EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM Prof. Geraldine 02/04/2014
Revisão de Álgebra Linear
Definição de conjunto Linearmente Independente
Dizemos que as funções , são LI, em um
intervalo I, se a única solução da equação
é
1 2c c
1( )f x2( )f x
1 1 2 2( ) ( ) 0 (1)c f x c f x
Revisão de Álgebra Linear
Se o conjunto é LD então a equação
admite uma solução não trivial.
Suponha , então
1 2( ), ( )f x f x
1 1 2 2( ) ( ) 0 (1)c f x c f x
1 0c 21 2
1
( ) ( )c
f x f xc
Exemplo:
Verifique se as funções abaixo são LI
1
2
3
2
4
( ) 5
( ) 5
( ) 1
( )
f x x
f x x x
f x x
f x x
x
Wronskiano
Teorema do critério da Independência Linear de Funções:
Suponha que f1(x), ..., fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n-1 vezes.
Se o determinante
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f1(x), ..., fn(x) serão LI no intervalo.
O determinante é denominado Wronskiano das funções.
COROLÁRIO:
Se f1(x), ..., fn(x) possuem pelo menos n-1 derivadas e são LD
em I, então para todo x no intervalo
W (f1(x), ..., fn(x)) = 0
Exemplo:
Calcule W (f1(x), ..., fn(x)) das y1 = ex , y2 = e2x e
y3 = e3x
Observe que as funções acima são soluções da equação
EDO Linear de segunda ordem
Formato Geral:
(I)
Exemplos:
Se B = 0 em (I) então a equação é chamada linear
homogênea:
(II)
Problema de valor inicial
Uma solução para a equação acima é uma função
que satisfaça a equação e que passa pelo ponto
com inclinação igual a
2
2 1 021 ( ) ( ) ( ) ( )
d y dyA x A x A x y g x
dx dx
0 0 0 0( ) , '( ) 'y x y y x y Condições iniciais
0 0( , )x y
0'y
Teorema: Existência de uma única
solução
Sejam contínuas em um
intervalo I com para todo x neste intervalo.
Se é algum ponto deste intervalo, então existe
uma única solução y(x) para o problema de valor
inicial (1) neste intervalo.
2 1 0( ), ( ), ( ) e ( )A x A x A x g x
( ) 0n
A x
0x x
Problema de Valor de Contorno
Uma solução para a equação acima é uma função que satisfaça a equação em um intervalo contendo a e b e que passa pelos pontos e
2
2 1 021 ( ) ( ) ( ) ( )
d y dyA x A x A x y g x
dx dx
0 1( ) , ( )y a y y b y Condições iniciais
0( , )a y
1( , )b y
Exemplo:
Uma família a dois parâmetros de soluções para a equação diferencial é
Suponha agora que queiramos determinar aquela solução para a equação que também satisfaça as condições de contorno e
'' 16 0y y
1 2cos(4 ) (4 )y C x C sen x
02
y
0 0y
Observar as soluções no geogebra
Teorema: Princípio da superposição
Seja um conjunto LI de soluções da
equação diferencial linear homogênea (EDLH) de
ordem n em um intervalo I. Então a solução geral da
equação em I é
y = c1y1+ c2y2+...+cnyn
onde ci são constantes arbitrárias.
1 2 ny , y ,..., y
Exemplo 2:
Mostre que y1= ex ,y2= e2x e y3 = e3x são soluções
da EDLH de terceira ordem
y´´´-6y´´+11y´-6y =0
Escreva uma outra solução.
Conjunto Fundamental de soluções
Definição: Qualquer conjunto y1, y2,...,yn de n soluções
LI para a EDLH de n-ésima ordem em um intervalo I é
chamado de Conjunto Fundamental de Soluções no
intervalo.
Teorema
Sejam n soluções LI da EDLH de
ordem n em um intervalo I. Então, a solução
geral para a EDO é
y = c1y1+ c2y2+...+cnyn
onde ci são constantes arbitrárias.
1 2 ny , y ,...,y
Como encontrar a solução de uma
EDLH?
Uma segunda solução por redução de ordem:
Obs.: Se y1 e y2 são soluções LI então y2/y1 não será
constante.
Exemplo 1: y1=ex é uma solução de y´´-y = 0 em
(-∞,∞), reduza a ordem para encontrar uma
segunda solução y2.
Caso Geral- Encontre uma solução da
EDLH a partir de uma solução dada.
Forma padrão: y’’+P(x)y’+ Q(x)y = 0 (2)
P(x) e Q(x) são contínuas em I
Dada uma solução y1(x)≠0 em I
Definimos y = u(x)y1(x)
2 1 0y'' y' y 0a a a
2
1
a
Exemplo: A função y1 = x2 é uma solução de
x2y”- 3xy + 4y = 0
Ache a solução geral da equação diferencial no
intervalo (0,∞).
EDH com coeficientes constantes
Ordem 2
Forma: ay” + by’ +cy = 0 (1)
Todas as soluções para (1) são funções exponenciais
ou construídas a partir delas.
Vamos tentar uma solução da forma y = emx
EDNaoH com coeficientes constantes
Método dos coeficientes indeterminados
(i) encontrar a função complementar yc;
(ii) encontrar uma solução particular yp.
Solução geral:
y = yc+ yp