Esercizi Svolti di Analisi Numerica 1 Esercizi Svolti di Analisi Numerica Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro A. M. Perdon, Elementi di Analisi Numerica, Pitagora Ed., 2003. Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo (le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito). # Argomenti del Capitolo 1 Esercizio 1 Determinare la base x tale che: (1308) 10 = (354,6) x (21) 3 (21) 3 = 2 3 + 1 = 7 10 (354,6) x = 3 x 2 + 5x + 4 +6 x -1 1308 7 = 186, 857142 1 Quindi 1 2 6 0.857142 3 5 4 186 x x x 3x 2 + 5x – 182 = 0 52 6 - x = 5 25 2184 6 - + = 5 47 6 - = 42 6 = 7 Dato che x deve essere un intero > 1 l’unica soluzione accettabile è x = 7
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Transcript
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 1
Esercizi Svolti di Analisi Numerica
Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro
A. M. Perdon, Elementi di Analisi Numerica, Pitagora Ed., 2003.
Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per
esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo
(le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito).
# Argomenti del Capitolo 1
Esercizio 1 Determinare la base x tale che:
(1308)10 = (354,6)x (21)3
(21)3 = 2�3 + 1 = 710
(354,6)x = 3 x2 + 5x + 4 +6 x -1 1308
7 = 186,8571421
Quindi
1
2
6 0.857142
3 5 4 186
x
x x
��� ���� � � ���
3x 2 + 5x – 182 = 0
52
6
−
x = 5 25 2184
6
− +� =
5 47
6
− � =
42
6 = 7
Dato che x deve essere un intero > 1 l’unica soluzione accettabile è x = 7
Esercizio 1 Data l’equazione 21 4 0x x� � � � a) Determinare quante radici ha l’ equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. b) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l’ equazione ammette 2 radici 1� e 2� tali che
� �� �
1
2
0,0.1
2.1,2.3
�
�
�
�
Considero l’ intervallo � �0,0.1
� �0
2
0.1
( ) ''( )0.2284
'( )x
f x f xm
f x�
�� � 0.2961
1
m
m�
�
0
101 0 1
0
22 2
43 3
0.1
( )0.05837 0.1 10
'( ) 1
0.06290 0.1 10
0.06299 0.2 10
x
f x mx x x
f x m
x
x
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � ��
� � �
� � �
1 0.0629� �
Considero l’ intervallo � �2.1,2.3
� �0
2
2.3
( ) ''( )0.0475
'( )x
f x f xm
f x�
�� � 0.04988
1
m
m�
�
0
201 0 1
0
42 2
73 3
2,3
( )2.23182 0.34 10
'( ) 1
2.23012 0.84 10
2.230119 0.53 10
x
f x mx x x
f x m
x
x
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � ��
� � �
� � �
2 2.2301� �
In realtà 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199� �
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 4
Esercizio 2
Determinare la radice dell’equazione 232 0xx e�� � con 5 decimali esatti.
Da un abbozzo del grafico si vede che la radice sta nell’ intervallo � �0.5,1.5 infatti
f(0.5)�0
f(1.5)�0
Applichiamo il metodo di Newton-Raphson:
2
2
2 2
3
2
2
( ) 2
'( ) 6 2
''( ) 12 4 2
x
x
x x
f x x e
f x x xe
f x x x e e
�
�
� �
� �
� �
� � �
scegliamo come punto iniziale 0 1x � e vediamo che il metodo converge dato che:
� �0
2
( ) ''( )0.4052109
'x x
f x f xm
f�
�� � �1
11
1
1
( )
'( )i
i ii
i i i
f xx x
f x
x x x
��
�
�
� �
� � �
l’errore al passo i-esimo i� può essere maggiorato: 1i
mx
m� � �
�
9 9
0 1
1 0.7576931 0.2423069 0.1650759
0.07137365 0.048624592 0.6863195
0.00602847 0.0041070053 0.680291
0.000041467 0.000028249944 0.6802496
5 0.6802496 1.954047 10 1.33123 10
i i ii x x �
� �
�
�
�
�
�
� � �
1
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 5
La soluzione dell’equazione è: x=0.6802496 con 8 decimali esatti
Esercizio 3
Data l’equazione 21 4 0x x� � � � c) Determinare quante radici ha l’ equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. d) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l’ equazione ammette 2 radici 1� e 2� tali che
� �� �
1
2
0,0.1
2.1,2.3
�
�
�
�
Considero l’ intervallo � �0,0.1
� �0
2
0.1
( ) ''( )0.2284
'( )x
f x f xm
f x�
�� � 0.2961
1
m
m�
�
0
101 0 1
0
22 2
43 3
0.1
( )0.05837 0.1 10
'( ) 1
0.06290 0.1 10
0.06299 0.2 10
x
f x mx x x
f x m
x
x
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � ��
� � �
� � �
1 0.0629� �
Considero l’ intervallo � �2.1,2.3
� �0
2
2.3
( ) ''( )0.0475
'( )x
f x f xm
f x�
�� � 0.04988
1
m
m�
�
0
201 0 1
0
42 2
73 3
2,3
( )2.23182 0.34 10
'( ) 1
2.23012 0.84 10
2.230119 0.53 10
x
f x mx x x
f x m
x
x
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � � ��
� � �
� � �
2 2.2301� �
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 6
In realtà 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199� �
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 7
# Argomenti del Capitolo 3
Esercizio 1 Dati:
8 1 0 0
1 9 2 0
0 2 3 4
0 0 4 5
A
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �
2
0.5
1
10
b
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� � � �
(a) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (oppure le matr ici L ed U e la matr ice di permutazione P tali che PA = LU ) (b) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b
8 1 0 0
1 9 2 0
0 2 3 4
0 0 4 5
�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �
32
43
1 0 0 0
0.125 1 0 0
0 1 0
0 0 1
l
l
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��
11 12
22 23
33 34
44
0 0
0 0
0 0
0 0 0
n n
n n
n n
n
�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��
N.B: 31 41 42
31 14 24
0
0
l l l
n n n
� � � ����� � � ��� perché la matrice è a banda
Moltiplicando la I° riga per la I° e II° colonna si ottengono rispettivamente le condizioni:
11
12
8
1
n
n
� ����� ���
Analogamente
21 0.125l �
e quindi:
32
43
1 0 0 0
0.125 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Al
l
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��
22 23
33 34
44
8 1 0 0
0 0
0 0
0 0 0
n n
n n
n
�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��
Proseguendo
22
23
0.125 9
2
n
n
� � ����� ��� 22
23
8.875
2
n
n
� ����� ���
32 8.875 2l � � � 32 0.2254l �
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 8
43
1 0 0 0
0.125 1 0 0
0 0.2254 1 0
0 0 1
A
l
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��33 34
44
8 1 0 0
0 8.875 2 0
0 0
0 0 0
n n
n
�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��
33
34
2 0.2254 3
4
n
n
� � � ����� ��� � 33 2.5493n �
43 2.5493 4l � � � 43 1.5691l �
1 0 0 0
0.125 1 0 0
0 0.2254 1 0
0 0 1.5691 1
A
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �
44
8 1 0 0
0 8.875 2 0
0 0 2.5493 4
0 0 0 n
�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��
� 444 1.5691 5n� � � � 44 1.27623n ��
1 0 0 0
0.125 1 0 0
0 0.2254 1 0
0 0 1.5691 1
L
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �
8 1 0 0
0 8.875 2 0
0 0 2.5493 4
0 0 0 1.27623
U
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� � �
Ly b� �
2
0.25
0.9436
8.5193
y�
Ux y� �
0.5519
2.4156
10.8442
6.6754
x�
�
�
N.B: Dato che la matr ice A è tr iangolare, si poteva applicare semplicemente l’algor itmo di Thomas
Esercizio 2
Dati:
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 9
1 0.5 0.3 1.2
0.5 0.3 0.25 0
0 0.5 1 4
0 0 0.3 5
A
�� �� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� �� � � �
1
0
2
1
b
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� � �
(c) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (d) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b
Esercizio 1 Determinare il polinomio di Newton che meglio interpola i seguenti dati:
x 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y 2.2 2.52 1.13 1.03 1.5
Stimare f’ (1) con la massima accuratezza possibile. Per determinare il polinomio di Newton dobbiamo creare la tabella delle differenze divise:
� �
� �� � � �
� � � �
� �� � � �
� �
� � � �
0 0
1 01 0
1 0
2 1 1 01 1 2 1 0
2 0
2 12 1 3 2 1 0
2 1
3 2 2 12 3 3 2 1 4 0
3 1
3 23 2 4 3 2 1
3 2
3 4 4 3
( )
( ) ( ),
, ,( ) , ,
( ) ( ), , , ,
, ,( ) , , ,........,
( ) ( ), , , ,
( ) , ,
x f x
f x f xf x x
x x
f x x f x xx f x f x x x
x x
f x f xf x x f x x x x
x x
f x x f x xx f x f x x x f x x
x x
f x f xf x x f x x x x
x x
x f x f x x x
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
� �� � � �
� �
4 3 3 22
4 2
4 34 3
4 3
4 5
, ,
( ) ( ),
( )
f x x f x x
x x
f x f xf x x
x x
x f x
��
�
��
�
Con i valori:
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 21
0.6 2.2
1.6
0.8 2.52 21.375
6.95 62.5
1.0 1.13 16.125 96.875
0.5 15
1.2 1.03 7.125
2.35
1.4 1.5
�
�
�
� �
Ora possiamo impostare il polinomio di Newton.
( ) 2.2 1.6( 0.6) 21.375( 0.8) ( 0.6)
62.5( 1) ( 0.8) ( 0.6) 96.875( 1.2) ( 1) ( 0.8) ( 0.6)NP x x x x
x x x x x x x
� � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � �
Applicando l’estrapolazione di Richardson alla formula della derivazione basata sulle differenze centrali calcoliamo il valore di f’ (1) (usando i valori di f dati)
00.2 1h x� �
� �
� �
0 0
0 0
( ) ( ) 1.03 2.523.725
2 0.4( 2 ) ( 2 ) 1.5 2.2
2 0.8754 0.8
f x h f x hF h
hf x h f x h
F hh
� � � �� � ��
� � � �� � ��
� �
(2 ) ( )0.95
3'(1.4) 4.675
F h F h
f F h
�
�
�� �
� � ��
# Argomenti del Capitolo 6
Esercizio 1 Calcolare il seguente integrale con 3 decimali esatti:
22 2
1(2 1) ( )x sen x dx�"
La funzione integranda è: 2 2( ) (2 1) ( )f x x sen x dx� � Utilizziamo il metodo di Romberg:
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 22
Applichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti 2mn� dove 0,1,2,3m�
trovando ogni volta il valore :mA
0
2
2
(2) (1)3.24791
2(2) 2 (1.5) (1)
3.36524
(2) 2 (1.75) 2 (1.5) 2 (1.25) (1)3.40157
8
f fA
f f fA
f f f f fA
�� �
� �� �
� � � �� �
Stimiamo l’errore:
11 011
112 2 1
0.0390956 0.4 103 3
0.0121238 0.1 103 3
A A
A A
�
�
��� � �
� �� � �
�
�
continuiamo con la costruzione della tabella:
1 01 1
2 12 2
321 2 1
3.40433
3.41373
0.000626634 0.6 1015 15
A AB A
A AB A
B B �
�� � �
�� � �
� �� � ��
in conclusione.
2 12 2 3.41432
15
B BC B
�� � �
La tabella sarà:
1 2 3
3 15 633.24791
3.3652 0.0390956 3.4043
3.40157 0.0121238 3.4137 0.000626634 3.41432
i i im m m mA B C D
� � �
quindi2
2 2
1(2 1) ( ) 3.41432x sen x dx� #"
con un errore inferiore a 32 0.6 1015
i ��� �
Esercizio 2 Calcolare il seguente integrale con 4 decimali esatti:
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 23
22
1(1 )xe dx��"
La funzione integranda è: 2( ) (1 )xf x e dx�� � Utilizziamo il metodo di Romberg: Applichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti 2mn� dove 0,1,2,3m�
trovando ogni volta il valore :mA
40
4 21
2
3
20 1 0.9816842611
21 2
1 1 1.3555068972 21.468920194
1.498974297
A e
A e e
A
A
�
� �
� �� � � � �� �� �
� � � �� � � � �� � � �� � � �
�
�
La tabella sarà:
1 2 3
2
3 4
3 15 630.1246... 1.480114409
0.6378... 1.5067224626 0.177 10 1.50849864
0.0100... 1.508992331 0.15 10 1.509143511 0.10 10
i i im m mB C D
�
� �
� � �
�� �
quindi l’ integrale richiesto è: 1.509153747 , a meno di un errore 40.1 10ε −≤ ⋅
# Argomenti del Capitolo 7
Esercizio 1 Data l’equazione differenziale:
y(3) + y(2) – y = 6
con condizioni iniziali y(0) = 1 , y’ (0) = 1 ed y’ ’ (0) = 2, determinare con il metodo di Crank-Nicholson ed h = 0.3 la soluzione per x = 0.6 Posto:
Applicando lo schema di Crank-Nicholson, partendo con 0
1
1
2
Z
�� �� �� ��� �� �� ���� � �
, si ha:
Zn+1 = Zn + h
2 [ A Zn+1 + b + A Zn + b ]
Zn+1 = Zn + h
2A Zn+1 +
h
2A Zn + bh
Zn+1 ( I - h
2A) = ( I +
h
2A) Zn + bh
Zn+1 = ( I - h
2A)-1 ( I +
h
2A) Zn + ( I -
h
2A)-1
bh
1
1.006 0.3009 0.0392
: ( ) ( ) 0.0392 1.006 0.26162 2
0.2616 0.0392 0.7442
h hE I A I A�
�� �� �� �� � � �� �� �� ���� � �
1
0.0353
: ( ) 0.23552
1.57
hq I A bh�
�� �� �� �� � �� �� �� ���� � �
Zn+1 = E Zn + q con 0 0x � 0
1
1
2
z
�� �� �� ��� �� �� ���� � �
h = 0.3 x1 = 0.3 x2 = 0.6 Zn+1 = E Zn + q Z0 =
1 1 2
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 25
Z1 = E Z0 + q Z1 = y (0.3) = 1.42058214325
Z2 = E Z1 + q Z2 = y (0.6) = 2.13885720739 \
Esercizio 2 Data l’equazione differenziale:
2y(3) + 5y(1) – y = 0
con condizioni iniziali y(1) = 0 , y’ (1) = -1 ed y’ ’ (1) = 0, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h = 0.2 la soluzione per x = 1.4 Posto:
1 : ( )z y x�
2 : '( )z y x�
3 : ''( )z y x�
1 2
2 3
3 2 1
'
'
5 1'
2 2
z z
z z
z z z
���� ����� ������ �� �����
0
0
1
0
Z
�� �� �� ��� �� �� ���� � �
Posto ( )1 2 3, ,T
Z z z z=
0 1 0
' 0 0 1
1 50
2 2
nZ Z
�� �� �� �� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ��
Sapendo che: � �1 0.2n nZ I A Z� � � �
Posso calcolare:
1
0.2
1
0.5
Z
� �� �� �� �� �� �� �� ���� � �
1.421 1.804 3.359
2.1388570739 2.98461947267 4.512383375142
Esercizi Svolti di Analisi Numerica 26
2
0.4
0.9
1.02
Z
� �� �� �� �� �� �� �� ���� � �
Esercizio 3
Data l’equazione differenziale: 4y(3) - 3y(2) – y = 0
con condizioni iniziali y(1) = 0 , y’ (1) = -1 ed y’ ’ (1) = 0, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h = 0.1 la soluzione per x = 0.2 Posto: