Unidad I ESFUERZO 1. ESFUERZO Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura 4.1, representan los efectos resultantes de la distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de ∆A mostrada en la figura 4.2a. Al reducir ∆A a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña ∆F, actuando sobre su área asociada ∆A, se muestra en la figura 4.2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ∆Fx, ∆Fy y ∆Fz que se toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área ∆A tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ∆F y sus componentes; sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto. 53
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Transcript
Unidad I
ESFUERZO
1. ESFUERZO
Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el
área seccionada de un cuerpo, figura 4.1, representan los efectos resultantes de
la distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. La
obtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en la
mecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer el
concepto de esfuerzo.
Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como
el área sombreada de ∆A mostrada en la figura 4.2a. Al reducir ∆A a un tamaño
cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades
del material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste
en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar
compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, el
material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí,
en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero
muy pequeña ∆F, actuando sobre su área asociada ∆A, se muestra en la figura
4.2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el
análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ∆Fx, ∆Fy y ∆Fz
que se toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área ∆A
tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ∆F y sus componentes; sin
embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito.
Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna
sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.
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Figura 4.2
1.1. ESFUERZO NORMAL
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando
normalmente a ∆A se define como el esfuerzo normal,σ(sigma). Como,
∆Fz es normal al área, entonces,
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Figura 4.1
Si la fuerza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área, ∆A como se
muestra en la figura 4.2a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si
se “empuja" a ∆A se le llama esfuerzo de compresión.
1.2. ESFUERZO CORTANTE
La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando tangente a
∆A se llama esfuerzo cortante, η (tau). Aquí tenemos las componentes de
esfuerzo cortante,
El subíndice z en ζz, se usa para indicar la dirección de la línea normal
hacia fuera, que especifica la orientación del área, ∆A, figura 4.3. Para las
componentes del esfuerzo cortante, Tzx y Tzy, se usan dos subíndices. El
eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor-
denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
Figura 4.3
1.3. ESTADO GENERAL DE ESFUERZO
Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano
x-z, figura 4.2b, y al plano y-z, figura 4.2c, podemos entonces "separar"
un elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de
esfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo, figura 3-4.
Este estado de esfuerzo es caracterizado por tres componentes que
actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo
describen el estado de esfuerzo en el punto sólo para el elemento
55
orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado en
un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un
conjunto diferente de componentes de esfuerzo.
Figura 4.4
1.4. UNIDADES
En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se
especifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado
(N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/m2) es algo pequeña y
en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), simbolizado
por, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G,
para representar valores mayores del esfuerzo.
*De la misma manera en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por
lo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en
kilo libras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilo libra (kip) = 1000 lb.
*A veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm=10-3
m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el
denominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1
N/mm2=1 MN/m2 = 1 MPa.
2. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA
CARGADA AXIALMENTE
Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos y
delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplican
a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos
son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo
promedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargada
axialmente como la mostrada en la figura 4.5a, que tiene una forma general.
Esta sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas
esas secciones transversales son iguales, a la barra se le
llama barra
56
prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se
indica en la figura 4.5b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza
interna resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en
magnitud, opuesta en sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el
fondo de la barra.
Figura 4.5
2.1. SUPOSICIONES
Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobre
el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis
simplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicación
específica de la carga.
1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que
se aplica la carga, y también, la sección transversal debe permanecer
plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra
cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas
horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se
deformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga,
figura 4.6. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremos
de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede
ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en
la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.
57
Figura 4.6
2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, es necesario
que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la sección
transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un
material homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y
mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas
mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la
ingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por
ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en
cada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las
aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho
mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la
composición del material es bastante realista. Sin embargo, debe
mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del
laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas
subcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedades
diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la
anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra
se deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial.
Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material
que es homogéneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el
siguiente análisis.
58
2.2. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO
Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme
constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal
ζ constante, figura 4.6d. En consecuencia, cada área ∆A sobre la sección
transversal está sometida a una fuerza ∆F = ζ ∆A, Y la suma de esas
fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la
fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que ∆A→dA y por
tanto ∆F→dF, entonces como ζ es constante, tenemos:
Figura 4.6
Donde,
ζ = esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de la
sección transversal.
P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de
la sección transversal. P se determina usando el método de las secciones
y las ecuaciones de equilibrio.
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A = área de la sección transversal de la barra.
La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal
ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nulos
respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 3-5d.
Cuando esto ocurre,
Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,
2.3. EQUILIBRIO
Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier
elemento de volumen de material localizado en cada punto sobre la
sección transversal de una barra cargada axialmente. Si consideraos el
equilibrio vertical del elemento, figura 4.7, entonces al aplicar la ecuación
de equilibrio de fuerzas,
Figura 4.7
En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-
mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste
se le llama esfuerzo uniaxial.
60
El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a
compresión, como se muestra en la figura 4.8. Como interpretación
gráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al
volumen bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = ζ A (volumen =
altura X base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos,
esta resultante pasa por el centroide de este volumen.
Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta
suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño
ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis más
exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de
sección transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados
adyacentes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según ζ =
P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la
elasticidad.
Figura 3.8
2.4. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO MÁXIMO
En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección
transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la
barra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal ζ = P/A también
constante. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida a
varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un
cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo
normal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y si
debe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá que
determinarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto es
necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de
la barra, lo que se consigue dibujando un diagrama de fuerza normal o
axial. Específicamente, este diagrama es una gráfica de la fuerza normal
P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se
61
considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causa
compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá
identificarse la razón máxima de P/A.
Figura 4.9
EJEMPLO
La barra en la figura 4.10a tiene un ancho constante de 35 mm y un es-
pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la
barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
62
Figura 4.10
Solución
Carga interna:
Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD
son todas constantes pero tienen diferentes magnitudes. Usando el
método de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 3-8b;
y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados
gráficamente se muestra en la figura 4.10c. Por inspección, la carga
máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el área
transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio
también ocurre dentro de esta región de la barra.
Esfuerzo normal promedio:
Rpta.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversal
arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 4.10d.
Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta
63
distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN
= (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).
EJEMPLO
La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como se
muestra en la figura 4.11a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tiene
un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada
barra.
Figura 4.11
Solución
Carga interna:
Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura se
muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando las
ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos:
Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la
reacción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su
longitud.
64
Esfuerzo normal promedio:
VBC - FiíC
¿BC FBA .
ABA
395.2 N
= 7.86 MPa
= 8.05 MPa
17(0.004 m)2
632.4 N
ír(OJ305 m)2
Rpta.
Figura 4.12
Rpta.
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección
transversal de la barra AB se muestra en la figura 4.12c, y en punto sobre
esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se
muestra en la figura 4.12d.
EJEMPLO
La pieza fundida mostrada en la figura 4.13a está hecha de acero con
peso específico de γac = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo de compresión
promedio que actúa en los puntos A y B.
Figura 4.13
65
Solución
Carga interna:
En la figura 4.13b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento
superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B.
El peso de este segmento es Wac = γac Vac. La fuerza axial interna P en la
sección es entonces
Esfuerzo de compresión promedio:
El área transversal en la sección es A = π(0.75 pie)2, y el esfuerzo de
compresión promedio es entonces
Rpta.
El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura
4.13c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este
esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elemento
ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de la
sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P
empuja hacia arriba.
3. ESFUERZO CORTANTE PROMEDIO
El esfuerzo cortante se definió como la componente del esfuerzo que actúa en el
plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo,
consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura
4.14a. Si los soportes se consideran rígidos y F es suficientemente grande, ésta
ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos
AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la
barra, figura 4.14b, indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a
66
cada sección para mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante
promedio distribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se
define por:
Figura 4.14
Donde,
τprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mismo en
todo punto localizado sobre la sección.
V
= fuerza cortante interna resultante en la sección; se
determina con las ecuaciones de equilibrio.
A = área en la sección.
La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando sobre la
sección derecha en la figura 4.14c. Observe que ηprom tiene la misma dirección
que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas que contribuyen
en conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la sección.
Figura 4.14c
67
El caso de carga analizado en la figura 3-11 es un ejemplo de cortante simple o
cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción directa de la carga
aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de conexiones
simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Una investigación más
precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección crítica revela que
esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material que los predichos por
esta ecuación. Por ejemplo, los manuales de ingeniería permiten su uso al
considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernos o para obtener la
resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto
a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, que merecen tratamientos
separados.
3.1. CORTANTE SIMPLE
Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 3-12a y 3-12c,
respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortante simple y se
conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros son
delgados y que la tuerca en la figura 3-12a no está demasiado apretada de modo
que la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando una sección
entre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre mostrados en las
figuras 3-12b y 3-12d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar el
momento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección
transversal del perno en la figura 3-12b y la superficie de contacto entre los
miembros en la figura 3-12d están sometidos sólo a una fuerza cortante V=F.
Fig. 3-12
3.2. CORTANTE DOBLE
Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 3-13a o 3-13c,
deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones se
llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno
de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central son
como se muestra en las figuras 3-13b y 3-13d. Tenemos aquí una
68
condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V =
F/2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debe
considerarse al aplicar ηperm = V/A.
Figura 4.15
3.3. EQUILIBRIO
Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un punto
localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la que
actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 4.16a. Si consideramos el
equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces
Figura 4.16
De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da ηyz =
η´yz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,
69
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el
esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté
acompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras,
figura 4.16b. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener
igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro en
caras con un borde común. A esto se le llama propiedad
complementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en la
figura 4.16, el material está sometido a cortante puro.
Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado por
la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que el
esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la acción
de otros tipos de cargas.
EJEMPLO
La barra mostrada en la figura 4.17a tiene una sección transversal cua-
drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del eje
centroidal del área transversal de la barra, determine el esfuerzo normal
promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material a
</=0.380 Dij f̂iíniú de eürjerzo-dctoriiiiicLÚri unilsria para acero dulce
Figura 4.32
9. RELACIÓN DE POISSON
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de tensión, no
sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por ejemplo, si una tira
de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el ancho de la tira disminuyen.
Igualmente, una fuerza de compresión que actúa sobre un cuerpo ocasiona que
éste se contraiga en la dirección de la fuerza y que se expanda lateralmente.
Estos dos casos se ilustran en la figura 4.33 para una barra con radio r y longitud
L iniciales.
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia una
cantidad δ y su radio una cantidad δ'. Las deformaciones unitarias en la dirección
axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son, respectivamente:
Figura 4.33
103
hl"'^^*" *i PoniM finjt Forma origina] ^j
Ivnnj riña I
A principios del siglo XIX, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentro
del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, ya
que las deformaciones δ y δ' son proporcionales.
A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numérico
que es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico.
Expresado matemáticamente:
El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformación
unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitaria
negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la misma
en todas las direcciones laterales (o radiales). Además esta deformación unitaria
es causada sólo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo
actúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección.
La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosos
tiene un valor generalmente entre ¼ y 1/3. En particular, un material ideal sin
movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá υ = 0. El valor máximo
posible para la razón de Poisson es 0.5.
Por tanto, 0 ≤ υ ≤0.5.
Figura 4.34
Cuando el bloque de hule es comprimido (deformación unitaria negativa) sus
lados se expanden (deformación unitaria positiva). La relación de esas
deformaciones unitarias es constante.
104
EJEMPLO
Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 4.35. Si se
aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine cambio en su longitud y el
cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada la
carga. El material se comporta elásticamente.
/> = SJ>1¡N
Figura 4.35
Solución
El esfuerzo normal en la barra es:
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 GPa, por lo que
la deformación unitaria en la dirección z es:
<rz _ 16.0(106) Pa
~z ~ Í7= ~ 200(10
9) Pa
= 80(10"6}mm/mm
El alargamiento axial de la barra es entonces:
5; = ezL, = [80(l(T6)](1.5m) = 120 fim
Rpta.
Usando la ecuación:
donde uac = 0.32 según l
direcciones x y y son:
fbl glo
ns e1forro posterior, las contracciones en las
ev = ev = -v.^2 = -Ü.32¡80(10-6)1 = -25.6 /iin/m
105
IIIOUIH)
Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:
Rpta.
Rpta.
9.1. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA
EN CORTANTE
Cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, el
equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las
cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia o
desde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 4.36a.
Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzo
cortante distorsionará al elemento de manera uniforme, figura 4.36b. La
deformación unitaria cortante γxy mide la distorsión angular del elemento
con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x y
y.
El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser
estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos delgados
y sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del par
aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, los datos pueden
usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria
cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación
cortante unitaria. En la figura 4.37 se muestra un ejemplo de este
diagrama para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión,
este material exhibirá un comportamiento elástico lineal cuando se le
somete a corte y tendrá un límite de proporcionalidad ηlp definido.
También ocurrira un endurecimiento por deformación hasta que se llegue
al esfuerzo cortante último ηu. Finalmente, el material comenzará a perder
su resistencia al cortante hasta que se alcance un punto en que se
fracture, ηf.
En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos de
describir, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley de
Hooke para el cortante puede escribirse como:
T = Gy
106
Figura 4.36
Figura 4.37
Aquí G se llama módulo de elasticidad por cortante o módulo de
rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el
diagrama T-V, esto es, G = Tlp/Ylp. En el forro interior de la cubierta de este
libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes de
ingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa
o lb/pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidad
adimensional. Las tres constantes del material, E, u y G están
relacionadas por la ecuación:
G - 2(1 + v)
Siempre que E y G se conozcan, el valor de υ podrá determinarse por
medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe-
rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103)
klb/pulg2 Gac = 11.0 (103) klb/pulg2, de modo que, υac = 0.32
107
EJEMPLO
El espécimen de aluminio mostrado en la figura 4.38 tiene un diámetro
do=25 mm y una longitud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165 kN
alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo de elasticidad.
Determine también cuánto se reduce el diámetro debido a esta fuerza.
Considere Gal = 26 GPa y ζy = 440 MPa.
Figura 4.38
Solución
Módulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en el espécimen es:
Y la deformación unitaria normal promedio es:
Como ζ < ζy = 440 MPa, el material se comporta elásticamente. El
módulo de elasticidad es:
Rpta.
108
Contracción del diámetro.- Primero determinamos la relación de Poisson
para el material:
La Contracción del diámetro es por lo tanto:
6' = (0.Ü0l66)(25mm)
= 0.0415 inm Rpta.
EJEMPLO
Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el
diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que
resulta se muestra en la figura 4.39a. Determine el módulo cortante G, el
límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine
también la distancia d máxima que la parte superior de un bloque de este
material, mostrado en la figura 4.39b, podría desplazarse horizontalmente
si el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerza
cortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar este desplazamiento?
109
Como εlong = 0.00480 mm/mm, entonces:
Figura 4.39
Solución
Módulo cortante: Este valor representa la pendiente de la porción recta
OA del diagrama η - γ. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52
klb/pulg2). Entonces:
"-TSE*1-™»** Rpta.
La ecuación de la línea OA es por lo tanto η = 6500γ, que es la ley de
Hooke para cortante.
Límite de proporcionalidad: Por inspección, la gráfica deja de ser lineal
en el punto A. Así:
Rpta.
Esfuerzo último: Este valor representa el esfuerzo cortante máximo,
punto B. De la gráfica:
Rpta.
110
Desplazamiento elástico máximo y fuerza cortante.- Como la
deformación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo
muy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 4-12b se des-
plazará horizontalmente:
Rpta.
El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es ηlp = 52
klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des-
plazamiento es:
Rpta
10. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE
10.1. CARGA Y ÁREA TRANSVERSAL CONSTANTES
En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y el
material será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si una
fuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 4.40, entonces
la fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. En
consecuencia, se obtiene:
Figura 4.40
Donde:
δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.
L = distancia entre los puntos.
P = fuerza axial interna en la sección.
111
A = área de la sección transversal de la barra. E
= módulo de elasticidad del material.
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la
sección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente de
una región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse
a cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todas
constantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro
se encuentra entonces por medio de la adición vectorial de los
desplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este caso
general:
10.2. CONVENCIÓN DE SIGNOS
Debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axial
interna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto al
otro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y
el desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento,
respectivamente, figura 4.41, mientras que una fuerza y un
desplazamiento negativo causarán compresión y contracción,
respectivamente.
Figura 4.41
Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4.41a. Las fuer-
zas axiales internas "P", calculadas por el método de las secciones en
cada segmento, son PAB = + 5 kN, PBC = - 3 kN Y PCD = -7 kN, figura
112
4.42b. Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o
normal) para la barra, figura 4.41c. Aplicando la ecuación de carga y área
transversal constantes para obtener el desplazamiento del extremo A
respecto del extremo D, tenemos:
Figura 4.41
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello
significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga)
mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acerca
hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa para
indicar este desplazamiento relativo (δA/D); sin embargo, si el
desplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se
usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo
entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como δA.
EJEMPLO
La barra compuesta de acero A-36 (Módulo de Elasticidad = 29(103)
klb/pulg2) mostrada en la figura 4.42a está hecha de dos segmentos AB y
BD que tienen áreas transversales de AAB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2.
Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a
C.
113
Figura 4.42
Solución
Fuerza interna.- Debido a la aplicación de las cargas externas, las
fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas
diferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las secciones
y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la
figura 4.42b y se encuentran graficadas en la figura 4.42c.
Desplazamiento.- Usando la convención de signos, esto es, fuerzas
internas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión son
negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:
&A=^AE
[ + l5klb](2pies}(12piHg/pie)
(IpuIg^Cltfíklb/pulg3]
[-K7klb1(L-5pies)(12pulg/pi&)
<2pulg2)[2<í(l<F)klb/pulg
!]
[-9klb](lpie)(npulg/pie) + (2pul&
1)[29(10-
1)klb7pulg
!]
- +O.U127 pulg Rpta.
Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es
hacia arriba.
Rpta.
114
Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
EJEMPLO
El conjunto mostrado en la figura 4.43a consiste en un tubo AB de
.aluminio con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero con
diámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del
tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine el
desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y Eal =
70 GPa.
Figura 4.43
Solución:
Fuerza interna.- El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura
4.43b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y el
tubo a una compresión de 80 kN.
Desplazamiento.- Determinaremos primero el desplazamiento del extremo
C con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons y
metros, tenemos:
El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con
respecto al extremo B, ya que la barra se alarga.
El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:
115
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se mueve
hacia la derecha respecto a A.
Puesto que ambos desplazamientos son hacia la
derecha, el desplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:
ñc = S6 + $C/B = n.fWll 143 m + Q-fXWtfíí m
= 000420 m = 4.20 mm -* Rpta.
EJEMPLO
Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en la
figura 4.44a. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BD
está hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine el
desplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una carga
vertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70
GPa.
Figura 4.44
Solución
Fuerza interna.- Las fuerzas de compresión que actúan en la parte
superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro
AB, figura 4.44b. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cada
poste, figura 4.44c.
116
Desplazamiento.- El desplazamiento de la parte superior de cada poste
es:
Poste AC:
&A =
Poste BD:
= -2SÉ(]0-*)m
En la figura 4-18d se muestra un diagrama de los desplazamientos de los
puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el
triángulo sombreado, el desplazamiento del punto F es entonces:
Rpta.
EJEMPLO
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ y
un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con las
dimensiones mostradas en la figura 4.45a. Determine el desplazamiento
de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.
Figura 4.45
117
Solución
Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miembro que
depende del peso W(y) de un segmento del miembro situado debajo de
cualquier sección, figura 4.45b. Por tanto, para calcular el
desplazamiento, debemos usar la ecuación:
-i
LP{x) dx
A(x)E
En la sección localizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono
como función de y se determina por proporción; esto es:
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
*-§*-S'
Como W = γV la fuerza interna en la sección es:
Desplazamiento.- El área de la sección transversal es también una función
de la posición y, figura 4-19b. Tenemos:
¿(,) = „1 = ^
Aplicando la ecuación:g =
obtiene:
LP{x) dx
Entre los límites y = 0 Y y = L se
Rpta.
118
Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades de
los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longitud
c-omo era de esperarse.
11. PROBLEMAS PROPUESTOS
4-1. El conjunto consia de una barra de ¡tcer^ CB y una barra de aluminio /Ji4, teniendo cada una un diámetro de 12 mm, Si La twra. se somete a las cargas piales en A y en el copie ü, dele f mine el desplazamiento Jet copie B y del extremo A. La longitud de catín sementó sin eslirar se mucura en La figura, Desprecia d [amailo de las conesio-nes t-n B y C, y suponga que son rígidas,. Ex = 200 GPa, Et\ = TOüPa,
4-2. La flecha compuesl a, que- consiste en secciones Je al
jminiíj,cobre y acero,csiá sometida a las cargas musira-IJÍLS
en La ÍL^ura. Determine el desplazamiento del extremo A
con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada
sección. En la figura se muestran el ;irc:i tic i* setuó]i
LIÍIIIS-versal y el modulo de cLaslLcidad para cada sección,
Desprecie el tamaño de Los coIlHnne* en B y en C.
H8kN
119
L4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas asía-
les que se muestran en la figura. Determine d
J^pLi-zamicnio del estremü A cotí respecto al extremo />
si los diámetros de cstda segmento son d¿fl = 0.T5 pul&,