prof. Francesco Ragusa Università di Milano Interazioni Elettrodeboli anno accademico 2017-2018 Lezione n. 4 12.10.2017 Equazione di Dirac 3 Interazione E.M. Scattering di Coulomb
prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2017-2018
Lezione n. 412.10.2017
Equazione di Dirac 3Interazione E.M. Scattering di Coulomb
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 98
Scattering Coulombiano: spin 0Veniamo adesso alla densità degli stati
Ad una energia Ef corrispondono tutti gli stati con momento pfIl numero di stati nell’elemento d3pf dello spazio delle fasi è
Il fattore 2Ef nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dN invariante per trasformazioni di Lorentz
Uguagliando al numero di stati nell’intervallo dEf
Calcoliamo esplicitamente dN in funzione di dEf
Utilizzando le coordinate sferiche
In conclusione
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 99
Scattering Coulombiano: spin 0Per finire il flusso Φ
Fin qui le probabilità calcolate sono relative al un flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d’onda usate
Occorre tenere conto della normalizzazione degli statiAbbiamo visto che per le soluzioni dell’equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha
Abbiamo pertanto
In conclusione otteniamo la sezione d’urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano
dSJ
scattering elastico|pi| = |pf|
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 100
Scattering Coulombiano: spin 0Un ultima elaborazione per sostituire l’angolo di difffusione al momento trasferito
Otteniamo pertanto
La sezione d’urto diventa pertanto
Da confrontare con la formula non relativistica
pi
θq
pf
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 101
Scattering Coulombiano: spin ½ Calcoliamo adesso la sezione d’urto per particelle di spin ½
Il calcolo segue le linee precedenti seguite per la particella di spin 0Occorre utilizzare gli spinori
Ricordiamo che l’introduzione dell’interazione elettromagnetica tramite l’ac-coppiamento minimale aveva condotto all’equazione di Dirac con potenziale VD
Come nel caso dell’equazione di KG utilizziamo la teoria perturbativadipendente dal tempo
L’elemento di matrice diventa
Utilizziamo due soluzioni con energia positivaUno stato iniziale con momento pi e spin si
Uno stato finale con momento pf e spin sf
Inserendo nell’elemento di matrice
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 102
Scattering Coulombiano: spin ½Introduciamo I = γ0γ0 fra lo spinore uf e il potenziale VD
Inoltre semplifichiamo la notazione: ui(pi,si) = ui , etc.
Elaboriamo l’espressione del potenziale
Inserendo nell’elemento di matrice
Come nel caso di KG è interessante introdurre la corrente di transizione elettromagnetica
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 103
Scattering Coulombiano: spin ½Per finire, consideriamo un elettrone ( q = −e e > 0 ) in un campo Coulombiano statico
Confrontando con il calcolo per la particella di spin 0
Il calcolo dell’integrale è identico al caso della particella di spin 0Al termine 2Ei sostituiamo
Introducendo anche in questo caso l’elemento di matrice ridotto otteniamo
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 104
Scattering Coulombiano: spin ½Gli stati iniziale e finale possono avere ciascuno due stati di polarizzazione
Indicandoli convenzionalmente + oppure − otteniamo 4 sezioni d’urto
Supponiamo di distinguere (misurare) la polarizzazione dello stato finaleSe non utilizziamo un fascio polarizzato la sezione d’urto si ottiene mediando le due sezioni d’urto con polarizzazione dello stato iniziale + e −
Se non si osserva neppure la polarizzazione nello stato finale la sezione d’urto misurata è la somma dσ = dσ+ + dσ−
Occorre pertanto calcolare
L’espressione C può essere calcolata utilizzando, ad esempio, la forma esplicita degli spinori nella rappresentazione di Dirac
media
Somma, non media !
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 105
Scattering Coulombiano: spin ½Il calcolo di “forza bruta” (vedi problema 8.5) porta al risultato
Introducendo nella formula della sezione d’urto
Otteniamo finalmente
Osserviamo che la differenza con la particella di spin 0 è data dal fattore 1 − β2 sin2 θ/2
Il fattore diventa importante per β → 1
Interazione di tipo magnetico: nel sistema di riposo dell’elettrone al campo elettrico si aggiunge un campo magnetico come effetto relativistico
La sezione d’urto tende a zero per β → 1 e θ → πVedremo che è dovuto alla conservazione del momento angolare
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Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γIl calcolo del prodotto di spinori (C) utilizzando la rappresentazione esplicita è già abbastanza lungo e noioso
Lo scattering Coulombiano è un caso sempliceÈ stato sufficiente calcolare il modulo dell’elemento temporale dato che solo A0 era diverso da zeroC’è una sola particella perchè calcoliamo una scattering da potenziale
In casi più complessi abbiamo bisogno di tecniche più potentiIntroduciamo queste tecniche partendo dal caso semplice dello scattering coulombiano
Prima di fare la semplificazione per campo coulombiano statico abbiamo
Calcoliamo il modulo quadrato
Considerando per il momento il caso di fascio non polarizzato senza misura della polarizzazione nello stato finale dobbiamo calcolare
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 107
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γConsideriamo il tensore Lμν
Scriviamo esplicitamente gli indici delle matrici
Adesso i simboli sono numeri e possono essere spostati a piacere
Inoltre invertiamo l’ordine delle sommatorie su if rispetto a quelle su αβρσ
Utilizziamo
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 108
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ
116281
Le somme su i e su f sono due matrici
Abbiamo
RiconosciamoIl prodotto di 4 matriciLa traccia della matrice risultante
Adesso occorre calcolare le matrici A e B
Notiamo che queste somme hanno una somiglianza con le relazioni di completezza (slide )
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 109
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γIn realtà c’è più che una somiglianza
Gli operatori A e B sono la parte con energia positiva delle relazioni di completezza
Ricordiamo le equazioni di Dirac per gli spinori u e v
Definiamo gli operatori
Utilizzando le equazioni precedenti possiamo facilmente verificare che
E analogamente
Gli operatori Λ± sono gli operatori di proiezione per le energie positive enegative rispettivamente
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 110
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γPossiamo pertanto scrivere (un modo complicato per scrivere 0)
Inoltre
Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo
Un calcolo analogo con gli spinori di energia negativa permette di concludere
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 111
1190108
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γRitorniamo al tensore Lμν (diapositiva )
Introducendo i risultati trovati per gli operatori A e B
Il problema del calcolo dell’elemento di matrice è stato ricondotto al calcolo di una tracciaSviluppando la matrice di cui vogliamo calcolare la traccia
La traccia che cerchiamo è la somma delle tracce individualiRiconosciamo 3 tipologie
La traccia del prodotto di 4 matrici
La traccia del prodotto di 3 matrici
La traccia del prodotto di 2 matrici
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 112
Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γRiportiamo di seguito le principali proprietà delle tracce di prodotti di matrici γ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 113
Scattering Coulombiano: spin ½Possiamo adesso utilizzare le regole precedenti per calcolare il tensore leptonico
numero dispari di matrici
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 114
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Scattering Coulombiano: spin ½Ricordiamo che nel problema dello scattering di Coulomb il potenziale era
L’unico elemento del tensore leptonico che sopravvive è L00
Nello scattering elastico Ei = Ef = E e |pi| = |pf| = |p|
La quantità L00 appena calcolata coincide con la somma C della diapositiva Il calcolo prosegue come in precedenza e, ovviamente, si arriva allo stesso risultato
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 115
Scattering Coulombiano: spin ½Vedremo che i calcoli che abbiamo fatto possono messi in relazione adiagrammi: Diagrammi di Feynman
Ad esempio il calcolo perturbativo al primo ordine dello scattering di coulomb per un fermione ha come diagramma
Una corrente elettromagnetica
Interagisce con fotone (potenziale) Aμ
A questo diagramma si può associare automaticamente il tensore leptonico
Questa espressione si scrive percorrendo da destra a sinistra il diagrammaStato finaleVerticeStato inizialeVertice
pfpi γμ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 116
Effetti di polarizzazioneIn alcuni casi il metodo delle tracce introdotto non è direttamente utilizzabile
Quando si usa un fascio polarizzatoSe si vuole misurare la polarizzazione nello stato finale
Possiamo però chiederci se si può utilizzare una strategia simileRivediamo i punti essenziali
Per limitare la somma agli stati di energia positiva abbiamo utilizzato i proiettori ΛIn tal modo si può estendere la somma agli stati di energia negativaI proiettori ci assicurano che questi (stati p0 <0) non contribuisconoeffettivamente nella sommaLa linearità dei proiettori permette di fare prima la somma su tutti gli stati e solo successivamente applicare il proiettore
Un metodo analogo per studiare la polarizzazione richiede i proiettori di spinVogliamo costruire un operatore con le seguenti proprietà
Alcune importanti proprietà di questi operatori
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 117
Effetti di polarizzazioneNel calcolo del tensore leptonico Lμν siamo partiti dall’espressione
Supponiamo che lo stato iniziale sia polarizzatoNon abbiamo più la somma sugli stati iniziali (somma su σ2)
Inoltre, dal momento che rimane un solo stato, si elimina la mediaPer potere utilizzare le relazioni di completezza occorre reintrodurre la somma sugli stati iniziali
Possiamo utilizzare i proiettori di spin
Se introduciamo il proiettore possiamo estendere di nuovo la somma ai due stati di polarizzazione
È sufficiente introdurre PΣ una sola volta
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 118
Effetti di polarizzazioneDa questo punto in poi il calcolo procede come nel caso senza polarizzazione
Si arriva al risultato
Analogamente, se si volesse misurare la polarizzazione dello stato finale si introdurrebbe il proiettore PΣ(sf)
Pertanto abbiamo bisogno degli operatori di proiezioneAnticipiamo la forma di un proiettore di spin
Il tensore leptonico, per una polarizzazione +si dello stato iniziale, diventa
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 119
Proiettori di spinApprofondiamo innanzitutto il significato dei proiettori di spin
Lo spin non si conserva per una particella in movimentoAbbiamo introdotto lo spin facendo riferimento al sistema di riposo
Nel sistema di riposo la definizione di un proiettore è sempliceL’operatore di spin è S = ½ Σ
I possibili stati di un fermione possono essere descritti con i due spinori u con p = 0 e con polarizzazione ±ξ
Come nella teoria non relativistica si ha
Pertanto, nel sistema di riposo, i proiettori sono semplicemente
Si ha ovviamente
non dipende dalla rappresentazione
non dipende dalla rappresentazione
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 120
Proiettori di spinEstendiamo le definizioni alle soluzioni di energia negativa v
Abbiamo una complicazione aggiuntivaL’interpretazione di hole associa lo spin fisico agli autovalori di Σ⋅ξ con i segni invertiti
Il valore della grandezza fisica associata all’antiparticellaè l’autovalore in rosso cambiato di segno
Ovviamente vogliamo un formalismo che superi questa difficoltàUn operatore il cui autovalore abbia il segno corretto automaticamentePossiamo utilizzare la proprietà che gli spinori u e v sono autovettori di γ0
con autovalori +1 e −1 rispettivamente
+ξpositrone
−ξpositrone
interpretazione fisica
rappresentazione matematica
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 121
Proiettori di spinPossiamo pertanto modificare l’operatore ξ⋅Σ nel seguente modo
Con questo operatore ovviamente
Per quanto riguarda gli spinori u non cambia nulla dato che γ0u = u
Gli operatori di proiezione, nel sistema di riposo, sono pertanto
Proiettano gli stati con polarizzazione fisica ±ξSi comportano allo stesso modo per gli spinori u e v
+ξ
−ξ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 122
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Proiettori di spinFin qui abbiamo fatto considerazioni nel sistema di riposo della particella
Possiamo ottenere gli spinori per una particella in movimento con una trasformazione di Lorentz
Vogliamo trovare un operatore cheSvolga il ruolo di ξ⋅Σγ0 nel sistema di riferimento KAgisca direttamente sugli spinori u(p,s) e v(p,s)Abbia autovalori +1 e −1 uguali a quelli di Σ⋅ξγ0 nel sistema di riposo
Cominciamo con scrivere in modo covariante l’operatore Σ⋅ξγ0 nel sistema K′Innanzitutto consideriamo le seguenti espressioni di Σ (diapositiva )
Otteniamo
x
y
z
Kx'
y'
z'
K'
sottointesa lasomma su j
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 123
Proiettori di spinRiepilogando
Dal momento che nel sistema di riposo s′ν = (0,ξ) possiamo scrivere
Si può dimostrare cheL’operatore si trasforma nell’operatore L’operatore applicato agli spinori u e v nel sistema K dà lo stesso risultato che dava nel sistema di riposo K′
Abbiamo pertanto trovato l’operatore che applicato agli spinori di particelle in moto ci dice qual’è lo spin nel sistema di riposoOvviamente gli operatori
sono gli operatori che cercavamo
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 124
Polarizzazione nella diffusione di CoulombStudiamo adesso eventuali effetti dovuti alla polarizzazionenella diffusione di Coulomb
Ricordiamo comunque che le nostre sono formule approssimate al primo ordine
Calcoliamo la sezione d’urto per un elettrone con polarizzazione si
Abbiamo visto che in questo caso il tensore Lμν diventa
Sviluppando si ottiene
Il primo termine è identico a quello del caso senza polarizzazioneSviluppando il secondo termine diventa
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 125
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb
Analizziamo i vari terminiIl primo e l’ultimo sono nulli
Un numero dispari di matrici γ ( γ5 equivale a 4 matrici γ )Il secondo e il terzo sono diversi da zero. Ad esempio
Tuttavia, nella diffusione Coulombiana il campo elettrostatico fa sopravvivere solo il termine μ = ν = 0 e pertanto il termine è nullo (antisimmetria di ερμσν)
Concludiamo che, al primo ordine, la sezione d’urto non dipende dalla polarizzazione iniziale
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 126
Tracce con la matrice γ5
Riportiamo alcune tracce che coinvolgono la matrice γ5 = iγ0γ1γ2γ3
Innanzitutto
Infatti γ5 contiene tutte e 4 le matrici γLa traccia di 4 matrici γ porta ad una espressione che contiene tre tensori gμν con indici tutti differenti e quindi il risultato è zero
InoltreSe μ = ν rimane la traccia di γ5 e quindi il risultato è zeroSe μ ≠ ν allora con opportune commutazioni possono essere portate adiacenti alle corrispondenti matrici in γ5
Il prodotto è ±1 e si eliminano quindi 2 matrici γRimane la traccia di 2 matrici con indici differenti quindi nulla
Per finireInnanzitutto i 4 indici devono essere tutti differentialtrimenti, con opportune commutazioni, si ritorna al caso precedente e permutazioni …
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 127
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Polarizzazione nella diffusione di CoulombGeneralizziamo le regole per scrivere l’elemento di matrice direttamente dal diagramma di Feynman (diapositiva ) al caso in cui i fermioni iniziale e finale siano polarizzati
Si percorre da destra a sinistra il diagrammaStato finale con polarizzazione sf
Vertice (interazione vettoriale)
Stato iniziale con polarizzazione si
Vertice
pfpi γμ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 128
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Polarizzazione nella diffusione di CoulombCalcoliamo adesso la polarizzazione dello stato finale per una data polarizzazione dello stato iniziale
In generale la polarizzazione è data daLe quantità N+ e N− sono il numero di particellecon polarizzazione rispettivamente parallela o antiparallela all’asse di quantizzazione
Il numero di interazioni è proporzionale al modulo quadratodell’elemento di matrice
È evidente che nella somma N+ + N− la dipendenza da sf si cancellaNel denominatore rimane solo la dipendenza da si
Abbiamo visto nello scattering Coulombiano che contribuisce 0Il risultato è (diapositiva )
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 129
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb
Valutiamo adesso il numeratoreNotiamo che i termini danno origine alle espressioni
Nell’espressione N+ − N− la prima espressione si elidePertanto sopravvive solo
Sviluppando l’espressione
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 130
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb
L’espressione trovata è più semplice di quanto appaia a prima vistaAnalizziamo i vari termini nell’ordine
1. Nullo: numero dispari di matrici γ2. Non contribuisce: la traccia è proporzionale a ερσμν che è 0 per μ = ν3. Da calcolare4. Nullo: numero dispari di matrici γ5. Come il punto 26. Nullo: numero dispari di matrici γ7. Nullo: numero dispari di matrici γ8. Da calcolare
Pertanto sopravvivono solo due termini
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 131
Polarizzazione nella diffusione di Coulomb
Le matrici γ5 possono essere eliminate con opportune commutazioni
Il primo termine è del tipo già visto
Per il secondo termine occorre una nuova regola
Lo sviluppo dell’espressione è lasciato come esercizioPer il risultato finale occorre inoltre definire i vettori di spin si e sf