Probabilidad Simple EJERCICIOS
Problemas resueltos:Si yo tengo una canasta llena de peras y
manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. Qu fruta es ms
probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la
canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad
de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen
slo 10 manzanas. As, aplicando la frmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es ms probable que saque una pera,
pues hay ms peras que manzanas en la canasta.
2.- la probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2
es de
1/6
porque el dos es solo uno de 6 numeros que hay en total.
3.-En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se
escoge uno de ellos al azar. Cul es la probabilidad de que
lapersona escogida sea hombre? Solucin:Por definicin, la
probabilidad de que un suceso ocurra viene dada por: P=casos
favorables/casos totales o posibles (P).En particular, hay 12
hombres, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha seleccin.
Pero ella se har de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la
cantidad de mujeres y hombres que forman parte de la seleccin y por
tanto, los casos posibles o totales.As, la probabilidad pedida es
P= 12/32
4.- En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres.Han comido carne
16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una
de las personas al azar. Cul es la probabilidad de que la persona
escogida sea hombre? Solucin: La informacin sobre lo que come cada
una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay
relacin con ello. Por definicin, la probabilidad pedida viene dada
por:P= casos favorables a la seleccin 28/casos totales de la
muestra 60P= 28/60
5.-En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. Cul es la
probabilidad de que al escoger una persona est no sea mujer?
Solucin: Claramente nos piden la probabilidad de que al escoger una
persona, esta sea hombre. Pues bien, si de los 30 alumnos, 18 son
mujeres, entonces hay 12 hombres. Luego, la probabilidad pedida es:
P=casos favorables a la seleccin 12/casos totales de la muestra
30P=12/60
6.-Cul es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 nmeros en
total, si se compran los 3 centsimos de tal cantidad? Solucin: 3
Centsimos equivale al 3%. Y la probabilidad asociada a tal
porcentaje es 3/100. P= 3/100
7.-La probabilidad de que al sacar una carta al azar de un naipe
ingls (52 cartas), ella sea un as es: Solucin: Los casos favorables
a obtener un as son 4. Los casos totales o posibles de extraer son
52 (puede salir cualquier carta). Por lo tanto, la probabilidad
pedida es: P=4/52 P=1/13
8.-En un jardn infantil hay 8 morenos y 12 morenas as como 7
rubios y 5 rubias. Si se elige un integrante al azar, la
probabilidad de que sea rubio o rubia es: Solucin: Hay un total de
32 nios. Los rubios o rubias suman 12. Por lo tanto, la
probabilidad pedida es:P=casos favorables (rubios o rubias)/ total
de nios P=(7 + 5)/(8 +12 +7 + 5) P=12/32 8P=3/8
9.-Al lanzar al aire tres veces una moneda, la probabilidad de
que en el primer lanzamiento se obtenga sello es: Solucin: No
importa lo que ocurra en los dos ltimos lanzamientos. Es slo
considerar la probabilidad de que en el primer lanzamiento se
obtenga sello. Por lo tanto, la probabilidad pedida es: P=cantidad
de resultado(s) favorable(s) / cantidad resultados posibles
P=1/2
10.-Se lanz un dado honesto no cargado- dos veces, obtenindose 4
en ambas oportunidades. Cul es la probabilidad de que en un tercer
lanzamiento se obtenga nuevamente 4? Solucin: Los dos lanzamientos
previos ya no son de inters, dado que se tiene certeza de sus
resultados. Solo nos interesa a partir de ello la probabilidad de
que en un lanzamiento se obtenga 4. Como hay seis resultados
posibles y uno solo favorable, la probabilidad pedida es: P=
cantidad de resultado(s) favorable(s) /cantidad resultados posibles
P=1/6
11.-Una persona tira tres veces una moneda y las tresveces
obtiene cara. Cul es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga
sello? Solucin: Los tres primeros lanzamientos ya no son deinters,
dado que se tiene certeza de sus resultados. Solo nos interesa a
partir de ello la probabilidad de que en un solo lanzamiento se
obtenga sello. Como hay dos resultados posibles y uno solo
favorable, la probabilidad pedida es: 1/2
12.-Se lanzan al aire consecutivamente dos monedas, la
probabilidad de que la segunda sea cara es: Solucin: No se solicita
nada de la primera moneda. Por lo que solo hay que remitirse a la
segunda moneda. El segundo lanzamiento como cualquier otro, tiene
dos resultados posibles, cara o sello. De los cules uno de ellos es
favorable a lo pedido. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
P=1/2
13.-Se lanzan al aire uno tras otro tres dados de seis caras
numeradas del 1 al 6. La probabilidad de que el nmero de tres
cifras que se forme, empiece con 4 es: Solucin: Dan lo mismo los
resultados del segundo y tercerlanzamiento. Slo interesa obtener 4
en el primero. Al lanzar el primer dado tenemos un caso favorable a
obtener 4 y seis casos posibles, por lo tanto, la probabilidad
pedida es: P=casos favorables/casos totales P= 1/6
14.-La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un nmero
menor que 5 es: Solucin: Los casos favorables a obtener un nmero
menor que 5 son {1, 2, 3, 4} de un total de seis resultados
posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P= 42/63
15.-Carolina lanza un dado no cargado. Cul es la probabilidad de
que ella obtenga un nmero menor que 3? Solucin: Los casos
favorables a obtener un nmero menor que 3 son {1, 2} de un total de
seis resultados posibles. Por lo tanto, la probabilidad pedida es
P= 21/63
16.-Se lanza una vez un dado comn, cul es la probabilidad de
obtener un nmero par, menor que 5? Solucin: Sea A Obtener un nmero
par menor que 5 = {2, 4} #A = 2. La probabilidad pedida es
P(A)=casos favorables/ casos totales P(A) = 2/6
17.-Se lanza un dado y se obtiene 2. Cul es la probabilidad de
que en un segundo lanzamiento se obtenga un nmero que, sumado con
2, sea inferior a 6? Solucin: Al lanzar el segundo dado tenemos
seis resultados posibles, pero los que favorecen una suma con 2,
inferior a 6 son: 1, 2, 3. Es decir, tenemos 3 casos favorables. La
probabilidad pedida es=casos favorables / casos totales P= 3/1P=6/
2. 18.-Se lanza un dado y se obtiene 3. Cul es la probabilidad de
que en un segundo lanzamiento se obtenga un nmero que sumado con 3
se obtenga un nmero inferior a 5? Solucin: Al lanzar el segundo
dado tenemos seis resultados posibles, pero el resultado que sumado
con 3, resulta ser inferior a 5 es nicamente el uno. Es decir, hay
1 caso favorable de 6 resultados en total tras el segundo
lanzamiento. Por lo tanto, la probabilidad pedida es P=casos
favorable /casos totales .P=1/6
19.- De 25 televisores que se fabrican, 1 sale defectuoso. Cul
es la probabilidad de escoger uno defectuoso en 100 televisores?
Solucin: Si de 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso,
entonces, la probabilidad de escoger uno defectuoso es P= 1/25.
20.-Se hace girar la flecha de la ruleta una vez, si la
probabilidad de seleccionar alguna lnea divisoria es despreciable,
la probabilidad de obtenerun nmero mayor que 4 es: Solucin: Hay 4
nmeros favorables: 5, 6, 7, 8; de un total de 8 nmeros posibles. La
probabilidad pedida es P=41/82
21.-Se extrae una carta al azar de una baraja de naipe espaol
(40 cartas, 4 pintas o palos: oro, copa, espada y basto). La
probabilidad del suceso sacar una carta que no sea oro es: Solucin:
Hay 30 cartas de un total de 40, que no son oro. Por lo tanto, la
probabilidad pedida es:P= casos favorables a no ser oro/ total de
cartas posibles a extraer P=30/40
22.-Una tmbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una
de las bolas, la probabilidad de que el nmero grabado en ella sea
divisor de 5 es: Solucin: Un nmero entero es divisible por otro si
el resultado de dividir al nmero por el otro es igual a cero. De
los nmeros indicados solo si mismo Entonces, la probabilidad pedida
es :P= casos favorables/ casos posibles P=2/5
23.-La probabilidad de que al hacer rodar un dado, salga un
nmero primo es: Solucin: Los casos o resultados posibles al lanzar
el dado son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Esto es, seis casos totales. Los
casos favorables a obtener un nmero primo (divisible solo por 1 y
por s mismo) son: 2, 3, 5. Esto es, tres casos. Por lo tanto, 3
1P(primo) = casos favorables/ casos totalesP=3/6P=1/2
24.-Hacemos rodar un dado de seis caras; entonces la
probabilidad del suceso obtener 2 sabiendo que ha salido un nmero
par es: Solucin: Es un hecho que los casos posibles o espacio
muestral es E = {2, 4, 6} #E = 3. Pues se sabe que ha salido par.
El caso favorable es un solo nmero. AsP(2) = 1/3.25. Si se lanzan 3
dados no cargados. Cul es la probabilidad de obtener 5 en los tres
lanzamientos? Solucin: Al lanzar un dado obtenemos la base del
espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} #E = 6 resultados
posibles. Y la probabilidad de obtener un cincoEs: P=1/6. Al lanzar
tres dados, las combinaciones de resultados posibles que conforman
el espacio muestral sigue un principio multiplicativo sobre la base
de un dado, esto es: #E = (#E)3= 63= 6 6 6 =216. Mientras que la
probabilidad de obtener un cinco en cada uno de los tres
lanzamientos es, segn el principio multiplicativo para eventos
independientes: P= (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)P=1/216
26.- Se hacer rodar 2 veces un dado comn y se considera la suma
de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos. La primera vez sale
un nmero par. La probabilidad que la suma sea mayor que 7 es:
Solucin: El espacio muestral al lanzar los dos dados es el que
muestra la figura. Constando de 36 casos posibles. Para hallar los
casos favorables, hay que buscar entre los casos posibles aquellos
que comiencen con un nmero par y cuya suma con el otro resultado
sea mayor que 7: {(6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6),(4,4), (4,5),
(4,6), (2,6)}. Totalizando 9 casos favorables. Entonces, la
probabilidad pedida es P=9/36
P=
Materia: PROBABILIDAD Y ESTADSTICAUNIDAD I. TCNICAS DE CONTEO1.
CONCEPTO.Suponga que se encuentra al final de una lnea de ensamble
final de un producto y que un supervisor le ordena contar los
elementos de un lote que se ha manufacturado hace unas horas y del
que se desconoce el nmero de productos que lo constituyen, de
inmediato usted empezar a contar un producto tras otro y al final
informar al supervisor que son, 48, 54 u otro nmero cualquiera.
Ahora suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente
pregunta cuntas muestras o grupos ser posible formar con los
productos del lote, si las muestras o grupos a formar son de ocho
elementos cada una de ellas?.En el primer caso el cuantificar los
elementos del lote no presenta dificultad alguna para la persona
encargada de hacerlo, pero cuando se le hace el segundo
planteamiento, al tratar de formar las muestras o grupos de ocho
elementos la persona encargada empezar a tener dificultad para
hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las tcnicas
de conteo para cuantificar los elementos del evento en cuestin (el
nmero de muestras posibles a formar de ocho elementos), luego, qu
son las tcnicas de conteo?Las tcnicas de conteo son aquellas que
son usadas para enumerar eventos difciles de cuantificar.Ejemplos
en los que definitivamente haremos uso de las tcnicas de conteo
seran:-Cuntas comisiones pro limpieza del instituto se pueden
formar si hay 150 alumnos que desean ayudar en esta tarea y se
desea formar comisiones de ocho alumnos?-Cuntas representaciones de
alumnos pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo
de alumnos de Ingeniera Qumica?, b) se desea que el presidente sea
un qumico?, c) se desea que el presidente y tesorero sean qumicos?
Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de
once alumnos.-Cuntas maneras tiene una persona de seleccionar una
lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda
8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de
batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?Se les denomina
tcnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de
rbol, las que a continuacin se explicarn y hay que destacar que
stas nos proporcionan la informacin de todas las maneras posibles
en que ocurre un evento determinado.Las bases para entender el uso
de las tcnicas de conteo son el principio multiplicativo y el
aditivo, los que a continuacin se definen y se hace uso de ellos.B)
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.Si se desea realizar una actividad que
consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a
realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el
segundo paso de N2 maneras o formas y el r-simo paso de Nr maneras
o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;N1
x N2 x ..........x Nr maneras o formasEl principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser
llevados a efecto, uno tras otro.Ejemplos:1. Una persona desea
construir su casa, para lo cul considera que puede construir los
cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block
de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe,
adobn o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lmina
galvanizada y por ltimo los acabados los puede realizar de una sola
manera cuntas maneras tiene esta persona de construir su
casa?Solucin:Considerando que r = 4 pasosN1= maneras de hacer
cimientos = 2N2= maneras de construir paredes = 3N3= maneras de
hacer techos = 2N4= maneras de hacer acabados = 1N1 x N2 x N3 x N4
= 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casaEl principio
multiplicativo, el aditivo y las tcnicas de conteo que
posteriormente se tratarn nos proporcionan todas las maneras o
formas posibles de como se puede llevar a cabo una actividad
cualquiera.1. Cuntas placas para automvil pueden ser diseadas si
deben constar de tres letras seguidas de cuatro nmeros, si las
letras deben ser tomadas del abecedario y los nmeros de entre los
dgitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y nmeros, b. No
es posible repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las placas
diseadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el
cero, d. Cuantas de las placas diseadas en el inciso b empiezan por
la letra D seguida de la G.Solucin:1. Considerando 26 letras del
abecedario y los dgitos del 0 al 9 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10
= 75,760,000 placas para automvil que es posible disear1. 26 x 25 x
24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automvil1. 1 x 25 x 24
x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automvil1. 1 x 1 x 24 x 10 x
9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automvil1. Cuntos nmeros telefnicos
es posible disear, los que deben constar de seis dgitos tomados del
0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los
nmeros y es posible repetir dgitos, b. El cero no debe ir en la
primera posicin y no es posible repetir dgitos, c. Cuntos de los
nmeros telefnicos del inciso b empiezan por el nmero siete?, d.
Cuntos de los nmeros telefnicos del inciso b forman un nmero
impar?.Solucin:2. 9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 nmeros
telefnicos 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 nmeros telefnicos2. 1 x
9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 nmeros telefnicos2. 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x
5 = 67,200 nmeros telefnicosC) PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cul tiene formas
alternativas para ser realizada, donde la primera de esas
alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda
alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la ltima
de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas,
entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:1. Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para
lo cul ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas
Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra
se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos
de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede
ser automtica o semiautomtica, mientras que la lavadora de la marca
E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en
dos colores diferentes y puede ser automtica o semiautomtica y la
lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que
es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomtica. Cuntas maneras tiene esta persona de comprar una
lavadora?
Solucin:
M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N =
Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca EasyW =
Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General
Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una
lavadora
2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a Disneylandia en las
prximas vacaciones de verano, para ir a las Vegas l tiene tres
medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos
medios de transporte para ir del Paso a las Vegas, mientras que
para ir del paso a Disneylandia l tiene cuatro diferentes medios de
transporte, a) Cuntas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las
Vegas o a Disneylandia?, b) Cuntas maneras tiene Rafael de ir a las
Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el
mismo medio de transporte en que se fue?.
Solucin:
a) V = maneras de ir a las Vegas D = maneras de ir a
Disneylandia
V = 3 x 2 = 6 maneras
D = 3 x 4 = 12 maneras
V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a
Disneylandia
b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas D = maneras de ir y
regresar a Disneylandia
V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras
D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras
V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a Disneylandia
en un viaje redondo
Cmo podemos distinguir cuando hacer uso del principio
multiplicativo y cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual
requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces
haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a
desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a
cabo, haremos uso del principio aditivo.D) PERMUTACIONES.Para
entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que
es una combinacin y lo que es una permutacin para establecer su
diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible
utilizar una combinacin y cuando utilizar una permutacin al momento
de querer cuantificar los elementos de algn evento.COMBINACIN Y
PERMUTACION.COMBINACIN:Es todo arreglo de elementos en donde no nos
interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicho arreglo.PERMUTACIN:Es todo arreglo de elementos
en donde nos interesa el lugar o posicin que ocupa cada uno de los
elementos que constituyen dicho arreglo.Para ver de una manera
objetiva la diferencia entre una combinacin y una permutacin,
plantearemos cierta situacin.Suponga que un saln de clase est
constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que tres de los
alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia
o entregar material a los alumnos cuando as sea necesario.b) El
maestro desea que se nombre a los representantes del saln
(Presidente, Secretario y Tesorero).Solucin:1. Suponga que por
unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar
el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado
a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier
grupo de tres personas para realizar las actividades mencionadas
anteriormente).Es importante el orden como se selecciona a los
elementos que forma el grupo de tres personas?Reflexionando al
respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene
importancia, ya que lo nico que nos interesara es el contenido de
cada grupo, dicho de otra forma, quines estn en el grupo? Por
tanto, este ejemplo es una combinacin, quiere decir esto que las
combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en
donde lo nico que nos interesa es el contenido de los mismos.1.
Suponga que se han nombrado como representantes del saln a Daniel
como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero,
pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los
que se muestran a continuacin:CAMBIOSPRESIDENTE:
DanielArturoRafaelDaniel
SECRETARIO: ArturoDanielDanielRafael
TESORERO: RafaelRafaelArturoArturo
Ahora tenemos cuatro arreglos, se trata de la misma
representacin?Creo que la respuesta sera no, ya que el cambio de
funcin que se hace a los integrantes de la representacin original
hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje
de manera diferente, importa el orden de los elementos en los
arreglos?. La respuesta definitivamente sera s, luego entonces las
representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o
la forma en que se asignan las funciones s importa, por lo tanto es
este caso estamos tratando con permutaciones.A continuacin
obtendremos las frmulas de permutaciones y de combinaciones, pero
antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que est
involucrado en las frmulas que se obtendrn y usarn para la
resolucin de problemas.n!= al producto desde la unidad hasta el
valor que ostenta n.n!= 1 x 2 x 3 x 4 x...........x nEjem.10!=1 x 2
x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x.........x
8=40,320 6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.Obtencin de
frmula de permutaciones.Para hacer esto, partiremos de un
ejemplo.Cuntas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares
de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones
de nuestro instituto, si hay 14 participantes?Solucin:Haciendo uso
del principio multiplicativo, 14x13x12x11 = 24,024 maneras de
asignar los primeros tres lugares del concursoEsta solucin se debe,
a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles
candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles
candidatos para el segundo lugar, luego tendramos 12 candidatos
posibles para el tercer lugar y por ltimo tendramos 11 candidatos
posibles para el cuarto lugar.Luego si n es el total de
participantes en el concurso y r es el nmero de participantes que
van a ser premiados, y partiendo de la expresin anterior,
entonces.14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n r +
1)si la expresin anterior es multiplicada por (n r)! / (n r)!,
entonces= n x (n 1 ) x (n 2) x ......... x (n r + 1) (n r)! / (n
r)!= n!/ (n r)!Por tanto, la frmula de permutaciones de r objetos
tomados de entre n objetos es: Esta frmula nos permitir obtener
todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se
usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, adems hay que
hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo,
esto es, los n objetos son todos diferentes.Entonces, qu frmula hay
que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que
se cuenta?Si en la frmula anterior se sustituye n en lugar de r,
entonces. nPn= n!/ (n n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!Como 0! = 1 de
acuerdo a demostracin matemtica, entonces nPn= n!Ejemplos:1.
Cuantas representaciones diferentes sern posibles formar, si se
desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal
y Segundo Vocal?, s esta representacin puede ser formada de entre
25 miembros del sindicato de una pequea empresa.Solucin:Por
principio multiplicativo:25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras
de formar una representacin de ese sindicato que conste de
presidente, secretario, etc., etc.Por Frmula:n = 25, r = 525P5 =
25!/ (25 5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20
x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la
representacin2) a. Cuntas maneras diferentes hay de asignar las
posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de
frmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos
participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. Cuntas
maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta
carrera de frmula uno?Solucin: a. Por principio multiplicativo:8 x
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar las posiciones
de salida de los autos participantes en la carreraPor Frmula:n = 8,
r = 88P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x......x 1= 40,320 maneras de
asignar las posiciones de salida ......etc., etc.b. Por principio
multiplicativo:8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros
lugares de la carrera Por frmula:n =8, r = 38P3 = 8! / (8 3)! = 8!
/ 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x ........x1)/ (5 x 4 x 3 x......x1) = 336
maneras de asignar los tres primeros lugares de la carrera1. Cuntos
puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), ser posible generar con los
dgitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dgitos, b.
Es posible repetir dgitos.Solucin:a. Por frmulan = 6, r = 3 6P3 =
6! / (6 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120
puntos posiblesNota: este inciso tambin puede ser resuelto por el
principio multiplicativob. Por el principio multiplicativo6 x 6 x 6
= 216 puntos posibles Cul es la razn por la cul no se utiliza en
este caso la frmula?. No es utilizada debido a que la frmula de
permutaciones slo se usa cuando los objetos no se repiten, esto
quiere decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a
tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4), (2,
4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos generados en
el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden tener valores
diferentes o repeticiones de algunos valores o pueden tener todas
las coordenadas un mismo valor ejem. (1, 2, 4), (1, 2, 2), (1, 1,
1), etc., etc.1. a. Cuntas maneras hay de asignar las 5 posiciones
de juego de un equipo de bsquetbol, si el equipo consta de 12
integrantes?, b. Cuntas maneras hay de asignar las posiciones de
juego si una de ellas solo puede ser ocupada por Uriel Jos
Esparza?, c. Cuntas maneras hay de que se ocupen las posiciones de
juego si es necesario que en una de ellas este Uriel Jos Esparza y
en otra Omar Luna?Solucin:a. Por frmula:n = 12, r = 5 12P5 = 12! /
(12 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras de asignar las
cinco posiciones de juegoa. Por principio multiplicativo:1 x 11 x
10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las posiciones de juego Por
frmula:1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9 x 8 =
7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel Jos en
una determinada posicin a. Por principio multiplicativo1 x 1 x 10 x
9 x 8 = 720 maneras de ocupar las diferentes posiciones de juego
Por frmula:1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 3)! = 10! / 7! = 10 x 9
x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel Jos y
Omar Luna en posiciones previamente definidas1. Cuntas claves de
acceso a una computadora ser posible disear, si debe constar de dos
letras, seguidas de cinco dgitos, las letras sern tomadas del
abecedario y los nmeros de entre los dgitos del 0 al 9. a.
Considere que se pueden repetir letras y nmeros, b. Considere que
no se pueden repetir letras y nmeros, c. Cuntas de las claves del
inciso b empiezan por la letra A y terminan por el nmero 6?, d.
Cuntas de las claves del inciso b tienen la letra R seguida de la L
y terminan por un nmero impar?Solucin:a. Por principio
multiplicativo:26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves
de acceso Por frmula:26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x
6=19,656,000 claves de acceso 2. Por frmula: 1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1
x 25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 = 75,600 claves de acceso que empiezan por
la letra A y terminan por el nmero 62. Por frmula:1 x 1 x 9P4 x 5 =
1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120 claves de acceso que tienen la
letra R seguida de la L y terminan por un nmero impar.E)
PERMUTACIONES CON REPETICION.En los casos anteriores se han
obtenido permutaciones en donde todos los elementos utilizados para
hacer los arreglos son diferentes. A continuacin se obtendr una
frmula que nos permite obtener las permutaciones de n objetos,
cuando entre esos objetos hay algunos que son
iguales.Ejemplo:Obtenga todas las permutaciones posibles a obtener
con las letras de la palabra OSO.Solucin:Para obtener la frmula, es
necesario primero suponer que todas las letras de la palabra OSO
son diferentes y para diferenciarlas pondremos subndices a las
letras O, por lo que quedara, O1SO2, y las permutaciones a obtener
seran: 3P3 = 3! = 6 definiendo las permutaciones tenemos que estas
seran, O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1SPero realmente
podemos hacer diferentes a las letras O?, eso no es posible, luego
entonces cuntos arreglos reales se tienen?Como:Arreglos realesO1SO2
= O2SO1 OSOSO1O2 = SO2O1 SOOO1O2S= O2O1S OOSEntonces se observa que
en realidad slo es posible obtener tres permutaciones con las
letras de la palabra OSO debido a que las letras O son idnticas,
pero qu es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de
tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las
consideramos diferentes, cuando en realidad son iguales.Para
obtener los arreglos reales es necesario partir de la siguiente
expresin:El nmero de arreglos reales = No. de permutaciones
considerando a todos los objetos como diferentesLos cambios entre
objetos igualesEl nmero de arreglos reales = 3! / 2! = 3 x 2! / 2!
= 3 Por tanto la frmula a utilizar sera; Donde:nPx1,x2,......, xk =
Nmero total de permutaciones que es posible obtener con n objetos,
entre los que hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una
cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk
de objetos del tipo k.n = x1 + x2 + ...... + xkEjemplos:1. Obtenga
todas las seales posibles que se pueden disear con seis banderines,
dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.Solucin:n
= 6 banderinesx1 = 2 banderines rojosx2 = 3 banderines verdesx3 = 1
bandern morado6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 seales diferentes1.
a.Cuntas claves de acceso a una computadora ser posible disear con
los nmeros 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.cuntas de las claves anteriores
empiezan por un nmero uno seguido de un dos?, c. cuntas de las
claves del inciso a empiezan por el nmero dos y terminan por el
nmero tres?Solucin:a. n = 8 nmeros x1 = 3 nmeros uno x2 = 1 nmero
dos x3 = 4 nmeros cuatro8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de
accesob. n = 6 (se excluye un nmero uno y un dos) x1 = 2 nmeros uno
x2 = 4 nmeros tres1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de
accesoEl primer nmero uno nos indica el nmero de maneras como es
posible colocar en la primera posicin de la clave de acceso un
nmero uno, debido a que todos los nmeros uno son iguales, entonces
tenemos una sola manera de seleccionar un nmero uno para la primera
posicin, el siguiente nmero uno nos indica el nmero de maneras como
se colocara en la segunda posicin el nmero dos y la expresin
siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible
disear con los nmeros restantes.c. n = 6 (se excluye un nmero dos y
un tres) x1 = 3 nmeros uno x2 = 3 nmeros tres1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6!
/ 3!3! = 20 claves de accesoEl nmero uno inicial nos indica que
existe una sola manera de seleccionar el nmero dos que va en la
primera posicin del arreglo, mientras que el nmero uno final nos
indica que hay una sola manera de seleccionar el nmero tres que va
al final del arreglo an y cuando haya cuatro nmeros tres, como
estos son iguales al disear una permutacin es indistinto cul nmero
tres se ponga, ya que siempre se tendr el mismo arreglo y la
expresin intermedia nos indica todos los arreglos posibles a
realizar con los nmeros restantes. 1. De cuntas maneras es posible
plantar en una lnea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro
manzanos y tres ciruelos? Solucin:n = 9 rbolesx1 = 2 nogalesx2 = 4
manzanosx3 = 3 ciruelos 9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de
plantar los rboles1. Si un equipo de ftbol soccer femenil participa
en 12 juegos en una temporada, cuntas maneras hay de que entre esos
doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2
juegos perdidos?Solucin:n = 12 juegosx1 = 7 victoriasx2 = 3
empatesx3 = 2 juegos perdidos12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920
maneras de que en la temporada este equipo logre siete victorias,
tres empates y dos juegos perdidos.F) PRUEBAS ORDENADAS.Se le llama
prueba ordenada al hecho de seleccionar r objetos de entre n
objetos contenidos en una urna uno tras otro. Una prueba ordenada
puede ser llevada a efecto de dos maneras:1. Con sustitucin (con
reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer objeto
de entre los n que hay, se observa de qu tipo es y se procede a
regresarlo a la urna, luego se selecciona el siguiente objeto, lo
anterior se repite hasta que se han extrado los r objetos de la
prueba, por tanto el nmero de pruebas ordenadas de con sustitucin
se obtiene: Nmero total de pruebas ordenadas con sustitucin = n x n
x n x .........x n = nrHay n maneras de seleccionar el primer
objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, dado que se ha
regresado a la urna el primer objeto, tambin se tendrn n objetos y
as sucesivamente.1. Sin sustitucin (sin reemplazo).- En este caso
se procede a seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado
a la urna, luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se
repite hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que el
nmero total de pruebas ordenadas sin sustitucin se obtiene: Nmero
total de pruebas ordenadas sin sustitucin =
n(n-1)(n-2).........(n-r +1) = nPrHay n maneras de seleccionar el
primer objeto, luego al seleccionar el segundo objeto, hay n 1
maneras, dado que el primer objeto no se regresa a la urna, luego
cuando se extrae el r-simo objeto, hay (n r +1) de que sea
seleccionado. Ejemplos:1. Cuntas maneras hay de que se asignen tres
premios de un sorteo en donde el primer premio es una departamento,
el segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de
cmputo, si los participantes en este sorteo son 120 personas, a.s
la asignacin se puede hacer con sustitucin, b.s la asignacin se
puede hacer sin sustitucin.Solucin:a. Por principio
multiplicativo:120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los
premios Por frmula: n =120, r = 120 nr = 1203 = 1,728,000 maneras
de asignar los tres premiosHay que considerar que en este caso, al
regresar cada boleto que es extrado de la urna, las personas que
participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno solo
de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los tres
premios. Cosa que generalmente no ocurre.b. Por principio
multiplicativo: 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los
premiosPor frmula:n = 120, r = 3120P3 = 120! / (120 3)! = 120! /
117! = 120 x 119 x 118 = 1,685,040 maneras de asignar los
premiosHay que hacer notar que en este caso, como los boletos que
son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron
extrados, los participantes solo pueden recibir un premio en caso
de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que
generalmente se efecta un sorteo.1. Cuntas formas hay de asignar
las primeras cinco posiciones de una carrera de autos de frmula K,
si participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la asignacin
es totalmente al azar.Solucin:Esta asignacin debe ser sin
sustitucin, esto es, se trata de una prueba ordenada sin
sustitucin, por lo que la solucin es la que se muestra.n = 26, r =
526P5 = 26! / (26 5)! = 26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 =
7,893,600 maneras de asignar las cinco primeras posiciones de
salida 1. Cuntas formas hay de asignar el orden de participacin de
las primeras 5 concursantes de 11 finalistas de un concurso de Miss
Mundo?Solucin:Esta asignacin debe realizarse sin sustitucin, por lo
que se trata de una prueba ordenada sin sustitucin.n = 11, r = 5
11P5 = 11! / (11 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 55,440
maneras de asignar la participacinG) COMBINACIONES.Como ya se
mencion anteriormente, una combinacin, es un arreglo de elementos
en donde no nos interesa el lugar o posicin que ocupan los mismos
dentro del arreglo. En una combinacin nos interesa formar grupos y
el contenido de los mismos.La frmula para determinar el nmero de
combinaciones es:
nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetosDonde
se observa que,La expresin anterior nos explica como las
combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser
obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de
entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no
nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las
permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos
quitando el orden y por tanto transformndolas en combinaciones, de
otra forma, tambin si deseamos calcular permutaciones y tenemos las
combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r!
obtendremos las permutaciones requeridas.nPr = nCr r!Y si deseamos
r = n entonces;nCn = n! / (n n)!n! = n! / 0!n! = 1Qu nos indica lo
anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad
de elementos con que se cuenta solo es posible formar un
grupo.Ejemplos:1. a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean
colaborar en una campaa pro limpieza del Tec, cuantos grupos de
limpieza podrn formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada
uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, cuantos de
los grupos de limpieza tendrn a 3 mujeres?, c.cuntos de los grupos
de limpieza contarn con 4 hombres por lo menos?Solucin:a. n = 14, r
= 5 14C5 = 14! / (14 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x
9!/ 9!5! = 2002 gruposEntre los 2002 grupos de limpieza hay grupos
que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y
grupos mixtos, con hombres y mujeres.b. n = 14 (8 mujeres y 6
hombres), r = 5En este caso nos interesan aquellos grupos que
contengan 3 mujeres y 2 hombres 8C3*6C2 = (8! / (8 3)!3!)*(6! / (6
2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos
con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5
personasc. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4
hombres o ms Los grupos de inters son = grupos con 4 hombres +
grupos con 5 hombres = 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6
= 1261. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12
preguntas, a.Cuntas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9
preguntas?, b.Cuntas maneras tiene si forzosamente debe contestar
las 2 primeras preguntas?, c.Cuntas maneras tiene si debe contestar
una de las 3 primeras preguntas?, d.Cuntas maneras tiene si debe
contestar como mximo una de las 3 primeras preguntas?Solucin:a. n =
12, r = 912C9 = 12! / (12 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3! =
220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o dicho de otra
manera, el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de 9
preguntas para contestar el examen1. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120
maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que estn las dos
primeras preguntas1. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar la
9 preguntas entre las que est una de las tres primeras preguntas1.
En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas
3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 + 27 = 28 maneras de
seleccionar las preguntas a contestar1. Una seora desea invitar a
cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. Cuntas maneras tiene de
invitarlos?, b. cuntas maneras tiene si entre ellos est una pareja
de recin casados y no asisten el uno sin el otro, c. Cuntas maneras
tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van
juntos?Solucin:a. n = 11, r = 511C5 = 11! / (11 5 )!5! = 11! / 6!5!
= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlosEs
decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser
invitadas a cenar. b. Esta seora tiene dos alternativas para hacer
la invitacin, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es
invitar a la pareja.2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210
maneras de invitarlos En este caso separamos a la pareja de los
dems invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o
que asistan a la cena. c.La seora tiene dos alternativas para hacer
la invitacin, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o
que asista solo uno de ellos. 2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x
126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitacin1. En un plano
hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma
lnea no hay ms de dos puntos, a. Cuntas lneas pueden ser trazadas a
partir de los puntos?, b. Cuntas de las lneas no pasan por los
puntos A o B?, c. Cuntos tringulos pueden ser trazados a partir de
los puntos?, d. Cuntos de los tringulos contienen el punto A?, e.
Cuntos de los tringulos tienen el lado AB?.Solucin:3. En la
redaccin del problema se aclara que en una misma lnea no hay ms de
dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podra dar
contestacin a las preguntas que se hacen. Una lnea puede ser
trazada a partir de cmo mnimo dos puntos por lo tanto, 10C2 = 10! /
(10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 lneas que se pueden trazar3. En este
caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos
restantes se obtendrn las lneas. 2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 lneas que no
pasan por los puntos A o B3. Un tringulo puede ser trazado a partir
de tres puntos, luego;10C3 = 10! / (10 3)!3! = 10! / 7!3! = 120
tringulos posibles de trazar3. En este caso se separa el punto A de
los dems, se selecciona y posteriormente tambin se seleccionan dos
puntos ms.1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 tringulos que contienen el punto
A3. Los puntos A y B forman parte de los tringulos a trazar por lo
que;2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 tringulos que contienen el lado ABH)
PARTICIONES ORDENADAS.Se le llama particin ordenada al hecho de
repartir n objetos en clulas de una cantidad de x1 objetos, x2
objetos,......y xk objetos. Para deducir la frmula de particiones
ordenadas partiremos de un ejemplo.Cuntas maneras hay de repartir
10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos
2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?Ejemplos de esta
particin seran las siguientes si se numeran los libros del 1 al
10;
2458136791012345789 10
Solucin:Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de
los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;10C2 = 10! /
(10 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los librosLuego
se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;
8C3 = 8! / (8 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 manerasY por ltimo se proceder
a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer
alumno, lo que se muestra a continuacin; 5C5 = 5! / (5 5)!5! = 5! /
0!5! = 1 maneraPor tanto el nmero total de particiones ordenadas en
clulas de 2, 3 y 5 elementos se determina: 10C2*8C3*5C5 = (10! /
(10 2)!2!)*(8! / (8 3)!3!)*(5! / (5 5)!5!) = 10! /2!3!5! La
expresin anterior nos recuerda a la frmula utilizada para encontrar
las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos
objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma frmula para
encontrar las particiones ordenadas.Por tanto la frmula para las
particiones ordenadas sera:
Esta frmula slo puede ser utilizada cuando se reparten todos los
objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarn
combinaciones.Donde:nPx1,x2,.....,xk = Total de particiones
ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos
son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos ...... y xk
objetos. n = x1 + x2 + ......+ xkEjemplos:2. Cuntas maneras hay de
repartir 9 juguetes entre tres nios, si se desea que al primer nio
le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?Solucin:
Por combinaciones,9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir
los juguetesPor frmula,n = 9x1 = 4x2 = 2x3 =39P4,2,3 = 9! / 4!2!3!
= 1,260 maneras de repartir los juguetes2. Cuntas maneras hay de
repartir los mismos 9 juguetes entre tres nios, si se desea darle 3
al primer nio, 2 al segundo nio y 2 al tercer nio?Solucin:En este
caso nicamente se puede dar solucin por combinaciones, ya que no es
posible usar la frmula debido a que se reparten solo parte de los
juguetes.9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los
juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)2. a. Cuntas
maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3
alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les
toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b.
Cuntas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5
libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer
alumno?Solucin:1. Por frmula:n = 14 x1 = 5x2 = 5x3 = 414P5,5,4 =
14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de
5, 5 y 4 libros1. Por combinaciones:14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 =
2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3
y 2 libros2. a.Cuntas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4
equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen prcticas
de laboratorio diferentes?, b. Cuantas maneras hay de que se
repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a
realizar una misma prctica?Solucin:1. En este caso al ser prcticas
de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por
combinaciones o por la frmula, dado que se reparten todos los
alumnos Por frmula:n = 12x1 = 3 prctica 1x2 = 3 prctica 2x3 = 3
prctica 3x4 = 3 prctica 412P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600
maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3
personas para realizar prcticas diferentes1. En este caso lo ms
probable es que se crea que la solucin es igual que la que se ha
dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea
repartir a los alumnos para realizar una misma prctica, el orden en
el que se hace la reparticin no tiene importancia, ya que al equipo
de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a
quedar en el segundo o tercero, ya que la prctica a realizar es la
misma, entonces la solucin es;12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! *
1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en
equipos de 3 personas para realizar una misma prcticaAl multiplicar
la solucin que se da al inciso a, por 1/4! se est quitando el orden
de los grupos, que en este caso no nos interesa.I. DIAGRAMA DE
ARBOL.Un diagrama de rbol es una representacin grfica de un
experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos
tiene un nmero finito de maneras de ser llevado a
cabo.Ejemplos:1.Un mdico general clasifica a sus pacientes de
acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB
u O) y en cuanto a la presin sangunea (Normal, Alta o Baja).
Mediante un diagrama de rbol diga en cuantas clasificaciones
puedenestar los pacientes de este mdico?NSolucin:AABNBABMABNAOB
ANFBABABBOABSi contamos todas las ramas terminales, nos damos
cuenta que el nmero de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas
que podemos enumerar;MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.1. Dos
equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de
baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un
total de tres juegos ganados ser el que gane el torneo. Mediante un
diagrama de rbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este
torneo,Solucin:A = gana el equipo AB = gana el equipo
BAAAABABBB
AAAABBBBB
En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se
gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de
este diagrama de rbol, las que es posible enumerar;AA, ABB, ABAA,
ABABA, ABABB, etc, etc.1. Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta
cinco veces como mximo, l empieza a jugar con un dlar, apuesta cada
vez un dlar y puede ganar o perder en cada juego un dlar, l se va a
retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dlares
(esto es si completa un total de cuatro dlares) o si completa los
cinco juegos, mediante un diagrama de rbol, diga cuntas maneras hay
de que se efectu el juego de este hombre.Solucin:
$4G $4G$3$3GGP $2PG$3$2P$1P $0$3G $4 $2G$1G$2GP $2G
$2PP$1P$1P$0P $0$0
Si contamos las ramas terminales nos daremos cuenta que hay 11
maneras de que este hombre lleve a cabo sus apuestas, en este
diagrama se han representado los cinco juegos o apuestas que este
hombre tiene tiempo de jugar.J) PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si una
prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, a. de cuantas
maneras diferentes un estudiante puede dar una respuesta para cada
pregunta?, b. S de antemano el maestro le dice que la primera
pregunta es verdadera, cuntas maneras tiene de contestar esta
prueba?. a. r=4,096 maneras b. r=2,048 maneras2. Un fabricante
tiene dificultades para obtener registros consistentes de
resistencias a la tensin entre tres mquinas localizadas en la
planta de produccin, el laboratorio de investigacin y el
laboratorio de control de calidad , respectivamente, al mismo
tiempo hay cuatro posibles tcnicos Toms, Enrique, Rafael y Javier-
quienes operan al menos una de las mquinas a prueba regularmente,
a. cuntos pares operador-mquina deben incluirse en un experimento
planeado en el que cada operador maneje todas las mquinas?, b. Si
se requiere que cada par operador-mquina pruebe ocho especimenes,
cuntos especimenes de prueba se necesitan para el procedimiento
ntegro? Nota: un espcimen se destruye cuando se mide su resistencia
a la tensin.1. r=12 pares b. r=96 especimenes3. Un inspector de
construcciones tiene que revisar el cableado de un nuevo de
departamentos, ya sea el lunes, el martes, mircoles o jueves, a las
8 A. M., a las 10 A. M. o a las 2 P. M. , a. cuntas maneras tiene
este inspector de hacer las revisiones del cableado?, b. Obtenga
las maneras en que el inspector puede realizar las revisiones del
cableado, haciendo uso ahora de un diagrama de rbol. a y b. r=12
maneras4. Si los cinco finalistas de un torneo internacional de
golf son Espaa, Estados Unidos, Portugal, Uruguay y Japn, a. Diga
de cuantas maneras es posible que se otorgue un primero, segundo
lugar y tercer lugar, b. Considerando que el primer lugar lo gana
Portugal y el segundo lo gana Estados Unidos, cuantas maneras hay
de que se otorguen los lugares antes mencionados?. a. r=60 maneras,
b. r=3 maneras5. Una computadora de propsito especial contiene tres
conmutadores, cada uno de los cules puede instalarse de tres
maneras diferentes. De cuantas maneras diferentes puede instalarse
el banco de conmutadores de la computadora? r= 27 maneras6. De
cuantas maneras ordenadas puede programar un director de televisin
seis comerciales en los seis intermedios para comerciales durante
la transmisin televisiva del primer tiempo de un partido de
hockey?, si, a. los comerciales son todos diferentes, b. dos de los
comerciales son iguales, c. Si hay cuatro comerciales diferentes,
uno de los cuales debe aparecer tres veces, mientras que cada uno
de los otros debe aparecer una sola vez. a. r=720 maneras b. r=360
maneras c. r=120 maneras7. Determine el nmero de maneras en las que
un fabricante puede seleccionar dos de las quince ubicaciones para
un almacn. r=105 maneras8. Una caja de 12 bateras recargables,
contiene una defectuosa, de cuantas maneras un inspector puede
seleccionar tres de las bateras y, a. obtener la defectuosa, b. no
obtener la defectuosa. a. r=55 maneras, b. r=165 maneras9. El
departamento de suministros tiene ocho diferentes motores elctricos
y cinco diferentes interruptores de arranque. De cuantas maneras
pueden seleccionarse dos motores y dos conmutadores para un
experimento de una antena de rastreo?, r=280 maneras10. A los
participantes de una convencin se les ofrecen 6 recorridos por da
para visitar lugares de inters durante los tres das de duracin del
evento. En cuantas formas puede una persona acomodarse para hacer
alguno de ellos? r=18 formas11. Un determinado zapato se fabrica en
5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la
zapatera desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los
estilos y colores, cuntos pares distintos debern colocar en el
aparador? r=20
12. Un estudiante de primer ao debe tomar un de ciencia, uno de
humanidades y otro de matemticas. Si puede escoger entre cualquiera
de 6 cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4 de matemticas, cuntas
maneras tiene de seleccionar las materias? r=96 maneras13. Un
urbanista de una nueva subdivisin ofrece a los clientes prospectos
para la compra de una casa, la posibilidad de seleccionar
cualquiera de 4 diseos diferentes, tres sistemas de calefaccin,
cochera con puertas o sin ellas, y patio o prtico, cuntos planes
distintos estn disponibles para el comprador? r= 48 planes14. Si
una prueba de seleccin mltiple consta de 5 preguntas, cada una con
4 posibles respuestas, de las cuales solo una es correcta, a. en
cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta
para cada pregunta?, b. en cuantas formas puede un estudiante
escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las
respuestas incorrectas? a. r= 1024 b. r=24315. Un testigo de un
accidente de trnsito en el que el causante huy, le indica al polica
que el nmero de matrcula del automvil tena las letras DUH seguidas
por tres dgitos, el primero de los cuales era un cinco. S el
testigo no puede recordar los otros dos dgitos, pero est seguro de
que los tres eran diferentes, encuentre el nmero mximo de registros
de automvil que debe verificar la polica. r=72 registros16. a) De
cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobs?,
b.si tres de ellas insisten en seguirse una a la otra, en cuantas
formas es esto posible?,c.Si dos personas se rehsan a seguirse una
a la otra? a. r=720 b. r=144 c. r=480 maneras17. a) cuntos nmeros
de tres dgitos pueden formarse con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y
6, si cada uno solo puede usarse solo una vez?, b) cuntos de estos
nmeros son nones?, c) cuntos son mayores que 330? a. r=180 b. r=75
c. r=105 nmeros18. En cuantas formas pueden sentarse en una lnea 4
nios y 5 nias, si deben colocarse alternadamente? r=2880 formas19.
Cuatro matrimonios compraron 8 lugares para un concierto. En
cuantas formas diferentes pueden sentarse a. sin restricciones?, b.
si se sientan por parejas?, c. si todos los hombres se sientan
juntos a la izquierda de todas las mujeres? a. r=40,320 b. r=384 c.
r=57620. Cuntos mens que consisten de sopa, emparedado, postre y un
refresco se puede ofrecer si se puede seleccionar entre 4 sopas
diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postres y 4 refrescos? r=240
mens21. En cuantas formas pueden llenarse las 5 posiciones
iniciales de un equipo de baloncesto con 8 jugadores que pueden
ocupar cualquiera de ellas? r=6720 formas5928022. Se sacan tres
boletos de la lotera, de un grupo de 40, para el primero, segundo y
tercer premios. Encuentre el nmero de puntos muestrales en para
otorgarlos si cada concursante conserva solo un boleto. r=59,280
puntos23. En cuantas formas pueden plantarse, a lo largo de la lnea
divisoria de una propiedad, 3 robles, 4 pinos y 2 arces, si no se
distingue entre los rboles de la misma clase? r=1,260 formas24.
Nueve personas salen de viaje para esquiar en tres vehculos cuyas
capacidades son de 2, 4 y 5 pasajeros, respectivamente. En cuntas
formas es posible transportar a las 9 personas hasta el albergue
con todos los vehculos? r=4,410 formas25. Cuntas formas hay de
seleccionar a 3 candidatos de un total de 8 recin graduados y con
las mismas capacidades para ocupar vacantes en una firma contable?
R=56,,21,,10 formas26. En un estudio que realizaron en california,
el decano Lester Breslow y el doctor James Enstrom de la School of
Public Health de la University of California en los Angeles, se
concluy que al seguir 7 sencillas reglas de salud, la vida de un
hombre puede alargarse, en promedio 11 aos, y la de las mujeres
siete. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio regularmente,
tomar alcohol solo en forma moderada, dormir siete u ocho horas,
conservar un peso apropiado, desayunar y no comer entre alimentos.
En cuantas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas,
a. si actualmente las viola todas?, b. si nunca toma bebidas
alcohlicas y siempre desayuna? a. r=21 formas b.r=10 formas27. Un
dispositivo Biomecnico para emergencias mdicas puede operar 0, 1 o
2 veces por noche. Trace un diagrama de rbol para demostrar que
existen 10 maneras diferentes en las que puede operar para un total
de 6 veces en cuatro noches.UNIDAD II. PROBABILIDADEn ocasiones
cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento
ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestin,
pero es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o
actividad que se desea realizar?, es muy difcil tenerla, debido a
que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por ms simple que
este sea, ste est sujeto a una gran diversidad de factores que
afectan su ocurrencia, entonces que es lo ms aconsejable para
predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en
estos casos, ya que basndose en estadsticas, podemos cuantificar la
posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar
una buena decisin basados en esta informacin.A)CONCEPTO.La
probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en
donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden
esperar, esto quiere decir que la probabilidad est presente en casi
en todas las actividades que se pretenda realizar,
ejemplos:-Cualquier proyecto de Ingeniera o de otras
reas-Competencias deportivas-Juegos de azar, etc., etc. Cmo podemos
calcular probabilidades?1. Haciendo uso de las estadsticas.En este
caso, se hace uso de la informacin que se ha acumulado acerca del
evento que nos interesa, y despus de esto se procede a calcular las
probabilidades requeridas.Ejemplo. Determine la probabilidad de que
en cierta lnea de produccin se manufacture un producto defectuoso,
si se toma como referencia que la produccin de la ltima semana en
esta lnea fue de 1,500 productos, entre los que se encontraron 8
productos defectuosos.p(producto defectuoso) = No de productos
defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500
= 0.012Lo anterior nos indica que es muy probable que 1.2 productos
de cada 100 que se manufacturen en esa lnea sern defectuosos.Porqu
se utiliz para calcular las probabilidades la informacin de la
semana inmediata anterior?. Debido a que esta refleja la situacin
que guarda actualmente la produccin de la lnea mencionada. 2.
Basndose en la experimentacin. Hay casos en los que despus de
repetir un nmero muy grande de veces un experimento, es posible
determinar las probabilidades de ocurrencia de algunos eventos,
tales como: La probabilidad de que aparezca guila al lanzar una
moneda equilibrada, la probabilidad de que aparezca el nmero 3 en
un dado, etc., etc.Ejemplos:p(guila) =1/2 = 0.5p(aparezca el nmero
3)= 1 / 6 = 0.16663. Asignando probabilidades. En este caso se hace
uso de las probabilidades obtenidas mediante estadsticas y la
experimentacin y se asignan a los eventos previamente descritos y a
partir de ellas se determinan probabilidades de otros eventos.A
continuacin se definen algunas cuestiones implcitas en el clculo de
probabilidades.a) Espacio muestral ().- Es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento. Es nuestro
Universo.Ejemplos:1. Se lanza al aire un dado normal (perfectamente
equilibrado), enumere los posibles resultados de este experimento.
= 1, 2, 3, 4, 5, 6 2. Se lanza al aire dos veces una moneda normal,
defina su espacio muestral. = AA, AS, SA, SSb) Evento A.- El evento
A es un subconjunto del espacio muestral.Ejemplos:1. Sea A el
evento de que aparezca un nmero par en el lanzamiento de un dado,
entonces;A = 2,4,62. Sea B el evento de que aparezcan dos guilas en
tres lanzamientos de una moneda normal, entonces;Como = AAA, AAS,
SAA, ASA, ASS, SAS, SSA, SSS Luego B = AAS, SAA, ASA1. Sea un
evento que carece de elementos. = Como se observa los experimentos
y eventos probabilsticos se pueden expresar con la notacin de
conjuntos y a continuacin se enumeran algunas operaciones que es
posible realizar con los eventos. 1) AB Es el evento que ocurre si
y solo s A ocurre o B ocurre o ambos ocurren.AB
ABAB
AB = ++AB =AB+
2) AB Es el evento que ocurre s y solo s A y B ocurren a un
mismo tiempo.ABAB
AB =
3) Ac Es el complemento de A. Es el evento que ocurre s y solo s
A no ocurre.AAc
1. Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes o
exclusivos si AB = AB
Ejemplo:En un saln de clase hay 15 alumnos, 7 de los cules son
de tercer semestre, 5 son de cuarto semestre y 3 son de quinto
semestre de la carrera de Ingeniera Qumica, de los cuales 4, 2 y 1
respectivamente dominan el Ingls, si se selecciona un alumno al
azar de este grupo, a. cul es la probabilidad de que el alumno
seleccionado sea de quinto semestre?, b. cul es la probabilidad de
que sea de tercero o cuarto semestre?, c. cul es la probabilidad de
que el alumno seleccionado sea de tercer semestre y domine el
ingls?, d. cul es la probabilidad de que el alumno seleccionado no
domine el ingls?, e. Diga si los eventos T y Q son mutuamente
excluyentes, diga si los eventos Q e I son mutuamente
excluyentes?Solucin:Empezaremos por definir algunos eventos;T =
evento de que un alumno sea de tercer semestreCu = evento de que un
alumno sea de cuarto semestreQ = evento de que un alumno sea de
quinto semestre I = evento de que un alumno domine el ingls
1. p(alumno seleccionado sea de quinto semestre) = p(Q) = 3/15 =
0.21. p(alumno seleccionado sea de tercero o cuarto semestre)= p(T
Cu) == p( T) + p(Cu) = 7/15 + 5/15 = 12/15 = 0.81. p(alumno sea de
tercer semestre y domine el ingls) = p(T I) = 4/15 = 0.266671.
p(alumno seleccionado no domine el ingls) = p(Ic ) = 8/15 =
0.533331. Los eventos T y Q son mutuamente excluyentes dado que TQ
= Los eventos Q e I no son eventos mutuamente excluyentes, ya que
QI= 1Ya que hay un alumno que cumple con ambos eventos, es de
quinto semestre y domina el ingls.B) AXIOMAS Y TEOREMAS.Para el
clculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y
Teoremas que a continuacin se enumeran. 1)La probabilidad de que
ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.0 p(A)
12)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral debe de ser
1.p() = 1)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la
p(AB) = p(A) + p(B) Generalizando:
Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1,
A2, A3,.....An, entonces;
p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
TEOREMAS
TEOREMA 1. Si es un evento nulo o vaco, entonces la probabilidad
de que ocurra debe ser cero.
p()=0A
DEMOSTRACIN:Si sumamos a un evento A cualquiera, como y A son
dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(A)=p(A) +p()=p(A).
LQQD
TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,
p(Ac)= 1 p(A)AAc
DEMOSTRACIN:Si el espacio muestral , se divide en dos eventos
mutuamente exclusivos, A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) +
p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p()=1, por tanto,
p(Ac)= 1 - p(A) .LQQDTEOREMA 3. Si un evento A B, entonces la p(A)
p(B).
AB\AB
DEMOSTRACIN:Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente
excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=A(B \ A) y
p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)0 entonces se cumple
que p(A)p(B). LQQD
TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) p(AB)A BA\BAB
DEMOSTRACIN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el
evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A
\ B) y AB, por tanto, A=(A \ B)(AB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AB),
entonces, p(A \ B) = p(A) p(AB). LQQD
TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AB)=p(A) + p(B) p(AB).
ABAB
DEMOSTRACIN:Si AB = (A \ B) B, donde (A \ B) y B son eventos
mutuamente excluyentes, por lo que p(A B) = p(A \ B) + p(B) y del
teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) p(AB), por tanto,
p(AB) = p(A) + p(B) p(AB). LQQD
COROLARIO:Para tres eventos A, B y C, p(ABC) = p(A) + p(B) +
p(C) p(AB) p(AC) (BC) + p(ABC).ABCAB
ABC
BCAC
C) ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.
Sea el espacio muestral, que contiene n elementos a1, a2,
a3,.....,an, si a cada uno de los elementos de le asignamos una
probabilidad pi 0, entonces estamos transformando este espacio
muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir
con las siguientes caractersticas:
1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de
deben ser mayores o iguales a cero, pi0.1. La sumatoria de las
probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de debe de ser
igual a 1.pi = 1
En caso de que no se cumpla con las caractersticas antes
mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de
probabilidad.
Ejemplos:1.Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad
de que aparezca una de sus caras es proporcional al nmero que
ostenta, a) cul es la probabilidad de que aparezca un nmero par?,
b) cul es la probabilidad de que aparezca un nmero primo?
Solucin:
= 1, 2, 3, 4, 5, 6
En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;
p(aparezca el nmero 1) = p, p(aparezca el nmero 2) = 2p, .....,
p(aparezca el nmero 5) = 5p, p(aparezca el nmero 6) = 6pY por ser
un espacio finito de probabilidad, entonces,
p() = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1
Por tanto, 21p = 1, luego, p = 1/21
1. Luego;
A = evento de que aparezca un nmero par = 2, 4, 6
p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21=
0.57141. B = es el evento de que aparezca un nmero primo = 1, 2, 3,
5p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21)
= 11/21 = 0.52382. En una competencia de nado sincronizado,
participan los equipos de Ecuador, Mxico y Venezuela, Mxico tiene
el doble de posibilidades de ganar que Ecuador, mientras que
Venezuela tiene un tercio menos de posibilidades de ganar que
ecuador, a. Determine la probabilidad de que gane Venezuela, b.
Determine la probabilidad de que gane Ecuador o Venezuela, c.
Determine la probabilidad de que no gane Mxico.Solucin: = Ecuador,
Mxico VenezuelaPor ser un espacio finito de probabilidad, p() = 1,
luego,P() = p(gane Ecuador) + p(gane Mxico) + p(gane Venezuela) = p
+ 3p + 2/3p=1Como 14/3p = 1, luego p = 3/14a. p(gane Venezuela) =
2/3 p = 2/3*3/14 = 2/14 = 1/7 = 0.14285b. p(gane Venezuela o
Ecuador)=p(gane Venezuela)+p(gane Ecuador)= p(gane Venezuela o
Ecuador)= 2/3p + p = 5/3 p = 5/3*3/14 =5/14 = 0.35714c. p(no gane
Mxico) = p(gane Venezuela o Ecuador) = 1 p(gane Mxico) = 1 3p = = 1
3(3/14) = 1 9/14 = 5/14 = 0.35714 3. En una competencia de ciclismo
participan A, B y C, A tiene el doble de posibilidades de ganar que
B y B el doble que C, a. Determine la probabilidad de que gane B,
b. Determine la probabilidad de que gane A o B.
Solucin:
= A, B, C, y por ser un espacio finito de probabilidad,
p() = p(gane A) + p(gane B) + p(gane C) = 4p + 2p + p = 1
Como 7p = 1, luego, p = 1/7
1. p(gane B) = 2p = 2(1/7) = 2/7 = 0.28571
1. p(gane A o B) = 4p + 2p = 6p = 6(1/7) = 6/7 = 0.85714D)
ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.
Sea un espacio muestral que contiene n elementos, = a1, a2,
a3,....,an, si a cada uno de los elementos de le asignamos una
probabilidad igual de ocurrencia, pi = 1/n por tener n elementos ,
entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio
finito equiprobable, el que debe cumplir con las siguientes
condiciones:
1. Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos del
espacio muestral deben ser mayores o iguales a cero, pi 0.
1. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada elemento
del espacio muestral debe de ser igual a 1.
pi = 1
En caso de que no se cumpla con las condiciones anteriores,
entonces no se trata de un espacio finito equiprobable.Solo en el
caso de espacios finitos equiprobables, si deseamos determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera, entonces;
p(A) = r*1/n = r/n
p(A) = maneras de ocurrir el evento A/ Nmero de elementos del
espacio muestral
r = maneras de que ocurra el evento A1/n = probabilidad asociada
a cada uno de los elementos del espacio muestraln = nmero de
elementos del espacio muestral
Ejemplos:
1. Se lanza al aire una moneda normal (una moneda perfectamente
equilibrada) tres veces, determine la probabilidad de que: a.
Aparezcan puros sellos, b. Aparezcan dos guilas, c. Aparezcan por
lo menos dos guilas.
Solucin:
Para calcular las probabilidades de este problema, hay que
definir el espacio muestral en cuestin; si representamos los tres
lanzamientos de la moneda mediante un diagrama de rbol,
encontraremos que el espacio muestral o el conjunto de todos los
resultados posibles es:
= AAA, ASS, SAS, SSA, AAS, SAA, ASA, SSS
1. A = evento de que aparezcan puros sellos = SSS
p(A) = p(aparezcan puros sellos) = p(SSS) = 1/8 = 0.125Porqu un
octavo?, s el espacio muestral consta de 8 elementos como se ha
observado, entonces la probabilidad asociada a cada uno de los
elementos del espacio muestral es de 1/8, por ser un espacio finito
equiprobable ya que cada uno de los elementos mostrados tiene la
misma probabilidad de ocurrencia.
1. B = evento de que aparezcan dos guilas = AAS, SAA, ASA
p(B) = p(aparezcan dos guilas) = p(AAS, SAA, ASA) = 1/8 + 1/8 +
1/8 = 3/8 = 0.375
1. C = evento de que aparezcan por lo menos dos guilas = AAS,
SAA, ASA, AAA
p(C) = p(AAS, SAA, ASA, AAA)=p(aparezcan dos guilas) +
p(aparezcan tres guilas)
p(C) = 4/8 = 1/2 = 0.5
1. En un lote de produccin que consta de 20 computadoras
personales de cierta marca, se ha detectado que 4 tienen defectos
de tipo operacional. 1. Si se selecciona al azar una computadora,
a. Determine la probabilidad de que la computadora seleccionada
tenga defectos de tipo operacional, b. cul es la probabilidad de
que no tenga defectos de tipo operacional?. 2. Si se seleccionan al
azar 4 computadoras de este lote, determine la probabilidad de que:
a. Solo tres tengan defectos de tipo operacional, b. Por lo menos
dos tengan defectos de tipo operacional, c. Como mximo una tenga
defectos de tipo operacional.
Solucin:
Para el punto 2.1, cuando se selecciona de un lote un solo
elemento, entonces el espacio muestral est compuesto de entes
unitarios, que son cada una de las computadoras,
= 20 computadoras
1. A = evento de que una computadora tenga defectos de tipo
operacional
p(A) = 5/20 = 0.25
1. B = evento de que una computadora no tenga defectos de tipo
operacional
p(B) = 1 - p(A) = 1 0.25 = 0.75
1. Al seleccionar del lote ms de una computadora, el espacio
muestral ya no estar compuesto por entes unitarios, estar formado
por todos los grupos que se puedan formar de 4 computadoras
seleccionadas de entre 20 que se tienen,
20C4 = 4,845 maneras de seleccionar las cuatro computadoras al
azar
Dicho de otra forma seran 4,845 muestras de cuatro computadoras,
entre estas muestras hay algunas que contienen puras computadoras
defectuosas o puras sin defectos y otras muestras que tienen una
mezcla de computadoras con defectos y sin defectos.
1. C = evento de que tres de las computadoras seleccionadas
tengan defectos de tipo operacional
C = 4C3*16C1 = 4*16 = 64 muestras de cuatro computadoras que
contienen tres defectuosas
p(C) = 64/ = 64/4,845 = 0.013209
1. D = evento de que dos o ms computadoras tengan defectos de
tipo operacional
D = 2 con defectos, 3 con defectos o 4 con defectos
D = 4C2*16C2 + 4C3*16C1 + 4C4*16C0 = 6*120 + 4*16 + 1 = 720 + 64
+ 1 = 785
El evento D consta de 785 muestras, en las que por lo menos dos
de las cuatro computadoras seleccionadas tienen defectos.
p(D) = nmero de elementos del evento D/ nmero de elementos del
espacio muestral
p(D) = 785/ = 785/4,845 = 0.162022
1. E = evento de que como mximo una de las computadoras
seleccionadas tenga defectos de tipo operacional
E = 0 con defectos o 1 con defectos
E = 4C0*16C4 + 4C1*16C3 = 1*1,820 + 4*560 = 1820 + 2240 = 4,060
muestras
El evento E contiene 4,060 muestras que contienen una o ninguna
computadora defectuosa, por lo que;
p(E) = 4,060/ = 4,060/4,845 = 0.83797
Porqu utilizar combinaciones para obtener la probabilidad en
lugar de permutaciones?, en este caso no se habla de algn orden
para seleccionar las computadoras es el motivo por el cual se
usaron combinaciones, pero si decimos que se toman cuatro
computadoras del lote y se pregunta, cul es la probabilidad de que
la primera y segunda computadora seleccionada tengan defectos de
tipo operativo y que la tercera y cuarta no tengan defecto
alguno?
En este caso el espacio muestral se determina haciendo uso de
permutaciones ya que se trata de una prueba ordenada; como se
observa a continuacin:
= 20P4 = 20!/(20 4)! = 20!/16! = 116,280 maneras de seleccionar
cuatro computadoras una tras otra
F = evento de que la primera y segunda computadora tengan
defectos y que la tercera y cuarta no tengan defectos
F = 4P2*16P2 = 4 x 3 x 16 x 15 = 2,880 muestras en donde la
primera y segunda computadora tienen defectos y la tercera y cuarta
no tienen defectos
p(F) = 2,880/116,280 = 0.024767
1. Se seleccionan dos nmeros al azar de entre los dgitos del 1
al 9, a. Determine la probabilidad de que ambos nmeros
seleccionados sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos
nmeros sean impares.
Solucin:
Para obtener el espacio muestral de este problema podemos hacer
uso de un diagrama de rbol en donde se represente la seleccin del
primer nmero y luego la del segundo nmero, encontrndose que los
pares de nmeros a elegir seran 36, como se muestran a
continuacin.
(1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (1,3) (2,4)
(3,5) (4,6) (5,7) (6,8) (7,9) = (1,4) (2,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,9)
(1,5) (2,6) (3,7) (4,8) (5,9) (1,6) (2,7) (3,8) (4,9) (1,7) (2,8)
(3,9) (1,8) (2,9) (1,9)
1. Definiendo un evento A = evento de que los dos nmeros
seleccionados sean pares
Luego, A = (2,4, (2,6), (2,8), (4,6), (4,8), (6,8)p(A) = 6/36 =
1/6 = 0.1667
1. B = evento de que los dos nmeros seleccionados sean
impares
Luego, B = (1,3), (1,5), (1,7), (1,9), (3,5), (3,7), (3,9),
(5,7), (5,9), (7,9)
p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778
Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de
combinaciones, donde;
= 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos nmeros
1. A = seleccin de dos nmeros de entre (2, 4, 6 y 8), 4C2 = 6
maneras de seleccionar dos nmeros pares
p(A) = 4C2/9C2 = 6/36 = 1/6 = 0.1667
b. B = seleccin de dos nmeros impares, se seleccionan de entra
(1, 3, 5, 7 y 9), 5C2 = 10 maneras de hacer la seleccin
p(B) = 10/36 = 5/18 = 0.2778
1. Dada la siguiente tabla referente a la produccin de flechas
para camin de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A
y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuacin se presentan
los resultados obtenidos en la inspeccin:
TIPO DE FLECHADEFECTOABCDTOTAL
I54234015132
II281214559
S-DEF118165246380909
TOTAL2002003004001100
Se selecciona una flecha al azar de las inspeccionadas,
determine la probabilidad de que: a. La flecha seleccionada sea del
tipo B, b. La flecha seleccionada no tenga defectos, c. La flecha
seleccionada tenga defectos del tipo II, d. La flecha seleccionada
tenga cualquier tipo de defecto.
Solucin:
1. p( flecha sea tipo B) = 200/1,100 = 0.18182
1. p(flecha no tenga defectos) = 909/1,100 = 0.82636
1. p(flecha con defectos del tipo II) = 59/1,100 = 0.05363
1. p(flecha tenga cualquier tipo de defecto) = p(def tipo I) +
p(def tipo II) =
= 132/1,100 + 59/1,100 = (132 +59)/1,100 = 191/1,100 =
0.17364
1. Se disean placas para automvil que consten de tres letras
seguidas de cuatro dgitos, las letras se toman del abecedario y los
nmeros de los dgitos del 0 al 9, no se repiten letras y nmeros, si
se selecciona una placa al azar de las que se han diseado,
determine la probabilidad de que: a. La placa empiece por la letra
D, b. La placa empiece por la letra D seguida de E, c. La placa
termine por el nmero 4, d. La placa termine por el nmero 43, e. Si
a un trnsito se le ha dado a la fuga un infractor, y recuerda que
las placas empiezan por la letra E y terminan por el nmero 9cuntas
placas tendr que revisar el trnsito?, l alcanz a ver que no se
repetan letras y nmeros, determine tambin la probabilidad de que
encuentre al infractor.
Solucin:
1. El espacio muestral ser:
= 26P3*10P4 = 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78, 624,000
placas
El espacio muestral est formado por todas las placas que es
posible disear,
A = evento de que una placa empiece por la letra D
A = 1*25P2*10P4 = 1 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 3,024,000
placas
p(A) = 3,024,000/78,624,000 = 0.03846
1. B = evento de que la placa empiece por la letra D seguida de
la E
B = 1 x 1 x 24 x 10P4 = 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960
placas
p(B) = 120,960/78,624,000 = 0.0015385
1. C = evento de que la placa termine por el nmero cuatroC =
26P3*9P3*1 = 26 x 25 x 24 x 9 x 8 x 7 x 1= 7,862,400 placas
p(C) = 7,862,400/78,624,000 = 0.10
1. D = evento de que la placa termine por el nmero 43
D = 26P3*8P2 x 1 x 1 = 26 x 25 x 24 x 8 x 7 x 1 x 1 = 873,600
placas
p(D) = 873,600/78,624,000 = 0.01111
1. Se lanza al aire un dado normal dos veces, a. cul es la
probabilidad de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por
lo menos siete?, b. cul es la probabilidad de que la suma de los
nmeros que aparecen sea mayor de siete?, c. cul es la probabilidad
de que la suma de los nmeros que aparecen sea de cmo mximo cinco?,
d. cul es la probabilidad de que en el primer lanzamiento aparezca
el nmero tres?
Solucin:
1. Lo primero que hay que hacer es definir el espacio muestral
correspondiente, si hacemos uso de un diagrama de rbol en donde
representemos el primer lanzamiento del dado y luego su segundo
lanzamiento y obtendremos lo siguiente:
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
(5,2) (6,2) =(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4)
(4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6)
(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
Como se observa, = 36 elementos cada uno de los cuales tiene la
misma probabilidad de ocurrir, por lo que;
1. A = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de
por lo menos siete
A = 21 elementos que son los que suman siete o ms
(6,1) (5,2) (6,2)A = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)
p(A) = 21/36 = 0.58333
b. B = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea
mayor de siete
B = 15 elementos, que son los que suman ms de siete, 8 o ms
(6,2)(5,3) (6,3)B = (4,4) (5,4) (6,4)(3,5) (4,5) (5,5)
(6,5)(2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
p(B) = 15/36 = 0.41667
c. C = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de
cmo mximo cinco
C = 10 elementos, los que suman 5 o menos
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) C = (1,2) (2,2) (3,2) (1,3) (2,3)
(1,4)
p(C) = 10/36 = 5/18 = 0.27778
d. D = evento de que en el primer lanzamiento aparezca el nmero
tres
D = (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
p(D) = 6/36 = 1/6 = 0.16667E) PROBABILIDAD CONDICIONAL
Sea un espacio muestral en donde se ha definido un evento E,
donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra
un evento A (el que tambin es definido en el mismo espacio
muestral), dado que E ya ocurri, entonces deseamos determinar una
probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se
muestra;
EAAE
Donde:
p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrip(AE) =
probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) =
probabilidad de que ocurra E
Luego;
Por tanto:
Donde:
AE= nmero de elementos comunes a los eventos A y EE= nmero de
elementos del evento ELuego entonces podemos usar cualquiera de las
dos frmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que
E ya ocurri.
Ejemplos:1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de
los nmeros que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la
probabilidad de que en el segundo dado aparezca el nmero cuatro, b.
Determine la probabilidad de que ambos nmeros sean pares, c.
Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el
numero dos.
Solucin:El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un
dado dos veces y se muestra a continuacin;
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
(5,2) (6,2) = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4)
(4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6)
(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
1. Para calcular una probabilidad condicional es necesario
definir los eventos A y E, siendo estos,
A = evento de que en el segundo dado aparezca el nmero cuatro, E
= evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de por lo
menos siete, (que es que es el evento que est condicionando)
E = 21 elementos, los que suman siete o ms
(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)
A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro A
= (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
Luego,
AE = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), AE= 4 elementos
Por tanto;
p(AE) = AE/ E= 4/21 = 0.19048
1. E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de
por lo menos siete
(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)
A = evento de que ambos nmeros sean pares
(2,2) (4,2) (6,2) A = (2,4) (4,4) (6,4) (2,6) (4,6) (6,6)
(6,2) AE = (4,4) (6,4)AE= 6 elementos (2,6) (4,6) (6,6)
p(AE) = AE/ E = 6/ 21 = 0.28571
1. E = evento de que la suma de los nmeros que aparecen sea de
por lo menos siete
(6,1) (5,2) (6,2)E = (4,3) (5,3) (6,3) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)
A = evento de que en el primer dado aparezca el nmero dos
(2,1) (2,2) A = (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) AE = (2,5), AE= 1
elemento
P(AE) = AE/E = 1/21 = 0.04762
2.Se seleccionan al azar dos nmeros de entre los nmeros del 1 al
9, si la suma de los nmeros que aparecen es par, a. Determine la
probabilidad de que ambos nmeros sean pares, b. Determine la
probabilidad de que ambos nmeros sean impares.
Solucin:
= 9C2 = 36 maneras de seleccionar dos nmeros de entre nueve que
se tienen
(1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8) (1,9) (2,9) (3,9) (4,9)
(5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
1. E = evento de que la suma de los nmeros que se seleccionan
sea par
(1,3) (2,4) E = (1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8)
(4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
E = 16 elementos
A = evento de que ambos nmeros sean pares
(2,4) A = (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)
A = 6 elementos
(2,4) AE = (2,6) (4,6) (2,8) (4,8) (6,8)
AE = 6 elementos , p(AE) = AE/ E= 6/16 = 0.375
1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados es par
(1,3) (2,4) E = (1,5) (3,5) (2,6) (4,6) (1,3) (3,7) (5,7) (2,8)
(4,8) (6,8) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = evento de que ambos nmeros sean impares (1,3)
A = (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = 10 elementos,
(1,3)
AE = (1,5) (3,5) (1,7) (3,7) (5,7) (1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
AE= 10 elementos; p(AE)= AE/ E= 10/16 = 0.625
Este ejercicio tambin puede ser resuelto haciendo uso de las
combinaciones; el espacio muestral puede ser definido;
= 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos nmeros
1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea
par
Para que la suma de dos nmeros sea par, forzosamente ambos deben
ser pares o impares, por tanto,
E = seleccin de dos nmeros pares o de dos impares = 4C2 +
5C2
A = evento de que ambos nmeros sean pares
A = 4C2
AE = 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos nmeros pares
AE= 6 elementos
p(AE) = AE/E= 6/16 = 0.375
1. E = evento de que la suma de los nmeros seleccionados sea
par
E = 4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos nmeros de entre
nueve
A = evento de que ambos nmeros sean impares
A = 5C2 = 10 maneras de seleccionar dos nmeros impares
AE= 5C2 = 10
p(AE= AE/E= 10/16 = 0.625
3. Dada la siguiente tabla referente a la produccin de flechas
para camin de carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A
y B, 300 del tipo C y 400 del tipo D, a continuacin se presentan
los resultados obtenidos en la inspeccin;
TIPO FLECHADEFECTOABCDTOTAL
I54234015132
II281214559
S - DEF118165246380909
TOTAL2002003004001100
1. Si se selecciona una flecha al azar y resulta que es una
flecha del tipo B, cul es la probabilidad de que no tenga defectos,
b. Si la flecha seleccionada es del tipo C, cul es la probabilidad
de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha seleccionada
tiene defectos del tipo I, cul es la probabilidad de que sea del
tipo A, d. cul es la probabilidad de que una flecha no tenga
defectos?, e. cul es la probabilidad de que una flecha tenga
defectos?
Solucin:
a. Definiremos los eventos;
E = evento de que la flecha seleccionada sea del tipo B = 200
elementos o flechas
A = evento de que la flecha seleccionada no tenga defectos = 909
flechas o elementos
AE = 165 elementos del tipo B y que no tienen defectos
p(AE) = AE/E= 165/200 = 0.825
1. E = evento de que la flecha sea del tipo C =300 flechas A =
evento de que la flecha tenga defectos del tipo II =59 flechas
AE = 14 flechas del tipo C y que tienen defectos del II
p(AE) =AE/E= 14/300 = 0.04667
1. E = evento de que la flecha tenga defectos del tipo I = 132
flechasA = evento de que la flecha sea del tipo A = 200 flechas
AE = 54 flechas con defectos