Esquema Fatorial ESQUEMA FATORIAL Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estat´ ıstica 22 de julho de 2017 Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTAT ´ ISTICA EXPERIMENTAL
27
Embed
ESQUEMA FATORIAL - uel.br§ão... · Esquema Fatorial ESQUEMA FATORIAL Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina Departamento de Estat stica
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Esquema Fatorial
ESQUEMA FATORIAL
Lucas Santana da Cunhahttp://www.uel.br/pessoal/lscunha
Universidade Estadual de LondrinaDepartamento de Estatıstica
22 de julho de 2017
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Introducao
Nos experimentos mais simples comparamos nıveis (tratamen-tos) de apenas um fator;
Entretanto, existem casos em que dois ou mais fatores devemser estudados simultaneamente para que possam nos conduzira resultados de interesse;
Em geral, os experimentos fatoriais sao mais eficientes paraeste tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, osefeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou maisnıveis.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
O fatorial e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneirasde organizar os tratamentos e nao um tipo de delineamento;
Os experimentos fatoriais sao montados segundo um tipo dedelineamento experimental;
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos sao obtidos pelascombinacoes dos nıveis dos fatores.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo 1
Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um an-tibiotico com 2 diferentes nıveis de vitamina B12.
Neste caso tem-se um fatorial 2 × 2, com os fatores Antibioticos(A) e Vitamina (V ), que ocorrem em 2 nıveis (A1 e A2) e 2 nıveis(V1,V2), respectivamente, e os 2× 2 = 4 tratamentos seriam:
A1V1 A1V2 A2V1 A2V2.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo 2
Num experimento fatorial pode-se combinar 3 doses de uma drogacom 2 idades distintas.
Neste caso tem-se um fatorial 3 × 2 pode-se combinar 3 Doses deuma droga (D1, D2 e D3), 2 Idades (I1 e I2) e tem-se 3 × 2 = 6tratamentos, que seriam:
D1I1 D1I2
D2I1 D2I2
D3I1 D3I2
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo 3
Num experimento fatorial pode-se combinar 3 variedades, 2adubacoes e 2 epocas de plantio.
Neste caso tem-se um fatorial 3×2×2 pode-se combinar 3 variedades(V1, V2 e V3), 2 Adubacoes (A1 e A2) e 2 epocas de plantio (E1 eE2) e tem-se 3× 2× 2 = 12 tratamentos, que seriam:
V1A1E1 V1A1E2 V1A2E2
V2A1E1 V2A1E2 V2A2E2
V3A1E1 V3A1E2 V3A2E2
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Tipos de efeitos avaliados
Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;
Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Tipos de efeitos avaliados
Efeito Principal: e o efeito de cada fator, independente doefeito dos outros fatores;
Efeito de Interacao: e o efeito simultaneo dos fatores sobrea variavel em estudo. Dizemos que ocorre interacao entre osfatores quando os efeitos dos nıveis de um fator sao modificadospelos nıveis do outro fator.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo 1
Consideremos um experimento fatorial 2 × 2, com os fatores, An-tibiotico (H) e Vitamina B12 (V) nos nıveis:
H1 (sem antibiotico) e H2 (com antibiotico);
V1 (sem vitamina B12) e V2 (com vitamina B12),
adicionados a uma dieta basica. Suponha os seguintes resultados deganho de peso (kg), para os 2 × 2 = 4 tratamentos, nas seguintessituacoes:
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Nao ha interacao entre os fatores
Fator H Fator B – Vitamina B12Totais
Dose do antibiotico V1 V2
H1 20 40 50
H2 30 52 92
Totais 60 82 142
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Ha interacao entre os fatores
Fator H Fator B – Vitamina B12Totais
Dose do antibiotico V1 V2
H1 20 50 70
H2 40 10 50
Totais 60 60 120
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Vantagens
As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relacao aosexperimentos simples sao:
a) Pode-se estudar dois ou mais fatores num unico experimento.
b) Pode-se, por meio dos efeitos das interacoes, verificar se um fatore independente ou dependente do(s) outro(s).
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Desvantagens
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais sao:
a) O numero de tratamentos ou combinacoes de nıveis de fatorescresce, rapidamente, com o aumento do numero de nıveis, emcada fator, ou mesmo com o aumento do numero de fatores.
b) A interpretacao dos resultados se torna mais difıcil a medida queaumentamos o numero de nıveis e de fatores no experimento.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Tabulacao com dois fatores
Seja yijk a resposta observada para o i-esimo nıvel (i = 1, 2, . . . , a)do fator A e j-esimo nıvel (j = 1, 2, . . . , b) do fator B, para a k-esimarepeticao (k = 1, 2, . . . , n). Em geral, os dados serao apresentadosna forma da Tabela 1.
Tabela 1: Arranjo geral para um experimento fatorial.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Modelo estatıstico
As observacoes podem ser descritas pelo modelo estatıstico linear:
yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk
{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n
em que
µ e o efeito da media geral;
τi e o efeito do i-esimo nıvel do fator linha A;
βj e o efeito do j-esimo nıvel do fator coluna B;
(τβ)ij e o efeito da interacao entre τi e βj ;
εijk e o componente de erro aleatorio.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
No experimento fatorial com 2 fatores, deseja-se testar a significancia deambos os fatores. Ha interesse em testar hipoteses sobre a igualdade dosefeitos de tratamentos nas linhas, isto e:
H0 : τ1 = τ2 = . . . τa = 0
H1 : Pelo menos um τi 6= 0
e a igualdade nos efeitos de tratamentos nas colunas, ou seja:
H0 : β1 = β2 = . . . βb = 0
H1 : Pelo menos um βj 6= 0
e, ainda, se ha interacao entre os fatores:
H0 : (τβ)ij = 0 para todo i , j
H1 : Pelo menos um (τβ)ij 6= 0
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Do modelo estatıstico
yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk
{i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , bk = 1, 2, . . . , n
Tem-se que os estimadores de mınimos quadrados para µ, τi , βj e(τβ)ij sao
µ = y ;τi = yi − y , i = 1, 2, . . . , a;
βj = yj − y , j = 1, 2, . . . , b;
ˆ(τβ)ij = yij − yi − yj − y ,i = 1, 2, . . . , aj = 1, 2, . . . , b
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
ANAVA
Tabela 2: Analise de variancia para um experimento fatorial com 2fatores.
C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcal
A a− 1 SQA QMA = SQA
a−1 Fcal = QMA
QMRes
B b − 1 SQB QMB = SQA
b−1 Fcal = QMB
QMRes
A× B (a− 1)(b − 1) SQA×B QMA×B = SQA×B
(a−1)(b−1) Fcal = QMA×B
QMRes
Resıduo ab(n − 1) SQRes QMRes = SQRes
ab(n−1)
Total abn − 1 SQTotal
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Soma de quadrados
Assim, tem-se:
SQTotal = SQA + SQB + SQA×B︸ ︷︷ ︸+SQRes ,
de forma que a soma de quadrados total e dada por:
SQTotal =a∑
i=1
b∑j=1
n∑k=1
y2ijk −
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
As somas de quadrados para os efeitos principais sao:
SQA =a∑
i=1
T 2Ai
bn−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
SQB =b∑
j=1
T 2Bj
an−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Para o calculo da soma de quadrados da interacao, SQAxB , deve-se, ini-cialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B,denotada por SQA,B . Logo,
SQA,B =a∑
i=1
b∑j=1
T 2AiBj
n−
(∑ai=1
∑bj=1
∑nk=1 yijk
)2
abn
Esta soma de quadrados contem SQA e SQB . Portanto, a soma de qua-drados da interacao e:
SQAxB = SQA,B − SQA − SQB ,
e, a soma de quadrados de resıduos, obtem pela diferenca:
SQRes = SQTotal − SQA − SQB − SQAxB .
Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do
efeito conjunto e sempre igual a soma de quadrados de tratamentos.
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exemplo
A Tabela 20 apresenta os dados do desenvolvimento das mudas de 2 especies de euca-liptos (E1 e E2) plantados em 3 tipos de recipientes (R1, R2 e R3).
Tabela 3: Alturas medias das mudas, em centımetros, aos 80 dias
de idade.
EspeciesRecipientes
E1 E2
TRi
26,2 26,0 24,8 24,6R125,0 25,4
102,626,7 25,2
101,3 203, 9
25,7 26,3 19,6 21,1R225,1 26,4
103,519,0 18,6
78,3 181, 8
22,8 19,4 19,8 21,4R318,8 19,2
80,222,8 21,3
85,3 165, 5
TEj 286,3 264,9 551,2
A um nıvel de significancia de 5%, os fatores Especies de eucaliptos e tipos de recipientes
atuam de forma independente?
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exercıcio 1Num experimento planejado para avaliar tres detergentes, um laboratorio lavou roupatres vezes em cada combinacao de detergente e temperatura de agua, obtendo porcen-tagens de roupas bem lavadas, dadas a seguir:
Detergente A Detergente B Detergente C
Agua fria 45 39 46 43 46 41 55 48 53
Agua morna 37 32 43 40 37 46 56 51 53
Agua quente 42 42 46 44 45 38 46 49 42
A um nıvel de 0,01 de significancia, pede-se:
a) ha efeito da interacao entre o tipo de detergente e a temperatura da agua?Justifique sua resposta.
b) Ha efeito de temperatura da agua na porcentagem de roupas bem lavadas?Justifique sua resposta. Se sim, qual temperatura tem uma maior porcentagem?
c) Ha efeito de detergente na porcentagem de roupas bem lavadas? Justifique suaresposta. Se sim, qual detergente tem uma maior porcentagem?
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha ESTATISTICA EXPERIMENTAL
Esquema Fatorial
IntroducaoVantagens e DesvantagensTabulacao e modelo estatısticoAnalise de Variancia
Exercıcio 2
Em um experimento em blocos casualizados, no esquema fatorial 23, foi estudadaa adubacao da cultura do cafeeiro. As producoes de cafe coco, em kg por parcelade 105m2, foram: