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Esfuerzos Variables -- Pg. 1 de 21
Repblica Argentina
Universidad de Buenos Aires
Departamento de Ingeniera Mecnica
rea de Docencia de Mecanismos
67.12 - MECANISMOS B
INTRODUCCIN A LOS ESFUERZOS VARIABLES
TERICO
Ing. MAYER Omar E.
[email protected]
OCTUBRE 2 006
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Esfuerzos Variables -- Pg. 2 de 21 La obtencin de las
propiedades mecnicas de los materiales, esto es, relaciones
esfuerzos deformaciones, generalmente implican un gradual aumento
de la carga actuante, partiendo la misma de cero y otorgando un
adecuado tiempo para el desarrollo de la deformacin correspondiente
a cada incremento del valor de la carga, esto es, con valores
lmites para la velocidad del ensayo y sin cambiar a la misma de
signo.
Este modo de aplicacin de las cargas se denomina modo esttico
(incremento infinitesimal del valor de la carga) y muchas
estructuras lo verifican, especialmente si la carga actuante ha
alcanzado su valor definitivo sin haber causado falla alguna en
dichas estructura y permanece con dicho valor en el tiempo. No
obstante, cuerpos en movimiento, como ser ejes o rboles rotatorios
trabajando a flexin constante en valor, direccin y sentido y sin
considerar el centrifugado de los mismos; por cada media rotacin,
las fibras exteriores (longitudinales) del eje o rbol por efecto de
la misma rotacin sufren un cambio de signo (sentido) de los
esfuerzos normales de flexin a los que se encuentran sometidas,
como muestra la siguiente FIGURA 01.
En dicho esquema, la fibra A en el instante representado se
encuentra sometida a traccin; un cuarto de rotacin adelante no est
solicitada ni a traccin ni a compresin; un cuarto de rotacin mas a
compresin (en media rotacin pas de traccin a compresin); con otro
cuarto de rotacin mas no se encuentra bajo ninguna solicitacin y al
completar una vuelta completa vuelve a estar sometida a traccin,
repitindose este ciclo por cada vuelta que rota. Si tambin el eje
debe soportar una fuerza axial constante o variable, esta se
superpondr a la flexin, generndose esfuerzos normales totales
variables en el tiempo, en general, con valores absolutos mximos y
mnimos distintos. Resultan entonces los casos mostrados en las
FIGURAS 02 y 03 siguiente pgina.
Resultando ser el fluctuante una situacin general, el
alternativo resulta ser un caso particular del mismo, el primero
con esfuerzo medio no nulo y el segundo con esfuerzo medio nulo, de
donde tambin el primero un caso mas complejo de resolver que el
segundo.
FIGURA 01
Mf Mf
Fibra 'A'A
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Esfuerzos Variables -- Pg. 3 de 21
En el esfuerzo alternativo, resulta tambin:
Esfuerzo mximo = Esfuerzo mnimo En el esfuerzo fluctuante, en
funcin de que los valores mximo y mnimo pueden ser: ambos
positivos, uno de ellos nulo o ambos negativos; puede resultar que
el valor absoluto del esfuerzo mximo, sea menor que el valor
absoluto del valor mnimo. La variabilidad de los esfuerzos, origina
roturas denominadas roturas por solicitaciones variables, con
valores resistenciales pseudoinferiores a los lmites de
proporcionalidad, elsticos, de fluencia y/o de rotura que se puedan
determinar estticamente. Las roturas por solicitaciones variables
comienzan, generalmente, por la existencia de una discontinuidad en
la constitucin fsica del cuerpo; tanto interna como externa; como
ser una grieta, fisura o sopladura interna (defecto de colada, de
soldadura y/o de laminacin), un cambio de seccin y/o de geometra,
un alojamiento de chaveta, irregularidades en el maquinado,
orificios,
Localizada una discontinuidad, la tensin ah resultante es mayor
que la inmediatamente vecina y as sucesivamente, producindose o
agrandndose
(Tpico Flexin 'pura rotativa')
Esfuerzomnimo
Esfuerzomximo
Esf
uerz
oE
sfue
rzo
FIGURA 02 -- ESFUERZO FLUCTUANTE
FIGURA 03 -- ESFUERZO ALTERNATIVO
Esfuerzomedio = 0
EsfuerzomximoEsfuerzomedio 0
Esfuerzomnimo
Espacio cubierto
Espacio cubie
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Esfuerzos Variables -- Pg. 4 de 21 una grieta y disminuyndose la
seccin resistente hasta un punto tal que esta ltima no resiste,
producindose la repentina y tal vez inesperada (sin acuse de
deformacin alguna) rotura del cuerpo. Analizada una rotura debida a
solicitaciones variables, la misma resulta similar a la rotura (por
ms dctil que pueda ser el material estticamente) de un material
frgil sometido, valga la redundancia, estticamente; por lo que el
elemento rompe sin deformacin alguna; al contrario de lo que sucede
ante una solicitacin esttica y de ser dctil el material ante tal
forma de solicitacin, en donde el cuerpo acusa una apreciable
deformacin antes de romper.
RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES NORMALES VARIABLES
ALTERNATIVAS
Uno de los mecanismos que se utiliza para medir la resistencia a
las solicitaciones normales alternativas es el de someter una viga
probeta rotatoria a flexin pura constante en valor, direccin y
sentido, anulando en la zona de rotura (a travs del diseo del
ensayo y de la probeta) los esfuerzos cortantes transversales de
cizallamiento que se originan (flexin pura), y contando los ciclos
o alternaciones de esfuerzos que soporta la probeta hasta su
rotura. Llevando los resultados medios estadsticos obtenidos a un
diagrama logartmico y si el material bajo ensayo es ACERO, resulta
un diagrama conforme la siguiente FIGURA 04.
En l: log Smx: log Sfe log Sy si el material resulta dctil
(con
fluencia) a las solicitaciones estticas y si se considera la
llegada de la fluencia (o del valor de Sfe) como falla del material
ante tales solicitaciones o
log (0,8 * Su) si el material resulta frgil (sin fluencia). log
N: logaritmo vida til en ciclos, log Sf: logaritmo resistencia a
las solicitaciones variables para
vida finita (flexin pura rotatoria, esfuerzos normales
alternativos) en probetas (notar uso de ),
log Se: logaritmo resistencia a las solicitaciones variables
para
vida infinita o indeterminada (flexin pura rotatoria, esfuerzos
normales alternativos) en probetas (uso de ),
log S'f 10^4 ciclos
FIGURA 04
log
S'f
50 3 421
log S'e
10986 7
log S'mx
log N
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Esfuerzos Variables -- Pg. 5 de 21 Del anlisis del diagrama
surge que a partir del valor N = 10^6 ciclos, la `funcin se hace
paralela a las abscisas donde se representan los valores de N y
este hecho puede ser interpretado como que si un determinado cuerpo
de acero, para un determinado valor de esfuerzo normal alternativo,
soport 10^6 ciclos sin romper, posee una vida til infinita (mejor
indeterminada), para dicho esfuerzo y mejor an, para uno de menor
valor. Al valor de la resistencia a los esfuerzos normales
alternativos correspondiente a 10^6 ciclos y en probetas de acero,
se lo simboliza con Se y se la denomina resistencia a las
solicitaciones normales alternativas para vida infinita o
indeterminada en probetas (aceros). Para aceros de hasta Su = 1400
Mpa, su valor es de aproximadamente 0,5 * Su; para aceros con Su
superior al marcado, Se se estaciona en 700 Mpa.
Aceros de hasta Su = 1.400 Mpa Se = 0,5 Su
Aceros con Su > 1.400 Mpa Se = 700 Mpa En el caso de
materiales no ferrosos, la curva no resulta con tramo paralelo al
eje N, por lo que estos materiales, sometidos los mismos a cargas
variables, alguna vez rompen y no tienen, en consecuencia, lmite de
resistencia a dicho tipo de cargas para vida infinita o
indeterminada. Para aleaciones de aluminio, se suele tomar 10^8
ciclos como lmite de vida. El dimensionamiento de cuerpos de acero,
supuestos los mismos para una duracin menor a 10^6 ciclos, arroja
dimensiones menores que para duraciones iguales o mayores a 10^6
ciclos, por ser el Sf correspondiente, mayor que Se, por lo que el
conocimiento de la admisibilidad conforme el ciclo de vida a
cumplir por un cuerpo resulta un aspecto tal vez importante a la
hora de dimensionar al mismo.
CONCENTRACIN de TENSIONES Supuesto un cuerpo como el
esquematizado en la FIGURA 05 siguiente pgina, el mismo con un
agujero o vaco como el indicado y sometido a traccin, la
distribucin de tensiones en la seccin transversal que contiene el
agujero (la mas dbil), debido a un efecto de acumulacin
(concentracin) de lneas de tensin, es como la representada,
verificndose en ambas fibras aledaas al agujero una tensin
importantemente mayor que la que correspondera conforme los clculos
tradicionales:
F Siendo: nm = Tensin nominal = ----------------
e * (b -- d)
resulta: ba = Kf * nm nm ;;;;; (bp nm)
con: Kf = Coeficiente de concentracin de tensiones 1
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Esfuerzos Variables -- Pg. 6 de 21
El coeficiente de concentracin de tensiones Kf reulta funcin del
tipo y direccin relativa del esfuerzo que acta, de la forma de la
entalla (vaco) (en este caso un agujero) y de las dimensiones de la
misma respecto a la del cuerpo. En el caso representado, una fisura
con la misma direccin que la del esfuerzo, no provocara
concentracin de tensiones, mientras que una fisura transversal a la
direccin del esfuerzo provocara una concentracin de tensiones
infinita (al menos indeterminada).
En el caso de una fisura transversal, puede obtenerse un Kf
finito (al menos, menor) si se practican dos perforaciones como se
indica en el esquema izquierdo de la FIGURA 06 siguiente pgina y en
el caso como en el de una perforacin, como la anteriormente vista,
se disminuye el valor de Kf si se realizan perforaciones anteriores
y posteriores, como se muestra en el esquema derecho de la misma
FIGURA 06, en donde se desvan las lneas de tensin con anterioridad
y posterioridad al concentrador de tensiones (agujero o fisura).
Los materiales, conforme sea su fragilidad o ductilidad y si la
solicitacin es esttica o variable, reaccionan de distinta manera
ante el efecto en tratamiento: En los materiales de comportamiento
dctil ante solicitaciones estticas y sometidos a dicho tipo de
solicitaciones, cuando la fibra que se encuentra a mayor tensin
alcanza la de fluencia, ante un aumento de la carga no ve
incrementar su tensin; espera a que todas las fibras vecinas, una a
otra, en forma sucesiva y hacia el borde del cuerpo, alcancen la
fluencia para de ah en ms, ver incrementar el valor de la tensin
que debe soportar.
FIGURA 05
F
ba
bd
bp
ba
bp
F
e
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Esfuerzos Variables -- Pg. 7 de 21
En los materiales de comportamiento frgil (sin fluencia),
sometidos tanto a solicitaciones estticas como variables y por el
contrario, la distribucin de tensiones, afectada la misma por el
concentrador Kf, permanece constante hasta que la fibra que se
encuentra a mayor tensin alcanza la de rotura, comenzando a
producirse la rotura del cuerpo en dicha fibra y a propagarse
consecuentemente la rotura haca el borde del cuerpo. Los materiales
dctiles ante solicitaciones estticas, sometidos a solicitaciones
variables, reaccionan como los materiales frgiles como en el
apartado anterior se expuso; esto es, rompen sin mostrar fluencia o
deformacin alguna. De lo expuesto cabe entender que ante un
concentrador de tensiones, corresponde considerar el respectivo
coeficiente cuando se est ante solicitaciones variables, sea dctil
o frgil el material y en materiales frgiles, cuando los mismos estn
solicitados estticamente. Se puede decir que un material es ms
frgil o ms dctil que otro (no resulta correcto clasificar los
materiales en frgiles o dctiles de manera absoluta) y que dicha
comparacin depende del comportamiento de los mismos, conforme sean
sus caractersticas y de la forma de ser de la carga que deben
soportar y que con respecto a este ltimo aspecto, un mismo material
ve variar su ductilidad (fragilidad) conforme es la forma de ser de
la carga. Comprendiendo Sf (solucin general) el valor Se (solucin
particular), el tema ser desarrollado exponindolo nicamente en
trminos de Sf.
1 haciendo: ke = --- y siendo: ba = Kf * nm resulta:
Kf
F
F
F
F
FIGURA 06
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Esfuerzos Variables -- Pg. 8 de 21
Sfe ba = ke * Sfe Materiales frgiles ante solicitaciones
normales estticas y cargados de dicha manera.
Sfe ba = Sfe Materiales dctiles ante solicitaciones normales
estticas y cargados de dicha manera
Sf ba = ke * Sf Materiales frgiles o dctiles ante solicitaciones
normales estticas y cargados con solicitaciones normales
alternativas.
Siendo q = sensibilidad a la entalla (depende del material y de
las dimensiones de la entalla) y Kt = coeficiente geomtrico de
concentracin de tensiones (no depende del material y si de las
dimensiones relativas de la entalla respecto a las del cuerpo),
resulta:
Kf -- 1 Kf = 1 + q * (Kt -- 1) q = ----------
Kt -- 1
q 1 ;;;;;;;; Kt 1 ;;;;;;;; Kf 1 ;;;;;;;; Kf Kt
1 1 ke = --- = ------------------------- 1
Kf 1 + q * (Kt -- 1)
FACTORES QUE MODIFICAN LA RESISTENCIA LMITE Sf A LAS
SOLICITACIONES VARIABLES
Resultando simbolizada con Sf, conforme la vida til pretendida,
la resistencia lmite a las solicitaciones normales alternativas de
una PROBETA, se simboliza con Sf la respectiva resistencia a las
solicitaciones normales alternativas de CUERPOS estndares, esto es,
de consumo humano directo o indirecto, los cuales y por no estar
construidos como las probetas, poseern resistencias inferiores
respecto a estas ltimas. La presunta es entonces: Cmo hacer cuando
se trata de verificar o dimensionar un cuerpo estndar?. La solucin
pasa por considerar una serie de factores (ke incluido) que
modifiquen el valor de laboratorio Sf y que tomen en cuenta las
condiciones de utilizacin y geometra del cuerpo en estudio. Con
este concepto, se calcula para el cuerpo estndar, los valores de Sf
(resistencia a las solicitaciones normales alternativas conforme la
vida til requerida) con:
Sf = ( ka * kb * kc * kd * ke * kf ) * Sf
donde cualquier k 1, por resultar Sf Sf.
ka = Factor de acabado superficial. Depende de la terminacin
superficial. Para rugosidad paralela (probetas) a los esfuerzos, ka
= 1
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Esfuerzos Variables -- Pg. 9 de 21
kb = Factor de tamao. En flexin rotatoria pura: Dimetros de
hasta 7,6 mm kb = 1 Dimetros entre 7,6 mm y 50 mm kb = 0,85
Dimetros mayores a 50 mm kb = 0,75
kc = Factor de confiabilidad (estadstico). Compara el resultado
obtenido con el esperado.
kd = Factor de temperatura: Siento T la temperatura: Para T 160
F kd = 1 Para T 160 F kd = (620 / (460 + T( F)))
ke = Inversa del factor de concentracin de tensiones Kf.
kf = Factor de efectos diversos (direccin del esfuerzo respecto
de la direccin de laminacin del cuerpo, tratamiento trmico, estado
de la corrosin y/o tratamiento superficial de proteccin)
En solicitaciones estticas y con materiales dctiles ante tales
formas de solicitacin, estos factores no variaran las condiciones
resistenciales del material, por lo que ante estas situaciones
dichos factores podran ser tomados como iguales a la unidad; no as
en solicitaciones estticas con materiales frgiles y en todos los
casos de solicitaciones variables, con posiblemente de mayor valor
en materiales frgiles ante solicitaciones estticas respecto a los
materiales dctiles ante el mismo tipo de solicitaciones.
RESISTENCIA DE CUERPOS SOMETIDOS A ESFUERZOS NORMALES
FLUCTUANTES
Los valores de Sf y Sf tratados, corresponden a las resistencias
cuando de solicitaciones normales alternativas se trata, esto es,
con esfuerzo normal medio nulo, correspondiendo en tal caso el
diagrama mostrado en la FIGURA 03 ya vista.
Siendo: a = Esfuerzo de trabajo alternativo Cs = Coeficiente de
sobredimensionamiento 1
Sf en estos casos y cuando: a --- el cuerpo no fallara
Cs La cuestin pasa entonces por conocer que sucede con estados
de esfuerzos fluctuantes (distintos al alternativo), esto es, con
valores de m (tensin de trabajo media) no nula.
ESFUERZO NORMAL FLUCTUANTE
Siendo:
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Esfuerzos Variables -- Pg. 10 de 21
mx = Tensin mxima ;;; mn = Tensin mnima m = Tensin media ;;; a =
Tensin alternativa
mx + mn mx -- mn resulta: m = ------------------ ;;; a =
------------------
2 2
Nota 01: Siendo (mayora matemtica) mx mn, resulta a 0
Nota 02: En esfuerzos alternativos: mx = -- mn m = 0 mx = -- mn
= a
Nota 03: Aunque los esfuerzos variables se han representado con
una variacin de tipo senoidal / cosenoidal (as sucede con la flexin
rotativa), la forma de la onda como as tambin la frecuencia de la
misma (al menos con frecuencias de uso industrial) parece no tener
influencia alguna en los valores resistenciales del material. Nota
04: Esfuerzos estacionarios o estticos no deben interpretarse como
esfuerzos medios; si actan conjuntamente con esfuerzos variables
incrementan o disminuyen los valores mximos, mnimos y medios de
estos ltimos en el mismo valor y existen debido a una precarga o
carga fija, por ejemplo, resortes de vlvulas en motores de
combustin interna y en compresores alternativos de gases.
RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES VARIABLES PARA CUALQUIER TIPO
DE VARIACIN DEL ESFUERZO NORMAL
Analizado el comportamiento de distintos aceros sometidos a
distintos pares de tensiones normales media y alternativa que
producen la FALLA de los mismos, conforme sea la vida til
pretendida y redondeando los diagramas caractersticos, resultan los
diagramas a llamar de Goodman como se muestra en la FIGURA 07
siguiente pgina, cada uno de ellos para una vida N particular
(tercera variable; tres variables resultan no representables en un
plano). En dicho diagrama se ha trazado una lnea quebrada ABCDE
compuesta por los tramos rectos AB, BC, CD y DE. Dicha lnea
representa pares de tensiones admisibles alternativas medias Sa -
Sm respectivamente, con los valores de Sa en el eje de las
ordenadas, con los de Sm en el eje de las abcisas, con tensiones
medias Sm de traccin en el semicampo derecho (abcisas positivas) y
con tensiones medias de compresin en el semicampo izquierdo
(abcisas negativas). As las cosas, al menos los aceros poseen una
admisibilidad mayor cuando los esfuerzos medios que sobre ellos
actan son de compresin.
Lnea quebrada ABCDE: Lnea de admisibilidad
Mostrndose en ordenadas el valor de Sf (cuerpos industriales
sometidos a esfuerzos alternativos exclusivamente) o el de Sf
(probetas sometidas a
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Esfuerzos Variables -- Pg. 11 de 21 esfuerzos alternativos
exclusivamente), con los valores correspondientes, dicho diagrama
resulta de aplicacin tanto en un caso como en el otro y para una
vida particular N dada. Para 10^6 ciclos o mas, corresponde colocar
Se o Se, conforme resulte cuerpo estndar o probeta. Las rectas
(rectas de carga) 1, 2 y 3, cada una de ellas por su cuenta,
representan infinitos estados particulares de carga, todos ellos
con la misma caracterstica de trabajo, esto es, la misma pendiente
o mismo cociente de trabajo a / m.
Para dichos estados particulares de carga (misma recta de
carga), corresponde un nico par de valores Sa Sm admisible, los
mismos determinados con la interseccin de la recta de carga y la
lnea quebrada de admisibilidad ABCDE y que indican las tensiones
admisibles alternativa Sa y media Sm (FIGURA 08 siguiente pgina),
respectiva y correspondientemente a las tensiones de trabajo a y m.
Las rectas 1 y 2 (Figura 08 siguiente pgina), cada una de ellas en
su respectiva zona (m 0 o m 0 respectivamente), indican divisin
entre fallas por fluencia y fallas por solicitaciones variables.
Rectas de carga comprendidas entre el eje de abscisas y las rectas
1 y 2 representan casos de solicitaciones en donde la influencia de
la parte alternativa resulta no perceptible, esto es, son casos que
pueden ser tratados estticamente; en cambio, rectas de carga
comprendidas entre el eje de ordenadas y las rectas 1 y 2,
representan casos en donde la influencia de la carga alternativa
resulta crtica o de tener en cuenta y por lo tanto deben tratarse
indefectiblemente bajo el concepto de solicitaciones variables.
Sa,a
Sm,m0m>0 3
m
D'1
Sfe Su
E'
m>0Sm>0
a
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Esfuerzos Variables -- Pg. 12 de 21
Ante un par particular de esfuerzos dados a - m, resulta el
coeficiente de sobredimensionamiento Cs con:
Sa Sm Como siempre, a Cs = --- = ---- ;;;;;; efectos el
cuerpo:
a m no falle: Cs 1 NOTA 05: Para rectas de carga comprendidas
entre el eje de abscisas y la recta de carga 1 o la recta de carga
2 (esto es, como la 3), dado que la admisibilidad correspondiente
queda definida por la recta Sfe Sfe (la misma a 45 o a 135, como se
quiera) resulta:
Sfe = Sm + Sa ;;;;;;;;;; mx = m + a
Sa Sm Sfe Cs = ---- = ---- = ------
a m mx
En esta ltima expresin resulta que el cociente Sfe / mx equivale
a tratar el caso estticamente como ms arriba se enunci (rectas de
carga comprendidas entre el eje de abscisas y la recta de carga 1 o
la 2).
Siendo que: a Fa Para esfuerzos normales puros se tiene: ------
= ------ m Fm
a Mfa para esfuerzos flexionantes puros resulta: ------ = ------
m Mfm
Sa4
Sa5
Sa,a
Sm,m0Sm>0
a
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Esfuerzos Variables -- Pg. 13 de 21 Dado un cierto estado de
cargas, por ejemplo Fa y Fm, es posible entonces determinar Sa y Sm
y dimensionar la pieza por medio de:
Fm Fm * Cs Fa Fa * Cs rea = ------------- = ------------- =
------------ = ------------
Sm / Cs Sm Sa / Cs Sa
Si se tiene dimensionado el cuerpo, se tendr:
Sm Sa Fm,mx = ----- * rea ;;;;;; Fa,mx = ----- * rea
Cs Cs
Sm * rea Sa * rea o bien Cs = -------------- = -------------
Fm Fa
RESISTENCIA A LAS SOLICITACIONES VARIABLES TORSIONALES PURAS
Habiendo visto en teoras de falla que por la teora de la mxima
tensin tangencial resulta:
Ss = 0,5 * S
con la misma teora corresponde:
Ssf = 0,5 * Sf ;;;;;;;;;;;;; Ssf = 0,5 * Sf y resulta ante la
torsin pura el diagrama de aplicacin mostrado en la FIGURA 09
inmediatamente anterior.
Ssu
2
Ssfe
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Esfuerzos Variables -- Pg. 14 de 21
ESFUERZOS VARIABLES COMPUESTOS (NORMALES MAS TANGENCIALES)
SIMPLES
La FIGURA 10 siguiente muestra un cubo elemental sometido a un
estado plano de tensiones con una tensin tangencial dada constante
(la misma cumpliendo el teorema de Cauchy) y con una tensin normal
alternativa dada a. Excluyendo las tensiones tangenciales de
cizallamiento, la figura referenciada muestra el estado de
tensiones al que se encuentran sometidos los cubos constituyentes
de un rbol transmisor de potencia mecnica, no estando sometido el
mismo a centrifugado alguno como as tampoco a carga axial constante
alguna.
Resultando a (tensin tangencial alternativa) = 0 en la direccin
de y m (tensin normal media) = 0 en la direccin de a, la direccin
orientada al ngulo (ver FIGURA 11 siguiente pgina) verifica,
atendiendo a la variacin de la tensin normal entre + a y -- a, una
tensin tangencial mxima mx y una tensin tangencial mnima mn
(FIGURAS 11 y 12 siguiente pgina), ambas del mismo sentido o no (no
interesa el sentido y/o el valor absoluto relativo), dadas por:
a mx = + ---- * sen(2) + * cos(2)
2
a mn = -- ---- * sen(2) + * cos(2)
2
NOTA 06: Recordando el teorema de Cauchy, la direccin
perpendicular a la en anlisis verifica la misma situacin, con la
nica diferencia del cambio del signo del momento que provocan las
tensiones tangenciales dispuestas a 90 entre s, razn que da por
vlido que dichas direcciones resultan cubiertas por el anlisis en
gestin. Esta cuestin DEBE SER COMPRENDIDA, el anlisis de las
direcciones perpendiculares entre si puede resultar confuso y/o
complejo, en cuanto resulta de aplicar mayor cantidad de subndices
y de escritura, complicando la situacin sin beneficio alguno.
a
FIGURA 10
a
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Esfuerzos Variables -- Pg. 15 de 21
De la variacin de en una direccin dada, la misma entre mx y mn,
surge una tensin tangencial media m y una alternativa a, dadas
por:
a + ---- * sen(2) + * cos(2) mx + mn 2
m = ------------- = 2 a -- ---- * sen(2) + * cos(2) 2
2
m = -- * * cos(2) m = * cos(2) 2
a + ---- * sen(2) + * cos(2) mx -- mn 2
a = ------------- = 2 a + ---- * sen(2) -- * cos(2) 2
FIGURA 11
FIGURA 12
mx
mn
mx
a
+ a + a a a mn
a
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Esfuerzos Variables -- Pg. 16 de 21
2 a a a = -- * ---- * sen(2) a = ---- * sen(2)
2 2 2
Conforme resultaron las expresiones para m y para a, resulta
que:
A) Para direcciones orientadas a = 0 (direccin dato), m = y a =
0
B) Para direcciones orientadas a = 45, m = 0 y a = a / 2
Dado que las direcciones orientadas a 45 resultan
perpendiculares a las analizadas, a las mismas les resulta de
aplicacin el teorema de Cauchy (Nota 06 inmediatamente anterior) de
donde resultan cubiertas por el anlisis realizado y por el
intervalo 0 45 contemplado.
a Siendo m = * cos(2) a = ---- * sen(2)
2
(sen(2))^2 + (cos(2))^2 = 1
m^2 a^2 Resulta (cos(2))^2 = ------ (sen(2))^2 =
------------
^2 (a^2) / 4
a^2 m^2 * a ------------ + ------ = 1 tg (2) = -----------------
(a / 2)^2 ^2 (a / 2) * m
La ecuacin inmediatamente anterior izquierda resulta la ecuacin
de una elipse (elipse de tensiones media y alternativa de trabajo)
que puesta en un diagrama de Goodman (FIGURA 13 siguiente pgina),
posee por coordenadas al origen los valores de en el eje de las
tensiones medias (abscisas) y de a / 2 en el eje de las tensiones
alternativas (ordenadas).
Siendo la pendiente de la recta de carga de una direccin
cualquiera, el cociente entre las tensiones tangenciales
alternativa y media, la ecuacin inmediatamente anterior derecha
relaciona la direccin con la pendiente de la recta de carga
correspondiente con:
a tg (2) = ------- * tg () con tg () = ---
a / 2 m
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Esfuerzos Variables -- Pg. 17 de 21
COEFICIENTE DE SOBREDIMENSIONAMIENTO Puesto el caso de que la
elipse fuese una circunferencia (caso particular extremo de la
elipse) la direccin que fija el coeficiente de
sobredimensionamiento del cubo queda dada por la recta de carga
(FIGURA 14 siguiente pgina) normal a la recta tangente a la
circunferencia y paralela a la de admisibilidad simplificada Ssf
Ssfe, por menor distancia entre la circunferencia y la recta de
admisibilidad, esto es, por la recta de carga determinada por el
punto de tangencia entre la circunferencia y la recta tangente a
ella y paralela a la recta de admisibilidad. Extrapolando la
situacin a una elipse (FIGURA 13), la recta de carga que fija el
coeficiente de sobredimensionamiento del cubo y consecuentemente la
direccin correspondiente, queda determinada por el punto de
tangencia entre la elipse y la recta paralela a la de admisibilidad
y tangente a la elipse.
Siendo las variables a y m las ordenadas genricas de la elipse y
los valores datos a / 2 y las ordenadas al origen, la ecuacin de la
elipse resulta en:
a^2 m^2 4 * a^2 m^2 ------------ + ------ = 1 ------------ +
------ = 1 (a / 2)^2 ^2 a^2 ^2
4 * ^2 * a^2 + a^2 * m^2 = a^2 * ^2
Recta paralela a la de admisibilidad
Recta de admisibilidad
Ssa
Ssm
Angulo que fija ladireccin donde ocurre la 'falla'a
Ord
a/2
Ssf
Ssfe
Ssm,m
FIGURA 13Ssa,a
Recta de carga quefija el coeficiente
desobredimensionamiento
Elipse de tensionesde trabajo
m
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Esfuerzos Variables -- Pg. 18 de 21
a Derivando: 8 * ^2 * a * ----- + 2 * a^2 * m = 0
m
a -- a^2 * m----- = ------------------ m 4 * ^2 * a
Siendo la ecuacin de la recta tangente a la elipse y paralela a
la recta de admisibilidad:
Ssf a = Ord -- ------ * m
Ssfe
donde Ord = ordenada al origen y -- Ssf / Ssfe) = pendiente
(pendiente de la recta de admisibilidad) y siendo que la derivada
de la elipse posee la pendiente de la recta tangente a ella,
resulta:
a -- a^2 * m Ssf ----- = ------------------ = -- ------ m 4 * ^2
* a Ssfe
Luego las ordenadas del punto de interseccin (punto de
tangencia) entre los elementos del anlisis cumplen:
a/2aSsa
Ssf
FIGURA 14
Ssm,m
Recta de carga quefija el coeficiente
desobredimensionamiento
Recta paralela ala de admisibilidad
Circunferencia detensiones de trabajo
Ssmm
Ssfe
Recta de admisibilidad
Ssa,a Angulo que fija ladireccin donde
ocurre la 'falla'
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Esfuerzos Variables -- Pg. 19 de 21
4 * ^2 * Ssf m = ------------------- * a
a^2 * Ssfe Puesta esta ltima en la ecuacin de la elipse, resulta
la ordenada a del punto de tangencia entre la elipse y su recta
tangente paralela a la de admisibilidad:
16 * ^4 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 + a^2 * --------------------- * a^2
= a^2 * ^2
a^4 * Ssfe^2
16 * ^4 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 + ------------------------ * a^2 =
a^2 * ^2
a^2 * Ssfe^2
4 * ^2 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 * 1 + ------------------- = a^2 *
^2
a^2 * Ssfe^2
a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 4 * ^2 * a^2 *
---------------------------------------- = a^2 * ^2
a^2 * Ssfe^2
a^4 * Ssfe^2a^2 * ( a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 ) =
---------------------
4
a^2 * Ssfe a =
------------------------------------------------------
2 * (a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)
4 * ^2 * Ssf Puesta esta en: m = ------------------- * a
a^2 * Ssfe
2 * ^2 * Ssf Resulta: m =
--------------------------------------------------
(a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)
Siendo el cociente entre los valores de a y m, la pendiente de
la recta de carga resultante, la ecuacin de esta recta resulta
en:
-
Esfuerzos Variables -- Pg. 20 de 21
a^2 * Ssfe a = m * --------------------
4 * ^2 * Ssf Siendo la ecuacin de la recta de admisibilidad:
Ssf Ssa = Ssf -- ------ * Ssm
Ssfe
los valores del par de tensiones admisibles Sa Sm resulta de la
interseccin de la recta de carga y la de admisibilidad,
consecuentemente:
a^2 * Ssfe Ssf Ssa = Ssm * -------------------- = Ssf -- ------
* Ssm
4 * ^2 * Ssf Ssfe
a^2 * Ssfe Ssf Ssm * -------------------- + ------ * Ssm =
Ssf
4 * ^2 * Ssf Ssfe
a^2 * Ssfe Ssf Ssm * -------------------- + ------ = Ssf
4 * ^2 * Ssf Ssfe
a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 Ssm *
------------------------------------------------ = Ssf
4 * ^2 * Ssf * Ssfe
4 * ^2 * Ssf^2 * Ssfe Ssm =
-------------------------------------------------
a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 Puesta esta ltima en la ecuacin de
la recta de carga:
a^2 * Ssfe Ssa = Ssm * --------------------
4 * ^2 * Ssf
Resulta el Ssa correspondiente:
-
Esfuerzos Variables -- Pg. 21 de 21
a^2 * Ssfe^2 * Ssf Ssa =
------------------------------------------------
a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2 La obtencin del coeficiente de
sobredimensionamiento para el cubo en anlisis, resulta de:
Ssa SsmCs = ---- = ----
a m
a^2 * Ssfe^2 * Ssf
-------------------------------------------------------- Ssa a^2 *
Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2
Cs = ---- =
-------------------------------------------------------- a a^2 *
Ssfe -------------------------------------------------------- 2 *
(a^2 * Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2)^(1/2)
2 * Ssf * Ssfe
Cs =
------------------------------------------------------------ (a^2 *
Ssfe^2 + 4 * ^2 * Ssf^2) ^ (1 / 2)
El lector puede llegar al mismo resultado con el siguiente
cociente:
SsmCs = ----
m