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UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS
CAMPUS COATZACOALCOS
LABORATORIO DE FISICOQUIMICA
DESTILACIN DE UNA MEZCLA BINARIA DE HCl - H2O PARA LA
OBTENCIN DEL PUNTO AZEOTRPICO Y ANALISIS
TERMODINAMICO PARA LA CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA
XY VS T
ELABOR: ngel Pablo Morales
Coatzacoalcos, Ver., 27 de noviembre de 2014
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DESTILACIN DE UNA MEZCLA BINARIA DE HCl H2O PARA LA
OBTENCIN DEL PUNTO AZEOTRPICO Y ANALISIS
TERMODINAMICO PARA LA CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA
XY VS T
Facultad de Ciencias Qumicas Campus Coatzacoalcos Universidad
Veracruzana Pablo Morales, A.
Laboratorio de Fisicoqumica Dr. Benoit Fouconnier
1. Introduccin Procesos tales como destilacin, absorcin y
extraccin ponen en contacto fases de diferente
composicin, y como no estn en equilibrio, la masa que se
transfiere entre ellas altera sus
composiciones. La coexistencia de fases ms encontrada en la
prctica industrial son el vapor y el
lquido, aunque tambin se hallan los sistemas lquido/lquido,
vapor/slido y lquido/slido.
Cuando se quema gas natural, se forman slo una pequea cantidad
de contaminantes. Los productos
de la combustin an contienen xidos de nitrgeno y de azufre, as
como dixido de carbono y vapor
de agua. Los xidos de nitrgeno son tpicos subproductos de aire
de combustin, y el azufre est
presente en concentraciones muy bajas que el compuesto
odorizante se aade al gas natural. La
condensacin de estos productos produce una solucin cida que
contiene concentraciones de cidos
ntrico y sulfrico. Por lo tanto, el condensado del gas de
combustin se convierte en cada vez ms
corrosivo en las superficies del intercambiador de calor de
condensacin despus de que se concentra
por condensacin y evaporacin repetida. En las calderas se lleva
a cabo la condensacin, opera con
alta eficiencia mediante la captura de una parte de calor
latente de condensacin y una gran cantidad
de calor sensible de la combustin. Cuando la temperatura de la
superficie est por debajo del punto
de roco de la mezcla de varios componentes, se produce la
condensacin. Por lo tanto, se requieren
modelos de equilibrio lquido-vapor, tales como los modelos de
Raoult modificada y Van Laar con
el fin de determinar el punto de roco de la mezcla para una
presin determinada.
Un azetropo (o mezcla azeotrpica) es una mezcla lquida de dos o
ms componentes que posee un
nico punto de ebullicin constante y fijo, y que al pasar al
estado vapor (gaseoso) se comporta como
un compuesto puro, es decir, como si fuese un solo componente.
Un azetropo, puede hervir a una
temperatura superior, intermedia o inferior a la de los
constituyentes de la mezcla, permaneciendo el
lquido con la misma composicin inicial, al igual que el vapor,
por lo que no es posible separarlos
por destilacin simple. El azetropo que hierve a una temperatura
mxima se llama azetropo de
ebullicin mxima y el que lo hace a una temperatura mnima se
llama azetropo de ebullicin
mnima, los sistemas azeotrpicos de ebullicin mnima son ms
frecuentes que los de ebullicin
mxima.
Un ejemplo es la mezcla de cido clorhdrico y agua, que forma un
azetropo para una concentracin
del 11.14 % en peso de cido, que hierve a una temperatura de
108.6 C. Con una destilacin simple
se obtiene un cido con esta concentracin (ttulo), pero para
conseguir un compuesto ms puro se
necesita utilizar recursos especiales como una destilacin
azeotrpica (Robert H. Perry, 2012).
En qumica, la destilacin azeotrpica es una de las tcnicas usadas
para romper un azetropo en la
destilacin.
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2. Fundamentos
2.1. Equilibrio vapor Lquido
2.1.1. La naturaleza del equilibrio
Se conoce al equilibrio como una condicin esttica donde, con el
tiempo, no ocurre cambio
alguno en las propiedades macroscpicas de un sistema, lo cual
implica un balance de todos los
potenciales que pueden ocasionar un cambio.
Un sistema aislado que consta de las fases en contacto estrecho
lquido y vapor, con el tiempo
alcanza un estado final en donde no existe tendencia para que
suceda un cambio dentro del mismo.
La temperatura, la presin y las composiciones de fase logran los
valores finales que en adelante
permanecen fijos. El sistema se halla en equilibrio. Pero a
nivel microscpico no son estticas las
condiciones. Las molculas contenidas en una fase en un instante
dado son diferentes a las que
despus ocupan la misma fase. Las molculas con velocidades lo
suficiente altas prximas a la zona
interfacial superan las fuerzas superficiales y atraviesan a la
otra fase. De cualquier modo, la rapidez
promedio de intercambio de molculas es igual en ambas
direcciones, sin que ocurra transferencia
neta de material a travs de la zona interfacial.
2.1.2 Medidas de la composicin
Las tres medidas ms comunes de la composicin son: fraccin masa,
fraccin mol y
concentracin molar:
=
=
(1)
=
=
(2)
=
=
(3)
Donde , es la masa de la especia , es el nmero de moles de la
especie , es el volumen molar de la mezcla, es la concentracin
molar y es el flujo volumtrico.
2.1.3 Regla de fase. Teorema de Duhem
Para sistemas de fases mltiples en equilibrio, el nmero de
variables independientes que deben
fijarse en forma arbitraria a fin de establecer su estado
intensivo se proporciona por la regla de las
fases de J. Willard Gibbs11.
= 2 + (4)
Don de es el nmero de fases, N es el nmero de especies qumicas y
F representa los grados de
libertad del sistema. El estado intensivo de un sistema en
equilibrio se establece cuando su
temperatura, presin y composiciones de todas las fases se
encuentran fijas. Una fase es una regin
homognea de materia; gas, lquido o slido. Las variables de la
regla de las fases son propiedades
intensivas (T, P y N 1 fraccin mol) las cuales son
independientes de la extensin del sistema y de
las fases individuales
1 Josiah Willard Gibbs (1839 1903), fsico matemtico
estadounidense.
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El teorema de Duhem, se aplica a sistemas cerrados en
equilibrio, para los cuales se fijan los estados
extensivos e intensivos del sistema, el cual queda totalmente
determinado.
Para cualquier sistema cerrado que se forma originalmente por
las masas conocidas de especies
qumicas prescritas, el estado de equilibrio se determina por
completo cuando se fijan dos variables
independientes cualesquiera.
2.2. Modelos simples para el equilibrio vapor lquido
2.2.1. Ley de Raoult
Las dos principales suposiciones que se requieren para reducir
los clculos de EVL para la ley de
Raoult2 son:
La fase vapor es un gas ideal. Se aplica a presiones de bajas a
moderadas
La fase lquida es una solucin ideal. Las especies que
constituyen el sistema son
qumicamente semejantes.
La expresin matemtica que revela las dos conjeturas listadas, y
proporciona una expresin
cuantitativa de la ley de Raoult es:
= ( = 1, 2, , ) (5)
Donde es una fraccin mol de fase lquida, es una fraccin mol de
la fase vapor, es la presion
del sistema y es la presin de vapor de las especies puras a la
temperatura del sistema.
2.2.2. Dependencia de la presin de vapor de los lquidos con la
temperatura
La presin de saturacin de una especie i se puede obtener a
partir de la ecuacin de Antoine que
describe la relacin entre la temperatura y la presin de
saturacin del vapor de sustancias puras,
matemticamente expresada como:
log10 =
() + ( ) (6)
Donde A, B y C son constantes y est disponible para una gran
cantidad de especies. Cada conjunto
de constantes es vlido para un intervalo determinado de
temperaturas y no se debe utilizar fuera de
ese intervalo.
2.2.3. Clculos de los puntos de roco y de burbuja con la ley de
Raoult
Hay cuatro maneras de conocer los puntos de rocos y de
burbuja:
BUBL P: Calcular {} y P, conocidas {} y T
DEW P: Calcular {} y P, conocidas {} y T
BUBL T: Calcular {} y T, conocidas {} y P
DEW T: Calcular {} y T, conocidas {} y P
Ya que = 1, la ecuacin (5) se suma sobre todas las especies para
obtener:
=
(7)
2 Francois Marie Raoult (1830 1901) qumico francs
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sta ecuacin encuentra utilidad en los clculos del punto de
burbuja, donde se desconoce la
composicin de la fase vapor.
Cuando = 1, la ecuacin (5) se resuelve para aplicarlo en los
clculos del punto de roco, donde no se conocen las composiciones de
la fase lquida:
=1
(8)
2.2.4. Ley de Henry
Enuncia que a una temperatura constante, la cantidad de gas
disuelta en un lquido es directamente
proporcional a la presin parcial que ejerce ese gas sobre el
lquido.
La ley de Henry3 es aplicada para presiones lo suficientemente
bajas como para suponer que la fase
vapor es un gas ideal. Matemticamente se represente como:
= (9)
Donde es la constante de Henry, en la cual los valores proceden
de experimentos.
2.3. Equilibrio Vapor Lquido (EVL) mediante la ley de Raoult
modificada
Para presiones de bajas a moderadas, una ecuacin ms efectiva
para EVL se obtiene cuando se
abandona la segunda suposicin de la Ley de Raoult, y se toman en
cuenta las desviaciones de la
idealidad de las soluciones en la fase lquida. La Ley de Raoult
modificada se obtiene cuando , un coeficiente de actividad, se
inserta en la Ley de Raoult, ecuacin (5):
= (10)
Los clculos de punto de burbuja y de punto de roco hechos con
esta ecuacin son un poco ms
complejos que los mismos clculos realizados con la ley de
Raoult. Los coeficientes de actividad son
funciones de la temperatura y de la composicin de la fase lquida
que se pueden obtener de la
experimentacin. Por lo que tambin se modifican las ecuaciones
(7) y (8).
2.3.1. EVL a partir de las correlaciones del valor de K
Una observacin conveniente de la tendencia de una especie qumica
conocida para repartirse de
preferencia entre las fases vapor y lquido es la relacin de
equilibrio Ki, definida como:
=
(11)
Es til como una medida de ligereza de la especie, de su
tendencia para favorecer la fase de vapor.
Cuando Ki es mayor a la unidad, la especie i exhibe una mayor
concentracin en la fase vapor; pero
cuando es menor, presenta una mayor concentracin en la fase
lquida, y se considera como un
componente pesado. Para la ley de Raoult, ecuacin (5), el valor
de K queda definida:
=
(12)
Y con referencia a la ecuacin (10), seala que la Ley de Raoult
modificada es:
3 William Henry (1775 1836), qumico ingls.
-
=
(13)
2.4. Termodinmica de soluciones
2.4.1. Relacin de una propiedad fundamental
La ecuacin (14) relaciona la energa de Gibbs total de cualquier
sistema cerrado a sus variables
cannicas, la temperatura y la presin:
() = () () (14)
Donde n es el nmero total de moles del sistema.
Para el caso ms general de un sistema abierto, de fase nica, el
material puede moverse hacia adentro
o hacia fuera del sistema, y nG se convierte en una funcin de
los nmeros de moles de las especies
qumicas presentes, T y P; y se busque explicacin en la relacin
funcional:
= (, , 1, 2, , , ) (15)
La derivada total de nG en este caso es:
() = [()
]
,
+ [()
]
,
+ [()
]
,,
(16)
El potencial qumico de la especie i en la mezcla se define
como:
[()
]
,,
(17)
Y las dems derivadas parciales como:
= [()
]
,
(18)
= [()
]
,
(19)
Con esta definicin, y sustituyendo las ecuaciones (17), (18) y
(19) en la ecuacin (16) se tiene:
() = () () +
(20)
La ecuacin (14) es la relacin de una propiedad fundamental vlida
para sistemas fluidos de fase
nica con masa y composiciones variables. Para el caso particular
de un mol de solucin, n=1 y ni=xi:
() = +
(21)
Cuando la energa de Gibbs se expresa en funcin de sus variables
cannicas, desempea el papel
de una funcin generadora, que proporciona los medios para
calcular las dems propiedades
termodinmicas mediante operaciones matemticas simples
(realizando derivas y lgebra
elemental), y de manera implcita representa la informacin ntegra
de la propiedad.
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2.4.2. Potencial qumico y equilibrio de fase
Para un sistema cerrado que consta de dos fases en equilibrio,
cada fase individual es un sistema
abierto con respecto a la otra, y es posible producir
transferencia de masa entre las mismas. Para cada
fase es posible escribir la ecuacin (14):
() = () () +
(22)
() = () () +
(23)
Donde los subndices y , identifican las fases. En este caso la
suposicin es que el equilibrio implica uniformidad en T y P en
todas las partes del sistema.
El cambio en la energa de Gibbs total para el sistema de dos
fases es la suma de dichas ecuaciones.
Cuando cada propiedad del sistema total se expresa por una
ecuacin de la forma:
= () + () (24)
La suma de las ecuaciones (22) y (23) es:
() = () () +
+
(25)
Ya que el sistema de dos fases es cerrado, tambin la ecuacin
(14) resulta vlida, la comparacin de
las dos ecuaciones muestra que, en el equilibrio:
+
= 0 (26)
Los cambios y
resultan de la transferencia de masa entre las fases; por lo
tanto, la
conservacin de masa sugiere que:
=
(27)
(
)
= 0
(28)
Las cantidades son independientes y arbtrarias, debido a lo cual
la nica manera en que el lado
izquierdo de la segunda ecuacin (28) pueda ser cero, es que cada
trmino entre parntesis sea cero.
Por tanto:
=
= =
( = 1, 2, , ) (29)
Donde N es el nmero de especies presentes en el sistema, es la
fase en la que se est trabajando en un sistema multifases, donde se
puede decir que T y P es la misma en todas las fases.
En estos trminos, fases mltiples con valores iguales de T y P se
hallan en equilibrio cuando el
potencial qumico de cada especie es el mismo en todas las
fases.
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2.4.3. Propiedades parciales
La definicin del potencial qumico en la ecuacin (17) como la
derivada de nG con respecto al
nmero de mol, propone que otras derivadas de esta clase resultan
de utilidad en la termodinmica de
soluciones. As, la propiedad molar parcial , correspondiente a
la especie i de la solucin se define como:
[()
]
,,
(30)
sta es una funcin de respuesta, es decir, es una medida de la
respuesta de la propiedad total de nM
ante la adicin, bajo T y P constantes, de una cantidad
diferencial de la especie i a una cantidad finita
de solucin.
La comparacin entre las ecuaciones (17) y (30) escrita para la
energa de Gibbs, muestra que el
potencial es idntico a la energa de Gibbs molar parcial; es
decir:
(31)
El volumen molar parcial se define como:
[()
]
,,
(32)
2.4.4. Modelo de mezcla de gas ideal
A pesar de su limitada capacidad para describir el
comportamiento de mezclas reales, el modelo de
mezcla de gas ideal proporciona una base conceptual sobre la
cual se desarrolla la termodinmica de
soluciones. Es un modelo de propiedad til ya que:
Tiene fundamentos moleculares
Se aproxima a la realidad en el lmite bien definido de presin
cero.
Analticamente simple.
El volumen molar de un gas ideal es independiente de la
naturaleza del gas:
=
(33)
El volumen molar parcial de la especie i de una mezcla de gas
ideal se encuentra mediante la ecuacin
(32)
[()
]
,,
= [ (
)
]
,,
=
(
)
(34)
Donde la igualdad final depende de la ecuacin = + . Este
resultado significa que, para
gases ideales a cierta T y P, el volumen molar parcial, el
volumen molar de especie pura y el volumen
molar de la mezcla son idnticos:
=
= =
(35)
-
La presin parcial de la especie i en una mezcla de gas ideal se
define como la presin que la especie
i ejercera si ocupara todo el volumen molar de la mezcla. En
estos trminos:
=
= (36)
Donde yi es la fraccin molar de la especie i. La suma de las
presiones parciales hace evidente la
presin total.
2.4.5. Teorema de Gibbs:
Una propiedad molar parcial (con excepcin del volumen) de una
especie constitutiva de una mezcla
de gas ideal es igual a la correspondiente propiedad molar de la
especie como un gas ideal puro a
la temperatura de la mezcla, pero con una presin igual a su
presin parcial en la mezcla.
Esto se expresa matemticamente para una propiedad parcial
genrica
por la ecuacin:
(, ) =
(, ) (37)
Como la entalpa de un gas ideal es independiente de la
presin,
(, ) =
(, ) = (, ) (38)
En forma ms simple:
=
(39)
Donde
es el valor de la especie pura i a las condiciones de T y P de
la mezcla. Otra ecuacin
anloga resulta para y otras propiedades que son independientes
de la presin.
La entropa de un gas ideal depende de la presin, como sigue:
= ln ( ) (40)
Integrando desde pi a P se obtiene:
(, )
(, ) = ln
= ln
= ln
1
= ln (41)
De donde,
(, ) =
(, ) ln (42)
Si se sustituye este resultado en la ecuacin (35) escrita para
la entropa se obtiene:
(, ) =
(, ) ln (43)
=
ln (44)
Donde
es el valor de la especie pura a la T y P de la mezcla. Para la
energa de Gibbs de una
mezcla de gas ideal, = ; la relacin paralela para las
propiedades parciales es:
=
(45)
-
Combinando las ecuaciones (37) y (42) queda:
=
+ ln (46)
= + ln (47)
Por lo que la sumabilidad:
=
(48)
=
ln
(49)
=
+ ln
(50)
Una expresin alternativa para el potencial qumico
se obtiene cuando
de la ecuacin (45) se
sustituye por una expresin que refleje su dependencia con T y P.
Al escribir la ecuacin (14) para
un gas ideal:
=
=
= ln ( ) (51)
Integrando se obtiene:
= () + ln (52)
Donde (), la constante de integracin a T constante depede de la
especie y es una funcin nicamente de la temperatura. As la ecuacin
(45) se escribe como:
=
= () + ln() (53)
Donde el argumento del logaritmo es la presin parcial. Con la
relacin de sumabilidad:
= ()
+ ln()
(54)
2.4.6. Fugacidad y coeficiente de fugacidad: especies puras
A partir de la ecuacin (29), resulta claro que el potencial
qumico proporciona el criterio fundamental para el equilibrio de
fase, lo cual tambin es cierto para el equilibrio en reaccin
qumica.
No obstante, se define con relacin a la energa interna y la
entropa. Porque se desconocen los valores absolutos de la energa
interna, tambin se desconocen para . Por otra parte, la ecuacin
(53) indica que
se aproxima hacia el infinito negativo cuando cualquier P o yi
se aproxima a cero.
En realidad esto no aplica para cualquier gas, sino slo para
gases ideales. Aunque estas
caractersticas no impiden el uso de los potenciales qumicos, la
aplicacin del criterio de equilibrio
se facilita mediante la introduccin de la fugacidad, una
propiedad que toma el papel de pero que no muestra sus
caracteristicas indeseables.
-
El origen del concepto de fugacidad reside en la ecuacin (52),
la cual es vlida slo para la especie
pura i en el estado del gas ideal. Para un fluido real se
describe una ecuacin anloga que define a como la fugacidad de la
especie i pura:
= () + ln (55)
Esta propiedad nueva , con unidades de presin sustituye a la P
en la ecuacin (52), entonces:
= (56)
Resta la ecuacin (52) de la (55) y se obtiene la energa de Gibbs
residual :
=
= ln (57)
Ahora se define el coeficiente de fugacidad:
=
(58)
Estas ecuaciones son aplicables a especies puras i en cualquier
fase y en cualquier condicin
2.5. Equilibrio vapor lquido para una especie pura La ecuacin
(55), que define la fugacidad de la especie pura i, es posible
escribirla para la especie i
como un vapor saturado y como un lquido saturado a la misma
temperatura:
= () + ln
(59)
= () + ln
(60)
Restando:
= ln
(61)
Esta ecuacin es aplicable al cambio de estado de lquido saturado
o vapor saturado, ambos a
temperatura T y a la presin de vapor . Entonces se tiene
que:
= 0 (62)
=
= (63)
Donde indica el valor para cualquiera de los dos, ya sea lquido
saturado o el vapor saturado.
Principio fundamental de la ecuacion (63):
Para una especie pura, que coexiste en las fases de lquido y de
vapor estn en equilibrio cuando
tienen la misma temperatura, presin y fugacidad.
Una formulacin alternativa se apoya en los coeficientes de
fugacidad correspondientes:
=
(64)
-
2.5.1. Fugacidad y coeficiente de fugacidad: especies en
solucin
Para la especie i en una mezcla de gases reales o en una solucin
de lquidos, la ecuacin anloga a
la (53), la expresin del gas ideal es:
= () + ln (65)
Donde es la fugacidad de la especie i en la solucin sustituyendo
la presin parcial . Ya que todas las fases en equilibrio se
encuentran a la misma temperatura, entonces se tiene:
=
= =
(66)
De esta manera, fases mltiples a las mismas T y P estn en
equilibrio cuando la fugacidad de cada
especie componente es igual en todas las fases.
La definicin de una propiedad residual es:
= (67)
Derivando con respecto a a T, P y constantes se obtiene:
[()
]
,,
= [()
]
,,
[()
]
,,
(68)
Para una propiedad parcial molar se tiene:
=
(69)
Al restar las ecuaciones (53) a (65) y con la identidad para
obtener:
= ln (70)
Por definicin
(71)
A la relacin adimensional se le conoce como coeficiente de
fugacidad de la especie i en la solucin.
2.5.2. La relacin para una propiedad residual fundamental
La relacin de una propiedad fundamental conocida por la ecuacin
(20) se coloca en una forma
alternativa a travs de la identidad matemtica:
(
)
1
()
2 (72)
En esta ecuacin () se excluye por la ecuacin (20) y G se
sustituye por su definicin, H-TS:
(
)
2 +
(73)
Para un gas ideal:
-
(
)
2 +
(74)
Por lo que al restar la ecuacin (73) por (74), se tiene la
relacin de una propiedad residual
fundamental
(
)
2 +
(75)
Al sustituir la ecuacin (70) en (75), se obtiene cuando el
coeficiente de fugacidad es conocido:
(
)
2 + ln
(76)
Al dividir en primer lugar las ecuaciones (75) y (76) entre dP,
con la restriccin a T u composicin
constantes, y despus entre dT y la restriccin a P y composicin
constantes, se obtiene:
= [
(
)
]
,
(77)
= [
(
)
]
,
(78)
Adems de la ecuacin (76):
ln = [ (
)
]
,,
(79)
2.5.3. La regla de Lewis/Randall
Restando la ecuacin (55) a (65) se produce la ecuacin
general:
= + ln (
) (80)
Para el caso ideal:
= + ln (
) (81)
Por definicin:
= (82)
Esta ecuacin, conocida como regla de Lewis/Randall, se aplica a
cada especie en una solucin ideal
para cualquier condicin de temperatura, presin y composicin.
-
2.6. Propiedades de exceso
Una propiedad de exceso se define como la diferencia entre el
valor real de la propiedad de una
solucin y el valor que tendra como solucin ideal a las mismas
temperatura, presin y composicin:
= (83)
= ( ) (84)
=
(85)
Para el caso de la ecuacin (73)
(
)
2 +
(86)
2.6.1. La energa de Gibbs de exceso y el coeficiente de
actividad
La ecuacin (65) es posible reescribirla
= () + ln (87)
De acuerdo a la ecuacin (82) para una solucin ideal, sta
queda:
= () + ln (88)
Restando la ecuacin (88) a (87), da la energa de Gibbs de exceso
parcial en funcin del coeficiente
de actividad :
= ln (89)
(90)
Para una solucin ideal la ecuacin (47) se puede escribir
como:
= (, ) + ln (91)
Por tanto se tiene lo siguiente:
= + ln (92)
2.6.2. Relaciones de la propiedad de exceso
Una formulacin alternativa para la ecuacin (86) se consigue
introduciendo el coeficiente de
actividad en la ecuacin (87):
(
)
2 + ln
(93)
Las siguientes formulaciones de las ecuaciones de sumabilidad y
de Gibbs/Duhem son consecuencia
de que ln es una propiedad parcial con respecto a
:
-
= ln
(94)
2.7. Propiedades de fase lquida a partir de la informacin de
EVL
2.7.1. Coeficiente de actividad
Para clculos de los valores experimentales a presiones
bajas:
=
=
(95)
2.7.2. Energa de Gibbs de exceso
Para un sistema binario, la ecuacin (94) da:
= 1 ln 1 + 2 ln 2 (96)
2.7.3. Reduccin de datos
= (211 + 122)12 (97)
De la ecuacin (86) junto con la (89) se deduce que:
ln = [ (
)
]
,,
(98)
Con lo anterior, requiere de la derivada de
con respecto a un nmero de moles, por lo que la
ecuacin (97) se multiplica por n, y todas las fracciones molares
se convierten a nmero de moles.
De esta manera, en el lado derecho se sustituye a 1 por 1
(1+2) y a 2 por
2(1+2)
. Ya que 1 +
2, da como resultado:
= (211 + 122) [
12(1 + 2)2
] (99)
Derivando con respecto a 1 y despus con respecto a 2, regresando
de = 2 = 1 1:
ln 1 = 22[12 + 2(21 12)1] (100)
ln 2 = 12[21 + 2(12 21)2] (101)
Las ltimas dos ecuaciones son las ecuaciones de Margules4 y
representa un modelo emprico del
comportamiento de la solucin empleado usualmente. Para
soluciones infinitas, se convierte:
ln 1 = 12 (1 = 0) (102)
ln 2 = 21 (2 = 0) (103)
Para la ecuacin (10) se tiene para un sistema binario:
4 Max Margules (1856 1920). Meteorlogo y fsico austriaco
-
= 111 + 222
(104)
Por tanto:
=111
111 + 222
(105)
2.7.4. Modelos para la energa de Gibbs de exceso
Existen otras ecuaciones de uso comn para la correlacin de los
coeficientes de actividad. Una serie
de potencias, con ciertas ventajas es la expansin de
Redlich/Kister:
12= + (1 2) + (1 2)
2 + (106)
Donde 2 = 1 1, se genera en cada caso las expresiones especficas
para ln 1 y ln 2 a partir de
la ecuacin (98). Cuando = = = = 0,
= 0, ln 1 = ln 2 = 0, 1 = 2 = 0 y la solucin
es ideal. Si = = = 0, en tal caso:
12= (107)
Donde A es una constante para una temperatura conocida, las
ecuaciones correspondientes para ln 1 y ln 2, son:
ln 1 = 22 (108)
ln 2 = 12 (109)
Otra ecuacin muy conocida se obtiene cuando la expresin recproca
12
se expresa como una
funcin lineal de 1:
12
= + (1 2) = + (21 1) (110)
Tambin se puede escribir como:
12
= (1 + 2) + (1 2) = (
+ )1 + ( )2 (111)
Definiendo los parmetros + =1
21 y
=1
12
12
=1
21 +
212
(112)
Realizando lgebra se obtiene:
12=
12 21
12 1 + 21
2 (113)
Los coeficientes de actividad que resultan de esta ecuacin
son:
-
ln 1 =12
(1 +12
121
2)
2 (114)
ln 2 =21
(1 +21
212
1)
2 (115)
Las ecuaciones (111) y (112) son las ecuaciones de van
Laar5.
2.7.5. Modelos de composicin local
Se hace la suposicin de que, dentro de una solucin lquida, las
composiciones locales, diferentes de
la composicin global de las mezclas, se supone explican el orden
de corto alcance y de las
orientaciones moleculares no aleatorias que resultan de las
diferencias en el tamao molecular y de
las fuerzas intermoleculares.
La ecuacin de Wilson:
= 1 ln(1 + 212) 2 ln(2 + 121) (116)
ln 1 = ln(1 + 212) + 2 (12
1 + 212
212 + 121
) (117)
ln 2 = ln(2 + 121) 1 (12
1 + 212
212 + 121
) (118)
A soluciones diluidas:
ln 1 = ln 12 + 1 12 (119)
ln 2 = ln 21 + 1 21 (120)
La ecua NRTL incluye tres parmetros para un sistema binario y se
escribe como:
12=
21211 + 221
+1212
2 + 112 (121)
ln 1 = 22 [21 (
211 + 221
)2
+1212
(2 + 112)2] (122)
ln 2 = 12 [12 (
122 + 112
)2
+2121
(1 + 221)2] (123)
En este caso
12 = exp(12) 21 = exp(21) 12 =12
21 =21
(124)
5 Johannes Jacobus van Laar (1860 1938), fisicoqumico
holands.
-
Donde , 12 21, parmetros especficos para un par de especies en
particular, son independientes de la composicin y la temperatura.
Para diluciones infinitas:
ln 1 = 21 + 12 exp(12) (125)
ln 2 = 12 + 21 exp(21) (126)
Los modelos de composicin local tienen una flexibilidad limitada
para el ajuste de la informacin,
pero son adecuados para la mayora de los propsitos tcnicos.
Adems, son de aplicacin extensa a
sistemas multicomponentes, sin aadir ms parmetros de los
requeridos para describir los sistemas
binarios que los componen, (Smith, 2007).