Escoamento em leitos Escoamento em leitos porosos porosos • Equação de Ergun • Lei de Darcy • Porosidade, Diâmetro equivalente • Leitos fixos e fluidizados • Equação de Blake- Kozeny • Equação de Burke- Plummer TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 20: 01/06/2012 1
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I. Aula 20: 01/06/2012. Escoamento em leitos porosos. Lei de Darcy. Porosidade, Diâmetro equivalente. Equação de Blake-Kozeny. Equação de Burke-Plummer. Equação de Ergun. Leitos fixos e fluidizados. 1. Lei de Darcy. - PowerPoint PPT Presentation
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Escoamento em leitos porososEscoamento em leitos porosos
• Equação de Ergun
• Lei de Darcy • Porosidade, Diâmetro equivalente
• Leitos fixos e fluidizados
• Equação de Blake-Kozeny• Equação de Burke-Plummer
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
Aula 20: 01/06/2012
1
1. Lei de Darcy1. Lei de Darcy
Henry Darcy em 1856 demonstrou que a velocidade média (v) de um fluido newtoniano quando escoa em regime laminar dentro de um leito poroso é proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à distância percorrida.
L
PKv leitof
)(
v = velocidade média do fluido no leito poroso
K = constante que depende das propriedades do fluído e do leito poroso
(-P) = queda de pressão através do leito
L = percurso realizado no leito poroso 2
3
L
PBv
fleitof
)(
A equação de Darcy também pode ser escrita da seguinte maneira:
B = coeficiente de permeabilidade, que depende apenas das propriedades físicas do leito poroso
μf = viscosidade do fluído.
2. Equação de Poiseuille2. Equação de PoiseuilleExplica o escoamento em regime laminar de um fluido newtoniano dentro de um tubo.
2
32
D
v
L
P
L
PDv
)(
32
2 Colocando a equação em termos da
velocidade média do fluido no tubo:
Onde:∆p é a o gradiente de pressão (N/m2)v é a velocidade do fluido no tubo (m/s) D é o diâmetro do tubo (m)L é o comprimento do tubo (m)µ é a viscosidade do fluido (Pa.s)
4
L
PBv
tortuosocanal
)(
Comparando as equações:
L
PDv tubono
)(
32
2
22
D32
DB k
Considerando o “canal tortuoso” como um tubo, relaciona-se as duas equações e obtém-se uma expressão para “B” :
Darcy modificadaPoiseuille
k = f(, Dp, Φp, etc.) Logo, é necessário uma equação “mais robusta”. 5
Quais são as variáveis que atuam no escoamento de um fluido newtoniano em um leito de partículas sólidas rígidas?
Precisamos de uma equação para descrever como varia a velocidade do fluido com a pressão aplicada, a distância percorrida (altura do leito), a viscosidade e a densidade do fluido, o diâmetro das partículas e sua esfericidade, a porosidade do leito.
3. Dedução de um modelo para descrever a passagem de um fluido em um leito particulado
6
Primeiro para leitos fixos e depois em leitos móveis(ou fluidizados)
),,,,,)(
( pptortuosocanal D
L
Pfv
Considerações para as equações que serão desenvolvidas a seguir:
• Fluido Newtoniano
• As partículas se distribuem de forma homogênea, o que permite a formação de canais de escoamento contínuos, uniformes e em paralelo
• Um leito de percurso curto (L pequeno)
7
v0
3.1. Porosidade
Lembrando que em um leito poroso existem espaços vazios (zonas sem partículas).
leitodototalVolume
vazioVolumeε
A porosidade () é definida comoa razão entre o volume do leito que não está ocupado com material sólido e o volume total do leito.
8
v0
No caso do fluxo através do leito de partículas:
Vazio Sólido
Fração
Volume
Massa
ε ε)(1
sb )ρ(SLε)(1
9
)(SLε)(1 b
fb )ρ(SLε
)(SLε b
leitodototalVolume
vazioVolume
s = densidade da partícula sólida
f = densidade do fluido
Vm
v0
Equação pra correlacionar a porosidade com as densidades do leito, das partículas e do fluido:
btotal SLV
total
total
V
mleito
fs )1(leito
fbsb )(SLε)(SLε)1(m total
)(leito sfs sf
s
leito
massa total = massa de sólidos + massa de fluido
Substituindo os termos, tem-se:
(densidade aparente)
[1]
10
3.2. Volumes no leito
leitodototalvolumebSL
sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1(
vazios) de (volume fluxoo paradisponívelvolumebSL
Volume total do
leito
Leito particulado
Conjunto de partículas
Volume = soma dos volumes unitários
Volume total de vazios
Volume total de sólidos
11
v0
A vazão mássica do fluido fora do leito é igual a vazão dentro do leito:
SvSv
QQ
mm
leitoff
leitofforaf
leitofora
0
Balanço de massa
3.3. Relação entre “velocidade superficial” (fora do leito) do fluido e velocidade média do fluido no leito
0vvleito 5,0
1Quando o leito não tem partículas:
02 vvleito Se a porosidade for 50%:
[2]Área de vazios
12
leitovv 0
v0
3.4. Diâmetro equivalenteComo não se trata do escoamento em uma tubulação cilíndrica (pois tem-se um canal tortuoso), devemos usar o conceito de diâmetro equivalente e de raio hidráulico, cuja definição é:
molhadoperimetro
fluxodeltransversaárea44 Heq RD
sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea
fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD
Multiplicando por (Lb/Lb) tem-se:
13
A área de atrito entre o fluido e as partículas sólida corresponde a área externa das partículas sólidas.
sb
beq aSL
SLD
14
sólidapartícula uma de volume
sólidapartícula uma deexterna área
partículas den
partículas deno
o
sa
s
eq aD
14
sólidas partículas as e fluido o entre atritodeárea
fluido do fluxooparadisponívelvolume4eqD
sólidasparticulaspelasocupadovolume bSL)1( vazios) de (volume fluxoparadisponívelvolumebSL
Sabemos que:
Se as é a área superficial por unidade de volume sólido:
Substituindo essas relações no “Deq” acima tem-se:
14
Área de atrito = volume ocupado pelas partículas sólidas x as
pp
ps DD
Da
6
63
2
Para partículas esféricas tem-se:
peq DD
16
4
s
eq aD
14
[3]
sólidodo volume
sólidodolsuperficia áreasa
15
v0
3.5. Leito particulado fixo
f
fleitocanaleqF vD
f
.
16
Re
16
^22
22
21
11
2
ˆ
2 g
E
g
vz
g
P
g
W
g
vz
g
P f
ff
2
.
^
2 leitocanaleq
Ff
f
vD
LfE
P
A perda de pressão no leito particuladoé obtida com o Balanço de Energia:
fcanaleq
fleito
f D
LvP
2.
32
Substituindo fF para fluido Newtoniano em regime laminar tem-se:
[5]
[4]
16
Substituindo [3] e [6] em [2], obtém-se:
L
PDv
fcanaleqleito
)(
32
1 2.
peq DD
16
4
L
PDv
f
p
)(
)1(72 2
32
0
3
2
2
172
p
of
D
LvP
fcanaleq
fleito
f D
LvP
2.
32
[6]
leitovv 0 [2] [3]
ou
[7]
[8]
Equações [7] e [8] válidas para partículas partículas
esféricas, fluido esféricas, fluido Newtoniano em Newtoniano em regime laminarregime laminar.
17
Regimes de escoamento
f
canaleqleitoff Dv
...
Re Número de Reynolds
Definição do regime do fluxo de fluido:Definição do regime do fluxo de fluido: Laminar quando Re < 10Laminar quando Re < 10
Turbulento quando Re > 100Turbulento quando Re > 100
f
fpvDRe
)1(6
4 0
Substituindo Deq [3] e vleito [2] em Re tem-se:
[9]
18
peq DD
16
4 leitovv 0
Os dados experimentais revelam que o valor da constante (72) em [8] geralmente é maior, como mostra a equação abaixo:
3
2
20 1150
pD
LvP
Equação de Blake-Kozeny; válida para <0,5 e Re<10
3
2
2
172
p
o
D
LvPDe [8]
3.5.1. Regime Laminar
19
2kfF
Re
k1Ff
Fat
or d
e F
anni
ng
Re
Laminar
Turbulento
20
Para o regime turbulento pode propor-se:
3
20 13
p
f
D
LvkP
Equação de Burke-Plummer (k=0,583)
3
20 175,1
p
f
D
LvP
kfF 3.5.2. Regime Turbulento
Agora, substituindo [2] e [3] em [4] tem-se:
peq DD
16
4
leitovv 0 [2][4]
2
.
^
2 leitocanaleq
Ff
f
vD
LfE
P
[3]
[10]
21
Somando os dois regimes (laminar de Blake-Kozeny e turbulento de
Burke-Plummer ), tem-se a equação geral de a equação geral de ErgunErgun que descreve a queda de pressão de um fluido deslocando-se em um leito poroso fixo:
Rearranjando tem-se:
75,1150
1
3
20
ReL
D
v
P p
f
3
20
3
2
2
0 175,11150
p
f
p
f
D
Lv
D
LvP [11]
[12]
22
3.6. Partículas não esféricas
A equação de Ergun [11] inclui a esfericidade quando as partículas não são esféricas. Para isso, o diâmetro da partícula é multiplicado pela esfericidade (phi):
3
20
3
2
22
0 175,11150
pp
f
pp
f
D
Lv
D
LvP [13]
23
4. Resposta ao fluxo superficial (velocidade v0 do fluido)
O fluido não possui uma força de arraste suficiente para se sobrepor a força
da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem: Leito fixo.
Se o fluido tem alta força cinética, as forças de arraste e empuxo superam
a da gravidade e o leito se expande e se movimenta: Leito fluidizado.
Baixa velocidade
Alta Velocidade
P e o aumento da velocidade superficial v0
Enquanto se estabelece a fluidização o P cresce, depois se mantém constante.
Comprimento do leito quando aumenta v0
A altura (L) é constante até que se atinge o estado de fluidização depois começa a crescer. 24
5. FluidizaçãoA fluidização ocorre quando um fluxo ascendente de fluido escoa através de um leito de partículas e adquire velocidade suficiente para manter as partículas em suspensão, sem que sejam sem que sejam arrastadas junto com o arrastadas junto com o fluido.fluido. Sem fluxo Com fluxo
resfriamento de sólidos• Congelamento• Torrefação de café• Pirólise
Alta mistura dos sólidos (homogeneização rápida) A área superficial das partículas sólidas fica
completamente disponível para transferência de calor e de massa
Vantagens da Fluidização:
26
OA: Aumento da velocidade e da queda de pressão do fluído; AB: O leito está iniciando a fluidização; BC: Com o aumento da velocidade, há uma queda leve da pressão
devido à mudança repentina da porosidade do leito;CD: O log(-∆P) varia linearmente com log(v) até o ponto D. D∞: Após o ponto D, as partículas começam a ser carregadas pelo
fluído e perde-se a funcionalidade do sistema.
vmf = velocidade mínima de fluidização
va = velocidade de arraste
Leito fluidizado
Transporte pneumático
5.1. Etapas da fluidização
27
Leito fixo
Exemplo da aplicação de fluidização em resfriamento de sólidos
Quando inicia-se a fluidização, há um aumento da porosidade e da altura do leito. Essa relação é dada pela seguinte expressão:
Sem fluxo Com fluxo
L1
L2
1
2
)1()1( 2211 LSLS
5.3. Altura do leito poroso
volume de sólidos no leito fixo
volume de sólidos no leito
fluidizado
S S
[14]
31
)1(
)1(
2
1
1
2
L
L
5.4. Velocidade mínima de fluidização
Fg
Fp
O leito somente fluidizará a partir de um certo valor de velocidade do fluido ascendente. Essa velocidade é definida como a velocidade mínima de fluidização (vmf).
Quando atinge-se vmf , a força da
pressão (Fp) e a de empuxo (Fe) se igualam a força do peso das partículas do leito (Fg).
Para esse regime, a parte final da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à primeira, logo temos:
232
.)1(
)(
150
1Dpgv
f
fp
mf
mfpmf
2030232
2 )1(75,1
)1(150 v
Dpv
DpL
P
p
f
p
f
Rearranjando com a equação [15] tem-se:
[16]
34
Para esse regime, a parte inicial da equação de Ergun [13] é insignificante em relação à segunda, logo temos:
2/1
3)(756,0
Dpgv mfp
f
fpmf
5.4.2. vmf para regime turbulento
[17]
2030232
2 )1(75,1
)1(150 v
Dpv
DpL
P
p
f
p
f
Rearranjando com a equação [15] tem-se:
35
Para determiná-la, usam-se as seguintes relações:
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleito
mfleito
mfvaziosmf V
VV
V
V
14
1. 3 mfp
Experimentalmente:
5.5. Porosidade mínima de fluidização
36
Exercícios de
Fluidização
37
Ex. 1: Um leito fluidizado possui 80 kg de partículas de diâmetro 60 µm ( = 0,8) e densidade 2500 kg/m3. O diâmetro do leito é 40 cm e a altura mínima de fluidização é 50 cm. O fluido ascendente é ar ( = 0,62 kg/m3), que flui em regime turbulento no leito. Calcule:
(a) A porosidade mínima de fluidização.(b) A perda de carga na altura mínima de fluidização.(c) A velocidade mínima de fluidização
(a) Volume de sólidos = 80kg / 2500 kg/m3 = 0,032 m3. Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=Volume/Área=0,032m3/0,1256m2=0,2548 mUsando [14] tem-se:
)1(5,0)01(2548,0)1()1( 22211 mmLSLS
No início da fluidização, o leito possui 49% de seu volume ocupado com ar e os 51% restantes com partículas sólidas
49,02
mfleito
sólidaspartículasdetotalmfleito
mfleito
mfvaziosmf V
VV
V
V
Também poderia ser resolvido por:
38
(b) gL
Pmffp
mf
)1)((
De [15] tem-se:
PaP 62468,9)49,01)(62,02550(50,0 Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito poroso será de 6,3kPa
(c) De [13] tem-se:
smvmf /_______
Quando o fluido atingir Vmf se iniciará a fluidização do leito.
39
3
2
3
2
22
175,11150
mfpp
mfmff
mfpp
mfmff
D
Lv
D
LvP
40
ff
pD
mfv
175,00 mfvv
f
fpvDRe
)1(6
4 0
?Re Tipo de escoamento Consistência?
Exercício 2: Velocidade mínima de fluidizaçãoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,12mm, esfericidade de 0,88 e densidade de 1000kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2 atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,42. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização considerando a seção transversal do leito vazio de 0,30m2 e que o leito contém 300kg de sólidos.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização
Para uma porosidade de 0 (1= zero), a altura do leito considerando apenas sólidos seria de: L1=0,3m3/0,3m2=1mUsando [14] tem-se:
mm
LLSLS 72,1)42,01(
)01(1)1()1( 22211
No início da
fluidização, o leito terá 1,72m
41
(b)g
L
Pmffp
mf
)1)((
De [15] tem-se:
PaP 97538,9)42,01)(37,21000(72,1
(c)
Na altura mínima de fluidização, a perda de carga no leito será 9,7kPa
De [15](condições de mínima fluidização) em [13] (Ergun) tem-se:
3
2
3
2
22
175,111509753
mf
mf
pp
mfmff
mf
mf
pp
mfmff
D
Lv
D
LvPa
3
2
3
2
22
5
42,0
42,01
)00012,0(88,0
)72,1()37,2(75,1
42,0
42,01
)00012,0()88,0(
)72,1()10.84,1(1509753
mfmf vv
Pa
Resolvendo tem-se: vmf = 0,00504 m/s
Quando o fluido atingir 0,00504 m/s, a fluidização do leito será iniciada. 42
Exercício 3: Velocidade mínima de fluidização e expansão do leitoPartículas sólidas possuindo diâmetro de 0,10mm, esfericidade de 0,86 e densidade de 1200kg/m3 irão ser fluidizadas com ar a 2atm e 25ºC (=1,84.10-5 Pa.s; =2,37kg/m3). A porosidade mínima de fluidização é 0,43. O diâmetro do leito é de 0,60m e contém 350kg de sólidos. Com essas informações encontre:(a)A altura mínima de fluidização.(b)Encontre a queda de pressão nas condições de fluidização mínima.(c)Encontre a velocidade mínima de fluidização.(d)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima, estime a porosidade do leito.
Itens (a), (b) e (c) são resolvidos da mesma maneira que o exercício anterior. Respostas: (a) 1,81m; (b) 12120Pa; (c) 0,004374m/s. 43
(d) De [15] em [13] (Ergun) tem-se:
3
2
3
2
22
175,11150)1)((
pp
f
pp
ffp D
v
D
vg
3
2
3
2
22
5 1
)0001,0(86,0
)004374,0*4)(37,2(75,11
)0001,0()86,0(
)004374,0*4)(10.84,1(150)1)(37,21200(
g
Resolvendo tem-se: = 0,605
Quando o fluido atingir quatro vezes a velocidade mínima de fluidização, a porosidade do leito será de 0,605, ou seja, 60,5% do volume do leito ocupado com fluido e 39,5% do volume do leito ocupado com as partículas sólidas.
44
Exercício 4: Fluidização em um filtro de areiaPara limpar um filtro de areia, ele é fluidizado à condições mínimas utilizando água a 24ºC. As partículas arredondadas de areia possuem densidade de 2550 kg/m3 e um tamanho médio de 0,40mm. A areai possui as seguintes propriedades: esfericidade de 0,86 e porosidade mínima de fluidização de 0,42.(a)O diâmetro do leito é 0,40m e a altura desejada do leito para as condições mínimas de fluidização é 1,75m. Calcule a quantidade de sólidos necessários (massa de areia).(b)Encontre a queda de pressão nessas condições, e a velocidade mínima de fluidização.(c)Utilizando 4 vezes a velocidade mínima de fluidização, estime a porosidade e altura do leito expandido.