptesis alternativa:No hay problemas de
resistencia a la compresin en los elementos de la estructura, valor
mayor o igual a 337 . Hiptesis nula:Hay problemas de resistencia a
la compresin en los elementos de la estructura, valor menor a .PASO
2:Determinar nivel de significancia:Nivel de significancia: = 0.01,
para aseguramiento de calidad. PASO 3:Evidencia muestral:X=.S=
PASO 4:Aplicacin de la distribucin de
probabilidad:Calculando:
Grados de libertad: n-1 = 22-1 = 21Usando la tabla, encontramos
el valor del rea:
Grados de libertad: 21
Podemos interpolar para hallar una aproximacin al valor del
rea:0.30.532 X 0.59660.20.859
PASO 5:Resultados P = 0.2802 y = 0.01. Siendo Por tanto se
acepta hiptesis: Hay problemas de resistencia a la compresin en los
elementos de la estructura, valor menor a .
TABLA DE VALORES DE LA T DE STUDENT:
PROBLEMAS APLICADOS A LA INGENIERIA CIVIL1. Los valores de las
matrculas de los estudiantes de ingeniera civil del 3er ciclo en la
universidad privada Antenor Orrego tienen un comportamiento
aproximadamente normal, donde el promedio es de 2.100.000. Se
seleccionan 8 liquidaciones, siendo los valores los siguientes:
1.950.000, 2.100.000, 2.250.000, 1.890.000, 2.250.000, 1.950.000,
2.050.000, 2.350.000. Determine la probabilidad de que:a) El
promedio sea menor de 2.000.000.b) El promedio se encuentre entre
2.000.000 y 2.200.000c) El promedio sea mayor o igual a
2.500.000Solucin: Sea X = Liquidacin matriculas.m = 2.100.000; s
=?=2.098.750 s=168.644.8085 n=8
a) P (