ECONOMIA POLITICA – ESERCIZI SVOLTI 1. Elasticità 1.1) Si consideri il seguente mercato delle palle da golf, in cui domanda ed offerta sono rispettivamente: = 90 − 2 − 2 = −9 + 5 − 2,5 dove T è il prezzo del titanio, un metallo utilizzato per costruire palle da golf, P è il prezzo delle palle da golf e G è il prezzo della gomma. a) Se G = 2 and T = 10, calcolare il prezzo e le quantità di equilibrio. b) Ai valori di equilibrio, calcolare l'elasticità al prezzo della domanda e l'elasticità al prezzo della offerta. Soluzione a) Una volta effettuate le opportune sostituzioni con i valori assegnati di G e T, le funzioni di domanda e offerta diventano: = 70 − 2 = −14 + 5 Aggiungiamo inoltre la condizione di equilibrio alle due equazioni precedenti, ovvero: = per cui eguagliando domanda e offerta otteniamo: 70 − 2 = −14 + 5 84 = 7 quindi, ∗ = 84 7 = 12 e, sostituendo nella funzione di domanda o di offerta, Y* = 70 – 2 (12) = 46 b) L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:
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ECONOMIA POLITICA – ESERCIZI SVOLTI
1. Elasticità
1.1) Si consideri il seguente mercato delle palle da golf, in cui domanda ed offerta sono
rispettivamente:
𝑌𝑑 = 90 − 2 𝑃 − 2 𝑇
𝑌𝑠 = −9 + 5 𝑃 − 2,5𝐺
dove T è il prezzo del titanio, un metallo utilizzato per costruire palle da golf, P è il prezzo delle palle
da golf e G è il prezzo della gomma.
a) Se G = 2 and T = 10, calcolare il prezzo e le quantità di equilibrio.
b) Ai valori di equilibrio, calcolare l'elasticità al prezzo della domanda e l'elasticità al prezzo
della offerta.
Soluzione
a) Una volta effettuate le opportune sostituzioni con i valori assegnati di G e T, le funzioni di
domanda e offerta diventano:
𝑌𝑑 = 70 − 2 𝑃
𝑌𝑠 = −14 + 5 𝑃
Aggiungiamo inoltre la condizione di equilibrio alle due equazioni precedenti, ovvero:
𝑌𝑑 = 𝑌𝑠
per cui eguagliando domanda e offerta otteniamo:
70 − 2 𝑃 = −14 + 5 𝑃
84 = 7 𝑃
quindi,
𝑃∗ =84
7= 12
e, sostituendo nella funzione di domanda o di offerta, Y* = 70 – 2 (12) = 46
b) L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:
휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑
𝜕%𝑃=
𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄
𝜕𝑃 𝑃⁄=
𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃
𝑃
𝑌𝑑
Pertanto, 휀𝑑 = −2 (12
46) = −
24
46= −0,52
L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:
휀𝑠 =𝜕%𝑌𝑠
𝜕%𝑃=
𝜕𝑌𝑠 𝑌𝑠⁄
𝜕𝑃 𝑃⁄=
𝜕𝑌𝑠
𝜕𝑃
𝑃
𝑌𝑠
Pertanto, 휀𝑠 = 5 (12
46) =
60
46= 1,3
1.2) Supponete che la curva di domanda di mercato del bene Y sia Y = 10 - P.
a) Disegnare la curva di domanda, specificandone le intercette.
b) Calcolare l'elasticità della domanda al prezzo in due punti distinti della curva di domanda,
ipotizzando che il prezzo di mercato sia P = 4 (punto A) e P = 8 (punto B).
Soluzione
a) Per rappresentare la curva di domanda ponendo il prezzo in ordinata e la quantità in ascissa,
occorre invertire la funzione di domanda diretta in forma, appunto, inversa:
P = 10 – Y
Graficamente:
Con intercette P, Y = (10, 10)
b) Se il prezzo è pari a 4 (quindi la quantità domandata è pari a 6) l’elasticità della domanda al
prezzo in tale punto sarà:
휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑
𝜕%𝑃=
𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄
𝜕𝑃 𝑃⁄=
𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃
𝑃
𝑌𝑑= −1 (
4
6) = −0,66
Se il prezzo è pari a 8 (quindi la quantità domandata è pari a 2) l’elasticità della domanda al
prezzo in tale punto sarà:
휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑
𝜕%𝑃=
𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄
𝜕𝑃 𝑃⁄=
𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃
𝑃
𝑌𝑑= −1 (
8
2) = −4
1.3) Calcolare il valore dell’elasticità della domanda al prezzo, per la seguente funzione: 𝑌 =30
𝑃
Soluzione
L’elasticità al prezzo della domanda è definita dalla seguente equazione:
휀𝑑 =𝜕%𝑌𝑑
𝜕%𝑃=
𝜕𝑌𝑑 𝑌𝑑⁄
𝜕𝑃 𝑃⁄=
𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃
𝑃
𝑌𝑑
Pertanto,
휀𝑑 = −30
𝑃2
𝑃
𝑌𝑑= −
30
𝑃2
𝑃
30𝑃
= −1
1.4) Calcolare il valore delle elasticità della domanda rispetto a P1, P2, I (I = reddito), data la funzione
di domanda:
Y = 2000 – 5 P1 + 2 P2 + 0,02 I con P1 = 300, P2 = 250, I = 5000
Soluzione
Con i dati dell’esercizio, la quantità domandata è pari a:
𝑌𝑑 = 2000 − 5(300) + 2(250) + 0,02(5000) = 1100
L’elasticità al prezzo della domanda è pari a:
휀𝑌𝑑/𝑃1 =𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃1
𝑃1
𝑌𝑑= −5
300
1100= −
1500
1100= −1,36
L’elasticità incrociata della domanda è pari a:
휀𝑌𝑑/𝑃2 =𝜕𝑌𝑑
𝜕𝑃2
𝑃2
𝑌𝑑= 2
250
1100=
500
1100= +0,45
e i beni sono sostituti tra loro.
L’elasticità della domanda al reddito è pari a:
휀𝑌𝑑/𝐼 =𝜕𝑌𝑑
𝜕𝐼
𝐼
𝑌𝑑= 0,02
5000
1100=
100
1100= +0,09
e il bene è normale.
1.5) Un bene inferiore ha una elasticità della domanda rispetto al reddito pari a 0,5 in valore assoluto.
Partendo da un punto in cui il reddito I = 10 e la quantità Y = 20, si ipotizzi una variazione positiva
del reddito pari a 5. Quale è il nuovo valore di Y?
Soluzione
L’elasticità della domanda al reddito è pari a:
휀𝑌𝑑/𝐼 =𝜕𝑌𝑑
𝜕𝐼
𝐼
𝑌𝑑
Un bene inferiore è caratterizzato da una elasticità al reddito negativa, perché se il reddito aumenta,
il consumatore abbandona questa tipologia di beni, ad esempio perché può permettersi l’acquisto di
altri beni o semplicemente perché si ha la possibilità di accedere ad altri beni. Pertanto, per i beni
inferiori, 휀𝑑1/𝐼 < 0 = −0,5. Utilizzando i dati dell’esercizio:
휀𝑑1/𝐼 = 0,5 =Δ𝑌
5
10
20
Δ𝑌 = −0,5(10) = −5
Quindi il nuovo valore del bene è Y = 15.
2. Funzioni di utilità - Curve di Indifferenza - Saggio Marginale di Sostituzione
2.1) Data una funzione Cobb Douglas 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝛼𝑌2
𝛽
a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).
b) Nel caso in cui 𝛼 = 𝛽 = 1, quindi 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝑌2, trovare l'equazione che definisca le
curve di indifferenza.
Soluzione
a) Il Saggio Marginale di sostituzione indica il coefficiente angolare della curva di indifferenza ed è
pari al rapporto tra la variazione del consumo del bene 2 (ΔY2) e la variazione del consumo del bene
1 (ΔY1). Lungo una curva di indifferenza, dove l’utilità totale di diversi, infiniti, panieri di beni è la
stessa, le due variazioni, di segno opposto, si compensano esattamente. La variazione di utilità,
conseguente alla riduzione (aumento) del consumo del bene 2 è esattamente compensata
dall’incremento (riduzione) del consumo del bene 1:
𝑆𝑀𝑆 =Δ𝑌2
Δ𝑌1
Poiché l’utilità marginale del bene 1 è pari alla variazione di utilità totale che deriva dalla variazione
del consumo del bene 1, ossia: 𝑈𝑀1 =ΔU
Δ𝑌1 e, allo stesso modo, l’utilità marginale del bene 2 è pari
alla variazione di utilità totale che deriva dalla variazione del consumo del bene 2, ossia: 𝑈𝑀2 =ΔU
Δ𝑌2,
possiamo scrivere che la variazione dell’utilità totale è pari alla variazione della quantità consumata
del bene 1 moltiplicata per la variazione di utilità che ne consegue, ΔU = 𝑈𝑀1Δ𝑌1 e, allo stesso modo
per il bene 2 ΔU = 𝑈𝑀2Δ𝑌2.
Muovendoci lungo una curva di indifferenza, l’utilità totale non cambia, quindi ΔU = 0, pertanto la
somma di queste due variazioni è nulla:
0 = 𝑈𝑀1Δ𝑌1 + 𝑈𝑀2Δ𝑌2
Con semplici passaggi algebrici possiamo quindi indicare il Saggio Marginale di Sostituzione
alternativamente come il rapporto tra le variazioni di quantità o come il rapporto (inverso) fra le
variazioni di utilità:
𝑆𝑀𝑆 =Δ𝑌2
Δ𝑌1= −
𝑈𝑀1
𝑈𝑀2
Ora, data una funzione di utilità generica 𝑈 = 𝑓(𝑌1, 𝑌2), l’utilità marginale corrisponde alla derivata
parziale di questa funzione rispetto al bene oggetto di analisi:
𝜕𝑈
𝜕𝑌1=
𝜕𝑓(𝑌1, 𝑌2)
𝜕𝑌1
Nel caso del nostro esercizio, la funzione di utilità è 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1𝛼𝑌2
𝛽, quindi le derivate parziali di
questa funzione rispetto a Y1 e a Y2 sono rispettivamente pari a:
𝑈𝑀1 =𝜕𝑓(𝑌1,𝑌2)
𝜕𝑌1= 𝛼𝑌1
𝛼−1𝑌2𝛽
𝑈𝑀2 =𝜕𝑓(𝑌1,𝑌2)
𝜕𝑌2= 𝛽𝑌1
𝛼𝑌2𝛽−1
Il rapporto tra queste due derivate parziali corrisponde al saggio marginale di sostituzione (SMS):
𝑆𝑀𝑆 = −𝛼𝑌1
𝛼−1𝑌2𝛽
𝛽𝑌1𝛼𝑌2
𝛽−1
E, con semplici operazioni algebriche sugli esponenti otteniamo:
𝑆𝑀𝑆 = −𝛼
𝛽
𝑦2
𝑦1
b) Nel caso in cui α = β = 1, il 𝑆𝑀𝑆 = −𝑌2
𝑌1. L’equazione che descrive la curva di indifferenza indica
un livello di utilità costante pari a k per le diverse combinazioni dei due beni, pertanto otteniamo:
𝑌1𝑌2 = �̅�
Esplicitando l’equazione per Y2, l’equazione diventa:
𝑌2 =�̅�
𝑌1 .
2.2) Data una funzione Cobb Douglas 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌11 3⁄
𝑌22 3⁄
a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).
b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza.
Soluzione
a) Ripetendo il ragionamento dell’esercizio precedente, il SMS è:
𝑆𝑀𝑆 = −1
2
𝑌2
𝑌1
b) La curva di indifferenza Cobb-Douglas ha equazione:
𝑌11 3⁄
𝑌22 3⁄
= �̅�
che, esplicitata per Y2 diventa:
𝑌2 = �̅�3 2⁄
𝑌1−1 2⁄
2.3) Un consumatore ha una funzione 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑌1 + 2𝑌2
a) Come definiamo i beni Y1 e Y2?
b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza e fornire una
rappresentazione grafica.
c) Calcolare il saggio marginale di sostituzione.
Soluzione
a) In questo caso i beni sono perfetti sostituti e sono rappresentati da una curva di indifferenza
che evidenzia una relazione di sostituibilità costante (lineare) fra i due beni.
b) L’equazione che descrive la curva di indifferenza indica un livello di utilità costante k per le
combinazioni dei due beni: 𝑌1 + 2𝑌2 = �̅� . Esplicitando l’equazione per Y2 diventa:
𝑌2 =�̅�
2−
1
2𝑌1
Come detto, questa equazione (di primo grado) indica una relazione lineare tra Y1 e Y2, ovvero
le preferenze del consumatore esprimono una sostituibilità costante tra i due beni.
La rappresentazione grafica delle curve di indifferenza, con valori di utilità rispettivamente
pari a �̅� = 10 e �̅� = 20 è:
c) il Saggio Marginale di Sostituzione corrisponde al coefficiente angolare della retta espressa
al punto precedente, ed è:
𝑆𝑀𝑆 =𝜕𝑌2
𝜕𝑌1= −
1
2
2.4) Un consumatore ha una funzione del tipo 𝑈(𝑌1, 𝑌2) = 𝑚𝑖𝑛{2𝑌1, 𝑌2}
a) Quali sono le caratteristiche dei beni 𝑌1 𝑒 𝑌2?
b) Calcolare il SMS della funzione.
c) Rappresentare graficamente la generica curva di indifferenza.
Soluzione
a) In questo caso i beni sono perfetti complementi e sono rappresentati da una curva di
indifferenza che evidenzia la relazione di complementarietà tra i due beni. Qualsiasi paniere
che contenga una quantità maggiore di uno dei due beni, non offre utilità maggiore al
consumatore. Ad esempio, nel caso in cui l’individuo desideri due cucchiaini di zucchero per
ogni tazza di caffè, avere a disposizione una quantità maggiore di zucchero, dato che dispone
di un’unica tazza di caffè, non aumenta l’utilità dell’individuo e rappresenta uno spreco.
Quindi il rapporto con cui utilizzerà i due beni (zucchero e caffè) è costante.
b) L'utilità marginale del bene 1 è: 𝑈𝑀1 = {0 𝑠𝑒 2𝑦1 > 𝑦2
2 𝑠𝑒 2𝑦1 < 𝑦2
L'utilità marginale del bene 2 è: 𝑈𝑀2 = {1 𝑠𝑒 2𝑦1 > 𝑦2