Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 1 Testi consigliati y Aitchison I., Hey A. Gauge Theories in Particle Physics,Vol. 1 - A Practical Introduction (3rd ed.) IOP Publishing 2003 y Aitchison J., Hey G. Gauge Theories in Particle Physics, 2nd ed. IOP Publishing 1989 y Halzen F.,A.Martin A. Quarks and Leptons. Introductory Course in Modern Particle Physics John Wiley & Sons 1984 y Horejsi J. Fundamentals od Electroweak Theory Charles University, Prague 2002 y Hitoshi Murayama Lecture Notes (files pdf) y Diapositive e registrazioni audio del corso http://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodeboli y http://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodeboli/registrazioni
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Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 1
Testi consigliatiAitchison I., Hey A.Gauge Theories in Particle Physics,Vol. 1 - A Practical Introduction (3rd ed.)IOP Publishing 2003
Halzen F.,A.Martin A.Quarks and Leptons. Introductory Course in Modern Particle PhysicsJohn Wiley & Sons 1984
Horejsi J.Fundamentals od Electroweak TheoryCharles University, Prague 2002
Hitoshi MurayamaLecture Notes (files pdf)
Diapositive e registrazioni audio del corsohttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodebolihttp://www.mi.infn.it/~ragusa/2018-2019/elettrodeboli/registrazioni
prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2018-2019
Lezione n. 12.10.2018
Equazione di Klein-Gordon Invarianza relativistica
Paradosso di Klein
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 3
Equazione di Klein-GordonL’equazione non relativistica di Schrödinger non è adeguata a descrivere i risultati degli esperimenti quando l’energia cinetica è molto maggioredella massa a riposo delle particelle
Ricordiamo l’equazione di Schrödinger
Può essere ricavata partendo dalla relazione
Per ottenerla si fanno le seguenti sostituzioni operatoriali
Per giungere ad un’equazione relativistica si può seguire lo stesso metodoutilizzando grandezze e relazioni relativistiche (c = 1)
Il 4-vettore energia impulso pν = ( E, p )
La relazione energia – impulso
2 2 2 2p p p E mνν= = − =p
2
2E
m=
p
E i it∂
→ → −∂
∇p
( ) ( )2
2 , ,2
t i tm t
ψ ψ∂
− ∇ =∂
r r
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 4
Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonPer semplicità da ora in poi poniamo ( = c = 1)
Sostituendo gli operatori nella relazione energia impulso otteniamo l’equazione di Klein-Gordon
Una soluzione di questa equazione è (p e x sono 4-vettori)Sostituendo otteniamo
Perché l'equazione sia soddisfatta p deve soddisfare la condizione
Identifichiamo pertanto p con il 4-impulso della particella (e quindi E = po )La soluzione è caratterizzata da 3 parametri indipendenti: px, py, pz
Notiamo inoltre cheCi sono pertanto due soluzioni
22 2
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
ip xNeφ − ⋅=
2 2 20 0p mφ φ φ− + + =p
2 2 20p m= +p
2 2E m E= ± + ≡ ± pp
iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x
iE t iNeφ + + ⋅− = p p x
soluzione con energia positiva
soluzione con energia negativa
Ep sempre positivo
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 5
Soluzioni dell’equazione di Klein-GordonCome nel caso dell’equazione di Schrödinger le soluzioni trovate sono autofunzioni dell’equazione che hanno uno spettro continuo
Non sono normalizzabiliLe soluzioni per problemi fisici si ottengono costruendo pacchetti d’onda
Sfruttando la simmetria dell’integrazione in k si può cambiare il segnodella parte spaziale dell’esponenziale del secondo termine dell’integrale
Ricordiamo che b(k) è una funzione arbitraria
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
iE t i iE t idt a e b e
Eφ
π
+∞− + ⋅ + + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r
k
kr k k
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
iE t i iE t idt a e b e
Eφ
π
+∞− + −⋅ + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk r k r
k
kr k k
( )( )
( ) ( )3
3,
2 2
ik x ik xdt a e b e
Eφ
π
+∞− ⋅ + ⋅
−∞
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫k
kr k k
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Corrente di probabilità (Schrödinger)Consideriamo l’equazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata
Moltiplichiamo a sinistra rispettivamente per ψ e ψ
Sottraiamo le due equazioni
Elaborando
Definendo
Otteniamo
210
2i
t mψ
ψ∂
+ ∇ =∂
*2 *1
02
it mψ
ψ∂
− + ∇ =∂
*2 *1
02
it mψ
ψ ψ ψ∂
− + ∇ =∂
* * 210
2i
t mψ
ψ ψ ψ∂
+ ∇ =∂
** * 2 2 *1 1
02 2
i it m t mψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ∂ ∂
+ ∇ + − ∇ =∂ ∂
( )* * *10
2i
t mψ ψ ψ ψ ψ ψ
∂+ ∇ ∇ − ∇ =
∂( )2 * * 0
2i
t mψ ψ ψ ψ ψ
∂ −+ ∇ ∇ − ∇ =
∂
2 * *
2i
mρ ψ ψ ψ ψ ψ
− ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦J ∇ ∇
0tρ
∂+ ∇ ⋅ =
∂J equazione di continuità
per la probabilità
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Corrente di probabilità (Schrödinger)Nel caso particolare delle soluzioni
Otteniamo
2
2i t
mNeψ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=
pp x
2Nρ =
mρ ρ= =
pJ v
[ ]2 2
2i
N i i Nm m−
= + =p
J p p
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Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Dobbiamo adesso verificare se le soluzioni dell’equazione di Klein-Gordonconsentono lo stesso tipo di interpretazione che si era sviluppato per le soluzioni dell’equazione di Schrödinger
Procedendo in modo del tutto analogo a quanto fatto per l’equazione di Schrödinger
Moltiplichiamo per φ∗ e φ
Sottraiamo
Si giunge aDefinizione di densità di probabilitàDefinizione di densità di corrente di probabilitàEquazione di Continuità
22 2
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* 2 * 2 *
2 0mt
φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* * 2 2 *
2 0mt
φ φ φ φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2* 2 * 2 *
2 0mt
φ φ φ φ φ φ∂
− ∇ + =∂
2 2* * 2 * 2 *
2 2 0t t
φ φ φ φ φ φ φ φ∂ ∂
− ∇ − + ∇ =∂ ∂
* *it t
ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
( )* *i φ φ φ φ= − ∇ − ∇J
0tρ
∂+ ∇ ⋅ =
∂J
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 9
Corrente di probabilità (Klein-Gordon)Ancora una volta, specializziamo alle soluzioni di onda piana
Calcoliamo la densità di probabilità
Questa definizione porta alla prima inconsistenzadell’equazione di Klein-Gordon
Per le soluzioni a energia positiva (ricordiamo che Ep > 0 sempre)
Per le soluzioni a energia negativa
Pertanto le soluzioni a energia negativa portano ad una probabilità negativaPriva di alcun senso fisicoLe soluzioni non hanno quindi un’interpretazione fisica
Notiamo che matematicamente la probabilità negativa è una conseguenza del fatto che l’equazione di Klein-Gordon e di secondo grado nel tempoTorneremo in seguito su questo problema
ip xNeφ − ⋅=
iE t iNeφ + + ⋅− = p p x
* *it t
ρ φ φ φ φ∂ ∂⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂
iE t iNeφ − + ⋅+ = p p x ( )2 22 0N i iE iE N Eρ = − − = >p p p
( )2 22 0N i iE iE N Eρ = + = − <p p p
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Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonUn importante requisito delle equazioni relativistiche è la loro invarianza relativistica
Formalmente le equazioni relativistiche devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon
Consideriamo un passaggio da un sistema inerziale K ad un sistema K' tramite una trasformazione di Lorentz Λ
Come si trasformano gli operatori di derivazione ?Come si trasforma la funzione φ(x) ?
La massa m è invariante ( è uno scalare in una trasformazione di Lorentz )Approfondiamo innanzitutto le proprietà delle trasformazioni di Lorentz
22 2
2 0mt
φ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ − ∇ + =⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∂
( )2 0mμμ φ∂ ∂ + =
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Trasformazioni di LorentzIn una trasformazione di Lorentz (ad esempio un boost lungo l’asse x) le componenti del 4-vettore tempo-posizione si trasformano secondo la legge
In forma matriciale e introducendo xμ =(ct, r)
Il prodotto matriciale indicato è espresso in forma tensoriale
Notare le posizioni degli indici μ e ν e i segni degli elementi della matrice che corrisponde a questa disposizione degli indiciAltre forme della matrice
Invarianza relativistica dell’equazione di Klein-GordonA questo punto abbiamo tutti gli ingredienti per discutere l’invarianza relativistica dell’equazione di Klein-Gordon
La funzione φ(x) soddisfa l’equazione di Klein-Gordon nel sistema inerziale K
Alla funzione φ(x) corrisponderà una funzione φ′(x′) nel sistema K′Se richiediamo che l’equazione di Klein-Gordon sia invariante per trasformazioni di Lorentz dovrà valere
Dal momento che ∂μ∂μ è invariante e che m è invariante è necessario che
La condizione sopra riportata definisce la funzione scalare φ′(x′)I punti x e x′ rappresentano lo stesso punto nello spazio tempo visto in due differenti sistemi inerzialiLa forma funzionale φ′ può essere differente da φ
Esempio φ(x) = e−ik x φ′(x′) = e–ik′ x′
( ) ( )2 0m xμμ φ∂ ∂ + =
x xμ μ νν′ = Λ
( ) ( )2 0m xμμ φ′ ′ ′ ′∂ ∂ + =
( ) ( )x xφ φ′ ′ =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 17
Equazione di Klein-Gordon: interpretazioneAbbiamo visto che le soluzioni con energia negativa portano ad una probabilità negativa che non ha senso fisico
Dirac riuscì a risolvere il problema del segno della probabilitàLo vedremo fra poco
Potremmo tentare di utilizzare l’equazione di Klein-Gordon utilizzando solo le soluzioni con energia positiva
Ci sono comunque inconsistenzeAd esempio il Paradosso di Klein
Presente anche nell’equazione di Dirac
Studiamo l’interazione di una particella con un campo elettrostaticoL’interazione elettromagnetica viene introdotta tramite la sostituzione
Per la componente temporale
Per la componente spaziale
iqAμ μ μ∂ → ∂ +
i→ − ∇p q= +P p A
E it∂
→∂
0TE E qA E V= − ≡ −
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Il paradosso di Klein†
Poniamo
Consideriamo l’equazione di Klein-Gordon nel caso di un potenziale a barriera
La funzione d’onda consiste di due partia sinistra (I) un’onda incidente e una riflessa
a destra (II) un’onda trasmessa
Pertanto a sinistra e a destra l’equazione è soddisfatta rispettivamente per
†Landau R. – Quantum Mechanics II-A second course in quantum mechanics 2nd ed. pag. 213
ip zBe ⋅
ip zCe− ⋅
ik zDe ⋅( )0,A Aμ = 0
( ) ( )( )
( )
22 2
2d z
E V z m zdzψ
ψ ψ− = − +z0
V
( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +
( ) ik zII z Deψ ⋅=
2 2 2E p m= +sostituendo nell’equazione ( V = 0 )
sostituendo nell’equazione ( V ≠ 0 )
( )2 2 2E V k m− = +
2 2p E m= ± −
( )2 2k E V m= ± − −
deve essere p > 0 (B viaggia da sx a dx)
il segno di k deve essere determinato
( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =
0qA V=
regione I regione II
solo soluzione con E > 0
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Il paradosso di KleinImponendo la continuità di ψ e di dψ/dz a z = 0 si ottiene
Risolvendo in funzione di B
Riepilogando
Le soluzioni normalizzabili si ottengono formando dei pacchetti d’onda
Come è noto, nel caso di pacchetti con una definizione del momento molto netta (g(ξ) molto stretta) il pacchetto viaggia senza deformarsi con velocità di gruppo
B C D
ipB ipC ikD
+ =⎧⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩p kC B
p k−
=+
2pD B
p k=
+
( ) ( ), iEtE z t z eψ −Ψ =
( ) ip z ip zI z Be Ceψ ⋅ − ⋅= +
( ) ik zII z Deψ ⋅=
2 2 2E p m= +
( )2 2 2E V k m− = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , iE tEz t g z t d g z e dξξ ξ ξ ψ ξ−Φ = Ψ =∫ ∫
regione I ξ = pregione II ξ = k
gE
vξ
∂=
∂
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Il paradosso di KleinCalcoliamo adesso le correnti e le densità
La covarianza relativistica impone che tempo ed energia siano trattati analogamente alle componenti spaziali dei rispettivi 4-vettoriSi introduce pertanto un ulteriore principio di indeterminazione
Meccanica Quantistica e RelativitàIl significato di questa relazione è che
L’energia di un sistema può non è esattamente definita se misurata o considerata per intervalli di tempo troppo breviMisure fatte in tempi molto brevi possono portare ad una indeterminazione dell’energia del sistema
L’equivalenza fra massa ed energia introdotta da Einstein
implica che l’indeterminazione dell’energia possa manifestarsi con l’apparizione di nuove particelle, sebbene per periodi di tempo brevi (stati virtuali)
Inoltre l’energia stessa delle particelle può trasformarsi in nuove particelleLa teoria non ha più un numero costante di particelle
Il paradosso di Klein ha inoltre mostrato che il tentativo di “localizzare” una particella con una barriera di potenziale porta all’apparizione di contraddizioni
Non è possibile tentare di localizzare una particella con precisione arbitrariaIl significato di una funzione delle coordinate va rivisto
Per finire lo spazio e il tempo devono essere trattati allo stesso modoSia r che t diventano parametri e non variabili dinamiche
2E mc=
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Equazione di DiracLa prima difficoltà dell’equazione di Klein-Gordon è stata l’apparizione di una densità di probabilità negativa
Dovuta alla presenza della derivata seconda rispetto al tempoDirac affrontò il problema in modo diretto richiedendo
1. Un’equazione di primo grado rispetto al tempo2. Anche di primo grado rispetto alle coordinate spaziali
per avere covarianza relativistica3. Che comunque riproducesse la corretta relazione E2 = p2 + m2
Equivalente a richiedere che la funzione d'onda ψ sia anche soluzionedell’equazione di Klein-Gordon
4. Inoltre l’equazione deve essere invariante per trasformazioni di LorentzCon queste premesse Dirac ipotizzò che la forma dell’equazione potesse essere
0k kα β βα+ =2 1kα = 2 1β =0k l l k k lα α α α+ = ≠
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 30
Proprietà delle matrici α e βLe relazioni appena trovate sono espresse più convenientemente introducendo l’anticommutatore di due matrici A e B: {A,B} = AB + BA
Determiniamo alcune proprietà delle matrici α e βDevono essere hermitiane (l’Hamiltoniana H deve essere hermitiana e i è un operatore hermitiano)
Dal momento che α2 = β2 = 1 gli autovalori (reali) devono essere λ = ±1
Sono matrici con traccia nullaSfruttiamo la proprietà ciclica della traccia Tr[ABC] = Tr[CAB]
Abbiamo
Concludiamo
E analogamente per β
H i mβ= − ⋅ +α ∇
[ ]kTr α [ ]kTr βα β= − [ ]kTr α= −[ ]2kTr β α= −
[ ] 0kTr α =
[ ] 0Tr β =
[ ]2kTr β α=
{ }, 2 1j k jkα α δ= { }, 0jα β = 2 1β =
{2 1β = k kβα α β= − [ ] [ ]Tr ABC Tr CAB=
u uβ λ= 2 2u u uβ λβ λ= = 2u uλ= 2 1 1λ λ= = ±
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 31
Proprietà delle matrici α e βLe matrici hanno un rango pari
Traccia nulla e autovalori ±1 implicano che il rango deve essere pariAbbiamo 4 matrici pertanto il valore minimo del rango è 4
Infatti le matrici di Pauli (2 2) hanno le proprietà richieste ma sono solo 3
Pertanto le matrici α e β hanno dimensione 4 4Qundi anche la funzione d’onda ψ ha 4 componenti
Ci sono infinite possibilità per le matrici α e βlegate fra di loro da trasformazioni unitarie α' = UαU 1
Ne considereremo 2La rappresentazione di Pauli-Dirac
Utile per studiare l’approssimazione non relativisticaLa rappresentazione di Weyl o rappresentazione Chirale
Utile nel limite di alta energia o massa della particella nullaIn moltissimi casi comunque non è necessario scrivere esplicitamente le matrici