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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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4)4)4)4) 22222222////55550000 ;;;;2222222255550000 ,,,,22222222////55550000 ::::SSSS ;;;;101010102222 2222 <<<<<<<<−−−−⇒⇒⇒⇒<<<<====∨∨∨∨−−−−====⇒⇒⇒⇒====>>>>∨∨∨∨−−−−<<<<⇒⇒⇒⇒>>>>−−−−++++ xxxxxxxx////xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ;;;;
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6)6)6)6) 2222////55550000 ,,,,2222////55550000 ::::SSSS ;;;;25252525202020204444 2222 ====⇒⇒⇒⇒====≠≠≠≠∀∀∀∀⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−++++−−−− xxxxxxxxxxxxxxxx ....
7)7)7)7) 44440000 ,,,,4444 0000 ::::SSSS ;;;; 4444222244441111 2222 ====⇒⇒⇒⇒====≠≠≠≠∀∀∀∀⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−++++−−−− xxxxxxxxxxxxxxxx ....
8)8)8)8) RRRRxxxxSSSSxxxxxxxx ∈∈∈∈∀∀∀∀⇒⇒⇒⇒>>>>++++−−−− 0000 :::: ;;;; 22223333
33331111 2222 ....
GRAFICIGRAFICIGRAFICIGRAFICI DELLADELLADELLADELLA FUNZIONEFUNZIONEFUNZIONEFUNZIONE PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA ASSOCIATIASSOCIATIASSOCIATIASSOCIATI ALALALAL TRINOMIOTRINOMIOTRINOMIOTRINOMIO DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201214141414
EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI FRATTE:FRATTE:FRATTE:FRATTE: ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPI SVOLTISVOLTISVOLTISVOLTI
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI FRATTEFRATTEFRATTEFRATTE :::: PROCEDIMENTOPROCEDIMENTOPROCEDIMENTOPROCEDIMENTO DIDIDIDI RISOLUZIONERISOLUZIONERISOLUZIONERISOLUZIONE
IIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare lelelele condizionicondizionicondizionicondizioni didididi esistenzaesistenzaesistenzaesistenza (CE)(CE)(CE)(CE) delledelledelledelle frazionifrazionifrazionifrazioni algebrichealgebrichealgebrichealgebriche presentipresentipresentipresentinellenellenellenelle equazioniequazioniequazioniequazioni didididi partenzapartenzapartenzapartenza dopodopodopodopo averneaverneaverneaverne eventualmenteeventualmenteeventualmenteeventualmente scompostoscompostoscompostoscomposto iiii denominatori.denominatori.denominatori.denominatori.
IIIIIIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►MoltiplicareMoltiplicareMoltiplicareMoltiplicare l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione perperperper ilililil minimominimominimominimo comunecomunecomunecomune denominatoredenominatoredenominatoredenominatore delledelledelledelle frazionifrazionifrazionifrazionialgebrichealgebrichealgebrichealgebriche perperperper poipoipoipoi risolvererisolvererisolvererisolvere l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione interainterainteraintera ottenuta.ottenuta.ottenuta.ottenuta.
IIIIIIIIIIIIOOOO STEPSTEPSTEPSTEP►►►►EsaminareEsaminareEsaminareEsaminare lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ottenuteottenuteottenuteottenute scartandoscartandoscartandoscartando lelelele eventualieventualieventualieventuali soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni chechecheche nonnonnonnonappartengonoappartengonoappartengonoappartengono alalalal campocampocampocampo didididi esistenza.esistenza.esistenza.esistenza.
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201217171717
EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI FRATTE:FRATTE:FRATTE:FRATTE: ESERCIZIESERCIZIESERCIZIESERCIZI CONCONCONCON SOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONE
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201218181818
RELAZIONIRELAZIONIRELAZIONIRELAZIONI TRATRATRATRA LELELELE SOLUZIONISOLUZIONISOLUZIONISOLUZIONI DELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONEDELL'EQUAZIONE 00002222 ====++++++++ ccccbxbxbxbxaxaxaxax EEEE IIII SUOISUOISUOISUOI COEFFICIENTICOEFFICIENTICOEFFICIENTICOEFFICIENTI
1111► aaaabbbbxxxxxxxx −−−−====++++ 22221111 . 2222►►►► aaaa
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI PARAMETRICHEPARAMETRICHEPARAMETRICHEPARAMETRICHE
EquazioneEquazioneEquazioneEquazione parametricaparametricaparametricaparametrica didididi 2222oooo gradogradogradogrado :::: equazioneequazioneequazioneequazione nellanellanellanella qualequalequalequale iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti dell'incognitadell'incognitadell'incognitadell'incognita (x)(x)(x)(x) sonosonosonosonodelledelledelledelle espressioniespressioniespressioniespressioni letteraliletteraliletteraliletterali didididi unununun parametroparametroparametroparametro (k)(k)(k)(k) dadadada cuicuicuicui dipendono.dipendono.dipendono.dipendono. IIII parametri,parametri,parametri,parametri, denotatidenotatidenotatidenotati inininingeneregeneregeneregenere dalledalledalledalle letterelettereletterelettere "k""k""k""k" oppureoppureoppureoppure "m""m""m""m" oooo "p","p","p","p", aaaa differenzadifferenzadifferenzadifferenza delledelledelledelle variabilivariabilivariabilivariabili (la(la(la(la stessastessastessastessa x),x),x),x), posssonoposssonoposssonoposssonoassumereassumereassumereassumere unununun numeronumeronumeronumero limitatolimitatolimitatolimitato didididi valorivalorivalorivalori inininin relazionerelazionerelazionerelazione allealleallealle proprietproprietproprietproprietàààà delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni dadadada rispettare.rispettare.rispettare.rispettare.
PerPerPerPer indicareindicareindicareindicare chechecheche iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti dipendonodipendonodipendonodipendono inininin generalegeneralegeneralegenerale daldaldaldal paremetroparemetroparemetroparemetro k,k,k,k, scriviamoscriviamoscriviamoscriviamo l'equazione:l'equazione:l'equazione:l'equazione:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 00002222 ====++++++++ kkkkccccxxxxkkkkbbbbxxxxkkkkaaaa ,,,, (((( )))) 0000≠≠≠≠kkkkaaaa
UnaUnaUnaUna equazioneequazioneequazioneequazione parametricaparametricaparametricaparametrica èèèè associataassociataassociataassociata adadadad alcunealcunealcunealcune condizionicondizionicondizionicondizioni allealleallealle qualiqualiqualiquali lelelele suesuesuesue soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ,,,, ooooradici,radici,radici,radici, devonodevonodevonodevono soddisfaresoddisfaresoddisfaresoddisfare eeee talitalitalitali condizionicondizionicondizionicondizioni sisisisi traduconotraduconotraduconotraducono inininin generegeneregeneregenere inininin relazionirelazionirelazionirelazioni algebrichealgebrichealgebrichealgebriche chechechechecoinvolgonocoinvolgonocoinvolgonocoinvolgono iiii coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti inininin basebasebasebase dalledalledalledalle qualiqualiqualiquali sisisisi possonopossonopossonopossono ricavarericavarericavarericavare iiii valorivalorivalorivalori dadadada attribuireattribuireattribuireattribuire alalalalparametroparametroparametroparametro k.k.k.k. UnaUnaUnaUna voltavoltavoltavolta ottenutiottenutiottenutiottenuti unounounouno oooo pipipipiùùùù valorivalorivalorivalori deldeldeldel parametro,parametro,parametro,parametro, questiquestiquestiquesti vengonovengonovengonovengono sostituitisostituitisostituitisostituitinell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica chechecheche vienevienevieneviene coscoscoscosìììì trasformatatrasformatatrasformatatrasformata inininin unaunaunauna oooo pipipipiùùùù equazioniequazioniequazioniequazioni numerichenumerichenumerichenumeriche(((( generalmentegeneralmentegeneralmentegeneralmente didididi primoprimoprimoprimo oooo didididi secondosecondosecondosecondo grado)grado)grado)grado) dadadada risolvererisolvererisolvererisolvere conconconcon lelelele abitualiabitualiabitualiabituali tecniche.tecniche.tecniche.tecniche.
AdAdAdAd esempioesempioesempioesempio sisisisi considericonsidericonsidericonsideri l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000033333333222233332222 ====++++++++++++−−−− kkkkxxxxkkkkkxkxkxkx associataassociataassociataassociata allaallaallaalla condizione:condizione:condizione:condizione:UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione ugualeugualeugualeuguale aaaa 2:2:2:2: questaquestaquestaquesta vienevienevieneviene tradottatradottatradottatradotta dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione chechecheche sisisisi ottieneottieneottieneottiene sostituendosostituendosostituendosostituendo ililililnumeronumeronumeronumero 2222 nell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione stessa:stessa:stessa:stessa:
(((( )))) 11110000111100003333333344446666444400003333333322222222333322222222 ====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====++++++++⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅ kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ;;;;SostituiamoSostituiamoSostituiamoSostituiamo ilililil valorevalorevalorevalore ottenutoottenutoottenutoottenuto nell'equazionenell'equazionenell'equazionenell'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica eeee risolviamorisolviamorisolviamorisolviamo l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione numerica:numerica:numerica:numerica:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) {{{{ }}}}3333 ;;;;222200003333222200006666555500003333333322223333 222211112222 ====⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯====++++++++++++−−−− ==== SSSSxxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkkxkxkxkx kkkk ....
RelazioniRelazioniRelazioniRelazioni tratratratra coefficienticoefficienticoefficienticoefficienti eeee soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni:::: inininin unaunaunauna equazioneequazioneequazioneequazione didididi secondosecondosecondosecondo gradogradogradogrado neineineinei casicasicasicasi 0000≥≥≥≥∆∆∆∆ ,,,, leleleleprincipaliprincipaliprincipaliprincipali relazionirelazionirelazionirelazioni dadadada doveredoveredoveredovere considerareconsiderareconsiderareconsiderare perperperper risolvererisolvererisolvererisolvere lelelele equazioniequazioniequazioniequazioni parametricheparametricheparametricheparametriche sono:sono:sono:sono:
►►►► sommasommasommasomma delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione(((( ))))(((( ))))kkkkaaaakkkkbbbbxxxxxxxx −−−−====++++ 22221111 ;;;;
►►►►prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione(((( ))))(((( ))))kkkkaaaakkkkccccxxxxxxxx ====⋅⋅⋅⋅ 22221111 ;;;;
►►►► sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle radiciradiciradiciradici espressaespressaespressaespressa dalladalladalladalla relazionerelazionerelazionerelazione (((( ))))(((( ))))kkkkcccckkkkbbbb
xxxxxxxxxxxxxxxx
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====++++22221111
22221111
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11111111;;;;
►►►►discriminantediscriminantediscriminantediscriminante dell'equazionedell'equazionedell'equazionedell'equazione (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]222211112222
2222111122222222 44444444 xxxxxxxxxxxxxxxxkkkkaaaakkkkcccckkkkaaaakkkkbbbb ⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅====−−−−====∆∆∆∆ ;;;;
LeLeLeLe relazionirelazionirelazionirelazioni deldeldeldel parametroparametroparametroparametro kkkk chechecheche sisisisi ottengonoottengonoottengonoottengono possonopossonopossonopossono essere,essere,essere,essere, aaaa loroloroloroloro volta,volta,volta,volta, delledelledelledelle equazioniequazioniequazioniequazioni didididi2222oooo gradogradogradogrado ilililil cuicuicuicui discriminantediscriminantediscriminantediscriminante vienevienevieneviene dadadada oraoraoraora indicatoindicatoindicatoindicato conconconcon kkkk∆∆∆∆ ....
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201220202020
1)1)1)1) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica � (((( )))) � 0000111144442222 ====++++++++−−−−++++ccccbbbbaaaa
kkkkxxxxkkkkxxxxkkkk ��� ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 0000≠≠≠≠kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:
a)a)a)a) lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 4.4.4.4.
b)b)b)b) IlIlIlIl prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 3.3.3.3.
c)c)c)c) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla.nulla.nulla.nulla.
d)d)d)d) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 1111−−−− ....
e)e)e)e) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci valevalevalevale 1.1.1.1.
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
(((( ))))
.... 2222
777744448888
77774444161616168888
11211211211216161616
11211211211200009999161616164444000055559999
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55554444000011114444
555544444444555544444444444444444444 a)a)a)a)
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono;coincidono;coincidono;coincidono;b)b)b)b) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla;nulla;nulla;nulla;c)c)c)c) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè oppostaoppostaoppostaopposta deldeldeldel reciprocoreciprocoreciprocoreciproco dell'altra;dell'altra;dell'altra;dell'altra;d)d)d)d) unaunaunauna soluzionsoluzionsoluzionsoluzionèèèè èèèè ugualeugualeugualeuguale aaaa 3;3;3;3;e)e)e)e) soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni opposte.opposte.opposte.opposte.
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono:coincidono:coincidono:coincidono:
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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3)3)3)3) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione parametricaparametricaparametricaparametrica (((( )))) 00002222888822221111 2222 ====−−−−++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 1111≠≠≠≠kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:
a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidano.coincidano.coincidano.coincidano.b)b)b)b) LaLaLaLa sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni siasiasiasia ugualeugualeugualeuguale aaaa 3333−−−− ....c)c)c)c) UnaUnaUnaUna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione siasiasiasia nulla.nulla.nulla.nulla.d)d)d)d) IlIlIlIl prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valgavalgavalgavalga 2.2.2.2.e)e)e)e) LeLeLeLe radiciradiciradiciradici sianosianosianosiano opposte;opposte;opposte;opposte;f)f)f)f) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei quadratiquadratiquadratiquadrati delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 16.16.16.16.g)g)g)g) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 3.3.3.3.h)h)h)h) LaLaLaLa sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci deideideidei quadratiquadratiquadratiquadrati delledelledelledelle radiciradiciradiciradici valevalevalevale 16/9.16/9.16/9.16/9.
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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::::hahahaha sisisisi numeratorenumeratorenumeratorenumeratore ilililil sviluppatosviluppatosviluppatosviluppato avereavereavereavere dopodopodopodopo ;;;; 9999
1616161622228888
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:::: equazioneequazioneequazioneequazioneall'all'all'all' pervienepervienepervieneperviene sisisisi , , , ,22228888 eeee
2222 ,,,,1111 sostituitosostituitosostituitosostituito avereavereavereavere dopodopodopodopo ,,,,222211111111 relazionerelazionerelazionerelazione dalladalladalladalla 9999
1616161611111111 h)h)h)h)
2222222222222222
22222222
2222
2222
2222
2222
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22222222
22221111
22222222
22221111
−−−−====
±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒========∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====−−−−++++⇒⇒⇒⇒++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−≠≠≠≠====++++−−−−
++++−−−−
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−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
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====++++⇒⇒⇒⇒====++++
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkcccc
kkkkbbbbkkkkaaaacccc
acacacacbbbbxxxxxxxxxxxxxxxx
Per brevità vengono tralasciati i passaggi della sostituzione dei due valori del parametro sopra ottenutinell'equazione di partenza e la determinazione delle sue soluzioni.Come si nota, lo svolgimento dell'ultimo esercizio relativo all'ultimo punto h) è tutt'altro che semplicee richiede numerosi passaggi, ottenendo delle soluzioni numericamente poco attraenti. Ciò si verificain tutti i casi nei quali ogni coefficiente dell'equazione parametrica è una espressione del parametro edin presenza di valori numerici che non facilitano il calcolo. Per altro, in alcuni casi più fortunati, e inparticolare quando le condizioni sul parametro sono poche o più semplici, il calcolo ne vienefsensibilmente avvantaggiato.
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201224242424
_
RapportoRapportoRapportoRapporto costantecostantecostantecostante frafrafrafra lelelele radici.radici.radici.radici.
DataDataDataData unaunaunauna equazioneequazioneequazioneequazione 00002222 ====++++++++ ccccbxbxbxbxaxaxaxax ,,,, lalalala condizionecondizionecondizionecondizione chechecheche ilililil rapportorapportorapportorapporto frafrafrafra lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni siasiasiasia unaunaunauna numeronumeronumeronumerorealerealerealereale """"""""rrrr perperperper cuicuicuicui valgavalgavalgavalga lalalala relazionerelazionerelazionerelazione 11112222 xxxxrrrrxxxx ⋅⋅⋅⋅==== ,,,, sisisisi traducetraducetraducetraduce nellonellonellonello svolgeresvolgeresvolgeresvolgere ilililil sistema:sistema:sistema:sistema:
(((( ))))
(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====⋅⋅⋅⋅++++
++++−−−−====
⋅⋅⋅⋅====
⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====⋅⋅⋅⋅
−−−−====⋅⋅⋅⋅++++
⋅⋅⋅⋅====
⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====⋅⋅⋅⋅
−−−−====++++
⋅⋅⋅⋅====
aaaacccc
aaaabbbb
rrrrrrrr
aaaabbbb
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xxxxrrrrxxxx
aaaaccccxxxxrrrr
aaaabbbbxxxxrrrr
xxxxrrrrxxxx
aaaaccccxxxxxxxx
aaaabbbbxxxxxxxx
xxxxrrrrxxxx
2222
2222
2222
1111
11112222
22221111
1111
11112222
22221111
22221111
11112222
1111
111111111111
IlIlIlIl sistemasistemasistemasistema portaportaportaporta aaaa risolvererisolvererisolvererisolvere duedueduedue distintidistintidistintidistinti sistemisistemisistemisistemi conconconcon duedueduedue soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni separateseparateseparateseparate lalalala cuicuicuicui unioneunioneunioneunione forniscefornisceforniscefornisce lalalalasoluzionesoluzionesoluzionesoluzione generalegeneralegeneralegenerale richiestarichiestarichiestarichiesta dalladalladalladalla condizionecondizionecondizionecondizione inizialeinizialeinizialeiniziale impostaimpostaimpostaimposta 11112222 xxxxrrrrxxxx ⋅⋅⋅⋅==== ....UnUnUnUnmetodometodometodometodo alternativoalternativoalternativoalternativo ,,,, deldeldeldel qualequalequalequale sisisisi riportanoriportanoriportanoriportano alcunialcunialcunialcuni passaggipassaggipassaggipassaggi algebrici,algebrici,algebrici,algebrici, consisteconsisteconsisteconsiste nelnelnelnel risolvererisolvererisolvererisolverel'equazionel'equazionel'equazionel'equazione seguente:seguente:seguente:seguente:
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) .... 1111111111111111 22222222 bbbbrrrrrrrrbbbbrrrrrrrr
bbbbrrrrbbbbrrrrrrrrbbbbrrrrbbbbbbbbrrrrbbbb
⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++−−−−⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆++++−−−−
4)4)4)4) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione 00004444444444442222 ====++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare kkkk perperperper cuicuicuicui unaunaunauna radiceradiceradiceradice èèèè ilililil triplotriplotriplotriplo dell'altra.dell'altra.dell'altra.dell'altra.
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
00001212121288882222
22226666
2222000033334444
33338888
33332222333322222222
33332222
3333////22222222
333344442222
6666646464644444
3333
646464640000444444443333
3333
444444443333
444444443333
444444444444
3333
2222
2222
1111
2222
22222222
1111
1111
2222
1111
1111
11112222
22221111
11112222
22221111
1111
11112222
22221111
22221111
11112222
====++++++++⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====−−−−====−−−−====
⇒⇒⇒⇒====∨∨∨∨====++++++++⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====
−−−−====
−−−−====
⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−++++
====±±±±
====±±±±
====
========
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−
========
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++====
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⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
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xxxx
xxxx
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kkkkxxxxxxxxxxxx
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201225252525
5)5)5)5) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) (((( )))) 00003333111122222222 2222 ====−−−−++++−−−−−−−−−−−− kkkkxxxxkkkkxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare 2222≠≠≠≠kkkk taletaletaletale che:che:che:che:
a)a)a)a) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni realirealirealireali coincidano;coincidano;coincidano;coincidano;b)b)b)b) lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni realirealirealireali sianosianosianosiano distinte;distinte;distinte;distinte;c)c)c)c) lelelele sommasommasommasomma delledelledelledelle radiciradiciradiciradici siasiasiasia 1;1;1;1;d)d)d)d) ilililil prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle radiciradiciradiciradici siasiasiasia 1111−−−− ;;;;e)e)e)e) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione siasiasiasia 0.0.0.0.f)f)f)f) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione siasiasiasia 1111−−−− ;;;;g)g)g)g) lalalala sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci siasiasiasia 3;3;3;3;
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) .... 222200002222
000044444444000033334444
33334444
333311110000333311112222 2222
33335555555533332020202012121212000020202020121212120000
20202020121212122424242420202020444444448888444433332222444411114444 a)a)a)a)
222211112222
222222223333////55552222
22221111
222222222222
========⇒⇒⇒⇒====++++
⇒⇒⇒⇒====++++++++⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →→→→⎯⎯⎯⎯====−−−−++++−−−−−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆⇔⇔⇔⇔====
⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−++++−−−−++++−−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−====∆∆∆∆
====
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xxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkxxxxkkkk
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kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
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.... 3333555555553333000055553333000020202020121212120000 b)b)b)b) 22221111 >>>>⇒⇒⇒⇒>>>>⇒⇒⇒⇒>>>>−−−−⇒⇒⇒⇒>>>>−−−−⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆⇔⇔⇔⇔≠≠≠≠ kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxx
(((( ))))
(((( )))) (((( )))).... eeeeimpossibilimpossibilimpossibilimpossibil 000020202020
0000333322222222000033332222222200003333 1111 2222 2222
000022222222222211112222111122221111 c)c)c)c)
2222222200002222
22221111
⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====++++++++⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯====−−−−++++++++−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒====++++
==== xxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkxxxxkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxx
kkkk
(((( )))) (((( ))))
.... 1010101033332222
10101010222266662222
40404040666640404040
0000111166660000222211113333
2222111100003333111122222222
2222555555552222222233331111
222233331111 d)d)d)d)
2222,,,,1111
222222222222////33332222
22221111
±±±±====±±±±
====±±±±
====⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆
⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →→→→⎯⎯⎯⎯====−−−−++++−−−−−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒−−−−====⋅⋅⋅⋅
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xxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkxxxxkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxx
kkkk
(((( )))) (((( ))))(((( )))) .... 44440000 ::::00004444
00004444000033331111222222223333000033330000 e)e)e)e)
22221111
2222333322221111
====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒====−−−−⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯====−−−−++++−−−−−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒==== ====
xxxxxxxxSSSSxxxxxxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkxxxxkkkkkkkkkkkkxxxx kkkk
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201226262626
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.... eeeeimpossibilimpossibilimpossibilimpossibil000080808080
0000777722223333000044447777
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4444555555554444
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22221111
⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒
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8888121212128888646464640000444412121212555500003333111122222222
777777779999333322222222
33333333111122223333111122221111111111111111 g)g)g)g)
2222222277772222
22221111
====±±±±
====⇒⇒⇒⇒========∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→→→⎯⎯⎯⎯====−−−−++++−−−−−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−
⇒⇒⇒⇒−−−−====∧∧∧∧−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−====++++
==== xxxxxxxxxxxxkkkkxxxxkkkkxxxxkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkcccckkkkbbbb
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ccccbbbb
xxxxxxxx
kkkk
6)6)6)6) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi perperperper iiii qualiqualiqualiquali l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000222211112222 22222222 ====++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++ kkkkkkkkxxxxkkkkxxxx ammetta:ammetta:ammetta:ammetta:a)a)a)a) duedueduedue radiciradiciradiciradici realirealirealireali eeee distinte;distinte;distinte;distinte;b)b)b)b) unaunaunauna radiceradiceradiceradice nulla;nulla;nulla;nulla;c)c)c)c) mediamediamediamedia aritmeticaaritmeticaaritmeticaaritmetica delledelledelledelle radiciradiciradiciradici ugualeugualeugualeuguale aaaa 3;3;3;3;
d)d)d)d) 444411111111
22221111−−−−====++++
xxxxxxxx;;;;
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))....
4444111111114444000011114444
000022221111222200002222111122224444111144440000 a)a)a)a) 222222222222222222222222
<<<<⇒⇒⇒⇒−−−−>>>>−−−−⇒⇒⇒⇒>>>>++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒>>>>−−−−−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒>>>>++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆
kkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
(((( )))) ;;;; 22220000 ::::00002222000022220000 b)b)b)b) 222211112222
1111 −−−−====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒==== kkkkkkkkSSSSkkkkkkkkkkkkkkkkxxxx
(((( )))) ;;;; 222233331111666611112222666633332222
c)c)c)c) 2222111122221111 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒====
++++ kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxx
(((( )))) (((( )))){{{{ }}}}
.... 2222
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55552222 0000111144441111
444411113333kkkk1111
00001111333322224444222211112222222211114444222211112222 d)d)d)d)
22222222
2222
11112222
1111
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⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
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kkkk
kkkk
kkkkkkkk
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201227272727
7)7)7)7) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 00001111111122222222 ====−−−−++++−−−−−−−− kkkkxxxxkkkkxxxx determinaredeterminaredeterminaredeterminare kkkk perperperper cuicuicuicui valganovalganovalganovalgano lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:
a)a)a)a) 22221111 xxxxxxxx ==== ;;;;b)b)b)b) 11112222 2222xxxxxxxx ==== ;;;;c)c)c)c) 11112222 3333xxxxxxxx ==== ;;;;
SvolgimentoSvolgimentoSvolgimentoSvolgimento
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11112222
000099991111888811113333
11112222
000011119999111188883333
11112222
11119999111188883333
11112222
11119999
111144442222
333311112222
11112222
2222222233331111
11112222
b)b)b)b)
222211112222
222211111111
11111111
1111
2222
1111
2222
11112222
1111
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11112222
22221111
22221111 11112222
====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒====
========⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
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====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
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⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
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⎧⎧⎧⎧
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⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
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kkkk
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00007777333311113333
11112222
000044441111333311113333
11112222
000011114444111133332222
1111
11114444111133333333
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222211112222
222211111111
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1111
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1111
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1111
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22221111 11112222
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⎧⎧⎧⎧
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⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
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kkkkxxxxkkkkxxxxxxxx
kkkkxxxxxxxx
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201228282828
EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI PARAMETRICHE:PARAMETRICHE:PARAMETRICHE:PARAMETRICHE: ESERCIZIESERCIZIESERCIZIESERCIZI CONCONCONCON SOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONESOLUZIONE
1)1)1)1) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000011112222 ====−−−−−−−−−−−− kkkkxxxxkkkkxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori deldeldeldel parametroparametroparametroparametro kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:
a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni coincidono;coincidono;coincidono;coincidono; { 1111−−−−====kkkk }
b-b-b-b- unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè nulla;nulla;nulla;nulla; { 0000====kkkk }
c-c-c-c- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 3;3;3;3; { 4444====kkkk }
d-ild-ild-ild-il prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 10.10.10.10. { 10101010−−−−====kkkk
2)2)2)2) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000033332222 2222 ====++++−−−−−−−− kkkkxxxxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi22223333
≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:
a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono opposte;opposte;opposte;opposte; {ΦΦΦΦ}
b-b-b-b- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; { 3333====kkkk }
c-c-c-c- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 1;1;1;1; { 2222====kkkk }
d-ild-ild-ild-il prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni valevalevalevale 10.10.10.10. {{{{ }}}} 3333////4444 ====kkkk
3)3)3)3) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000333366661111 2222 ====−−−−++++++++−−−− kkkkxxxxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi 1111≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:
a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono coincidenti;coincidenti;coincidenti;coincidenti; {ΦΦΦΦ}
b-b-b-b- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 3;3;3;3; { 1111−−−−====kkkk }
c-c-c-c- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; { 2222====kkkk }
d-unad-unad-unad-una soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 5.5.5.5. {{{{ }}}} 3333////1111 −−−−====kkkke-e-e-e- unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 1111 {ΦΦΦΦ}
4)4)4)4) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000111122221111 2222 ====++++++++++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi 1111≠≠≠≠kkkk perperperper iiii quali:quali:quali:quali:
a-a-a-a- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono coincidenti;coincidenti;coincidenti;coincidenti; { 2222////2222±±±±====kkkk }
b-b-b-b- lalalala sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 2222−−−− ;;;; { 1111====kkkk }
c-c-c-c- lelelele soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni sonosonosonosono reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; {ΦΦΦΦ}
d-unad-unad-unad-una soluzionesoluzionesoluzionesoluzione èèèè 0000 .... {{{{ }}}} 1111 −−−−====kkkke-e-e-e- lalalala sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni èèèè 1111−−−− ;;;; 1111====kkkk }
5)5)5)5) DataDataDataData l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione 000011112222 22222222 ====−−−−++++++++ kkkkkxkxkxkxxxxx ,,,, determinaredeterminaredeterminaredeterminare iiii valorivalorivalorivalori didididi kkkk perperperper cui:cui:cui:cui:
a)a)a)a) EsistonoEsistonoEsistonoEsistono duedueduedue radiciradiciradiciradici coincidenticoincidenticoincidenticoincidenti {{{{ }}}} 4444////5555 −−−−====kkkkb)b)b)b) EsistonoEsistonoEsistonoEsistono duedueduedue radiciradiciradiciradici realirealirealireali distintedistintedistintedistinte {{{{ }}}} 4444////5555 −−−−>>>>kkkk
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201229292929
6)6)6)6) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 1111≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000022221111 ====++++−−−−−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:
a)a)a)a) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione nulla;nulla;nulla;nulla; {{{{ }}}}0000====kkkk
b)b)b)b) unaunaunauna soluzionesoluzionesoluzionesoluzione ugualeugualeugualeuguale aaaa 1;1;1;1; {{{{ }}}}ΦΦΦΦ
c)c)c)c) sommasommasommasomma delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 5;5;5;5; {{{{ }}}} 3333////5555 ====kkkk
d)d)d)d) prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 0;0;0;0; {{{{ }}}}0000====kkkk
e)e)e)e) prodottoprodottoprodottoprodotto delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 2;2;2;2; {{{{ }}}}2222====kkkk
f)f)f)f) radiciradiciradiciradici opposteopposteopposteopposte reciproche;reciproche;reciproche;reciproche; {{{{ }}}}2222////1111====kkkk
g)g)g)g) sommasommasommasomma deideideidei reciprocireciprocireciprocireciproci delledelledelledelle soluzionisoluzionisoluzionisoluzioni ugualeugualeugualeuguale aaaa 2222−−−− .... {{{{ }}}}1111−−−−≠≠≠≠∀∀∀∀kkkk
7)7)7)7) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 00001111333333332222 ====−−−−++++−−−− kxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:
a)a)a)a) 11111111 −−−−====xxxx ;;;; {{{{ }}}}4444−−−−====kkkk b)b)b)b) 22222222 ====xxxx ;;;; {{{{ }}}}14141414////13131313====kkkk c)c)c)c) 111122221111 ====++++ xxxxxxxx ;;;; {{{{ }}}}5555////3333====kkkk
d)d)d)d)33334444
22221111 −−−−====⋅⋅⋅⋅ xxxxxxxx ;;;;⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====
888815151515kkkk e)e)e)e) 999911111111
22221111−−−−====++++
xxxxxxxx;;;; {{{{ }}}}3333−−−−====kkkk ....
8)8)8)8) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 2222≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) (((( )))) 00001111222222222222 ====++++−−−−++++−−−− kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:
a)a)a)a) 222211111111
22221111====++++
xxxxxxxx;;;; {{{{ }}}}1111−−−−====kkkk b)b)b)b) 22221111 2222xxxxxxxx ====
⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====
22223333kkkk c)c)c)c) 00002222111122221111 ====⋅⋅⋅⋅++++++++ xxxxxxxxxxxxxxxx ;;;;
⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ −−−−====
44441111kkkk
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
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9)9)9)9) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 1111−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) (((( )))) 000099991111333322221111 2222 ====++++++++−−−−++++ xxxxkkkkxxxxkkkk soddisfisoddisfisoddisfisoddisfi lelelele condizioni:condizioni:condizioni:condizioni:
a)a)a)a) 22221111 4444 xxxxxxxx ++++==== ;;;;⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====∧∧∧∧−−−−==== 3333
33334444 kkkkkkkk ;;;; b)b)b)b) 555522221111 ====++++ xxxxxxxx ;;;; {{{{ }}}}3333====kkkk
c)c)c)c)2222
11111111xxxx
xxxx −−−−==== ;;;; {{{{ }}}}10101010−−−−====kkkk d)d)d)d) 11111111111122221111====++++
xxxxxxxx;;;;
⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====
66667777kkkk
e)e)e)e) 2222111122221111 xxxxxxxxxxxxxxxx ⋅⋅⋅⋅====++++ ;;;;⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====
33338888kkkk f)f)f)f) 11111111 −−−−====xxxx ;;;;
⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ −−−−====
777712121212kkkk
10)10)10)10) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare33331111
−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 000011113333222211113333 2222 ====−−−−++++−−−−++++ kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk abbiaabbiaabbiaabbia lelelele proprietproprietproprietproprietàààà::::
a)a)a)a) 22221111 xxxxxxxx ====⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
±±±±====44442222kkkk ....
b)b)b)b)22223333
1111 ====xxxx⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ −−−−====
272727275555kkkk ....
c)c)c)c)2222
11111111xxxx
xxxx −−−−==== {{{{ }}}}0000====kkkk
d)d)d)d) 111122221111 −−−−====++++ xxxxxxxx {{{{ }}}}1111−−−−====kkkk
f)f)f)f) 00001111 ====xxxx⎭⎭⎭⎭⎬⎬⎬⎬⎫⎫⎫⎫
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧ ====
33331111kkkk
11)11)11)11) DeterminareDeterminareDeterminareDeterminare 3333−−−−≠≠≠≠kkkk perperperper cuicuicuicui l'equazionel'equazionel'equazionel'equazione (((( )))) 0000333322223333 2222 ====−−−−++++++++++++ kkkkkxkxkxkxxxxxkkkk rispettirispettirispettirispetti lelelele relazioni:relazioni:relazioni:relazioni:
a)a)a)a) 666611112222 ====−−−− xxxxxxxx {{{{ }}}}2222−−−−====kkkkb)b)b)b) (((( ))))1111222211112222 2222 xxxxxxxxxxxxxxxx −−−−⋅⋅⋅⋅====++++ {{{{ }}}}6666====kkkkc)c)c)c) 22221111 −−−−====xxxx {{{{ }}}}9999−−−−====kkkk
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EQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONIEQUAZIONI DIDIDIDI SECONDOSECONDOSECONDOSECONDO GRADOGRADOGRADOGRADO
©©©© Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia ,,,, 201220122012201231313131
DIZIONARIODIZIONARIODIZIONARIODIZIONARIO DEIDEIDEIDEI SIMBOLISIMBOLISIMBOLISIMBOLI
""""""""≥≥≥≥ ====maggioremaggioremaggioremaggiore oooo ugualeugualeugualeuguale a...a...a...a... ,,,, """"""""≤≤≤≤ ====minoreminoreminoreminore oooo ugualeugualeugualeuguale a...;a...;a...;a...;
""""""""∈∈∈∈ appartieneappartieneappartieneappartiene aaaa ....,....,....,...., """"""""∉∉∉∉ nonnonnonnon appartieneappartieneappartieneappartiene a....a....a....a....
""""""""∃∃∃∃ esisteesisteesisteesiste ............ ;;;; ∄ nonnonnonnon esiste...esiste...esiste...esiste... ;;;; ∀∀∀∀ perperperper ogniogniogniogni ................
"""" """"∪ unioneunioneunioneunione didididi insiemi;insiemi;insiemi;insiemi; """"""""∩ intersezioneintersezioneintersezioneintersezione tratratratra insiemi;insiemi;insiemi;insiemi;
""""""""∨∨∨∨ conguntivoconguntivoconguntivoconguntivo "o""o""o""o" ,,,, oppureoppureoppureoppure unioneunioneunioneunione didididi elementielementielementielementi oooo didididi soluzioni;soluzioni;soluzioni;soluzioni;
""""""""∧∧∧∧ congiuntivocongiuntivocongiuntivocongiuntivo "e","e","e","e", oppureoppureoppureoppure intersezioneintersezioneintersezioneintersezione didididi elementielementielementielementi oooo didididi soluzioni;soluzioni;soluzioni;soluzioni;
""""""""⇒⇒⇒⇒ ==== implicaimplicaimplicaimplica ilililil passaggiopassaggiopassaggiopassaggio seguenteseguenteseguenteseguente aaaa destra;destra;destra;destra;
""""""""⇓⇓⇓⇓ ==== implicaimplicaimplicaimplica ilililil passaggiopassaggiopassaggiopassaggio seguenteseguenteseguenteseguente versoversoversoverso ilililil basso;basso;basso;basso; """"""""⇔⇔⇔⇔ ====èèèè equivalenteequivalenteequivalenteequivalente a....a....a....a.... ....
INDICEINDICEINDICEINDICE DEIDEIDEIDEI CONTENUTICONTENUTICONTENUTICONTENUTI
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