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SIMMEC / EMMCOMP 2014XI Simpósio de Mecânica ComputacionalII
Encontro Mineiro de Modelagem ComputacionalJuiz de Fora, MG, 28-30
de maio de 2014
ESQUEMAS DE DIFERENÇAS FINITAS EM MALHAS NÃOESTRUTURADAS
APLICADOS A ESCOAMENTOS EM ÁGUAS RASAS
Luciana S. da S. [email protected]ório Nacional de
Computação Científica, Petrópolis, BrasilColégio Pedro II, Rio de
Janeiro, BrasilElson M. [email protected] Federal de
Juiz de Fora, Juiz de Fora, BrasilLaboratório Nacional de
Computação Científica, Petrópolis, BrasilRegina C. P.
[email protected] Federal Fluminense, Niterói,
BrasilAbstract. Observando as limitações impostas pelo uso de
malhas cartesianas no que se refere àmodelagem de escoamentos com
domínio irregular ou que apresentem regiões com elevado gra-diente
do campo de velocidades descrevemos um modelo baseado no método de
volumes finitos,onde a equação de conservação de massa é
discretizada por um esquema semi-implícito aplicadoà uma malha não
estruturada ortogonal staggered. A determinação da componente
tangencial davelocidade e de suas componentes nas direções dos
eixos do sistema de coordenadas cartesianas,no conjunto completo de
equações de águas rasas é dada através do método da profundidade
in-tegrada. As aplicações incluem, para as malhas cartesianas, a
modelagem de um escoamentogeofísico aplicado a um trecho do rio
Amazonas, e para as malhas não estruturadas, problemascom condição
inicial descontínua, do tipo dam break.
Palavras-chave: águas rasas, malhas não estruturadas, método da
profundidade integrada
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Martino, L. S. da S., Toledo, E. M., Leat-Toledo, R. C. P.
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho abrange um estudo sobre escoamentos em águas rasas
e sobre os métodos dediferenças finitas disponíveis para sua
representação.
No caso bidimensional das equações de águas rasas a análise
característica desse sistema deequações justifica a escolha de um
esquema semi-implícito, sendo utilizada inicialmente na
discre-tização espacial uma malha staggered do tipo (C) com o
sistema de equações reescrito na formade uma única equação para a
elevação da superfície livre, de acordo com os trabalhos de
[Casulli(1990)] e [Casulli and Cheng (1992)]. A estabilidade desse
esquema semi-implícito é independenteda celeridade do escoamento e
da fricção com o fundo, sendo dependente apenas da escolha
dooperador de diferenças utilizado na discretização dos termos
convectivos e viscosos. Se os termosviscosos são negligenciados
este esquema é incondicionalmente estável. É apresentado tambémo
método do gradiente conjugado pré condicionado utilizado na
resolução desse sistema de equa-ções. Como aplicações para o
análise da eficiência desse esquema temos um escoamento
geofísicoaplicado a um trecho rio Amazonas.
Um outro procedimento utilizado para se obter uma versão
discreta de uma equação diferencialé dado a partir da integração
dessa equação em uma região, ou volume, do espaço. Este
método,chamado de método de volumes finitos será aplicado à equação
da superfície livre do sistema deáguas rasas bidimensional,
enquanto que um esquema de diferenças finitas semi-implícito será
apli-cado à equação de conservação de momentum, com o uso de uma
malha não estruturada ortogonal,obtida através de uma triangulação
de Delaunay. Neste esquema utiliza-se o conceito de malhastaggered,
sendo as variáveis a serem determinadas a componente da velocidade
normal a cada umdos lados da malha e a elevação da superfície
livre, [Casulli and Walters (2000)].
O método da profundidade integrada proposto por [Kleptsova et
al. (2009)] é utilizado na re-construção da componente da
velocidade tangencial a cada um dos lados da malha, e
consequentereconstrução do campo de velocidades de um escoamento
determinado pelo conjunto completo dasequações de águas rasas.
Como aplicações temos um problema do tipo dam break com fundo
que representa uma vari-ação abrupta de velocidade.
2 UM ESQUEMA DE DIFERENÇAS SEMI-IMPLÍCITO
O sistema de equações de águas rasas, sendo u(x, y, t) e v(x, y,
t) as médias ao longo daprofundidade das componentes da velocidade
nas direções x e y, é dado por
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −g ∂η
∂x+ ν
(∂2u∂x2
+∂2u
∂y2
)+ τ sx − γu+ fv
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y= −g∂η
∂y+ ν
(∂2v∂x2
+∂2v
∂y2
)+ τ sy − γv − fu
∂η
∂t+
∂(Hu)
∂x+
∂(Hv)
∂y= 0, (1)
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onde η(x, y, t) é elevação da superfície livre a partir da
superfície da água não perturbada, h(x, y)é a profundidade da água,
também medida a partir da superfície da água não perturbada, g é
aaceleração da gravidade, τ sx e τ
sy são os termos relacionados as tensões de cisalhamento
causadas
pelo vento, nas direções x e y respectivamente, e γ é o
coeficiente de fricção dado por
γ =g√u2 + v2
C2zH, (2)
sendo H(x, y, t) = h(x, y) + η(x, y, t) a profundidade total da
água, e Cz o coeficiente de fricçãode Chezy.
Discretizamos as equações (1) através de um esquema de
diferenças semi-implícito onde ogradiente da elevação da superfície
nas equações de conservação de momentum e o divergente davelocidade
na equação da continuidade são discretizados implicitamente. Os
termos convectivosnas equações de conservação de momentum são
discretizados explicitamente. E, para que o sistemaalgébrico
resultante seja linear, os termos de fricção nas equações de
consevação de momentum sãodiscretizados implicitamente, mas o
coeficiente de fricção γ é calculado explicitamente.
Além disso, a equação da continuidade é considerada em sua forma
conservativa
∂η
∂t+
∂[(h+ η)u]
∂x+
∂[(h+ η)v]
∂y= 0, (3)
onde u e v são discretizados implicitamente, enquanto que a
profundidade total H = h + η écalculada explicitamente.
Aplicaremos este esquema a uma malha staggered bidimensional, a
malha (C) de Mesingere Arakawa, que [Harlow and Welch (1965)]
aplicam as equações de Navier-Stokes. Os elementosdessa malha são
numerados pelos índices (i, j), posicionados no centro de cada
elemento, ao longodas direções x e y, respectivamente. Os lados dos
elementos são numerados com a metade dosvalores dos índices, (i+
1
2, j), (i− 1
2, j), (i, j+ 1
2) e (i, j− 1
2), nas direções x e y, respectivamente. A
velocidade horizontal discreta u é definida no ponto médio de
cada lado vertical de cada elemento.A velocidade v é definida no
ponto médio de cada lado horizontal de cada elemento, e a
elevaçãoda superfície livre é definida no centro geométrico de cada
elemento. Um elemento dessa malha émostrado na Figura(1).
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Figura 1: Elemento de uma malha bidimensional staggered do tipo
(C)
As equações abaixo descrevem um esquema semi implícito de
discretização do sistema deequações de águas rasas bidimensionais
(1), nas quais τx = τy = 0, em uma malha staggered dotipo (C)
uk+1i+ 1
2,j= Fuk
i+ 12,j− g∆t
∆x
(ηk+1i+1,j − ηk+1i,j
)−∆t
γki+ 1
2,j
Hki+ 1
2,j
uk+1i+ 1
2,j
vk+1i,j+ 1
2
= Fvki,j+ 1
2− g∆t
∆y
(ηk+1i,j+1 − ηk+1i,j
)−∆t
γki,j+ 1
2
Hki,j+ 1
2
vk+1i,j+ 1
2
ηk+1i,j = ηki,j −
∆t
∆x
(Hk
i+ 12,juk+1i+ 1
2,j−Hk
i− 12,juk+1i− 1
2,j
)− ∆t
∆y
(Hk
i,j+ 12vk+1i,j+ 1
2
−Hki,j− 1
2vk+1i,j− 1
2
), (4)
sendo
Hki± 1
2,j= max
(0, hi± 1
2,j +
ηki,j + ηki±1,j
2
)e Hk
i,j± 12= max
(0, hi,j± 1
2+
ηki,j + ηki,j±1
2
). (5)
Para qualquer estrutura dada a F as equações (4) constituem um
sistema de 3nm equações e3nm incógnitas uk+1
i+ 12,j
, vk+1i,j+ 1
2
e ηk+1i,j .
Seguindo o trabalho de Casulli (1995) o sistema (4) é reescrito
como um sistema cuja únicaincógnita é ηk+1i,j , com a substituição
das expressões para u
k+1i± 1
2,j
e vk+1i,j± 1
2
da equação da continuidadeobtendo
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ηk+1i,j − g∆t2
∆x2
[ (Hki+ 1
2,j)2
Hki+ 1
2,j+ γk
i+ 12,j∆t
(ηk+1i+1,j − ηk+1i,j )−(Hk
i− 12,j)2
Hki− 1
2,j+ γk
i− 12,j∆t
(ηk+1i,j − ηk+1i−1,j)]−
g∆t2
∆y2
[ (Hki,j+ 1
2
)2
Hki,j+ 1
2
+ γki,j+ 1
2
∆t(ηk+1i,j+1 − ηk+1i,j )−
(Hki,j− 1
2
)2
Hki,j− 1
2
+ γki,j− 1
2
∆t(ηk+1i,j − ηk+1i,j−1)
]=
ηki,j −∆t
∆x
[ (Hki+ 1
2,j)2
Hki+ 1
2,j+ γk
i+ 12,j∆t
Fuki+ 1
2,j−
(Hki− 1
2,j)2
Hki− 1
2,j+ γk
i− 12,j∆t
Fuki− 1
2,j
]−
∆t
∆y
[ (Hki,j+ 1
2
)2
Hki,j+ 1
2
+ γki,j+ 1
2
∆tFvk
i,j+ 12−
(Hki,j− 1
2
)2
Hki,j− 1
2
+ γki,j− 1
2
∆tFvk
i,j− 12
]. (6)
Esse sistema é linear, pentadiagonal e positivo definido, e
resolvido em cada passo de tempopara determinar, pelo método do
gradiente conjugado, os valores de η a partir das condições
iniciaise de contorno.
Para a discretização dos termos convectivos quer-se obter uma
forma explícita para F e aindaassim incondicionalmente estável
através de uma aproximação semi lagrangeana. Reescrevemosentão os
termos convectivos como
Du
Dt=
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂yDv
Dt=
∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y, (7)
onde o operador derivada totalD
Dtindica a taxa de variação no tempo ao longo da linha de
corrente
definida por
dx
dt= u e
dy
dt= v. (8)
Denotando por a = u∆t∆x
e b = v ∆t∆y
os números de Courant as equações (7) implicam que asexpressões
para Fuk
i+ 12,j
e Fvki,j+ 1
2
são
Fuki+ 1
2,j= uk
i+ 12−a,j−b e Fv
ki,j+ 1
2= vk
i−a,j+ 12−b. (9)
Note que Fuki+ 1
2,j
e Fvki,j+ 1
2
são os valores de u e v no tempo tk em (i + 12 − a, j − b) e
em(i − a, j + 1
2− b) que estão sendo transportados respectivamente para (i +
1
2, j) e (i, j + 1
2), no
intervalo de tempo ∆t. No geral, entretanto, a e b não são
inteiros, e então (i + 12− a, j − b) e
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(i − a, j + 12− b) não são pontos da malha computacional. Por
isso deve-se usar uma fórmula de
interpolação para aproximar o lado direito das equações (9).
Uma possibilidade é usar uma generalização do conceito de
interpolação de uki+ 1
2−a,j−b entre
três ou mais pontos da malha sem necessariamente incluir o ponto
(i+ 12, j). Aqui consideramos o
caso em que uki+ 1
2−a,j−b é aproximado por uma interpolação bilinear dada pelos
valores assumidos
pela variável u nos quatro pontos vizinhos ao ponto (i+ 12− a, j
− b), determinando a cada passo
de tempo os valores de a e b, [Casulli (1990)]
2.1 Escoamento geofísico aplicado ao Rio Amazonas
Trataremos de um escoamento geofísico aplicado a um trecho do
Rio Amazonas, apresentadona Figura(2), próximo à cidade de Coari,
no Estado do Amazonas. Esta aplicação teve comomotivação inicial o
problema da dispersão acidental de óleo em águas fluviais, e os
potenciaisriscos de poluição que a atividade petrolífera trouxe
para esse trecho de rio com a construção dooleoduto de Coari.
Figura 2: Rio Amazonas, próximo à cidade de Coari
Paralelamente a essa construção o Projeto Potenciais Impactos
Ambientais no Transporte Flu-vial de Gás Natural e Petróleo na
Amazônia, o Projeto PIATAM, financiado pelo Plano Nacionalde
Ciência e Tecnologia para o setor de Petróleo e Gás Natural
(CTPetro), foi criado para avaliar,prevenir e monitorar prováveis
fontes de risco durante o processo de produção, transporte e
refinode petróleo e derivados.
Em parceria com este projeto a Universidade Federal do Amazonas
forneceu dados de batime-tria referentes a um trecho desse rio,
para latitudes de −4 ◦ até −3.92 ◦ e longitudes de −63.18 ◦
até−63.13 ◦.
O domínio computacional é dado por uma malha staggered tipo (C),
com 74 intervalos espa-ciais na direção x e 149 na direção y, sendo
os intervalos espaciais dados por ∆x = ∆y = 50m.Os parâmetros do
escoamento são: aceleração da gravidade, g = 9.81m/s2, coeficiente
de Chezy,Cz = 80, e τx = τy = 0. A condição de contorno para as
componentes u e v nas paredes laterais docanal são u = v = 0, de
acordo com a hipótese de aderência do fluido com a fronteira
sólida. Naentrada do canal temos como condição de contorno para a
componente u da velocidade uma maré
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M2 com período de 12h e amplitude de 0.4m. A mesma condição de
contorno é aplicada para acomponente v da velocidade na fronteira
de saída. A simulação começa com toda a massa de águaem repouso,
com exceção das fronteiras de entrada e saída, como já especificado
anteriormente. Opasso de tempo adotado é de 60s, sendo a
discretização dos termos convectivos feita através de umesquema
lagrangeano, com dois subintervalos de tempo, com τ = 30s.
Os resultados apresentados na Figura(3) representam a elevação
da superfície livre após 3h,6h, 9h e 12h do início do escoamento, o
que corresponde a 180, 360, 540 e 720 passos de tempo.
(a)
3 horas
0 500
1000 1500
2000 2500
3000 3500
4000
x
0 1000
2000 3000
4000 5000
6000 7000
8000
y
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
eta
6 horas
0 500
1000 1500
2000 2500
3000 3500
4000
x
0 1000
2000 3000
4000 5000
6000 7000
8000
y
-0.015-0.01
-0.005 0
0.005 0.01
0.015
eta
(b)
9 horas
0 500
1000 1500
2000 2500
3000 3500
4000
x
0 1000
2000 3000
4000 5000
6000 7000
8000
y
-0.015-0.01
-0.005 0
0.005 0.01
0.015
eta
12 horas
0 500
1000 1500
2000 2500
3000 3500
4000
x
0 1000
2000 3000
4000 5000
6000 7000
8000
y
-0.02-0.015
-0.01-0.005
0 0.005
0.01
eta
Figura 3: Elevação da superfície livre para um escoamento em um
trecho do rio Amazonas após (a) 3h e 6h, e(b) 9h e 12h do início do
escoamento, correspondendo a 180, 360, 540 e 720 passos de
tempo
3 MALHAS NÃO ESTRUTURADAS PARA AS EQUAÇÕES DE ÁGUASRASASNesta
seção descrevemos um modelo baseado no método de volumes finitos
aplicado a uma
malha não estruturada ortogonal staggered para o tratamento das
equações de águas rasas propostopor [Casulli and Walters (2000)].
Neste esquema as equações de conservação de momentum
sãodiscretizadas de acordo com um esquema semi-implícito de
diferenças finitas, com uma aproxi-mação lagrangeana para os termos
convectivos [Pereira (2010)], aplicado a uma malha
staggered,enquanto que a equação de conservação de massa é
integrada em um volume de controle e discre-tizada através de um
esquema semi-implícito.
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3.1 Um esquema de diferenças semi-implícito com malhas não
estruturadas
As equações de conservação de momentum e de massa (1) são
aproximadas em uma malha nãoestruturada ortogonal obtida por uma
triangulação de Delaunay, composta de Np triângulos,
todosacutângulos. Seja Ns o número total de lados dessa malha, e
seja λj , j = 1, ..., Ns, o comprimentode cada lado. Os lados do
i-ésimo triângulo serão identificados pelos índices j(i, l), i = 1,
2, ..., Np,l = 1, 2, 3, tal que 1 ≤ j(i, l) ≤ Ns, i = 1, 2, ...,
Np. Os triângulos que compartilham o j-ésimo lado da malha serão
identificados pelos índices i(j, 1) e i(j, 2) tal que 1 ≤ i(j, 1) ≤
Np e1 ≤ i(j, 2) ≤ Np, j = 1, 2, ..., Ns. A distância entre os
circuncentros de dois triângulos adjacentesque compartilham o
j-ésimo lado da malha será denotada por δj . Na Figura(4)(a)
destacamos algunsdesses índices.
(a) (b)
Figura 4: Malha não estruturada ortogonal staggered
Na discretização espacial descrita acima o campo de velocidades
e a elevação da superfícielivre são calculados em pontos alternados
da malha, de acordo com o conceito de malha staggered.A elevação da
superfície livre, ηi, suposta constante em cada triângulo, é
calculada no circuncentrode cada triângulo, enquanto que a
componente da velocidade normal a cada lado de cada triângulo,uj ,
suposta constante em cada um desses lados, é calculada no ponto de
interseção entre o lado e osegmento que une os circuncentros dos
triângulos que compartilham esse lado, [Casulli and Walters(2000)],
de acordo com a Figura(4)(b).
O esquema que se segue é uma extensão da formulação em
diferenças finitas para as equaçõesde águas rasas descrita na seção
anterior. É um esquema semi-implícito cuja estabilidade é
inde-pendente da celeridade, da tensão do vento e da fricção com o
fundo. A elevação da superfícielivre nas equações de conservação de
momentum e a velocidade na equação da continuidade sãodiscretizados
pelo método θ, [Casulli and Cattani (1994)], sendo θ um parâmetro
que pode variarentre 0 e 1. Além disso o termo de fricção causada
pelo vento, o termo de viscosidade e o termo defricção causada pelo
atrito do fluido com o fundo do escoamento são tratados de forma
implícita.
As equações de conservação de momentum em (1) são invariantes
sob uma rotação no planodo sistema de eixos x − y, e o esquema de
diferenças aplicado a malhas retangulares pode ser
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implementado neste novo sistema de coordenadas orientado de
acordo com as direções normal etangencial a cada um dos lados dessa
malha triangular. Com isso as equações de diferenças finitaspara a
componente do campo de velocidades normal ao j-ésimo lado da malha,
ukj , no passo detempo k, são dadas por:
uk+1j = Fukj − g
∆t
δj[θ(ηk+1i,(j,2) − η
k+1i(j,1)) + (1− θ)(η
ki,(j,2) − ηki(j,1))]. (10)
Nestas equações F é um operador explícito em diferenças finitas,
composto pelas contribuiçõesprovenientes da força de Coriolis, dos
termos de viscosidade e dos termos convectivos. O sentidopositivo
da componente ukj é definido como o que vai de i(j, 1) para i(j,
2).
Empregando uma descrição lagrangeana dos termos convectivos o
operador Fu pode ser dadopor, [Casulli and Walters (2000)],
Fukj =[1− θ(1− θ)f2∆t2]u∗j + f∆tv∗j
1 + θ2f 2∆t2+ ν∆t∆du
∗j , (11)
onde u∗j denota a componente do vetor velocidade normal ao
j-ésimo lado da malha e v∗j a compo-
nente tangencial ao j-ésimo lado da malha, que tem sentido
positivo dado pela regra da mão direita.O termo ∆d é o operador
Laplaciano discretizado. Ambas as componentes da velocidade, u∗j e
v
∗j ,
são interpoladas no tempo tk no ponto correspondente ao fim da
trajetória lagrangeana em funçãode seus valores em pontos da malha
adjacentes a esse ponto no fim dessa trajetória. A
trajetórialagrangeana é determinada através de uma integração
backward no tempo, da posição do nó j notempo tk+1 até a sua
posição no tempo tk.
3.2 O tratamento da equação de conservação de massa
A discretização da terceira equação em (1), desta vez escrita
usando a notação do divergente
∂η
∂t+∇ · [(Hu,Hv)] = 0, (12)
é realizada por um esquema semi-implícito de volumes finitos, de
acordo com o método θ. Comono caso das equações de conservação de
momentum a equação de conservação de massa tambémé invariante a uma
rotação e, no que segue, u e v denotam as componentes do vetor
velocidadenormal e tangencial a cada um dos lados da malha,
[Martino (2013)].
Se Ai é a área do triângulo da malha τi,
Ai∂η
∂t+
∑σj(i,l)∈ετi
[∫σj(i,l)
Hud(∂τi)]= 0. (13)
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Adotando um esquema forward para a discretização da derivada
temporal e o método θ para adiscretização semi-implícita da segunda
parcela da equação anterior, supondo u constante em cadalado da
malha, temos
Aiηk+1i = Aiη
ki − θ∆tΣ3l=1[si,lλj(i,l)Hk+1j(i,l)u
k+1j(i,l)]− (1− θ)∆tΣ
3l=1[si,lλj(i,l)H
kj(i,l)u
kj(i,l)] (14)
sendo tk = k∆t, com k = 1, 2, ..., θ um fator no intervalo1
2≤ θ ≤ 1 e si,l uma função sinal
associada com a orientação da velocidade normal definida no
l-ésimo lado do i-ésimo triângulo.Especificamente si,l = 1 indica
uma velocidade normal ao l-ésimo lado positiva, que aponta parafora
do i-ésimo triângulo, e si,l = −1 indica uma velocidade normal ao
l-ésimo lado negativa, queaponta para dentro do i-ésimo
triângulo.
A equação (14) é aplicada a cada triângulo da malha e a função
si,l é calculada para cada umdos lados de cada um dos
triângulos.
3.3 O método da profundidade integrada
No esquema anteriormente descrito aproximamos o escoamento em
águas rasas apenas emfunção da elevação da superfície livre e da
componente da velocidade normal a cada um dos la-dos de uma malha
não estruturada ortogonal staggered, não havendo informações a
respeito dacomponente da velocidade tangencial a cada um dos lados
da malha, e portanto não sendo possí-vel determinar as componentes
da velocidade nas direções x e y, necessárias para a
representaçãodesse escoamento.
Algumas possibilidades para a reconstrução dessa componente
tangencial do campo de velo-cidades são encontradas na literatura,
entre elas uma que apresenta bom desempenho no caso deescoamentos
que se desenvolvem em regiões com topografia variável. No presente
trabalho esta re-construção, proposta por [Kleptsova et al.
(2009)], chamada de método da profundidade integrada,é aplicada
junto com o esquema semi-implícito proposto por [Casulli and
Walters (2000)] ao con-junto completo de equações de águas rasas.
Nesse método o vetor velocidade uc a ser reconstruído,é calculado
no centro de cada triângulo da malha, dado pela soma dos valores
das componentes dovetor velocidade normais a cada um dos lados do
triângulo, e projetado nas direções tangenciaisaos lados de cada
triângulo da malha.
Figura 5: Reconstrução do vetor velocidade e determinação de sua
componente tangencial
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Este método resulta em dois valores para a componente tangencial
da velocidade em cada pontomédio em cada lado da malha, sendo um
valor para cada um dos triângulos que compartilham cadalado da
malha. A componente tangencial final é determinada a partir de uma
interpolação dessesdois valores.
Mais especificamente temos o seguinte procedimento de
reconstrução da componente tangen-cial da velocidade que constitui
o método da profundidade integrada, [Kleptsova et al. (2009)]
Aiuci =∑l=1,3
δj(i,l)dcij(i,l)
Hj(i,l)Hci
λj(i,l)uj(i,l)nj(i,l) (15)
dj(i,l)vj(i,l) = δi(j,1)dcij(i,l)(uci(j,1) · tj(i,l)) +
δi(j,2)d
cij(i,l)(uci(j,2) · tj(i,l)). (16)
Como na seção anterior os termos convectivos nas equações de
conservação de quantidade demovimento são expressos como uma
derivada material, calculada ao longo das linhas de
correntedeterminadas pelas curvas características, sendo o termo
Fukj dado por Fu
kj = u
kj0 , com u
kj0 o
valor da componente normal da velocidade u no final da
trajetória lagrangeana, [Martino (2013)].Quanto á equação para a
superfície livre, substituindo o valor de uk+1j dado em (10) na
equação dacontinuidade (14), obtemos
Aiηk+1i − g∆t2θ2Σ3l=1
si,lλj(i,l)δj(i,l)
Hkj(i,l)(ηk+1i[j(i,l),2] − η
k+1i[j(i,l),1]) =
Aiηki − (1− θ)∆tΣ3l=1si,lλj(i,l)Hkj(i,l)ukj(i,l) −
θ∆tΣ3l=1si,lλj(i,l)Hkj,(i,l)Gkj(i,l), (17)
onde,
Gkj(i,l) = Fukj − g
∆t
δj(1− θ)(ηki(j,2) − ηki(j,1)). (18)
As equações dadas em (17) constituem um sistema linear esparso
de Np equações para ηk+1i .Esse sistema é diagonal dominante,
simétrico e positivo definido. Logo tem solução única que podeser
eficientemente determinada pelo método do gradiente conjugado pré
condicionado, [Atkinson(1988)]. E, uma vez que ηk+1i for
determinado, a equações (10) constituem um sistema
lineartridiagonal para uk+1j . Esse sistema é simétrico e positivo
definido. Logo, pode ser resolvido porum método direto para
determinar uk+1j ao longo de todo o domínio computacional.
3.4 Um problema do tipo dam break
O esquema semi-implícito de diferenças-volumes finitos (17) foi
aplicado a um problema dotipo dam break bidimensional, com o
escoamento ocorrendo em uma bacia retangular com 3000m
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de comprimento na direção x, 2000m de comprimento na direção y.
Os valores da elevação dasuperfície livre e das componentes do
campo de velocidades nas direções x e y são calculadosem uma malha
não estruturada ortogonal staggered, representada na Figura(6),
gerada a partir deuma triangulação de Delaunay contendo apenas
triângulos acutângulos, que tem como padrão atriangulação já
exibida anteriormente na Figura(4)(a).
Figura 6: Malha triangular não estruturada ortogonal staggered
para um problema do tipo dam break
A estrutura de dados dessa triangulação, com 624 triângulos e
343 nós, que inclui por exemplodados sobre os nós que formam os
triângulos e vizinhança de cada um desses triângulos, foi
geradapelo gerador de malha Triangle, [Schewchuk (1996)].
Inicialmente o fluido está em repouso sendo a elevação da
superfície livre igual a 1m parax ≤ 10m e igual a 0m para x >
10m, com condição de contorno nula para o campo de velocidades.A
aceleração da gravidade é 9.81m/s2 e o parâmetro de Coriolis
estabelecido para 4 ◦ de latitudenorte. São desprezados os efeitos
da viscosidade.
Este esquema foi implementado com ∆t = 10s, adotando-se a
descrição lagrangeana dostermos convectivos, com 4 subintervalos de
tempo. O fator de implicidade é tal que θ = 0.5.
Os resultados seguintes representam a elevação da superfície
livre para um escoamento do tipodam break que ocorre em um canal
com variação abrupta de velocidade ao longo da direção x,sendo essa
profundidade igual a 4.5m para x ≤ 1000m e igual a 1.0m para x >
1000m.
Os resultados obtidos para a elevação da superfície livre com 8
e 16 passos de tempo sãoapresentados na Figura(7)(a) e com 24 e 32
passos de tempo são apresentados na Figura(7)(b).
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(a)
t = 80s
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
0 200
400 600
800 1000
1200 1400
1600 1800
2000
y
-0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
eta
t = 160s
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
0 200
400 600
800 1000
1200 1400
1600 1800
2000
y
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
eta
(b)
t = 240s
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
0 200
400 600
800 1000
1200 1400
1600 1800
2000
y
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
eta
t = 320s
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
0 200
400 600
800 1000
1200 1400
1600 1800
2000
y
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
eta
Figura 7: Elevação da superfície livre para um problema do tipo
dam break com variação abrupta de profundi-dades após (a) 8 e 16
passos de tempo, e (b) 24 e 32 passos de tempo
4 CONCLUSÕES
Um esquema de diferenças semi-implícito, com malha staggered foi
utilizado na aproximaçãodo modelo bidimensional do sistema de
equações de águas rasas. Esse esquema de diferençasfoi aplicado a
um escoamento geofísico de um trecho do rio Amazonas, onde temos
resultadospara 12h após o início do escoamento, sendo esses
resultados significativamente melhores que osapresentados em [da
Silva (2002)], quando o passo de tempo era 1000 vezes menor que o
utilizadoneste trabalho. Entretanto efeitos de turbulência,
geralmente relevantes neste tipo de escoamento,não foram
considerados, assim como dados sobre vazão, e não sobre maré, como
os que foramaplicados, talvez nos rendessem observações mais
realistas a respeito desse escoamento já queestamos nesta aplicação
em uma região do rio Amazonas razoavelmente longe da foz. Além
disso,foram desconsiderados neste caso problemas do tipo wet and
drying que caracterizam escoamentosque ocorrem em domínios
variáveis, apresentando regiões de seca e alagamento, como é o
casodesse trecho do rio Amazonas que apresenta substancial variação
de cota.
Neste trabalho o método da profundidade integrada foi aplicado
na reconstrução do campo develocidades de um escoamento rotacional
em águas rasas, considerando-se todos os seus termos, deadvecção,
difusão e fricção, expandindo os resultados apresentados em
[Kleptsova et al. (2009)],que trata de um escoamento rotacional que
sofre influência apenas da parcela referente a Coriolis,
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regido pelas equações de ondas de gravidade inerciais. Esse
sistema de equações é aproximadopor um esquema semi-implícito
baseado no método de volumes finitos , com uma discretizaçãosemi
lagrangeana dos termos convectivos da equação de conservação de
momentum. A validaçãodo método da profundidade integrada aplicado
ao conjunto completo de equações de águas rasasse deu através de um
problema do tipo dam break, por significar parte do sucesso desse
métodoa sua capacidade de representar de maneira satisfatória
escoamentos de caráter hiperbólico comcondição inicial
descontínua.
REFERÊNCIAS
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John Wiley Sons Inc, Iowa City.
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Casulli, V. & Cheng, R. T., 1992. Semi-implicit finite
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surface. The Physics of Fluids, vol. 8 (12), pp. 2182–2189.
Kleptsova, O., Pietrzak, J. D., & Stelling, G. S., 2009. On
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c-grid ocean models. Ocean Modelling, vol. 28, pp. 118–126.
Martino, L. S. d. S., 2013. Simulação Numérica de Escoamentos em
Águas Rasas pelo Método deDiferenças Finitas. PhD thesis,
Laboratório Nacional de Computação Científica.
Pereira, F. F., 2010. Modelo hidrodinâmico e de transporte
bidimensional de grade não estruturadapara lagos rasos. Master’s
thesis, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Schewchuk, J. R., 1996. Triangle: Engineering a 2d quality mesh
generator and delaunay trina-gulator. In Applied Computational
Geometry, Towards Geometric Engineering, pp. 203–222,London.
Springer Verlag.
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Encontro Mineiro de Modelagem Computacional
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